直线与平面平行平面与平面平行综合练习题

DC A B B 1A1C 1直线、平面平行的判定及其性质 测试题A一、选择题1．下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面2．E ，F ，G 分别是四面体ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体中与过E ，F ，G 的截面平行的棱的条数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3． 直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（ ）A ．//,a b αα⊂B ．//,//a b ααC ．//,//a c b cD ．//,a b ααβ= 4．若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则下列结论成立的是（ ） A ．α内的所有直线与m 异面 B ．α内不存在与m 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与m 平行 D ．α内的直线与m 都相交 5．下列命题中，假命题的个数是（ ）① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与α平行A ．4B ．3C ．2D ．1 6．已知空间四边形ABCD 中，,M N 分别是,AB CD 的中点，则下列判断正确的是（ ） A ．()12MN AC BD ≥+ B ．()12MN AC BD ≤+C ．()12MN AC BD =+ D ．()12MN AC BD <+二、填空题7．在四面体ABCD 中，M ，N 分别是面△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________.8．如下图所示，四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP 的图形的序号的是①②③④9．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1中点，则BD 1和平面ACE 位置关系是 ． 三、解答题10.如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点.求证：//1C B 平面BD A 1.11.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M ，N ，G 分别是AA 1，CD ，CB ，CC 1的中点， 求证：（1）MN //B 1D 1 ；（2）AC 1//平面EB 1D 1 ；（3）平面EB 1D 1//平面BDG .B一、选择题1．α，β是两个不重合的平面，a ，b 是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是（ ）A ．α，β都平行于直线a ，bB ．α内有三个不共线点到β的距离相等C ．a ，b 是α内两条直线，且a ∥β，b ∥βD ．a ，b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β2．两条直线a ，b 满足a ∥b ，b α，则a 与平面α的关系是（ ）A ．a ∥αB ．a 与α相交C ．a 与α不相交D ．a α 3．设,a b 表示直线，,αβ表示平面，P 是空间一点，下面命题中正确的是（ ） A ．a α⊄，则//a α B ．//a α，b α⊂，则//a bC ．//,,a b αβαβ⊂⊂，则//a bD ．,,//,//P a P a βααβ∈∈，则a β⊂ 4．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（ ）A.异面B.相交C.平行D.不能确定 5.下列四个命题中，正确的是（ ）①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行 A ．①③ B ．①② C ．②③ D ．③④6．a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则下列结论成立的是A ．过A 有且只有一个平面平行于a ，bB ．过A 至少有一个平面平行于a ，bC ．过A 有无数个平面平行于a ，bD ．过A 且平行a ，b 的平面可能不存在 二、填空题7．a ，b ，ｃ为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：.⇒⎭⎬⎫;⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫αγγαβαγβγαααβαβαγγ∥∥∥⑥∥∥∥⑤∥∥∥④∥∥∥③∥∥∥②∥∥∥①a a a c a c c c b a b a b a c b c a ;;;; 其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上）8．设平面α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，若AS =18，BS =9，CD =34，则CS =_____________.9．如图，正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，DD 1，DC 中点，N 是BC 中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足 时，有MN ∥平面B 1BD D 1． 三、解答题10.如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==,点E在棱PC 上． 问点E 在何处时，//PA EBD 平面，并加以证明.11.如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别为AB ，PD 上的点，且MB AM =NPDN，求证：直线MN ∥平面PBC .EPDCBA参考答案A一、选择题 1．D【提示】当l =⋂βα时，α内有无数多条直线与交线l 平行，同时这些直线也与平面β平行.故A ，B ，C 均是错误的2．C【提示】棱AC ，BD 与平面EFG 平行，共2条. 3．C【提示】//,,a b αα⊂则//a b 或,a b 异面；所以A 错误；//,//,a b αα则//a b 或,a b 异面或,a b 相交，所以B 错误；//,,a b ααβ=则//a b 或,a b 异面，所以D 错误；//,//a c b c ，则//a b ，这是公理4，所以C 正确.4．B【提示】若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则直线m 于平面α相交，α内不存在与m 平行的直线. 5．B【提示】②③④错误.②过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行，有无数多条直线与它平行.③过直线外一点有无数个平面和这条直线平行④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行或其中一条在平面上. 6. D【提示】本题可利用空间中的平行关系，构造三角形的两边之和大于第三边. 二、填空题7．平面ABC ，平面ABD【提示】连接AM 并延长，交CD 于E ，连结BN 并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由MA EM =NB EN =21得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD . 8. ①③【提示】对于①，面MNP//面AB,故AB//面MNP.对于③，MP//AB,故AB//面MNP,对于②④，过AB 找一个平面与平面MNP 相交，AB 与交线显然不平行，故②④不能推证AB//面MNP. 9．平行【提示】连接BD 交AC 于O ，连OE ，∴OE ∥B D 1，OEC 平面ACE ，∴B D 1∥平面ACE. 三、解答题10.证明：设1AB 与B A 1相交于点P ，连接PD ，则P 为1AB 中点，D 为AC 中点，∴PD//C B 1.又 PD ⊂平面B A 1D ，∴C B 1//平面B A 1 D11.证明：（1） M 、N 分别是CD 、CB 的中点，∴MN//BD又 BB 1//DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形.所以BD//B 1D 1.又MN//BD ，从而MN//B 1D 1（2）（法1）连A 1C 1，A 1C 1交B 1D 1与O 点四边形A 1B 1C 1D 1为平行四边形，则O 点是A 1C 1的中点 E 是AA 1的中点，∴EO 是∆AA 1C 1的中位线，EO//AC 1.AC 1⊄面EB 1D 1 ，EO ⊂面EB 1D 1，所以AC 1//面EB 1D 1 （法2）作BB 1中点为H 点，连接AH 、C 1H ，E 、H 点为AA 1、BB 1中点， 所以EH //C 1D 1，则四边形EHC 1D 1是平行四边形，所以ED 1//HC 1 又因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AHAH ⋂HC 1=H ，∴面AHC 1//面EB 1D 1.而AC 1⊂面AHC 1，所以AC 1//面EB 1D 1（3）因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AH 因为AD //HG ，则四边形ADGH 是平行四边形，所以DG//AH ，所以EB 1//DG 又 BB 1//DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形. 所以BD//B 1D 1.BD ⋂DG=G ，∴面EB 1D 1//面BDGB一、选择题1．D【提示】A 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β；B 错，若A ，B ，C 三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β；C 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β；D 正确. 2．C【提示】若直线a ，b 满足a ∥b ，b α，则a ∥α 或a α 3．D【提示】根据面面平行的性质定理可推证之. 4．C【提示】设α∩β=l ，a ∥α，a ∥β，过直线a 作与α、β都相交的平面γ，记α∩γ=b ，β∩γ=c ，则a ∥b 且a ∥c ，∴b ∥c .又b ⊂α，α∩β=l ，∴b ∥l .∴a ∥l . 5．A 【提示】 6． D【提示】过点A 可作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′∩b ′=A ，∴a ′，b ′可确定一个平面，记为α.如果a ⊄α，b ⊄α，则a ∥α，b ∥α.由于平面α可能过直线a 、b 之一，因此，过A 且平行于a 、b 的平面可能不存在. 二、填空题 7.①④⑤⑥ 8.68或368 【提示】如图（1），由α∥β可知BD ∥AC ，∴SA SB =SC SD ，即189=SCSC 34-，∴SC =68. SS AABBCCα α ββ(1)(2)DD如图（2），由α∥β知AC ∥BD ，∴SB SA =SD SC =SC CD SC -，即918=SCSC -34. ∴SC =368.9．M ∈HF【提示】易证平面NHF ∥平面BD D 1 B 1，M 为两平面的公共点，应在交线HF 上. 三、解答题 10．解：当E 为PC 中点时，//PA EBD 平面．证明：连接AC ，且AC BD O =，由于四边形ABCD 为正方形，∴O 为AC 的中点，又E 为中点，∴OE 为△ACP 的中位线，∴//PA EO ，又PA EBD ⊄平面，∴//PA EBD 平面. 11．证法一：过N 作NR ∥DC 交PC 于点R ，连接RB ，依题意得NR NR DC -=NP DN =MB AM =MB MB AB -=MBMBDC -⇒NR =MB .∵NR ∥DC ∥AB ，∴四边形MNRB 是平行四边形.∴MN ∥RB .又∵RB 平面PBC ，∴直线MN ∥平面PBC .证法二：过N 作NQ ∥AD 交P A 于点Q ，连接QM ，∵MB AM =NP DN =QPAQ，∴QM ∥PB .又NQ ∥AD ∥BC ，∴平面MQN ∥平面PBC .∴直线MN ∥平面PBC .OF ABCDP E。

