下载文档原格式
高一数学系列提升材料之函数的零点【知识方法】一. 函数y ＝f(x)的零点是一个实数,是方程f(x)＝0的根,也是函数y ＝f(x)的图象与x 轴交点的横坐标。
二.从以上知识可以获得，解决函数零点的三种方法(1)直接法：直接求零点，令f(x)＝0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点。
(2) 数形结合思想方法：利用图象与x 轴交点，画出函数y ＝f (x )的图象,看其与x 轴交点,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点。
实际操作过程中，直接作出函数y ＝f (x )有困难时，先对解析式变形，函数y ＝()f x 的零点⇒方程()0f x =的根，若()()()f xg xh x =-−−−−→方程变形方程()()g x h x =的根⇒函数y ＝()g x 与y ＝()h x 的图像交点横坐标。
在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解。
(3) 零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a ,b ]上是连续不断的曲线,且f (a )·f (b )<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、对称性)才能确定函数的零点。
注意：函数零点存在性定理只能适用于变号零点，对不变号零点无法适用。
【题型例说】高一阶段函数零点主要解决三个问题——求个数、定区间、求参数。
一、求个数：零点个数或零点数值的确定【例1】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x ＞1，则函数f (x )的零点为______【试题分析】当x ≤1时,由f (x )＝2x －1＝0,解得x ＝0；当x ＞1时,由f (x )＝1＋log 2x ＝0,解得x ＝12,又因为x ＞1,所以此时方程无解．综上函数f (x )的零点只有0. 【例2】若定义在R 上的偶函数f (x )周期为2，,且当x ∈[0,1]时f (x )＝x ,则方程f (x )＝log 3|x |的解的个数有____个 【试题分析】画出f (x )和y ＝log 3|x |的图象,如图,方程f (x )＝log 3|x |的解的个数为4.【例3】函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．【试题分析】当x ≤0时,f (x )＝x 2－2,令x 2－2＝0,得x ＝2(舍) 或x ＝－2,即在区间(－∞,0]上,函数只有一个零点． 而当x >0时,f (x )＝2x －6＋ln x ,解法一：令2x －6＋ln x ＝0,得ln x ＝6－2x .作出函数y ＝ln x 与y ＝6－2x 在区间(0,＋∞)上的图象, 易得两函数图象只有一个交点,即函数 f (x )＝2x －6＋ln x (x >0)只有一个零点．解法二：易知f (x )在(0,＋∞)上单调递增,而f (1)＝－4＜0,f (e )＝2e －5＞0, f (1)f (e )＜0,从而f (x )在(0,＋∞)上只有一个零点．综上可知,函数f (x )的零点个数是2. 【小结】对零点个数或零点数值的确定，首先判断能否直接求出零点，其次判断能否用数形结合思想方法解决，最后采用零点定理结合函数的相关性质进行处理。
高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法【知识要点】一、方程的根与函数的零点（1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等.（2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.（3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点，即存在(,c a b ∈）使得()0f c =，这个c 也就是方程的根.函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f 是函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点的一个充分不必要条件.零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决. 二、二分法（1）二分法及步骤对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法. （2）给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： 第一步：确定区间[,]a b ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε. 第二步：求区间(,)a b 的中点1x .第三步：计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x <，则令1b x = （此时零点01(,)x a x ∈）③若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）第四步：判断是否达到精确度ε即若a b ε-<，则得到零点值a 或b ，否则重复第二至第四步.三、一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布讨论一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组： （1）a 的符号； （2）对称轴2bx a=-的位置； （3）判别式的符号； （4）根分布的区间端点的函数值的符号.四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1，其中的任意一个值都可以取；精确到0.1指的是零点保留小数点后一位数字，要看小数点后两位，四舍五入. 五、方法总结函数零点问题的处理常用的方法有：(1) 方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法. 【方法点评】方法一 方程法使用情景 方程可以直接解出来. 解题步骤 先解方程，再求解.【例1 】已知函数2()32(1)(2)f x x a x a a 区间(1,1)-内有零点，求实数a 的取值范围.【点评】（1）本题如果用其它方法比较复杂，用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能直接解出来.（2）对于含有参数的函数要尝试因式分解，如果不好因式分解，再考虑其它方法.【反馈检测1】函数2()(1)cos f x x x =-在区间[0,4]上的零点个数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ． 7方法二 图像法使用情景 一些简单的初等函数或单调性容易求出，比较容易画出函数的图像.解题步骤先求函数的单调性，再画图分析.【例2】（2017全国高考新课标I 理科数学）已知函数2()(2)xx f x ae a e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.(2) ①若0,a ≤由（1）知()f x 至多有一个零点.②若0a >，由（1）知当ln x a =-时，()f x 取得最小值，1(ln )1ln f a a a-=-+. （i ）当1a =时，(ln )f a -=0，故()f x 只有一个零点. （ii ）当(1,)a ∈+∞时，由于11ln a a-+>0，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点. （iii ）当0,1a ∈（）时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<. 422(2)(2)2220,f ae a e e ----=+-+>-+>故()f x 在(,ln )a -∞-只有一个零点.00000000003ln(1),()(2)203ln(1)ln ,()n n n n n n f n e ae a n e n n aa f x a>-=+-->->->->-∞设正整数满足则由于因此在（-lna,+)有一个零点.综上所述，a 的取值范围为（0,1）.【点评】（1）本题第2问根据函数的零点个数求参数的范围，用的就是图像法. 