高中数学随堂练习-20140523
满分:10
班级：_________ 姓名：_________ 考号：_________
一、单选题（共46小题）
1.已知符号函数则函数的零点个数为（）
A．1B．2C．3D．4
2.函数的零点所在的区间为（）
A．B．C．D．
3.函数的零点所在的区间是（）
A．B．C．（1，2）D．（2，3）
4.设函数满足且当时，，又函数，则函数
在上的零点个数为（）
A．3B．4C．5D．6
5.已知函数，若方程有两个实数根，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
6.若函数满足，且时，，则函数的图象与函数
的图象的交点的个数为（）
A．3B．4C．6D．8
7.函数的零点个数为（）
A．1B．2C．3D．4
8.函数的零点的个数是（）
A．1B．2C．3
9.若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是（）A．B．C．D．
10.已知以T=4为周期的函数，其中m＞0，若方程3f(x)=x恰有5个实数解，则m的取值范围为（）
A．B．C．D．
11.函数，的零点个数为( )
A．3B．2C．1D．0
12.设m，k为整数，方程在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为
A．-8B．8C．12D．13
13.已知，则（）
A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>a>b
14.“”是“”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
15.已知A（1,0），点B在曲线上，若线段AB与曲线相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点。那么曲线G关于曲线M的关联点的个数为（）
A．0B．1C．2D．4
16.已知和是指数函数，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
17.某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）
A．4B．5C．6D．7
18.设，且，则“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
19.“是函数在区间内单调递增”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
20.设，，，则（）
A．B．C．D．
21.设，，，则（）
A．B．C．D．
22.设分别是方程的实数根，则有（）
A．B．C．D．
23.设，，则（）
A．B．C．D．
24.下列大小关系正确的是（）
A．B．C．D．
25.若，则（）
A．< 26.设则（） A．B．C．D． 27.设，则（） A．B．C．D． 28.若，则（） A．B．C．D． 29.设，则（） A．a 30.设则( ) A．a 31.设则a，b，c的大小关系是（） A．B．C．D． 32.已知则 A．B．C．D． 33.函数的图象可能是( ) A．B．C．D． 34.已知，,,则a，b，c的大小关系为( ) A．B．C．D． 35.已知x=lnπ，y=log52，，则（） A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x 36.设a=log32,b=log52,c=log23,则（） A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b 37.下面不等式成立的是（） A．B．C．D ． 38.若，，，则下列结论正确的是（） A．B．C．D． 39.已知，则下列三个数：的大小关系为（）A．B．C．D． 40.已知，则的大小关系是（） A．B．C．D． 41.当时，则下列大小关系正确的是( ) A．B．C．D． 42.，，，则（） A．B．C．D． 43.设，则、、的大小关系是 A．B．C．D． 44.设均为正数，且，，，，则（）A．B．C．D． 45.已知，，，则的大小关系为 A．B．C．D． 46.若，，，则 A．B．C．D． 二、多选题（共1小题，每小题10分，共10分） 47.若，，，则（） A．B．C．D． 三、填空题（共16小题） 48.若函数有零点，则k的取值范围为___________． 49.已知函数若，则实数；函数的最大值为。 50.函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是。 51.设函数，函数的零点个数为______。 52.函数是定义域为的奇函数，且时，，则函数有 ____________个零点． 53.若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确到0.1）为． 54.设函数与的图象的交点为，且，则= 。 55.若函数在区间(2,3)上有零点，则= ． 56.当时，不等式成立，则实数k的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿ 57.若函数f(x)=ax-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_________. 58.已知函数有零点，则a的取值范围是___________。 59.已知函数若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________. 60.已知函数，点P()在函数图像上，那么的最小值是 __________________ 61.若存在实常数和,使得函数和对其定义域内的任意实数分别满足： 和，则称直线为和的“隔离直线”．已知函数和函数，那么函数和函数的隔离直线方程为_________． 62.已知三个数，，，则从小到大的顺序为___________． 63.已知，，，则、、由小到大排列的顺序是____________． 答案部分 1.考点:函数与导数函数函数的方程 试题解析:， ，所以答案为B. 