专题八 立体几何第二十三讲 空间中点、直线、平面之间的位置关系答案部分 2019年2019年1.解析 如图所示，联结BE ，BD .因为点N 为正方形ABCD 的中心，ECD △为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，所以BM ⊂平面BDE ，EN ⊂平面BDE ，因为BM 是BDE △中DE 边上的中线，EN 是BDE △中BD 边上的中线，直线BM ，EN 是相交直线，设DE a =，则2BD a =，2235244BE a a a =+=， 所以62BM a =，223144EN a a a =+=， 所以BM EN ≠．故选B ．2.解析 （1）连结1,B C ME .因为M ，E 分别为1,BB BC 的中点，所以1 ME B C ∥，且112ME B C =.又因为N 为1A D 的中点，所以112ND A D =. 由题设知11=AB DC ∥，可得11=BC A D ∥，故=ME ND ∥，因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ED ∥.又MN ⊄平面1C DE ，所以MN ∥平面1C DE .（2）过C 作C 1E 的垂线，垂足为H .由已知可得DE BC ⊥，1DE C C ⊥，所以DE ⊥平面1C CE ，故DE ⊥CH. 从而CH ⊥平面1C DE ，故CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离， 由已知可得CE =1，C 1C =4，所以117C E =，故41717CH =. 从而点C 到平面1C DE 的距离为417.3.解析：对于A ，α内有无数条直线与β平行，则α与β相交或βα∥，排除； 对于B ，α内有两条相交直线与β平行，则βα∥；对于C ，α，β平行于同一条直线，则α与β相交或βα∥，排除； 对于D ，α，β垂直于同一平面，则α与β相交或βα∥，排除． 故选B ．4.解析 若②//m α，过m 作平面m βα'=，则//m m '，又③l α⊥，则l m '⊥，又m ，m '同在β内，所以①l m ⊥，即⇒②③①. 5.证明：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点， 所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1， 所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1， 所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .6.解：（1）由已知得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ⊂平面ABB 1A 1， 故11B C BE ⊥.又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C .（2）由（1）知∠BEB 1=90°.由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ，所以1145AEB A EB ︒∠=∠=，故AE =AB =3，126AA AE ==.作1EF BB ⊥，垂足为F ，则EF ⊥平面11BB C C ，且3EF AB ==. 所以，四棱锥11E BB C C -的体积1363183V =⨯⨯⨯=. F7.解析（1）由已知得AD BE ，CG BE ，所以AD CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ． 又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ． （2）取CG 的中点M ，联结EM ，DM .因为AB DE ∥，AB ⊥平面BCGE ，所以DE ⊥平面BCGE ，故DE ⊥CG . 由已知，四边形BCGE 是菱形，且60EBC ∠=︒得EM ⊥CG ，故CG ⊥平面DEM . 因此DM ⊥CG .在Rt △DEM 中，1DE =，EM =2DM =.所以四边形ACGD 的面积为4.8.解析（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以PA BD⊥．又因为底面ABCD为菱形，所以BD AC⊥．又PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA AC A=，所以BD⊥平面PAC．（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE．因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，且E为CD的中点，所以AE⊥CD．又//AB CD，所以AB⊥AE．又PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA AB A=，所以AE⊥平面PAB．又AE⊂平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE．（Ⅲ）棱PB上存在点F，且F为PB的中点，使得CF∥平面PAE．取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG．因为G，F分别为PA，PB的中点，则FG∥AB，且FG=12 AB．因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CE∥AB，且CE=12 AB．所以FG∥CE，且FG=CE．所以四边形CEGF 为平行四边形， 所以CF ∥EG ．因为CF ⊄平面PAE ，EG ⊂平面PAE ， 所以CF ∥平面PAE ．9.解析 （Ⅰ）连接BD ，易知ACBD H =，BH DH =.又由BG PG =，故GH PD ∥，又因为GH ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以GH ∥平面PAD .（Ⅱ）取棱PC 的中点N ，连接DN .