空间点、直线、平面之间的位置关系测试题(含答案)

空间点、直线、平面之间的位置关系（习题）1.判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”（1）有三个公共点的两个平面必重合．（）（2）空间中两条平行直线确定一个平面．（）（3）空间两两相交的三条直线确定一个平面．（）（4）三角形是平面图形．（）（5）平行四边形、梯形、四边形都是平面图形．（）（6）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（）（7）垂直于同一直线的两直线平行．（）（8）一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交．（）2.已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列理解错误的是（）A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β=直线MNC．M∈α，M∈β，α∩β=l⇒M∈lD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合3.l1，l2，l3是空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面4.已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，有下列命题：①若a∥c，b∥c，则a∥b；②若a∥β，b∥β，则a∥b；③若a∥c，c∥α，则a∥α；④若a∥β，a∥α，则α∥β．其中正确的是（）A．①②B．①C．②④D．③④5.如图，在空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且PQ=2，QR=5，PR=3，则异面直线AC和BD 所成的角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°第5题图第6题图6.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1两个面上成异面关系的两条对角线所成的角为（）A．60°B．90°C．60°或90°D．30°7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=4，AD=2，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则直线A1E，FG所夹的角为_______．8.将正方体的纸盒展开（如图），则直线AB，CD在原正方体中所成的角为________．9.如图，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若AC=BD=a，且AC与BD所成的角为60°，则四边形EFGH的面积是________．10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：四边形BFD1E是平行四边形．11.如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，求：（1）AA′和C′D′所成角的大小；（2）AA′和B′C所成角的大小；（3）A′B和B′C所成角的大小．12.如图，△ABC在平面α外，直线AB∩平面α=P，直线AC∩平面α=Q，直线BC∩平面α=R，求证：P，Q，R三点共线．【参考答案】1.×√×√××××2.B3.B4.B5.A6.C7.90°8.60°9.238a 10.略11.（1）90°；（2）45°；（3）60°12.略。

点、直线、平面之间的位置关系测试测试题(时间：120分钟总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线是异面直线；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．其中正确的命题是()A．①②B．②④C．①③D．②③答案：B2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是() A．平行B．相交C．平行或相交D．不相交解析：由棱台的定义知，各侧棱的延长线交于一点，所以选B.答案：B3．一直线l与其外三点A，B，C可确定的平面个数是()A．1个B．3个C．1个或3个D．1个或3个或4个解析：当A、B、C共线且与l平行或相交时，确定一个平面；当A、B、C共线且与l 异面时，可确定3个平面；当A、B、C三点不共线时，可确定4个平面．答案：D4．若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是()A．三条交线为异面直线B．三条交线两两平行C．三条交线交于一点D．三条交线两两平行或交于一点答案：D5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，P A⊥面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是()A．5 B．8C．10 D．6解析：这些直角三角形是：△P AB，△P AD，△P AC，△BAC，△BAD，△CAD，△PBD，△PCD.共8个．答案：B6．下列命题正确的有()①若△ABC在平面α外，它的三条边所在直线分别交α于P、Q、R，则P、Q、R三点共线．②若三条平行线a、b、c都与直线l相交，则这四条直线共面．③三条直线两两相交，则这三条直线共面．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：易知①与②正确，③不正确．答案：C7．若平面α⊥平面β，α∩β＝l，且点P∈α，P∉l，则下列命题中的假命题是()A．过点P且垂直于α的直线平行于βB．过点P且垂直于l的直线在α内C．过点P且垂直于β的直线在α内D．过点P且垂直于l的平面垂直于β答案：B8．如右图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM()A．与AC、MN均垂直相交B．与AC垂直，与MN不垂直C．与MN垂直，与AC不垂直D．与AC、MN均不垂直解析：易证AC⊥面BB1D1D，OM⊂面BB1D1D，∴AC⊥OM.计算得OM2＋MN2＝ON2＝5，∴OM⊥MN.答案：A9．(2010·江西高考)如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．其中真命题是()A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③解析：将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转任意非零的角度，所得平面与直线AB，B1C1都相交，故③错误，排除A，B，D.答案：C10．已知平面α外不共线的三点A、B、C到α的距离相等，则正确的结论是() A．平面ABC必平行于αB．平面ABC必不垂直于αC．平面ABC必与α相交D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内解析：排除A、B、C，故选D.答案：D11．(2009·广东高考)给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④答案：D12．(2009·海南、宁夏高考)如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝12，则下列结论错误的是()A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A—BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等解析：易证AC⊥平面BB1D1D，∴AC⊥BE. ∵EF在直线B1D1上，易知B1D1∥面ABCD，∴EF∥面ABCD，V A－BEF＝13×12×12×1×22＝224.∴A、B、C选项都正确，由排除法即选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)13．已知A、B、C、D为空间四个点，且A、B、C、D不共面，则直线AB与CD的位置关系是________．解析：如图所示：由图知，AB与CD为异面直线．答案：异面14．在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，如果EH、FG相交于一点M，那么M一定在直线________上．答案：BD15．如下图所示，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕．使△ABD和△ACD 折成互相垂直的两个平面，则：(1)BD 与CD 的关系为________． (2)∠BAC ＝________. 解析：(1)AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴BD ⊥AD ，CD ⊥AD ，∴∠BDC 为二面角的平面角，∠BDC ＝90°， ∴BD ⊥DC .(2)设等腰直角三角形的直角边长为a ，则斜边长为2a . ∴BD ＝CD ＝22a . ∴折叠后BC ＝⎝⎛⎭⎫22a 2＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝a . ∴折叠后△ABC 为等边三角形．∴∠BAC ＝60°. 答案：(1)BD ⊥CD (2)60°16．在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，过对角线BD ′的一个平面交AA ′于E ，交CC ′于F ，则①四边形BFD ′E 一定是平行四边形． ②四边形BFD ′E 有可能是正方形．③四边形BFD ′E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形． ④平面BFD ′E 有可能垂直于平面BB ′D .以上结论正确的为__________．(写出所有正确结论的编号) 解析：如图所示：∵BE ＝FD ′，ED ′＝BF ，∴四边形BFD ′E 为平行四边形．∴①正确．②不正确(∠BFD ′不可能为直角)．③正确(其射影是正方形ABCD )．④正确．当E 、F 分别是AA ′、CC ′中点时正确．答案：①③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如下图，已知ABCD 是矩形，E 是以CD 为直径的半圆周上一点，且面CDE ⊥面ABCD .求证：CE ⊥平面ADE . 证明：⎭⎪⎬⎪⎫面ABCD ⊥面CED ABCD 为矩形⎭⎪⎬⎪⎫⇒AD ⊥面CDE ⇒AD ⊥CE点E 在直径为CD 的半圆上⇒CE ⊥ED 又AD ∩ED ＝D⇒CE ⊥面ADE .18．(12分)求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形． 已知：如图，三棱锥S —ABC ，SC ∥截面EFGH ，AB ∥截面EFGH . 求证：截面EFGH 是平行四边形． 证明：∵SC ∥截面EFGH ，SC ⊄平面EFGH ，SC ⊂平面ASC ，且平面ASC ∩平面EFGH ＝GH ， ∴SC ∥GH .同理可证SC ∥EF ，∴GH ∥EF . 同理可证HE ∥GF .∴四边形EFGH 是平行四边形．19．(12分)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，如图．(1)求证：MN ∥面BB 1C 1C ； (2)求MN 的长．解：(1)证明：作NP ⊥AB 于P ，连接MP .NP ∥BC ，∴APAB＝ANAC＝A1MA1B，∴MP∥AA1∥BB1，∴面MPN∥面BB1C1C.MN⊂面MPN，∴MN∥面BB1C1C.(2)NPBC＝ANAC＝23a2a＝13，NP＝13a，同理MP＝23a.又MP∥BB1，∴MP⊥面ABCD，MP⊥PN.在Rt△MPN中MN＝49a2＋19a2＝53a.20．(12分)(2009·浙江高考)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．解：(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，又PQ⊄平面ACD，从而PQ∥平面ACD.(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB. 因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB.故CQ⊥平面ABE.由(1)有PQ∥DC，又PQ＝12EB＝DC，所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ，因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角，在Rt△DP A中，AD＝5，DP＝1，sin∠DAP＝5 5，因此AD和平面ABE所成角的正弦值为5 5.21．(12分)如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD 的中点．求证：(1)直线EF∥面ACD.(2)平面EFC⊥平面BCD.证明：(1)在△ABD中，∵E、F分别是AB、BD的中点，∴EF∥AD.又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，∴直线EF∥面ACD.(2)在△ABD中，∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.在△BCD中，∵CD＝CB，F为BD的中点，∴CF⊥BD.∵CF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFC，又∵BD ⊂平面BCD ， ∴平面EFC ⊥平面BCD .22．(12分)(2010·安徽文)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB ＝2EF ＝2，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，H 为BC 的中点．(1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求四面体B —DEF 的体积．解：(1)证明：设AC 与BD 交于G ，则G 为AC 中点，连接EG ，GH ，由于H 为BC 中点，故GH 綊12AB .又∵EF 綊12AB ，∴EF 綊GH ，∴四边形EFHG 为平行四边形，∴EG ∥FH ，而EG ⊂平面EDB ，FH ⊄平面EDB ， ∴FH ∥平面EDB .(2)证明：由于四边形ABCD 为正方形，∴AB ⊥BC ， ∵EF ∥AB ，∴EF ⊥BC ，而EF ⊥FB ， ∴EF ⊥平面BFC ， ∴EF ⊥FH ，∴AB ⊥FH .∵BF ＝FC ，H 为BC 中点，∴FH ⊥BC ， ∴FH ⊥平面ABCD ，∴FH ⊥AC ，∵FH ∥EG ，∴AC ⊥EG . ∵AC ⊥BD ，EG ∩BD ＝G ，∴AC ⊥平面EDB . (3)∵EF ⊥FB ，∠BFC ＝90°，∴BF ⊥平面CDEF ， ∴BF 是四面体B —DEF 的高， ∵BC ＝AB ＝2，∴BF ＝FC ＝ 2. ∴V B －DEF ＝13×12×1×2×2＝13.。