2.考点:函数的方程 试题解析:显然函数因为是定义域上的减函数，且，，所以函数唯一的零点所在的区间为，选B. 答案:B 3.考点:函数的方程 试题解析: 因为、，所以根据零点的存在性 定理可得函数的零点所在的区间是 答案:A 4.考点:函数综合函数的方程 试题解析:由题意可知函数、均为偶函数，函数在上的零点即 为函数、图像的交点，分别作、图像如图所示，它们在区间上有5个交点，故函数在上的零点个数为5，故答案选 C． 答案:C 5.考点:函数的方程函数图象 试题解析: 要使方程有两个实数根，则函数和的图象有两个 交点，而，画出图象，由于过定点，要 使函数和的图象有两个交点，由上图可知，选B. 6.考点:函数的方程周期性和对称性函数综合 试题解析: 由题意知，函数是个周期为2的周期函数，且是个偶函数，在一个 周期上，图象是两条斜率分别为1和－1的线段，且，同理可得到在其他周 期上的图象．函数也是个偶函数，先看在[0，+∞）上的交点个数，则它们总的交点 个数是在[0，+∞）上的交点个数的2倍，在（0，+∞）上，，图象过（1，0），和（4，1），是单调增函数，与交与3个不同点，∴函数的图象与函数 的图象的交点的个数为6个，故选. 答案:C 7.考点:函数的方程 试题解析: 令得，结合函数的 图象可知，函数的零点有两个，故选. 答案:B 8.考点:函数的方程 试题解析: 因为，所以在定义域上为增函数，而，所以函数图象会穿过轴，即函数有1个零点，选B。 答案:B 9.考点:函数的方程 试题解析:的零点为x=,的零点为x=1, 的零点为x=0, 的零点为x=.现在我们来估算的零点，因为g(0)= -1,g()=1,所 以g(x)的零点x(0, ),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 只有的零点适合，故选A。 答案:A 10.考点:函数的方程 试题解析:(-1,1]的图像为椭圆上半部分，y=1-|x-2|,x(1,3]的图像为两条线段 根据f(x)的周期T=4可知其图像，由方程3f(x)=x恰有5个实数解，则有两解即有两解，所以 解得；无解即无解，所以 解得。故 答案:B 11.考点:函数的方程 试题解析:函数的图像 通过图像观察共有2个零点。 答案:B 12.考点:函数的方程 试题解析:设则方程在区间（0,1）内有两个不同的跟等价 于因为，所以，所以，故抛物线开口向上， 于是，另，则由，得，则，所以m至少为2，但，故K至少为5，又，所以m至少为3，又由， 所以m至少为4，......依次类推，发现当时，首次满足所有条件，故m+k的 最小值为13 答案:D 13.考点:函数与导数基本初等函数与应用对数与对数函数 试题解析:根据指对函数的性质，a>1，b=0.5，0 答案:A 14.考点:常用逻辑用语充分条件与必要条件函数与导数对数与对数函数 试题解析:对数函数的单调性与底数a有关，当a>1，底数越大，函数值越小，当0 答案:A 15.考点:函数与导数基本初等函数与应用函数综合 试题解析:A(1,0),设则AB的中点坐标，因为中点在上，所以 ，利用数形结合，满足条件的点个数1个。 答案:B 16.考点:函数与导数基本初等函数与应用指数与指数函数集合与常用逻辑用语常用逻辑用语 充分条件与必要条件 试题解析:根据题意函数式指数函数，a，b>0,所以，，反之也成立，所以为充分必 要条件。 答案:C 17.考点:函数与导数基本初等函数与应用函数模型及其应用不等式基本不等式均值定理 试题解析:设年平均盈利额为y ,当且仅当n=5时最大。 答案:B 18.考点:函数与导数基本初等函数与应用对数与对数函数集合与常用逻辑用语常用逻辑用语 充分条件与必要条件 试题解析:函数在上是减函数，有0 是增函数，反之函数在上是增函数，0 减函数，所以充分而不必要条件。 答案:A 19.考点:集合与常用逻辑用语常用逻辑用语充分条件与必要条件函数与导数基本初等函数与 应用一次函数与二次函数 试题解析:二次函数开口向下，与x轴有两个交点，，当时，数形结合得函 数在内单调递增，反之，当函数在内单调递增时，有，所以答案C。 答案:C 20.考点:函数综合 试题解析: 因为，而，故. 答案:A 21.考点:对数与对数函数 试题解析:一般地，只要涉及3个及以上的数比较大小，应找一中间量来比较，比如0、1.由 对数的性质知：，，。又，，所以.解答本题目易进入作差比较的误区；其次是易弄错与的大小. 答案:D 22.考点:对数与对数函数指数与指数函数 试题解析:由指数函数，与对数函数，的图象可得，故选A．答案:A 23.考点:对数与对数函数 试题解析: 是上的增函数，又 ． 答案:D 24.考点:指数与指数函数对数与对数函数 试题解析: 因为，,,所以，选C. 答案:C 25.考点:对数与对数函数 试题解析:因为所以，而，故，又，而，故，综上，，选C。 答案:C 26.考点:对数与对数函数 试题解析:本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0,知a>b,又c=lge, 作商比较知c>b,选B。 答案:B 27.考点:对数与对数函数 试题解析:，。故选A。答案:A 28.考点:指数与指数函数对数与对数函数 试题解析:由解得：，由解得：,故答案选D 答案:D 29.考点:对数与对数函数 试题解析:由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到-1a<0,0 答案:D 30.考点:对数与对数函数 试题解析:由题意且所以故选D. 答案:D 31.考点:指数与指数函数 试题解析: 答案:A 32.考点:对数与对数函数 试题解析:因为，b,c都小于1且大于0，故排除C,D；又因为b,c都是以4为底的对数， 真数大，函数值也大，所以，故选B 答案:B 33.考点:指数与指数函数 试题解析:当a>1时，函数单调递增，,所以的图像与y轴的交点 的纵坐标在0至1之间，所以选项A,B都不正确；当0 答案:D 34.考点:对数与对数函数 试题解析:因为,,,所以有,答 案A. 答案:A 35.考点:函数综合 试题解析: 答案:D 36.考点:对数与对数函数 试题解析:因为最大，故排除A、B；又因为，，且，所以，故选D 答案:D 37.