由于第1问已经求出了函数的单调性，所以第2问可以直接利用第1问的单调性作图分析. (2) 当0,1a ∈（）时，要先判断(,ln )a -∞的零点的个数，此时考查了函数的零点定理，(ln )0f a -<，还必须在该区间找一个函数值为正的值，它就是422(2)(2)2220,f aea e e ----=+-+>-+>要说明(2)0f ->，这里利用了放缩法，丢掉了42ae ae --+.(3) 当0,1a ∈（）时，要判断(ln ,)a -+∞上的零点个数，也是在考查函数的零点定理，还要在该区间找一个函数值为正的值，它就是03ln(1)n a>-，再放缩证明0()f n >0. （4）由此题可以看出零点定理在高考中的重要性.【例3】已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点. （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0f x =所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =- 因此()()21616101616ln 291f f =-⨯>-=()()213211213f e f --<-+=-<所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<，因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--【点评】本题第(3)问，由于函数()f x 中没有参数，所以可以直接画图数形结合分析解答.【反馈检测2】已知函数2()1x e f x ax=+，其中a 为实数，常数 2.718e =.(1) 若1 3x=是函数()f x的一个极值点，求a的值；(2) 当4a=-时，求函数()f x的单调区间；(3) 当a取正实数时，若存在实数m，使得关于x的方程()f x m=有三个实数根，求a的取值范围.方法三方程+图像法使用情景函数比较复杂，不容易求函数的单调性.解题步骤先令()0f x=,重新构造方程()()g x h x=,再画函数(),()y g x y h x==的图像分析解答.【例4】函数()lg cosf x x x=-的零点有（）A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个【点评】调性不是很方便，所以先令()lg cos0f x x x=-=,可化为lg cosx x=,再在同一直角坐标系下画出lgy x=和cosy x=的图像分析解答.（2）方程+图像是零点问题中最难的一种，大家注意理解掌握和灵活应用.【反馈检测3】设函数()()()221ln,1,02f x x m xg x x m x m=-=-+>．（1）求函数()f x的单调区间；（2）当1m≥时，讨论函数()f x与()g x图象的交点个数．422510152025oy=cosxy=lgxyx参考答案【反馈检测1答案】C【反馈检测2答案】（1）95a =；（2）()f x 的单调增区间是51(1)2-，15(,12+； ()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,12-，5(1)++∞；（3）a 的取值范围是(1,)+∞. 【反馈检测2详细解析】(1)222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+ 因为13x =是函数()f x 的一个极值点，所以1()03f '=，即12910,935a a a -+==. 而当95a =时，229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--，可验证：13x =是函数()f x 的一个极值点.因此95a =.(2) 当4a =-时，222(481)()(14)xx x e f x x -++'=-令()0f x '=得24810x x -++=，解得51x =，而12x ≠±.所以当x 变化时，()f x '、()f x 的变化是x1(,)2-∞-15(,1)22-- 512-51(1,)22-15(,1)22+ 512+5(1,)2++∞ ()f x '--++-()f x极小值极大值因此()f x 的单调增区间是51(1,)22-，15(,1)22+；()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,1)2--，5(1,)++∞； 【反馈检测3答案】（1）单调递增区间是),m +∞, 单调递减区间是(m ；（2）1．【反馈检测3详细解析】（1）函数()f x 的定义域为()()(0,,'x m x m f x x+∞=．当0x m <<()'0f x <,函数()f x 单调递减，当x m >时，()'0f x >函数()f x 单调递增，综上，函数()f x 的单调递增区间是),m +∞, 单调递减区间是(m ．（2）令()()()()211ln ,02F x f x g x x m x m x x =-=-++->,问题等价于求函数()F x 的零点个数，()()()1'x x m F x x--=-,当1m =时，()'0F x ≤，函数()F x 为减函数，F x有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．综上，函数()。
高中数学-函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1、函数零点：（变号零点与不变号零点）（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。
（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。
若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。
2、二分法：对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; 二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：（一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（a,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。
根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如例、函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ） （A ）（0，1）； （B ）（1，2）； （C ） （2，e ）； （D ）（3，4）。
分析：显然函数xx x f 2)1ln()(-+=在区间[1,2]上是连续函数，且0)1(<f ,0)2(>f ，所以由根的存在性定理可知，函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B（二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。
思路探寻函数零点问题的难度通常较大.常见的命题形式有：（1）判断零点的个数；（2）由函数的零点求参数的取值范围；（3）证明与函数零点有关的不等式.那么如何破解这三类函数零点问题呢？下面举例加以探究.一、判断函数零点的个数判断函数零点的个数，实质上是判断函数的图象与x 轴的交点的个数，或求函数为0时的解的个数.因此判断函数零点的个数，往往有两种思路：（1）令函数为0，通过解方程求得零点的个数；（2）判断出函数的单调性、奇偶性、对称性，画出函数的图象，通过研究图象与x 轴的交点，来判断函数零点的个数.例1.已知函数f ()x =ln x -()a -1x +1.（1）若f ()x 存在极值，求a 的取值范围；（2）当a =2，且x ∈()0,π时，证明：函数g ()x =f ()x +sin x 有且仅有2个零点.解：（1）略；（2）当a =2时，g ()x =ln x -x +1+sin x ，得g ′()x =1x-1+cos x ，令h ()x =g ′()x ，因为x ∈()0,π，则h ′()x =-1x2-sin x <0，所以h ()x =g ′()x 在()0,π上单调递减，又因为g ′()π3=3π-1+12=3π-12>0，g ′()π2=2π-1<0，所以g ′()x 在()π3,π2上有唯一的零点α，当x ∈()0,α时，g ′()x >0，当x ∈()α,π时，g ′()x <0，所以g ()x 在()0,α上单调递增，在()α,π上单调递减，可知g ()x 在()0,π存在唯一的极大值点α（π3<α<π2），而g ()α>g ()π2=ln π2-π2+2>2-π2>0，g()1e 2=-2-1e 2+1+sin 1e 2=-1e 2+()sin 1e 2-1<0，g ()π=lnπ-π+1=lnπ-()π-1，令F ()x =ln x -()x -1，F ′()x =1x -1=1-x x ，则x ∈()0,1，F ′()x >0；x ∈()1,+∞，F ′()x <0，所以F ()x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，得F ()x max =F ()1=0，故F ()π<F ()1=0，即g ()π=lnπ-()π-1<0，可知g ()x 在()0,α和()α,π上分别有1个零点，所以当x ∈()0,π时，g ()x 有且仅有2个零点.