直线与平面平行的判定和性质年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共26题，题分合计130分)1.直线a //平面M ,直线b ⊂/M ,那么a //b 是b //M 的 条件. A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.不充分也不必要2.已知l 、m 、n 为两两垂直且异面的三条直线，过l 作平面α与m 垂直，则直线n 与平面α的关系是A.n //αB.n //α或n ⊂αC.n ⊂α或n 不平行于αD.n ⊂α3.能保证直线a 与平面α平行的条件是A.b a b a //，，αα⊂⊄B.b a b //，α⊂C.c a b a c b //////，，，αα⊂D.b D b C a B a A b ∈∈∈∈⊂，，，，α且BD AC =4.如果直线a 平行于平面α,则A.平面α内有且只有一直线与a 平行B.平面α内无数条直线与a 平行C.平面α内不存在与a 平行的直线D.平面α内的任意直线与直线a 都平行5.如果两直线a ∥b ,且a ∥平面α,则b 与α的位置关系A.相交B.α//bC.α⊂bD.α//b 或α⊂b6.下列命题正确的个数是（1）若直线l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥α（2）若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一直线平行（3）两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行 （4）若一直线a 和平面α内一直线b 平行,则a ∥α A.0个 B.1个 C.2个 D.3个7.若直线a ⊥b ,且a ∥平面α,则直线b 与平面α的位置关系是A.b ⊂αB.b ∥αC.b ⊂α或b ∥αD.b 与α相交或b ∥α或b ⊂α都有可能8.已知α､β是两个不同的平面,在下列条件中,可判断平面α与平面β平行的是A.α､β都垂直于平面γB.a ､b 是α内两条直线,且a ∥β,b ∥βC.α内不共线的三个点到β的距离相等D.a ､b 为异面直线,且a ∥α,b ∥α,a ∥β,b ∥β9.下列命题正确的个数是①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行 ④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个10.b 是平面α外的一条直线，下列条件中可得出b ∥α是A.b 与α内的一条直线不相交B.b 与α内的两条直线不相交C.b 与α内的无数条直线不相交D.b 与α内的所有直线不相交11.已知直线l 1、l 2，平面α，l 1∥l 2,l 1∥α，则l 2与α的位置关系是A.l 2∥αB.l 2⊂αC.l 2∥α或l 2⊂αD.l 2与α相交12.已知两条相交直线a 、b ，a ∥平面α，则b 与α的位置关系A.b ∥αB.b 与α相交C.b ⊂αD.b ∥α或b 与α相交13.下列命题中正确的是①过一点，一定存在和两条异面直线都平行的平面②垂直于同一条直线的一条直线和一个平面平行③若两条直线没有公共点，则过其中一条直线一定有一个平面与另一条直线平行 A.① B.③ C.①③ D.①②③14.a、b为平面M外的两条直线，在a∥M的前提下，a∥b是b∥M的A.充要条件B.充分条件C.必要条件D.以上情况都不15.α和β是两个不重合的平面,在下列条件中可判定平面α与β平行的是A.α､β都垂直于平面γB.α内不共线的三点到β的距离相等C.l,m是α平面内的直线,且l∥β,m∥βD.l､m是两条异面直线且l∥α,m∥α,m∥β,l∥β16.在空间中，下述命题正确的A.若直线a∥平面M，直线b⊥直线a，则直线b⊥平面MB.若平面M∥平面N，则平面M内任意一条直线a∥平面NC.若平面M与平面N的交线为a，平面M内的直线b⊥直线a，则直线b⊥平面ND.若平面N内的两条直线都平行于平面M，则平面N∥平面M17.设直线a在平面M内，则直线M平行于平面N是直线a平行于平面N的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件18.设a、b是平面α外的任意两条直线，则"a、b长相等"是"a、b在平面α内的射影长相等"的A.既不充分也不必要条件B.充分必要条件C.必要但不充分条件D.充分但不必要条件19.如果平面α和直线l满足l和α内两条平行直线垂直,则A.l αB.l∥αC.l与α相交D.以上都不对20.如果一条直线和一个平面平行，为了使夹在它们之间的两条线段的长相等，以下结论正确的是A.其充分条件是这两条线段平行B.其必要条件是这两条线段平行C.其充要条件是这两条线段平行D.其必要条件是这两条线段平行21.直线a∥平面α,平面α内有n条直线交于一点,那么这几条直线中与直线a平行的A.至少有一条B.至多有一条C.有且只有一条D.不可能有22.若直线m平面α,则“平面α∥平面β”是“直线m∥平面β”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件23.平行于同一个平面的两条直线的位置关系是A.平行B.相交C.异面D.平行或相交或异面24.下列四个命题中假命题的个数是①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行②两条直线没有公共点，则这两条直线平行③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行A.4B.3C.2D.125.如果一条直线和一个平面平行,为了使夹在它们之间的两条线段的长相等,以下结论正确的是A.其充分条件是这两条线段平行B.其必要条件是这两条线段平行C.其充要条件是这两条线段平行D.其必要条件是这两条线段平行26.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.任意一条直线都不相交D.无数条直线不相交二、填空题(共6题，题分合计25分)1.如图，空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是CB 、CD 上的点.且32==CD CG CB CF ,若BD =6 cm ，梯形EFGH 的面积为28 cm 2，则平行线EH 与FG 间的距离为_______.2.一条直线与平面α相交于点A ，在平面α内不过A 点的直线与这条直线所成角的最大值为_________.3.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与过点A 、E 、C 的平面的位置关系是__________.4.几何体ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为A 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝31a ，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝___________.5.如果两条直线a 与b 互相平行，且a ∥平面α，那么b 与α的位置关系是 ．6.直线a ∥平面α，直线b 、c 都在α 内且a ∥b ∥c ，若a 到b ， c 的距离分别为d 1、d 2，且d 1＞d 2，则直线a 到α 的距离d 的取值范围是___________.三、解答题(共12题，题分合计112分)1.求证:若直线l与平面α有一个公共点,且l平行于α内的一条直线,则l α..2.如图，P是△ABC所在平面外一点，M∈PB，试过AM作一平面平行于BC，并说明画法的理论依据Array3.设AB、CD为夹在两个平行平面α、β之间线段,且直线AB、CD为异面直线,М、P分别为AB、CD的中点,求证:MP ∥α.4.ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，(1)画出过A、C、B1的平面与下底面的交线l；(2)求l与直线AC的距离.5.正方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1分别有E、F，且B1E=C1F，求证：EF∥平面ABCD.6.平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面.7.设a、b是异面直线，自AB的中点O作平面α与a、ｂ分别平行，M、N分别是a、b上的任意两点，MN与α交于点P，求证：P是MN的中点.8.求证：如果一条直线和两个相交的平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行.9.α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a,若直线a∥直线b,你能得到什么结论?10.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF.求证：EF∥平面BB1C1C.11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，并且CM=DN.求证:MN∥平面AA1B1B.12.如图，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD＝a，AB＝b，CD⊥AB.(1)求证：EFGH是矩形.(2)点E在什么位置时，EFGH的面积最大.直线与平面平行的判定和性质答案一、选择题(共26题，合计130分)1.答案：A2.答案：A3.答案：A4.答案：B5.答案：D6.答案：A7.答案：D8.答案：B9.答案：B10.答案：D11.答案：C12.答案：D13.答案：B14.答案：B15.答案：D16.答案：B17.答案：A18.答案：A19.答案：D20.答案：A21.答案：B22.答案：A23.答案：D24.答案：A25.答案：A26.答案：C二、填空题(共6题，合计25分)1.答案：8 cm2.答案：90°3.答案：BD1∥平面AEC4.答案：a2 325.答案：b∥α或b α6.答案：) ,0(2 d三、解答题(共12题，合计112分)1.答案：见注释2.答案：见注释3.答案：见注释4.答案：. 26 a5.答案：见注释6.答案：见注释7.答案：见注释8.答案：见注释9.答案：见注释10.答案：见注释11.答案：见注释12.答案：（1）见注释（2）E为BD的中点时。

8.5 空间直线、平面的平行练习题1．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23，则下列说法正确的是()A．EF与GH平行B．EF与GH异面C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上D．EF与GH的交点M一定在直线AC上2．下列说法正确的是()A．直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∩b＝∅，直线b⊂α，则a∥αD．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线3．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l，m∥l，m⊂α，则必有() A．l∥αB．α∥γC．m∥β且m∥γD．m∥β或m∥γ4．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①α∩β＝a，b⊂α⇒a∥b或a，b相交；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∩β＝a，a∥b⇒b∥β或b∥α.其中正确命题的序号是()A．①③B．②④C．①④D．②③5．已知a，b，c是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；③若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；④若a，b与c成等角，则a∥b.其中正确的是________(填序号)．6．如图是某正方体的平面展开图(表面朝下)．关于这个正方体，有以下判断：①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE ∥平面NCF.其中判断正确的序号是________．7．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线平行；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．其中正确的命题是________．8．给出下列说法：①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ；②若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交；③若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α；④若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a∥b.其中正确说法的序号是________．9．如图，在三棱台DEF－ABC中，AC＝2DF，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.10．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB ∥CD，且AB＝2CD，那么在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由．详解：1．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23，则下列说法正确的是()A．EF与GH平行B．EF与GH异面C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上D．EF与GH的交点M一定在直线AC上答案D解析连接EH，FG.因为F，G分别是边BC，CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23，所以GF∥BD，且GF＝23BD.因为点E，H分别是边AB，AD的中点，所以EH∥BD，且EH＝12BD，所以EH∥GF，且EH≠GF，所以EF与GH相交，设其交点为M，则M∈平面ABC，同理M∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M在直线AC上．故选D.2．下列说法正确的是()A．直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∩b＝∅，直线b⊂α，则a∥αD．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线答案D解析由直线与平面的位置关系及直线与平面平行的判定定理，知D正确．3．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l，m∥l，m⊂α，则必有() A．l∥αB．α∥γC．m∥β且m∥γD．m∥β或m∥γ答案D解析 ⎭⎪⎬⎪⎫β∩γ＝l ，l ⊂β，l ⊂γm ∥l ，m ⊂α⇒m ∥β或m ∥γ.若m 为α与β的交线或为α与γ的交线，则不能同时有m ∥β，m ∥γ.故选D.4．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，给出下面四个命题：①α∩β＝a ，b ⊂α⇒a ∥b 或a ，b 相交；②α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n ；③m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α；④α∩β＝a ，a ∥b ⇒b ∥β或b ∥α.其中正确命题的序号是( )A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③答案 C解析 对于①，由α∩β＝a ，b ⊂α，得a ，b 共面，则a ∥b 或a ，b 相交，正确；对于②，α∥β，m ⊂α，n ⊂β可能得到m ∥n ，还有可能是直线m ，n 异面，错误；对于③，m ∥n ，m ∥α，当直线n 不在平面α内时，可以得到n ∥α，但是当直线n 在平面α内时，n 不平行于平面α，错误；对于④，由α∩β＝a ，a ∥b ，得b 至少与α，β中的一个平面平行，则b ∥β或b ∥α，正确．故选C.5．已知a ，b ，c 是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交；③若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线；④若a ，b 与c 成等角，则a ∥b .其中正确的是________(填序号)．答案 ①解析 由基本事实4知①正确；当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可能相交、平行，也可能异面，故②不正确；当a ⊂平面α，b ⊂平面β时，a 与b 可能平行、相交或异面，故③不正确；当a ，b 与c 成等角时，a 与b 可能相交、平行，也可能异面，故④不正确．故正确说法的序号为①.6．如图是某正方体的平面展开图(表面朝下)．关于这个正方体，有以下判断：①BM ∥平面DE ；②CN ∥平面AF ；③平面BDM ∥平面AFN ；④平面BDE∥平面NCF.其中判断正确的序号是________．答案①②③④解析以面ABCD为下底面还原正方体，如图，则易判定四个判断都是正确的．7．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线平行；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．其中正确的命题是________．答案②④解析由面面平行的定义可知②④正确．8．给出下列说法：①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ；②若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交；③若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α；④若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a∥b.其中正确说法的序号是________．答案②③解析①中平面α与γ也可能重合，故①不正确．假设直线a与平面β平行或直线a⊂β，则由平面α∥平面β，知a⊂α或a∥α，这与直线a与α相交矛盾，所以a与β相交，②正确．如图，过直线PQ作平面γ，γ∩α＝a，γ∩β＝b，由α∥β，得a∥b.因为PQ∥β，PQ⊂γ，所以PQ∥b.因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a与直线PQ重合．因为a⊂α，所以PQ⊂α，③正确．若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a与b平行、相交和异面都有可能，④不正确．9．如图，在三棱台DEF－ABC中，AC＝2DF，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.证明如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.在三棱台DEF－ABC中，AC＝2DF，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形．所以O为CD的中点．又H为BC的中点，所以OH∥BD.又OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.10．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB ∥CD，且AB＝2CD，那么在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由．解存在这样的点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1，此时点F为AB的中点．证明如下：∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF=CD且AF//CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∴AD∥CF.又AD⊂平面ADD1A1，CF⊄平面ADD1A1，∴CF∥平面ADD1A1.又CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，∴CC1∥平面ADD1A1.又CF∥平面ADD1A1，CC1∩CF＝C，∴平面C1CF∥平面ADD1A1.。

2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定●知识梳理1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：a αb β => a∥αa∥b●知能训练一．选择题1．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n2．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A．α内存在直线与l异面B．α内存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交3．如图，M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．其中真命题是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③4．正方体ABCD-A1B1C1D1中M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点．P在对角线BD1上，且BP＝BD1，给出下面四个命题：（1）MN∥面APC；（2）C1Q∥面APC；（3）A，P，M三点共线；（4）面MNQ∥面APC．正确的序号为（）A．（1）（2）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（3）（4）5．在正方体ABCD-A1B1C1D1的各个顶点与各棱中点共20个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A1BC1平行的直线共有（）A．12条B．18条C．21条D．24条6．直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（）A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在平面α内7．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（）A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交8．如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是（）A．DD1B．A1D1C．C1D1D．A1D9．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点，若BC1∥平面AB1D1，则等于（）A．1/2B．1 C．2 D．310．下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）A．①②B．①④C．②③D．③④11．如图，正方体的棱长为1，线段B′D′上有两个动点E，F，EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A-BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值二．填空题12．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件时，就有MN⊥A1C1；当N只需满足条件时，就有MN∥平面B1D1C．13．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于．三．解答题14．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2．（1）求证：AB 1∥平面BC1D；（2）若BC=3，求三棱锥D-BC1C的体积．2.2.2 平面与平面平行的判定●知识梳理1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