考点:对数与对数函数 试题解析:本题考查对数函数的单调性和应用. 函数是增函数，函数是增函数，所以 则故选A 答案:A 38.考点:函数综合 试题解析:，，,，故选D。 答案:D 39.考点:函数综合 试题解析:解： 答案:B 40.考点:函数综合 试题解析:. 答案:C 41.考点:函数综合 试题解析:因为，利用指数函数和对数函数的性质可知，故选C.答案:C 42.考点:函数综合 试题解析:试题分析：，但，所以. 答案:B 43.考点:函数综合 试题解析:试题分析：因为设，则根据函数的单调性，判定对数、指数函数、，从而可知结论为，选B。 答案:B 44.考点:函数综合 试题解析:试题分析：因为，a>0,所以>1,0 答案:A 45.考点:函数综合 试题解析:试题分析：因为根据对数函数，底数小于1，函数单调递减，底数大于零，单调递增，那么 ，而对于，而>1，那么可知大小关系为，故选 B. 答案:B 46.考点:函数综合 试题解析:试题分析：根据题意，由于>1，，<0，0<<1那么可知其大小关系为，故选A. 答案:A 47.考点:函数综合 试题解析:，， ，应选B. 答案:B 48.考点:函数与导数函数函数的方程 试题解析:有零点，即函数有交点，利用数形结合，当k<0，时，两函数一定有交点，此时方程有零点；当k>0时，设直线与曲线相切，切点,因为直线过原 点，所以，所以切点（1，e）所以此时直线的斜率k=e，所以当k>e时，函数 有零点。 答案:k>e 49.考点:函数与导数函数函数的方程 试题解析:。-1或1.数形结合x=0时，最大值是3. 答案:-1；3 50.考点:函数的方程 试题解析:由于函数在上单调递增，且函数的一个零点在区 间内，则有且，解得。 答案: 51.考点:对数与对数函数函数的方程 试题解析:当时，＝，令则显然与矛盾，表明此时无零点.当时，分两种情况：当时， ＝，令.解得；当时，＝，令，解得.因此函数的零点个数为2。 答案:2 52.考点:函数的方程函数的奇偶性 试题解析:因为函数是定义域为R的奇函数，所以，当时， ，令得，在同一坐标系中分别作出的图像， 发现有一个交点，故在时，有一个零点，由奇函数的对称性知，在时，有 一个零点，又在也是零点，一共有三个零点． 答案:3 53.考点:函数的方程 试题解析:，，且都接近0，由二分法可知其根近似于1.4． 答案: 54.考点:指数与指数函数幂函数函数的方程 试题解析:令，易知函数在R上单调递增，在R上单调递减，所 以在R上单调递增.所以在R上单调递增.又函数与的图象的交点为，所以,即为的零点.又，， 在R上单调递增，所以，所以。 答案:1 55.考点:函数的方程 试题解析:显然是单调递增函数，又它在区间(2,3)上有零点，所以且，即且，得，而，又，所以. 答案:4 56.考点:函数的方程 试题解析:设画出这两个函数图像，如右图所示， 观察图像可知，当直线经过函数的最高点和最低点时，k取得最大值，所以 答案: 57.考点:函数的方程 试题解析:因为函数f(x)=a x-x-a(a>0且a1)有两个零点，所以方程a x-x-a=0有两个不相等的实数根，即两个函数y=a x与y=x+a的图象有两个不同的交点.当0 答案: 58.考点:函数的方程 试题解析:函数有零点，即方程f（x）=0有解，即有解，设,因为,当x>ln2时,当x (]。 答案:(] 59.考点:函数的方程 试题解析:单调递减且值域为(0,1]，单调递增且值域为有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）。 答案:(0,1) 60.考点:不等式基本不等式均值定理函数与导数基本初等函数与应用指数与指数函数 试题解析:点P()在函数图像上，所以ab=1，，所以 的最小值是4 答案:4 61.考点:函数与导数基本初等函数与应用函数综合 试题解析:函数和函数相交与（1，0），所以和的“隔离直线相切与点（1,0）,所以，所以隔离直线方程是y-0=2（x-1），y=2x-2． 答案:y-0=2（x-1），y=2x-2 62.考点:不等式的性质函数综合 试题解析:试题分析：因为<0, ,>1，所以，a>b>c,即，c 63.考点:不等式的性质指数与指数函数对数与对数函数 试题解析:，， 。所以，c 答案:c f '(x) = (x - a)(2ln x ■ 1 - a )，但这时会发现 f' (x) = 0 的解除了 x = a 外还有 2In x ■ 1 - ◎ =0 的 x x 解，显然无法用特殊值猜出。 a 令 h(x) = 21 n x 1 ，注意到 h(1) = 1 -a ：： 0 , h(a) = 2In a 0 , x 故f '(x) = 0在(1, a)及(1, 3e )至少还有一个零点， 又h(x)在(0, +^)内单调递增，所以函数h(x) 在(1,3e]内有唯一零点，但此时无法求出此零点怎么办。 我们可以采取设而不求的方法， 记此零点为x 0, 含参导函数零点问题的几种处理方法 方法一：直接求出，代入应用 对于导函数为二次函数问题，可以用二次函数零点的基本方法来求。 (1)因式分解求零点 例1讨论函数 f(x) 1 3 1 2 ax -(a )x 2x 1(a ? R)的单调区间 3 2 解析：即求f'(x)的符号问题。由f'(x)二ax 2 -(2a - 1)x 2 = (ax - 1)(x - 2)可以因式分 解析： f'(x) = (x -a)e x ? x 2 -( a ? 1)x ? a = (x -a)(e x ? x -1)，只能解出 f '(x)的一个零点为 a , 方法二：猜出特值，证明唯一 对于有些复杂的函数，有些零点可能是很难用方程求解的方法求出的，这时我们可以考虑用特殊值去 猜出零点，再证明该函数的单调性而验证其唯一性。 1 1 例 4 讨论函数 f (x) =(x - a-1)e x x 3 (a 1)x 2 ax ， a ?二 R ，的极值情况 其它的零点就是e x x 0的根，不能解。 