高中数学必修二2.1-空间点、直线、平面之间的位置关系课堂练习及详细答案

高中数学必修二2.1-空间点、直线、平面之间的位置关系课堂练习及详细答案2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面知识梳理1平面含义：平面是无限延展的—2三个公理：(1) 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为}A€ |B€ l => lA EB E【公理1作用】判断直线是否在平面内.(2) 公理2 :过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A、B、C三点不共线=> 有且只有一个平面a, 使A Ea、B Ea、C Ea。

【公理2作】确定一个平面的依据。

(3) 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P EaQB => aPp =L,且P E L【公理3作用】判定两个平面是否相交的依据.知能训练•选择题C.已知a 、B 互相垂直, m n 互相垂直，若 m 丄a, n 丄B1•已知m , n 分别是两条不重合的直线， ①若m 丄a, n // b ，且a 丄B ，贝U m // n ； ③若 m // a, n // b ，且 all B,贝U m 丄n ； 其中真命题的序号是(2.在下列命题中，不是公理的是(A. 平行于同一个平面的两个平面平行B. 过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C. 如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 11，12，13是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( A.I 1丄I2 , 1 2丄 I 3? I 1 / I3B.I 1丄I2 ,1 2l 1 3? I 1丄I3C.I 1// I 2 //I 3? I 1 , I 2, I 3共面D. I 1,I 2 , 3共点？ I 1 , I 2 , I 3共面3. 4 •下面四个说法中，正确的个数为((1) 如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 (2) 两条直线可以确定一个平面 (3 )若 M € a, M € B, aQB ,则 M € 1(4)空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内.A. B . 2 C . 3D . 4已知空间三条直线I 、m 、n .若I 与m 异面，且I 与n 异面，则()A. 异面B. 相交C. 平行D.异面、相交、平行均有可能 n 为两条不重合的直线,a、B 为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题是(A. -H-*右m n 都平行于平面a,则 n 一定不是相交直线 B.n 都垂直于平面a ，则n 一定是平行直线a ，b 分别垂直于两不重合平面 a ，B,有以下四个命题:②若m // a ， n // b ，且a 丄B,贝U m 丄n ； ④若m 丄n 丄b ，且 丄，贝m // n .A.①②B .③④C .①④D .②③D. m 、n 在平面a 内的射影互相垂直，则 m n 互相垂直Y ，直线m ，I ，点A ，有下面四个命题，其中正确的命题是（二•填空题9.（文）平面上三条直线 x+2y-仁0 ， x+1=0，x+ky=O ，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数 k 的所有取值为 ______________________ .（将你认为所有正确的序号都填上） ①②1/2③1④2⑤3 .10 •空间中有7个点，其中有3个点在同一直线上，此外再无任何三点共线，由这 7个点最多可确定个平面. 三•解答题1 .如图，在四边形ABCD 中，已知AB // CD ，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面a 相交 于点E ，G ，H ，F .求证：E ，F ，G ，H 四点必定共线.2.四面体 ABCD 中，E 、G 分别为BC 、AB 的中点，F 在 CD 上，H 在AD 上，且有DF : FC=2 :3. DH : HA=2 : 3.（1 ）证明：点G 、E 、F 、H 四点共面； （2）证明：EF 、GH 、BD 交于一点.A. 若 I ? a ， m H a =A ，则I 与m 必为异面直线B. )④若m 丄a ，a 丄B ，m // n ，贝U n // p.其中所有正确命题的序号是（ m,贝U m//a若 I //a ， I // A.①③ B .②④C .①④D .③④已知平面2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下三种关系：」相目交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

描述：高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系一、学习任务理解空间点、线、面的位置关系，会用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系；了解可以作为推理依据的公理和定理，能正确地判断空间线线、线面与面面的位置关系．二、知识清单平面的概念与基本性质 点、线、面的位置关系三、知识讲解1.平面的概念与基本性质平面的概念生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．几何里所说的平面就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是几何中的平面是没有厚度、无限延展的．平面的画法我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面，平行四边形的锐角通常画为 ，且横边长等于其邻边长的 倍．如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡的部分用虚线画出来．平面的表示为了表示平面，常把希腊字母 等等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面 、平面 ；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如图中的平面可以表示为平面 、平面 或者平面 ．集合符号在立体几何中的应用以点作为元素，直线和平面都是由点构成的集合．几何中许多符号的规定都是源于将图形视为点集．例如：点 在平面 内，记作 ；点 不在平面 内，记作 ．直线 在平面 内，记作 ；直线 不在平面 内，记作 ；直线 与 相交于点 ，记作 ；平面 与平面 相交于直线 ，记作 ．平面的基本性质平面的基本性质是由三条公理描述的：公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．45∘2α,β,γαβABCD AC BD A αA ∈αA αA ∉αl αl ⊂αl αl ⊄αl m A l ∩m =A αβa α∩β=a A ∈l A ∈α例题：符号语言：，，且 ，．公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．符号语言：，且 ，且 ．