依题意，得DN PC ⊥，又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC 平面PCD PC =，所以DN ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，故DN PA ⊥.又已知PA CD ⊥，CD DN D =，所以PA ⊥平面PCD .（Ⅲ）连接AN ，由（Ⅱ）中DN ⊥平面PAC ，可知DAN ∠为直线AD 与平面PAC 所成的角，因为PCD △为等边三角形，2CD =且N 为PC 的中点，所以DN =又DN AN ⊥，故在Rt AND △中，sin DN DAN AD ∠==所以，直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值为3. 10..证明：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点， 所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1， 所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1， 所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .11.（I ）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥A C.又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ， 所以，A 1E ⊥平面ABC ，则A 1E ⊥BC . 又因为A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，故BC ⊥A 1F . 所以BC ⊥平面A 1EF . 因此EF ⊥B C.（Ⅱ）取BC 中点G ，连接EG ，GF ，则EGFA 1是平行四边形． 由于A 1E ⊥平面ABC ，故AE 1⊥EG ，所以平行四边形EGFA 1为矩形． 由（I ）得BC ⊥平面EGFA 1，则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1， 所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上.连接A 1G 交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角（或其补角）. 不妨设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E 3，EG 3由于O 为A 1G 的中点，故11522A G EO OG ===， 所以2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∠==⋅．因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35． 12.解析（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥．又因为底面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥． 又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA AC A =，所以BD ⊥平面PAC ．（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥AE ．因为底面ABCD 为菱形，∠ABC =60°，且E 为CD 的中点， 所以AE ⊥CD ．又//AB CD ，所以AB ⊥AE ．又PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，PAAB A =，所以AE ⊥平面PAB ．又AE ⊂平面PAE ，所以平面PAB ⊥平面PAE ．（Ⅲ）棱PB 上存在点F ，且F 为PB 的中点，使得CF ∥平面PAE ． 取F 为PB 的中点，取G 为PA 的中点，连结CF ，FG ，EG ． 因为G ，F 分别为PA ，PB 的中点，则FG ∥AB ，且FG =12AB ． 因为底面ABCD 为菱形，且E 为CD 的中点， 所以CE ∥AB ，且CE =12AB ． 所以FG ∥CE ，且FG =CE ． 所以四边形CEGF 为平行四边形， 所以CF ∥EG ．因为CF ⊄平面PAE ，EG ⊂平面PAE ， 所以CF ∥平面PAE ．13. 过点P 作PO ⊥平面ABC 交平面ABC 于点O ，过点P 作PD ⊥AC 交AC 于点D ，作PE ⊥BC 交BC 于点E ，联结OD ，OC ，OE ， 则,,AC POD BC POE ⊥⊥平面平面 所以,,AC OD BC OE ⊥⊥又90ACB ∠=︒,故四边形ODCE 为矩形. 有所做辅助线可知3PD PE ==，所以()22231CD CE ==-=，所以矩形ODCE 为边长是1的正方形，则2OC =.在Rt PCO △中，2,2PC OC ==，所以2PO =.PO 即为点P 到平面ABC 的距离，即所求距离为2.14.解析 （1）连结1,B C ME .因为M ，E 分别为1,BB BC 的中点，所以1 ME B C ∥，且112ME B C =.又因为N 为1A D 的中点，所以112ND A D =. 由题设知11=AB DC ∥，可得11=BC A D ∥，故=ME ND ∥，因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ED ∥.又MN ⊄平面1C DE ，所以MN ∥平面1C DE .（2）过C 作C 1E 的垂线，垂足为H .由已知可得DE BC ⊥，1DE C C ⊥，所以DE ⊥平面1C CE ，故DE ⊥CH. 从而CH ⊥平面1C DE ，故CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离， 由已知可得CE =1，C 1C =4，所以117C E =，故41717CH =. 