例5(2011高考浙江理科)设函数 f (x) = (x - a)21n x,a ? R (I) 若x =e 为y = f (x)的极值点，求实数a (n) 求实数a 的取值范围，使得对任意的 2 (0,3e],恒有 f(x) — 4e 成立(注：e 为自然对数)， 方法三：锁定区间，设而不求 对于例5，也可以直接设函数来求， ①当0 ::: x 乞1时，对于任意的实数 a ，恒有f (x)乞0 ::: 4e 2成立②当1 ：：： x 乞3e ，由题意，首先 有 f (3e) =(3e - a )2 In(3e)乞4e 2 , 解 3e 2e 乞a 乞3e ---------- n ( , I 3e) 3e 且 h(3e) =2In(3 e) 1 a 3e -2I n(3e) 1 2e I n(3e) 3e = 2(I n3e- 1 3；I )>0 。 专题复习之--函数零点问题 （一）零点所在区间问题（存在性，根的分布） 1.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，+∞) 变式：函数b x a x f x -+=)(的零点))(1,(0Z n n n x ∈+∈，其中常数b a ,满足 23,32==b a ， 则=n （ ） A. 0 B.1 C.2- D.1- 2.已知a 是实数，函数2 ()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，则a 的取值范围是____________． （二）零点个数问题（重点，常用数形结合） 3.函数()44f x x x = ++-的零点有 个. 4.讨论函数2()1f x x a =--的零点个数. 5.若存在区间[,]a b ,使函数[]()2(,)f x k x x a b =+ +∈的值域是[,]a b ,则实数k 的范围 是__________. 6. 已知偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-,且当10<≤x 时，x x f =)(,则x x f lg )(=的零点个数是________. 7.（选作思考）函数f （x ）=234 20122013123420122013x x x x x x ??+-+-+-+ ?? ? cos2x 在区间[-3，3]上的零点的个数为_________. （三）复合函数与分段函数零点问题（由里及外，画图分析） 8.已知函数???<≥=) 0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的 零点，下列判断不正确．．． 的是（ ） A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4 12-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点 变式一：设定义域为R 的函数1251,0()44,0 x x f x x x x -?-≥?=?++0)()-2(0) x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______. 变式三：已知函数(0)()lg()(0) x e x f x x x ?≥=?-0 B. b >-2且c <0 C. b <-2且c =0 D. b 2c=0≥-且 函数七、函数的零点 一、选择题（每小题 6分，共36分）1、函数f （x ）＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是（） A. （－2，－1） B. （－1，0） C. （0，1） D. （1，2）2、如图所示的函数图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是（） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ③④3、若定义在 R 上的偶函数f （x ）满足f （x ＋2）＝f （x ），且当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x ，则函数 y ＝f （x ）－log 3|x|的零点个数是（） A. 多于4个 B. 4个 C. 3个 D. 2个4、函数f （x ）＝ x 2＋2x －3，x ≤0， －2＋lnx ，x ＞0的零点个数为（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5、函数f （x ）＝log 3 x －x ＋2的零点的个数是（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6、不等式（a －2）x 2＋2（a －2）x －4＜0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 7、定义在R 上的偶函数y ＝f （x ），当x ≥0时，y ＝f （x ）是单调递增的，f （1）·f （2）＜0.则函数y ＝f （x ）的图象与 x 轴的交点个数是8、在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，已知一个根在区间（ 1，2）内，则下一步可断定该根所在的区间为 9、若函数|1|1()2x y m 存在零点，则m 的取值范围是 __________. 10、已知函数f （x ）＝4x ＋k ·2x ＋1仅有一个零点，求实数 k 的值，并求出该零点 . 11、已知a∈R，函数f（x）＝x2＋2ax＋1，如果函数y＝f（x）在区间[－1，1]上有零点，求a的取值范围。 12、已知函数f（x）＝x2＋bx＋c满足条件：f（x－3）＝f（5－x），且方程f（x）＝x 有相等实根. （1）求f（x）的解析式； （2）当x∈[－1，＋∞）时，f（x）≥2（a－1）x＋a＋1 4 恒成立，求a的取值范围. 函数零点练习 1、函数()? ??>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数 ()x x g 2log =的图象的交点个数是 A.4 B.3 C.2 D.1 2、函数12log )(2-+=x x x f 的零点必落在区间（ ） A.?? ? ??41,81 B.?? ? ??21,41 C.?? ? ??1,21 D.