函数式g ()x =f ()x +sin x 中含有对数、三角函数式，我们很难通过画图、解方程求得零点的个数，于是对函数求导，研究函数的单调性、极值，从而画出函数的图象；进而借助函数的图象来确定函数零点的个数.在解答函数零点问题时，经常要用到函数的零点存在性定理，但运用该定理只能判断函数在某个区间上是否含有零点，却不能确定函数在某区间上零点的个数，此时往往需结合函数的图象进行判断.二、由函数的零点求参数的取值范围根据函数的零点求参数的取值范围问题比较常见.在解题时，往往要先通过解方程或画图，利用函数的零点存在性定理，判断函数的零点的存在性和个数，确定零点的范围；然后建立关于参数的关系式，进而求得参数的取值范围.例2.已知函数f ()x =x 2+x ln x ．（1）求函数f ()x 在区间[]1,e 上的最大值；（2）若F ()x =f ()x -ax 3有2个零点，求实数a 的取值范围．解：（1）f ()x max =f ()e =e 2+e .（过程略）（2）由题意可知函数f ()x =x 2+x ln x 的定义域为()0,+∞，由f ()x =ax 3可得a =x +ln xx 2，令g ()x =x +ln x x 2，其中x >0，则g ′()x =1-x -2ln xx 3，令h ()x =1-x -2ln x ，其中x >0，则h ′()x =-1-2x<0，所以函数h ()x 在()0,+∞上为减函数，且h ()1=0，当0<x <1时，h ()x >0，则g ′()x >0，所以函数g ()x 在()0,1上单调递增，当x >1时，h ()x <0，则g ′()x <0，所以函数g ()x 在()1,+∞上单调递减，所以g ()x max =g ()1=1，49思路探寻令p ()x =x +ln x ，其中x >0，则p ′()x =1+1x>0，则函数p ()x 在()0,+∞上为增函数，因为p()1e =1e-1<0，p ()1>0，则存在x 0∈()1e,1，使得p ()x 0=0，当0<x <x 0时，f ()x =x ()x +ln x <0；当x >x 0时，f ()x =x ()x +ln x >0.由题意可知，直线y =a 与函数g ()x 的图象有2个交点，如图所示.由图可知，当0<a <1时，直线y =a 与函数g ()x 的图象有2个交点，故实数a 的取值范围是0<a <1.解答本题需抓住关键信息：函数F ()x =f ()x -ax 3有2个零点.于是令F ()x =f ()x -ax 3=0,并将其变形为a =x +ln x x2，再构造新函数，将问题转化为直线y =a 与函数g ()x 的图象有2个交点的问题.利用导数与函数g ()x 单调性的关系判断函数的单调性，并画出函数g ()x 的图象，即可通过讨论直线y =a 与函数g ()x 的图象的位置关系，确定参数a 的取值范围.在求参数的取值范围时，若容易从方程中分离出参数来，往往可以采用分离参数法求参数的取值范围.三、证明与函数零点有关的不等式问题与函数零点有关的不等式问题通常较为复杂，且具有较强的综合性.在解题时，需根据函数零点的分布情况,构造新函数或新方程，再根据导数的性质讨论新函数的性质或方程的根，从而证明不等式.例3.已知函数f ()x =me x -x 2-x +2.（1）若函数f ()x 在R 上单调递增，求m 的取值范围；（2）若m <0，且f ()x 有2个零点x 1,x 2，证明：||x 1-x 2<3+m 3.解：（1）m ≥2e -12；（过程略）（2）不妨设x 1<x 2，由题意可得me x 1-x 21-x 1+2=0，me x 2-x 22-x 2+2=0，即x 1,x 2为方程m =x 2+x -2e x的2个根，因为m <0，所以x 2+x -2<0，解得：-2<x <1，所以x 1,x 2∈(-2,1)，设h (x )=x 2+x -2e x(-2<x <1)，则h ′(x )=-x 2+x +3e x，令h ′(x )=0得x =1-132，则h (x )在()-2,1-132上单调递减，在()1-132,1上单调递增，而h (x )在()-2,0处的切线方程为y =-3e 2(x +2)，设h 1(x )=-3e 2(x +2),则h (x )>h 1(x )，设h (x )在()x 0,x 20+x 0-2ex 0处的切线方程过点(1,0)，其切线的斜率为-x 20+x 0+3ex 0，取x 0=-1，则h (x )在()-1,-2e 处的切线斜率为e ，则切线的方程为y +2e =e ()x +1，即y =ex -e ，可知h 2(x )=ex -e 单调递增,可得h (x )≥h 2(x )，记y =m 与y =h 1(x )和y =h 2(x )交点的横坐标分别为x 3,x 4，则h (x 1)=m =h 1(x 3)=-3e 2(x 3+2)，故x 3=-2-m3e2，因为h 1(x 3)=h (x 1)>h 1(x 1)，所以h 1(x )单调递减，所以x 1>x 3，h (x 2)=m =h 2(x 4)=e (x 4-1)，故x 4=1+me，由h 2(x 4)=h (x 2)≥h 2(x 2)，知h 2(x )单调递增，所以x 2≤x 4，由于m <0，所以||x 1-x 2=x 2-x 1<x 4-x 3=3+m e +m3e 2=3+m()1e +13e 2<3+m ()13+127<3+m 3.故不等式成立.解答本题，要先将x 1,x 2视为方程m =x 2+x -2e x的两根，根据方程确定两根的取值范围；然后构造新函数h (x )，讨论导函数h ′(x )的性质和几何意义，以确定y =m ，h (x )与其切线y =h 1(x )、y =h 2(x )的交点之间的大小关系，从而证明不等式.函数零点问题一般都可以转化为方程问题或函数单调性问题.因此在解答函数零点问题时，需根据题意构造出相应的方程和函数，灵活运用方程思想和数形结合思想,通过研究该函数的图象与性质、方程的根来求得问题的答案.（作者单位：江苏省如皋市搬经中学）50。
高中数学必修一函数零点知识点总结函数零点是指函数图像与x轴交点的横坐标，也就是函数使得y=0的x值。
函数零点是函数的重要特征之一，对于数学问题的解决有着重要的意义。
本文将会对于高中数学必修一中的函数零点知识点进行总结和归纳，目的是帮助大家更好的理解和掌握这一知识点。
一、函数零点的基本概念在高中数学必修一中，我们首先需要了解函数和零点的基本概念。
1.函数函数是一种映射关系，通常用f(x)表示。
f(x)代表的是自变量x 经过一个映射后得到的因变量y。
2.零点零点是指函数图像与x轴交点的横坐标，即函数使得y=0的x 值。
二、函数零点的求解方法了解了基本的概念后，下一步就是了解函数零点的求解方法。
通常用以下几种方法进行求解：1.图像法用函数的图像上的交点来确定零点的大致位置。
这是一种较为直观的方法，但是可能存在误差。
2.代数法代数法是计算函数表达式的零点。
对于一次函数，可以通过解一元一次方程的方法求解零点；对于高次函数，可以使用因式分解再使用一元高次方程求解零点。
3.牛顿迭代法牛顿迭代法是利用导数求得函数的切线，再求得切线与x轴的交点，作为函数零点的估算值，通过反复迭代不断无限接近真实的零点。
三、函数零点的意义函数零点的意义不仅仅是代表交点的横坐标，而且它还有许多重要的实际意义。
1.解方程函数零点可以帮助我们解出方程，对于很多实际问题，都可以通过建立函数模型，然后求出函数的零点来解决问题。
2.最优解函数的零点常常代表着一些最优解。
例如，在一段时间内销售收入为0的时间点可能是关键节点，需要重点关注。
3.寻找某些性质在研究函数性质的过程中，函数的零点也具有重要的作用。
比如，函数在零点处是否有极大值或者极小值等。
四、函数零点的应用函数零点在实际应用中也有着广泛的应用。
1.物理学应用物理学中的许多问题都可以通过建立函数模型求解。
例如，简谐运动的周期、波浪的速度等等，都需要求解函数的零点。
2.经济学应用函数零点可以帮助我们优化经济模型，例如，一些变量的收益和成本之间的平衡点可以通过函数零点来寻找。