几何平行练习题练习一：平行线与平面1. 在平面P上，画一条直线AB，并以点C为中心、画一条与AB 平行的直线CD。

a) 证明直线CD和直线AB平行。

b) 若直线AB与另一条直线EF相交于点G，证明直线CD与直线EF平行。

2. 平面P上有一条直线AB和另一条直线CD，且这两条直线不在同一平面内。

a) 证明直线AB与直线CD平行。

b) 若直线CD与另一条直线EF相交于点G，证明直线AB与直线EF平行。

练习二：判断平行线1. 已知直线AB和直线CD平面上不重合且不相交，且它们的方向相同。

a) 证明直线AB与直线CD平行。

b) 若直线AB与另一条直线EF相交于点G，证明直线CD与直线EF平行。

2. 已知直线AB和直线CD平面上不重合且不相交，且它们的方向相反。

a) 证明直线AB与直线CD平行。

b) 若直线AB与另一条直线EF相交于点G，证明直线CD与直线EF平行。

练习三：平行线之间的性质1. 在△ABC中，直线DE与直线AB和直线AC平行，分别交边AB于点D、边AC于点E。

a) 证明直线DE与边BC平行。

b) 若直线FG与直线BC平行，交边AB于点F、边AC于点G，证明直线FG与直线DE平行。

2. 在△ABC中，直线DE和直线FG分别平行于边BC，分别交边AB于点D和F、边AC于点E和G。

a) 证明直线DE和直线FG平行。

b) 若直线HI与直线BC平行，交边AB于点H、边AC于点I，证明直线HI与直线DE、直线FG都平行。

练习四：平行线的证明1. 在平面P上，已知三条平行线l1，l2，l3。

a) 若直线m与l1平行且交直线l2于点A，证明直线m与直线l3平行。

b) 若直线n与直线l1平行且交直线l3于点B，证明直线n与直线l2平行。

2. 已知四条平行线l1，l2，l3，l4。

a) 若直线m通过直线l1，l2之间的交点且与直线l3平行，证明直线m与直线l4平行。

b) 若直线n通过直线l1，l2之间的交点且与直线l4平行，证明直线n与直线l3平行。

8.3直线、平面平行的判定和性质基础篇固本夯基考点一直线与平面平行的判定和性质1.(2021江苏扬州大学附中2月检测,5)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B1,AB的中点,P点在线段B1C上,则NP与平面AMC1的位置关系是()A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.要依P点的位置而定答案B2.(2021济南二模,7)已知正四面体ABCD的棱长为2,平面α与棱AB、CD均平行,则α截此正四面体所得截面面积的最大值为()A.1B.√2C.√3D.2答案A3.(多选)(2021山东青岛胶州调研,10)在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为线段AB,A1B1,AA1的中点,下列说法正确的是()A.平面AC1F∥平面B1CEB.直线FG∥平面B1CEC.直线CG与BF异面D.直线C1F与平面CGE相交答案AC4.(2020福建漳州适应性测试,16)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点N是棱A1B1的中点,点T是棱CC1上靠近点C的三等分点,动点Q在正方形D1DAA1(包含边界)内运动,且QB∥平面D1NT,则动点Q的轨迹的长为.答案√105.(2022届山东潍坊10月过程性测试,18)如图,平面ABCD⊥平面AEBF,四边形ABCD为矩形,△ABE和△ABF 均为等腰直角三角形,且∠BAF=∠AEB=90°.(1)求证:平面BCE⊥平面ADE;(2)若点G为线段FC上任意一点,求证:BG∥平面ADE.证明(1)因为四边形ABCD为矩形,所以BC⊥AB,又因为平面ABCD⊥平面AEBF,BC⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面AEBF=AB,所以BC⊥平面AEBF,又因为AE⊂平面AEBF,所以BC⊥AE.因为∠AEB=90°,即AE⊥BE,且BC、BE⊂平面BCE,BC∩BE=B,所以AE⊥平面BCE,又因为AE⊂平面ADE,所以平面ADE⊥平面BCE.(2)因为BC∥AD,AD⊂平面ADE,BC⊄平面ADE,所以BC∥平面ADE.因为△ABF和△ABE均为等腰直角三角形,且∠BAF=∠AEB=90°,所以∠EAB=∠ABF=45°,所以AE∥BF,又AE⊂平面ADE,BF⊄平面ADE,所以BF∥平面ADE,又BC∩BF=B,所以平面BCF∥平面ADE.又BG⊂平面FBC,所以BG∥平面ADE.6.(2022届广东佛山一中10月月考,20)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD=√2,四边形ABCD为等腰梯形,BC∥AD,BC=CD=1AD=1,E为PA的中点.2(1)证明:EB∥平面PCD;(2)求平面PAD与平面PCD所成的二面角θ的正弦值.解析(1)证明:取AD的中点O,连接EO,OB,∵E为PA的中点,O为AD的中点,∴OE∥PD,又OE⊄平面PCD,PD⊂平面PCD,∴OE∥平面PCD,又∵BC ∥AD,BC=12AD,∴四边形BCDO 为平行四边形,∴BO ∥CD, 又OB ⊄平面PCD,CD ⊂平面PCD,∴BO ∥平面PCD,又OE ∩BO=O,∴平面EBO ∥平面PCD, 又∵BE ⊂平面EBO,∴BE ∥平面PCD.(2)连接PO,∵PA=PD,O 为AD 的中点,∴PO ⊥AD, 又平面PAD ⊥平面ABCD,平面PAD ∩平面ABCD=AD, 所以PO ⊥平面ABCD,取BC 的中点M,连接OM, ∵四边形ABCD 是等腰梯形,∴OM ⊥AD, 建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),A(0,-1,0),D(0,1,0),C (√32,12,0),∴PD⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-1),CD ⃗⃗⃗⃗ =(−√32,12,0),设平面PCD 的法向量为n=(x,y,z),则{n ·PD ⃗⃗⃗⃗ =y −z =0,n ·CD⃗⃗⃗⃗ =−√32x +12y =0,令x=1,则y=z=√3,则n=(1,√3,√3), 易知平面PAD 的一个法向量为m=(1,0,0), ∴|cos θ|=|cos<m,n>|=|m·n||m||n|=√7,则sin θ=√427. 7.(2019江苏,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D,E 分别为BC,AC 的中点,AB=BC.求证: (1)A 1B 1∥平面DEC 1; (2)BE ⊥C 1E.证明(1)因为D,E分别为BC,AC的中点,所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1,A1B1⊄平面DEC1,所以A1B1∥平面DEC1.(2)因为AB=BC,E为AC的中点,所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,所以C1C⊥平面ABC.又因为BE ⊂平面ABC,所以C1C⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1,AC⊂平面A1ACC1,C1C∩AC=C,所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E ⊂平面A1ACC1,所以BE⊥C1E.8.(2020江苏,15,14分)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,B1C⊥平面ABC,E,F分别是AC,B1C的中点.(1)求证:EF∥平面AB1C1;(2)求证:平面AB1C⊥平面ABB1.证明(1)因为E,F分别是AC,B1C的中点,所以EF∥AB1,又EF⊄平面AB1C1,AB1⊂平面AB1C1,所以EF∥平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,所以B1C⊥AB.又AB⊥AC,B1C⊂平面AB1C,AC⊂平面AB1C,B1C∩AC=C,所以AB⊥平面AB1C,又因为AB⊂平面ABB1,所以平面AB1C⊥平面ABB1.9.(2020北京,16,13分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1的中点.(1)求证:BC1∥平面AD1E;(2)求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值.解析 (1)证明:∵ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体,∴D 1C 1∥A 1B 1,D 1C 1=A 1B 1.又AB ∥A 1B 1,AB=A 1B 1,∴D 1C 1∥AB,D 1C 1=AB,∴四边形ABC 1D 1为平行四边形,∴AD 1∥BC 1,又AD 1⊂平面AD 1E,BC 1⊄平面AD 1E,∴BC 1∥平面AD 1E.(2)不妨设正方体的棱长为2,如图,以{AD ⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为正交基底建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),A 1(0,0,2),D 1(2,0,2),E(0,2,1),∴AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2),AE ⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1),设平面AD 1E 的法向量为n=(x,y,z),直线AA 1与平面AD 1E 所成的角为θ, 则{n ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AE ⃗⃗⃗⃗ =0,即{2x +2z =0,2y +z =0,令z=-2,则{x =2,y =1,此时n=(2,1,-2),∴sin θ=|cos<n,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n||AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4+1+4×2=23, ∴直线AA 1与平面AD 1E 所成角的正弦值为23.考点二 平面与平面平行的判定和性质1.(2022届重庆巴蜀中学11月月考,8)在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点E,F,G,H 分别为棱AB,BC,C 1D 1,A 1D 1的中点,若平面α∥平面EFGH,且平面α与棱A 1B 1,B 1C 1,B 1B 分别交于点P,Q,S,其中点Q 是棱B 1C 1的中点,则三棱锥B 1-PQS 的体积为( ) A.1 B.12C.13D.16答案 D2.(2019课标Ⅱ文,7,5分)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是( ) A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面 答案 B3.(2021河北邢台月考,19)在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为正方形,AA 1=2AB=4,M,N,P 分别是AD,DD 1,CC 1的中点.(1)证明:平面MNC ∥平面AD 1P;(2)求直线DP 与平面MNC 所成角的正弦值.解析 (1)证明:因为M,N,P 分别是AD,DD 1,CC 1的中点,所以MN ∥AD 1,CN ∥PD 1.又AD 1⊄平面MNC,MN ⊂平面MNC,所以AD 1∥平面MNC,同理PD 1∥平面MNC, 又AD 1∩PD 1=D 1,所以平面MNC ∥平面AD 1P.(2)以D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),P(0,2,2),M(1,0,0),N(0,0,2),C(0,2,0),则DP ⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2),MN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2),MC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,0). 设平面MNC 的法向量为n=(x,y,z),则{MN⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =−x +2z =0,MC ⃗⃗⃗⃗ ·n =−x +2y =0,令z=1,得n=(2,1,1). 设直线DP 与平面MNC 所成角为θ,则sin θ=|cos<DP⃗⃗⃗⃗ ,n>|=|DP⃗⃗⃗⃗⃗ ·n||DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|=√33, 所以直线DP 与平面MNC 所成角的正弦值为√33.综合篇 知能转换A 组考法一 判断或证明线面平行的方法1.(2022届T8联考,7)如图,已知四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面为平行四边形,E,F,G 分别为棱AA 1,CC 1,C 1D 1的中点,则( )A.直线BC 1与平面EFG 平行,直线BD 1与平面EFG 相交B.直线BC 1与平面EFG 相交,直线BD 1与平面EFG 平行C.直线BC 1、BD 1都与平面EFG 平行D.直线BC 1、BD 1都与平面EFG 相交 答案 A2.(2022届湖南岳阳一中入学考试,18)如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧面ABB 1A 1是菱形,∠BAA 1=60°,E 是棱BB 1的中点,CA=CB,F 在线段AC 上,且AF=2FC. (1)证明:CB 1∥平面A 1EF;(2)若CA ⊥CB,平面CAB ⊥平面ABB 1A 1,求二面角F-A 1E-A 的余弦值.解析 (1)证明:连接AB 1交A 1E 于点G,连接FG, 易得△AGA 1∽△B 1GE,所以AG GB 1=AA 1EB 1=2,又因为AF FC =2,所以AF FC =AGGB 1,所以FG ∥CB 1,又CB 1⊄平面A 1EF,FG ⊂平面A 1EF,所以CB 1∥平面A 1EF.(2)过C 作CO ⊥AB 于点O,因为CA=CB,所以O 是线段AB 的中点.因为平面CAB ⊥平面ABB 1A 1,平面CAB ∩平面ABB 1A 1=AB,所以CO ⊥平面ABB 1A 1.连接A 1B,OA 1,由题意易知△ABA 1是等边三角形,又O 是线段AB 的中点,所以OA 1⊥AB.以O 为坐标原点,OA ⃗⃗⃗⃗ ,OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,不妨设AB=2,则A(1,0,0),A 1(0,√3,0),C(0,0,1),B(-1,0,0),F (13,0,23),B 1(-2,√3,0),E (−32,√32,0),则A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−√32,0),A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗ =13,-√3,23.设平面A 1FE 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1), 则{A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1=0,A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1=0,即{x 13−√3y 1+23z 1=0,−32x 1−√32y 1=0,令x 1=1,则n 1=(1,-√3,-5).易知平面ABB 1A 1的一个法向量为n 2=(0,0,1), 则cos<n 1,n 2>=n 1·n 2|n 1||n 2|=-5√2929,由题图可知,二面角F-A 1E-A 的平面角为锐角,所以二面角F-A 1E-A 的余弦值为5√2929. 3.(2022届南京二十九中10月月考,20)如图,在四棱锥P-ABCD 中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD,AD ∥BC,AB ⊥AD,AB=2BC=4,E 是棱PD 上的动点(除端点外),F,M 分别为AB,CE 的中点. (1)证明:FM ∥平面PAD;(2)若直线EF 与平面PAD 所成的最大角为30°,求平面CEF 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值.解析 (1)证明:取CD 的中点N,连接FN,MN,因为F,N 分别为AB,CD 的中点,所以FN ∥AD,又FN ⊄平面PAD,AD ⊂平面PAD,所以FN ∥平面PAD,因为M,N 分别是CE,CD 的中点,所以MN ∥PD,又MN ⊄平面PAD,PD ⊂平面PAD,所以MN ∥平面PAD,又FN ∩MN=N,所以平面MFN ∥平面PAD,又因为FM ⊂平面MFN,所以FM ∥平面PAD.(2)连接AE,因为平面PAD ⊥平面ABCD,且平面PAD ∩平面ABCD=AD,AB ⊥AD,AB ⊂平面ABCD,所以AB ⊥平面PAD,所以∠AEF 即为直线EF 与平面PAD 所成的角,且tan ∠AEF=AF AE =2AE, 当AE 最小,即AE ⊥PD,亦即E 为PD 中点时,∠AEF 最大,为30°,又因为AF=2,所以AE=2√3,所以AD=4. 取AD 的中点O,连接PO,OC,易知PO ⊥平面ABCD,因为AO ∥BC 且AO=12AD=BC,所以四边形ABCO 为平行四边形,所以AB ∥CO,又AB ⊥AD,所以AO ⊥OC,以O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.则O(0,0,0),C(4,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2√3),E(0,1,√3),F(2,-2,0),则CE ⃗⃗⃗⃗ =(-4,1,√3),FC ⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),设平面CEF 的法向量为n 1=(x,y,z),则{n 1·FC⃗⃗⃗ =0,n 1·CE ⃗⃗⃗ =0,即{2x +2y =0,−4x +y +√3z =0,可取n 1=(√3,-√3,5).易知平面PAD 的一个法向量为n 2=(1,0,0), 所以cos<n 1,n 2>=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=√3√31=√9331,所以平面CEF 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值为√9331.4.(2019课标Ⅰ理,18,12分)如图,直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,AA 1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N 分别是BC,BB 1,A 1D 的中点. (1)证明:MN ∥平面C 1DE; (2)求二面角A-MA 1-N 的正弦值.解析 (1)证明:连接B 1C,ME.因为M,E 分别为BB 1,BC 的中点,所以ME ∥B 1C,且ME=12B 1C.又因为N 为A 1D 的中点,所以ND=12A 1D.由题设知A 1B 1 DC,可得B 1C A 1D,故ME ND,因此四边形MNDE 为平行四边形,则MN ∥ED.又MN ⊄平面EDC 1,所以MN ∥平面C 1DE.(2)由已知可得DE ⊥DA.以D 为坐标原点,DA⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz, A(2,0,0),A 1(2,0,4),M(1,√3,2),N(1,0,2),A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,-4),A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,-2),A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,-2),MN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-√3,0).设m=(x,y,z)为平面A 1MA 的法向量,则{m ·A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.所以{−x +√3y −2z =0,−4z =0.可取m=(√3,1,0).设n=(p,q,r)为平面A 1MN 的法向量,则{n ·MN⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.所以{−√3q =0,−p −2r =0.可取n=(2,0,-1).于是cos<m,n>=m·n |m||n|=√32×√5=√155, 所以二面角A-MA 1-N 的正弦值为√105.5.(2021广东珠海一模,19)如图,三棱锥P-ABC 中,PA ⊥AB,AB ⊥AC,AB=AC=√2,PB=PC=√6,点M 是PA 的中点,点D 是AC 的中点,点N 在PB 上,且PN=2NB. (1)证明:BD ∥平面CMN;(2)求直线CN 与平面ABC 所成角的正切值.解析 (1)证明:如图,连接PD 交CM 于O,则O 为△PAC 的重心,PO=2OD,连接ON,因为PN=2NB,所以ON ∥BD,因为ON ⊂平面CMN,BD ⊄平面CMN,所以BD ∥平面CMN.(2)因为PB=PC,AB=AC,PA=PA,所以△PAB ≌△PAC,所以∠PAC=∠PAB=90°,所以PA=√PC 2−AC 2=√6−2=2,又因为PA ⊥AB,AB ∩AC=A,所以PA ⊥平面ABC,过N 作NH ⊥AB 于H,连接HC,因为NH ∥PA,所以NH ⊥平面ABC,所以NH ⊥HC,且AH=23AB,直线CN 与平面ABC 所成角为∠NCH,所以直线CN 与平面ABC 所成角的正切值tan ∠NCH=NH HC=13PA √AC 2+(23AB )2=13×2√(√2)2+(23×√2)2=√2613.6.(2017课标Ⅱ理,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD 中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,∠BAD=∠ABC=90°,E 是PD 的中点. (1)证明:直线CE ∥平面PAB;(2)点M 在棱PC 上,且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°,求二面角M-AB-D 的余弦值.解析 (1)证明:取PA 的中点F,连接EF,BF.因为E 是PD 的中点,所以EF ∥AD,EF=12AD.由∠BAD=∠ABC=90°得BC ∥AD,又BC=12AD,所以EF BC,所以四边形BCEF 是平行四边形,所以CE ∥BF,又BF ⊂平面PAB,CE ⊄平面PAB,故CE ∥平面PAB.(2)由已知得BA ⊥AD,以A 为坐标原点,AB ⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,|AB ⃗⃗⃗⃗ |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,√3),则PC⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-√3),AB ⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0). 设M(x,y,z)(0<x<1),则BM ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-1,y,z),PM⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y-1,z-√3).因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°,而n=(0,0,1)是底面ABCD 的一个法向量,所以|cos<BM⃗⃗⃗⃗⃗ ,n>|=sin45°,即√(x−1)+y 2+z 2=√22,即(x-1)2+y 2-z 2=0.①又M 在棱PC 上,设PM⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗ ,则 x=λ,y=1,z=√3-√3λ.②由①,②解得{ x =1+√22,y =1,z =−√62(舍去),或{ x =1−√22,y =1,z =√62,所以M (1−√22,1,√62),从而AM⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−√22,1,√62).设m=(x 0,y 0,z 0)是平面ABM 的法向量,则{m ·AM⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·AB⃗⃗⃗⃗ =0,即{(2−√2)x 0+2y 0+√6z 0=0,x 0=0,所以可取m=(0,-√6,2). 于是cos<m,n>=m·n |m||n|=√105. 易知所求二面角为锐二面角. 因此二面角M-AB-D 的余弦值为√105.考法二 判断或证明面面平行的方法(2021太原一模,19)如图,在三棱锥P-ABC 中,△PAB 是正三角形,G 是△PAB 的重心,D,E,H 分别是PA,BC,PC 的中点,点F 在BC 上,且BF=3FC. (1)求证:平面DFH ∥平面PGE;(2)若PB ⊥AC,AB=AC=2,BC=2√2,求二面角A-PC-B 的余弦值.解析 (1)证明:连接BG,GD,由题意得BG 与GD 共线,且BG=2GD, ∵E 是BC 的中点,BF=3FC,∴F 是CE 的中点, ∴BGGD =BEEF=2,∴GE ∥DF,∵GE ⊂平面PGE,DF ⊄平面PGE,∴DF ∥平面PGE, ∵H 是PC 的中点,∴FH ∥PE,∵HF ⊄平面PGE,PE ⊂平面PGE,∴FH ∥平面PGE, ∵DF ∩FH=F,∴平面DFH ∥平面PGE.(2)∵AB=AC=2,BC=2√2,∴AB 2+AC 2=8=BC 2,∴AB ⊥AC,又∵PB ⊥AC,AB ∩PB=B,∴AC ⊥平面PAB,以A 为坐标原点,向量AB ⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴,y 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,由题意得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(1,0,√3),则AC⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),AP ⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3),PC ⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-√3),BC ⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,0),设平面PAC 的法向量是m=(x 1,y 1,z 1),则{m ·AC⃗⃗⃗⃗ =0,m ·AP⃗⃗⃗⃗ =0,∴{2y 1=0,x 1+√3z 1=0,则y 1=0,令z 1=-1,则x 1=√3,∴m=(√3,0,-1), 设平面PBC 的法向量是n=(x 2,y 2,z 2),则{n ·PC⃗⃗⃗ =0,n ·BC⃗⃗⃗⃗ =0,∴{−x 2+2y 2−√3z 2=0,−2x 2+2y 2=0,令z 2=1,则{x 2=√3,y 2=√3,∴n=(√3,√3,1), ∴cos<m,n>=m·n |m||n|=√77,又知二面角A-PC-B 是锐二面角,∴二面角A-PC-B 的余弦值为√77. B 组1.(多选)(2021南京航空航天大学附中期中,10)已知棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,过对角线BD 1作平面α交棱AA 1于点E,交棱CC 1于点F,以下结论正确的是( ) A.四边形BFD 1E 不一定是平行四边形 B.平面α分正方体所得两部分的体积相等 C.平面α与平面DBB 1不可能垂直 D.四边形BFD 1E 面积的最大值为√2答案 BD2.(多选)(2021广东肇庆二模,12)在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=AD=1,AA 1=2,P 是线段BC 1上的一动点,则下列说法中正确的是( ) A.A 1P ∥平面AD 1CB.A 1P 与平面BCC 1B 1所成角的正切值的最大值是2√55C.A 1P+PC 的最小值为√1705D.以A 为球心,√2为半径的球面与侧面DCC 1D 1的交线长是π2答案 ACD。