(1,2) 3、数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是（ ） A. ()41f x x =- B. ()2 (1)f x x =- Ｃ. ()1x f x e =- Ｄ. )2 1ln()(-=x x f 4．若0x 是方程31 )21(x x =的解，则0x 属于区间（ ） A ．??? ??1,32 . B ．??? ??32,21 . C ．??? ??21,31 D ．?? ? ??31,0 5．若0x 是方程式lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（ ）A ．（0，1）B ．（1，1.25） C ．（1.25，1.75） D ．（1.75，2） 6．函数()x x f x 32+=的零点所在的一个区间是（ ） A ．()1,2-- B ．()0,1- C ．()1,0 D ．()2,1 7．函数()2-+=x e x f x 的零点所在的一个区间是（ ） A ．()1,2-- B ．()0,1- C ．()1,0 D ．()2,1 8．设函数,)12sin(4)(x x x f -+=则在下列区间中函 数)(x f 不存在零点的是 A ．[]2,4-- B ．[]0,2- C ．[]2,0 D ．[]4,2 9．已知0x 是函数()x x f x -+ =11 2的一个零点，若()01,1x x ∈，()+∞∈,02x x ，则 A ．()01 嵌套函数与函数的零点问题 1二已知函数f (x )=x +1,x ?0l o g 2x ,x >0{,则y =f (f (x ))+1的零点组成的集合为 .2二?变式?已知函数f (x )=x +1,x ?0l o g 2 x ,x >0{,则y =f (f (x ))-1的零点组成的集合为 .3二函数f (x )=x +1,x ?0,x 2-2x +1,x >0. { ,若关于x 的方程f 2(x )-a f (x )=0恰有5个不同的实数解,则a 的取值范围为 .4二定义域为R 的函数f (x )= |l g x |,x >0,-x 2-2 x ,x ?0.{,关于x 的函数y =2f 2(x )-3f (x )+1的零点个数为 .5二函数f (x )是定义在R 上偶函数,且当x ?0时,f (x )=x |x -2|,若关于x 的方程f 2(x )+a f (x )+b =0恰有1 0个不同的解,则a 的取值范围是 .6二已知函数f (x )=-x 2,x ?0,x 2+2x ,x <0.{ ,则不等式f f x ()()?3的解集是 .7二已知函数f (x )=l o g 2x ,x >0,2x ,x ?0. {,则满足不等式f (f (x ))>1的x 的取值范围是 .8二已知函数f (x )=x 2-2a x +a 2-1若关于x 的不等式f (f (x ))<0的解集为空集,则实数a 的取值范围是 . 9二设函数f (x )是偶函数,当x ?0时,f (x )=x (3-x ),0?x ?3,-3x +1,x >3ì?í???,若函数y =f (x )-m 有四个不同的零点,则实数m 的取值范围是 . (本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．函数f (x )＝x －4 x 的零点有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个 解析： 令f (x )＝0，即x －4 x ＝0. ∴x ＝±2.故f (x )的零点有2个，选C. 答案： C 2．函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋c (a ≠0)的一个零点是－3，则它的另一个零点是( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 解析： 由根与系数的关系得 －3＋x ＝－2a a ，∴x ＝1. 即另一个零点是1，故选B. 答案： B 3．设函数f (x )＝x 3－????1 2x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 解析： 方法一：令f (x )＝x 3－????1 2x －2， 则f (0)＝0－????1 2－2＝－4<0， f (1)＝1－????1 2－2＝－1<0， f (2)＝23－????1 20＝7>0， f (3)＝27－????1 21＝261 2>0， f (4)＝43－????1 22＝633 4>0， ∴f (1)·f (2)<0， 故x 0所在的区间是(1,2)． 方法二：数形结合法，如图所示． 答案： B 4．已知x 0是函数f (x )＝2x ＋1 1－x 的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0 B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0 C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0 D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0 解析： y ＝2x 在(1，＋∞)上是增函数 y ＝1 1－x 在(1，＋∞)上是增函数 ∴f (x )＝2x ＋1 1－x 在(1，＋∞)上是增函数． ∴y ＝f (x )只有x 0一个零点 ∴x 1 高中数学专题练习-函数零点问题 [题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围. 常考题型精析 题型一 零点个数与零点区间问题 例1 (1)(·湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{－3，－1,1,3} C.{2－7，1,3} D.{－2－7，1,3} (2)(2015·北京)设函数f (x )＝??? 