“零点”问题总结函数的零点是高考的热点之一，但从学生们平时的做题来看，往往感觉无从下手.本文结合高考真题来阐述一下高考中零点问题常见的解题方法. 一.利用函数零点存在的充分不必要条件 定理：“如果函数)(x f y =在区间[]b a ,上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即0)()(<b f a f ，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点),(0b a x ∈，使0)(0=x f ”，此定理在高考中考察的较为频繁，比如：1.（2013年重庆理）若a b c <<,则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间( )A.(),a b 和(),b c 内B.(),a -∞和(),a b 内C.(),b c 和(),c +∞内D.(),a -∞和(),c +∞内 分析：()()()f a a b a c =--，()()()f b b c b a =--，()()()f c c a c b =--，又a b c <<，所以()0,()0,()0f a f b f c ><>，即函数()f x 的两个零点分别在(),a b 和(),b c 内，选A.二．利用数形结合思想数形结合思想是一种十分重要的解题思想，特别在近几年的高考选择题中都有其的身影，比如：2.（2013年天津理）函数1log 2)(5.0-=x x f x的零点个数为A. 1B. 2C. 3D. 4分析：本题问的是零点的个数且题目所给的函数中既有指数型的又有对数型的函数，所 以第一感觉就应该是数形结合思想，在同一坐标系中作出函数1()2xy =与0.5|log |y x =的图象，所以由函数的图象知：零点的个数为2个，选B.三．利用导数导数是研究函数性质的有力工具，所以一些与零点有关的解答题要注意导数的应用，比如：3.（2013年山东理）设函数2()x xf x c e=+(e =2.71828是自然对数的底数,c R ∈). (Ⅰ)求()f x 的单调区间、最大值; (Ⅱ)讨论关于x 的方程ln ()x f x =根的个数. 解:(Ⅰ) xex x f 2')21()(--=由0)('=x f ,解得21=x , 当21>x 时,0)('<x f ,)(x f 单调递减 所以,函数)(x f 的单调递增区间是)21,(-∞,单调递减区间是),21(+∞,最大值为c ef +=21)21((Ⅱ)令c exx x f x x g x --=-=2ln )(ln )( ),0(+∞∈x(1)当),1(+∞∈x 时,0ln >x ,则c exx x g x --=2ln )(,所以,)12()(22'-+=-x xe ex g x x， 因为0,0122>>-xe x x， 所以 0)('>x g ， 因此)(x g 在),1(+∞上单调递增.(2)当)1,0(∈x 时,此时,0ln <x ,则c e xx x g x---=2ln )(, 所以,)12()(22'-+-=-x xe e x g x x，因为,01),,1(222>>>∈x e e ex x又112<-x ，所以0122<-+-x xe x，所以0)('<x g ， 因此)(x g 在)1,0(上单调递减.综合(1)(2)可知 当),0(+∞∈x 时,c e g x g --=≥-2)1()(,当0)1(2>--=-c e g ,即2--<e c 时,)(x g 没有零点,故关于x 的方程)(ln x f x =根的个数为0，当0)1(2=--=-c eg ,即2--=e c 时,)(x g 只有一个零点,故关于x 的方程)(ln x f x =根的个数为1， 当0)1(2<--=-c eg ,即2c e ->-时,①当),1(+∞∈x 时,由(Ⅰ)知c x c e x c ex x x g x-->+-≥--=1ln )21(ln ln )(2 要使0)(>x g ,只需使01ln >--c x ,即),(1+∞∈+ce x ;②当)1,0(∈x 时,由(Ⅰ)知c x c e x c e x x x g x--->+--≥---=1ln )21(ln ln )(2要使0)(>x g ,只需使01ln >---c x ,即),0(1cex --∈;所以当2-->e c 时,)(x g 有两个零点,故关于x 的方程)(ln x f x =根的个数为2; 综上所述:当2--<e c 时,关于x 的方程)(ln x f x =根的个数为0; 当2--=e c 时,关于x 的方程)(ln x f x =根的个数为1;当2-->e c 时,关于x 的方程)(ln x f x =根的个数为2.对于以上三种解题方法，学生们只要稍加练习就能掌握.请大家做一下以下的练习： 1. 函数121()()2xf x x =-的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．函数3()=2+2xf x x -在区间(0,1)内的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33.已知函数.23)32ln()(2x x x f -+= （I ）求f (x )在[0，1]上的极值；（II ）若对任意0]3)(ln[|ln |],31,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立，求实数a 的取值范围；（III ）若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围.1.解析：函数121()()2xf x x =-的零点,即令()0f x =,根据此题可得121()2x x =,在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图象,可得交点只有一个,所以零点只有一个,故选答案B.2.解析：因为(0)=1+02=1f --,3(1)=2+22=8f -,即(0)(1)<0f f ⋅且函数()f x 在(0,1)内连续不断,故()f x 在(0,1)内的零点个数是1. 3.解：（I ）23)13)(1(33323)(+-+-=-+='x x x x x x f ， 令1310)(-==='x x x f 或得（舍去）)(,0)(,310x f x f x >'<≤∴时当单调递增；当)(,0)(,131x f x f x <'≤<时单调递减. ]1,0[)(613ln )31(在为函数x f f -=∴上的极大值（II ）由0]3)(ln[|ln |>+'+-x x f x a 得xx a x x a 323lnln 323lnln ++<+->或， …………① 设332ln 323ln ln )(2x x x x x h +=+-=，xxx x x g 323ln323lnln )(+=++=， 依题意知]31,61[)()(∈<>x x g a x h a 在或上恒成立，0)32(2)32(33)32(3332)(2>+=+⋅-+⋅+='x x x x x x x x g ， 03262)62(31323)(22>++=+⋅+='x x xx x x x h ，]31,61[)()(都在与x h x g ∴上单增，要使不等式①成立，当且仅当.51ln 31ln ),61()31(<><>a a g a h a 或即或（III ）由.0223)32ln(2)(2=-+-+⇒+-=b x x x b x x f令xx x x x b x x x x 329723323)(,223)32ln()(22+-=+-+='-+-+=ϕϕ则，当]37,0[)(,0)(,]37,0[在于是时x x x ϕϕ>'∈上递增； 当]1,37[)(,0)(,]1,37[在于是时x x x ϕϕ<'∈上递减 而)1()37(),0()37(ϕϕϕϕ>>， ]1,0[0)(2)(在即=+-=∴x b x x f ϕ恰有两个不同实根等价于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-+=>-+-+=≤-=0215ln )1(067267)72ln()37(02ln )0(b b b ϕϕϕ .37267)72ln(215ln +-+<≤+∴b。
零点问题的类型及解决方法嘿，咱今儿就来唠唠这零点问题！你说啥是零点问题呀？简单来说，就好比你找一个函数图像和 x 轴交点的时候，那交点不就是零点嘛！零点问题那可是有好些类型呢！就像是不同脾气的小孩。
有的零点问题啊，就像个害羞的孩子，藏得可深了，得你费劲巴拉地去挖掘才能找到它。
还有的呢，就像个调皮鬼，东躲西藏的，让你好一通找。
那咋解决这些让人头疼的零点问题呢？别急呀！咱一个一个说。
比如说，咱可以用画图的办法呀！就像你要找个宝藏，先画个地图，心里不就有底了嘛。
把函数图像一画，零点在哪儿，那不是一目了然嘛！这就好比你在迷宫里有了指南针，一下子就能找到出路啦。
还有啊，代数方法也不错呀！通过各种计算，把零点给算出来。