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面 ●知识梳理12 三个公理：（1符号表示为A ∈lB ∈l=> l α⊂A ∈αB ∈α【公理1作用】判断直线是否在平面内.（2符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

【公理2作】确定一个平面的依据。

（3符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L LA· αC·B ·A· α1．已知m，n分别是两条不重合的直线，a，b分别垂直于两不重合平面α，β，有以下四个命题：①若m⊥α，n∥b，且α⊥β，则m∥n；②若m∥a，n∥b，且α⊥β，则m⊥n；③若m∥α，n∥b，且α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，n⊥b，且α⊥β，则m∥n．其中真命题的序号是（）A．①②B．③④C．①④D．②③2．在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线3．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面4．下面四个说法中，正确的个数为（）（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合（2）两条直线可以确定一个平面（3）若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，则（）A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能6．若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线B．若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线C．已知α、β互相垂直，m、n互相垂直，若m⊥α，n⊥βD．m、n在平面α内的射影互相垂直，则m、n互相垂直7．已知平面α，β，γ，直线m，l，点A，有下面四个命题，其中正确的命题是（）A．若l⊂α，m∩α=A，则l与m必为异面直线B．若l∥α，l∥m，则m∥αC．若l⊂α，m⊂β，l∥β，m∥α，则α∥βD．若α⊥γ，γ∩α=m，γ∩β=l，l⊥m，则l⊥α8．已知α，β为互不重合的平面，m，n为互不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，，则α∥β；③若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；④若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β．其中所有正确命题的序号是（）A．①③B．②④C．①④D．③④二．填空题9．（文）平面上三条直线x+2y-1=0，x+1=0，x+ky=0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为．（将你认为所有正确的序号都填上）①0 ②1/2 ③1 ④2 ⑤3．10．空间中有7个点，其中有3个点在同一直线上，此外再无任何三点共线，由这7个点最多可确定个平面．三．解答题1．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线．2．四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF：FC=2：3．DH：HA=2：3．（1）证明：点G、E、F、H四点共面；（2）证明：EF、GH、BD交于一点．2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

第二章 直线与平面的位置关系 测试题一、选择题 1．设，为两个不同的平面，l ，m 为两条不同的直线，且l ⊂，m ⊂β，有如下的两个命题：①若∥，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则⊥．那么( )．A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题2．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是( )． A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1角为60° 3．关于直线m ，n 与平面，，有下列四个命题：①m ∥，n ∥且∥，则m ∥n ； ②m ⊥，n ⊥且⊥，则m ⊥n ； ③m ⊥，n ∥且∥，则m ⊥n ；④m ∥，n ⊥且⊥，则m ∥n ．其中真命题的序号是( )． A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③4．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线l 1，l 2与同一平面所成的角相等，则l 1，l 2互相平行④若直线l 1，l 2是异面直线，则与l 1，l 2都相交的两条直线是异面直线 其中假．命题的个数是( )． A ．1B ．2C ．3D ．45．下列命题中正确的个数是( )．(第2题)①若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行④若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点A．0个B．1个C．2个D．3个6．两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面( )．A．不存在B．有唯一的一个C．有无数个D．只有两个7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )．A．90°B．60°C．45°D．30°8．下列说法中不正确的．．．．是( )．A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直9．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直其中真命题的个数是( )．A．4 B．3 C．2 D．110．异面直线a ，b 所成的角60°，直线a ⊥c ，则直线b 与c 所成的角的范围为( )．A ．[30°，90°] B．[60°，90°] C ．[30°，60°]D ．[30°，120°] 二、填空题11．已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，则这个三棱锥的体积为 ．12．P 是△ABC 所在平面外一点，过P 作PO ⊥平面，垂足是O ，连PA ，PB ，PC ．(1)若PA ＝PB ＝PC ，则O 为△ABC 的 心； (2)PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，PC ⊥PB ，则O 是△ABC 的 心；(3)若点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等，则O 是△ABC 的 心； (4)若PA ＝PB ＝PC ，∠C ＝90º，则O 是AB 边的 点； (5)若PA ＝PB ＝PC ，AB ＝AC ，则点O 在△ABC 的 线上． 13．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点，将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为 ．14．直线l 与平面 所成角为30°，l ∩＝A ，直线m ∈，则m 与l 所成角的取值范围 是 ．15．棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各面引垂线，垂线段长度分别为d 1，d 2，d 3，d 4，则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为 ．16．直二面角－l －的棱上有一点A ，在平面，内各有一条射线AB ，AC 与l 成45°，AB ⊂，AC ⊂，则∠BAC ＝ ．J(第13题)三、解答题17．在四面体ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形． (1)求证：BC ⊥AD ；(2)若点D 到平面ABC 的距离等于3，求二面角A －BC －D 的正弦值；(3)设二面角A －BC －D 的大小为，猜想为何值时，四面体A －BCD 的体积最大．(不要求证明)18． 如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点，连结ED ，EC ，EB 和DB ．(1)求证：平面EDB ⊥平面EBC ； (2)求二面角E －DB －C 的正切值.(第18题)(第17题)19*．如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，1．SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝１，AD＝(1)求四棱锥S—ABCD的体积；(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．(提示：延长BA，CD相交于点E，则直线SE是所求二面角的棱.)(第19题)20*．斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积．(提示：在AA1上取一点P，过P作棱柱的截面，使AA1垂直于这个截面.)(第20题)第二章点、直线、平面之间的位置关系参考答案一、选择题1．D 解析：命题②有反例，如图中平面∩平面＝直线n，l ⊂，m⊂，且l∥n，m⊥n，则m⊥l，显然平面不垂直平面，(第1题)故②是假命题；命题①显然也是假命题，2．D解析：异面直线AD与CB1角为45°．3．D解析：在①、④的条件下，m，n的位置关系不确定．4．D解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确，故选择答案D．5．B解析：学会用长方体模型分析问题，A1A有无数点在平面ABCD外，但AA1与平面ABCD相交，①不正确；A1B1∥平面ABCD，显然A1B1不平行于BD，②不正确；A1B1∥AB，A1B1∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD内，③不正确；l与平面α平行，则l与无公共点，l与平面内的所有直线都没有公共点，④正确，应选B． (第5题)6．B解析：设平面过l1，且l2∥，则l1上一定点P与l2确定一平面，与的交线l3∥l2，且l3 过点P. 又过点P与l2平行的直线只有一条，即l3有唯一性，所以经过l1和l3的平面是唯一的，即过l1且平行于l2的平面是唯一的.7．C解析：当三棱锥D－ABC体积最大时，平面DAC⊥ABC，取AC的中点O，则△DBO是等腰直角三角形，即∠DBO＝45°．8．D解析：A．一组对边平行就决定了共面；B．同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C．这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D．把书本的书脊垂直放在桌上就明确了．9．B 解析：因为①②④正确，故选B ．10．A 解析：异面直线a ，b 所成的角为60°，直线c ⊥a ，过空间任一点 P ，作直线 a ’∥a ， b ’∥b ， c ’∥c . 若a ’，b ’，c ’ 共面则 b ’ 与 c ’ 成 30° 角，否则 b ’ 与 c ’ 所成的角的范围为(30°，90°]，所以直线b 与c 所成角的范围为[30°，90°] ．二、填空题 11．313212S S S ．解析：设三条侧棱长为 a ，b ，c ．则 21ab ＝S 1，21bc ＝S 2，21ca ＝S 3 三式相乘： ∴ 81a 2 b 2 c 2＝S 1S 2S 3， ∴ abc ＝23212S S S ． ∵ 三侧棱两两垂直， ∴ V ＝31abc ·21＝313212S S S ．12．外，垂，内，中，BC 边的垂直平分．解析：(1)由三角形全等可证得 O 为△ABC 的外心；(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的垂心； (3)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的内心； (4)由三角形全等可证得，O 为 AB 边的中点；(5)由(1)知，O 在 BC 边的垂直平分线上，或说 O 在∠BAC 的平分线上． 13．60°．解析：将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为60°．14．[30°，90°]．解析：直线l 与平面所成的30°的角为m 与l所成角的最小值，当m 在内适当旋转就可以得到l ⊥m ，即m 与l 所成角的的最大值为90°．15．36．解析：作等积变换：4331⨯×(d 1＋d 2＋d 3＋d 4)＝4331⨯·h ，而h ＝36． 16．60°或120°．解析：不妨固定AB ，则AC 有两种可能． 三、解答题17．证明：(1)取BC 中点O ，连结AO ，DO ． ∵△ABC ，△BCD 都是边长为4的正三角形， ∴AO ⊥BC ，DO ⊥BC ，且AO ∩DO ＝O ， ∴BC ⊥平面AOD ．又AD ⊂平面AOD ，∴BC ⊥AD ． (第17题) 解：(2)由(1)知∠AOD 为二面角A －BC －D 的平面角，设∠AOD ＝，则过点D 作DE ⊥AD ，垂足为E ．∵BC ⊥平面ADO ，且BC ⊂平面ABC ，∴平面ADO ⊥平面ABC ．又平面ADO ∩平面ABC ＝AO ， ∴DE ⊥平面ABC ．∴线段DE 的长为点D 到平面ABC 的距离，即DE ＝3． 又DO ＝23BD ＝23，在Rt △DEO 中，sin＝DODE ＝23，故二面角A －BC －D 的正弦值为23．(3)当 ＝90°时，四面体ABCD 的体积最大．18．证明：(1)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点．∴△DD 1E 为等腰直角三角形，∠D 1ED ＝45°．同理∠C 1EC ＝45°．∴︒=∠90DEC ，即DE ⊥EC ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，BC ⊥平面11DCC D ，又DE ⊂平面11DCC D ， ∴BC ⊥DE ．又C BC EC = ，∴DE ⊥平面EBC ．∵平面DEB 过DE ，∴平面DEB ⊥平面EBC ．(2)解：如图，过E 在平面11DCC D 中作EO ⊥DC 于O ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，∵面ABCD⊥面11DCC D ，∴EO ⊥面ABCD ．过O 在平面DBC 中作OF ⊥DB 于F ，连结EF ，∴EF ⊥BD ．∠EFO为二面角E －DB －C 的平面角．利用平面几何知识可得OF ＝51， (第18题)又OE ＝1，所以，tan ∠EFO ＝5．19*．解：(1)直角梯形ABCD 的面积是M 底面＝AB AD BC ⋅)(＋21＝43＝1221＋1⨯，∴四棱锥S —ABCD 的体积是V ＝31·SA ·M 底面＝31×1×43＝41． (2)如图，延长BA ，CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱． ∵AD ∥BC ，BC ＝2AD ， ∴EA ＝AB ＝SA ，∴SE ⊥SB∵SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线． 又BC ⊥EB ，∴BC ⊥面SEB ，故SB 是SC 在面SEB 上的射影，∴CS ⊥SE ，∠BSC 是所求二面角的平面角． ∵SB ＝22＋AB SA ＝2，BC ＝1，BC ⊥SB ， ∴tan ∠BSC ＝22＝SB BC ， (第19题)即所求二面角的正切值为22． 20*．解：如图，设斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BB 1C 1C 的面积为10，A 1A 和面BB 1C 1C 的距离为6，在AA 1上取一点P 作截面PQR ，使AA 1⊥截面PQR ，AA 1∥CC 1，∴截面PQR ⊥侧面BB 1C 1C ，过P 作PO ⊥QR 于O ，则PO ⊥侧面BB 1C 1C ，且PO ＝6．∴V 斜＝S △PQR ·AA 1＝21·QR ·PO ·AA 1＝21·PO ·QR ·BB 1 ＝21×10×6 ＝30．(第20题)。