从而点C 到平面1C DE 的距离为417.15.解析 （Ⅰ）连接BD ，易知AC BD H =，BH DH =.又由BG PG =，故GH PD ∥，又因为GH ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以GH ∥平面PAD .（Ⅱ）取棱PC 的中点N ，连接DN .依题意，得DN PC ⊥，又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC 平面PCD PC =，所以DN ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，故DN PA ⊥.又已知PA CD ⊥，CD DN D =，所以PA ⊥平面PCD .（Ⅲ）连接AN ，由（Ⅱ）中DN ⊥平面PAC ，可知DAN ∠为直线AD 与平面PAC 所成的角，因为PCD △为等边三角形，2CD =且N 为PC 的中点，所以3DN =.又DN AN ⊥，故在Rt AND △中，3sin DN DAN AD ∠==. 所以，直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值为3. 16.解析：解法一：如图G 为AC 的中点，V 在底面的射影为O ，则P 在底面上的射影D 在线段AO 上，作DE AC ⊥于E ，易得PE VG ∥，过P 作PF AC ∥于F ， 过D 作DH AC ∥，交BG 于H ，则BPF α=∠，PBD β=∠，PED γ=∠， 则cos cos PF EG DH BDPB PB PB PB αβ===<=，可得βα<； tan tan PD PDED BDγβ===，可得βγ<.解法二：由最小值定理可得βα<，记V AC B --的平面角为γ'(显然γγ'=)， 由最大角定理可得βγγ'<=；解法三特殊图形法：设三棱锥V ABC -为棱长为2的正四面体，P 为VA 的中点，易得132cos63α==，可得33sinα=，623sin33β==，6223sin33γ==，故选B．17.（I）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥A C.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC.又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F.所以BC⊥平面A1EF.因此EF⊥B C.（Ⅱ）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形．由于A1E⊥平面ABC，故AE1⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．由（I）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）.不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E3，EG3由于O为A1G的中点，故11522A GEO OG===，所以2223cos25EO OG EGEOGEO OG+-∠==⋅．因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是35．2010-2018年1．C 【解析】如图，连接BE ，因为AB CD ∥，所以异面直线AE 与CD 所成角等于相交直线AE 与AB 所成的角，即EAB ∠．不妨设正方体的棱长为2，则1CE =，2BC =，由勾股定理得BE =AB ⊥平面11BCC B ，可得AB BE ⊥，所以tan 2BE EAB AB ∠==，故选C ． D 1C 1B 1A 1EDC B A2．A 【解析】若m α⊄，n α⊂，m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α．若m ∥α，m α⊄，n α⊂，不一定推出m ∥n ，直线m 与n 可能异面，故“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件．故选A ．3．A 【解析】由正方体的线线关系，易知B 、C 、D 中AB MQ ∥，所以AB ∥平面MNQ ， 只有A 不满足．选A ．4．C 【解析】如图，连结1A D ，易知1AD ⊥平面1A DE ，所以11AD A E ⊥，又11BC AD ∥，所以1BC ⊥平面1A DE ，故11A E BC ⊥，选C ．C 11A 1A5．A 【解析】因为过点A 的平面α与平面11CB D 平行，平面ABCD ∥平面1111A B C D ，所以m ∥11B D ∥BD ，又1A B ∥平面11CB D ，所以n ∥1A B ，则BD 与1A B 所成的角为所求角，所以m ，n 所成角的正弦值为2，选A ． 6．C 【解析】选项A ，只有当m β∥或m β⊂时，m l ∥；选项B ，只有当m β⊥时m n ∥；选项C ，由于l β⊂，所以n l ⊥；选项D ，只有当m β∥或m β⊂时，m n ⊥，故选C ．7．B 【解析】由1284l r π=⨯=得圆锥底面的半径16163r π=≈，所以米堆的体积2111256320543499V r h π=⨯=⨯⨯=，所以堆放的米有320 1.62229÷≈斛． 8．C 【解析】三棱锥Δ13O ABC C OAB OAB V V S h --==⨯，其中h 为点C 到平面OAB 的距离，而底面三角形OAB 时直角三角形，顶点C 到平面OAB 的最大距离是球的半径， 故Δ13O ABC C OAB OAB V V S h --==⨯=3113632R ⨯⨯=，其中R 为球O 的半径， 所以6R =，所以球O 的表面积24144S R ππ==．9．D 【解析】若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则l 至少与1l ，2l 中的一条相交，故选A ．10．B 【解析】解法一 设ADC θ∠=，2AB =，则由题意知1AD BD A D '===． 在空间图形中，连结A B '，设A B '=t ．