2019届高考数学大一轮复习第十一章概率高考专题突破六高考中的概率与统计问题学案文北师大版

高考专题突破六 高考中的概率与统计问题【考点自测】1．在可行域内任取一点，其规则如程序框图所示，则能输出数对(x ，y )的概率是()A.π8B.π4C.π6D.π2 答案 B解析 由题意知，可行域为正方形，输出数对(x ，y )形成的图形为图中阴影部分，故所求概率为 P ＝14π⎝⎛⎭⎫22222·22＝π4.2．(2017·湖南邵阳二模)假设有两个分类变量X 和Y 的2×2列联表如下：对同一样本，以下数据能说明X 与Y 有关系的可能性最大的一组为( )A ．a ＝45，c ＝15B ．a ＝40，c ＝20C ．a ＝35，c ＝25D ．a ＝30，c ＝30答案 A解析 根据2×2列联表与独立性检验可知，当a a ＋10与cc ＋30相差越大时，X 与Y 有关系的可能性越大，即a ，c 相差越大，a a ＋10与cc ＋30相差越大，故选A.3．(2017·金华模拟)设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( ) A ．1＋a,4 B ．1＋a,4＋a C ．1,4 D ．1,4＋a答案 A 解析x 1＋x 2＋…＋x 1010＝1，y i ＝x i ＋a ，所以y 1，y 2，…，y 10的均值为1＋a ，方差不变仍为4.故选A.4．已知高一年级某班有63名学生，现要选1名学生作为标兵，每名学生被选中的概率是相同的，若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的1011，则这个班男生的人数为________． 答案 33解析 根据题意，设该班的男生人数为x ，则女生人数为63－x ，因为每名学生被选中的概率是相同的， 根据古典概型的概率计算公式知，“选出的标兵是女生”的概率是63－x63，“选出的标兵是男生”的概率是x63，故63－x 63＝1011×x 63，解得x ＝33，故这个班男生的人数为33. 5．某单位为了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量约为________度． 答案 68解析 根据题意知x ＝18＋13＋10＋(－1)4＝10，y ＝24＋34＋38＋644＝40，因为回归直线过样本点的中心，所以a ^＝40－(－2)×10＝60，所以当x ＝－4时，y ＝(－2)×(－4)＋60＝68， 所以用电量约为68度.题型一 古典概型与几何概型例1 (1)(2017·榆林二模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，0≤x <1，ln x ＋e ，1≤x ≤e ， 在区间[0，e]上随机取一个实数x ，则f (x )的值不小于常数e 的概率是( ) A.1e B ．1－1eC.e 1＋eD.11＋e答案 B解析 当0≤x <1时，f (x )<e ，当1≤x ≤e 时，e ≤f (x )≤1＋e ，∵f (x )的值不小于常数e ，∴1≤x ≤e ，∴所求概率为e －1e ＝1－1e，故选B.(2)(2017·太原一模)现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为( )A.13B.23C.12D.34 答案 C解析 记两道题分别为A ，B ，所有抽取的情况为AAA ，AAB ，ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，BBA ，BBB (其中第1个、第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目)，共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，共4种．故所求事件的概率为12.故选C.思维升华 几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性，几何概型经常涉及的几何度量有长度、面积、体积等，解决几何概型的关键是找准几何测度；古典概型是命题的重点，对于较复杂的基本事件，列举时要按照一定的规律进行，做到不重不漏．跟踪训练1 (1)(2017·商丘二模)已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1,2,3中任取的一个数，b 是从0,1,2中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( ) A.79 B.13 C.59 D.23 答案 D解析 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，要使函数f (x )有两个极值点，则有Δ＝(2a )2－4b 2>0，即a 2>b 2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．满足a 2>b 2的有6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)， 所以所求事件的概率为69＝23.(2)(2017·青岛模拟)如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝π6.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是________．答案2－32解析 易知小正方形的边长为3－1，故小正方形的面积为S 1＝(3－1)2＝4－23， 又大正方形的面积为S ＝2×2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P ＝S 1S ＝4－234＝2－32.题型二 概率与统计的综合应用例2 (2017·西安质检)长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某校为了解A ，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字)．(1)你能否估计哪个班级平均每周上网时间较长？(2)从A 班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a ，从B 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b ，求a >b 的概率．解 (1)A 班样本数据的平均值为15(9＋11＋14＋20＋31)＝17，由此估计A 班学生每周平均上网时间为17小时；B 班样本数据的平均值为 15(11＋12＋21＋25＋26)＝19， 由此估计B 班学生每周平均上网时间为19小时． 所以B 班学生上网时间较长．(2)A 班的样本数据中不超过19的数据a 有3个，分别为9,11,14，B 班的样本数据中不超过21的数据b 也有3个，分别为11,12,21.从A 班和B 班的样本数据中各随机抽取一个共有9种不同的情况，分别为(9,11)，(9,12)，(9,21)，(11,11)，(11,12)，(11,21)，(14,11)，(14,12)，(14,21)， 其中a >b 的情况有(14,11)，(14,12)2种， 故a >b 的概率P ＝29.思维升华 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性． 跟踪训练2 某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图．(1)求图中实数a 的值；(2)若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数； (3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．