3、已知函数f(x)＝2x＋ln(1－x)，讨论函数f(x)在定义域内的零点个数．
4、已知函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1.
(1)若函数f(x)的两个零点x1，x2满足x1∈(－1,0)，x2∈(1,2)，求实数m 的取值范围；
(2)若关于x的方程f(x)＝0的两根均在区间(0,1)内，求实数m的取值范围．
∴－2是极值点．
又当－21时，g′(x)>0，故1不是极值点．
∴函数g(x)的极值点是－2.
【点评】含指数式和对数式的方程常用换元法向常规方程转化，解二次方程的常用方法是因式分解和求根公式．注意导数的零点的意义．
2、分析
(1)直接解方程f(x)＝0有困难，可以作出函数y＝2－x及y＝lg(x＋1)的图象，还可以用判定定理．
(2)画出函数图象，结合最值与交点情况求解．
【解析】
(1)方法一：令f(x)＝0，得2－x＝lg(x＋1)，作出函数y＝2－x及y＝lg(x＋1)的图象(如图2－16－1)，可知有一个交点．∴函数f(x)的零点有且只有一个．
方法二：
首先x＞－1，在区间(－1，＋∞)上2－x是减函数，－lg(x＋1)也是减函数，∴函数f(x)在区间(－1，＋∞)上为减函数且连续．
∵f(0)＝20－lg 1＝1＞0, f(9)＝2－9－lg 10＝1
29
－1＜0，
∴f(0)f(9)＜0.
∴函数f(x)在区间(－1，＋∞)上有唯一零点．
(2)①∵x>0，∴g(x)＝x＋e2
x≥2e
2＝2e.
当且仅当x＝e时取等号．
∴函数g (x )的值域是[2e ，＋∞)，要使函数g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e . ②若关于x 的方程g (x )－f (x )＝0有两个互异的实根，即函数g (x )与f (x )的图象
有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2
x
(x >0)的图象(如图2－16－2)．
3、【解析】函数f (x )的定义域为{x |x ＜1}且函数f (x )在定义域内的图象是连续的．
f ′(x )＝2＋－1
1－x ＝1－2x 1－x
(x ＜1)． 令f ′(x )＝0, 得x ＝12
. 当x ＜12时， f ′(x )＞0；当12
＜x ＜1时，f ′(x )＜0 ∴函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12内为增函数，在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1内为减函数． ∴当x ＝12时， 函数f (x )有最大值f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝1＋ln 12＝1－ln 2＞0. 又f (－2)＝－4＋ln 3＜0,
∴f (－2)f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＜0. ∴函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12内有唯一零点，即在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫－∞，12内有唯一零点． 又f (1－e －10)＝2(1－e －10)＋ln (1－1＋e －10)＝－8－2e －10＜0，
∴f (1－e －10)f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＜0. ∴函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1－e －10内有唯一的零点，即在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1内有唯一零点．∴函数f (x )在区间(－∞，1)内有且只有两个零点．
4、【解析】
(1)根据函数f (x )的图象，
得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝2m ＋1＜0，f (－1)＝2＞0，f (1)＝4m ＋2＜0，f (2)＝6m ＋5＞0.
化简，得－56＜m ＜－12.
5、【解析】 (1)函数F(x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2＝－x 3＋12x ＋9(x ≥0)，∴F ′(x )＝－3x 2＋12. 令F ′(x )＝0，得x ＝2(x ＝－2舍去)．