空间位置关系与几何量的基础平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．A∈l B∈l A∈αB∈α⇒l⊂αP∈αP∈β⇒α∩β=l P∈l用符号语言表示下列语句．（1）点 在平面 外，点 在平面 内，直线 经过点 ，；（2） 与 交于 ， 与 交于 ．解：（1），，，．（2），．AαBαl A B平面ABD平面BCD BD平面ABC平面ADC ACa∉αB∈αA∈l B∈l平面ABD∩平面BCD=BD平面ABC∩平面ADC=AC如图所示，在四面体 中，、、、 分别是 、、、 上的点，且 ，求证 ，， 三点共线．ABCD E F G H AB AD BC CDEF∩GH=PB D P2.点、线、面的位置关系证明：因为 ，，所以 ，同理，，又，所以 ，，而 ，所以 ，即 ，， 三点共线．E ∈ABF ∈AD EF ⊂平面 ABD GH ⊂平面 BCD EF ∩GH =P P ∈平面 ABD P ∈平面 BCD 平面 ABD ∩平面 BCD =BD P ∈直线BD B D P 已知：如图，，，．求证：直线 ，， 在同一平面内．证法一：（同一法）因为 ，所以 和 确定一个平面 ．　因为 ，所以 ．又因为 ，所以 ．同理可证 ．又 ，，所以 ．因此，直线 ，， 在同一个平面内．证法二：（重合法）因为 ，所以 ， 确定一个平面 ．因为 ，所以 ， 确定一个平面 ．又因为 ，，所以 ．又 ，，所以 ．同理可证得 ，，，．所以不共线的三个点 ，， 在平面 内，又在平面 内．所以平面 和平面 重合，即直线 ，， 在同一平面内．∩=A l 1l 2∩=B l 2l 3∩=C l 1l 3l 1l 2l 3∩=A l 1l 2l 1l 2α∩=B l 2l 3B ∈l 2⊂αl 2B ∈αC ∈αB ∈l 3C ∈l 3⊂αl 3l 1l 2l 3∩=A l 1l 2l 1l 2α∩=B l 2l 3l 2l 3βA ∈l 2⊂αl 2A ∈αA ∈l 2⊂βl 2A ∈βB ∈αB ∈βC ∈αC ∈βA B C αβαβl 1l 2l 3结合空间想象回答下列问题：（1） 个平面可以分空间为______部分；（2） 个平面可以分空间为______部分；（3）正方体的各个面延伸后将空间分成______部分．解：（1），；（2），，，；（3）．对于（1）：当 个平面平行时，分成 部分；当两个面相交时，分成 部分；对于（2）：当 个平面两两平行时，分成 部分；当其中两个平面平行，和另外一个平面相交或者三个平面相交于一条直线时，分成 部分；当 个平面两两相交且交线两两平行时，分成 部分；当 个平面两两相交且交线相交于一点时，分成 部分；对于（3）：首先，将正方体的四个侧面延伸，可知将空间分成 部分，然后，将正方体的上下底面延伸可知将之前部分分成了 层，每层 部分，共 部分 ．233446782723434637389393×9=27若直线 、、 相交于一点，则这 条直线可能确定的平面有（ ）A． 个 B． 个 C．无数个 D． 个或 个解：D当 、、 三线共面时，平面只有 个；当三线不共面时，任意两条可确定一个平面，共 个．a b c 30113a b c 13描述：例题：点与平面的位置关系平面内有无数个点，平面可以看成点的集合．点 在平面 内，记作 ；点 不在平面 内，记作 ．直线与直线的位置关系空间直线与直线的位置关系共有以下两种：共面直线 在同一平面内的两条直线．更进一步，若这两条直线有且只有一个公共点，则称它们是相交直线 ，若这两条直线没有公共点，则称它们是平行直线；异面直线 不同在任何一个平面内的两条直线．直线垂直如果两条直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直，记作 ．在空间，两条直线垂直包括两种情形：共面垂直和异面垂直．直线与平面的位置关系空间直线与平面的位置关系共有以下三种：直线在平面内 直线上的所有点都在平面内；直线与平面相交 直线与平面有且仅有一个公共点；直线与平面平行 直线与平面没有公共点．平面与平面的位置关系空间平面与平面的位置关系共有以下两种：平行 两个平面没有公共点，则称这两个平面平行；相交 两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，此时这条公共直线称为这两个平面的交线．A αA ∈αA αA ∉αa ⊥b 如果在两个平面内分别各有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是（）A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．垂直相交解：C可根据题意作图判断，如图所示，分别为两个平面平行、相交的情况 ．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是（ ）A．相交 B．异面 C．异面或相交 D．平行解：C如图所示，可能相交，也可能异面，若两直线平行，则此两条直线确定一个平面，且原两条异面直线均在此平面内，故矛盾 ．四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）若直线 不平行于平面 ，且 ，则（ ）A． 内的所有直线与 异面 B． 内不存在与 平行的直线 C． 内存在唯一的直线与 平行 D． 内的直线与 都相交解：B依题意，设直线 ，如图． 内的直线若经过点 ，则与直线 相交；若不经过点 ，则与直线 是异面直线，但不可能与 平行．l αl ⊄ααl αl αl αl l ∩α=A αA l A l l 答案：解析：1. 如图，在正方体 中， 是底面正方形 的中心， 是 的中点， 是 上的动点，则直线 、 的位置关系是 ．A ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直C和点 确定平面 ，且 平面 ， 判定 与平面 的位置关系，只需判定直线 的位置关系即可．ABCD −A 1B 1C 1D 1O ABCD M D D 1N A 1B 1NO AM ()A 1B 1O O A 1B 1NO ⊂O A 1B 1∴MA O A 1B 1NO 、AM 答案：2. 平行六面体 中，既与 共面也与 共面的棱的条数为 A ．B ．C ．D ．C ABCD −A 1B 1C 1D 1AB C C 1()3456答案：3. 正方体 中， 、 、 分别是 、 、 的中点．那么，正方体的过 、 、 的截面图形是 A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形D ABCD −A 1B 1C 1D 1P Q R AB AD B 1C 1P Q R ()4. 下列正方体或正四面体中，，，， 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是 P Q R S ()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

2．1空间点、直线、平面之间的位置关系
2．1.1平面
平面
[导入新知]
1．平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几
何里的平面是无限延展的．
2．平面的画法
(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①所示．
(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画
出来．如图②所示．
3．平面的表示法
图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.