这就像解谜题一样，一点点地分析，一点点地推导，最后谜底揭开，零点也就现身啦！你想想，那感觉是不是特棒？再或者，咱可以试着把复杂的问题简单化呀！就像你吃一大块肉，一下子咬不下去，那就切成小块嘛。
把复杂的函数拆分成几个简单的部分，分别去研究，不就容易多了嘛。
举个例子吧，有个函数长得特别复杂，一看就头大。
那咱就把它拆成几个小函数，一个一个地去研究它们的零点。
就好像你要打一个大怪兽，先把它的手脚打断，再慢慢收拾它，是不是就轻松多啦？有时候啊，解决零点问题就像爬山，看着那高高的山峰，心里直犯嘀咕，能上去吗？可只要你一步一步地往上爬，总会爬到山顶的呀！遇到难题别退缩，办法总比困难多嘛！咱可不能小瞧了这零点问题呀，它在好多地方都有用呢！比如在数学研究里，那可是重要得很呢！要是搞不清楚零点问题，好多难题都没法解决啦。
所以啊，咱得重视零点问题，学会怎么去解决它。
别觉得难就打退堂鼓，要像个勇士一样，勇敢地去面对！就像那句话说的，世上无难事，只怕有心人嘛！你说是不是？咱只要用心去钻研，就没有解决不了的零点问题！相信自己，一定能行！。
函数零点的题型归纳与解题技巧函数零点是指函数取值为零的点，即f(x)=0的解。
在高中数学、大学数学以及各类数学竞赛中，函数零点常见的题型有很多种，这里我们将从题型归纳与解题技巧两方面进行探讨。
一、题型归纳1. 求解一元函数零点：例如求解f(x) = x^3-2x^2-x+2=0的零点。
2. 求解二元函数零点：例如求解f(x,y) = x^2+y^2-1=0的零点。
3. 求解多项式方程零点：例如求解f(x) = x^3-x^2+2x-2=0的零点。
4. 求解参数方程零点：例如求解x(t) = t^2-t+2，y(t) =t^3-t^2+2t-2，求解当f(x,y)=0时对应的参数t。
5. 利用零点求解函数的性质：例如已知f(x)的零点及其性质，求解f'(x)或f''(x)的零点。
6. 证明存在或不存在零点：例如证明函数f(x)在区间(a,b)上存在唯一零点。
二、解题技巧1. 分类讨论：对于不同的函数类型，采用不同的方法求解零点。
例如线性函数、二次函数、三次函数、对数函数等，都有相应的求解方法。
2. 利用代数方法：通过代数运算，将原方程转化为容易求解的方程。
例如将原方程化为因式分解的形式，利用韦达定理等。
3. 利用几何方法：将方程与几何图形进行关联，求解图形的相交点即为零点。
例如将方程与直线、圆、椭圆、抛物线等几何图形关联起来。
4. 利用数学分析方法：利用微积分知识，如导数、二分法、牛顿法等，求解零点。
例如，求解f'(x)=0的零点，可以找到函数的拐点；二分法则多用于求解逼近零点。
5. 利用数值方法：通过计算机进行数值逼近求解零点。
例如求解非线性方程组零点时，可以采用牛顿法、拟牛顿法等。
6. 利用泰勒展开：对于非常复杂的函数，可以考虑将其在某一点附近进行泰勒展开，将高次函数近似为低次函数（如线性、二次），再求解零点。
7. 利用解析几何方法：通过解析几何知识，求解平面或空间上的几何问题。
函数零点问题解答分析与思考函数零点问题是数学中一个常见且重要的问题，它涉及到了函数图像的特征、方程的解、数值计算等多个方面。
在数学学习中，零点问题往往是一个绕不过去的坎，因此对于零点问题的解答分析与思考具有重要的意义。
本文将围绕函数零点问题展开讨论，分析其解答方法和思考路径，帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学概念。
一、函数零点的定义我们来看一下函数零点的定义。
在数学中，函数的零点指的是函数取零值的自变量的值。
也就是说，对于函数f(x)，如果存在一个值x0，使得f(x0)=0，那么我们就说x0是函数f(x)的一个零点。
函数的零点在函数图像上对应的便是函数与x轴的交点，它是函数的一个重要特征。
二、零点问题的解答方法1. 代数法：对于一些简单的函数，我们可以通过代数方法求解其零点。
比如一元一次函数f(x)=ax+b，其零点就可以通过求解方程ax+b=0来得到，结果为x=-b/a。
对于一元二次函数f(x)=ax^2+bx+c，我们可以通过求解二次方程ax^2+bx+c=0来得到其零点，当然这需要使用一些二次方程的求解方法。
2. 图像法：对于一些复杂的函数，我们可以通过画出函数的图像来寻找其零点。
通过观察函数的图像，我们可以大致找到函数的零点所在的区间，并进一步使用数值计算方法来精确求解。
3. 数值计算法：对于一些难以用代数法或图像法求解的函数，我们可以借助数值计算方法来获取函数的零点。
比如二分法、牛顿迭代法等都可以用来求解函数的零点，这些方法在计算机程序中也得到了广泛的应用。
以上提到的几种方法是我们在解答零点问题时常用到的方法，每种方法都有其适用的范围和局限性，需要根据具体的函数和问题来选择合适的方法。
三、零点问题的思考路径除了使用合适的方法来解答零点问题，我们在面对零点问题时还需要进行一些思考和分析。
下面就是一些解答零点问题时的思考路径：1. 函数的特征：首先我们需要了解函数的特征，比如函数的单调性、凹凸性、导数的符号等。
谈函数与方程(零点问题)的解题方法课题——解题技能篇从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型主要以选择题、填空题为主，难度中等及以上．主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想．(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．(2)零点存在性定理(函数零点的判定)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．也可以说：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．[提醒]此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数．(3)几个等价关系函数y＝f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与函数y＝0(即x轴)有交点．推广：函数y＝f(x)－g(x)有零点⇔方程f(x)－g(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)－g(x)的图象与y＝0(即x轴)有交点．推广的变形：函数y＝f(x)－g(x)有零点⇔方程f(x)＝g(x)有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)有交点．1．函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？提示：不一定，如图所示，f(a)·f(b)>0．3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内，有f(a)·f(b)<0成立，那么y＝f(x)在(a，b)内存在唯一的零点吗？提示：不一定，可能有多个．(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系Δ＝b 2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与x 轴的交点 (x 1，0)，(x 2，0)(x 1，0) 无交点 零点个数21对于日后的考试中仍以考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点，涉及题目的主要考向有：1．函数零点的求解与所在区间的判断；2．判断函数零点个数；3．利用函数的零点求解参数及取值范围．考向一、函数零点的求解与所在区间的判断1．(2015·温州十校联考)设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3)D ．(3，4) 【解析】法一：∵f (1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0，∴f (1)·f (2)＜0，∵函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，∴函数f (x )的零点所在的区间是(1，2)．法二：函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f (x )的零点所在的区间为(1，2)．【答案】B2．(2015·西安五校联考)函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x 的图象交点的横坐标所在区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【解析】函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x 的图象交点的横坐标，即为函数f (x )＝ln(x ＋1)－1x的零点，∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝ln 2－1＜0，f (2)＝ln 3－12＞0，∴f (x )的零点所在区间为(1，2)．