空间直线与平面单元试卷及答案

第二章综合素能检测本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为错误!（）A．5B．4C．9D．1［答案] D[解析］由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．2．教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线错误!（)A．平行B．垂直C．相交D．异面[答案] B[解析］当直尺垂直于地面时，A不对;当直尺平行于地面时,C不对；当直尺位于地面上时，D不对．3．已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题正确的是错误!(）A．若α、β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m、n平行于同一平面，则m与n平行C．若α、β不平行．．．与β平行的直线．．．,则在α内不存在D．若m、n不平行．．．垂直于同一平面．．．，则m与n不可能[答案］ D［解析]A项，α、β可能相交，故错误；B项，直线m、n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面,故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n,m∥n，则m∥β，故错误;D项，假设m、n垂直于同一平面,则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．4．已知α、β是两个平面,直线l⊄α，l⊄β,若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中两个为条件,另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有错误!（)A．①③⇒②；①②⇒③B．①③⇒②；②③⇒①C．①②⇒③；②③⇒①D．①③⇒②；①②⇒③;②③⇒①［答案] A［解析]因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m，使m⊥α，又因为l⊥α,所以l∥m.又因为l⊄β，所以l∥β,即①③⇒②；因为l∥β，所以过l可作一平面γ∩β＝n，所以l∥n，又因为l⊥α，所以n⊥α，又因为n⊂β，所以α⊥β，即①②⇒③.5．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，若过C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则点H一定在导学号 92180601（)A．直线AC上B．直线AB上C．直线BC上D．△ABC的内部[答案] B[解析］∵∠BAC＝90°,∴BA⊥AC．又∵BC1⊥AC,∴AC⊥平面ABC1，∴平面ABC⊥平面ABC1.∵平面ABC∩平面ABC1＝AB，∴C1在面ABC上的射影在直线AB上．6．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有错误!（) A．1条B．2条C．3条D．4条[答案] B［解析］如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线,当∠ABC＝∠ACB＝30°且BC∥l时，直线AC，AB都满足条件，故选B．7．（2016·浙江文）已知互相垂直的平面α、β交于直线l.若直线m、n满足m∥α，n⊥β，则错误!(）A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n[答案］ C[解析]选项A，只有当m∥β或m⊂β时,m∥l；选项B,只有当m⊥β时,m∥n；选项C,由于l⊂β,∴n⊥l；选项D，只有当m∥β或m⊂β时，m⊥n,故选C．8．（2016·南安一中高一检测)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱BC 和棱CC1的中点，则异面直线AC与MN所成的角为错误!（）A．30°B．45°C．60°D．90°[答案] C[解析］如图，连接A1C1、BC1、A1B．∵M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，∴MN∥BC1。

空间角和距离一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线m 与平面α间距离为d ，那么到m 与α距离都等于2d 的点的集合是（ ）A ．一个平面B ．一条直线C ．两条直线D ．空集 2．异面直线a 、b 所成的角为θ，a 、b 与平面α都平行，b ⊥平面β，则直线a与平面β所成的角（ ）A ．与θ相等B ．与θ互余C ．与θ互补 D ．与θ不能相等．3．在正方体ABCD —A 'B 'C 'D '中，BC '与截面BB 'D 'D 所成的角为（ ） A ．3πB ．4π C ．6πD ．arctan24．在正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点，D是EF 的中点，现在沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1，G 2，G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S －EFG中必有（ ）A ．SG ⊥△EFG 所在平面B ．SD ⊥△EFG 所在平面C ．GF ⊥△SEF 所在平面D ．GD ⊥△SEF 所在平面 5．有一山坡，它的倾斜角为30°，山坡上有一条小路与斜坡底线成45°角，某人沿这条小路向上走了200米，则他升高了（ ）A ．1002米 B ．502米 C ．256米D ．506米6．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小为 （ ）A ．arccos33 B ．arccos 31 C ．2π D ．32π7．正四面体A —BCD 中E 、F 分别是棱BC 和AD 之中点，则EF 和AB 所成的角 （ ） A ．45︒ B ．60︒ C．90︒D ．30︒8．把∠A =60°，边长为a 的菱形ABCD 沿对角线BD 折成60°的二面角，则AC 与BD 的距离为（ ）A ．43aB ．43 a C ．23 aD ．46 a9．若正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成的角为α，则下列各等式中成立的是（ ）A ．0＜α＜6πB ．6π＜α＜4πC ．4π＜α＜3πD ．3π＜α＜2π10．已知A （1，1，1），B （－1，0 ，4），C （2 ，－2，3），则〈AB ，CA〉的大小为（ ）A ．6πB ．65π C ．3πD ．32π二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．从平面α外一点P 引斜线段PA 和PB ，它们与α分别成45︒和30︒角，则∠APB 的最大值是______最小值是_______12．∆ABC 中∠ACB=90︒，PA ⊥平面ABC ，PA=2，AC=2 3 ，则平面PBC 与平面PAC ，平面ABC 所成的二角的大小分别是______、_________．13．在三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中，90=∠ABC，30=∠BAC，ＢＣ＝５，又ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ＝ＡＣ，则点Ｐ到平面ＡＢＣ的距离是 ．14．球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45°角，则这个平面截球的截面面积为 ． 三、解答题（共计76分）15．（本小题满分12分）已知SA ⊥平面ABC ，SA=AB ，AB ⊥BC ，SB=BC ，E 是SC 的中点，DE ⊥SC 交AC 于D ． （1） 求证：SC ⊥面BDE ；（2）求二面角E —BD —C 的大小．16．（本小题满分12分）如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM⊥交1AA 于点M，1BB PN ⊥交1CC 于点N．(1) 求证：MN CC ⊥1； (2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFEEF DF EFDFDE∠⋅-+=cos 2222．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．17．（本小题满分12分）如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=3．（1）求证BC SC；（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．18．（本小题满分12分）在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=90︒,AD=DC=1AB=a,(如图一)将△ADC 沿AC折起，使2D到D'．记面AC D'为α,面ABC为β．面BC D'为γ．（1）若二面角α-AC-β为直二面角（如图二），求二面角β-BC-γ的大小;（2）若二面角α-AC-β为60︒（如图三），求三棱锥D'-ABC的体积．