在ΔA DB '中，2222222112cos 22112A D DB A B t t A DB A D DB ''+-+--'∠==='⨯⨯⨯． 过A '作A N DC '⊥，过B 作BM DC ⊥，垂足分别为N M 、．过N 作//NP MB ，使四边形BPNM 为平行四边形，则NP DC ⊥，连结,A P BP '，则A NP '∠就是二面角A CD B '--的平面角，所以A NP α'∠=． 在ΔRt A ND '中，cos cos DN A D A DC θ''=∠=，sin sin A N A D A DC θ'''=∠=． 同理，sin BM PN θ==，cos DM θ=，故2cos BP MN θ==．显然BP ⊥平面A NP '，故BP A P '⊥．在ΔRt A BP '中，222222(2cos )4cos A P A B BP t t θθ''=-=-=-． 在ΔA NP '中，222cos cos 2A N NP A P A NP A N NPα''+-'=∠='⨯22222sin sin (4cos )2sin t θθθθ+--==222222222cos 2cos 2sin 2sin sin t t θθθθθ+--=+ 2221cos cos sin sin A DB θθθ'=∠+， 所以2221cos cos cos cos cos sin sin A DB A DB A DB θαθθ'''-∠=∠+-∠ 2222221sin cos cos cos (1cos )0sin sin sin A DB A DB θθθθθθ-''=∠+=+∠≥， 所以cos cos A DB α'∠≥（当2πθ时取等号），因为α，[0,]A DB π'∠∈，而cos y x =在[0,]π上为递减函数，所以A DB α'∠≤，故选B ．解法二 若CA CB ≠，则当απ=时，A CB π'∠<，排除D ；当0α=时，0A CB '∠>，0A DB '∠>，排除A 、C ，故选B ．11．D 【解析】利用正方体模型可以看出，1l 与4l 的位置关系不确定．选D ．12．C 【解析】选项,,A B D 中m 均可能与平面α平行、垂直、斜交或在平面α内，故选C ．13．B 【解析】对于选项A ，若//,//,m n αα，则m 与n 可能相交、平行或异面，A 错误；显然选项B 正确；对于选项C ，若m α⊥，m n ⊥，则n α⊂或//n α，C 错误；对于选项D ，若//m α，m n ⊥，则//n α或n α⊂或n 与α相交，D 错误．故选B ．14．D 【解析】作PH BC ⊥，垂足为H ，设PH x =，则CH =，由余弦定理AH =1tan tan (0)PH PAH AH xθ=∠==>，故当1x =时，tan θ． 15．B 【解析】直线OP 与平面1A BD 所成的角为α的取值范围是1112AOA C OA π∠→→∠，由于1sin AOA ∠=，11sin 2C OA ∠==>，sin 12π=所以sin α的取值范围是 16．D 【解析】作正方形模型，α为后平面，β为左侧面可知D 正确．17．D 【解析】A 中,m n 可能平行、垂直、也可能为异面；B 中,m n 还可能为异面；C 中m 应与β中两条相交直线垂直时结论才成立，选D ．18．B 【解析】利用排除法可得选项B 是正确的，∵l ∥α，l ⊥β，则αβ．如选项A ：l ∥α，l ∥β时，α⊥β或α∥β；选项C ：若α⊥β，l ⊥α，l ∥β或l β⊂；选项D ：若α⊥β, l ⊥α，l ∥β或l ⊥β．19．B 【解析】过点A 作AE BD ⊥，若存在某个位置，使得AC BD ⊥，则BD ⊥面ACE ，从而有BD CE ⊥，计算可得BD 与CE 不垂直，则A 不正确；当翻折到AC CD ⊥时，因为BC CD ⊥，所以CD ⊥面ABC ，从而可得AB CD⊥；若AD BC ⊥，因为BC CD ⊥，所以BC ⊥面ACD ，从而可得BC AC ⊥，而1AB BC =<=，所以这样的位置不存在，故C 不正确；同理，D 也不正确，故选B ．20．D 【解析】对于D ，若平面α⊥平面β，则平面α内的某些直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其余选项易知均是正确的．21．D 【解析】两平行直线的平行投影不一定重合，故A 错；由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可知B 、C 均错误，故选D ．22．8π【解析】由题意画出图形，如图，OC B A S设AC 是底面圆O 的直径，连接SO ，则SO 是圆锥的高，设圆锥的母线长为l ， 则由SA SB ⊥，SAB △的面积为8，得2182l =，得4l =，在Rt ASO ∆中， 由题意知30SAO ∠=，所以122SO l ==，AO ==．故该圆锥的体积22112833V AO SO πππ=⨯⨯=⨯⨯=．23．【解析】(1)因为4===AP CP AC ，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且=OP 连结OB．因为2==AB BC AC ，所以∆ABC 为等腰直角三角形， 且OB ⊥AC ，122==OB AC ． 由222OP OB PB +=知，OP ⊥OB ．由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC ．H O MPC B A(2)作CH ⊥OM ，垂足为H ．又由(1)可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM ． 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离． 由题设可知122==OC AC，233==CM BC ，45∠=ACB ．所以25=OM ，sin 45⋅⋅∠==OC MC ACB CH OM ．所以点C 到平面POM 的距离为45．24．【解析】(1)由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ． 