解 (1)由已知，得10×(0.005＋0.010＋0.020＋a ＋0.025＋0.010)＝1，解得a ＝0.03. (2)根据频率分布直方图，可知成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.010)＝0.85.由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数为640×0.85＝544.(3)易知成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05＝2，这2人分别记为A ，B ；成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1＝4，这4人分别记为C ，D ，E ，F .若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，则所有的基本事件有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15个．如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有(A ，B )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共7个，故所求概率P (M )＝715. 题型三 概率与统计案例的综合应用例3 某校计划面向高一年级1 200名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，先按性别进行分层抽样，抽取了180名学生对社会科学类、自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有105人．在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45人．(1)分别计算抽取的样本中男生、女生选择社会科学类的频率，并以统计的频率作为概率，估计实际选课中选择社会科学类的学生人数；(2)根据抽取的180名学生的调查结果，完成以下2×2列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)由条件知，抽取的男生有105人，女生有180－105＝75(人)．男生选择社会科学类的频率为45105＝37，女生选择社会科学类的频率为4575＝35.由题意，知男生总数为1 200×105180＝700，女生总数为1 200×75180＝500，所以估计选择社会科学类的人数为 700×37＋500×35＝600.(2)根据统计数据，可得列联表如下：则k ＝180×(60×45－30×45)2105×75×90×90＝367≈5.142 9>5.024，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下能认为科类的选择与性别有关．思维升华 统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题．跟踪训练3 近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病．为了解三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：(1)请将如图的列联表补充完整．若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽9人，其中女生抽多少人？(2)为了研究患三高疾病是否与性别有关，请计算出统计量K 2的观测值k ，并说明是否可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为患三高疾病与性别有关.下面的临界值表供参考：(参考公式K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )解 (1)完善补充列联表如下：在患三高疾病人群中抽9人，则抽取比例为936＝14，所以女性应该抽取12×14＝3(人)．(2)根据2×2列联表，则K 2的观测值 k ＝60×(24×18－6×12)230×30×36×24＝10>7.879.所以可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为患三高疾病与性别有关．1．某单位对职员中的老年、中年、青年进行健康状况调查，其中老年、中年、青年职员的人数之比为k ∶5∶3，现用分层抽样的方法抽出一个容量为120的样本，已知在老年职员中抽取了24人，则在青年职员中抽取的人数为____________． 答案 36解析 ∵老年、中年、青年职员的人数之比为k ∶5∶3， ∴k k ＋3＋5＝24120，解得k ＝2，∴在青年职员中抽取的人数为120×310＝36.2．在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，0<x ≤3，y >1x所表示的平面区域内的所有格点(横、纵坐标均为整数的点称为格点)中任取3个点，则该3点恰能作为一个三角形的3个顶点的概率为________． 答案910解析 不等式组表示的平面区域内的格点有(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共5个，从中任取3个点，有10种取法，其中共线的3点不能构成三角形，有(3,1)，(3,2)，(3,3)，1种情况，所以能够作为三角形3个顶点的情况有9种，故所求概率是910.3．(2018·唐山模拟)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)从样本中日平均生产件数不足60的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80的为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).解(1)由已知得，样本中有25周岁以上(含25周岁)组工人60名，25周岁以下组工人40名．所以样本中日平均生产件数不足60的工人中，25周岁以上(含25周岁)组工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝710.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上(含25周岁)组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：所以得k ＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝100×(15×25－15×45)260×40×30×70＝2514≈1.79.因为1.79＜2.706.所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．4．(2018·北京海淀区模拟)某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为0,1,2,3,4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的编号之和等于7，则中一等奖，等于6或5，则中二等奖，等于4，则中三等奖，其余结果为不中奖． (1)求中二等奖的概率； (2)求不中奖的概率．解 (1)记“中二等奖”为事件A .从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有{0,1}，{0,2}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共10个基本事件．