19．（本小题满分14分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点．（1）求证AM//平面BDE；（2）求二面角A-DF-B的大小；（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60︒．20．（本题满分14分）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若a=)BNCM=<a．20(<（1）求MN的长；（2）当a为何值时，MN的长最小；（3）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小．参考答案一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．750 ,150 12．900 ,300 13．35 14．π32三、解答题（本大题共6题，共76分）15．(12分) （1）证明：（1）∵SB=BC E 是SC 的中点 ∴BE ⊥SC ∵DE ⊥SC ∴SC ⊥面BDE（2）解：由（1）SC ⊥BD ∵SA ⊥面ABC ∴SA ⊥BD ∴BD ⊥面SAC ∴∠EDC 为二面角E-BD-C 的平面角设SA=AB=a,则SB=BC=a2．,2,a SC SBC Rt =∆∴中在,30,0=∠∆∴DCESAC Rt 中在60,=∠∆∴EDC DEC Rt 中在．16．(12分) (1) 证：MNCC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ； (2)解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACCB BCCA ACCB BCCA ABBS S S S S ⋅-+=，其中α为 平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角．∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MNP ∠,在PMN ∆中，cos 2222⇒∠⋅-+=MNP MN PN MNPNPMMNPCC MN CC PN CCMN CC PN CCPM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222， 由于111111111,,BB PM S CCMN S CCPN S A ABBA ACCB BCC⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACCB BCCA ACCB BCCA ABBS S S S S ⋅-+=．17．(12分) （1）证法一：如，∵底面ABCD 是正方形， ∴BC ⊥DC ．∵SD ⊥底面ABCD ，∴DC 是SC 在平面ABCD 上的射影， 由三垂线定理得BC ⊥SC ．证法二：如图1，∵底面ABCD 是正方形， ∴BC ⊥DC ．∵SD ⊥底面ABCD ，∴SD ⊥BC ，又DC ∩SD=D ，∴BC ⊥平面SDC ，∴BC ⊥SC ．（2）解：如图2，过点S 作直线,//AD l l ∴在面ASD 上，∵底面ABCD 为正方形，l BC AD l ∴∴,////在面BSC 上，l ∴为面ASD 与面BSC 的交线．l ∴,,,,SC l SD l SC BC AD SD ⊥⊥∴⊥⊥∴∠CSD 为面ASD 与面BSC 所成二面角的平面角．（以下同解法一） （3）解1：如图2，∵SD=AD=1，∠SDA=90°， ∴△SDA 是等腰直角三角形．又M 是斜边SA 的中点，∴DM ⊥SA ．∵BA ⊥AD ，BA ⊥SD ，AD ∩SD=D ，∴BA ⊥面ASD ，SA 是SB 在面ASD 上的射影．由三垂线定理得DM ⊥SB ．∴异面直线DM 与SB 所成的角为90°．图1图2解2：如图3，取AB 中点P ，连结MP ，DP ．在△ABS 中，由中位线定理得 MP//SB ，DMP ∠∴是异面直线DM 与SB 所成的角．2321==SB MP，又,25)21(1,222=+==DP DM∴在△DMP 中，有DP 2=MP 2+DM 2，︒=∠∴90DMP∴异面直线DM 与SB 所成的角为90°．18．(12分) 解：（1）在直角梯形ABCD 中， 由已知∆DAC 为等腰直角三角形， ∴45,2=∠=CAB a AC , 过C 作CH ⊥AB ，由AB=2a ，可推得 AC=BC=.2a∴ AC ⊥BC ．取 AC 的中点E ，连结ED '，则 ED '⊥AC 又 ∵ 二面角β--AC a 为直二面角，∴ED '⊥β 又 ∵ ⊂BC 平面β ∴ BC ⊥E D ' ∴ BC ⊥a ，而a C D ⊂'，∴ BC ⊥C D ' ∴ CAD '∠为二面角γβ--BC 的平面角．由于45='∠CAD ， ∴二面角γβ--BC 为 45．（2）取AC 的中点E ，连结E D '，再过D '作β⊥'O D ，垂足为O ，连结OE ．∵ AC ⊥E D '， ∴ AC ⊥OE ∴ EOD '∠为二面角β--ACa 的平面角， ∴ EO D '∠60=． 在OE D Rt '∆中，aACE D 2221=='，∴O D S V ABC ABC D '⋅=∆-'31O D BC AC '⋅⋅⨯=2131a a a 462261⨯⨯⨯=.1263a =19．（14分）解法一: (1)记AC 与BD 的交点为O,连接OE, ∵O 、M 分别是AC 、EF 的中点，图3ACEF 是矩形，∴四边形AOEM 是平行四边形， ∴AM ∥OE ．∵⊂OE平面BDE ，⊄AM 平面BDE ，∴AM ∥平面BDE ．(2)在平面AFD 中过A 作AS ⊥DF 于S ，连结BS ，∵AB ⊥AF ， AB ⊥AD ， ,A AF AD = ∴AB ⊥平面ADF ，∴AS 是BS 在平面ADF 上的射影，由三垂线定理得BS ⊥DF ．∴∠BSA 是二面角A —DF —B 的平面角． 在RtΔASB 中，,2,36==AB AS∴,60,3tan ︒=∠=∠ASB ASB∴二面角A —DF —B 的大小为60º．（3）设CP=t （0≤t≤2）,作PQ ⊥AB 于Q ，则PQ ∥AD ， ∵PQ ⊥AB ，PQ ⊥AF ，A AFAB = ，∴PQ ⊥平面ABF ，⊂QE平面ABF ，∴PQ ⊥QF ．在RtΔPQF 中，∠FPQ=60º，PF=2PQ ． ∵ΔPAQ 为等腰直角三角形，∴).2(22t PQ -=又∵ΔPAF 为直角三角形，∴1)2(2+-=t PF，∴).2(2221)2(2t t -⋅=+-所以t=1或t=3(舍去),即点P是AC 的中点．解法二： （1）建立如图所示的空间直角坐标系． 设NBD AC = ，连接NE ， 则点N 、E 的坐标分别是（)0,22,22、（0,0,1）,∴)1,22,22(--=NE, 又点A 、M 的坐标分别是)0,2,2(,（)1,22,22∴AM =（)1,22,22--∴AMNE =且NE与AM 不共线，∴NE ∥AM ．又∵⊂NE 平面BDE ， ⊄AM 平面BDE ，∴AM ∥平面BDF ．（2）∵AF ⊥AB ，AB ⊥AD ，AF ,A AD = ∴AB ⊥平面ADF ．∴AB)0,0,2(-=为平面DAF 的法向量．∵DBNE ⋅=（)1,22,22--·)0,2,2(-=0， ∴NFNE⋅=（)1,22,22--·)0,2,2(=0得DBNE ⊥，NFNE⋅，∴NE 为平面BDF 的法向量．∴cos<>⋅NE AB =21∴AB 与NE 的夹角是60º．即所求二面角A —DF —B的大小是60º． （3）设P(t,t,0)(0≤t≤2)得PF),1,2,2(t t --=∴BC =（2，0，0）又∵PF 和BC 所成的角是60º．∴21)2()2(2)2(60cos 22⋅+-+-⋅-=︒t t t解得22=t 或223=t （舍去），即点P 是AC 的中点．20．(14分) 解：（1）作MP ∥AB 交BC 于点P NQ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且MP =NQ，即MNQP 是平行四边形∴MN =PQ由已知a BN CM ==，1===BE AB CB∴2==BF AC 又21a CP =，21a BQ =，即2a BQ CP ==∴MN=PQ =22)1(BQCP +-=22)2()21(a a +-=21)22(2+-a )20(<<a（2）由（Ⅰ），MN=21)22(2+-a ,所以，当22=a 时，MN=22即M 、N 分别移动到AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22．（3）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ，∵ANAM =，BNBM=，G 为MN的中点 ∴AG⊥MN，BG ⊥MN，∠A G B即为二面角α的平面角,又AG =BG 46=，所以，由余弦定理有314646214646cos 22-=⋅⋅-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α, 故所求二面角⎪⎭⎫⎝⎛-=31arccos α。