高一数学点直线平面之间的地位关系强化演习题一.选择题1．已知平面α外不共线的三点,,A B C 到α的距离都相等,则准确的结论是（ ）A. 平面ABC 必平行于αB. 平面ABC 必与α订交C. 平面ABC 必不垂直于αD. 消失ABC ∆的一条中位线平行于α或在α内2．给出下列关于互不雷同的直线l.m.n 和平面α.β.γ的三个命题: ①若l 与m 为异面直线,l ⊂α,m ⊂β,则α∥β; ②若α∥β,l ⊂α,m ⊂β,则l∥m;③若α∩β＝l,β∩γ＝m,γ∩α＝n,l∥γ,则m∥n. 个中真命题的个数为( )A.3B.2 C3．假如一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面组成一个“正交线面临”.在一个正方体中,由两个极点肯定的直线与含有四个极点的平面组成的“正交线面临”的个数是（ ）（A ）48 （B ）18 （C ）24 （D ）364． 已知二面角l αβ--的大小为060,m n 、为异面直线,且m n αβ⊥⊥，,则m n 、所成的角为（ ）（A ）030 （B ）060 （C ）090 （D ）0120 5．如图,点P 在正方形ABCD 地点的平面外,PD⊥平面ABCD,PD ＝AD,则PA 与BD 所成角的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.90°7．设m .n 是两条不合的直线,α.β是两个不合的平面.考核下列命题,个中准确的命题是（ ）A ．βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,,B ．n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//C ．n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,,D ．ββαβα⊥⇒⊥=⊥n m n m ,,8．设A.B.C.D 是空间四个不合的点,鄙人列命题中,不准确．．．的是（ ）A ．AC 与BD 共面,则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线,则AD 与BC 是异面直线C ．若AB =AC ,DB =DC ,则AD =BC D ．若AB =AC ,DB =DC ,则AD ⊥BC9．若l 为一条直线,αβγ，，为三个互不重合的平面,给出下面三个命题：①αγβγαβ⊥⊥⇒⊥，;②αγβγαβ⊥⇒⊥，∥;③l l αβαβ⊥⇒⊥，∥． 个中准确的命题有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．如图,在正三棱锥P —ABC 中,E.F 分离是PA.AB 的中点,∠CEF＝90°,若AB ＝a,则该三棱锥的周全积为( ) A.2233a + B.2433a + C.243a D.2436a + 11．如图,正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都为2,E F 、分离为AB.A 1C 1的中点,则EF 的长是（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）712．若P 是平面α外一点,则下列命题准确的是（ ）（A ）过P 只能作一条直线与平面α订交 （B ）过P 可作很多条直线与平面α垂直（C ）过P 只能作一条直线与平面α平行 （D ）过P 可作很多条直线与平面α平行13．对于随意率性的直线l 与平面α,在平面α内必有直线m ,使m 与l （ ）（A ）平行 （B ）订交 （C ）垂直 （D ）互为异面直线14．对于平面α和共面的直线m .,n 下列命题中真命题是（ ）（A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n（C ）若,m n αα⊂∥,则m ∥n （D ）若m .n 与α所成的角相等,则m ∥n15．关于直线m .n 与平面α.β,有下列四个命题：① 若//m α,//n β且//αβ,则//m n ;② 若m α⊥,n β⊥且αβ⊥,则m n ⊥; ③ 若m α⊥,//n β且//αβ,则m n ⊥;④ 若//m α,n β⊥且αβ⊥,则//m n . 个中真命题的序号式（ ）A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③16．给出下列四个命题：①垂直于统一向线的两条直线互相平行②垂直于统一平面的两个平面互相平行平③若直线12,l l 与统一平面所成的角相等,则12,l l 互相行④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都订交的两条直线是异面直线 个中假命题．．．的个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）417．如图平面α⊥平面β, ,,A B AB αβ∈∈与两平面α.β所成的角分离为4π和6π.过A.B 分离作两平面交线的垂线,垂足为'A .B ',若AB=12,则''A B =（ ）（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）A'B'A B βα18．已知正四棱锥S ABCD-中,23SA=,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为（）A．1 B．3C． 2 D．319．已知三棱锥S ABC-中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC,SA=3,那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A．34B5C．7D．3420．有四根长都为2的直铁条,若再选两根长都为a的直铁条,使这六根铁条端点处相连可以或许焊接成一个三棱锥形的铁架,则a的取值规模是（）A．（62B．（1,22C．6262D．（0,22）21．在半径为R的球内有一内接正三棱锥,它的底面三个极点正好都在统一个大圆上,一个动点从三棱锥的一个极点动身沿球面活动,经由其余三点后返回,则经由的最短旅程是（）A．2RπB．73RπC．83RπD．76Rπ22．已知,,,S A B C是球O概况上的点,SA ABC⊥平面,AB BC⊥,1SA AB==,2BC=则球O的概况积等于（）A．4πB．3πC．2πD．π23．将半径都为１的４个钢球完整装入外形为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为（ ）A ．3263+ B ．2+263C ．4+263D ．43263+24.如图,正方体AC 1的棱长为1,过点A 作平面A 1BD 的垂线,垂足为点H,则以下命题中,错误的命题是( ) A.点H 是△A 11D 111所成角为45°二.填空题1．多面体上,位于统一条棱两头的极点称为相邻的,如图,正方体的一个极点A 在平面α内,其余极点在α的同侧,正方体上与极点A 相邻的三个极点到α的距离分离为1,2和4,P 是正方体的其余四个极点中的一个,则P 到平面α的距离可能是：①3; ②4; ③5; ④6; ⑤7以上结论准确的为______________.