2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1. ①若a ＝1，则f (x )的最小值为________； ②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 点评 确定函数零点的常用方法： (1)若方程易求解时，用解方程判定法； (2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 变式训练1 (·东营模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型二 由函数零点求参数范围问题 例2 (·天津)已知函数f (x )＝??? |x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数 a 的取值范围为________. 点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法： 一. 教学内容： 函数的零点与二分法 二. 学习目标 1、理解函数零点的概念与性质，会求函数的零点。 2、理解零点的意义，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程的根的关系； 3、通过具体实例了解二分法是求方程近似解的常用方法，理解用二分法求函数零点的原理，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用． 4、在函数与方程的联系中，初步体会事物间相互转化的辩证思想；体验探究的过程、发现的乐趣。 三. 知识要点 1、函数的零点 一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零，即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。 归纳：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现的。 说明： （1）函数的零点是一个实数，即当函数的自变量取这一实数时函数值为零； （2）对于函数的零点问题我们只在实数范围内讨论； （3）方程的根、函数的图象与x 轴交点的横坐标以及函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式 2、函数零点的意义： 函数)x (f y =的零点就是方程0)x (f =的实数根，亦即函数)x (f y =的图象与x 轴交点的横坐标． 归纳：方程0)x (f =有实数根?函数)x (f y =的图象与x 轴有交点?函数)x (f y =有零点． 3、函数零点存在性的判定方法 对于函数相对应的方程能求解的，可以直接求解方程的实数根，从而确定函数的零点；对于函数相对应的方程不能直接求解的，又该怎样处理？ 如果函数)x (f y =在区间[]b ,a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)b (f )a (f 专题二 函数零点问题 函数的零点作为函数、方程、图象的交汇点，充分体现了函数与方程的联系，蕴含了丰富的数形结合思想．诸如方程的根的问题、存在性问题、交点问题等最终都可以转化为函数零点问题进行处理，因此函数的零点问题成为了近年来高考新的生长点和热点，且形式逐渐多样化，备受青睐． 模块1 整理方法 提升能力 对于函数零点问题，其解题策略一般是转化为两个函数图象的交点． 对于两个函数的选择，有3种情况：一平一曲，一斜一曲，两曲（凸性一般要相反）．其中以一平一曲的情况最为常见． 分离参数法是处理零点问题的常见方法，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目直接考虑函数()f x 的图象与x 轴的交点情况，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目利用零点存在性定理并结合函数的单调性处理零点，其本质是选择一平一曲两个函数． 函数的凸性 1．下凸函数定义 设函数()f x 为定义在区间(),a b 上的函数，若对(),a b 上任意两点1x ，2x ，总有 ()()121222f x f x x x f ++??≤ ??? ，当且仅当12x x =时取等号，则称()f x 为(),a b 上的下凸函数． 2．上凸函数定义 设函数()f x 为定义在区间(),a b 上的函数，若对(),a b 上任意两点1x ，2x ，总有 ()()121222f x f x x x f ++??≥ ??? ，当且仅当12x x =时取等号，则称()f x 为(),a b 上的上凸函数． 3．下凸函数相关定理 定理：设函数()f x 为区间(),a b 上的可导函数，则()f x 为(),a b 上的下凸函数?() f x ' 复合函数零点问题专题训练 1．定义域和值域均为[-a,a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题中： (1)方程f[g(x)]=0有且仅有三个解；(2)方程g[f(x)]=0有且仅有三个解；(3)方程f[f(x)]=0有且仅有九个解；(4)方程g[g(x)]=0有且仅有一个解。 那么，其中正确命题的个数是 () A ．1 B.2 C.3 D.4(第1 题图) 解：选B.（1）方程f[g （x ）]=0有且仅有三个解；g （x ）有三个不同值，由于y=g （x ）是减函数，所以有三个解，正确； （2）方程g[f （x ）]=0有且仅有三个解；从图中可知，f （x ）∈（0，a ）可能有1，2，3个解，不正确； （3）方程f[f （x ）]=0有且仅有九个解；类似（2）不正确； （4）方程g[g （x ）]=0有且仅有一个解．结合图象，y=g （x ）是减函数，故正确．2.已知函数1)(+=x xe x f ， 若函数2)()(2 ++=x bf x f y 恰有四个不同的零点，则实数b 的取值范围是 （ ） A.) 22,(--∞ B.) 2,3(-- C.) 3,(--∞ D.(] 2 2,3--解：用求导方法得，f(x)在x =－1取得最大值1，在x=0取得最小值0，故0 高中数学-函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。 