第十一章 概 率 主编人:王宇红 郑青松 上课时间____________课时________知识目标：了解各种概率的意义，理解随机事件，必然事件，不可能事件，等可能性事件，互斥事件，对立事件，相互独立事件，n 次独立重复试验的概念能力目标：①理解随机概率的意义②能用排列组合知识解决等可能性事件的概率③会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率④会计算事件在n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率情感目标：培养学生科学的.严谨的学习态度，辨证的认识事物，用理性的数学知识解决生 活中的实际问题，培养学生的实践能力和学习数学的兴趣与动力，懂得正难则反的道理。
教学重点：四种概率的求法教学难点：四种概型的区别，用各种概型解决实际问题一 看教材：P136----P165二 知识回顾与梳理（一)随机事件的概率1.基本概念：随机事件，必然事件，不可能事件，事件的概率，等可能性事件2.概率的求法：①随机事件的求法:0≤P(A)≤1 ②等可能性事件的概率P(A)=nm （二）互斥事件和对立事件的概念与加法公式（1）互斥事件： 对立事件：（2）互斥事件有一个发生的概率的公式推广：（3）对立事件的概率公式：（三)相互对立事件同时发生的概率（1）相互独立事件：（2）相互独立事件同时发生的概率公式及推广（四）独立重复试验（1）独立重复试验的特点（2）n 次试验恰好发生k 次的概率公式三 基础自测1.设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，其中恰有6个红球的概率( )A 、 10100610480C C CB 、10100410680C C C C 、10100620480C C CD 、10100420680C C C 2.我校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参加，一班有3位，二班有2位，其他班有 5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班3位恰好排在一起而二班2位没有排在一起的概率为 （ ）A 、101 B 、201 C 、401 D 、1201 3.将5本不同的书全发给4名同学，每人至少一本的概率为（ ） A 、6415 B 、12815 C 、12524 D 、12548 4.甲：2.1A A 是互斥事件；乙：1A .2A 是对立事件，那么( )A 、甲是乙的充分不必要条件B 、甲是乙的必要不充分条件C 、甲是乙的充要条件D 、甲既不是乙的充分条件也不是必要条件5 从甲袋里摸出一个红球的概率为31，从乙袋里摸出一个红球的概率是21，从两袋里各摸出一个球，则32等于( ) A 、2个球不都是红球的概率 B 、2个球都是红球的概率C 、至少有一个红球的概率D 、2个球中恰好有一个红球的概率6 某人射击一次的概率为0.6，经过三次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（ )A 、12581B 、12554C 、12536D 、12527 四 例题讲解例1（1）甲.乙两个盒子里各放有5个不同的电子元件,已知:甲盒子里有2个次品;乙盒子 里有1个次品,其余的均为正品.若将2个盒子的元件放在一起,然后逐个取出检查,直到次品全部被检出为至,求所有次品恰好在第4次检验时被检出的概率（2）某班星期一要上数学.物理.历史.技术.体育各一节共五节课,求体育课不排第一节且技术课与体育课不相邻的概率例2 袋中有4个白球，6个红球，在抽取这些球的时候也无法看到这些球的颜色，现先由甲取出3个球，并且取出的球不放回，再由乙取出4个球，若规定取得白球多者获胜，试求甲获胜的概率例3 甲.乙.丙三人分别独立解一道题,甲做对的概率是21,甲.乙.丙三人都做对的概率是241,甲.乙.丙三个全做错的概率是41 (1)分别求乙.丙两人各自做对的概率(2)求甲.乙.丙三人中恰有一人做对这道题的概率例4 某减肥中心对第一期60人进行训练减肥，结果有40人达到减肥目的，按此比率，现有5人参加减肥训练，求：①恰有4人没有达到减肥目的的概率②至少有4人 没有 达到减肥目的的概率③恰有甲.乙.丙.丁4人没有达到减肥目的的概率五 巩固练习1 某班共有40个学生，其中只有一对双胞胎，若随机抽查3个学生的作业，这对双胞胎的作业同时被抽中的概率2.曲线C 的方程为1x 2222=+ny m ，其中m.n ∈{}654321，，，，，,事件A=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+轴上的椭圆表示焦点在方程x n y m 1x 2222，那幺P （A)= A 、61 B 、41 C 、31 D 、21 3.甲.乙.丙.丁4个足球队参加比赛,假设每场比赛各队取胜的概率相等,现任意将这4个队平均分成两个小组进行比赛,胜者再赛，则甲.乙相遇的概率为_______4.A 甲.乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为"3局2胜",即先赢2局者为胜,根据经验,每局比赛中甲获胜的概率为0.6,则本次比赛甲获胜的概率是（ ）A 、0.216B 、0.36C 、0.432D 、0.6485甲.乙.丙三位大学毕业生,同时应聘一个用人单位 ,其能被选中的概率分别为:P(A)=52;乙 : P(B)=43;P(C)=31,且各自能否被选中是无关的 (1)求3人都被选中的概率 （2）求只有2人被选中的概率 （3）三人中有几个人被选中的事件最易发生6.