【答案】B3．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________．【解析】求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2，3)内，故n ＝2．【答案】24．(2015·长沙模拟)若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内【解析】本题考查零点的存在性定理．依题意得f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －b )(c －a )＞0，因此由零点的存在性定理知f (x )的零点位于区间(a ，b )和(b ，c )内．【答案】A5．(2014·高考湖北卷)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1，3}B ．{－3，－1，1，3}C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3}【解析】令x ＜0，则－x ＞0，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－3(－x )]＝－x 2－3x ．求函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点等价于求方程f (x )＝－3＋x 的解．当x ≥0时，x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 1＝3，x 2＝1；当x ＜0时，－x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 3＝－2－7．【答案】D确定函数f (x )零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )＜0．若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．1．已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)【解析】因为f (1)＝6－log 21＝6＞0，f (2)＝3－log 22＝2＞0，f (4)＝32－log 24＝－12＜0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2，4)．【答案】C2．方程log 3x ＋x ＝3的根所在的区间为( ) A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【解析】法一：方程log 3x ＋x ＝3的根即是函数f (x )＝log 3x ＋x －3的零点，由于f (2)＝log 32＋2－3＝log 32－1<0，f (3)＝log 33＋3－3＝1>0且函数f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数．∴函数f (x )的零点即方程log 3x ＋x ＝3的根所在区间为(2，3)．法二：方程log 3x ＋x ＝3的根所在区间即是函数y 1＝log 3x 与y 2＝3－x 交点横坐标所在区间，两函数图象如图所示．由图知方程log 3x ＋x ＝3的根所在区间为(2，3)．【答案】C3．(2015·武汉调研)设a 1，a 2，a 3均为正数，λ1＜λ2＜λ3，则函数f (x )＝a 1x －λ1＋a 2x －λ2＋a 3x －λ3的两个零点分别位于区间( )A ．(－∞，λ1)和(λ1，λ2)内B ．(λ1，λ2)和(λ2，λ3)内C ．(λ2，λ3)和(λ3，＋∞)内D ．(－∞，λ1)和(λ3，＋∞)内【解析】本题考查函数与方程．利用零点存在定理求解．当x ∈(λ1，λ2)时，函数图象连续，且x →λ1，f (x )→＋∞，x →λ2，f (x )→－∞，所以函数f (x )在(λ1，λ2)上一定存在零点；同理当x ∈(λ2，λ3)时，函数图象连续，且x →λ2，f (x )→＋∞，x →λ3，f (x )→－∞，所以函数f (x )在(λ2，λ3)上一定存在零点，故选B ．【答案】B考向二、判断函数零点个数1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0满足f (0)＝1，且f (0)＋2f (－1)＝0，那么函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．【解析】∵f (0)＝1，∴c ＝1，又∵f (0)＋2f (－1)＝0，∴f (－1)＝－1－b ＋1＝－12，∴b ＝12．∴当x ＞0时，g (x )＝2x －2＝0有唯一解x ＝1；当x ≤0时，g (x )＝－x 2＋32x ＋1，令g (x )＝0得x ＝－12或x ＝2(舍去)，综上可知，g (x )＝f (x )＋x 有2个零点． 【答案】 22．(2013·高考天津卷)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】由f (x )＝2x |log 0.5x |－1＝0，可得|log 0．5x |＝⎝⎛⎭⎫12x．设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．【答案】B3．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】分别画出函数f (x )，g (x )的草图，观察发现有2个交点．【答案】A4．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是________．【解析】由题意知，f (x )是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y ＝f (x )及y ＝log 3|x |的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y ＝f (x )－log 3|x |有4个零点．判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．1．(2015·淄博期末)函数f (x )＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数是________．【解析】函数f (x )＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数，即为函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝x －1图象的交点个数．在同一坐标系内分别作出函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝x －1的图象，如图，由图可知函数f (x )＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数是2． 【答案】22．若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1，1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，0，x ＝0，－1x ，x <0，则方程f (x )－g (x )＝0在区间[－5，5]上的解的个数为( )A ．5B ．7C ．8D ．10【解析】依题意得，函数f (x )是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象，结合图象得，当x ∈[－5，5]时，它们的图象的公共点共有8个，即方程f (x )－g (x )＝0在区间[－5，5]上的解的个数为8．考向三、利用函数的零点求解参数及取值范围1．(2014·合肥检测)若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为( ) A ．0B ．－14C ．0或－14D ．2【解析】当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14．综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点．【答案】C2．(2014·洛阳模拟)已知方程|x 2－a |－x ＋2＝0(a ＞0)有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，4) B ．