函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如： 《3.1.1 方程的根与函数的零点》测试题 一、选择题 1.(2012天津)函数在区间(0，1)内的零点个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.3 考查目的：考查函数零点的概念与零点存在性定理的应用. 答案：B. 解析：∵函数在区间(0，1)上连续且单调递增，又∵，，∴根据零点存在性定理可知，在区间内函数零点的个数有1个，答案选B. 2.(2010浙江)已知是函数的一个零点.若，，则( ). A. B. C. D. 考查目的：考查函数零点的概念、函数的性质和数形结合思想. 答案：B. 解析：(方法1)由得，∴.在同一直角坐标系中，作出函数，的图象，观察图象可知，当时，；当时，，∴，. (方法2)∵函数、在上均为增函数，∴函数在上为增函数，∴由，得，由，得. 3.若是方程的解，则属于区间( ). A. B. C. D. 考查目的：考查函数零点的存在性定理. 答案：D. 解析：构造函数，由，知，属于区间(1.75，2). 二、填空题 4.若函数的零点位于区间内，则 . 考查目的：考查函数零点的存在性定理. 答案：2. 解析：∵函数在定义域上是增函数，∴函数在区间上只有一个零点. ∵，，，∴函数的零点位于区间内，∴. 5.若函数在区间(-2，0)与(1，2)内各有一个零点，则实数的取值范围. 考查目的：考查函数零点的概念，函数零点的存在性定理和数形结合思想. 答案：. 解析：由题意画出函数的草图，易得，即，解得. 6.已知函数，设函数有两个不同的零点，则实数 的取值范围是. 考查目的：考查函数零点的概念、函数与方程的关系和数形结合思想. 答案：. 解析：函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的实数根，画出函数图象与直线，观察图象可得满足题意的实数的取值范围是. 三、解答题 7.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根？ ⑴； ⑵. 考查目的：考查方程有实数根等价于函数的图象与轴交点的情况. 解析：⑴方程可化为，作出函数的图象，与轴有两个交点，故原方程有两个实数根； ⑵方程可化为，作出函数的图象，开口向上，顶点坐标为，与轴没有交点，故原方程没有实数根． 8.求出下列函数零点所在的区间. ⑴；⑵. 考查目的：考查函数零点的存在性定理. 解析：⑴∵函数的定义域为，且在定义域上单调递增，在 上最多只有一个零点.又∵，， ，∴函数的零点所在的区间为. ⑵∵函数的定义域为R，且在定义域上单调递减，∴函数在R上最多只有一个零点，又∵，，，∴函数零点所在的区间为. 课题: 《方程的根与函数的零点》 一、教学目的: 1、知识与技能： (1)、了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如一次函数、二次方程、复合函数……），说明方程的根、函数的零点、函数图象与x 轴的交点三者的关系； (2)、理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点可能不止一个； (3)、能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数，及所在区间； (4)、体会函数与方程和数形结合的思想。 2、过程与方法： 培养学生观察 、思考、分析、猜想，验证的能力，并从中体验从特殊到一般及函数与方程思想。 3、情感态度与价值观： 在引导学生通过自主探究，发现问题，解决问题的过程中，激发学生学习热情和求知欲，体现学生的主体地位，提高学习数学的兴趣。 二、教学重难点 重点：体会函数零点与方程根之间的联系，掌握零点的概念及零点判断方法； 难点：探究并发现零点存在性定理及其应用 三、教学过程 1、创设问题情境，引入新课 问题1 求下列方程的根 (1)、3x +2=0； (2)、0322=--x x ； (3)、062=-+x Inx ； 师生互动:问题1让学生通过自主解前2小题，复习一元一次方程与一元二次方程根情形。第3小题学生自主完成遇到困难，合作交流用所学的知识也无法解决 设计意图:问题1（4）引发认知冲突，激起学生强烈的求知欲，认识到学习新知识，探索新方法的必要性，同时为后面引出零点存在判定方法埋下伏笔。 问题2 设计意图:利用表格，有利于学生进行横向、纵向观察得出它们的关系。并通过上表得出： 一元二次方程的实数根=二次函数图像与x轴交点的横坐标（方程根的个数是对应函数图像与X轴交点的个数）。 函数与零点 基础回顾： 零点、根、交点的区别 零点存在性定理：f （x ）是连续函数；f （a ）f （b ）<0 二分法思想：零点存在性定理 一、基础知识—零点问题 1．若函数)(x f y =在区间[a ,b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ） A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； B ．若0)()(b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； D ．若0)()( 函数零点问题 [题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围. 常考题型精析 题型一 零点个数与零点区间问题 例1 (1)(湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{－3，－1,1,3} C.{2－7，1,3} D.{－2－7，1,3} (2)(北京)设函数f (x )＝????? 2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1. ①若a ＝1，则f (x )的最小值为________； ②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 点评 确定函数零点的常用方法： (1)若方程易求解时，用解方程判定法； (2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 变式训练1 (东营模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型二 由函数零点求参数范围问题 例2 (天津)已知函数f (x )＝? ??? ? |x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实 数a 的取值范围为________. 