第10章空间直线与平面（压轴题专练）题型1：取值范围问题1．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为11B C ，11C D 的中点，P 是底面1111D C B A 上一点．若//AP 平面BEF ，则AP 与平面1111D C B A 成角的正弦值的取值范围是．2．已知正ABC 的顶点A 在平面α内，点B ，C 均在平面α外（位于平面α的同侧），且在平面α上的射影分别为B '，C '，90B AC ''∠=︒，设BC 的中点为D ，则直线AD 与平面α所成角的正弦值的取值范围是.3．如图，将正三角形ABC 绕AB 旋转到三角形ABC '的位置，当二面角C AB C '--的大小在π2π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线BC '与直线AC 所成角的余弦值的取值范围为．4．如图，三棱锥A BCD -的顶点A 在平面α上，侧棱AB ⊥平面α，底面BCD 是以B 为直角的等腰直角三角形，且平面BCD 与平面α平行．1AB BC ==，E 是CD 中点，M 是线段AE 上的动点，过点M 作平面ACD 的垂线交平面α于点N ，则点N 到点C 的距离的取值范围为．题型2：最值问题5．在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，2PA =，三棱锥-P ABC 外接球的表面积为16π，则二面角P BC A --正切值的最小值为.6．已知在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，P 为AB 的中点，将ADP △沿DP 翻折，得到四棱锥1A BCDP -，则二面角1A DC B --的余弦值最小是.7．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，动点Р在平面1ACD 上运动，且143B P =，三棱锥1B ACD -外接球球面上任意一点Q 到点Р到的距离记为PQ ，当平面PAD 与平面1ADB 夹角的正切值为6时，则PQ 的最大值为.8．如图，矩形ABCD 中，2,5,AB BC E F ==､分别为边BC AD ､上的定点，且45,30BAE DCF ∠∠== ，分别将ABE CDF ､沿着AE CF ､向矩形所在平面的同一侧翻折至AB E ' 与CD F ' 处，且满足B D AB ''⊥，分别将锐二面角B AE D '--与锐二面角D FC B '--记为1θ与2θ，则212cos cos θθ+的最小值为.题型3：动点问题9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，有下列判断：①平面1PB D ⊥平面1ACD ；②1B P ⊥平面1ACD ③异面直线1A P 与1AD 所成角的取值范围是π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦；④三棱锥1D APC -的体积不变.其中，正确的是（把所有正确判断的序号都填上）.10．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E F ､分别为1AA ，AB 的中点，点P 是正方体表面上的动点，若1C P 平面1CD EF ，则点P 在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为．11．如图，四棱锥S ABCD -中，底面是边长为2的正方形，SCD 是等边三角形，平面SCD ⊥平面,,,ABCD M N P 分别为棱,,BC CD DA 的中点，Q 为SCD 及其内部的动点，满足//PQ 平面AMS ，给出下列四个结论：①直线SA 与平面ABCD 所成角为45°；②二面角S AB N --的余弦值为277；③点Q 到平面AMS 的距离为定值；④线段NQ 长度的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦其中所有正确结论的序号是12．在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，E 为11B C 的中点．过AE 的截面与棱111,BB AC 分别交于点F ，G ．(1)若F 为1BB 的中点，试确定点G 的位置，并说明理由；(2)在（1）的条件下，求截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的正切值；(3)设截面AFEG 的面积为0S ，AEG △面积为1S ，AEF △面积为2S ，当点F 在棱1BB 上变动时，求2012S S S 的取值范围．题型4：轨迹问题13．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，114，AB AA ==，E 为1DD 中点，P 为正四棱柱表面上一点，且11C P B E ⊥，则点P 的轨迹的长为.14．已知点P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，若使2AP =的点P 的轨迹长度为a ；使直线AP ∥平面BDC 的点P 的轨迹长度为b ；使直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°的点P 的轨迹长度为c ．则a ，b ，c 的大小关系为．（用“＜”符号连接）15．已知点P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，若使2AP =的点P 的轨迹长度为a ；使直线//AP 平面1BDC 的点P 的轨迹长度为b ；使直线AP 与平面ABCD 所成的角为45 的点P 的轨迹长度为c ．则,,a b c 的大小关系为．（用“<”符号连接）题型5：折叠问题16．如图，在正方形ABCD 中，点M ，N 分别是线段AD ，BC 上的动点，且MN AB ∥，MN 从AB 向CD 滑动（与AB 和CD 均不重合），MN 与AC 交于E ，在MN 任一确定位置，将四边形MNCD 沿直线MN 折起，使平面MNCD ⊥平面ABNM ，则在滑动过程中，下列说法中正确的有．（填序号）①AEC ∠的余弦值为12②AC 与MN 所成的角的余弦最小值为63③AC 与平面ABNM 所成的角逐渐变小④二面角E AC B --的最小值为120︒17．如图1，在平面四边形ABCD 中，1,3,,3AB BC AC CD CD AC ==⊥=，当ABC ∠变化时，令对角线BD 取到最大值，如图2，此时将ABC 沿AC 折起，在将ABC 开始折起到与平面ACD 重合的过程中，直线AB 与CD 所成角的余弦值的取值范围是（）A ．100,10⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．210,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．30,243⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎣⎦D ．60,246⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦18．如下图，已知四边形ABCD ，ADEF ，AFGH 均为正方形，先将矩形EDHG 沿AD 折起，使二面角E AD B '--的大小为30°，再将正方形AF G H ''沿AF '折起，使二面角H AF D '-'-的大小为30°，则平面AF G H ''''与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为（）A ．45B ．34C ．23D ．1219．如图，在平行四边形ABCD 中，=60B ∠︒，点E ，F 分别为边BC 和AD 上的定点，2AB BE ==，3BC =，1DF =，将ABE ，CDF 分别沿着AE ，CF 向平行四边形所在平面的同一侧翻折至AB E ' 与CD F ' 处，连接B D ''，若//B D CF ''，则B D ''=（）A ．32-B ．223-C ．2311-D ．21123-20．在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，2222BC AD AB ===，∠ABC ＝90°（如图1）．把△ABD 沿BD 翻折，使得二面角A －BD －C 的平面角为θ（如图2），M 、N 分别是BD 和BC 中点．(1)若E 是线段BN 的中点，动点F 在三棱锥A －BMN 表面上运动，并且总保持FE ⊥BD ，求动点F 的轨迹的长度（可用θ表示），详细说明理由；(2)若P 、Q 分别为线段AB 与DN 上一点，使得()AP NQ PB QDλλ==∈R ，令PQ 与BD 和AN 所成的角分别为1θ和2θ，求12sin sin θθ+的取值范围．题型6：存在性问题21．如图，在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面QAD 是正三角形，侧面QAD ⊥底面ABCD ，M 是QD 的中点．(1)求证：AM ⊥平面QCD ；(2)求侧面QBC 与底面ABCD 所成二面角的余弦值；(3)在棱QC 上是否存在点N 使平面BDN ⊥平面AMC 成立？如果存在，求出QN NC，如果不存在，说明理由．22．已知正方体1111ABCD A B C D -，点P ，Q ，R 分别是线段1B B ，AB 和1AC 上的动点，观察直线CP 与1D Q ，CP 与1D R 给出下列结论：①对于任意给定的点Q ，存在点P ，使得1CP DQ ⊥；②对于任意给定的点P ，存在点Q ，使得1⊥D Q CP ；③对于任意给定的点R ，存在点P ，使得1CP D R ⊥；④对于任意给定的点P ，存在点R ，使得1D R CP ⊥．其中正确的结论是（）A ．①B ．②③C ．①④D ．②④23．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 满足11A M AC λ=，11C N C B μ=，其中(),0,1λμ∈，在下列说法中正确的是（）①存在(),0,1λμ∈，使得1BM D N∥②存在(),0,1λμ∈，使得MN ⊥平面1BAC ③当12λμ==时，MN 取最小值④当12μ=时，存在()0,1λ∈，使得190D MN ∠=︒A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④。