直线、平面平行的判定与性质1．(2019·西安模拟)设α，β是两个平面，直线a ⊂α，则“a ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 依题意，由a ⊂α，a ∥β不能推出α∥β，此时平面α与β可能相交；反过来，由α∥β，a ⊂α，可得a ∥β.综上所述，“a ∥β”是“α∥β”的必要不充分条件，选B.2．(2019·四川名校联考)如图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定解析：选B 由题可得A 1M ＝13A 1B ，AN ＝13AC ，所以分别取BC ，BB 1上的点P ，Q ，使得CP ＝23BC ，B Q ＝23BB 1，连接M Q ，NP ，P Q ，则M Q 綊23B 1A 1，NP 綊23AB ，又B 1A 1綊AB ，故M Q 綊NP ，所以四边形M Q PN 是平行四边形，则MN ∥Q P ，Q P ⊂平面BB 1C 1C ，MN ⊄平面BB 1C 1C ，则MN ∥平面BB 1C 1C ，故选B.3．(2019·枣庄诊断)如图，直三棱柱ABC ­A ′B ′C ′中，△ABC 是边长为2的等边三角形，AA ′＝4，点E ，F ，G ，H ，M 分别是边AA ′，AB ，BB ′，A ′B ′，BC 的中点，动点P 在四边形EFGH 内部运动，并且始终有MP ∥平面ACC ′A ′，则动点P 的轨迹长度为( )A ．2B ．2πC ．2 3D ．4解析：选D 连接MF ，FH ，MH ，因为M ，F ，H 分别为BC ，AB ，A ′B ′的中点，所以MF ∥平面AA ′C ′C ，FH ∥平面AA ′C ′C ，所以平面MFH ∥平面AA ′C ′C ，所以M 与线段FH 上任意一点的连线都平行于平面AA ′C ′C ，所以点P 的运动轨迹是线段FH ，其长度为4，故选D.4．(2019·成都模拟)已知直线a ，b 和平面α，下列说法中正确的是( ) A ．若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b B ．若a ⊥α，b ⊂α，则a ⊥bC．若a，b与α所成的角相等，则a∥bD．若a∥α，b∥α，则a∥b解析：选B 对于A，若a∥α，b⊂α，则a∥b或a与b异面，故A错；对于B，利用线面垂直的性质，可知若a⊥α，b⊂α，则a⊥b，故B正确；对于C，若a，b与α所成的角相等，则a与b相交、平行或异面，故C错；对于D，由a∥α，b∥α，则a，b之间的位置关系可以是相交、平行或异面，故D错．5．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MN Q不平行的是( )解析：选A 法一：对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以M Q∥CD，所以AB∥M Q .又AB⊄平面MN Q，M Q⊂平面MN Q，所以AB∥平面MN Q.同理可证选项C、D中均有AB∥平面MN Q.故选A.法二：对于选项A，设正方体的底面对角线的交点为O(如图所示)，连接O Q，则O Q∥AB.因为O Q与平面MN Q有交点，所以AB与平面MN Q有交点，即AB与平面MN Q不平行，根据直线与平面平行的判定定理及三角形的中位线性质知，选项B、C、D中AB∥平面MN Q.故选A.6．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，则n∥α解析：选C 对于A，若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交；对于B，若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交；易知C正确；对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n在平面α内．故选C.7．如图所示，三棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________．解析：设BC 1∩B 1C ＝O ，连接OD .∵A 1B ∥平面B 1CD 且平面A 1BC 1∩平面B 1CD ＝OD ，∴A 1B ∥OD ，∵四边形BCC 1B 1是菱形， ∴O 为BC 1的中点，∴D 为A 1C 1的中点，则A 1D ∶DC 1＝1.答案：18．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，下列结论中，正确的是________(只填序号)． ①AD 1∥BC 1；②平面AB 1D 1∥平面BDC 1； ③AD 1∥DC 1；④AD 1∥平面BDC 1.解析：连接AD 1，BC 1，AB 1，B 1D 1，C 1D ，BD ，因为AB 綊C 1D 1，所以四边形AD 1C 1B 为平行四边形，故AD 1∥BC 1，从而①正确；易证BD ∥B 1D 1，AB 1∥DC 1，又AB 1∩B 1D 1＝B 1，BD ∩DC 1＝D ，故平面AB 1D 1∥平面BDC 1，从而②正确；由图易知AD 1与DC 1异面，故③错误；因为AD 1∥BC 1，AD 1⊄平面BDC 1，BC 1⊂平面BDC 1，故AD 1∥平面BDC 1，故④正确．答案：①②④9．在三棱锥P ­ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△PAC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：如图，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ，过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，连接MN ，则四边形EFMN 是平行四边形(平面EFMN 为所求截面)，且EF＝MN ＝23AC ＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：810．(2019·南宁毕业班摸底)如图，△ABC 中，AC ＝BC ＝22AB ，四边形ABED 是边长为1的正方形，平面ABED ⊥底面ABC ，G ，F 分别是EC ，BD 的中点．(1)求证：GF ∥底面ABC ； (2)求几何体ADEBC 的体积．解：(1)证明：如图，取BC 的中点M ，AB 的中点N ，连接GM ，FN ，MN .∵G ，F 分别是EC ，BD 的中点， ∴GM ∥BE ，且GM ＝12BE ，NF ∥DA ，且NF ＝12DA .又四边形ABED 为正方形，∴BE ∥AD ，BE ＝AD ， ∴GM ∥NF 且GM ＝NF .∴四边形MNFG 为平行四边形．∴GF ∥MN ，又MN ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ， ∴GF ∥平面ABC .(2)连接CN ，∵AC ＝BC ，∴CN ⊥AB ， 又平面ABED ⊥平面ABC ，CN ⊂平面ABC ， ∴CN ⊥平面ABED .易知△ABC 是等腰直角三角形，∴CN ＝12AB ＝12，∵C ­ABED 是四棱锥，∴V C ­ABED ＝13S 四边形ABED ·CN ＝13×1×12＝16.11．如图，四边形ABCD 与四边形ADEF 为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点，求证：(1)BE ∥平面DMF ； (2)平面BDE ∥平面MNG .证明：(1)如图，连接AE ，设DF 与GN 的交点为O ， 则AE 必过DF 与GN 的交点O . 连接MO ，则MO 为△ABE 的中位线， 所以BE ∥MO .又BE ⊄平面DMF ，MO ⊂平面DMF ， 所以BE ∥平面DMF .(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，所以DE ∥GN . 又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ， 所以DE ∥平面MNG . 又M 为AB 的中点， 所以MN 为△ABD 的中位线， 所以BD ∥MN .又BD ⊄平面MNG ，MN ⊂平面MNG ， 所以BD ∥平面MNG .又DE ⊂平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ， 所以平面BDE ∥平面MNG .12．(2019·河南八市联考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AD ，PA 的中点，点Q 是BC上一个动点．(1)当Q 是BC 的中点时，求证：平面BEF ∥平面PD Q ；(2)当BD ⊥F Q 时，求B QQ C的值．解：(1)证明：∵E ，Q 分别是AD ，BC 的中点， ∴ED ＝B Q ，ED ∥B Q ，∴四边形BED Q 是平行四边形， ∴BE ∥D Q.又BE ⊄平面PD Q ，D Q ⊂平面PD Q ， ∴BE ∥平面PD Q ，又F 是PA 的中点，∴EF ∥PD ， ∵EF ⊄平面PD Q ，PD ⊂平面PD Q ， ∴EF ∥平面PD Q ，∵BE ∩EF ＝E ，BE ⊂平面BEF ，EF ⊂平面BEF ， ∴平面BEF ∥平面PD Q. (2)如图，连接A Q ，∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BD . ∵BD ⊥F Q ，PA ∩F Q ＝F ，PA ⊂平面PA Q ，F Q ⊂平面PA Q ， ∴BD ⊥平面PA Q ，∵A Q ⊂平面PA Q ，∴A Q ⊥BD ，在矩形ABCD 中，由A Q ⊥BD 得△A Q B 与△DBA 相似， ∴AB 2＝AD ×B Q ， 又AB ＝1，AD ＝2， ∴B Q ＝12，Q C ＝32，∴B Q Q C ＝13.。