某公司的“咨询热线”电话共有6条，经长期统计发现，每天在电话高峰期，外线同时大入的概率如下表（记电话同时大入数为n) n0 1 2 3 4 5 6 P 0.13 0.35 0.27 0.14 0.08 0.02 0.01 如果公司只安排2位接线员（一位接线员一次只能接一个电话） （1）求每天电话高峰期内至少有一个电话不能一次接通的概率（2）公司董事会决定，把“一周五个工作日中至少有四天在高峰期内电话都能一次接通”的概率视作公司的“美誉度”，如果“美誉度”低于0.8，就增派接线员，请你帮助计算一下，该公司是否需要增派接线员？7在等差数列{}n a 中，4a =2，4a 7-=，现从{}n a 的前十项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这3次取数中，求取出的数恰好是2个正数和1个负数的概率8两个相互独立事件A 和B ，若事件A 发生的概率为P ，事件B 发生的概率为1-P ，求A 和B 同时发生的概率的最大值9.某人连续做同样的试验，每次试验只有成功和失败两种结果，已知第k 次试验成功时，第k+1次试验成功的概率为21；第k 次试验失败时，第k+1次试验成功的概率为43，且第三次试验成功的概率为3219 （1）求第一次试验成功的概率；（2）求第n 次试验成功的概率n P 关于n 的表达式（3）假设若试验成功，则停止试验，否则继续做试验直至成功，求停止试验时恰好做了4次试验的概率六课后反思。
第十一章 概率与统计两个计数原理1．分类计数原理： 。
分步计数原理： 。
2．王云同学有参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读，若他从这些参考书中带一本去图书馆，有 种不同的方法；若带外语，数学，物理各一本，有 种不同的带法；若从这些参书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有种不同的带法。
3．设*,x y N ∈，且4x y +≤，则点(,)x y 共有 个.、4．设{1,2,3},{4,5}A B ==，从集合A 到集合B 共可建立不同的函数个数为 . 5．一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成 个四位数字号码。
6．11n mi ji j a b==⋅∑∑展开后共有 项.例1．（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生争夺数学、物理、化学竞赛的冠军（无并列），有多少种不同的结果？ （3）某人要将4封不同的信投入3个不同信箱中，不同的投寄方法有多少种？（4）将3个不贩小球放入4个不同编号的盒子中（一个盒子只放一个小球），不同的放法有多少种？例2．在一次综艺节目的演出中，热心观众坐成四个方阵（如下图），现有4种不同颜色的T 恤衫，要求相邻方阵着不同颜色的T 恤，有多少种不同的着衣方法？例3．（1）用数字0，1，2，3，4可组成多少个不同的三位数？（2）甲、乙、丙3人互相传1只篮球，开始球在甲手中，经过5次传球后，球在甲手中，问共有多少种不同的传球方式？例4．（备选题）设整数4,(,)n P a b ≥是平面直角坐标系xOy 中的点，其中,{1,2,3,,}a b n ∈L ，a b >.（1）记n A 为满足3a b -=的点P 的个数，求n A ； （2）记n B 为满足1()3a b -是整数的点P 的个数，求n B .排列、组合的概念和运算1．排列的定义： ，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.2．排列数的定义： ，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号 表示.3．排列数公式：mn A = = ；m n A = = ；0!=4．组合的定义： ，叫做从n 个不同元素中取出n 个元素的一个组合.5．组合数的定义： ，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的给合数，用符号 表示.6．组合数公式：mn C = = = ；0n C = 7．组合数的两个性质：（1） （2）例1．（1）若17161554mn A =⨯⨯⨯⨯⨯L ，则n = ，m = .（2）若*n N ∈，则(55)(56)(57)(68)n n n n ----L 用排列数符号表示为（3）若33210n n A A =，则n =（4）若75589n nnA A A -=，则n = 例2．（1）若*x N ∈，求123231x x x x C A ---++的所有可能值.（2）求11224n nn n A A -++的值.例3．（1）化学：1!22!33!!n n +⋅+⋅++⋅L （2）化简：12312!3!4!!n n -++++L （3）化简：122nn n n C C nC +++L例4．（备选题）已知(2)p p ≥是给定的某个正整数，数列{}n a 满足：111,(1)()k k a k a p k p a +=+=-，其中1,2,3,,1k p =-L .（1）设4,p =求234,,a a a ； （2）求123p a a a a ++++L .二项式定理及通项公式的应用1．二项式定理：对于*n N ∈，()na b += ，二项式展开式的通项公式为 ，二项式展开式中第r 项的二项式系数为 ，要分清展开式中第一项的系数与该项的二项式系数.2．