记两个小球的编号之和为x ，由题意可知，事件A 包括两个互斥事件：x ＝5，x ＝6. 事件x ＝5的取法有2种，即{1,4}，{2,3}， 故P (x ＝5)＝210＝15；事件x ＝6的取法有1种，即{2,4}，故P (x ＝6)＝110.所以P (A )＝P (x ＝5)＋P (x ＝6)＝15＋110＝310.(2)记“不中奖”为事件B ，则“中奖”为事件B ，由题意可知，事件B 包括三个互斥事件：中一等奖(x ＝7)，中二等奖(事件A )，中三等奖(x ＝4)． 事件x ＝7的取法有1种，即{3,4}，故P (x ＝7)＝110；事件x ＝4的取法有{0,4}，{1,3}，共2种， 故P (x ＝4)＝210＝15.由(1)可知，P (A )＝310.所以P (B )＝P (x ＝7)＋P (x ＝4)＋P (A ) ＝110＋15＋310＝35. 所以不中奖的概率为P (B )＝1－P (B )＝1－35＝25.5．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：(1)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并在坐标系中画出回归直线； (2)试预测加工10个零件需要的时间．(注：b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^ ＝y －b ^x ，∑i ＝14x i y i ＝52.5，∑i ＝14x 2i ＝54)解 (1)由表中数据得 x ＝14×(2＋3＋4＋5)＝3.5，y ＝14×(2.5＋3＋4＋4.5)＝3.5，∴b ^＝52.5－4×3.5×3.554－4×3.52＝0.7，a ^＝3.5－0.7×3.5＝1.05.∴y ^＝0.7x ＋1.05. 回归直线如图所示．(2)将x ＝10代入线性回归方程，得y ^＝0.7×10＋1.05＝8.05，故预测加工10个零件需要8.05小时．6．某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按1∶20进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：(1)求表中a ，b 的值及成绩在[90,110)范围内的样本数，并估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率(成绩在[90,150]内为及格)；(2)若从茎叶图中成绩在[100,130)范围内的样本中一次性抽取两个，求取出两个样本数字之差的绝对值小于或等于10的概率．解 (1)由茎叶图知成绩在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人， ∴a ＝0.1，b ＝3.∵成绩在[90,110)范围内的频率为1－0.1－0.25－0.25＝0.4， ∴成绩在[90,110)范围内的样本数为20×0.4＝8. 估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为 P ＝1－0.1－0.25＝0.65. (2)所有可能的结果为(100,102)，(100,106)，(100,106)，(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,106)，(102,106)，(102,116)，(102,118)，(102,128)，(106,106)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(116,118)，(116,128)，(118,128)，共21个，取出的两个样本中数字之差小于或等于10的结果为(100,102)，(100,106)，(100,106)，(102,106)，(102,106)，(106,106)，(106,116)，(106,116)，(116,118)，(118,128)，共10个， ∴P (A )＝1021.。

第一节 随机事件的概率1．概率与频率(1)概率与频率的概念：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An 为事件A 出现的频率.(2)概率与频率的关系：对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )．2．事件的关系与运算(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率：P (A )＝1. (3)不可能事件的概率：P (A )＝0.(4)概率的加法公式：若事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B ).(5)对立事件的概率：若事件A 与事件B 互为对立事件，则A ∪B 为必然事件，P (A ∪B )＝1，P (A )＝1－P (B ).提醒：1．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数． 2．互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未心是对立事件．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“下周六会下雨”是随机事件．( ) (2)事件发生的频率与概率是相同的．( ) (3)随机事件和随机试验是一回事．( )(4)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( ) (5)两个事件的和事件是指两个事件同时发生．( )(6)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)√2．(教材习题改编)若A 、B 为互斥事件，则P (A )＋P (B )______1. 答案：≤3．(教材习题改编)袋中装有9件正品，2件次品，从中任取3件，则①恰有1件次品和全是正品；②至少有1件次品和全是正品；③至少有1件次品和至少有2件正品；④至少有1件正品和至少有1件次品．在上述事件中，是对立事件的为______.答案：②4．(2018·赤峰模拟)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是________. 答案：78随机事件及其频率与概率 [明技法](1)概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．(2)随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．[提能力]【典例】 假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所示：(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率． 解：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5＋20100＝14，所以估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率为14.(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品共有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品是75个．所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是75145＝1529.