（写出所有准确结论的编号．．）2．平行四边形的一个极点A 在平面α内,其余极点在α的同侧,已知个中有两个极点到α的距离分离为1和2 ,那么剩下的一个极点到平面α的距离可能是：①1; ②2; ③3; ④4;以上结论准确的为______________.（写出所有准确结论的编号．．）3．如图,在正三棱柱111ABC A B C -中,所有棱长均为1,则点1B 到平面1ABC 的距离为 .4．已知,,A B C 三点在球心为O ,半径为R 的球面上,AC BC ⊥,且AB R =,那么,A B 两点的球面距离为 ,球心到平面ABC 的距离为______________.5．如图,在正三棱柱111C B A ABC -中,1=AB ．若二面角1C AB C --的大小为 60,ABC Dα则点C 到平面1ABC 的距离为______________.6．如图（同理科图）,在正三棱柱111ABC A B C -中,1AB =．若二面角1C AB C --的大小为60,则点1C 到直线AB 的距离为 .7．（如图,在6题上）正四面体ABCD 的棱长为l,棱AB ∥平面α,则正四面体上的所有点在平面α内的射影组成的图形面积的取值规模是____________.8．如图,矩形ABCD 中,DC=3,AD=1,在DC 上截取DE=1,将△ADE 沿AE 翻折到D 1点,点D 1在平面ABC 上的射影落在AC 上时,二面角D 1—AE —B 的平面角的余弦值是 .9．若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α,则cos α=_____.10．已知正四棱椎的体积为12,地面的对角线为26,则正面与底面所成的二面角为____________.11．m n 、是空间两条不合直线,αβ、是空间两条不合平面,下面有四个命题： ①,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥, ②,,;m n m n αβαβ⊥⊥⇒　③,,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ④,,;m m n n ααββ⊥⇒⊥　个中真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）.12．如图,已知三棱锥S －ABC 中,底面ABC 为边长等于2的等边三角形,SA ⊥底面ABC ,SA ＝3,那么直线SB 与平面SAC 所成角的正弦值为________． 三.解答题：13.如图,正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝2AB ＝4,点E 在C 1C上且C1E＝3EC.(1)证实A1C⊥平面BED;(2)求二面角A1-DE-B的正切值..在正△ABC中,E.F.P分离是AB.AC.BC边上的点,知足AE∶EB＝CF∶FA＝CP∶PB＝1∶2〔如图(1)〕.将△AEF沿EF折起到△A1EF的地位,使二面角A1-EF-B成直二面角,贯穿连接A1B.A1P〔如图(2)〕.(1)求证:A1E⊥平面BEP;(2)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小;(3)求二面角B-A1P-F的余弦值.一.选择题1．D 2．C 3．D 4．B 5．C 7．B8．C 9．C 10．B 11．C 12．D 13．C 14．C15．D 16．D 17．B18．C;19．D;20．A;21．B;22．A;23．B;二.填空题1．①③④⑤ 2．①③ 3．217 4．13Rπ32R5．34 6．3 7．21[,]428. 32-9．63 10．3π 11．①,② 12.3913解法二:(1)证实:如图,贯穿连接B1C1C是A1C在面BCC1B1内的射影,在矩形BCC1B1中,B1B＝C1C＝4,BC＝B1C1＝2,C1E＝3,EC＝1.因为211==B B BC BC CE 且∠B 1BC ＝∠BCC 1＝90°, 所以△BB 1C∽△BCE.所以∠BB 1C ＝∠CBE.所以由互余可得∠BFC ＝90°.所以BE⊥B 1C.所以BE⊥A 1C;由四边形ABCD 为正方形,所以BD⊥AC. 所以BD⊥A 1C 且BD∩BE＝B. 所以A 1C⊥平面BDE.(2)贯穿连接OE,由对称性知必交A 1C 于G 点,过G 点作GH⊥DE 于点H,贯穿连接A 1H.由(1)的结论,及三垂线定理可得,∠GHA 1就是所求二面角的平面角,依据已知数据,盘算3651=G A , 在Rt△DOE 中,1530=GH ,所以55tan 11==∠GHGA GHA . 故二面角A 1DEB 的大小为55arctan . 解法一:无妨设正△ABC 的边长为3.(1)证实:在图(1)中,取BE 的中点D,贯穿连接DF. ∵AE∶EB＝CF∶FA＝1∶2, ∴AF＝AD ＝2.而∠A＝60°, ∴△ADF 是正三角形. 又AE ＝DE ＝1,∴EF⊥AD. 在图(2)中,A 1E⊥EF,BE⊥EF,∴∠A 1EB 为二面角A 1-EF-B 的平面角. 由题设前提知此二面角为直二面角,∴A 1E⊥BE.又BE∩EF＝E,∴A 1E⊥平面BEF, 即A 1E⊥平面BEP.(2)在图(2)中,∵A 1E 不垂直于A 1B, ∴A 1E 是平面A 1BP 的斜线. 又A 1E⊥平面BEP,∴A 1E⊥BP.从而BP 垂直于A 1E 在平面A 1BP 内的射影(三垂线定理的逆定理). 设A 1E 在平面A 1BP 内的射影为A 1Q,且A 1Q 交BP 于点Q,则 ∠EA 1Q 就是A 1E 与平面A 1BP 所成的角,且BP⊥A 1Q. 在△EBP 中,∵BE＝BP ＝2,∠EBP＝60°, ∴△EBP 是等边三角形.∴BE＝EP. 又A 1E⊥平面BEP,∴A 1B ＝A 1P. ∴Q 为BP 的中点,且3=EQ . 又A 1E ＝1,在Rt△A 1EQ 中,3tan 11==∠EA EQQ EA , ∴∠EA 1Q ＝60°.∴直线A 1E 与平面A 1BP 所成的角为60°.(3)在图(3)中,过F 作FM⊥A 1P 于点M,贯穿连接QM.QF.(3)∵CF＝CP ＝1,∠C＝60°, ∴△FCP 是正三角形.∴PF＝1.又PQ ＝21BP ＝1, ∴PF＝PQ.①∵A 1E⊥平面BEP,EQ ＝EF ＝3, ∴A 1F ＝A 1Q.∴△A 1FP≌△A 1QP. 从而∠A 1PF ＝∠A 1PQ.②由①②及MP 为公共边知△FMP≌△QMP, ∴∠QMP＝∠FMP＝90°,且MF ＝MQ. 从而∠FMQ 为二面角B-A 1P-F 的平面角. 在R t△A 1QP 中,A 1Q ＝A 1F ＝2,PQ ＝1, ∴51=P A . ∵MQ⊥A 1P, ∴55211=•=P A PQ Q A MQ . ∴552=MF . 在△FCQ 中,FC ＝1,QC ＝2,∠C＝60°, 由余弦定理得3=QF . 在△FMQ 中,872cos 222-=•-+=∠MQ MF QF MQ MF FMQ .∴二面角B-A 1P-F 的大小为87arccos -π.。

