高一零点问题的解题方
法
集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
选择题、填空题为主，难度中等及以上．主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想．
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．
(2)零点存在性定理(函数零点的判定)
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．
也可以说：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
[提醒] 此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数．
(3)几个等价关系
函数y＝f(x)有零点 ? 方程f(x)＝0有实数根 ? 函数y＝f(x)的图象与函数y ＝0(即x轴)有交点．
推广：函数y＝f(x)－g(x)有零点 ? 方程f(x)－g(x)＝0有实数根 ? 函数y＝f(x)－g(x)的图象与y＝0(即x轴)有交点．
推广的变形：函数y＝f(x)－g(x)有零点 ? 方程f(x)＝g(x)有实数根 ? 函数y ＝f(x)的图象与y＝g(x)有交点．
1．函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？
提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．
2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？
提示：不一定，如图所示，f(a)·f(b)>0．
3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内，有f(a)·f(b)<0成立，那么y＝f(x)在(a，b)内存在唯一的零点吗？
提示：不一定，可能有多个．
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
价转化为主要考点，涉及题目的主要考向有：
1．函数零点的求解与所在区间的判断；
2．判断函数零点个数；
3．利用函数的零点求解参数及取值范围．
考向一、函数零点的求解与所在区间的判断
1．(2015·温州十校联考)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
【解析】法一：∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，∴f(1)·f(2)＜0，∵函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，∴函数f(x)的零点所在的区间是(1，2)．
法二：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．【答案】B
2．(2015·西安五校联考)函数y＝ln(x＋1)与y＝1
x
的图象交点的横坐标所在区
间为( )
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
【解析】函数y＝ln(x＋1)与y＝1
x
的图象交点的横坐标，即为函数f(x)＝ln(x
＋1)－1
x
的零点，∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝ln 2－1＜0，f(2)＝ln
3－1
2
＞0，∴f(x)的零点所在区间为(1，2)．
【答案】B
3．函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝
________．
【解析】求函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e＝1，所以f(2)＜0，f(3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f(3)＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故n＝2．【答案】2
4．(2015·长沙模拟)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
【解析】本题考查零点的存在性定理．依题意得f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－b)(c－a)＞0，因此由零点的存在性定理知f(x)的零点位于区间(a，b)和(b，c)内．
【答案】A
5．(2014·高考湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )
A．{1，3} B．{－3，－1，1，3}
C．{2－7，1，3} D．{－2－7，1，3}
【解析】令x＜0，则－x＞0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－3(－x)]＝－x2
－3x．求函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点等价于求方程f(x)＝－3＋x的解．当x≥0时，x2－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1；当x＜0时，－x2－3x＝－3＋x，解得x3＝－2－7．
【答案】D
确定函数f(x)零点所在区间的方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上．
(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0．若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
1．已知函数f(x)＝6
x
－log
2x，在下列区间中，包含
f(x)零点的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，4) D．(4，＋∞)
【解析】因为f(1)＝6－log21＝6＞0，f(2)＝3－log22＝2＞0，f(4)＝3
2
－log
2
4
＝－1
2
＜0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2，4)．
【答案】C
2．方程log
3x＋
x＝3的根所在的区间为( )
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3)
D．(3，4)
【解析】法一：方程log
3x＋
x＝3的根即是函数f(x)＝log3x＋x－3的零点，由
于f(2)＝log32＋2－3＝log32－1<0，f(3)＝log33＋3－3＝1>0且函数f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数．
∴函数f(x)的零点即方程log3x＋x＝3的根所在区间为(2，3)．
法二：方程log
3x＋
x＝3的根所在区间即是函数y1＝log3x与y2＝3－x交点横坐