所以估计已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为1529.[刷好题]1．给出下列命题，其中正确命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．解析：①错，不一定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．答案：02．某人在如图所示的直角边长为4 m的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示．这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1 m.(1)(2)的概率．解：(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株．列表如下：所种作物的平均年收获量为51×2＋48×4＋45×6＋42×315＝102＋192＋270＋12615＝69015＝46 (kg)．(2)由(1)知，P(Y＝51)＝215，P (Y＝48)＝415.故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝215＋415＝25.随机事件的关系[明技法]1．准确把握互斥事件与对立事件的概念(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．2．判别互斥、对立事件的方法判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．[提能力]【典例】判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任抽取1张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．解：(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．[刷好题]某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件．如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.解：(1)由于事件C“至多订一种报”中有可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B 与E是互斥事件．由于事件B不发生可导致事件E一定发生，且事件E不发生会导致事件B一定发生，故B与E还是对立事件．(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B 发生，事件D也可能发生，故B与D不互斥．(4)事件B“至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报”中有这些可能：“什么也不订”“只订甲报”“只订乙报”．由于这两个事件可能同时发生，故B 与C 不是互斥事件．(5)由(4)的分析，事件E “一种报纸也不订”只是事件C 的一种可能，即事件C 与事件E 有可能同时发生，故C 与E 不互斥．求互斥事件、对立事件的概率 [明技法]求复杂的互斥事件的概率的两种方法(1)直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算．(2)间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P (A )＝1－P (A －)，即运用逆向思维(正难则反)．特别是“至多”、“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．[提能力]【典例】 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A 、B 、C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 解：(1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120.(2)因为事件A 、B 、C 两两互斥，所以P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝11 000＋1100＋120＝611 000.故一张奖券的中奖概率为611 000. (3)P (A ∪B )＝1－P (A ＋B )＝1－⎝⎛⎭⎫11 000＋1100＝9891 000. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.[刷好题]根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； (2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．解：记A表示事件：该车主购买甲种保险；B表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买．(1)由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8.(2)因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.。

高考专题突破六高考中的概率与统计问题【考点自测】
．在可行域内任取一点，其规则如程序框图所示，则能输出数对(，)的概率是()
答案
解析由题意知，可行域为正方形，输出数对(，)形成的图形为图中阴影部分，
故所求概率为
＝＝.
．(·湖南邵阳二模)假设有两个分类变量和的×列联表如下：
总计
＋
＋
总计
对同一样本，以下数据能说明与有关系的可能性最大的一组为()
．＝，＝．＝，＝
．＝，＝．＝，＝
答案
解析根据×列联表与独立性检验可知，当与相差越大时，与有关系的可能性越大，即，相差越大，与相差越大，故选.
．(·金华模拟)设样本数据，，…，的均值和方差分别为和，若＝＋(为非零常数，＝，…，)，则，，…，的均值和方差分别为()
．＋．＋＋
．．＋
答案
解析＝，＝＋，所以，，…，的均值为＋，方差不变仍为.故选.
．已知高一年级某班有名学生，现要选名学生作为标兵，每名学生被选中的概率是相同的，若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的，则这个班男生的人数为．
答案
解析根据题意，设该班的男生人数为，则女生人数为－，因为每名学生被选中的概率是相同的，根据古典概型的概率计算公式知，“选出的标兵是女生”的概率是，“选出的标兵是男生”的概率是，故＝×，解得＝，故这个班男生的人数为.
．某单位为了解用电量(度)与气温(℃)之间的关系，随机统计了某天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温(℃)－。