第1题. 下列命题正确的是（ ） Ａ．经过三点确定一个平面Ｂ．经过一条直线和一个点确定一个平面 Ｃ．四边形确定一个平面Ｄ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面答案：Ｄ．第2题. 如图，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别 是AB ，BC ，CD ，DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形．答案：证明：连接BD ．因为EH 是ABD △的中位线，所以EH BD ∥，且． 同理，FG BD ∥，且BD ．因为EH FG ∥，且EH FG =． 所以四边形EFGH 为平行四边形．试题号：4658 知识点：空间平行线的传递性——公理4。

试题类型：解答题 试题难度：容易 考查目标：基础知识 录入时间：2006-1-6第3题. 如图，已知长方体ABCD A BC D ''''-中，AB =AD =2AA '=． （１）BC 和A C ''所成的角是多少度？ （２）AA '和BC '所成的角是多少度？AE BHGCFD答案：（１）45þ；（２）60þ．第4题. 下列命题中正确的个数是（）①若直线l上有无数个点不在平面α内，则lα∥．②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行．③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．A．0Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3答案：Ｂ．⊄，则下列结论成立的是（）第5题. 若直线a不平行于平面α，且aαＡ．α内的所有直线与a异面Ｂ．α内不存在与a平行的直线Ｃ．α内存在唯一的直线与a平行Ｄ．α内的直线与a都相交答案：Ｂ．∥，且a与c的夹角为θ，那么b与c夹角第6题. 已知a，b，c是三条直线，角a b为．答案：θ．第7题. 如图，AA'是长方体的一条棱，这个长方体中与AA'垂直的棱共条．答案：8条．第8题. 如果a，b是异面直线，直线c与a，b都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有个．答案：2个．∥则b与α的位置关系是．第9题. 已知两条相交直线a，b，aα平面∥，或b与a相交．答案：b a第10题. 如图，三条直线两两平行且不共面，每两条确定一个平面，一共可以确定几个平面？如果三条直线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？答案：3个，3个．第11题. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行．②CN与BE是异面直线．③CN 与BM 成60˚角． ④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（ ） Ａ．①，②，③Ｂ．②，④ Ｃ．③，④Ｄ．②，③，④答案：Ｃ．第12题. 下列命题中，正确的个数为（ ）①两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；②平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变；③过空间四边形ABCD 的顶点A 引CD 的平行线段AE ，则BAE ∠是异面直线AB 与CD 所成的角；④四边相等，且四个角也相等的四边形是正方形 Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 答案：Ｂ．第13题. 在空间四边形ABCD 中，N ，M 分别是BC ，AD 的中点，则2MN 与AB CD +的大小关系是 ． 答案：2MN AB CD <+．第14题. 已知a b ，是一对异面直线，且a b ，成70角，P 为空间一定点，则在过P 点的直线中与a b ，所成的角都为70的直线有 条．答案：4．第15题. 已知平面αβ//，P 是平面αβ，外的一点，过点P 的直线m 与平面αβ，分别交于A C ，两点，过点P 的直线n 与平面αβ，分别交于B D ，两点，若698PA AC PD ===，，， 则BD 的长为 ．答案：24245或．第16题. 空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若AC BD a ==，且AC 与BD 所成的角为90，则四边形EFGH 的面积是 ． 答案：214a ．第17题. 已知正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11D C ，11C B 的中点，AC BD P = ，11AC EF Q = ．求证：（１）D ，B ，F ，E 四点共面；（２）若1AC 交平面DBFE 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线． 答案：证明：如图．（１）EF 是111D B C △的中位线，11EF B D ∴∥． 在正方体1AC 中，11B D BD ∥，∴EF BD ∥．EF ∴确定一个平面，即D ，B ，F ，E 四点共面．（２）正方体1AC 中，设11A ACC 确定的平面为α，又设平面BDEF 为β．11Q AC ∈ ，Q α∴∈．又Q EF ∈，Q β∴∈．则Q 是α与β的公共点，PQ αβ∴= ． 又1AC R β= ，1R AC ∴∈． R α∴∈，R β∈且，则R PQ ∈．故P ，Q ，R 三点共线．第18题. 已知下列四个命题： ① 很平的桌面是一个平面； ② 一个平面的面积可以是4m 2； ③ 平面是矩形或平行四边形；④ 两个平面叠在一起比一个平面厚． 其中正确的命题有（ ） Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．3个 答案：Ａ．第19题. 给出下列命题：和直线a 都相交的两条直线在同一个平面内； 三条两两相交的直线在同一平面内； 有三个不同公共点的两个平面重合； 两两平行的三条直线确定三个平面． 其中正确命题的个数是（ ） Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 答案：Ａ．第20题. 直线12l l ∥，在1l 上取3点，2l 上取2点，由这5点能确定的平面有（ ）Ａ．9个 Ｂ．6个 Ｃ．3个 Ｄ．1个 答案：Ｄ．第21题. 三条直线相交于一点，可能确定的平面有（ ） Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．1个或3个 答案：Ｄ．第22题. 下列命题中，不正确的是（ ）①一条直线和两条平行直线都相交，那么这三条直线共面； ②每两条都相交但不共点的四条直线一定共面； ③两条相交直线上的三个点确定一个平面； ④两条互相垂直的直线共面． Ａ．①与② Ｂ．③与④ Ｃ．①与③ Ｄ．②与④ 答案：Ｂ．第23题. 分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（ ） Ａ．异面直线 Ｂ．相交直线 Ｃ．不相交直线 Ｄ．不平行直线答案：Ｄ．第24题. 在长方体1111ABCD A B C D 中，点O ，1O 分别是四边形ABCD ，1111A B C D 的对角线的交点，点E ，F 分别是四边形11AA D D ，11BB C C 的对角线的交点，点G ，H 分别是四边形11A ABB ，11C CDD 的对角线的交点． 求证：1OEG O FH △≌△．答案：证明：如图，连结1AD ，AC ，1CD ，11C A ，1C B ，1BA由三角形中位线定理可知OE ∥ 112CD ，1O F ∥112BA ． 又1BA ∥1CD ，OE ∴ ∥1O F ．同理可证EG ∥FH ． 由等角定理可得1OEG O FH ∠=∠．∴1OEG O FH △≌△．第25题. 若a ，b 是异面直线，b ，c 也是异面直线，则a 与c 的位置关系是（ ） Ａ．异面 Ｂ．相交或平行 Ｃ．平行或异面 Ｄ．相交或平行或异面 答案：Ｄ．第26题. a ，b 是异面直线，A ，B 是a 上两点，C ，D 是b 上的两点，M ，N 分别是线段AC 和BD 的中点，则MN 和a 的位置关系是（ ） Ａ．异面直线 Ｂ．平行直线 Ｃ．相交直线 Ｄ．平行、相交或异面 答案：Ａ．第27题. 如下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中 ①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60þ角；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）Ａ．①②③ Ｂ．②④ Ｃ．③④ Ｄ．②③④答案：Ｃ．第28题. 直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（ ） Ａ．一条直线不相交Ｂ．两条直线不相交Ｃ．任意一条直线不相交Ｄ．无数条直线不相交答案：Ｃ．第29题. 如果直线a平行于平面α，则（）Ａ．平面α内有且只有一直线与a平行Ｂ．平面α内有无数条直线与a平行Ｃ．平面α内不存在与a平行的直线Ｄ．平面α内的任意直线与直线a都平行答案：Ｂ．第30题. 已知直线的倾斜角为α，若3sin5α=，则此直线的斜率为（）Ｃ．34±Ｄ．43±。