高二数学同步检测一平面与空间直线说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题,在每小题给出的四个选项中,选择一个符合题目要求的选项）1.列命题是真命题的是( )A.空间不同三点确定一个平面B.空间两两相交的三条直线确定一个平面C.四边形确定一个平面D.和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内答案:D解析:根据公理3(经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面)知不在同一直线上的三点,才能确定一个平面,所以A错.如图(1),a,b,c三条直线两两相交,但a,b,c不共面,所以B错误.如图(2),显然四边形ABCD不能确定一个平面.2.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR等于( )A.30°B.30°或150°C.150°D.以上结论都不对答案:B解析:由等角定理可知∠PQR与∠ABC相等或互补,即∠PQR=30°或150°.3.如右图,α∩β=l,A∈β,B∈β,AB∩l=D,C∈α,则平面ABC和平面α的交线是( )A.直线ACB.直线BCC.直线ABD.直线CD答案:D解析:CD为平面ABC与平面α的交线.故选D.4.如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的图是( )答案:C解析:A,B中的PQ与RS相互平行;D中的PQ与RS相交;由两条直线异面的判定定理可知C 中的PQ与RS异面.5.对“a,b是异面直线”的叙述，正确的是( )①a∩b=∅且a不平行于b ②a⊂平面α,b⊂平面β且α∩β=∅③a⊂平面α,b⊄平面α④不存在平面α,使a⊂平面α且b⊂平面α成立A.①②B.①③C.①④D.③④答案:C解析:根据“异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线”的定义知,结论④正确.空间不相交的两条直线除平行外就是异面,故对于结论①,既然两直线不平行,则必然异面.分别在两个平面内的两条直线可能平行,故②不正确.平面内的一条直线和平面外的一条直线除异面外还可能平行或相交,故③不正确.综上所述,只有①④正确.6.右图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为…( )A.180°B.90°C.60°D.45°答案:C解析:把平面图形还原为立体图形，找准A、B、C三点相对位置,可知∠ABC在等边△ABC 内.7.在空间四边形ABCD中,M,N分别是AB,CD的中点,设BC+AD=2a,则MN与a的大小关系是( )A.MN>aB.MN=aC.MN<aD.不能确定答案:C解析:如图,取AC 中点P,则MP21BC,NP AD,且MP+NP=21(BC+AD)=a>MN,故C 正确. 8.如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于( )A.510 B.515C.54D.32答案:B解析一:如图(1),取面CC 1D 1D 的中心为H ，连结FH 、D 1H.易知OE ∥FH ，所以∠D 1FH 为所求异面直线所成的角.在△FHD 1中，FD 1=25，FH=23，D 1H=22由余弦定理，得∠D 1FH 的余弦值为515. 解析二:如图(2),取BC 中点为G.连结GC 1、FD 1,则GC 1∥FD 1.再取GC 中点为H,连结HE 、OH ，则∠OEH 为异面直线所成的角.在△OEH 中，OE=23,HE=45，OH=45. 由余弦定理，可得cos ∠OEH=515. 9.空间有四点A,B,C,D,每两点的连线长都是2,动点P 在线段AB 上,动点Q 在线段CD 上,则P,Q 两点之间的最小距离为( ) A.1 B.23C.2D.3 答案:C解析:PQ 的最小值应是AB,CD 的公垂线段长.易知P,Q 分别是AB,CD 中点时,PQ ⊥AB,PQ ⊥CD.在Rt△BQP中,3-=2.∵BQ=3,BP=1,∴PQ=110.右图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中:①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;③CN与BM成60°角;④DM与BN垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是( )A.①②③B.②④C.③④D.②③④答案:C解析:将上面的展开图还原成如图所示正方体.容易知道BM与ED异面,CN与BE平行,故①②不正确.因为BE∥CN,所以CN与BM所成的角是∠EBM=60°,延长CD至D′,使DD′=DC,则D′N∥DM,∠BND′就是DM与BN所成的角.设正方体的棱长为1,因为BN=3a,ND′=2a,BD′=5a,所以BN2+D′N2=D′B2,即BN⊥ND′,BN⊥DM.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题,答案需填在题中横线上）11.以下四个命题:①A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂α;②A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=AB;③l⊄α,A∈l⇒A∉a;④A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线⇒α与β重合.其中推理正确的序号是__________.答案:①②④解析:由公理1知①正确;由公理2知②正确;由公理3知④正确;而③中直线l 可能与平面α相交于A.故③不正确.12.空间四条直线,两两相交可确定平面的个数最多有____________个. 答案:6解析:显然,任两条相交直线若都能确定一个平面(不重复),此时平面个数最多.如图,平面PAB,平面PAC,平面PAD,平面PBC,平面PCD,平面PBD,共6个. 13.(2006全国重点中学一模,11)给出三个命题:①若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线互相平行; ②若两条直线都与第三条直线垂直,则这两条直线互相平行; ③若两条直线都与第三条直线平行,则这两条直线互相平行. 其中不正确的序号是__________. 答案:①②解析:在如图所示的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,A 1D 1⊥D 1D,C 1D 1⊥D 1D, 即A 1D 1与D 1D,C 1D 1与D 1D 所成的角都是90°,但A 1D 1与C 1D 1不平行,可知①②不正确,由公理4可知③正确.14.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，如果E 、F 分别为AB 、CC 1的中点，那么异面直线A 1C 与EF 所成的角等于_______________. 答案:arccos32 解析:延长AA 1到P ，使A 1P=21AA 1， 连结PF ，则PF ∥A 1C ，设A 1A=a.则PE 2=(23a)2+(21a)2=410a 2， EF 2=(21a)2+a 2+(21a)2=46a 2，PF 2=A 1C 2=3a 2.∴cos ∠PEF=322632410463222=∙∙-+aa a a a .∴直线A 1C 与EF 所成的角等于arccos32. 三、解答题（本大题共5小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）15.已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是D 1C 1、B 1C 1的中点，AC∩BD=P ，A 1C 1∩EF=Q ，求证：(1)D 、B 、F 、E 四点共面；(2)若直线A 1C 交平面DBFE 于点R ，则P 、Q 、R 三点共线. (1)证法一:∵EF 是△D 1B 1C 1的中位线, ∴EF ∥B 1D 1.在正方体AC 1中，B 1D 1∥BD, ∴EF ∥BD.由公理3知EF 、BD 确定一个平面, 即D 、B 、F 、E 四点共面.证法二:延长BF,CC 1交于点G,延长DE,CC 1交于点G ′.G 与G ′重合DE,BF 是相交直线⇒D,B,F,E 四点共面.(2)证明:正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，设A 1ACC 1确定的平面为α,设平面DBFE 为β, ∵Q Q C A Q Q EF Q ⇒⎭⎬⎫∈⇒∈∈⇒∈αβ11又为α、β的公共点.