[化解疑难]
几何中的平面有以下几个特点
(1)平面是平的．
(2)平面是没有厚度的．
(3)平面是无限延展而没有边界的．
平面的基本性质
[导入新知]。

高中数学人教版必修二第二章《点、直线、平面之前的位置关系》（含答案解析）一、选择题一、选择题1．与同一平面平行的两条直线()A．平行B．相交C．异面 D．平行或相交或异面【解析】如图：故选D.【答案】D2．经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作()A．0个B．1个C．0个或1个D．1个或2个【解析】若两点所在直线与平面相交，则为0个，若平行则可作1个．【答案】C3．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．AB⊂α【解析】结合图形可知选项C正确．【答案】C4．以下四个命题：①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；③若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l；④若n条直线中任意两条共面，则它们共面．其中正确的是()A．①② B．②③C．③④ D．①③【解析】对于①，正确；对于②，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于③，正确；对于④，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故④错．所以正确的是①③.【答案】D5．如果点M是两条异面直线a，b外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面()A．只有一个B．恰有两个C．没有或只有一个D．有无数个【解析】当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内时，这样满足条件的平面没有；当点M不在上述两个平面内时，满足条件的平面只有一个．故选C.【答案】C二、填空题6．如图2121所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：图2121①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．【解析】由异面直线的定义知③④正确．【答案】③④7．如图2122，在三棱锥ABCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD和AC所成角的度数为________．图2122【解析】依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF所成的角或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.【答案】60°三、解答题8．如图219所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上.图219【证明】∵EF∩GH＝P，∴P∈EF且P∈GH.又∵EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，∴P∈平面ABD，且P∈平面CBD，∴P∈平面ABD∩平面CBD，∵平面ABD∩平面CBD＝BD，由公理3可得P∈BD.∴点P在直线BD上．9．求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．【解】已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．证明：法一∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内．法二∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．10．下列说法中正确的是()A．空间不同的三点确定一个平面B．空间两两相交的三条直线确定一个平面C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内【解析】经过同一直线上的三点有无数个平面，故选项A不正确；当两两相交的三条直线相交于一点时，可能确定三个平面，故选项B不正确；有三个角为直角的四边形不一定是平面图形，如在正方体ABCDA1B1C1D1中，四边形ACC1D1中∠ACC1＝∠CC1D1＝∠C1D1A ＝90°，但四边形ACC1D1不是平面图形，故选项C不正确；和同一直线相交的三条平行直线一定共面，故选D.【答案】D11．在正方体AC1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，如图2110.(1)求证：D、B、E、F四点共面；(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置．图2110【解】(1)证明：由于CC1和BF在同一个平面内且不平行，故必相交．设交点为O，则OC1＝C1C.同理直线DE与CC1也相交，设交点为O′，则O′C1＝C1C，故O′与O重合．由此可证得DE∩BF＝O，故D、B、F、E四点共面(设为α)．(2)由于AA1∥CC1，所以A1、A、C、C1四点共面(设为β)．P∈BD，而BD⊂α，故P∈α.又P∈AC，而AC⊂β，所以P∈β，所以P∈α∩β.同理可证得Q∈α∩β，从而有α∩β＝PQ.又因为A1C⊂β，所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点．连接A1C，则A1C与PQ的交点R就是所求的交点.。

人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之前的位置关系》（内含答案解析）一、选择题1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的()A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有【解析】过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a平行，这条交线可能不是这n条直线中的一条也可能是．故选B.【答案】B2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．平行或异面【解析】条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，又a与α无公共点，故选C.【答案】C3．下列命题中不正确的是()A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线【解析】选项A中直线a可能与β平行，也可能在β内，故选项A不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B，D也正确，故选A.【答案】A4．如图2221，四棱锥P ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面P AD，则()图2221A．MN∥PDB．MN∥P AC．MN∥ADD．以上均有可能【解析】∵MN∥平面P AD，MN⊂平面P AC，平面P AD∩平面P AC＝P A，∴MN∥P A.【答案】B5．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C()A．不共面B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．无论点A，B如何移动都共面【解析】无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．【答案】D二、填空题6．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．图229【解析】①设MP中点为O，连接NO.易得AB∥NO，又AB⊄平面MNP，所以AB∥平面MNP.②若下底面中心为O，易知NO∥AB，NO⊄平面MNP，所以AB与平面MNP不平行．③易知AB∥MP，所以AB∥平面MNP.④易知存在一直线MC∥AB，且MC⊄平面MNP，所以AB与平面MNP不平行．【答案】①③7．在如图2210所示的几何体中，三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是平行四边形，则平面ABC与平面A1B1C1平行吗？______(填“是”或“否”)．图2210【解析】因为侧面AA1B1B是平行四边形，所以AB∥A1B1，因为AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1，同理可证：BC∥平面A1B1C1.又因为AB∩BC＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以平面ABC∥平面A1B1C1.【答案】是三、解答题8．如图2123，长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．(1)求证：D1E∥BF；(2)求证：∠B1BF＝∠D1EA1.图2123【证明】(1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EM═∥A1B1，∵A1B1═∥C1D1，∴EM═∥C1D1，∴四边形EMC1D1为平行四边形，∴D1E∥C1M.