2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定一、选择题1.下列说法中正确的是 ( )A.如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行B.如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行C.如果一个平面内任意一条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行D.若果两个平面平行于同一条直线,那么这两个平面平行2.下列命题中,正确的个数为 ( )①若a ∥b ,α⊂b ,则a ∥α②若a ∥α,b ∥α,则a ∥b③若a ∥b ,b ∥α,则a ∥α④若a ∥α,α⊂b ,则a ∥bA.0B.1C.2D.33.已知三条互相平行的直线c b a ,,中，,,βα⊂⊂c b a 、则两个平面βα,的位置关系是（ ）A.平行B.相交C.平行或相交D.重合4.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是（ ）A.都平行B.都相交C.在这两个平面内D.至少和其中一个平面平行5.下列说法正确的是 （ ）①若一个平面内的任何直线都与另一个平面无公共点，则这两个平面平行②过平面外一点有且仅有一个平面和已知平面平行③过平面外两点不能作平面与已知平面平行④若一条直线和一个平面平行，经过这条直线的任何平面都与已知平面平行A. ①③B. ②④C. ①②D. ②③④二、填空题6.若直线b a =A ，a ∥α，则b 与α的位置关系是＿＿＿＿＿＿＿7.若直线a b a 满足，与平面βα,∥b ,a ∥α,b ∥β,则平面α与平面β的位置关系是 ＿＿＿＿＿＿＿＿8.过平面外一点有＿＿＿条直线与已知平面平行,过平面外一点有且只有＿＿＿个平面与已知平面平行.9.正方体1111D C B A ABCD -中,的平面与过的中点，则为E C A BD DD E ,,11的位置关系是＿＿＿＿＿＿三、解答题10.正方体1111D C B A ABCD -中个，F E N M ,,,分别为棱11111111,,,D C C B D A B A 的中点。

完整版)线线、线面、面面平行练习题(含答案)一、选择题1.B2.C3.B4.B5.A6.A二、填空题7.直线MN与直线BD异面。

三、解答题10.因为D是AC的中点，所以BD平分角ABC，即∠ABD=∠CBD。

又因为AB=AC，所以△ABD≌△CBD，从而BD=BD，即BD//平面ABC。

又因为A1D1//ABC，所以BD//A1D1，即BD//平面A1BD。

因此，BD//平面A1BD，即B1C1//平面A1BD，即B1C1//平面ABD。

11.1) 因为E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点，所以MN//CD，MN=CD/2.又因为ABCD是平行六面体，所以BD//AC，从而△BDA≌△CDA1，即BD=AC，BD=2AC/√3.所以MN=CD/2=AC/√3=BD/2√3，即MN//B1D1.2) 因为E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点，所以MN=CD/2=AC/√3，EN=CG=AC/2.又因为ABCD是平行六面体，所以BD//AC，从而△BDA≌△CDA1，即BD=AC，BD=2AC/√3.所以AE=BD/2=AC/√3，从而AE=EN，即AEEN是平行四边形，即AE//EN。

又因为XXX，所以AE//MN，即平面AEM//平面MNC。

又因为平面AEM与平面ABC的交线是直线AE，平面MNC与平面ABC的交线是直线MN，所以AE//MN//BD，即B1D1//平面AEM。

因此，AC1//平面AEM//B1D1，即AC1//平面EB1D1.3) 因为E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点，所以MN=CD/2=AC/√3，EN=CG=AC/2.又因为ABCD是平行六面体，所以BD//AC，从而△BDA≌△CDA1，即BD=AC，BD=2AC/√3.又因为D1是BD的中点，所以D1C1=BC/2=AC/2√2.所以MN=CD/2=AC/√3=D1C1√2/√3，即MN//D1C1.又因为E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点，所以EG=CC1/2=AC/2√2.又因为ABCD是平行六面体，所以AD//BC，从而△ABD≌△CBA1，即AD=BC，AD=2AC/√3.所以EG=CC1/2=AC/2√2=AD/2√2，即EG//AD。

直线、平面平行与垂直的综合问题训练题1.如图，四棱锥P ­ABCD 的底面ABCD 是圆内接四边形(记此圆为W )，且PA ⊥平面ABCD .(1)当BD 是圆W 的直径时，PA ＝BD ＝2，AD ＝CD ＝3，求四棱锥P ­ABCD 的体积．(2)在(1)的条件下，判断在棱PA 上是否存在一点Q ，使得B Q ∥平面PCD ？若存在，求出A Q 的长；若不存在，请说明理由．解：(1)因为BD 是圆W 的直径，所以BA ⊥AD ，因为BD ＝2，AD ＝3，所以AB ＝1.同理BC ＝1，所以S 四边形ABCD ＝AB ·AD ＝ 3.因为PA ⊥平面ABCD ，PA ＝2，所以四棱锥P ­ABCD 的体积V ＝13S 四边形ABCD ·PA ＝233. (2)存在，A Q ＝23.理由如下． 延长AB ，DC 交于点E ，连接PE ，则平面PAB 与平面PCD 的交线是PE . 假设在棱PA 上存在一点Q ，使得B Q ∥平面PCD ，则B Q ∥PE ，所以A Q PA ＝AB AE. 经计算可得BE ＝2，所以AE ＝AB ＋BE ＝3，所以A Q ＝23. 故存在这样的点Q ，使B Q ∥平面PCD ，且A Q ＝23. 2.如图，侧棱与底面垂直的四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的底面是梯形，AB∥CD ，AB ⊥AD ，AA 1＝4，DC ＝2AB ，AB ＝AD ＝3，点M 在棱A 1B 1上，且A 1M ＝13A 1B 1.已知点E 是直线CD 上的一点，AM ∥平面BC 1E . (1)试确定点E 的位置，并说明理由；(2)求三棱锥M ­BC 1E 的体积．解：(1)点E 在线段CD 上且EC ＝1，理由如下：在棱C 1D 1上取点N ，使得D 1N ＝A 1M ＝1，连接MN ，DN ，因为D 1N ∥A 1M ，所以四边形D 1NMA 1为平行四边形，所以MN 綊A 1D 1綊AD .所以四边形AMND 为平行四边形，所以AM ∥DN .因为CE ＝1，所以易知DN ∥EC 1，所以AM ∥EC 1，又AM ⊄平面BC 1E ，EC 1⊂平面BC 1E ，所以AM ∥平面BC 1E .故点E 在线段CD 上且EC ＝1.(2)由(1)知，AM ∥平面BC 1E ，所以V M ­BC 1E ＝V A ­BC 1E ＝V C 1­ABE ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3×3×4＝6. 3．(2019·湖北武汉部分学校调研)如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 是CD 的中点，将△ADE 沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥D 1­ABCE ，其中平面D 1AE ⊥平面ABCE .(1)证明：BE ⊥平面D 1AE ；(2)设F 为CD 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使得MF ∥平面D 1AE ，若存在，求出AM AB的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形且AD ＝DE ＝EC ＝BC ＝2，∴∠AEB ＝90°，即BE ⊥AE ，又平面D 1AE ⊥平面ABCE ，平面D 1AE ∩平面ABCE ＝AE ，∴BE ⊥平面D 1AE . (2)当AM AB ＝14时，MF ∥平面D 1AE ，理由如下： 取D 1E 的中点L ，连接FL ，AL ，∴FL ∥EC ，又EC ∥AB ，∴FL ∥AB ，且FL ＝14AB ， ∴M ，F ，L ，A 四点共面，又MF ∥平面AD 1E ，∴MF ∥AL .∴四边形AMFL 为平行四边形，∴AM ＝FL ＝14AB ，AM AB ＝14.4．如图1所示，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 为AC 的中点，AE ⊥BD 于点E (不同于点D )，延长AE 交BC 于点F ，将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥A 1­BCD ，如图2所示．(1)若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A1EF.(2)求证：BD⊥A1F.(3)若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？请说明理由．解：(1)证明：∵D，M分别为AC，FC的中点，∴DM∥EF，又∵EF⊂平面A1EF，DM⊄平面A1EF，∴DM∥平面A1EF.(2)证明：∵EF⊥BD，A1E⊥BD，A1E∩EF＝E，A1E⊂平面A1EF，EF⊂平面A1EF，∴BD⊥平面A1EF，又A1F⊂平面A1EF，∴BD⊥A1F.(3)直线A1B与直线CD不能垂直．理由如下：∵平面BCD⊥平面A1BD，平面BCD∩平面A1BD＝BD，EF⊥BD，EF⊂平面BCD，∴EF⊥平面A1BD，又∵A1B⊂平面A1BD，∴A1B⊥EF，又∵DM∥EF，∴A1B⊥DM.假设A1B⊥CD，∵DM∩CD＝D，∴A1B⊥平面BCD，∴A1B⊥BD，与∠A1BD为锐角矛盾，∴直线A1B与直线CD不能垂直．5．(2019·河南名校联考)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，四边形ACFE是矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，点M在线段EF上．(1)求证：BC⊥平面ACFE；(2)当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．解：(1)证明：在梯形ABCD中，因为AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，所以四边形ABCD是等腰梯形，且∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°，所以∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，所以AC⊥BC.又平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面ACFE.(2)当EM ＝33a 时，AM ∥平面BDF ，理由如下：如图，在梯形ABCD 中，设AC ∩BD ＝N ，连接FN .由(1)知四边形ABCD 为等腰梯形，且∠ABC ＝60°，所以AB ＝2DC ，则CN ∶NA ＝1∶2.易知EF ＝AC ＝3a ，所以AN ＝233a . 因为EM ＝33a ， 所以MF ＝23EF ＝233a ， 所以MF 綊AN ，所以四边形ANFM 是平行四边形，所以AM ∥NF ，又NF ⊂平面BDF ，AM ⊄平面BDF ，所以AM ∥平面BDF .6.如图所示的五面体ABEDFC 中，四边形ACFD 是等腰梯形，AD ∥FC ，∠DAC ＝60°，BC ⊥平面ACFD ，CA ＝CB ＝CF ＝1，AD ＝2CF ，点G为AC 的中点．(1)在AD 上是否存在一点H ，使GH ∥平面BCD ？若存在，指出点H的位置并给出证明；若不存在，说明理由；(2)求三棱锥G ­ECD 的体积．解：(1)存在点H 使GH ∥平面BCD ，此时H 为AD 的中点．证明如下．取点H 为AD 的中点，连接GH ，因为点G 为AC 的中点，所以在△ACD 中，由三角形中位线定理可知GH ∥CD ，又GH ⊄平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以GH ∥平面BCD .(2)因为AD ∥CF ，AD ⊂平面ADEB ，CF ⊄平面ADEB ，所以CF ∥平面ADEB ，因为CF ⊂平面CFEB ，平面CFEB ∩平面ADEB ＝BE ，所以CF ∥BE ，又CF ⊂平面ACFD ，BE ⊄平面ACFD ， 所以BE ∥平面ACFD ，所以V G ­ECD ＝V E ­GCD ＝V B ­GCD .因为四边形ACFD 是等腰梯形，∠DAC ＝60°，AD ＝2CF ＝2AC ，所以∠ACD ＝90°，又CA ＝CB ＝CF ＝1，所以CD ＝3，CG ＝12， 又BC ⊥平面ACFD ，所以V B ­GCD ＝13×12CG ×CD ×BC ＝13×12×12×3×1＝312. 所以三棱锥G ­ECD 的体积为312.。