因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以 DM ⊥CM ．又BC CM =C ，所以DM ⊥平面BMC ．而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ．(2)当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD ．证明如下：连结AC 交BD 于O ．因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点．连结OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP ．MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD ．25．【解析】(1)∵PA PD =，且E 为AD 的中点，∴PE AD ⊥．∵底面ABCD 为矩形，∴BC AD ∥，∴PE BC ⊥．(2)∵底面ABCD 为矩形，∴AB AD ⊥．∵平面PAD ⊥平面ABCD ，∴AB ⊥平面PAD ．∴AB PD ⊥．又PA PD ⊥，∵PD ⊥平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD ．(3)如图，取PC 中点G ，连接,FG GD ．GPF E DC BA ∵,F G 分别为PB 和PC 的中点，∴FG BC ∥，且12FG BC =． ∵四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， ∴1,2ED BC DE BC =∥， ∴ED FG ∥，且ED FG =，∴四边形EFGD 为平行四边形，∴EF GD ∥．又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ，∴EF ∥平面PCD ．26．【解析】(1)由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD =AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ．(2)取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以DMN ∠（或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．N MABCD 在Rt DAM ∆中，1AM =，故DM =因为AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC ．在Rt DAN ∆中，1AN =，故DN =．在等腰三角形DMN 中，1MN =，可得12cos MN DMN DM ∠==．所以，异面直线BC 与MD(3)连接CM ．因为ABC ∆为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB ，CM =．又因为平面ABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ．所以，CDM ∠为直线CD 与平面ABD 所成的角．在Rt CAD ∆中，4CD ==．在Rt CMD ∆中，sin 4CM CDM CD ∠==．所以，直线CD 与平面ABD ．27．【证明】(1)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB ∥11A B ．因为AB ⊄平面11A B C ，11A B ⊂平面11A B C ，所以AB ∥平面11A B C ．D 1C 1B 1A 1D CB A(2)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，四边形11ABB A 为平行四边形．又因为1AA AB =，所以四边形11ABB A 为菱形，因此1AB ⊥1A B ．又因为1AB ⊥11B C ，BC ∥11B C ，所以1AB ⊥BC ．又因为1A B BC =B ，1A B ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，所以1AB ⊥平面1A BC ．因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以平面11ABB A ⊥平面1A BC ．28．【解析】(1)由2AB =，14AA =，12BB =，1AA AB ⊥，1BB AB ⊥得111AB A B ==，所以2221111A B AB AA +=．故111AB A B ⊥．由2BC =，12BB =，11CC =，1BB BC ⊥，1CC BC ⊥得11B C =，由2AB BC ==，120ABC ∠=得AC =由1CC AC ⊥，得1AC 2221111AB B C AC +=，故111AB B C ⊥．因此1AB ⊥平面111A B C ．(2)如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连结AD ．D A B CA 1B 1C 1由1AB ⊥平面111A B C 得平面111A B C ⊥平面1ABB ，由111C D A B ⊥得1C D ⊥平面1ABB ，所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角．由11B C11A B =，11AC =得111cos C A B ∠=111sin C A B ∠=，所以1C D =111sin 13C D C AD AC ∠==． 因此，直线1AC 与平面1ABB所成的角的正弦值是13． 29．【解析】（1）在平面ABCD 内，因为90BAD ABC ∠=∠=，所以BC ∥AD ， 又BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，故BC ∥平面PAD ．（2）取AD 的中点M ，连结PM ，CM ．由12AB BC AD ==及BC ∥AD ， 90ABC ∠=得四边形ABCM 正方形，则CM AD ⊥．