在矩形BCC1B1中，易得MB═∥C1F，∴BF═∥C1M.∴D1E∥BF.(2)∵ED1∥BF，BM∥EA1，又∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同，∴∠B1BF＝∠D1EA1.9．如图2124，正方体ABCDEFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角．图2124【解】(1)如图，因为CG∥BF，所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH，因为HD═∥EA，EA═∥FB，所以HD═∥FB，所以四边形HFBD为平行四边形，所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA、AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又依题意知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角是30°.10．如图2125是正方体的平面展开图，在这个正方体中，图2125①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是()A．①②③B．②④C．③④ D．②③④【解析】由题意画出正方体的图形如图：显然①②不正确；③CN与BM成60°角，即∠ANC＝60°，正确；④正确．【答案】C11．在四面体ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．若BD、AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1.求EF的长度．【解】如图，取BC中点O，连接OE、OF，∵OE∥AC，OF∥BD，∴OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC、BD所成的角为60°.∴∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝21.当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，连接OM，则OM⊥EF，EF＝2EM＝2×43＝23.。

高一数学人教A版必修二第二章题组目录：点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2点、直线、平面之间的位置关系 2.1.4点、直线、平面之间的位置关系 2.2.2点、直线、平面之间的位置关系 2.2.4点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1点、直线、平面之间的位置关系 2.3.4《点、直线、平面之间的位置关系》单元测试题高一数学人教A版必修二第二章课堂基础练习题点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2一、选择题(每小题5分，共20分)1.如图所示，在三棱锥S－MNP中，E、F、G、H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则EF与HG的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面2．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为()A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直3．下列命题中①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个4．若P 是两条异面直线l ，m 外的任意一点，则( )A ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都平行B ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都垂直C ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都异面二、填空题(每小题5分，共15分)5．空间中有一个角∠A 的两边和另一个角∠B 的两边分别平行，∠A ＝70°，则∠B ＝________.6．如图所示，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，AA 1的中点．(1)直线AB 1和CC 1所成的角为________；(2)直线AB 1和EF 所成的角为________．7. 如右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60°的角；④DM 与BN 垂直．以上四种说法，正确说法的序号是________．三、解答题(每小题10分，共20分)8.如图所示，E 、F 分别是长方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 的棱A 1A ，C 1C 的中点．求证：四边形B 1EDF 是平行四边形．9．在空间四边形ABCD 中，已知AD ＝1，BC ＝3，且AD ⊥BC ，BD ＝132，AC ＝32，求AC 和BD 所成的角．高一数学人教A版必修二第二章课堂基础练习题点、直线、平面之间的位置关系 2.1.4一、选择题(每小题5分，共20分)1．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是()A．平行B．相交C．平行或相交D．不能确定2．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为()A．平行B．相交C．直线在平面内D．平行或直线在平面内3．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交4．已知直线m，n和平面α，m∥n，m∥α，过m的平面β与α相交于直线a，则n与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．以上均有可能二、填空题(每小题5分，共15分)5．下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________．6．与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有________个．7．下列命题正确的有________．①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；⑥若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a∥b.三、解答题(每小题10分，共20分)8.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系；(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系．9.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．高一数学人教A版必修二第二章课堂基础练习题点、直线、平面之间的位置关系 2.2.2一、选择题(每小题5分，共20分)1．若直线a与平面α平行，则必有()A．在α内不存在与a垂直的直线B．在α内存在与a垂直的唯一直线C．在α内有且只有一条直线与a平行D．在α内有无数条直线与a平行2若M、N分别是△ABC边AB、AC的中点，MN与过直线BC的平面β的位置关系是()A．MN∥βB．MN与β相交或MN⊂βC．MN∥β或MN⊂βD．MN∥β或MN与β相交或MN⊂β3．已知m、n、a、b是四条直线，α，β是两个平面．有以下命题：①m⊂α，n⊂α且直线m与n相交，a⊂β，b⊂β且直线a与b相交，m∥a，n∥b，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2 D．34．已知两个不重合的平面α、β，给定以下条件：①α内不共线的三点到β的距离相等；②l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β；③l，m是两条异面直线，且l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.其中可以判定α∥β的是()A．①B．②C．①③D．③二、填空题(每小题5分，共15分)5.如图，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，矩形对角线交点为O ，M 为PB 的中点，给出下列四个说法：①OM ∥面PCD ；②OM ∥面PBC ；③OM ∥面PDA ；④OM ∥面PBA .其中正确说法的个数是____________．6．a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出四个命题．① ⎭⎬⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ；② ⎭⎬⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③⎭⎬⎫a ∥γα∥γ⇒a ∥α； ④ ⎭⎬⎫α∥c a ∥c a ⊄α⇒a ∥α.其中正确的命题是________．(填序号)7．