同理,P 亦为α、β的公共点,∴⇒⎪⎭⎪⎬⎫∈∈⇒∈∴可知由公理又21βαR R C A R R ∈PQ,即P 、Q 、R 三点共线. 点评:证明多点共线，可先由两点确定一直线，证其余点在直线上.要证点在一条直线上，只需证明这点是两平面的公共点，而直线是两个平面的交线，这是证点在直线上的常用方法. 16.如图，E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 各边上的点，且有AE ∶EB=AH ∶HD=m,CF ∶FB=CG ∶GD=n.(1)证明E 、F 、G 、H 四点共面.(2)m 、n 满足什么条件时，EFGH 是平行四边形? (3)在（2）的条件下，若AC ⊥BD ，试证明EG=FH. (1)证明:∵AE ∶EB=AH ∶HD ，∴EH ∥BD. ∵CF ∶FB=CG ∶GD ，∴FG ∥BD.∴EH ∥FG .∴E 、F 、G 、H 四点共面.(2)解:当且仅当EH FG 时，四边形EFGH 为平行四边形.∵1+=+=m m EB AE AE BD EH ,∴EH=1+m mBD. 同理,FG=1+n nBD.由EH=FG 得m=n.故当m=n 时，四边形EFGH 为平行四边形.(3)证明:当m=n 时，AE ∶EB=CF ∶FB,∴EF ∥AC.又∵AC ⊥BD ，∴∠FEH 是AC 与BD 所成的角.∴∠FEH=90°. 从而EFGH 为矩形，∴EG=FH.点评:空间四边形是立体几何的一个基本图形，它各边中点的连线构成平行四边形；当两对角线相等时该平行四边形为菱形；当两对角线互相垂直时，该平行四边形为矩形；当两对角线相等且互相垂直时,该平行四边形为正方形.17.如图,a,b,c 为不共面的三条直线,且相交于一点O,点M,N,P 分别在直线a,b,c 上,点Q 是b 上异于N 的点,判断MN 与PQ 的位置关系,并予以证明.证法一:(反证法)假设MN 与PQ 共面于β,则点M,N,P,Q ∈β.ββββ⊂⇒⎭⎬⎫∈∈⇒⎭⎬⎫∈⊂⇒∈c P O b O b b Q N ,又点同理,a ⊂β.∴a,b,c 共面,与已知a,b,c 不共面矛盾.故MN 与PQ 为异面直线.⎪⎭⎪⎬⎫∈∈=⋂b Q N M b a ,:0α证法二⇒⎭⎬⎫⇒∈N b Q MON Q N M 且异于又共面于点,,点Q ∉MN,⇒⎭⎬⎫∈⊄c P MON OP 平面点P ∉平面MON. 故平面MON 内一点Q 与平面外一点P 的连线PQ 与平面内不过Q 点的直线MN 是异面直线.18.如图所示,今有一正方体木料ABCD —A 1B 1C 1D 1,其中M,N 分别是AB,CB 的中点,要过D 1,M,N 三点将木料锯开,请你帮助木工师傅想办法,怎样画线才能顺利完成?解:作法如下:(1)连结MN 并延长交DC 的延长线于F,连结D 1F 交CC 1于Q,连结QN; (2)延长NM 交DA 的延长线于E,连结D 1E 交A 1A 于P,连结MP;(3)依次在正方体各个面上画线D 1P,PM,MN,NQ,QD 1,即为木工师傅所要画的线.19.如图,AB,CD 是两条异面直线,AB=CD=3a,E,F 分别是线段AD,BC 上的点,且ED=2AE,FC=2BF,EF=7a,G ∈BD,EG ∥AB. (1)求AB 与CD 所成的角; (2)求△EFG 的面积.解:(1)∵ED=2AE,EG ∥AB,∴DG=2BG . ∵FC=2BF,∴FG ∥DC.∴∠EGF 即为AB 与CD 所成的角或其补角. ∵AB=CD=3a,EG=2a,GF=a,又EF=7a,∴cos ∠EGF=2122742222222-=∙∙-+=∙-+a a a a a GF EG EF GF EG . ∴∠EGF=120°.∴AB 与CD 所成的角为60°. (2)S △EFG =21EG ·GF ·sin120° =21×2a ×a ×sin120° =23a 2.。

专题十一空间点、直线、平面之间的位置关系核心素养练习一、核心素养聚焦考点一逻辑推理-证明直线共面例题9.已知：AB∩AC＝A,AB∩BC＝B,AC∩BC＝C.求证：直线AB,BC,AC共面．考点二直观想象-直线之间的关系例题10.在空间四边形ABCD中,E,F分别为对角线AC,BD的中点,则BE与CF( ) A．平行 B．异面C．相交D．以上均有可能二、学业质量测评一、选择题1．设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α,β平行于同一条直线D．α,β垂直于同一平面2．已知平面α与平面β、γ都相交,则这三个平面可能的交线有( )A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条D．1条或2条或3条()3．如图是一个正方体的平面展开图,则在正方体中直线AB与CD的位置关系为 A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直4．若是异面直线,且//平面,那么与平面的位置关系是（ ）,a b a αb αA ．B ．与相交C ．D ．以上三种情况都有可能//b αb αb α⊂5．已知平面平面,直线,直线,则直线,的位置关系为（ ）//αβm α⊂n β⊂m n A ．平行或相交B ．相交或异面C ．平行或异面D ．平行､相交或异面6．下列结论正确的选项为( )A ．梯形可以确定一个平面；B ．若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行；C ．若l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥αD ．如果两个平面有三个大众点,则这两个平面重合．二、多选题7．（多选）下列说法中错误的是（ ）A ．不共面的四点中,任意三点不共线B ．三条两两相交的直线在同一平面内C ．有三个不同大众点的两个平面重合D ．依次首尾相接的四条线段不一定共面8．（多选）已知表示不同的点,表示直线,表示不同的平面,则下列推理正确的是（）A B C ，，l αβ，A ．,,,∈A l A α∈B l ∈B l αα∈⇒⊂B ．,,,A α∈A β∈B α∈B ABβαβ∈⇒= C ．,l αÚA l A α∈⇒∉D ．,,A α∈∈A l l l Aαα⊄⇒⋂=三、填空题9．如图,在正方体中,分别为棱的中点,有以下四个结论：1111—ABCD A B C D M N ，111C D C C ，①直线与是相交直线；AM 1CC ②直线与是平行直线；AM BN ③直线与是异面直线；BN 1MB ④直线与是异面直线．AM 1DD 其中正确的结论的序号为________．10．棱长为的正方体中,是棱的中点,过作正方体的截面,则截面的面21111ABCD A B C D -M 1AA 1,,C M D 积是_________________．11．如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图,图中的四条线段、、和在原正方体中AB CD EF GH 相互异面的有__________对.12．在底面为正六边形的六棱柱中,互相平行的面视为一组,则共有______组互相平行的面,与其中一个侧面相交的面共有______个.四、解答题13．已知四点和直线,且,,,,求证:直线共面.A B C D ，，，l ∈A l B l ∈C l ∈D l ∉AD BD CD ，，14．如图,AB ∥CD,AB∩α＝B,CD∩α＝D,AC∩α＝E.求证：B,E,D 三点共线.15．如图所示的几何体中,,,,且,,,.求证:直11//AB A B 11//AC A C 11//BC B C 11AB A B <11AC A C <11BC B C <线,,相交于同一点.1A A 1B B 1C C专题十一空间点、直线、平面之间的位置关系核心素养练习一、核心素养聚焦考点一逻辑推理-证明直线共面例题9.已知：AB∩AC＝A,AB∩BC＝B,AC∩BC＝C.求证：直线AB,BC,AC共面．【证明】法一：因为AC∩AB＝A,所以直线AB,AC可确定一个平面α.因为B∈AB,C∈AC,所以B∈α,C∈α,故BC⊂α.因此直线AB,BC,AC都在平面α内,所以直线AB,BC,AC共面．法二：因为A不在直线BC上,所以点A和直线BC可确定一个平面α.因为B∈BC,所以B∈α,又A∈α,所以AB⊂α.同理AC⊂α,故直线AB,BC,AC共面．法三：因为A,B,C三点不在同一条直线上,所以A,B,C三点可以确定一个平面α.因为A∈α,B∈α,所以AB⊂α,同理BC⊂α,AC⊂α,故直线AB,BC,AC共面．考点二直观想象-直线之间的关系例题10.在空间四边形ABCD中,E,F分别为对角线AC,BD的中点,则BE与CF( ) A．平行 B．异面C．相交D．以上均有可能【参考答案】B　【解析】假设BE 与CF 是共面直线,设此平面为α,则E ,F ,B ,C ∈α,所以BF ,CE ⊂α,而A ∈CE ,D ∈BF ,所以A ,D ∈α,即有A ,B ,C ,D ∈α,与ABCD 为空间四边形矛盾,所以BE 与CF 是异面直线．二、学业质量测评一、选择题1．设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α,β平行于同一条直线D ．α,β垂直于同一平面【参考答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件,由面面平行性质αβ//αβ定理知,若,则内任意一条直线都与平行,所以内两条相交直线都与平行是的必要条//αβαβαβ//αβ件,故选B ．2．已知平面α与平面β、γ都相交,则这三个平面可能的交线有( )A ．1条或2条B ．2条或3条C ．