§ 随机事件的概率最新考纲考情考向分析.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别． .了解两个互斥事件的概率加法公式.以考查随机事件、互斥事件与对立事件的概率为主，常与事件的频率交汇考查．本节内容在高考中三种题型都有可能出现，随机事件的频率与概率的题目往往以解答题的形式出现，互斥事件、对立事件的概念及概率常常以选择、填空题的形式出现.．概率和频率()在相同的条件下重复次试验，观察某一事件是否出现，称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数，称事件出现的比例()＝为事件出现的频率．()对于给定的随机事件，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件发生的可能性的大小，并把这个常数称为随机事件的概率，记作()． ．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件(或称事件包含于事件)⊇(或⊆)相等关系若⊇且⊇＝并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，称此事件为事件与事件的并事件(或和事件)∪(或＋)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件与事件的交事件(或积事件)∩(或)互斥事件若∩为不可能事件(∩＝∅)，则称事件与事件互斥∩＝∅对立事件若∩为不可能事件，∪为必然事件，那么称事件与事件互为对立事件∩＝∅，()＋()＝.概率的几个基本性质()概率的取值范围：≤()≤.()必然事件的概率()＝.()不可能事件的概率()＝.()概率的加法公式如果事件与事件互斥，则(∪)＝()＋()．()对立事件的概率若事件与事件互为对立事件，则()＝－()．知识拓展互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．。

高考专题突破六 高考中的概率与统计问题【考点自测】1．在可行域内任取一点，其规则如流程图所示，则能输出数对(x ，y )的概率是________．答案 π4解析 由题意知，可行域为正方形，输出数对(x ，y )形成的图形为图中阴影部分，故所求概率为P ＝14π⎝⎛⎭⎫22222·22＝π4.2．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________． 答案 34解析 设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x ，y ，x ，y 相互独立，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，|x －y |≤2，不等式组表示的平面区域如图所示．所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P (|x －y |≤2)＝S 正方形－2S △ABCS 正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34. 3．某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，则ξ的方差V (ξ)＝________. 答案 25解析 从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，选出的男生人数ξ可能为1,2,3，其中，P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝3)＝C 34C 02C 36＝15.所以ξ的均值E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2，V (ξ)＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25.4．已知高一年级某班有63名学生，现要选1名学生作为标兵，每名学生被选中的概率是相同的，若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的1011，则这个班男生的人数为________． 答案 33解析 根据题意，设该班的男生人数为x ，则女生人数为63－x ，因为每名学生被选中的概率是相同的， 根据古典概型的概率计算公式知，“选出的标兵是女生”的概率是63－x63，“选出的标兵是男生”的概率是x63，故63－x 63＝1011×x 63，解得x ＝33，故这个班男生的人数为33. 5．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．若将运动员的成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________． 答案 4 解析第一组(130,130,133,134,135)，第二组(136,136,138,138,138)，第三组(139,141,141,141,142)，第四组(142,142,143,143,144)，第五组(144,145,145,145,146)，第六组(146,147,148,150,151)，第七组(152,152,153,153,153)．故成绩在[139,151]上的恰有4组，故有4人．题型一 古典概型与几何概型例1 (1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，0≤x <1，ln x ＋e ，1≤x ≤e ，在区间[0，e]上随机取一个实数x ，则f (x )的值不小于常数e 的概率是________． 答案 1－1e解析 当0≤x <1时，f (x )<e ，当1≤x ≤e 时，e ≤f (x )≤1＋e ，∵f (x )的值不小于常数e ，∴1≤x ≤e ，∴所求概率为e －1e ＝1－1e.(2)现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为________． 答案 12解析 记两道题分别为A ，B ，所有抽取的情况为AAA ，AAB ，ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，BBA ，BBB (其中第1个、第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目)，共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，共4种．故所求事件的概率为12.思维升华 几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性，几何概型经常涉及的几何度量有长度、面积、体积等，解决几何概型的关键是找准几何测度；古典概型是命题的重点，对于较复杂的基本事件，列举时要按照一定的规律进行，做到不重不漏．跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1,2,3中任取的一个数，b 是从0,1,2中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为________． 答案 23解析 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，要使函数f (x )有两个极值点，则有Δ＝(2a )2－4b 2>0，即a 2>b 2. 由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．满足a 2>b 2的有6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)， 所以所求事件的概率为69＝23.(2)如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝π6.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是________．答案2－32解析 易知小正方形的边长为3－1， 故小正方形的面积为S 1＝(3－1)2＝4－23， 又大正方形的面积为S ＝2×2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P ＝S 1S ＝4－234＝2－32.