空间角和距离一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线m 与平面α间距离为d ，那么到m 与α距离都等于2d 的点的集合是（ ）A ．一个平面B ．一条直线C ．两条直线D ．空集 2．异面直线a 、b 所成的角为θ，a 、b 与平面α都平行，b ⊥平面β，则直线a与平面β所成的角（ ）A ．与θ相等B ．与θ互余C ．与θ互补 D ．与θ不能相等．3．在正方体ABCD —A 'B 'C 'D '中，BC '与截面BB 'D 'D 所成的角为（ ） A ．3πB ．4π C ．6πD ．arctan24．在正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点，D是EF 的中点，现在沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1，G 2，G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S －EFG中必有（ ）A ．SG ⊥△EFG 所在平面B ．SD ⊥△EFG 所在平面C ．GF ⊥△SEF 所在平面D ．GD ⊥△SEF 所在平面 5．有一山坡，它的倾斜角为30°，山坡上有一条小路与斜坡底线成45°角，某人沿这条小路向上走了200米，则他升高了（ ）A ．1002米 B ．502米 C ．256米D ．506米6．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小为 （ ）A ．arccos33 B ．arccos 31 C ．2π D ．32π7．正四面体A —BCD 中E 、F 分别是棱BC 和AD 之中点，则EF 和AB 所成的角 （ ） A ．45︒ B ．60︒ C．90︒D ．30︒8．把∠A =60°，边长为a 的菱形ABCD 沿对角线BD 折成60°的二面角，则AC 与BD 的距离为（ ）A ．43aB ．43 a C ．23 aD ．46 a9．若正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成的角为α，则下列各等式中成立的是（ ）A ．0＜α＜6πB ．6π＜α＜4πC ．4π＜α＜3πD ．3π＜α＜2π10．已知A （1，1，1），B （－1，0 ，4），C （2 ，－2，3），则〈AB ，CA〉的大小为（ ）A ．6πB ．65π C ．3πD ．32π二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．从平面α外一点P 引斜线段PA 和PB ，它们与α分别成45︒和30︒角，则∠APB 的最大值是______最小值是_______12．∆ABC 中∠ACB=90︒，PA ⊥平面ABC ，PA=2，AC=2 3 ，则平面PBC 与平面PAC ，平面ABC 所成的二角的大小分别是______、_________．13．在三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中，90=∠ABC，30=∠BAC，ＢＣ＝５，又ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ＝ＡＣ，则点Ｐ到平面ＡＢＣ的距离是 ．14．球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45°角，则这个平面截球的截面面积为 ． 三、解答题（共计76分）15．（本小题满分12分）已知SA ⊥平面ABC ，SA=AB ，AB ⊥BC ，SB=BC ，E 是SC 的中点，DE ⊥SC 交AC 于D ． （1） 求证：SC ⊥面BDE ；（2）求二面角E —BD —C 的大小．16．（本小题满分12分）如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM⊥交1AA 于点M，1BB PN ⊥交1CC 于点N．(1) 求证：MN CC ⊥1； (2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFEEF DF EFDFDE∠⋅-+=cos 2222．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．17．（本小题满分12分）如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=3．（1）求证BC SC；（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．18．（本小题满分12分）在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=90︒,AD=DC=1AB=a,(如图一)将△ADC 沿AC折起，使2D到D'．记面AC D'为α,面ABC为β．面BC D'为γ．（1）若二面角α-AC-β为直二面角（如图二），求二面角β-BC-γ的大小;（2）若二面角α-AC-β为60︒（如图三），求三棱锥D'-ABC的体积．19．（本小题满分14分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点．（1）求证AM//平面BDE；（2）求二面角A-DF-B的大小；（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60︒．20．（本题满分14分）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若a=)BNCM=<a．20(<（1）求MN的长；（2）当a为何值时，MN的长最小；（3）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小．参考答案一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．750 ,150 12．900 ,300 13．35 14．π32三、解答题（本大题共6题，共76分）15．(12分) （1）证明：（1）∵SB=BC E 是SC 的中点 ∴BE ⊥SC ∵DE ⊥SC ∴SC ⊥面BDE（2）解：由（1）SC ⊥BD ∵SA ⊥面ABC ∴SA ⊥BD ∴BD ⊥面SAC ∴∠EDC 为二面角E-BD-C 的平面角设SA=AB=a,则SB=BC=a2．,2,a SC SBC Rt =∆∴中在,30,0=∠∆∴DCESAC Rt 中在60,=∠∆∴EDC DEC Rt 中在．16．(12分) (1) 证：MNCC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ； (2)解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACCB BCCA ACCB BCCA ABBS S S S S ⋅-+=，其中α为 平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角．∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MNP ∠,在PMN ∆中，cos 2222⇒∠⋅-+=MNP MN PN MNPNPMMNPCC MN CC PN CCMN CC PN CCPM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222， 由于111111111,,BB PM S CCMN S CCPN S A ABBA ACCB BCC⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACCB BCCA ACCB BCCA ABBS S S S S ⋅-+=．17．(12分) （1）证法一：如，∵底面ABCD 是正方形， ∴BC ⊥DC ．∵SD ⊥底面ABCD ，∴DC 是SC 在平面ABCD 上的射影， 由三垂线定理得BC ⊥SC ．证法二：如图1，∵底面ABCD 是正方形， ∴BC ⊥DC ．∵SD ⊥底面ABCD ，∴SD ⊥BC ，又DC ∩SD=D ，∴BC ⊥平面SDC ，∴BC ⊥SC ．（2）解：如图2，过点S 作直线,//AD l l ∴在面ASD 上，∵底面ABCD 为正方形，l BC AD l ∴∴,////在面BSC 上，l ∴为面ASD 与面BSC 的交线．l ∴,,,,SC l SD l SC BC AD SD ⊥⊥∴⊥⊥∴∠CSD 为面ASD 与面BSC 所成二面角的平面角．（以下同解法一） （3）解1：如图2，∵SD=AD=1，∠SDA=90°， ∴△SDA 是等腰直角三角形．又M 是斜边SA 的中点，∴DM ⊥SA ．∵BA ⊥AD ，BA ⊥SD ，AD ∩SD=D ，∴BA ⊥面ASD ，SA 是SB 在面ASD 上的射影．由三垂线定理得DM ⊥SB ．∴异面直线DM 与SB 所成的角为90°．图1图2解2：如图3，取AB 中点P ，连结MP ，DP ．在△ABS 中，由中位线定理得 MP//SB ，DMP ∠∴是异面直线DM 与SB 所成的角．2321==SB MP，又,25)21(1,222=+==DP DM∴在△DMP 中，有DP 2=MP 2+DM 2，︒=∠∴90DMP∴异面直线DM 与SB 所成的角为90°．18．(12分) 解：（1）在直角梯形ABCD 中， 由已知∆DAC 为等腰直角三角形， ∴45,2=∠=CAB a AC , 过C 作CH ⊥AB ，由AB=2a ，可推得 AC=BC=.2a∴ AC ⊥BC ．取 AC 的中点E ，连结ED '，则 ED '⊥AC 又 ∵ 二面角β--AC a 为直二面角，∴ED '⊥β 又 ∵ ⊂BC 平面β ∴ BC ⊥E D ' ∴ BC ⊥a ，而a C D ⊂'，∴ BC ⊥C D ' ∴ CAD '∠为二面角γβ--BC 的平面角．由于45='∠CAD ， ∴二面角γβ--BC 为 45．（2）取AC 的中点E ，连结E D '，再过D '作β⊥'O D ，垂足为O ，连结OE ．∵ AC ⊥E D '， ∴ AC ⊥OE ∴ EOD '∠为二面角β--ACa 的平面角， ∴ EO D '∠60=． 在OE D Rt '∆中，aACE D 2221=='，∴O D S V ABC ABC D '⋅=∆-'31O D BC AC '⋅⋅⨯=2131a a a 462261⨯⨯⨯=.1263a =19．（14分）解法一: (1)记AC 与BD 的交点为O,连接OE, ∵O 、M 分别是AC 、EF 的中点，图3ACEF 是矩形，∴四边形AOEM 是平行四边形， ∴AM ∥OE ．∵⊂OE平面BDE ，⊄AM 平面BDE ，∴AM ∥平面BDE ．(2)在平面AFD 中过A 作AS ⊥DF 于S ，连结BS ，∵AB ⊥AF ， AB ⊥AD ， ,A AF AD = ∴AB ⊥平面ADF ，∴AS 是BS 在平面ADF 上的射影，由三垂线定理得BS ⊥DF ．∴∠BSA 是二面角A —DF —B 的平面角． 在RtΔASB 中，,2,36==AB AS∴,60,3tan ︒=∠=∠ASB ASB∴二面角A —DF —B 的大小为60º．（3）设CP=t （0≤t≤2）,作PQ ⊥AB 于Q ，则PQ ∥AD ， ∵PQ ⊥AB ，PQ ⊥AF ，A AFAB = ，∴PQ ⊥平面ABF ，⊂QE平面ABF ，∴PQ ⊥QF ．在RtΔPQF 中，∠FPQ=60º，PF=2PQ ． ∵ΔPAQ 为等腰直角三角形，∴).2(22t PQ -=又∵ΔPAF 为直角三角形，∴1)2(2+-=t PF，∴).2(2221)2(2t t -⋅=+-所以t=1或t=3(舍去),即点P是AC 的中点．解法二： （1）建立如图所示的空间直角坐标系． 设NBD AC = ，连接NE ， 则点N 、E 的坐标分别是（)0,22,22、（0,0,1）,∴)1,22,22(--=NE, 又点A 、M 的坐标分别是)0,2,2(,（)1,22,22∴AM =（)1,22,22--∴AMNE =且NE与AM 不共线，∴NE ∥AM ．又∵⊂NE 平面BDE ， ⊄AM 平面BDE ，∴AM ∥平面BDF ．（2）∵AF ⊥AB ，AB ⊥AD ，AF ,A AD = ∴AB ⊥平面ADF ．∴AB)0,0,2(-=为平面DAF 的法向量．∵DBNE ⋅=（)1,22,22--·)0,2,2(-=0， ∴NFNE⋅=（)1,22,22--·)0,2,2(=0得DBNE ⊥，NFNE⋅，∴NE 为平面BDF 的法向量．∴cos<>⋅NE AB =21∴AB 与NE 的夹角是60º．即所求二面角A —DF —B的大小是60º． （3）设P(t,t,0)(0≤t≤2)得PF),1,2,2(t t --=∴BC =（2，0，0）又∵PF 和BC 所成的角是60º．∴21)2()2(2)2(60cos 22⋅+-+-⋅-=︒t t t解得22=t 或223=t （舍去），即点P 是AC 的中点．20．(14分) 解：（1）作MP ∥AB 交BC 于点P NQ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且MP =NQ，即MNQP 是平行四边形∴MN =PQ由已知a BN CM ==，1===BE AB CB∴2==BF AC 又21a CP =，21a BQ =，即2a BQ CP ==∴MN=PQ =22)1(BQCP +-=22)2()21(a a +-=21)22(2+-a )20(<<a（2）由（Ⅰ），MN=21)22(2+-a ,所以，当22=a 时，MN=22即M 、N 分别移动到AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22．（3）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ，∵ANAM =，BNBM=，G 为MN的中点 ∴AG⊥MN，BG ⊥MN，∠A G B即为二面角α的平面角,又AG =BG 46=，所以，由余弦定理有314646214646cos 22-=⋅⋅-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α, 故所求二面角⎪⎭⎫⎝⎛-=31arccos α。