1条或3条D ．1条或2条或3条【参考答案】D【解析】分类讨论：当α过平面β与γ的交线时,这三个平面有1条交线；当β∥γ时,α与β和γ各有一条交线,共有2条交线；当β∩γ=b ,α∩β=a ,α∩γ=c 时,有3条交线.本题选择D 选项.3．如图是一个正方体的平面展开图,则在正方体中直线AB 与CD 的位置关系为 ()A ．相交B ．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直【参考答案】D【解析】利用展开图可知,线段AB 与CD 是正方体中的相邻两个面的面对角线,仅仅异面,所成的角为600,因此选D4．若是异面直线,且//平面,那么与平面的位置关系是（ ）,a b a αb αA ．B ．与相交C ．D ．以上三种情况都有可能//b αb αb α⊂【参考答案】D【解析】若a 、b 是异面直线,且a ∥平面α,则根据空间中线面的位置关系可得：b ∥a 或者b ⊂α或者b 与α相交．故选：D ．5．已知平面平面,直线,直线,则直线,的位置关系为（ ）//αβm α⊂n β⊂m n A ．平行或相交B ．相交或异面C ．平行或异面D ．平行､相交或异面【参考答案】C【解析】因为平面平面,直线,直线,//αβm α⊂n β⊂所以直线没有大众点,m n ，所以两条直线平行或异面.故选：C.6．下列结论正确的选项为( )A ．梯形可以确定一个平面；B ．若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行；C ．若l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥αD ．如果两个平面有三个大众点,则这两个平面重合．【参考答案】A【解析】因梯形的上下底边平行,根据公理3的推论可知A 正确．两条直线和第三条直线所成的角相等,这两条直线相交、平行或异面,故B 错．当直线和平面相交时,该直线上有无数个点不在平面内,故C 错．如果两个平面有三个大众点且它们共线,这两个平面可以相交,故D 错．综上,选A ．二、多选题7．（多选）下列说法中错误的是（ ）A ．不共面的四点中,任意三点不共线B ．三条两两相交的直线在同一平面内C ．有三个不同大众点的两个平面重合D ．依次首尾相接的四条线段不一定共面【参考答案】BC【解析】由公理2易知选项AD 正确；对于选项B ：如正方体中,具有同一顶点的三条棱不在同一平面内,故选项B 错误;对于选项C:三个不同的大众点可在两平面的交线上.,故选项C 错误;故选: BC8．（多选）已知表示不同的点,表示直线,表示不同的平面,则下列推理正确的是（）A B C ，，l αβ，A ．,,,∈A l A α∈B l ∈B l αα∈⇒⊂B ．,,,A α∈A β∈B α∈B ABβαβ∈⇒= C ．,l αÚA l A α∈⇒∉D ．,,A α∈∈A l l l Aαα⊄⇒⋂=【参考答案】ABD【解析】对于选项A:由公理1知,,故选项A 正确;l α⊂对于选项B ：因为表示不同的平面,由公理3知,平面相交,且,故选项B 正确;αβ，αβ，AB αβ= 对于选项C:分两种情况:与相交或.当与相交时,若交点为A,则,故选项C 错误；l α⊄l α//l a l αA α∈对于选项D ：由公理1逆推可得结论成立,故选项D 成立;故选:ABD三、填空题9．如图,在正方体中,分别为棱的中点,有以下四个结论：1111—ABCD A B C D M N ，111C D C C ，①直线与是相交直线；AM 1CC ②直线与是平行直线；AM BN ③直线与是异面直线；BN 1MB ④直线与是异面直线．AM 1DD 其中正确的结论的序号为________．【参考答案】③④【解析】因为四边不共面,所以直线与是异面直线,所以①错误的；同理,直线与1,,,A M C C AM 1CC AM 也是异面直线,直线与是异面直线,直线与是异面直线,所以②是错误的；③是正确BN BN 1MB AM 1DD 的,④是正确的,故填③④．10．棱长为的正方体中,是棱的中点,过作正方体的截面,则截面的面21111ABCD A B C D M 1AA 1,,C M D 积是_________________．【参考答案】92【解析】如图,由面面平行的性质知截面与平面AB 1的交线MN 是△AA 1B 的中位线,所以截面是梯形CD 1MN ,又,．11MN CD CN MD ====92故参考答案为92AB CD EF GH11．如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图,图中的四条线段、、和在原正方体中相互异面的有__________对.【参考答案】3【解析】画出展开图复原的几何体,所以C与G重合,F,B重合,所以：四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有：AB与GH,AB与CD,GH与EF,共有3对．故参考答案为3．12．在底面为正六边形的六棱柱中,互相平行的面视为一组,则共有______组互相平行的面,与其中一个侧面相交的面共有______个.【参考答案】4. 6.【解析】六棱柱的两个底面互相平行,每个侧面与其直接相对的侧面平行,故共有4组互相平行的面.六棱柱共由8个面围成,在其余的7个面中,与某个侧面平行的面有1个,其余6个面与该侧面均为相交的关系.故参考答案为：；46四、解答题13．已知四点和直线,且,,,,求证:直线共面.A B C D ，，，l ∈A l B l ∈C l ∈D l ∉AD BD CD ，，【参考答案】证明见解析【解析】证明：因为,所以直线与点可以确定平面,如图所示,D l ∉l D α因为,所以,又,所以.∈A l A α∈D α∈AD α⊂同理可证,,BD α⊂CD α⊂所以,,在同一平面内,AD BD CD α即直线,,共面AD BD CD 14．如图,AB ∥CD,AB∩α＝B,CD∩α＝D,AC∩α＝E.求证：B,E,D 三点共线.【参考答案】略【解析】证明：∵AB ∥CD,∴AB,CD 可确定一个平面,设为平面β,∴AC 在平面β内,即E 在平面β内.而AB∩α＝B,CD∩α＝D,AC∩α＝E,可知B,D,E 为平面α与平面β的大众点,根据公理3可得,B,D,E 三点共线.15．如图所示的几何体中,,,,且,,,.求证:直11//AB A B 11//AC A C 11//BC B C 11AB A B <11AC A C <11BC B C <11线,,相交于同一点.1A A 1B B 1CC 【参考答案】证明见解析【解析】证明∵,,11//AB A B 11AB A B <∴直线,确定一个平面,并且直线,相交,设.①1A A 1B B 11AA B B 1A A 1B B 11A A B B D ⋂=∵,∴与确定一个平面,11//AC A C AC 11A C 11AA C C ∵平面,∴平面.1A A ⊂11AA C C D ∈11AA C C 同理平面.D ∈11BB C C 又因为平面平面,∴.②11AA C C 111BB C C C C =1D C C ∈由①②可知,,,三线共点,即直线,,相交于同一点.1A A 1B B 1C C 1A A 1B B 1C C D 知识改变命运。

第10章 空间直线与平面（单元提升卷）（满分150分，完卷时间120分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一、填空题1．已知直线,a b 和平面α，若,a b αα⊥⊥，则a 与b 的位置关系是________2．三条不同的直线a 、b 、c ，若//a b ，c 与a 、b 都相交，则a 、b 、c 三条直线能确定的平面的个数是______个．3．已知角α的大小为150°,且异面直线a b 、分别与角α的两边平行,则异面直线a b 、所成角的大小为_________.4．线段AB 在平面α的同侧，A ，B 到α的距离分别为3和5，则AB 的中点到α的距离为________．5．如图，平面ABC ⊥平面ABD ，90ACB ︒∠=，CA CB =，ABD △是正三角形，O 为AB 的中点，则图中直角三角形的个数为______.6．如果直线l 与平面α所成的角为3π，那么直线l 与平面α内的直线所成的角的取值范围是______；7．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m β⊥的是______．①αβ⊥，且m α⊂；②m n ∥，且n β⊥；③αβ⊥，且m α∥；④m n ⊥，且n β∥．8．如图，矩形ABCD 的长AB =2，宽AD =x ，若PA ⊥平面ABCD ，矩形的边CD 上至少有一个点Q ,使得PQ ⊥BQ ，则x 的范围是____________．9．如图，水平放置的ABC 的斜二测直观图是图中的A B C '''，若3AC ''=，2B C ''=，则边AB的实际长度为___________10．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的___________条件.11．如图，已知PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AB =，BC =PB P BC A --的大小为________12．如图，平面α⊥平面β，A α∈，B β∈，AB 与两平面α、β所成的角分别为45°和30°，过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A '、B '，若AB ＝12，则A B ''=______． 二、单选题13．