N M DC B AP因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面PAD平面ABCD =AD ，所以PM AD ⊥，PM ⊥底面ABCD ．因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM CM ⊥．设BC x =，则CM x =，CD =，PM =，2PC PD x ==．取CD 的中点N ，连结PN ，则PN CD ⊥，所以2PN x =． 因为PCD ∆的面积为所以122x ⨯=解得2x =-（舍去），2x =．于是2AB BC ==，4AD =，PM =．所以四棱锥P ABCD -的体积12(24)32V +=⨯⨯=． 30．【解析】（1）取AC 的中点O 连结DO ，BO .因为AD CD =，所以AC ⊥DO ． 又由于ABC ∆是正三角形，所以AC ⊥BO .从而AC ⊥平面DOB ，故AC ⊥BD .ABCDEO（2）连结EO ．由（1）及题设知90ADC ∠=，所以DO AO =． 在Rt AOB ∆中，222BO AO AB +=． 又AB BD =，所以222222BO DO BO AO AB BD +=+==，故90DOB ∠=.由题设知AEC ∆为直角三角形，所以12EO AC =． 又ABC ∆是正三角形，且AB BD =，所以12EO BD =．故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1:1．31．【解析】（Ⅰ）如图，由已知AD //BC ，故DAP ∠或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角．因为AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥PD ．在Rt △PDA 中，由已知，得AP故cos AD DAP AP ∠==． 所以，异面直线AP 与BC．（Ⅱ）证明：因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD ．又因为BC //AD ，所以PD ⊥BC ，又PD ⊥PB ，所以PD ⊥平面PB C ．（Ⅲ）过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连结PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角．因为PD ⊥平面PBC ，故PF 为DF 在平面PBC 上的射影，所以DFP ∠为直线DF 和平面PBC 所成的角．由于AD //BC ，DF //AB ，故BF =AD =1，由已知，得CF =BC –BF =2．又AD ⊥DC ，故BC ⊥DC ，在Rt △DCF 中，可得2225DF CD CF =+=,在Rt △DPF 中，可得5sin PD DFP DF ∠=． 所以，直线AB 与平面PBC 5． 32．【解析】（Ⅰ）取11B D 中点1O ,连接1CO ，11A O ，O 1ABCDE OM A 1B 1D 1由于1111ABCD A B C D -为四棱柱, 所以11AO OC ∥，11A O OC =， 因此四边形11AOCO 为平行四边形,所以11AO O C ∥,又1O C ⊂面11B CD ,1AO ⊄平面11B CD , 所以1A O ∥平面11B CD ,（Ⅱ）∵AC BD ⊥．E ，M 分别为AD 和OD 的中点， ∴EM BD ⊥，又1A E ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以1A E BD ⊥，∵11B D BD ∥，所以11EM B D ⊥，111A E B D ⊥， 又1A E ，EM ⊂平面1,A EM 1A E EM E =，所以11B D ⊥平面1,A EM又11B D ⊂平面11B CD ,所以平面1A EM ⊥平面11B CD ．33．【解析】（Ⅰ）因为PA AB ⊥，PA BC ⊥，所以PA ⊥平面ABC ， 又因为BD ⊂平面ABC ，所以PA BD ⊥．（Ⅱ）因为AB BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥， 由（Ⅰ）知，PA BD ⊥，所以BD ⊥平面PAC ． 所以平面BDE ⊥平面PAC ．（Ⅲ）因为PA ∥平面BDE ，平面PAC 平面BDE DE =，所以PA DE ∥．因为D 为AC 的中点，所以112DE PA ==，2BD DC == 由（Ⅰ）知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ．所以三棱锥E BCD -的体积111363DBC V S DE BD DC DE ∆=⨯⨯=⋅⋅=． 34．【解析】（Ⅰ）如图，设P A 中点为F ，连结EF ，FB ．FHNQEDCBAP因为E ，F 分别为PD ，P A 中点，所以EF ∥AD 且12EF AD =， 又因为BC ∥AD ，12BC AD =，所以 EF ∥BC 且EF =BC ，即四边形BCEF 为平行四边形，所以CE ∥BF ， 因此CE ∥平面P AB ．（Ⅱ）分别取BC ，AD 的中点为M ，N ．连结PN 交EF 于点Q ，连结MQ ． 因为E ，F ，N 分别是PD ，P A ，AD 的中点，所以Q 为EF 中点， 在平行四边形BCEF 中，MQ ∥CE ． 由PAD ∆为等腰直角三角形得 PN ⊥AD ．由DC ⊥AD ，N 是AD 的中点得 BN ⊥AD ．所以 AD ⊥平面PBN ，由BC ∥AD 得 BC ⊥平面PBN ， 那么，平面PBC ⊥平面PBN ．过点Q 作PB 的垂线，垂足为H ，连结MH ．MH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线CE 与平面PBC 所成的角． 设CD =1．在PCD ∆中，由PC =2，CD =1，PD =得CE =，在△PBN 中，由PN =BN =1，PB =得14QH =， 在Rt MQH ∆中，14QH =，MQ =，所以 2sin 8QMH ∠=， 所以，直线CE 与平面PBC 2． 35．