题型二 求离散型随机变量的均值与方差例2 (2017·南京模拟)《最强大脑》是江苏卫视推出的国内首档大型科学类真人秀电视节目．该节目集结了国内外最顶尖的脑力高手，堪称脑力界的奥林匹克．某校为了增强学生的记忆力和辨识力也组织了一场类似《最强大脑》的PK 赛，A ，B 两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK ，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分．假设每局比赛两队选手获胜的概率均为0.5，且各局比赛结果相互独立． (1)求比赛结束时A 队的得分高于B 队得分的得分的概率； (2)求比赛结束时B 队得分X 的概率分布和均值． 解 (1)记第i 局A 队胜为事件A i (i ＝1,2,3,4)， 比赛结束时A 队得分高于B 队得分的事件记为C ， 则P (C )＝P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 3)[1－P (A 1A2A 4)]＝12.(2)X 的可能取值为0,1,2,3,4,5. 则P (X ＝0)＝P (A 1A 2A 3A 4)＝116，P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫124＝316，P (X ＝2)＝P (A 1A 2A 3A 4)＋C 23⎝⎛⎭⎫124＝14， P (X ＝4)＝C 23⎝⎛⎭⎫124＝316， P (X ＝5)＝116，P (X ＝3)＝1－116－316－14－116－316＝14.X 的概率分布为E (X )＝0×116＋1×316＋2×14＋3×14＋4×316＋5×116＝52.思维升华 离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其概率分布然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率的对应． 跟踪训练2 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率； (2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的概率分布；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？请说明理由．解 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则P (A )＝2＋350＝110.(2)由题意得，X 1的概率分布为X 2的概率分布为(3)由(2)得E (X 1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)，E (X 2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E (X 1)>E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车． 题型三 概率与统计的综合应用例3 2018年6月14日至7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组[75,80)，第2组[80,85)，第3组[85,90)，第4组[90,95)，第5组[95,100]，得到的频率分布直方图如图所示：(1)分别求出成绩在第3,4,5组的人数；(2)现决定在笔试成绩较高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6人进行面试． ①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入第二轮面试的概率；②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D 的面试，设第4组中有X 名学生被考官D 面试，求X 的概率分布和均值． 解 (1)由频率分布直方图知： 第3组的人数为5×0.06×40＝12. 第4组的人数为5×0.04×40＝8. 第5组的人数为5×0.02×40＝4.(2)利用分层抽样，在第3组、第4组、第5组中分别抽取3人、2人、1人． ①设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A ，则 P (A )＝1－C 310C 312＝511，所以甲或乙进入第二轮面试的概率为511.②X 的所有可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝C 24C 26＝25，P (X ＝1)＝C 12C 14C 26＝815，P (X ＝2)＝C 22C 26＝115.所以X 的概率分布为E (X )＝0×25＋1×815＋2×115＝1015＝23.跟踪训练3 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获得利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位： t,100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X ∈[100,110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T 的均值． 解 (1)当X ∈[100,130)时，T ＝500X －300(130－X )＝800X －39 000. 当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000.所以T ＝⎩⎪⎨⎪⎧800X －39 000，100≤X <130，65 000，130≤X ≤150.(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T 的概率分布为所以E (T )＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.1．在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0所表示的平面区域内随机地取一点P ，则点P 恰好落在第二象限的概率为________． 答案 29解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为S △ABC ＝12×3×32＝94，S △AOD ＝12×1×1＝12，所以点P 恰好落在第二象限的概率为S △AOD S △ABC ＝1294＝29. 2．某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本平均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率． 解 (1)样本平均值为17＋19＋20＋21＋25＋306＝1326＝22.(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为26＝13，故推断该车间12名工人中有12×13＝4(名)优秀工人．(3)设事件A ：“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”，则P (A )＝C 14C 18C 212＝1633.3．(2014·江苏)盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P .(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1，x 2，x 3，随机变量X 表示x 1，x 2，x 3中的最大数．