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系为________．三、解答题(每小题10分，共20分)8．如图，已知P 是▱ABCD 所在平面外一点，M 为PB 的中点．求证：PD ∥平面MAC.9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点．求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.10.如图P为平行四边形ABCD所在平面外一点，Q为PA的中点，O为AC 与BD的交点，下面说法错误的是()A．OQ∥平面PCD B．PC∥平面BDQC．AQ∥平面PCD D．CD∥平面PAB11.如图所示的是正方体的平面展开图．有下列四个命题：①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.其中，正确命题的序号是________．12.如图所示，三棱锥S －ABC 中，D ，E ，F 分别是棱AC ，BC ，SC 的中点．求证：平面DEF ∥平面SAB .13.在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 为AC 的中点，点D 1是A 1C 1上的一点．(1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1? (2)当BC 1∥平面AB 1D 1时，求证：平面BC 1D ∥平面AB 1D 1.高一数学人教A版必修二第二章课堂基础练习题点、直线、平面之间的位置关系 2.2.4一、选择题(每小题5分，共20分)1．若正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知P，Q分别是棱AA1，CC1的中点，则过点B，P，Q的截面是()A．邻边不等的平行四边形B．菱形但不是正方形C．邻边不等的矩形D．正方形2．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a 平行的直线有()A．0条B．1条C．0或1条D．无数条3．已知平面α∥平面β，平面γ∩平面α＝直线a，平面γ∩平面β＝直线b，直线c⊂β，且c∥b，则下列说法不正确的是()A．c∥a B．a∥bC．b∥βD．c∥α4．已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若a∥b，a∥α，b∥β，则α∥β；③若α∥β，a⊂α，则a∥β；④若a∥α，a∥β，则α∥β.其中正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．4二、填空题(每小题5分，共15分)5．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP＝13，过点P，E，F的平面与棱CD交于Q，则PQ＝________.6．如图所示，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a.线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________.7．已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题：①若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β；②若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β；③若a∥α，a∥β，则α∥β；④若a⊂α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b.其中正确命题的序号是________．三、解答题(每小题10分，共20分)8．如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，∠BCD＝120°，M为线段AE的中点．求证：DM∥平面BEC.9．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M 是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：GH∥PA.10.如图，四棱锥S－ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为()A．2＋3B．3＋ 3C．3＋2 3 D．2＋2 311.如图，四边形ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，则当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝______________.12.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1.若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？并证明你的结论．13.如图所示，四边形EFGH为空间四面体ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．高一数学人教A版必修二第二章课堂基础练习题点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1一、选择题(每小题5分，共20分)1．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是()①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．A．①③B．②C．②④D．①②④2．已知直线a∥直线b，b⊥平面α，则()A．a∥αB．a⊂αC．a⊥αD．a是α的斜线3.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直4.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是正方体，则直线BA1与平面DD1B1B所成的角是()A．90° B．60° C．45°D．30°二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形一定是________．6．矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是________．7．在Rt △ABC 中，D 是斜边AB 的中点，AC ＝6，BC ＝8，EC ⊥平面ABC ，且EC ＝12，则ED ＝________.三、解答题(每小题10分，共20分)8.如图所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC .若点O 为△ABC 的外心，求证：PO ⊥平面ABC .9．如图所示，直角三角形ABC 的斜边AB 在平面α内，AC ，BC 与α所成的角分别为30°，45°，CD 是直角三角形斜边AB 上的高，求CD 与平面α所成的角．10.如图，四面体ABCD 的各棱长均相等，AD ⊥平面α于点A ，点B 、C 、D 均在平面α外，且在平面α的同一侧，线段BC 的中点为E ，则直线AE 与平面α所成角的正弦值为( )A.33 B.32 C.22 D.1211.如图，四棱锥S －ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，给出下列结论：①AC ⊥SB ；②AB ∥平面SCD ；③SA 与平面ABD 所成的角等于SC 与平面ABD 所成的角；④AC ⊥SO .正确结论的序号是________．12．如图，已知△ABC 是正三角形，EA 、CD 都垂直于平面ABC ，且EA ＝AB ＝2a ，DC ＝a ，F 是BE 的中点，求证：(1)FD ∥平面ABC ； (2)AF ⊥平面EDB .13．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD ＝7，PA ＝3，∠ABC ＝120°，G 为线段PC 上的点．(1)证明：BD ⊥平面APC ；(2)若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成的角的正切值；(3)若G 满足PC ⊥平面BGD ，求PGGC 的值．高一数学人教A版必修二第二章课堂基础练习题点、直线、平面之间的位置关系 2.3.4一、选择题(每小题5分，共20分)1．若l，m，n表示不重合的直线，α表示平面，则下列说法中正确的个数为()①l∥m，m∥n，l⊥α⇒n⊥α；②l∥m，m⊥α，n⊥α⇒l∥n；③m⊥α，n⊂α⇒m⊥n.A．1B．2C．3 D．02．如果直线a与平面α不垂直，那么平面α内与直线a垂直的直线有() A．0条B．1条C．无数条D．任意条3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是() A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β4．线段AB的两端在直二面角α－l－β的两个面内，并与这两个面都成30°角，则异面直线AB与l所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．