设m ､n 是两条不同的直线，α､β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//m α，则//m βC ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥D ．若//m α，αβ⊥，则m β⊥14．在正方形123SG G G 中，E 、F 分别是12G G 及23G G 的中点，D 是EF 的中点．现在沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个空间四边形，使1G 、2G 、3G 三点重合，重合后的点记为G ，那么，在空间四边形S EFG -中必有（ ）A ．SG EFG △⊥所在平面B ．SD EFG ⊥所在平面C ．GF SEF ⊥所在平面D ．GD SEF ⊥所在平面15．在矩形ABCD 中，1AB =，()0BC a a =>，PA ⊥平面ABCD ，且1PA =.若边BC 上存在两个不同的点1Q ､2Q ，使得11PQ DQ ⊥，22PQ DQ ⊥.则a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．[)1,2C ．()2,+∞D ．[]2,416．下列说法正确的个数（ ）（1）三点确定一个平面；（2）一条直线和一个点确定一个平面；（3） 两条直线确定一个平面；（4）三角形和梯形一定为平面图形.A ．0B ．1C ．2D ．3三、解答题 17．已知,,αβγ是三个平面，且,,a b c αβαγβγ===.（1）若a b O ⋂=，求证：a ，b ，c 三线共点.（2）若//a b ，则a 与c ，b 与c 有什么关系？为什么？18.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中.(1)求异面直线1A B 和1CC 所成的角的余弦值；(2)求证：直线1//A B 平面11DCC D .19．如图，长方体中1111ABCD A B C D -中，2DA =，DC =，1DD =,M N 分别为棱,AB BC 的中点.（1）证明：平面1D MN ⊥平面1D DM ；（2）求点D 到平面1D MN 的距离.20．如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．(1)求证：EF PAD 平面；(2)若∠PDA＝45°，求EF与平面ABCD所成角的大小．21．如图1，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点E为AD的中点，将△ABE沿直线BE折起至平面PBE⊥PB平面CEM．平面BCDE（如图2），点M在线段PD上，//(1)求证：MP＝2DM；(2)求二面角B－PE－C的大小；(3)若在棱PB、PE上分别取中点F、G，试判断点M与平面CFG的关系，并说明理由．。

《空间直线、平面的平行》基础练习一、选择题1．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，不能判定平面α∥β的条件是 （ ）A ．m ，n 是α内一个三角形的两条边，且m ∥β，n ∥βB ．α内有不共线的三点到β的距离都相等C ．α，β都垂直于同一条直线aD ．m ，n 是两条异面直线，m ⊂α，n ⊂β，且m ∥β，n ∥α 2．下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行． ⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行． ⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行．⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行． 其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（ ）A ．//,a b αα⊂B ．//,//a b ααC ．//,//a c b cD ．//,a b ααβ=4．a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则下列结论成立的是（ ）A ．过A 有且只有一个平面平行于a ，bB ．过A 至少有一个平面平行于a ，bC ．过A 有无数个平面平行于a ，bD ．过A 且平行a ，b 的平面可能不存在5．已知直线a 与直线b 垂直，a 平行于平面α，则b 与α的位置关系是（ ）A ．b ∥αB ．b ⊂αC ．b 与α相交D ．以上都有可能 6．下列命题中正确的命题的个数为（ ）①直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α；②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若直线a ∥b ，直线b ⊂α，则a ∥α；④若直线a ∥b ，b 平面α，那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线．A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题1．如果空间中若干点在同一平面内的射影在一条直线上，那么这些点在空间的位置是__________．2．若直线a 和b 都与平面α平行，则a 和b 的位置关系是__________．3．已知a 、b 是相交直线，且a 平行于平面α，那么b 与α的位置关系是________． 4．在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是棱AD 上一点，AP =3a ，过P 、M 、N 的平面与棱CD 交于Q ，则PQ =_________．5．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 11中点，则BD 1和平面ACE 位置关系是．三、解答题1．已知,,,E F G H 为空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 上的点，且//EH FG ．求证：//EH BD ．2．如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长是2D 是AC 的中点．求证：1//B C 平面1A BD ．3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证：平面1A BD //平面11CD B ．H G FE D BAC1A4．如图，正方形ABCD的边长为13，平面ABCD外一点P到正方形各顶点的距离都是13，M，N分别是PA，DB上的点，且58==PM M A BN ND∶∶∶．（1）求证：直线MN//平面PBC；（2）求线段MN的长．参考答案一、选择题1．B如图，E 、F 、G 、H 分别是正方体各棱的中点，点B 1，C 1，B 到平面EFGH 距离相等，但平面BCC 1B 1与平面EFGH 相交，故B 错．2．A ⑴两条直线都和同一个平面平行，这两条直线三种位置关系都有可能 ⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能 ⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可在这个平面内3．C //,,a b αα⊂则//a b 或,a b 异面；所以A 错误；//,//,a b αα则//a b 或,a b 异面或,a b 相交，所以B 错误；//,,a b ααβ=则//a b 或,a b 异面，所以D 错误；//,//a c b c ，则//a b ，这是公理4，所以C 正确．4． D 如当A 与a 确定的平面与b 平行时，过A 作与a ，b 都平行的平面不存在． 5． D a 与b 垂直，a 与b 的关系可以平行、相交、异面，a 与α平行，所以b 与α的位置可以平行、相交、或在α内，这三种位置关系都有可能．6． A 对于①，∵直线l 虽与平面α内无数条直线平行，但l 有可能在平面α内（若改为l 与α内任何直线都平行，则必有l ∥α），∴①是假命题．对于②，∵直线a 在平面α外，包括两种情况a ∥α和a 与α相交，∴a 与α不一定平行，∴②为假命题．对于③，∵a ∥b ，b ⊂α，只能说明a 与b 无公共点，但a 可能在平面α内，∴a 不一定平行于平面α．∴③也是假命题．对于④，∵a ∥b ，b ⊂α．那么a ⊂α，或a ∥α．∴a 可以与平面α内的无数条直线平行．∴④是真命题．综上，真命题的个数为1．二、填空题1．共线或在与已知平面垂直的平面内． 2．相交或平行或异面．3． b ∥α或b 与α相交 b 与α的位置关系除b 在α内，皆有可能，即平行或相交．4由线面平行的性质定理知MN ∥PQ （∵MN ∥平面AC ，PQ =平面PMN ∩平面AC ，∴MN ∥PQ ）．易知DP =DQ =23a．故PQ =． 5．平行 连接BD 交AC 于O ，连OE ，∴OE ∥B D 11，OEC 平面ACE ，∴B D 11∥平面ACE ．三、解答题1．证明：//,////EH BCD FG BCD EH BCD BD BCD EH BD EH FG ⊄⎫⎪⊂⇒⊂⇒⎬⎪⎭2．证明：设AB 1与AB 1相交于点P ，连接PD ，则P 为AB 1中点， D 为AC 中点，∴PD //B 1C ． 又PD ⊂平面A 1BD ，∴B 1C //平面A 1BD3．证明：111111B B A A B B D D A A D D ⎧⎪⇒⎨⎪⎩∥ ∥ ∥ ⇒ 四边形11BB D D 是平行四边形⇒ 111111D B DB DB A BD D B A BD⎧⎪⊂⎨⎪⊄⎩平面平面//⇒111111111D B A BDB C A BD D B B C B⎧⎪⎨⎪=⎩平面同理平面////⇒111B CD A BD 平面平面//． 4． 解：（1）证明：连接AN 并延长交BC 于E ，连接PE ， 则由AD BC //，得BN NEND AN=． BN PM ND MA =∵，NE PMAN MA=∴． MN PE ∴//，又PE ⊂平面PBC ，M N ⊄平面PBC ，∴MN //平面PBC ．（2）由13PB BC PC ===，得60PBC ∠=； 由58BE BN AD ND ==，知5651388BE =⨯=， 由余弦定理可得918PE =，8713MN PE ==∴．。