6(23)a b +的展开式的第3项是 ；6(32)b a +的展开式的第3项是 . 3．15(12)x -的展开式的第1r +项为 .4．37(2)x x +展开式的第4项的二项式系数是 ，第4项的系数是 .5．*n N ∈，式子01122(1)2(1)n n k k n k n n n n n C C C C ---++-++-L L = .例1．求10的展开式中，求：（1）第3项的二项式系数及系数；（2）含2x 的项及系数；（3）常数项、有理项.例2．（1）已知9a x ⎛- ⎝的展开式中3x 的系数为94，求常数a 的值 （2）求2521(2)x x++的展开式中2x 项 （3）求64(1)(1)x x -+展开式中3x 的系数例3．（1）求100.998的近似值（精确到0.01） （2）当n 为正奇数时，求112215555n n n n n n n C C C ---++++L 被7除所得的余数.（3）当*3,n n N ≥∈，求证：221nn >+例4．（备选题）是否存在等比数列{}n a ，使12121(1)2nn nnn na C a C a C --+++=L 对一切*n N ∈都成立？如存在，求出n a ；如不存在，请说明理由.二项式系数的性质及应用1．二项式系数的性质（1）对称性：在()na b +展开式中， 的两项的二项式系数相等.（2）增减性与最大值；当12n k +<时，二项式系数是逐渐 的，由对称性知它的后半部分是逐渐的，且在中间取得最大值，当n 是偶数时，中间的一项 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项 相等，且同时取得最大值.（3）二项式系数的和：012nn n n n C C C C ++++L = ；022135n n n n n n C C C C C C +++=+++L L = .2．在()nx y +的展开式中，若第7项的系数最大，则n 等于 .3．若29323636012,(2),n n n n n C C x a a x a x a x ++=-=++++L 则011n a a a -+++L = ；12323n a a a na ++++L = .4．函数1010()(1cos )(1cos )(0)f x x x x π=++-≤≤的最大值为 .5．若1)nx的展开式中各项系数和为P ，所有二项式系数和为2,272,r n S P S C +=最大，则r .例1．（1）求7(2)x y +展开式中系数最大的项；（2）求7(2)x y -展开工中系数最大的项.例2．求12(13)x -的展开式中 （1）各项二项式系数之和； （2）奇数项二项式系数和； （3）各项系数和； （4）各项系数绝对值的和.例3．已知数列{}n a 的首项为1，011222111231()(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n p x a C x a xC x a x C x a C x x a C x ----+=-+-+-++-+L .（1）若数列{}n a 是公比为2的等比数列，求(1)p -的值；（2）若数列{}n a 是公差为2的等差数列，求证：()p x 是关于x 的一次多项式.例4．（备选题）（1）当*k N ∈时，求证：(1(1k k ++-是正整数；（2）试证明大于2(1n +的最小整数能被12n +整除*()n N ∈ .排列、组合的应用题（1）1．特殊元素、特殊位置的“优先安排法” 2．正难则反：排除法（去杂法）3．相邻问题：捆绑法4．不相邻问题：插空法5．顺序一定问题：除法6．至多、至少问题：正面与反面的选择7．染色问题：“树型图法”、恰当的分类与准确的分步8．相同元素问题：隔板法例1．4男3女坐成一排，下列各小题分别有多少种排法？（1）某人必须在中间（2）某两人只能在两端（3）某人不在中间和两端（4）甲、乙两人必须相邻（5）甲、乙两人不相邻（5）甲、乙两人必须相隔1人（7）4男必须相邻（8）4男必须相邻，3女也必须相邻（9）3女不相邻（10）4男不相邻（11）4男不在两端（12）甲在乙左边（13）3男不等高，按高矮自左向右顺序排列例2．用0、1、2、3、4、5六个数字分别可以组成多少个符合下列条件的没有重复数字的自然数？（1）四位偶数（2）四位奇数（3）是25的倍数的六位数（4）比240135大的六位数（5）个位数字比十位数字小的五位数例3．某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，2人只会日语，其余4人既会英语又会日语，现要从中选6人，其中3人做英语导游，另外3人做日语导游，则不同的选择方法有多少种？例4．（备选题）将4个编号1、2、3、4的小球放入4个编号为1、2、3、4的盒子中，（1）每盒子至多一球，有多少种放法？（2）恰好有一个空盒，有多少种放法？（3）每个盒子放一球，并且恰好有一球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？（4）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒子，有多少种放法？（5）把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒子内的球数不少于它的编号数，有多少种放法？排列、组合的应用题（2）1．某天某班的课程表要排语文、数学、外语、物理、化学、体育六门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有种不同的排法。