专题十一空间点、直线、平面之间的位置关系核心素养练习一、核心素养聚焦考点一逻辑推理-证明直线共面例题9.已知：AB∩AC＝A,AB∩BC＝B,AC∩BC＝C.求证：直线AB,BC,AC共面．考点二直观想象-直线之间的关系例题10.在空间四边形ABCD中,E,F分别为对角线AC,BD的中点,则BE与CF( ) A．平行 B．异面C．相交D．以上均有可能二、学业质量测评一、选择题1．设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α,β平行于同一条直线D．α,β垂直于同一平面2．已知平面α与平面β、γ都相交,则这三个平面可能的交线有( )A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条D．1条或2条或3条()3．如图是一个正方体的平面展开图,则在正方体中直线AB与CD的位置关系为 A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直4．若是异面直线,且//平面,那么与平面的位置关系是（ ）,a b a αb αA ．B ．与相交C ．D ．以上三种情况都有可能//b αb αb α⊂5．已知平面平面,直线,直线,则直线,的位置关系为（ ）//αβm α⊂n β⊂m n A ．平行或相交B ．相交或异面C ．平行或异面D ．平行､相交或异面6．下列结论正确的选项为( )A ．梯形可以确定一个平面；B ．若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行；C ．若l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥αD ．如果两个平面有三个大众点,则这两个平面重合．二、多选题7．（多选）下列说法中错误的是（ ）A ．不共面的四点中,任意三点不共线B ．三条两两相交的直线在同一平面内C ．有三个不同大众点的两个平面重合D ．依次首尾相接的四条线段不一定共面8．（多选）已知表示不同的点,表示直线,表示不同的平面,则下列推理正确的是（）A B C ，，l αβ，A ．,,,∈A l A α∈B l ∈B l αα∈⇒⊂B ．,,,A α∈A β∈B α∈B ABβαβ∈⇒= C ．,l αÚA l A α∈⇒∉D ．,,A α∈∈A l l l Aαα⊄⇒⋂=三、填空题9．如图,在正方体中,分别为棱的中点,有以下四个结论：1111—ABCD A B C D M N ，111C D C C ，①直线与是相交直线；AM 1CC ②直线与是平行直线；AM BN ③直线与是异面直线；BN 1MB ④直线与是异面直线．AM 1DD 其中正确的结论的序号为________．10．棱长为的正方体中,是棱的中点,过作正方体的截面,则截面的面21111ABCD A B C D -M 1AA 1,,C M D 积是_________________．11．如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图,图中的四条线段、、和在原正方体中AB CD EF GH 相互异面的有__________对.12．在底面为正六边形的六棱柱中,互相平行的面视为一组,则共有______组互相平行的面,与其中一个侧面相交的面共有______个.四、解答题13．已知四点和直线,且,,,,求证:直线共面.A B C D ，，，l ∈A l B l ∈C l ∈D l ∉AD BD CD ，，14．如图,AB ∥CD,AB∩α＝B,CD∩α＝D,AC∩α＝E.求证：B,E,D 三点共线.15．如图所示的几何体中,,,,且,,,.求证:直11//AB A B 11//AC A C 11//BC B C 11AB A B <11AC A C <11BC B C <线,,相交于同一点.1A A 1B B 1C C专题十一空间点、直线、平面之间的位置关系核心素养练习一、核心素养聚焦考点一逻辑推理-证明直线共面例题9.已知：AB∩AC＝A,AB∩BC＝B,AC∩BC＝C.求证：直线AB,BC,AC共面．【证明】法一：因为AC∩AB＝A,所以直线AB,AC可确定一个平面α.因为B∈AB,C∈AC,所以B∈α,C∈α,故BC⊂α.因此直线AB,BC,AC都在平面α内,所以直线AB,BC,AC共面．法二：因为A不在直线BC上,所以点A和直线BC可确定一个平面α.因为B∈BC,所以B∈α,又A∈α,所以AB⊂α.同理AC⊂α,故直线AB,BC,AC共面．法三：因为A,B,C三点不在同一条直线上,所以A,B,C三点可以确定一个平面α.因为A∈α,B∈α,所以AB⊂α,同理BC⊂α,AC⊂α,故直线AB,BC,AC共面．考点二直观想象-直线之间的关系例题10.在空间四边形ABCD中,E,F分别为对角线AC,BD的中点,则BE与CF( ) A．平行 B．异面C．相交D．以上均有可能【参考答案】B　【解析】假设BE 与CF 是共面直线,设此平面为α,则E ,F ,B ,C ∈α,所以BF ,CE ⊂α,而A ∈CE ,D ∈BF ,所以A ,D ∈α,即有A ,B ,C ,D ∈α,与ABCD 为空间四边形矛盾,所以BE 与CF 是异面直线．二、学业质量测评一、选择题1．设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α,β平行于同一条直线D ．α,β垂直于同一平面【参考答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件,由面面平行性质αβ//αβ定理知,若,则内任意一条直线都与平行,所以内两条相交直线都与平行是的必要条//αβαβαβ//αβ件,故选B ．2．已知平面α与平面β、γ都相交,则这三个平面可能的交线有( )A ．1条或2条B ．2条或3条C ．1条或3条D ．1条或2条或3条【参考答案】D【解析】分类讨论：当α过平面β与γ的交线时,这三个平面有1条交线；当β∥γ时,α与β和γ各有一条交线,共有2条交线；当β∩γ=b ,α∩β=a ,α∩γ=c 时,有3条交线.本题选择D 选项.3．如图是一个正方体的平面展开图,则在正方体中直线AB 与CD 的位置关系为 ()A ．相交B ．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直【参考答案】D【解析】利用展开图可知,线段AB 与CD 是正方体中的相邻两个面的面对角线,仅仅异面,所成的角为600,因此选D4．若是异面直线,且//平面,那么与平面的位置关系是（ ）,a b a αb αA ．B ．与相交C ．D ．以上三种情况都有可能//b αb αb α⊂【参考答案】D【解析】若a 、b 是异面直线,且a ∥平面α,则根据空间中线面的位置关系可得：b ∥a 或者b ⊂α或者b 与α相交．故选：D ．5．已知平面平面,直线,直线,则直线,的位置关系为（ ）//αβm α⊂n β⊂m n A ．平行或相交B ．相交或异面C ．平行或异面D ．平行､相交或异面【参考答案】C【解析】因为平面平面,直线,直线,//αβm α⊂n β⊂所以直线没有大众点,m n ，所以两条直线平行或异面.故选：C.6．下列结论正确的选项为( )A ．梯形可以确定一个平面；B ．若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行；C ．若l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥αD ．如果两个平面有三个大众点,则这两个平面重合．【参考答案】A【解析】因梯形的上下底边平行,根据公理3的推论可知A 正确．两条直线和第三条直线所成的角相等,这两条直线相交、平行或异面,故B 错．当直线和平面相交时,该直线上有无数个点不在平面内,故C 错．如果两个平面有三个大众点且它们共线,这两个平面可以相交,故D 错．综上,选A ．二、多选题7．（多选）下列说法中错误的是（ ）A ．不共面的四点中,任意三点不共线B ．三条两两相交的直线在同一平面内C ．有三个不同大众点的两个平面重合D ．依次首尾相接的四条线段不一定共面【参考答案】BC【解析】由公理2易知选项AD 正确；对于选项B ：如正方体中,具有同一顶点的三条棱不在同一平面内,故选项B 错误;对于选项C:三个不同的大众点可在两平面的交线上.,故选项C 错误;故选: BC8．（多选）已知表示不同的点,表示直线,表示不同的平面,则下列推理正确的是（）A B C ，，l αβ，A ．,,,∈A l A α∈B l ∈B l αα∈⇒⊂B ．,,,A α∈A β∈B α∈B ABβαβ∈⇒= C ．,l αÚA l A α∈⇒∉D ．,,A α∈∈A l l l Aαα⊄⇒⋂=【参考答案】ABD【解析】对于选项A:由公理1知,,故选项A 正确;l α⊂对于选项B ：因为表示不同的平面,由公理3知,平面相交,且,故选项B 正确;αβ，αβ，AB αβ= 对于选项C:分两种情况:与相交或.当与相交时,若交点为A,则,故选项C 错误；l α⊄l α//l a l αA α∈对于选项D ：由公理1逆推可得结论成立,故选项D 成立;故选:ABD三、填空题9．如图,在正方体中,分别为棱的中点,有以下四个结论：1111—ABCD A B C D M N ，111C D C C ，①直线与是相交直线；AM 1CC ②直线与是平行直线；AM BN ③直线与是异面直线；BN 1MB ④直线与是异面直线．AM 1DD 其中正确的结论的序号为________．【参考答案】③④【解析】因为四边不共面,所以直线与是异面直线,所以①错误的；同理,直线与1,,,A M C C AM 1CC AM 也是异面直线,直线与是异面直线,直线与是异面直线,所以②是错误的；③是正确BN BN 1MB AM 1DD 的,④是正确的,故填③④．10．棱长为的正方体中,是棱的中点,过作正方体的截面,则截面的面21111ABCD A B C D M 1AA 1,,C M D 积是_________________．【参考答案】92【解析】如图,由面面平行的性质知截面与平面AB 1的交线MN 是△AA 1B 的中位线,所以截面是梯形CD 1MN ,又,．11MN CD CN MD ====92故参考答案为92AB CD EF GH11．如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图,图中的四条线段、、和在原正方体中相互异面的有__________对.【参考答案】3【解析】画出展开图复原的几何体,所以C与G重合,F,B重合,所以：四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有：AB与GH,AB与CD,GH与EF,共有3对．故参考答案为3．12．在底面为正六边形的六棱柱中,互相平行的面视为一组,则共有______组互相平行的面,与其中一个侧面相交的面共有______个.【参考答案】4. 6.【解析】六棱柱的两个底面互相平行,每个侧面与其直接相对的侧面平行,故共有4组互相平行的面.六棱柱共由8个面围成,在其余的7个面中,与某个侧面平行的面有1个,其余6个面与该侧面均为相交的关系.故参考答案为：；46四、解答题13．已知四点和直线,且,,,,求证:直线共面.A B C D ，，，l ∈A l B l ∈C l ∈D l ∉AD BD CD ，，【参考答案】证明见解析【解析】证明：因为,所以直线与点可以确定平面,如图所示,D l ∉l D α因为,所以,又,所以.∈A l A α∈D α∈AD α⊂同理可证,,BD α⊂CD α⊂所以,,在同一平面内,AD BD CD α即直线,,共面AD BD CD 14．如图,AB ∥CD,AB∩α＝B,CD∩α＝D,AC∩α＝E.求证：B,E,D 三点共线.【参考答案】略【解析】证明：∵AB ∥CD,∴AB,CD 可确定一个平面,设为平面β,∴AC 在平面β内,即E 在平面β内.而AB∩α＝B,CD∩α＝D,AC∩α＝E,可知B,D,E 为平面α与平面β的大众点,根据公理3可得,B,D,E 三点共线.15．如图所示的几何体中,,,,且,,,.求证:直11//AB A B 11//AC A C 11//BC B C 11AB A B <11AC A C <11BC B C <11线,,相交于同一点.1A A 1B B 1CC 【参考答案】证明见解析【解析】证明∵,,11//AB A B 11AB A B <∴直线,确定一个平面,并且直线,相交,设.①1A A 1B B 11AA B B 1A A 1B B 11A A B B D ⋂=∵,∴与确定一个平面,11//AC A C AC 11A C 11AA C C ∵平面,∴平面.1A A ⊂11AA C C D ∈11AA C C 同理平面.D ∈11BB C C 又因为平面平面,∴.②11AA C C 111BB C C C C =1D C C ∈由①②可知,,,三线共点,即直线,,相交于同一点.1A A 1B B 1C C 1A A 1B B 1C C D 知识改变命运。