求X 的概率分布和均值E (X )． 解 (1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P ＝C 24＋C 23＋C 22C 29＝6＋3＋136＝518. (2)随机变量X 所有可能的取值为2,3,4.{X ＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”， 故P (X ＝4)＝C 44C 49＝1126；{X ＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P (X ＝3)＝C 34C 15＋C 33C 16C 49＝20＋6126＝1363； 于是P (X ＝2)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－1363－1126＝1114.所以随机变量X 的概率分布如下表：因此随机变量X 的均值E (X )＝2×1114＋3×1363＋4×1126＝209.4．某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，据统计，随机变量ξ的概率分布如下：(1)求a 的值和ξ的均值；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．解 (1)由概率分布的性质得0.1＋0.3＋2a ＋a ＝1， 解得a ＝0.2. ∴ξ的概率分布为∴E (ξ)＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.(2)设事件A 表示“两个月内共被投诉2次”，事件A 1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次”；事件A 2表示“两个月内每月均被投诉1次”，则 P (A 1)＝2×0.4×0.1＝0.08， P (A 2)＝0.3×0.3＝0.09，∴P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝0.08＋0.09＝0.17.故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.5．一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜．请求出该考生： (1)得60分的概率；(2)所得分数X 的概率分布和均值．解 (1)设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对为事件A ， “有一道题可以判断一个选项是错误的”选对为事件B ， “有一道题不理解题意”选对为事件C ， ∴P (A )＝12，P (B )＝13，P (C )＝14，∴得60分的概率为P ＝12×12×13×14＝148.(2)X 可能的取值为40,45,50,55,60. P (X ＝40)＝12×12×23×34＝18；P (X ＝45)＝C 12×12×12×23×34＋12×12×13×34＋12×12×23×14＝1748；P (X ＝50)＝12×12×23×34＋C 12×12×12×13×34＋C 12×12×12×23×14＋12×12×13×14＝1748； P (X ＝55)＝C 12×12×12×13×14＋12×12×23×14＋12×12×13×34＝748； P (X ＝60)＝12×12×13×14＝148.故X 的概率分布为E (X )＝40×18＋45×1748＋50×1748＋55×748＋60×148＝57512.6．为了评估天气对某市运动会的影响，制定相应预案，该市气象局通过对最近50多年气象数据资料的统计分析，发现8月份是该市雷电天气高峰期，在31天中平均发生雷电14.57天(如图所示)．如果用频率作为概率的估计值，并假定每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立．(1)求在该市运动会开幕(8月12日)后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率(精确到0.01)；(2)设运动会期间(8月12日至23日，共12天)，发生雷电天气的天数为X ，求X 的均值和方差．解 (1)设8月份一天中发生雷电天气的概率为p ，由已知，得p ＝14.5731＝0.47.因为每一天发生雷电天气的概率均相等，且相互独立，所以在运动会开幕后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率P ＝C 23×0.472×(1－0.47)＝0.351 231≈0.35.(2)由题意，知X ～B (12,0.47)． 所以X 的均值E (X )＝12×0.47＝5.64， X 的方差V (X )＝12×0.47×(1－0.47)＝2.989 2.7．将某质地均匀的正十二面体玩具的十二个面上分别标记数字1,2,3，…，12.抛掷该玩具一次，记事件A ：向上的面标记的数字是完全平方数(即能写成整数的平方形式的数，如9＝32,9是完全平方数)．(1)甲、乙二人利用该玩具进行游戏，并规定：①甲抛掷该玩具一次，若事件A 发生，则向上一面的点数的6倍为甲的得分；若事件A 没有发生，则甲得0分；②乙抛掷该玩具一次，将向上的一面对应数字作为乙的得分． (ⅰ)甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求二人得分的均值； (ⅱ)甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求甲的得分不低于乙的概率；(2)抛掷该玩具一次，记事件B ：向上一面的点数不超过k (1≤k ≤12)．若事件A 与B 相互独立，试求出所有的整数k .解 (1)设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为X ，Y . (ⅰ)易得X ，Y 的概率分布分别为故E (X )＝7，E (Y )＝132.(ⅱ)P ＝P (X ＝6,1≤Y ≤6)＋P (X ＝24)＋P (X ＝54) ＝112×612＋112＋112＝524. (2)易知抛掷该玩具一次，基本事件总数为12，事件A 包含3个基本事件(1点，4点，9点)． 记n (AB )，n (B )分别表示事件AB ，B 包含的基本事件数，由P (AB )＝P (A )P (B )及古典概型， 得n (AB )12＝312·n (B )12，所以n (B )＝4n (AB )，① 故B 事件包含的基本事件数必为4的倍数， 即k ∈{4,8,12}，当k ＝4时，n (B )＝4，AB ＝{1,4}，n (AB )＝2，不符合①，当k＝8时，n(B)＝8，AB＝{1,4}，n(AB)＝2，符合①，当k＝12时，n(B)＝12，AB＝{1,4,9}，n(AB)＝3，符合①，故k的所有可能值为8或12.。