75°二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知平面α，β，γ，直线l，m满足：α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，那么可推出的结论有________．(请将你认为正确的结论的序号都填上)①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.6.如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB，则直线a与直线l的位置关系是________．7.如图，四面体P－ABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.三、解答题(每小题10分，共20分)8.如图：三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.9．如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝3，PC＝AB＝5，AC＝4，PB＝34.(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)过C作CF⊥PB交PB于F，在线段AB上找一点E，使得PB⊥平面CEF.10．如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A－BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中不正确的是()A．平面ACD⊥平面ABD B．AB⊥CDC．平面ABC⊥平面ACD D．AB∥平面ABC11．设m，n为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：①若m∥α，m∥β，则α∥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n.上述命题中，其中假命题的序号是________．12.如图，△ABC是边长为2的正三角形．若AE＝1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，且BD⊥CD.(1)求证：AE∥平面BCD；(2)求证：平面BDE⊥平面CDE.13.如图，在△ABC中，AC＝BC＝22AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥平面ABC；(2)求证：平面EBC⊥平面ACD；(3)求几何体A－DEBC的体积V.高一数学人教A版必修二《点、直线、平面之间的位置关系》单元测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是()A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直2．在空间四边形各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，则()A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P一定在直线AC或BD上D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上3．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β4．在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为() A．30°B．60°C．90°D．120°5．如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是()A．平行B．相交C ．异面D ．相交成60°6．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( )A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l7.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 是A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( )A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1D 18．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.33C.23D.139．在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝4，PA ⊥平面AC ，且PA ＝1，则点P 到对角线BD 的距离为( )A.292B.135C.175D.119510.如图，点P 是△ABC 所在平面外一点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PO ⊥平面ABC 于点O ，则点O 是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．垂心D．重心二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．设α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④若l与α内的两条直线垂直，则直线l与α垂直．上面命题中，正确的序号是________．(写出所有正确命题的序号)12．在四面体A－BCD中，已知棱AC的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的平面角的余弦值为________．13．如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．14．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的序号是________．三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.16．(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C－A1DE的体积．17．(本小题满分12分)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1，若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论．18．(本小题满分14分)如图所示，已知三棱锥P－ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；(2)求二面角D－AP－C的正弦值．参考答案(含题)高一数学人教A版必修二第二章课堂基础练习题点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2一、选择题(每小题5分，共20分)1.如图所示，在三棱锥S－MNP中，E、F、G、H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则EF与HG的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面解析：∵E，F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，∴EF∥HG.答案： A2．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为()A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直解析：将展开图还原为正方体，如图所示．AB与CD所成的角为60°，故选D.答案： D3．下列命题中①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：对于①，这两个角也可能互补，故①错；对于②，正确；对于③，不正确，举反例：如右图所示，BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角既不一定相等，也不一定互补；对于④，由公理4可知正确．故②④正确，所以正确的结论有2个．答案： B4．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则()A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面解析：逐个分析，过点P与l，m都平行的直线不存在；过点P与l，m 都垂直的直线只有一条；过点P与l，m都相交的直线1条或0条；过点P与l，m都异面的直线有无数条．答案： B二、填空题(每小题5分，共15分)5．空间中有一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝________.解析：∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°.又∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°.答案：70°或110°6．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AD，AA1的中点．