(4，＋∞) C ．(0，2)D ．(2，＋∞)【解析】依题意，知方程|x 2－a |＝x －2有两个不等的实数根，即函数y ＝|x 2－a |的图象与函数y ＝x －2的图象有两个不同交点．如图，则a ＞2，即a ＞4．【答案】B3．已知函数f (x )＝log 2x －⎝⎛⎭⎫13x，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值为( ) A ．恒为负 B ．等于零 C ．恒为正D ．不小于零【解析】在同一坐标系中作出y ＝log 2x 和y ＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象，由图象知f (x 1)＜0．【答案】A4．(2014·高考江苏卷)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12．若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．【解析】当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12＝⎪⎪⎪⎪(x －1)2－12，由f (x )是周期为3的函数，作出f (x )在[－3，4]上的图象，如图．函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有互不相同的10个零点，即函数y ＝f (x )，x ∈[－3，4]与y ＝a 的图象有10个不同交点，在坐标系中作出函数f (x )在一个周期内的图象如图，可知当0＜a ＜12时满足题意．【答案】⎝⎛⎭⎫0，12 5．(2015·湖北八校联考)已知x ∈R ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，若函数f (x )＝[x ]x－a (x ≠0)有且仅有3个零点，则a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎤34，45∪⎣⎡⎭⎫43，32 B ．⎣⎡⎦⎤34，45∪⎣⎡⎦⎤43，32 C ．⎝⎛⎦⎤12，23∪⎣⎡⎭⎫54，32D ．⎣⎡⎦⎤12，23∪⎣⎡⎦⎤54，32【解析】当0＜x ＜1时，f (x )＝[x ]x －a ＝－a ；当1≤x ＜2时，f (x )＝[x ]x －a ＝1x －a ；当2≤x ＜3时，f (x )＝[x ]x －a ＝2x －a ；…．f (x )＝[x ]x －a 的图象是把y ＝[x ]x 的图象进行纵向平移而得到的，画出y ＝[x ]x的图象，如图所示，通过数形结合可知a ∈⎝⎛⎦⎤34，45∪⎣⎡⎭⎫43，32．【答案】A已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．1．(2015·莱芜一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A ．12，0B ．－2，0C ．12D ．0【解析】当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x ＞1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x ＞1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点只有0．【解析】D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．【解析】画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图．由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0，1)． 【答案】(0，1)3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≤0，x 2－3ax ＋a ，x ＞0有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．【解析】要使函数f (x )有三个不同的零点，则当x ≤0时，方程2x －a ＝0，即2x ＝a 必有一根，此时0＜a ≤1；当x >0时，方程x 2－3ax ＋a ＝0有两个不等实根，即方程x 2－3ax ＋a ＝0有2个不等正实根，于是⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9a 2－4a ＞0，3a ＞0，a ＞0，∴a ＞49，故49＜a ≤1．【答案】⎝⎛⎦⎤49，1必记结论 有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f (x )在定义域上是单调函数，则f (x )至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．1．(2015·高考安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋1【解析】y ＝cos x 是偶函数，且存在零点；y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 既不是奇函数又不是偶函数；y ＝x 2＋1是偶函数，但不存在零点．【答案】A2．函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，2)C ．(0，3)D ．(0，2)【解析】由题意知f (1)·f (2)＜0，即a (a －3)＜0，∴0＜a ＜3． 【答案】C3．(2016·东城期末)函数f (x )＝e x ＋12x －2的零点所在的区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2，3)【解析】∵f ⎝⎛⎭⎫12＝e －74＜3－74＜0，f (1)＝e －32＞0，∴零点在区间⎝⎛⎭⎫12，1上． 【答案】B4．(2014·昆明三中、玉溪一中统考)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内存在一个零点，则a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫15，＋∞B ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫－1，15D ．(－∞，－1)【解析】当a ＝0时，f (x )＝1与x 轴无交点，不合题意，所以a ≠0；函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内是单调函数，所以f (－1)·f (1)＜0，即(5a －1)(a ＋1)＞0，解得a ＜－1或a ＞15．【答案】B5．f (x )是R 上的偶函数，f (x ＋2)＝f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )－|log 5 x |的零点个数为( )A ．4B ．5C ．8D ．10【解析】由零点的定义可得f (x )＝|log 5x |，两个函数图象如图，总共有5个交点，所以共有5个零点．【答案】B6．(2014·开封模拟)偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝－x＋1，则关于x的方程f(x)＝lg(x＋1)在x∈[0，9]上解的个数是()A．7 B．8 C．9 D．10【解析】依题意得f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的函数．在平面直角坐标系中画出函数y ＝f(x)的图象与y＝lg(x＋1)的图象(如图所示)，观察图象可知，这两个函数的图像在区间[0，9]上的公共点共有9个，因此，当x∈[0，9]时，方程f(x)＝lg(x＋1)的解的个数是9．【答案】C7．(2014·南宁模拟)已知函数f(x)＝ln x＋3x－8的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＋b＝________．【解析】∵f(2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0，且函数f(x)＝ln x＋3x－8在(0，＋∞)上为增函数，∴x0∈[2，3]，即a＝2，b＝3．∴a＋b＝5．【答案】58．已知函数y＝f(x) (x∈R)满足f(－x＋2)＝f(－x)，当x∈[－1，1]时，f(x)＝|x|，则y＝f(x)与y＝log7x 的交点的个数为________．