【解析】证明：（1）在平面ABD 内，因为AB AD ⊥，EF AD ⊥，所以EF AB ∥. 又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . （2）因为平面ABD ⊥平面BCD ， 平面ABD平面BCD =BD ，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD . 又AB AD ⊥，BCAB B =，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面ABC ， 又因为AC ⊂平面ABC ， 所以AD AC ⊥．36．【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ， 所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处． 因为107AC =40AM =． 所以2240(107)30MN =-=，从而3sin 4MAC ∠=． 记AM 与水平的交点为1P ，过1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足， 则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =， 从而11116sin PQ AP MAC==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm.（2）如图，O ，1O 是正棱台的两底面中心. 由正棱台的定义，1OO ⊥平面 EFGH ， 所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1OO ⊥EG . 同理，平面11E EGG ⊥平面1111E F G H ，1OO ⊥11E G . 记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处.过G 作GK ⊥11E G ，K 为垂足， 则GK =1OO =32. 因为EG = 14，11E G = 62，所以1KG =6214242-=，从而222211 243240GG KG GK =+=+=. 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠.因为2απ<<π，所以3cos 5α=-.在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=. 因为02βπ<<，所以24cos 25β=. 于是sin sin()sin()sin cos cos sin NEG αβαβαβαβ=π--=+=+∠42473(35)525255=⨯+-⨯=. 记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22P Q EG ⊥，2Q 为垂足，则 22P Q ⊥平面EFGH ，故22P Q =12，从而 2EP =2220sin P NEGQ =∠.答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.37．【解析】（Ⅰ）证明：因BD EF //，所以EF 与BD 确定一个平面，连接DE ，因为E EC AE ,= 为AC 的中点，所以AC DE ⊥；同理可得AC BD ⊥，又因为D DE BD = ，所以⊥AC 平面BDEF ，因为⊂FB 平面BDEF ，FB AC ⊥．（Ⅱ）设FC 的中点为I ，连HI GI ,，在CEF ∆中，G 是CE 的中点，所以EF GI //，又DB EF //，所以DB GI //；在CFB ∆中，H 是FB 的中点，所以BC HI //，又I HI GI = ，所以平面//GHI 平面ABC ，因为⊂GH 平面GHI ，所以//GH 平面ABC ．38．【解析】（Ⅰ）证明：取BD 的中点为O ，连接OG OE ,，在BCD ∆中，因为G 是BC 的中点，所以DC OG //且121==DC OG ，又因为DC AB AB EF //,//，所以OG EF //且OG EF =，即四边形OGFE 是平行四边形，所以OE FG //，又⊄FG 平面BED ，⊂OE 平面BED ，所以//FG 平面BED ．（Ⅱ）证明：在ABD ∆中，060,2,1=∠==BAD AB AD ，由余弦定理可3=BD ，进而可得090=∠ADB ，即AD BD ⊥，又因为平面⊥AED 平面⊂BD ABCD ,平面ABCD ；平面 AED 平面AD ABCD =，所以⊥BD 平面AED .又因为⊂BD 平面BED ，所以平面⊥BED 平面AED ．（Ⅲ）解：因为AB EF //，所以直线EF 与平面BED 所成角即为直线AB 与平面BED 所成角.过点A 作DE AH ⊥于点H ，连接BH ，又因为平面 BED 平面ED AED =，由（Ⅱ）知⊥AH 平面BED ，所以直线AB 与平面BED 所成角即为ABH ∠.在ADE ∆中，6,3,1===AE DE AD ，由余弦定理可得32cos =∠ADE ，所以35sin =∠ADE ，因此35sin =∠⋅=ADE AD AH ，在AHB Rt ∆中，65sin ==∠AB AH ABH ，所以直线AB与平面BED 所成角的正弦值为65． 39．【解析】（Ⅰ）因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以.AB PD ⊥因为D 在平面PAB 内的正投影为E ，所以.AB DE ⊥ 所以AB ⊥平面PED ，故.AB PG ⊥又由已知可得，PA PB =，从而G 是AB 的中点.（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.理由如下：由已知可得PB PA ⊥，⊥PB PC ，又//EF PB ,所以EF PA ⊥，EF PC ⊥,因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.连接CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心. 