奥赛起跑线四年级分册 数的整除性

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教学内容 数的整除性

教学目标 掌握数的整除性

重点 能被1-9整除的数的特征、数的整除性

难点 数的整除性

教

学

过

程 课堂精讲

数的整除的特征：

（1） 能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0，那么这个整数一定能被2整除。

（2） 能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除，那么这个整数一定能被3（或9）整除。

（3） 能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数就一定能被4（或25）整除。

（4） 能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么这个整数一定能被5整除。

（5） 能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除，又能被3整除，那么这个数就一定能被6整除。

（6） ①能被7（13）整除的数的特征：一个整数分成两个数，末三位为一个数，其余各位为另一个数，如果这两个数之差是0或是7（或13）的倍数，这个数就能被7（或13）整除。

②连续的6个数（如111111）能被7整除

③若一个整数的个位数字截去，余下的数减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，那么原数能被7整除

（7） 能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就一定能被8（或125）整除。

（8） 能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）是0或能被11整除，那么它必能被11整除。

数的整除性质主要有：

（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。

例：12能被6整除，6能被3整除，那么12就能被3整除

（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。

2 例：24能被4整除，8能被4整除，那么24+8和24-8都能被4整除

（3）几个数相乘，如果其中一个乘数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。

数的整除规律1、一个数的个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。 2、一个数的数字之和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除。3、这一个数的末两位如果能被4或者25整除，这个数就能被4或者25整除。 4、个位上是0或5的数都能被5整除。 5.这个数的末位数与末三位以前的数字所组成的数之差能被7,11或13整除，则原数能被7,11或13整除。 6.这个数的末三位如果能被8或者125整除，这个数就一定能被8或者125整除。 7.若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c整除。性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除

能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除能被5整除的数，个位上为0或5的数都能被5整除，那么这个数能被5整除能被6整除的数，各数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。能被8整除的数，一个整数的末3位若能被8整除，则该数一定能被8整除。能被9整除的数，各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除能被10整除的数，如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）

数的整除

学生姓名 授课日期

教师姓名 授课时长

知识定位

本讲是数论知识体系中的一个基石，整除知识点的特点介于“定性分析与定量计算之间”即本讲中的题型有定性分析层面的也有定量计算层面的，是很重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。

本讲力求实现的一个核心目标是让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性，在这个基础上对没有整除判定特性的数字可以将其转化为几个有整除判定特性的数字乘积形式来分析其整除性质。另外一个难点是将数字的整除性上升到字母和代数式的整除性上，这个对与学生的代数思维是一个良好的训练也是一个不小的挑战。

学习奥数的优点

1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。

2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。

3、锻炼学生优良的意志品质。可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，

以及战胜难题的勇气。可以养成坚韧不拔的毅力

4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。

知识梳理 1.常见数字的整除判定方法

（1）. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；

一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；

一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；

（2）. 一各位数数字和能被3整除，这个数就能比9整除；

一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；

（3）. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.

（4）. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.

【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）

注：

在给学生讲解常见数字的判定性质时，要分系列来讲，例如有2系列，5系列，3系列和7,11,13系列，便于记忆。对于11的单独判定特性需要重点讲解。

假设问题（一）

例1 在一个笼子理由若干只鸡和兔。从笼子上看有30个头，从笼子下数有70只脚。这个笼子里装有鸡、兔各多少只？

例2 王芳有2分、5分的硬币共40枚，一共是1元2角5分。两种硬币各有多少枚？

例3 松鼠妈妈采松子,晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个。它一连几天共采了112个松子。平均每天采14个。这几天中有多少天是雨天？

例4 搬运1000只玻璃瓶，规定安全运到一直可得搬运费3角，但打碎一只，不仅不给搬运费，还要赔5角。如果运完后共得运费260元，那么，搬运中打碎了几只玻璃瓶？

例5 一批钢材，小卡车装载要用45辆；大卡车装载要用36辆，每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨。这批钢材有多少吨？

思考与联系

1.鸡兔共100只，共有脚284只。鸡兔个有多少只？

2.将92张图片分给16个小朋友，有的分到3张，有的分到7张，最后正好分完。分到3张和7张的各有几人？

3.电影院一天售出甲乙两种电影票共1700张，共收款78000元。甲种票每张60元，乙种票每张40元。甲乙两种电影票各售出多少张？

4.面值是2元、5元的人民币共27张，合计99元，面值是2元、5元的人民币相差多少张？

5.田甜这学期的21次测验成绩全是4分或5分（老师采用5分制评分），总共加起来是100分。他得了多少次5分？

6.王师傅有2元、5元、10元的人民币共118张，总计500元，其中5元与10元的张数相等，三种人民币个有多少张？

7.张老师带了56个学生去划船，共乘坐10只船，其中大船每只做6人，小船每只坐4人。大船和小船各有几只？

8.一辆汽车装运玻璃仪器360个，每个运费5元。若损坏一个仪器不但不给运费，还要赔50元，最后只收费1250元，问：损坏了几个仪器？

9.某次数学竞赛共20道题，评分标准是：每做对1道题得5分，每做错或不做1题扣1分。李强参加了这次竞赛，得了64分。李强做对了几道题？

10.有一堆土，用大汽车来运，要运50次；用小汽车运，要运80次。每辆大汽车比小汽车多运3吨，这堆土有多少吨？