平面平行的判定及其性质羄直线、1.2.薂下列命题中，正确命题的是④.；肇①若直线I上有无数个点不在平面：.内，则I // ：•芆②若直线I与平面「平行，则I与平面「内的任意一条直线都平行；莁③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线I与平面「平行，则I与平面:.内的任意一条直线都没有公共点3.4. 芀下列条件中，不能判断两个平面平行的是____________ （填序号）肇①一个平面内的一条直线平行于另一个平面蚆②一个平面内的两条直线平行于另一个平面膃③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面聿④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面答案①②③5.5. 腿对于平面和共面的直线m n,下列命题中假命题是________________ （填序号）肇①若mL用,m丄n,贝V n / 、丄薁②若mil :- , n // :•，贝V m// n膂③若m二：z , n// :•，贝U m// n芇④若m n与：•所成的角相等，则m// n 答案①②④7.6. 膄已知直线a, b,平面「，则以下三个命题：芃①若a // b, b二：乂，则a //⑶袁②若a // b, a //芒,贝U b //芒;莆③若 a // ：•, b // :-,则 a // b.薅其中真命题的个数是答案09.7. 羅直线a//平面M直线b M那么a// b是b〃M的条件.蚀A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.不充分也不必要11.12.蒆能保证直线a与平面〉平行的条件是， a// b p bu a， a//b肆A. a 広a, b u a， c//a，a//b，a//c蒃C. b u a£a，C^b， D e b 且AC=BD葿D. b u 口，A^a，B13.14. 薆如果直线a平行于平面?,则 _________a平行 B.平面〉内无数条直线与a平行蒇A.平面?内有且只有一直线与a平行的直线 D.平面〉内的任意直线与直线a都平行膅C.平面〉内不存在与15.15. 蒂如果两直线a// b,且a//平面〉,则b与〉的位置关系__________蚆A.相交B. b〃° c.匕匚口D.b〃°或b u°17.16. 薄下列命题正确的个数是______19.17. 蚃（1）若直线I上有无数个点不在平面a内,则I // al与平面a平行,则l与平面a内的任意一直线平行芁（2）若直线，那么另一条也与这个平面平行蚆（3）两条平行线中的一条直线与一个平面平行a和平面a内一直线b平行，则a // a羅（4 ）若一直线莄A.0个 B.1个 C.2个 D.3个21.22. 罿b是平面a外的一条直线，下列条件中可得出b/ a是肀A. b与a内的一条直线不相交 B. b与a内的两条直线不相交莅C.b与a内的无数条直线不相交 D.b与a内的所有直线不相交23.23. 螂已知两条相交直线a、b, a//平面a ,则b与a的位置关系肂A. b / a B.b与a相交 C.b」a D.b/ a或b与a相交25.24. 膀如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC, SGSAB上的高，D E、F分别是AC BC SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.螆解SG//平面DEF证明如下：薄方法一：三角形中位线连接CG交螁••• DE是厶ABC的中位线，芀••• DE// AB.腿在△ ACG中, D是AC的中点，羂且DH// AG薀• H为CG的中点.艿• FH是厶SCG的中位线，芄• FH// SG蚄又SG亿平面DEF FHU平面DEF,荿••• SG//平面DEF荿方法二：平面平行的性质蚅••• EF为厶SBC的中位线，• EF/ SB膂••• EF伉平面SAB SBu平面SAB莂• EF//平面SAB葿同理可证，DF//平面SAB EF A DF=F ,肆.••平面SAB/平面DEF,又SG二平面SAB • SG//平面DEF27.25. 袄如图所示，在正方体ABC—ABC1D1中，E、F、G H分别是BC CG、賺CD、A1A的中点.求证：蕿（1）BF/ HD;蒇（2）EG//平面BBDD;莁（3）平面BDF/平面BDH袀证明平行四边形的性质，平行线的传递性虿（1 ）如图所示，取BB的中点M易证四边形蚄又••• MC/ BF,「. BF/ HD.肃（2）取BD的中点0,连接E0, D0,贝U OE^蚈又DG& I DC• OE^ DG2蝿.••四边形OEGD是平行四边形，• GE// DO.肄又D 0-平面BB D D, • EG/平面BBD D.蒁（3）由（1）知DH// BF,又BD// BD, BD、HD =平面HBD, BF、BH 平面BDF,且BD A HD=D, DBA BF=B,「.平面BDF// 平面B D H.29.26. 螁如图所示，在三棱柱ABC-A i B C中，M N分别是BC和A i B i的中点. 衿求证：MN//平面AACC.蒅证明方法一：平行四边形的性质膃设AC中点为F,连接NF, FC,蒀••• N为A i B i中点,衿••• NF// BQ,且NF=^B C i,2祎又由棱柱性质知B i C i庄BC蚁又M是BC的中点，艿• NF MC羈.••四边形NFCM^平行四边形.芇• MIN/ CF,又CF 平面AA C i, MN二平面AA C ,• MIN/平面AAC C. 莃方法二：三角形中位线的性质节连接AM交C C于点P,连接A i P, 肇T M是BC的中点，且MC/ B i C i,莄• M是B i P的中点,肅又••• N为A B中点,肁• MN// A P,又 A PU 平面AA C , MW 平面AAC,：MIN/平面AACC.膈方法三：平面平行的性质 螅设BiG 中点为Q 连接NQ MQ ,薃•••M Q 是BG BG 的中点，袀•••MQ CG ,又 CGu 平面 AAGC, MQ 伉平面 AAGC, 芈•••MQ/平面 AA C i C.膆•••N 、Q 是A B i 、B i C 的中点,芅• NQ 二 AQ ,又 A i C 二平面 AAC C, NQ 二平面 AAC C, 蕿• NQ//平面 AA C i C.莈又••• MQ P NQB ,「.平面 MNQ 平面 AAC C, 薇又MN 二平面MNQ. MIN/平面AA C C.3 i .32.螂如图所示，正方体 ABC — A B i C D 中，侧面对角线 AB , BC 上分 别有两点 E , F ,且B E=C F. 蚁求证： EF //平面 ABCD 蒈方法一：平行四边形的性质螃过E 作ES// BB 交AB 于S,过F 作FT // BB 交BC 于 T ,蒄连接ST ,则-AE 更，且AB i B i B BC i C i C莀T B i E=C F , B A=CB,. AE=BF蒈•••旦,••• ES=FTB i B CC i膄又••• ES// B B// FT ,.四边形 EFTS 为平行四边形Bl ______ G袂•••EF// ST ,又 ST=平面 ABCD EFC ：平面 ABCD ： EF//平面 ABCD腿方法二：相似三角形的性质 薈连接BF 交BC 于点Q 连接AQ薅••• BQ // BC, • B 1L =圧BQ C 1B膂• EF // AQ 又 AQ=平面 ABCD EF 二平面 ABCD •- EF//平面 ABCD 蚇方法三：平面平行的性质 羆过E 作EG/ AB 交BB 于G,肂连接GF,则B 11史£ ,B 1A B 1B羁 TB i E=C i F , BA=CB ,螇••• C i E =B i G , • FG // B l C i // BC C 1B B i B 莇又 EG A FG P G , AB A BC=B ,螄.••平面 EFG/平面 ABCD 而EF 二平面EFG螀• EF//平面ABCD33.34.袇如图所示，在正方体 ABC — A B i C D 中，O 为底面ABCD 的中心,P 是DD 的中点，设薄T B i E=C i F , BiA=GB,B L E B ,FB 1D B i QQ是CC上的点，问：当点Q在什么位置时，平面DBQ// 平面PAO蒄解面面平行的判定节当Q为CC的中点时，A B葿平面 DBQ//平面PAO羇••• Q 为CG 的中点，P 为DD 的中点，••• QB// PA袅：P 、O 为 DD 、DB 的中点，• DB// PO羄又 PO P PA=P , DB A QB=B , 薂DB //平面PAO QB//平面 PAO 肇.••平面 DBQ//平面PAO芆直线与平面平行的性质定理35.EFGH 为空间四边形ABCD 勺一个截面，若截面为平行四边形芀(1)求证：AB//平面 EFGH CD//平面 EFGH肇(2)若AB=4, CD=6,求四边形EFGH 周长的取值范围 蚆(1)证明•••四边形EFGH 为平行四边形，• EF// HG膃•••HX 平面 ABD • EF//平面 ABD 聿•••EF 平面 ABC 平面 ABD A 平面 ABCAB腿• EF// AB. • AB//平面 EFGH 肇同理可证，CD//平面EFGH薁⑵ 解 设EF=x (O v x v 4)，由于四边形 EFGH 为平行四边形,膂•••CF=x 则 FG = B F = B C -C F =1- x .从而 F G=6- 1 2 3x . •••四边形 EFGH 的周长 CB 4 6 BC BC 4 21 =2(x+6-5)=12- x.又0v x v 4,则有8v l v 12, •四边形 EFGH 周长的取值范围是(8,212) 37.36.莁如图所示，四边形 AC38.芇如图所示，平面：• //平面［，点A € :. , C €「，点B € 1 , D € ［，点E , F 分别在线 段 AB CD 上，且 AE ： EB=CF ： FD薆••• AC// DH, •••四边形 ACDH 是平行四边形, 蒇在AH 上取一点 G,使AG ： GH=CF ： FD,膅又••• AE ： EB=CF ： FD, • GF// HD EG// BH 蒂又EG A GFG, •平面 EFG//平面-蚆•••EF 平面 EFG •- EF / l 综上,EF// I薄（2）解三角形中位线膄（1）求证：EF / -; :. / :,:.门平面 ACDHAC,蚃 如图所示，连接 AD,取AD 的中点 M 连接 ME MF.芁••• E , F 分别为AB, CD 的中点，蚆••• ME// BD, MF// AC,羅且 M ^Z BGB , MF=LAC=2,2 2莄•••/ EMF 为AC 与BD 所成的角（或其补角），罿EMF=60。