(1)直线AB1和CC1所成的角为________；(2)直线AB1和EF所成的角为________．解析：(1)因为BB1∥CC1，所以∠AB1B即为异面直线AB1与CC1所成的角，∠AB1B＝45°.(2)连接B1C，易得EF∥B1C，所以∠AB1C即为直线AB1和EF所成的角．连接AC，则△AB1C为正三角形，所以∠AB1C＝60°.答案：(1)45°(2)60°7. 如右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°的角；④DM与BN垂直．以上四种说法，正确说法的序号是________．解析：把平面展开图折叠成正方体如图所示，由图可知：①BM与ED异面；②CN与BE平行；③∵AN∥BM，∴∠ANC为异面直线CN与BM所成的角，∠ANC＝60°；④BN⊥DM.答案：③④三、解答题(每小题10分，共20分)8.如图所示，E、F分别是长方体A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．证明：设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ綊A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，∴EQ綊B1C1(平行公理)．∴四边形EQC1B1为平行四边形．∴B1E綊C1Q.又∵Q，F是DD1，C1C两边的中点，∴QD綊C1F.∴四边形QDFC1为平行四边形．∴C1Q綊DF.又∵B1E綊C1Q，∴B1E綊DF.∴四边形B1EDF为平行四边形．9．在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝3，且AD⊥BC，BD＝132，AC＝32，求AC和BD所成的角．解析：如图，取AB，CD，AD，AC的中点E，G，F，H，连接EF，FG，GE，EH，HG，则∠EFG(或其补角)为BD与AC所成的角，且EF＝12BD＝134，FG＝12AC＝34，EH∥BC，HG∥AD.∵AD⊥BC，∴EH⊥HG.∴EG2＝EH2＋HG2＝1.在△EFG中，EG2＝EF2＋FG2＝1，∴∠EFG＝90°，∴AC与BD所成的角是90°.高一数学人教A版必修二第二章课堂基础练习题点、直线、平面之间的位置关系 2.1.4一、选择题(每小题5分，共20分)1．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是()A．平行B．相交C．平行或相交D．不能确定解析：如下图所示：由图可知，两个平面平行或相交．答案： C2．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为()A．平行B．相交C．直线在平面内D．平行或直线在平面内解析：由面面平行的定义可知，若一条直线在两个平行平面中的一个平面内，则这条直线与另一个平面无公共点，所以与另一个平面平行．由此可知，本题中这条直线可能在平面内．否则此直线与另一个平面平行(因为若一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必然与另一个平面相交)．答案： D3．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交解析：若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l⊄α，故l∥α，这与题意矛盾．答案： B4．已知直线m，n和平面α，m∥n，m∥α，过m的平面β与α相交于直线a，则n与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．以上均有可能解析：由线面平行的性质知m∥a，而m∥n，所以n∥a.答案： A二、填空题(每小题5分，共15分)5．下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________．解析：对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误．答案：①②6．与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有________个．解析：A，B，C，D四个顶点在平面α的异侧，如果一边3个，另一边1个，适合题意的平面有4个；如果每边2个，适合题意的平面有3个，共7个．答案：77．下列命题正确的有________．①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；⑥若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a∥b.解析：对②，直线l也可能与平面相交；对③，直线l与平面内不过交点的直线是异面直线，而与过交点的直线相交；对④，另一条直线可能在平面内，也可能与平面平行；对⑥，两平行平面内的直线可能平行，也可能异面．故①⑤正确．答案：①⑤三、解答题(每小题10分，共20分)8.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系；(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系．解析：(1)AM所在的直线与平面ABCD相交；(2)CN所在的直线与平面ABCD相交；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行；(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交．9.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．解析：平面ABC与β的交线与l相交．证明：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l一定相交，设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC，P∈β.∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C是不同的两点，∴直线PC就是平面ABC与β的交线．即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，∴平面ABC与β的交线与l相交．高一数学人教A版必修二第二章课堂基础练习题点、直线、平面之间的位置关系 2.2.2一、选择题(每小题5分，共20分)1．若直线a与平面α平行，则必有()A．在α内不存在与a垂直的直线B．在α内存在与a垂直的唯一直线C．在α内有且只有一条直线与a平行D．在α内有无数条直线与a平行解析：对选项A、B，显然没有考虑异面垂直的情形，实际上，在α内会存在无数条与a垂直的直线，且它们相互平行．据平行公理知在α内有无数条直线与a平行，故选项C错D正确，故选D.答案： D2．(2015·北京市房山区高二(上)期中)若M、N分别是△ABC边AB、AC的中点，MN与过直线BC的平面β的位置关系是()A．MN∥βB．MN与β相交或MN⊂βC．MN∥β或MN⊂βD．MN∥β或MN与β相交或MN⊂β解析：MN是△ABC的中位线，所以MN∥BC，因为平面β过直线BC，若平面β过直线MN，则MN⊂β.若平面β不过直线MN，由线线平行的判定定理MN∥β，故选C.答案： C3．已知m、n、a、b是四条直线，α，β是两个平面．有以下命题：①m⊂α，n⊂α且直线m与n相交，a⊂β，b⊂β且直线a与b相交，m∥a，n∥b，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3解析：把符号语言转换为文字语言或图形语言，可知①正确；②③中平面α、β还有可能相交，所以选B.答案： B4．已知两个不重合的平面α、β，给定以下条件：①α内不共线的三点到β的距离相等；②l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β；③l，m是两条异面直线，且l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.其中可以判定α∥β的是()A．①B．②C．①③D．③解析：①中，若三点在平面β的两侧，则α与β相交，故不正确．②中，α与β也可能相交．③中，若把两异面直线l、m平移到一个平面内，即为两相交直线，由判定定理知正确．答案： D二、填空题(每小题5分，共15分)5.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB 的中点，给出下列四个说法：①OM∥面PCD；②OM∥面PBC；③OM∥面PDA；④OM∥面PBA.其中正确说法的个数是____________．解析：∵OM∥PD，OM⊄面PCD，OM⊄面PAD，∴OM∥面PCD，OM∥面PAD.答案： 26．a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出四个命题．① ⎭⎬⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ；② ⎭⎬⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③⎭⎬⎫a ∥γα∥γ⇒a ∥α； ④ ⎭⎬⎫α∥c a ∥c a ⊄α⇒a ∥α.其中正确的命题是________．(填序号)解析： ①显然正确；②中a ，b 还可能异面或相交；③忽略了a ⊂α的情形；④显然正确．答案： ①④7．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系为________．解析： 如图．AB ∥CD ∥EF 且AB ＝CD ＝EF ，则α∥β或α∩β＝l .答案： 平行或相交三、解答题(每小题10分，共20分)8．如图，已知P 是▱ABCD 所在平面外一点，M 为PB 的中点．求证：PD ∥平面MAC.证明： 连接BD 与AC 相交于点O ，连接MO ，∵O为BD的中点，又M为PB的中点，∴MO∥PD.又∵MO⊂平面MAC，PD⊄平面MAC，∴PD∥平面MAC.9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点．求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明：(1)如图，连接SB，∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD，∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.。