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1、给出的下列命题中,正确命题的个数是( )①梯形的四个顶点在同一平面内②三条平行直线必共面③有三个公共点的两个平面必重合④每两条都相交且交点各不相同的四条直线一定共面A.1B.2C.3D.4主要考察知识点:空间直线和平面2、如图2-1-17,空间四边形SABC中,各边及对角线长都相等,若E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于( )A.90°B.60°C.45°D.30°图2-1-173、如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的( )A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交4、若点M在直线α上，α在平面α内，则M、a、α间的上述关系可记为( )A.M∈a,a∈αB.M∈a,aαC.M a,aαD.M a,aα5、在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点,如果EF与HG交于点M，则( )A.M一定在直线AC上B.M一定在直线BD上C.M可能在AC上，也可能在BD上D.M不在AC上，也不在BD上6、下列说法正确的是()A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点7、若点M在直线a上,a在平面α内，则M，a,α间的上述关系可记为（）A.M∈a,a∈αB.M∈a,C.,D.,8、异面直线是指()A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两个不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线9、若a∥α,b∥α,则直线a、b的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.A、B、C均有可能10、下列命题:①若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;②若直线a在平面α外,则a∥α;③若直线a∥b,直线,则a∥α;④若直线a∥b,bα,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.其中真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4参考答案与解析:解析：对于①,∵直线l虽与平面α内无数条直线平行,但l有可能在平面α内,∴l不一定平行于α.∴①是假命题.对于②,∵直线a在平面α外包括两种情况:a∥α和a与α相交,∴a和α不一定平行.∴②是假命题.对于③,∵直线a∥b, ,则只能说明a和b无公共点,但a可能在平面α内,∴a不一定平行于α.∴③是假命题.对于④,∵a∥b, ,那么aα或a∥α,∴a可以与平面α内的无数条直线平行.∴④是真命题.综上所述,真命题的个数为1.二、填空题1、空间三条直线两两相交，点P不在这三条直线上，那么由点P和这三条直线最多可以确定的平面的个数为__________.参考答案与解析:解析：(1)当题中三条直线共点但不共面相交时，可确定3个平面；而P点与每条直线又可确定3个平面，故共确定6个.2、和两条平行直线中的一条是异面直线的直线与另一条直线的位置关系是_______.参考答案与解析:思路解析:由公理4可知不可能平行,只有相交或异面.答案:相交或异面主要考察知识点:空间直线和平面3、看图填空.(1)AC∩BD=_______;(2)平面AB1∩平面A1C1=________；(3)平面A1C1CA∩平面AC=________；(4)平面A1C1CA∩平面D1B1BD=_________;(5)平面A1C1∩平面AB1∩平面B1C=_________；(6)A1B1∩B1B∩B1C1=_________.参考答案与解析:解析：两个面的两个公共点连线即为交线.答案：（1）O（2）A1B1（3）AC（4）OO1（5）B1（6）B14、已知平面α、β相交,在α、β内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定平面_______个.参考答案与解析:解析：分类,如果这四点在同一平面内,那么确定一个平面,如果这四点不共面,则任意三点可确定一个平面,可确定四个.答案：1或4三、解答题1、如图，已知△ABC在平面α外，它的三边所在直线分别交平面α于点P、Q、R，求证：P、Q、R三点共线.参考答案与解析:解析：本题是一个证明三点共线的问题，利用公理3，两平面相交时，有且只有一条公共直线.因此只需证明P、Q、R三点是某两个平面的公共点，即可得这三个点都在两平面的交线上，因此是共线的.证明：设△ABC确定平面ABC，直线AB交平面α于点Q,直线CB交平面α于点P,直线AC交平面α于点R,则P、Q、R三点都在平面α内，又因为P、Q、R三点都在平面ABC内，所以P、Q、R三点都在平面α和平面ABC的交线上，而两平面的交线只有一条，所以P、Q、R三点共线.2、如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.①哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？②直线BA′和CC′的夹角是多少？③哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？参考答案与解析:解析：①由异面直线的定义可知，棱AD，DC，CC′，DD′，D′C′,B′D′所在直线分别与直线BA′是异面直线.②由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′=45°，所以BA′与CC′的夹角为45°.③直线AB，BC，CD，DA，A′B′,B′C′,C′D′,D′A′分别与直线AA′垂直.3、已知直线b∥c,且直线a与b、c都相交,求证:直线a,b,c共面. 参考答案与解析:证明:∵b∥c,∴不妨设b,c共面于平面α.设a∩b=A,a∩c=B,∴A∈a,B∈a,A∈α,B∈α,即.∴三线共面.主要考察知识点:空间直线和平面。

《直线与平面的垂直的判定、性质》单元测试卷一、 选择题1.如果直线l 和平面α内的无数条直线都垂直,那么( )A.α⊥lB.l 与α相交C.α⊄lD.l 与α的关系不确定2.如图，PA ⊥平面ABC ，△ABC 中，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数是（ ）。

A.4 B.3 C.2 D.13.两条异面直线在同一平面内的射影是( ).A.两条平行直线B.两条相交直线C.一个点和一条直线D.以上都有可能4.已知Rt △ABC 中，∠C=90°,点P 在平面ABC 外，且PA=PB=PC, PO ⊥平面ABC 于点O ，则O 是（ ）A.AC 边的中点B.BC 边的中点C.AB 边的中点D.以上都有可能5.a,b 表示两条直线，α表示平面，给出以下命题，其中正确的命题是（ ） ①a ⊥α,b ∥α⇒a ⊥b ②a ⊥α, a ⊥b ⇒ b ∥α③a ∥α, a ⊥b ⇒ b ⊥α ④a ⊥α,b ∥a ⇒b ⊥αA.①②B.②③C.③④D.①④6.已知P 是平面四边形ABCD 所在平面外一点，且P 到这个四边形各边的距离相等，那么这个四边形一定是（ ）。

A.圆内接四边形B.矩形C.圆外切四边形D.平行四边形7.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于（ ）。

A.ACB.BDC.A 1D 1D.AA 18.下列命题中真命题是（ ）。

A.和平面的斜线垂直的直线也和这条斜线的射影垂直B.和斜线的射影垂直的直线也和斜线垂直C.如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行D.和斜线的射影不垂直的直线也和斜线不垂直9.从平面α外一点P 作与α相交的直线，使得P 与交点的距离为1，则满足条件的直线条数一定不可能是（ ）.A.0B.1C.2D.无数个10.已知PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，并且PA=6,AB=3,AD=4，则P 到BD 的距离是（ ）. A.5296 B.296 C.53 D.132 11. Rt △ABC 的斜边AB 在平面α内，直角顶点C 在平面α外，C 在α上的射影为D （不在AB 上），则△ABD 是（ ）。