§11.1随机事件及其概率命题探究(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg,新养殖法的箱产量不低于50 kg”,估计A 概率;(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;<50 kg 箱产量≥50 kg(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的核心考点由题意可知:P(A)=P(BC)=P(B)P(C),:根据已知数据分析可得中则0.004×5+0.02×5+0.044×5+(x0.068=0.5,解得x≈52.35,即新养殖法箱产量的中位数的估计值为解决统计图表问题时频率分布直方图的特征各种统计图表与概率的有会列频率分布表考纲解读分析解读 1.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.2.了解等可能事件的概率的意义,会用排列、组合的基本公式计算一些等可能事件的概率.3.用互斥事件的概率公式计算一些事件的概率是高考的热点.五年高考考点事件与概率1.(2014课标Ⅰ,5,5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A. B. C. D.答案 D2.(2015江苏,5,5分)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为.答案3.(2016北京,16,13分)A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分(1)试估计C班的学生人数;(2)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;(3)再从A,B,C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时).这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1,表格中数据的平均数记为μ0,试判断μ0和μ1的大小.(结论不要求证明)解析(1)由题意知,抽出的20名学生中,来自C班的学生有8名.根据分层抽样方法,C班的学生人数估计为100×=40.(2)设事件A i为“甲是现有样本中A班的第i个人”,i=1,2, (5)事件C j为“乙是现有样本中C班的第j个人”, j=1,2, (8)由题意可知,P(A i)=,i=1,2,...,5;P(C j)=, j=1,2, (8)P(A i C j)=P(A i)P(C j)=×=,i=1,2,...,5, j=1,2, (8)设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知,E=A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.因此P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2 )+P(A5C3)+P(A5C4)=15×=.(3)μ1<μ0.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点事件与概率1.(2018江西宜春昌黎实验学校第二次段考,7)五个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下,则这个人继续坐着.那么,没有相邻的两个人站起来的概率为( )A. B. C. D.答案 C2.(2017广东清远清新一中一模,3)从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )A.至少有1个白球;都是白球B.至少有1个白球;至少有1个红球C.恰有1个白球;恰有2个白球D.至少有1个白球;都是红球答案 C3.(2017山西运城4月模拟,4)已知五条长度分别为1,3,5,7,9的线段,现从这五条线段中任取三条,则所取三条线段能构成一个三角形的概率为( )A. B. C. D.答案 B4.(2016湖南衡阳八中一模,6)从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( )A.0.7B.0.65C.0.35D.0.3答案 CB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:35分时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2017湖南郴州三模,3)从集合A={-2,-1,2}中随机抽取一个数记为a,从集合B={-1,1,3}中随机抽取一个数记为b,则直线ax-y+b=0不经过第四象限的概率为( )A. B.C. D.答案 A2.(2017东北三省四市二模,8)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次,事件“至少有一次正面向上”的概率为p,且p≥,则n的最小值为( )A.4B.5C.6D.7答案 A3.(2016上海二模,16)设M、N为两个随机事件,如果M、N为互斥事件,那么( )A.∪是必然事件B.M∪N是必然事件C.与一定为互斥事件D.与一定不为互斥事件答案 A二、填空题(共5分)4.(2018安徽皖南八校12月联考,13)在1,2,3,4,5,6,7,8中任取三个不同的数,取到3的概率为.答案三、解答题(共15分)5.(2018湖北荆州中学第二次月考,18)某影院为了宣传影片《战狼Ⅱ》,准备采用以下几种方式来扩大影响,吸引市民到影院观看影片,根据以往经验,预测:①分发宣传单需要费用1.5万元,可吸引30%的市民,增加收入4万元;②网络上宣传,需要费用8千元,可吸引20%的市民,增加收入3万元;③制作小视频上传微信群,需要费用2.5万元,可吸引35%的市民,增加收入5.5万元;④与商场合作需要费用1万元,购物满800元者可免费观看影片(商场购票),可吸引15%的市民,增加收入2.5万元.问:(1)在三名观看影片的市民中,至少有一名是通过微信群宣传方式被吸引来的概率是多少?(2)影院预计可增加的盈利是多少?解析(1)设事件A:不是通过微信宣传方式被吸引来的观众,则P(A)=1-0.35=0.65,设事件B:三名观众中至少有一名是通过微信宣传方式被吸引的观众,则P(B)=1-0.653=0.725 375.(2)增加盈利为(4-1.5)×0.3+(3-0.8)×0.2+(5.5-2.5)×0.35+(2.5-1)×0.15=2.465万元.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 随机事件的频率与概率的常见类型及解题策略1.(2017广东韶关六校联考,18)某商店计划每天购进某商品若干件,商店每销售1件该商品可获利50元.若供大于求,剩余商品全部退回,则每件商品亏损10元;若供不应求,则从外部调剂,此时每件调剂商品可获利30元.(1)若商店一天购进该商品10件,求当天的利润y(单位:元)关于日需求量n(单位:件,n∈N)的函数关系式;(2)商店记录了50①假设该店在这50天内每天购进10件该商品,求这50天的日利润(单位:元)的平均数;②若该店一天购进10件该商品,记“当天的利润在区间[400,550]”为事件A,求P(A)的估计值.解析(1)当日需求量n≥10,n∈N时,利润y=50×10+(n-10)×30=30n+200;当日需求量n<10,n∈N时,利润y=50×n-(10-n)×10=60n-100.所以利润y与日需求量n的函数关系式为y=(2)50天内有10天获得的利润为380元,有10天获得的利润为440元,有15天获得的利润为500元,有10天获得的利润为530元,有5天获得的利润为560元.①=476.故这50天的日利润的平均数为476元.②当且仅当日需求量n为9或10或11时,事件A发生.由所给数据知,当n=9或10或11时的频率为=0.7.故P(A)的估计值为0.7.方法2 互斥事件、对立事件的概率问题的解题方法2.(2017江西七校联考一模)做一个掷骰子的试验,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于4的点数出现”,在一次试验中,事件A+发生的概率为( )A. B. C. D.答案 C3.(2017江苏常州期末,9)男队有号码分别为1,2,3的三名乒乓球运动员,女队有号码为1,2,3,4的四名乒乓球运动员,现两队各出一名运动员比赛一场,则出场的两名运动员号码不同的概率为.答案。