8.5.2 直线与平面平行第2课时 直线与平面平行的性质一、选择题1．已知直线l 和平面α，若//l α，P α∈，则过点P 且平行于l 的直线（ ）A ．只有一条，不在平面α内B ．只有一条，且在平面α内C ．有无数条，一定在平面α内D ．有无数条，一定不在平面α内【答案】B【解析】假设过点P 且平行于l 的直线有两条m 与n ，∴//m l 且//n l ，由平行公理得//m n ，这与两条直线m 与n 相交与点P 相矛盾.故选：B .2．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱1AA 和1BB 的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G 、H ，则GH 与AB 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面【答案】A 【解析】在长方体1111ABCD A B C D -中，11//AA BB ，E 、F 分别为1AA 、1BB 的中点，//AE BF ∴， ∴四边形ABFE 为平行四边形，//EF AB ∴，EF ⊄平面ABCD ，AB 平面ABCD ，//EF ∴平面ABCD ，EF ⊂平面EFGH ，平面EFGH平面ABCD GH =，//EF GH ∴，又//EF AB ，//GH AB ∴，故选A.3．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，过MN 作一平面交底面三角形ABC 的边BC 、AC 于点E 、F ，则 ( )A．MF∥NEB．四边形MNEF为梯形C．四边形MNEF为平行四边形D．A1B1∥NE【答案】B【解析】∵在AA 1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，∴AM//BN，∴MN//AB.又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，显然在△ABC中EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形．故选B．4．如图，四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为()A．B．C．D．【答案】C【解析】因为AB=BC=CD=DA=2，所以四边形ABCD是菱形，所以CD∥AB，又CD⊄平面SAB，AB⊂平面SAB，所以CD∥平面SAB.又CD⊂平面CDEF，平面CDEF∩平面SAB=EF，所以CD∥EF，所以EF∥AB.又因为E为SA中点，所以EF=12AB=1.又因为△SAD和△SBC都是等边三角形，所以所以四边形DEFC 的周长为：故选C.5．（多选题）在梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是（ ）A ．平行B ．异面C ．相交D ．共面 【答案】AB【解析】∵AB CD ∥，AB 平面α，CD ⊄平面α，∴CD ∥平面α，∴直线CD 与平面α内的直线没有公共点，直线CD 与平面α内的直线的位置关系可能平行，也可能异面，故选A B ．6．（多选题）在空间四边形ABCD 中,,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点,当//BD 平面EFGH 时,下面结论正确的是( )A ．,,,E F G H 一定是各边的中点B ．,G H 一定是,CD DA 的中点C ．::AE EB AH HD =,且::BF FC DG GC =D ．四边形EFGH 是平行四边形或梯形【答案】CD【解析】由//BD 平面EFGH ,所以由线面平行的性质定理,得//BD EH ,//BD FG ,则::AE EB AH HD =,且::BF FC DG GC =,且//EH FG ,四边形EFGH 是平行四边形或梯形.故选：CD .二、填空题7．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，E 是11A C 上一点，但1//A B 平面1B DE ，则11A E EC 的值为_______. 【答案】12【解析】如下图所示，连接1BC 交1B D 于点F ，连接EF .在三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，11BDF C B F ∴∆∆， D 为BC 的中点，111122BD BC B C ∴==，11112BF BD FC B C ∴==. 1//A B 平面1B DE ，1A B ⊂平面11A BC ，平面11A BC ⋂平面1B DE EF =，1//A B EF ∴，11112A E BF EC FC ∴==，故答案为12. 8．正方体1111ABCD A B C D -中,2AB =,点E 为AD 的中点,点F 在1CC 上,若//EF 平面1AB C ,则EF =_____.【解析】取1AA 中点M ，连接,EM MFE 为AD 的中点，M 为1AA 中点⇒11EMA D EMBC ⇒⇒//EM 平面1AB C又因为：//EF 平面1AB C ⇒ 平面//EMF 平面1AB C ⇒ //MF 平面1AB C ，因为MF ⊂平面11,AA C C 平面11AAC C 平面1AB C AC =MF AC ⇒⇒F 为1CC 中点.在Rt ECF ∆中，计算知：EF =9．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，DD 18= ，E ，F 分别是侧棱1AA ，1CC 上的动点，8AE CF +=，点P 在棱1AA 上，且2AP =，若//EF 平面PBD ，则__________CF =.【答案】2【解析】连接AC ，交BD 于点O ，连接PO .因为//EF 平面PBD ，EF ⊂平面EACF ，平面EACF 平面PBD PO =，所以//EF PO ；在1PA 上截取2PQ AP ==，连接QC ，则//QC PO ，所以//EF QC ，所以易知四边形EFCQ 为平行四边形，则CF EQ =.又8AE CF +=，18AE A E +=，所以11122A E CF EQ AQ ====，故2CF =. 故答案为：2.10．如图在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列命题中正确的有______.(填上所有正确命题的序号)AC BD ⊥①，AC BD =②，//AC ③截面PQMN ，④异面直线PM 与BD 所成的角为45．【答案】①③④【解析】解：在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，//PQ MN ∴，PQ ⊄平面ACD ，MN ⊂平面ACD ，//PQ ∴平面ACD ．平面ACB ⋂平面ACD AC =，//PQ AC ∴，可得//AC 平面PQMN ．同理可得//BD 平面PQMN ，//BD PN ．PN PQ ⊥，AC BD ∴⊥．由//BD PN ，MPN ∴∠是异面直线PM 与BD 所成的角，且为45．由上面可知：//BD PN ，//PQ AC ．PN AN BD AD ∴=，MN DN AC AD=， 而AN DN ≠，PN MN =，BD AC ∴≠．综上可知：①③④都正确．故答案为①③④．利用线面平行与垂直的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角即可得出．三、解答题11．如图所示，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M,N 分别为AB,PC 的中点，平面PAD 平面PBC ＝l .(1)求证：BC ∥l ；(2)MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】(1)证明 因为BC ∥AD ，AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ，所以BC ∥平面PAD.又平面PAD∩平面PBC ＝l ，BC ⊂平面PBC ，所以BC ∥l.(2)解 MN ∥平面PAD.证明如下：如图所示，取PD 中点E ，连结AE ，EN.又∵N 为PC 的中点，∴//12EN CD =又∵//12AM CD = ∴//AM EN =即四边形AMNE 为平行四边形．∴AE ∥MN ，又MN ⊄平面PAD ，AE ⊂平面PAD.∴MN ∥平面PAD.12．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，Q 为AD 的中点，点M 在侧棱PC 上，且PM tPC =，若//PA 平面MQB ，试确定实数t 的值.【答案】13【解析】如图，连接BD AC AC ,,交BQ 于点N ，交BD 于点O ，连接MN ，易知O 为BD 的中点.∵,BQ AO 分别为正三角形ABD 的边,AD BD 上的中线，∴N 为正三角形ABD 的中心.设菱形ABCD 的边长为a，则AN =，AC =. ∵//PA 平面MQB ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC平面MQB MN =， ∴//PA MN ，∴13a PM AN PC AC === 即13PM PC =，∴实数t 的值为13.。

直线与平面平行的习题一、选择题1．已知点A∈直线a，点A∈平面β，那么（）（A） aβ（B）a∩β=A（C）a∥β（D）非上面所述的结论2．直经a在平面β外，则（）（A）a∥β（B）a与β至少有一个公共点（C）aβ=A（D）a与β至多有一个公共点3．能够保证直线a平行于平面β的条件是（）（A）aβ，bβ，a∥b（B）bβ，a∥b（B）a∥b∥c，bβ，cβ （D）bβ，A∈a，C、D∈b，AC=BD4．已知下列四个命题：（1）直线与平面没有公共点，则直线与平面平行（2）直线上有两点到平面距离（不为零）相等，则直线与平面平行（3）直线与平面内的任意一条直线不相交，则直线与平面平行（4）直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行，其中正确命题为（）（A）（1）（2）（B）（1）（3）（C）（1）（2）（3）（D）（1）（2）（3）（4）5．矩形ABCD 的边AB 在平面α内，当矩形绕直线AB 旋转时，直线CD 与平面α的位置关系是（ ）（A ）平行 （B ）平行或相交（C ）平行或CD 在α内 （D ）平行或相交或CD 在α内6．四条直线两两平行，任何三条不共面，如果经过其中任意两条作平面，那么可作平面的个数为 （ ）(A)2 (B)4 (C)6 (D)87．空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 上的点，且AE ：EB=AF ：FD=1：4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则 （ ）（A ）BD∥平面EFG ，且EFGH 是矩形 （B ） EF∥平面BCD ，且EFGH 是梯形（C ）HG∥平面ABD ，且EFGH 是菱形 （D ）EH∥平面ADC ，且EFGH 是平形四边形8．下列命题中，正确的命题是 （ ）（A ）平行于同一平面的两直线平行（B ）同时与两条异面直线平行的平面有无数多个（C ）A 、B 两点与平面α上两点C 、D 满足AC=BD≠0，则AB∥平面α（C ）直线l 与平面α不相交，则l∥平面α9.平面α与平面β平行的条件可以是（ ）A ．α内有无穷多条直线都与β平行Ｂ．直线a α∥，a β∥，且直线a 不在α内，也不在β内Ｃ．直线a α⊂，直线b β⊂，且a β∥，b α∥Ｄ．α内的任何直线都与β平行10.下列命题中，错误的是（）Ａ．平行于同一条直线的两个平面平行Ｂ．平行于同一个平面的两个平面平行Ｃ．一个平面与两个平行平面相交，交线平行Ｄ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交∈，那么过点P且平行于α的直线（）11. 已知直线a∥平面α，PαＡ．只有一条，不在平面α内Ｂ．有无数条，不一定在α内Ｃ．只有一条，且在平面α内Ｄ．有无数条，一定在α内12．平面α与平面β平行的条件可以是( )A．α内有无穷多条直线都与β平行 B．直线a∥α，a∥β且a⊄α，a⊄βC．直线a⊂α，b⊂β且α∥β，b∥α D．α内任何中直线都与β平行13．下列命题中，错误的是( )A．平行于同一条直线的两个平面平行B．平行于同一个平面的两个平面平行C．一个平面与两个平行平面相交，交线平行D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交14．下列命题中，正确的是个数是( )①若两个不同平面不相交，那么它们平行②若一个平面内无数条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行③空间的两个相等的角所在的平面也平行。

直线与平面、平面与平面平行的判定[学习目标]1。

理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用。

3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题。

知识点一直线与平面平行的判定定理语言叙述符号表示图形表示平面外一条直线与此平面内的一条直线平错误!⇒a∥α行，则该直线与此平面平行思考若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗？答根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误.知识点二平面与平面平行的判定定理语言叙述符号表示图形表示一个平面内的两条相交直线与另一个平错误!⇒α∥β面平行，则这两个平面平行思考如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？答不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内。

题型一直线与平面平行的判定定理的应用例1如图，空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。

求证：(1)EH∥平面BCD;（2)BD∥平面EFGH。

证明（1）∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD。

∵EH⊄平面BCD,BD⊂平面BCD，∴EH∥平面BCD.(2）∵BD∥EH,BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH,∴BD∥平面EFGH.跟踪训练1在四面体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证:MN∥平面ADC。

证明如图所示，连接BM,BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两点,连接PQ。

因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心，所以BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1。

所以MN∥PQ.又因为MN⊄平面ADC，PQ⊂平面ADC，所以MN∥平面ADC。

题型二面面平行判定定理的应用例2如图所示,在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D,E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1。

线面平行练习题一、选择题1. 已知直线a与平面α平行，直线b在平面α内，下列说法正确的是：A. 直线a与直线b平行B. 直线a与直线b异面C. 直线a与直线b相交D. 直线a与直线b可能平行，也可能异面2. 若直线m与平面α平行，直线n在平面α内，且直线m与直线n不平行，则直线m与直线n：A. 平行B. 异面C. 相交D. 无法确定3. 直线l在平面β内，且与平面α平行，若直线m与平面α平行，直线m不在平面β内，则直线l与直线m：A. 平行B. 异面C. 相交D. 垂直二、填空题4. 若直线a与平面α平行，直线b与平面α垂直，则直线a与直线b_________。