点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法： 专题五挖掘“隐零点”，破解导数压轴题 函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕利用函数的“隐零点”，破解导数压轴问题，例题说法，高效训练. 【典型例题】 类型一挖掘“隐零点”，求参数的最值或取值范围 例1.【浙江省杭州第十四中学2019届高三12月月考】设函数,曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=3x平行. (1)判断函数f(x)在区间和上的单调性，并说明理由; (2)当时,恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）区间单调递增；（2） 【解析】 （1）.∵f'(1)=1+b=3,∴b=2,则f'(x)=ln x+4x-1. 因为在单调递增，所以当时 即函数f(x)在区间单调递减；当时 即函数f(x)在区间单调递增； （2）因为，而在（0，1）上递增 存在使得 ，当 时单调递减； 当时 单调递增 所以 又因为时则 所以则 类型二 挖掘“隐零点”，证明不等式 例2. 设函数2()ln x f x e a x =-，设()2 0,2a e ∈求证：当(]0,1x ∈时，2()2ln f x a a a ≥+ 【答案】见解析 【解析】()f x 的定义域为(]0,1，222'()2x x a xe a f x e x x -=-= 设2()2x x xe a ?=-，()22()242x x x xe x e ?'==+， 当(]0,1x ∈，()0x ?'>，即()x ?在区间(]0,1为增函数， (2(),2x a e a ??∈--? 又因为( )2 0,2a e ∈，所以2 (0)0,(1)20a e a ??=-<=-> 由零点存在定理可知'()f x 在(]0,1的唯一零点为0x 当0(0,)x x ∈时，'()0f x <，当(]0,1x x ∈，'()0f x > 故()f x 在0(0,)x 单调递减，在(]0,1x 单调递增， 所以当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0200()ln x f x e a x =-， 由0 2020x x e a -=，即0 202x a e x = ，两边去对数得00ln ln 22 a x x =- 由于，所以00000222()2ln 22ln 2ln 22a a f x ax a ax a a a x a x a a = ++≥?=+ 函数的零点和方程的根经典练习题 1．函数2()41f x x x =--+的零点为（ ） A 、12-+ B 、12-- C 、12 -± D 、不存在 2、函数32()32f x x x x =-+的零点个数为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3、函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）. A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5) 4、已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，g (x )＝[x ]为取整函数，x 0是函数f (x )＝ln x －2x 的零点，则g (x 0)等于________ 5、若定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x ＋2)＝f(x)，且当x ∈[0,1]时，f(x)＝x ，则函数y ＝f(x)－log 3|x|的零点个数是 6、定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2log (1)(01)()|3|1(1)x x f x x x +≤x x ，若关于x 的函数 +=)(22x f y 1)(2+x bf 有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是____________． 11、求证方程231 x x x -= +在(0,1)内必有一个实数根. 12、已知关于x 的方程x 2＋2mx ＋2m ＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m 的取值范围． 高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法 【知识要点】 一、方程的根与函数的零点 （1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等. （2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点. （3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有 0)()( 【知识要点】 一、方程的根与函数的零点 （1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等. （2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点. （3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(
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