由（Ⅰ）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故2.3=CD CG 由题设可得⊥PC 平面PAB ，⊥DE 平面PAB ，所以//DE PC ，因此21,.33==PE PG DE PC 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6=PA ，可得2, 2.==DE PE 在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF 所以四面体PDEF 的体积114222.323=⨯⨯⨯⨯=V 40．【解析】（Ⅰ）由已知得，,AC BD AD CD ⊥=， 又由=AE CF 得=AE CFAD CD，故//.AC EF 由此得,'⊥⊥EF HD EF HD ，所以//.'AC HD（Ⅱ）由//EF AC 得1.4==OH AE DO AD 由5,6==AB AC 得22 4.==-=DO BO AB AO所以1, 3.'===OH D H DH于是22222(22)19,''+=+==OD OH D H 故.'⊥OD OH由（Ⅰ）知'⊥AC HD ，又,'⊥=AC BD BD HD H ，所以⊥AC 平面,'BHD 于是.'⊥AC OD 又由,'⊥=OD OH AC OH O ，所以，'⊥OD 平面.ABC又由=EF DH AC DO 得9.2=EF 五边形ABCFE 的面积11969683.2224=⨯⨯-⨯⨯=S所以五棱锥D ABCEF '-体积16923222.342=⨯⨯=V 41．【解析】（Ⅰ）由已知得232==AD AM ，取BP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知BC TN //，221==BC TN . 又BC AD //，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //. 因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB .（Ⅱ）因为⊥PA 平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为PA 21．取BC 的中点E ，连结AE .由3==AC AB 得BC AE ⊥，522=-=BE AB AE .由BC AM ∥得M 到BC 的距离为5，故525421=⨯⨯=∆BCM S .所以四面体BCM N -的体积354231=⨯⨯=∆-PA S V BCM BCM N . 42．【解析】（Ⅰ）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ， 因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE ，故AC ⊥平面BED ． 又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED ． （Ⅱ）设AB =x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC =120°， 可得AGGC =32x ，GB GD ==2x． 因为AE ⊥EC ，所以在Rt ∆AEC 中，可得3=EG x ． 由BE ⊥平面ABCD ，知ΔEBG 为直角三角形，可得2=BE x ． 由已知得，三棱锥E ACD -的体积3116632E ACD V AC GD BE x -=⨯⋅⋅==． 故2x =．从而可得=6AE EC ED ==．所以ΔAEC 的面积为3，ΔEAD 的面积与ΔECD 的面积均为5． 故三棱锥E ACD -的侧面积为3+25． 43．【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图（Ⅱ）作EM AB ⊥，垂足为M ，则14AM A E ==，112EB =，18EM AA ==．因为EHGF 为正方形，所以10EH EF BC ===．于是226MH EH EM =-=，10AH =，6HB ．因为长方形被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97（79也正确）．44．【解析】（Ⅰ）设AC BE O =，连结OF ，EC ，由于E 为AD 的中点，1,//2AB BC AD AD BC ==， 所以//,AE BC AE AB BC ==,因此四边形ABCE 为菱形，所以O 为AC 的中点，又F 为PC 的中点， 因此在PAC ∆中，可得//AP OF .又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，所以AP ∥平面BEF .（Ⅱ）由题意知，//,ED BC ED BC =，所以四边形BCDE 为平行四边形， 因此//BE CD ．又AP ⊥平面PCD ，所以AP CD ⊥，因此AP BE ⊥． 因为四边形ABCE 为菱形，所以BE AC ⊥. 又APAC A =，AP ，AC ⊂平面P AC ，所以BE ⊥平面PAC ．45．【解析】（Ⅰ）∵D E ，为PC AC ，中点，∴DE ∥P A ， ∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，∴P A ∥平面DEF ， （Ⅱ）∵D E ，为PC AC ，中点，∴132DE PA ==， ∵E F ，为AC AB ，中点，∴142EF BC ==， ∴222DE EF DF +=，∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF ， ∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥， ∵ACEF E =，∴DE ⊥平面ABC ，∵DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC ． 46．【解析】（Ⅰ）连接BD 交AC 于点O ，连结EO ． 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点。