5. 已知直线m平行于平面α内的直线n，若直线m在平面β内，且平面α与平面β相交于直线l，则直线m与直线l_________。

6. 若直线a与平面α平行，直线b在平面α内，且直线a与直线b不平行，则直线a与直线b_________。

三、判断题7. 若直线a与平面α平行，直线b在平面α内，则直线a与直线b一定平行。

（）8. 若直线m与平面α平行，直线n在平面α内，且直线m与直线n平行，则直线m与直线n一定在同一平面内。

（）9. 若直线a与平面α平行，直线b与平面α垂直，则直线a与直线b垂直。

（）四、简答题10. 已知直线l平行于平面α，平面α与平面β相交于直线m，求证：直线l与直线m平行或异面。

11. 若直线a与平面α平行，平面α与平面β相交于直线l，直线b在平面β内且与直线l不平行，求证：直线a与直线b平行或异面。

五、证明题12. 已知平面α内的直线a与平面β平行，直线b在平面β内，且直线a与直线b不平行。

证明：直线a与直线b异面。

13. 已知直线m与平面α平行，直线n在平面α内，且直线m与直线n不相交。

证明：直线m与直线n异面。

14. 若直线a与平面α平行，直线b在平面α内，且直线a与直线b 垂直，求证：直线a与平面α垂直。

六、解答题15. 在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知直线AB₁与直线CD₁平行，求证：直线AB₁与平面ABCD平行。

一、教学目标1. 巩固直线与平面的平行、垂直判定二、上课内容1、回顾上节课内容2、直线与平面的平行、垂直判定知识点回顾3、经典例题讲解4、课堂练习三、课后作业见课后练习一、上节课知识点回顾1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类3．直线与平面平行的判定与性质4. 面面平行的判定与性质二、直线与平面平行、垂直的判定知识点回顾1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一条直线的两平面平行．2．斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法．②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．4．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．[难点正本疑点清源]1．两个平面垂直的性质定理两个平面垂直的性质定理，即如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点到平面距离的依据，要过平面外一点P作平面的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和α垂直的平面β，设β∩α＝l，在β内作直线a⊥l，则a⊥α.2． 两平面垂直的判定(1)两个平面所成的二面角是直角；(2)一个平面经过另一平面的垂线．方法与技巧1． 证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直?a ⊥α；(2)判定定理1：⎭⎬⎫m 、n ?α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n?l ⊥α； (3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α?b ⊥α；(4)面面平行的性质：α∥β，a ⊥α?a ⊥β；(5)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ?α，a ⊥l ?a ⊥β.2． 证明线线垂直的方法(1)定义：两条直线所成的角为90°；(2)平面几何中证明线线垂直的方法；(3)线面垂直的性质：a ⊥α，b ?α?a ⊥b ；(4)线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α?a ⊥b .3． 证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a?α，a⊥β?α⊥β.4．转化思想：垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．失误与防范1．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．三、经典例题讲解（一）直线与平面垂直的判定与性质例1：如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.（二）平面与平面垂直的判定与性质例2：如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B 1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.（三）线面、面面垂直的综合应用例3：如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4 5.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．（四）线面角、二面角的求法例4：如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明AE⊥平面PCD；(3)求二面角A—PD—C的正弦值．四、课堂练习选择题：1、如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正．．确的是( ) A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角2、正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 ( )A.23B.33C.23D.633、已知l，m是不同的两条直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是( )A．若l⊥α，α⊥β，则l∥βB．若l∥α，α⊥β，则l∥βC．若l⊥m，α∥β，m?β，则l⊥αD．若l⊥α，α∥β，m?β，则l⊥m4、已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中 ( )A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直填空题：1．在正四棱锥P—ABCD中，PA＝32AB，M是BC的中点，G是△PAD的重心，则在平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有________条．2．已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，b?β，a⊥b，则b⊥α；④若a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，l?α，则l⊥α.其中正确命题的序号是________．解答题：1、(1)如图所示，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．2、如图所示，已知长方体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，E为线段AD1的中点，F为线段BD1的中点，(1)求证：EF∥平面ABCD；(2)设M为线段C1C的中点，当D1DAD的比值为多少时，DF⊥平面D1MB？并说明理由．3、如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC＝60°，A 1A＝AC＝BC＝1，A1B＝ 2.(1)求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1；(2)如果D为AB中点，求证：BC1∥平面A1CD.五、课后练习1、已知三棱锥S－ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为 ( )A.34B.54C.74D.342、已知P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的个数是________．3、如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.。

直线、平面平行的判定及其性质1. 下列命题中，正确命题的是 ④ 。

①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行； ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行;④若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点。

2. 下列条件中，不能判断两个平面平行的是 （填序号）。

①一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ②一个平面内的两条直线平行于另一个平面 ③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 答案 ①②③3. 对于平面α和共面的直线m 、n,下列命题中假命题是 (填序号). ①若m ⊥α，m ⊥n,则n ∥α ②若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ③若m ⊂α，n ∥α,则m ∥n④若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n 答案 ①②④ 4. 已知直线a ，b,平面α,则以下三个命题： ①若a ∥b,b ⊂α,则a ∥α； ②若a ∥b ，a ∥α,则b ∥α; ③若a ∥α，b ∥α,则a ∥b 。

其中真命题的个数是 . 答案 05. 直线a //平面M ，直线b ⊂/M ,那么a //b 是b //M 的 条件。

A.充分而不必要 B.必要而不充分 C 。

充要 D 。

不充分也不必要6. 能保证直线a 与平面α平行的条件是 A 。

b a b a //，，αα⊂⊄ B 。

b a b //，α⊂ C.c a b a c b //////，，，αα⊂D 。

b D b C a B a A b ∈∈∈∈⊂，，，，α且BD AC =7. 如果直线a 平行于平面α,则A.平面α内有且只有一直线与a 平行B.平面α内无数条直线与a 平行C.平面α内不存在与a 平行的直线D.平面α内的任意直线与直线a 都平行8. 如果两直线a ∥b ,且a ∥平面α，则b 与α的位置关系A 。

1.2.3.1 直线与平面平行一、直线与平面之间的位置关系位置关系 直线a 在平面α内 直线a 与平面α相交 直线a 与平面α平行 公共点 有① 个公共点有且只有一个公共点没有公共点 符号表示a ⊂α②③图形表示二、直线与平面平行的判定定理自然 语言 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线④ ,那么这条直线和这个平面平行符号 语言 ⑤ ,b ⊂α,a∥b ⇒a∥α图形 语言三、直线与平面平行的性质定理自然 语言 如果一条直线与一个平面平行,经过⑥ 的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行符号 语言 ⑦ ,a ⊂β,α∩β=b ⇒a∥b图形 语言证明直线与平面平行的常用方法1.(2013苏北三市二调改编,★★☆)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=BC=CA=√3,AD=CD=1,且E为BC的中点.求证:AE∥平面DCC1D1 .思路点拨证明AE∥DC,可以证明AE∥平面DCC1D1 .2.(2014江苏淮安、宿迁月考,★★☆)如图,在三棱锥P-ABC中,E,F分别是PA,AC的中点.求证:EF∥平面PBC.思路点拨根据三角形中位线的性质,可得EF∥PC,再利用线面平行的判定定理,可证EF∥平面PBC.一、填空题1.下面命题中正确的是.(填序号)①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内;②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;③若直线l与平面α相交,则l与平面α内的任意直线都是异面直线;④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条一定与该平面相交;⑤若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面;⑥若三个平面两两相交,则有三条交线.2.已知m、n是两条不重合的直线,α、β是两个不重合的平面,给出下列三个命题:①m∥βn⊂β}⇒m∥n;②m与n异面m∥β}⇒n与β相交;③m∥nn∥α}⇒m∥α.其中正确命题的个数是.3.如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,O1、O分别为上、下底面的中心,在直线DD1、A1D、A1D1、C1D1、O1D中与平面AB1C平行的直线有.4.梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α,则直线CD与平面α的位置关系是.5.正方体ABCD A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则BD1与过A、C、E的平面的位置关系是.6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、P、Q分别是AB、AA1、C1D1、CC1的中点,给出以下四个结论:①AC1⊥MN;②AC1∥平面MNPQ;③AC1与PM相交;④NC1与PM异面.其中正确结论的序号是.7.如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中,DE与平面BM的位置关系是.8.如图,a∥α,A是α的另一侧的点,B、C、D∈a,线段AB、AC、AD分别交α于E、F、G.若BD=4,CF=4,AF=5,则EG= .9.如图,E、F、G分别是四面体ABCD的棱BC、CD、DA的中点,则此四面体中与过E、F、G的截面平行的棱有条.二、解答题10.如图,四边形ABCD为正方形,SA=SB=SC=SD,P是棱SC上的点,M、N分别是棱SB、SD上的点,SP∶PC=1∶2,SN∶ND=2∶1,SM∶MB=2∶1.求证:SA∥平面PMN.知识清单①无数②a∩α=A③a∥α④平行⑤a⊄α⑥这条直线⑦a∥α链接高考1.证明在三角形ABC中,因为AB=AC,且E为BC的中点,所以AE⊥BC,又因为在四边形ABCD中,AB=BC=CA=√3,DA=DC=1,所以∠ACB=60°,∠ACD=30°,所以DC⊥BC,所以AE∥DC,因为DC⊂平面DCC1D1,AE⊄平面DCC1D1,所以AE∥平面DCC1D1.2.证明在△APC中,因为E,F分别是PA,AC的中点,所以EF∥PC,又PC⊂平面PBC,EF⊄平面PBC,所以EF∥平面PBC.基础过关一、填空题1.答案①⑤解析①正确;若直线与平面相交,直线上也有无数个点不在平面内,故②不正确;直线l与平面α相交,则l与平面α内过交点的直线不是异面直线,故③不正确;两条异面直线中的一条与一个平面平行,另一条可能与该平面平行或在平面内或相交,故④不正确;直线l与平面α平行,则l与平面α无公共点,所以l与平面α内的直线也无公共点,两直线无公共点,即两直线平行或异面,故⑤正确;三个平面两两相交,可能有三条交线,也可能有一条交线,故⑥不正确.2.答案0解析①中,m与n可以平行,还可以异面;②中,n与β除了相交外,还可以平行或n在β内;③中,m可以平行于α,也可以在α内.故①②③都不正确.3.答案A1D,O1D解析∵A1D∥B1C,且B1C⊂平面AB1C,A1D⊄平面AB1C,∴A1D∥平面AB1C.连结B1O,则O1B1DO,∴四边形O1B1OD是平行四边形,∴O1D∥B1O,又B1O⊂平面AB1C,O1D⊄平面AB1C,∴O1D∥平面AB1C.4.答案CD∥平面α解析因为AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α,由线面平行的判定定理可得CD∥平面α.5.答案平行解析如图,连结BD,设BD∩AC=O,连结OE,在△BDD1中,E为DD1的中点,O为BD的中点,从而OE为△BDD1的中位线,∴OE∥BD1.又∵BD1⊄平面ACE,OE⊂平面ACE,∴BD1∥平面ACE.6.答案①③④解析结合图形可以观察出AC1与平面MNPQ相交于正方体的中心.7.答案平行解析由正方体的平面展开图还原成正方体ABCD EFMN,连结CF.因为CD∥EF,且CD=EF,所以四边形CDEF是平行四边形,所以DE∥CF.又DE⊄平面BM,CF⊂平面BM,所以DE∥平面BM.8.答案209解析∵a∥α,平面α∩平面ABD=EG,a⊂平面ABD,∴a∥EG,即BD∥EG,∴EFBC =FGCD=AFAC=EF+FGBC+CD=EGBD=AFAF+FC,∴EG=AF·BDAF+FC =5×45+4=209.9.答案 2解析如图,过点E作EH∥AC,交AB于点H,连结HG,∵GF∥AC,∴EH∥GF.∴E、F、G、H四点共面,即截面EFGH为过点E、F、G三点的截面,故有AC∥平面EFGH,BD∥平面EFGH.二、解答题10.证明如图,连结AC、BD,交于点O,连结SO,取SC的中点E,连结OE.∵在△CSA中,O为AC的中点,E为SC的中点,∴OE∥SA.设SO∩MN=F,连结PF.∵SN∶ND=2∶1,SM∶MB=2∶1,∴在△SBD中,MN∥BD,∴SF∶FO=SN∶ND=2∶1.∵SP∶PC=1∶2,E为SC的中点,∴SP∶PE=2∶1.∴SP∶PE=SF∶FO.∴在△SOE中,PF∥OE,∴PF∥SA.又SA⊄平面PMN,PF⊂平面PMN,∴SA∥平面PMN.。