2019-2020学年高中数学必修二《2.1空间点、直线、平面之间的位置关系》参考答案与试题解析一．选择题（共37小题）1．如图所示，用符号语言可表达为（）A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n【分析】结合图形考查两个平面的位置关系、两条直线的位置关系，以及点与线、线与面的位置关系．【解答】解：如图所示，两个平面α与β相交于直线m，直线n在平面α内，直线m和直线n相交于点A，故用符号语言可表达为α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A，故选：A．【点评】本题考查平面的画法及表示，点、线、面之间的位置关系的符号表示．2．两个平面能把空间分成几个部分（）A．2或3B．3或4C．3D．2或4【分析】根据平面之间的关系，即可得到结论．【解答】解：若两个平面平行，此时两个平面把空间分成3个平面，若两个平面相交，此时两个平面把空间分成4个平面，故两个平面能把空间分成3个或4个部分，故选：B．【点评】本题主要考查平面的概念以及平面的基本性质的应用．3．如果A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，可以表示为（）A．A⊂a，a⊂α，B∈αB．A∈a，a⊂α，B∈αC．A⊂a，a∈α，B⊂αD．A∈a，a∈α，B∈α【分析】直接按照平面内点、线、面的位置关系，写出结果即可．【解答】解：A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，表示为：A∈a，a⊂α，B∈α．故选：B．【点评】本题考查空间中，点、线、面的符号表示方法，基本知识的考查．4．若点B在直线b上，b在平面β内，则B、b、β之间的关系可记作（）A．B∈b∈βB．B∈b⊂βC．B⊂b⊂βD．B⊂b∈β【分析】由题意，点B在直线b上，b在平面β内，点与面之间的关系是属于关系，线与面之间的关系是包含关系，由此三者之间的关系易得【解答】解：由题意，点B在直线b上，b在平面β内，则B、b、β之间的关系可记作B∈b⊂β故选：B．【点评】本题考查平面的概念及表示，解题的关键是理解平面的概念及平面中点线面之间表示的符号，本题是基础概念考查题，对点线面间关系规范书写是解题的重点5．若A，B表示点，a表示直线，α表示平面，则下列叙述中正确的是（）A．若A⊂α，B⊂α，则AB⊂αB．若A∈α，B∈α，则AB∈αC．若A∉a，a⊂α，则AB∉αD．若A∈a，a⊂α，则A∈α【分析】本题要正确应用点，线，面之间的关系和符号表示，利用公理一判断即可．【解答】解：点与面的关系用符号∈，而不是⊂，所以答案A错误；直线与平面的关系用⊂表示，则AB∈α表示错误；点A不在直线a上，但只要A，B都在平面α内，也存在AB⊂α，答案C错误；而A∈a，a⊂α，则A∈α，所以答案D正确．故选：D．【点评】立体几何图形语言、符号语言、文字语言之间三者之间相互转化，对公理一要准确理解到位．6．经过空间不共线的四点，可确定的平面个数是（）A．1B．4C．1或4D．1或3【分析】分四个点在一个面和三个点在一个面，另一个点在平面外三种情况讨论．【解答】解：当这四个点在一个平面内时候，确定一个平面；当三个点在一个平面上，另一个点在平面外时候，确定四个平面，可想象一些三棱锥的样子．故选：C．。

2.1 空间点、直线、平面之间的地点关系2.1.1 平面知识梳理1平面含义：平面是无穷延展的2三个公义：（1）公义 1：假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.符号表示为A∈lB∈l=>lA∈B∈【公义 1 作用】判断直线能否在平面内.（2）公义 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为： A、 B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A∈α、 B∈α、 C∈α。

【公义 2 作】确立一个平面的依照。

Aα ·LA Bα ·C··（3）公义 3：假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为： P∈α∩β => α∩β =L，且 P∈L【公义 3 作用】判断两个平面能否订交的依照.知能训练一．选择题1．已知 m， n 分别是两条不重合的直线，①若m⊥ α，n∥b ，且α⊥β，则 m ∥n ；③若m∥ α，n∥b ，且α∥β，则 m ⊥n ；此中真命题的序号是（）a， b 分别垂直于两不重合平面②若 m∥ a， n∥ b，且α⊥ β，则 m⊥ n；④若m ⊥α， n⊥b ，且α⊥ β，则 m∥ n．A．①②B．③④C．①④D．②③2．在以下命题中，不是公义的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．过不在同向来线上的三个点，有且只有一个平面C．假如一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上全部点都在此平面内D．假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线3． l1，l2， l3是空间三条不一样的直线，则以下命题正确的选项是（）A． l 1⊥ l 2， l 2⊥ l 3 ? l 1∥ l 3B． l 1⊥ l 2， l 2∥ l 3 ? l 1⊥ l 3C． l 1∥ l 2∥ l 3 ? l 1， l 2， l 3共面βαP Lα，β，有以下四个命题：D． l 1， l 2， l 3共点 ? l 1， l 2， l 3共面4．下边四个说法中，正确的个数为（）（1 ）假如两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合（2）两条直线能够确立一个平面（3）若 M∈α， M∈ β，α∩β，=l则 M∈l（4）空间中，订交于同一点的三直线在同一平面内．A． 1B． 2C． 3D． 45．已知空间三条直线l、 m、n ．若 l 与 m 异面，且l 与 n 异面，则（）D． m与 n 异面、订交、平行均有可能6．若 m、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则以下命题中的真命题是（）A．若m、 n 都平行于平面α，则m、 n 必定不是订交直线B．若m、 n 都垂直于平面α，则m、 n 必定是平行直线C．已知α、β相互垂直，m、 n 相互垂直，若m⊥α， n ⊥βD． m、 n 在平面α内的射影相互垂直，则m、 n 相互垂直7．已知平面α，β，γ，直线m，l，点A，有下边四个命题，此中正确的命题是（）A．若l ? α， m∩α =A，则 l与m必为异面直线B．若l ∥α， l ∥ m，则m∥ αC．若l ? α， m? β， l ∥ β， m∥α，则α∥βD．若α⊥γ，γ∩α=m，γ∩β=l ， l ⊥ m，则l ⊥α8．已知α，β为互不重合的平面，m， n 为互不重合的直线，给出以下四个命题：①若 m⊥ α，n⊥α，则 m ∥n ；②若 m? α， n? α，m ∥β， n∥β，，则α∥ β；③若α⊥β，α∩β =m，n? α，n⊥m ，则 n ⊥β；④若 m⊥ α，α⊥β， m∥n，则 n∥β．此中全部正确命题的序号是（）A．①③B．②④C．①④D．③④二．填空题9．（文）平面上三条直线x+2y-1=0， x+1=0 ， x+ky=0 ，假如这三条直线将平面区分为六部分，则实数k 的全部取值为．（将你以为全部正确的序号都填上）①0②1/2③1④2⑤3．10 ．空间中有 7 个点，此中有 3 个点在同向来线上，别的再无任何三点共线，由这7个点最多可确立个平面．三．解答题1．如图，在四边形 ABCD中，已知AB ∥ CD ，直线 AB ， BC ， AD ， DC 分别与平面α相交于点 E，G，H，F．求证：E，F，G，H 四点必然共线．2．四周体 ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF：FC=2 ： 3． DH ： HA=2 ： 3．（1）证明：点 G、E、F、H 四点共面；（2）证明：EF、GH、BD 交于一点．2.1.2 空间中直线与直线之间的地点关系1空间的两条直线有以下三种关系：订交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不一样在任何一个平面内，没有公共点。