空间点、直线、平面之间的位置关系测试题(含答案)空间点、直线、平面之间的位置关系测试题1.已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么正确的选项是（）A。

α∥βB。

α与β相交C。

α与β重合D。

α∥β或α与β相交2.两条直线a，b满足a∥b，b⊥平面α，则a与平面α的关系是()A。

a∥αB。

a与α相交C。

a与α不相交D。

a⊥α3.对于命题：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行。

其中正确的个数有(。

)A。

1个B。

2个C。

3个D。

4个4.经过平面外两点与这个平面平行的平面（）A。

只有一个B。

至少有一个C。

可能没有D。

有无数个5.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有（）A。

3条B。

4条C。

5条D。

6条6.a，b是两条异面直线，下列结论正确的是（）A。

过不在a，b上的任一点P，可作一个平面与a，b平行B。

过不在a，b上的任一点P，可作一条直线与a，b相交C。

过不在a，b上的任一点P，可作一条直线与a，b都平行D。

过a可以并且只可以作一平面与b平行7.m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A。

若m‖α，n‖α，则m‖nB。

若α⊥γ，β⊥γ，则α‖βC。

若m‖α，m‖β，则α‖βD。

XXX⊥α，n⊥α，则m‖n8.如图1，正四面体ABCD的棱长均为a，且AD⊥平面α于A，点B，C，D均在平面α外，且在平面α同一侧，则点B到平面α的距离是（）A。

a/2B。

a/3C。

a/23D。

2a/39.如图2，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是A。

PB⊥ADB。

平面PAB⊥平面PBCC。

直线BC∥平面PAED。

直线PD与平面ABC所成的角为45°10.点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（）A。

8.4空间点、直线、平面之间的位置关系跟踪训练一、选择题1、下列命题是真命题的是( )A．空间任意三个点确定一个平面B．一条直线和直线外一点确定一个平面C．两两相交的三条直线确定一个平面D．两两平行的三条直线确定三个平面2、如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法不正确的是( )A．AB与CD是异面直线B．GH与CD相交C．EF∥CDD．EF与AB异面3、a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是( )A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C.若a∥b，则a，b与c所成的角相等D.若a⊥b，b⊥c，则a∥c4、已知α，β，γ是平面，a，b，c是直线，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，若a∩b ＝P，则( )A．P∈c B．P∉cC．c∩a＝∅D．c∩β＝∅5、在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG＝P，则点P( )A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上，也不在直线BD上6、已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n 两两相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7、如图，点E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则( )A．GH＝2EF，且直线EF，GH是相交直线B．GH＝2EF，且直线EF，GH是异面直线C．GH≠2EF，且直线EF，GH是相交直线D．GH≠2EF，且直线EF，GH是异面直线8、如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的图是( )9、如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是( )A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC10、如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为( )A．30°B．45°C．60°D．90°11、若平面α和直线a，b满足a∩α＝A，b⊂α，则a与b的位置关系是( )A．相交B．平行C．异面D．相交或异面12、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是( )A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C113、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，下列结论正确的是( )A．AP与CM是异面直线B．AP，CM，DD1相交于一点C．MN∥BD1D．MN与平面BB1D1D相交14、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为( )A．π2B．π3C．π4D．π615、如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝14SB，则异面直线SC与OE所成角的正切值为( )A．222B．53C．1316D．11316、如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线GH，MN是异面直线的图形有( )A．①②B．①③C．②③D．②④17、已知平面α∩平面β＝直线l，点A，C∈平面α，点B，D∈平面β，且A，B，C，D∉l，点M，N分别是线段AB，CD的中点，则下列说法正确的是( ) A．当CD＝2AB时，M，N不可能重合B．M，N可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C．当直线AB，CD相交，且AC∥l时，BD可与l相交D．当直线AB，CD异面时，MN可能与l平行二、填空题18、已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列说法中正确的序号为________．①若a平行于α内的无数条直线，则a∥α；②若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；③若α∥β，a⊂α，则a∥β；④若α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．19、已知在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________．20、如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．21、如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．以上结论中，正确结论是________．(填序号)三、解答题22、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1，H，O三点共线．23、如图，已知在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，且直线BC 与MN 所成的角为30°，求BC 与AD 所成的角．24、在四棱锥O -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点．(1)求四棱锥O -ABCD 的体积；(2)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值．25、如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点. (1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？。