【解析】因为f(－x＋2)＝f(－x)，所以y＝f(x)为周期函数，其周期为2．在同一直角坐标系中，画出函数y＝f(x)和y＝log7x的图象如图，当x＝7时，f(7)＝1，log77＝1，故y＝f(x)与y＝log7x共有6个交点．【答案】69．若函数y＝f(x)(x∈R) 满足f(x＋2)＝f(x)且x∈[－1，1]时，f(x)＝1－x2；函数g(x)＝lg|x|，则函数y ＝f(x)与y＝g(x)的图象在区间[－5，5]内的交点个数共有________个．【解析】函数y＝f(x)以2为周期，y＝g(x)是偶函数，画出图象可知有8个交点．【答案】810．(2015·高考湖南卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a .若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．【解析】令φ(x )＝x 3(x ≤a )，h (x )＝x 2(x ＞a )，函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，结合图象(图略)可得a ＜0或φ(a )＞h (a )，即a ＜0或a 3＞a 2，解得a ＜0或a ＞1，故a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．【答案】(－∞，0)∪(1，＋∞)1．(2014·高考山东卷)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ．若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2，＋∞)【解析】先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为⎝⎛⎭⎫12，1．【答案】B2．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞)B ．⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(1，＋∞) D ．(0，1)【解析】函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与函数y ＝x ＋a (a ＞0且a ≠1)的图象有两个交点，由图1知，当0＜a ＜1时，两函数的图象只有一个交点，不符合题意；由图2知，当a ＞1时，因为函数y ＝a x (a ＞1)的图象与y 轴交于点(0，1)，而直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点一定在点(0，1)的上方，所以两函数的图象一定有两个交点，所以实数a 的取值范围是a ＞1．【答案】C3．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ．若函数y＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫74，＋∞B ．⎝⎛⎭⎫－∞，74C ．⎝⎛⎭⎫0，74D ．⎝⎛⎭⎫74，2【解析】函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，即方程f (x )－g (x )＝0，即b ＝f (x )＋f (2－x )有4个不同的实数根，即直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点．又y ＝f (x )＋f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜0，2，0≤x ≤2，x 2－5x ＋8，x ＞2，作出该函数的图象如图所示，由图可得，当74＜b ＜2时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )有4个交点．【答案】D4．已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1，1]内，函数g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．⎣⎡⎭⎫0，12B ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞C ．⎣⎡⎭⎫0，13D ．⎝⎛⎦⎤0，12 【解析】当x ∈(－1，0]时，x ＋1∈(0，1]．因为函数f (x )＋1＝1f (x ＋1)，所以f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1＝－xx ＋1.即f (x )＝⎩⎨⎧－xx ＋1，x ∈(－1，0]，x ，x ∈(0，1].函数g (x )＝f (x )－mx －m 在区间(－1，1]内有两个零点等价于方程f (x )＝m (x ＋1)在区间(－1，1]内有两个根，令y ＝m (x ＋1)，在同一坐标系中画出函数y ＝f (x )和y ＝m (x ＋1)的部分图象(图略)，可知当m ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，函数g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点．5．(2014·高考天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x ＞0.若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．【解析】画出函数f (x )的图象如图所示．函数y ＝f (x )－a |x |有4个零点，即函数y 1＝a |x |的图象与函数f (x )的图象有4个交点(根据图象知需a ＞0)．当a ＝2时，函数f (x )的图象与函数y 1＝a |x |的图象有3个交点．故a ＜2．当y 1＝a |x |(x ≤0)与y ＝|x 2＋5x ＋4|相切时，在整个定义域内，f (x )的图象与y 1＝a |x |的图象有5个交点，此时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－ax ，y ＝－x 2－5x －4得x 2＋(5－a )x ＋4＝0．由Δ＝0得(5－a )2－16＝0，解得a ＝1，或a ＝9(舍去)， 则当1＜a ＜2时，两个函数图象有4个交点． 故实数a 的取值范围是1＜a ＜2． 【答案】(1，2)考向四、二分法(1)定义：对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )＜0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤如下： ①确定区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )<0，给定精确度ε； ②求区间(a ，b )的中点c ；(ⅰ)若f (c )＝0，则c 就是函数的零点；(ⅱ)若f (a )·f (c )＜0，则令b ＝c (此时零点x 0∈(a ，c ))； (ⅲ)若f (c )·f (b )＜0，则令a ＝c (此时零点x 0∈(c ，b ))．④判断是否达到精确度ε：即若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复②③④．1．(教材习题改编)下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )A B C D【解析】由图象可知，选项C 所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的，故不能用二分法求解． 【解析】C2．(教材习题改编)用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2，4)上的近似解，验证f (2)·f (4)＜0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2，4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)＜0，则此时零点x 0所在的区间为( )A ．(2，4)B ．(3，4)C ．(2，3)D ．(2．5，3)【解析】∵f (2)·f (4)＜0，f (2)·f (3)＜0，∴f (3)·f (4)＞0，∴零点x 0所在的区间为(2，3)． 【解析】C3．用二分法求方程x 2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．【解析】设至少需要计算n 次，由题意知1.5－1.42n ＜0．001，即2n ＞100，由26＝64，27＝128知n ＝7．【解析】7。
