四川大学微积分(下)第7章8
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(NEW)四川大学《690高等数学(微积分、级数)》历年考研真题汇编
6 （12分）一质量为m的物体，最初静止于x0处，在力F＝－k/x2 的作用下沿直线运动，试求物体在任意位置x处的速度．
7 （13分）质量为m的摩托车，在恒定的牵引力F的作用下工作， 它所受的阻力与其速率的平方成正比，它能达到的最大速率是vm．试计 算从静止加速到vm/2所需的时间以及所走过的路程．
3 求下列不定积分（共50分）： （1） （2）
（3）
（4） （5） （6） （7） （8） （9） （10）
4 用级数展开计算下列积分的近似值（计算前三项）（共20 分）：
（1） （2）
5 （5分）甲乙两船同时从一码头出发，甲船以30km/h的速度向北 行驶，乙船以40km/h的速度向东行驶，求两船间距离增加的速度为多 少？
2012年四川大学690高等数学（微 积分、级数）考研真题
2013年四川大学690高等数学（微 积分、级数）考研真题
2014年四川大学690高等数学（微 积分、级数）考研真题
2015年四川大学690高等数学（微 积分、级数）考研真题
2016年四川大学690高等数学（川大学690高等数学（微 积分、级数）考研真题
1 请写出下列初等函数的级数展开式（共20分）： （1）ax （2）sin（x/2） （3） （4）ln（1＋x） （5）1/（1＋x）
2 求下列平面图形的面积（共30分）： （1）曲线y＝x3与y轴和直线y＝1所围成的图形； （2）曲线y＝x2与y＝2－x2所围成的图形．
目 录
2012年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2013年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2014年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2015年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2016年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2017年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题
大学数学高数微积分第七章线性变换第七节课堂讲义
即
1 + 2 + … + (i - ) + … +s = 0 .
令 j = j ，j i , i = i - ，
则 1 , 2 , … , s 是
满足
1 + 2 + … + s = 0
和
( A iE )ri i 0 i 1,2, s
的向量.பைடு நூலகம்
所以
1 = 2 = … = i = … = s = 0 ,
证明 令
fi()(f( i))ri ( 1)r1 ( i1)ri1( i1)ri1 ( s)rs
及
Vi = f (A )V .
则 Vi 是 f (A ) 的值域.
由本节
的不变子空间.
显然 Vi 满足
例 3 若线性变换 A 与 B 是可交换的，则B 的核与值域都是 A -子空间.
在 B 的 核 V0 中 任 取 一 向 量 ， 则 B ( A ) = (B A ) = (A B ) = A (B ) = A 0 = 0 .
所 以 A 在 B 下 的 像 是 零 ， 即 A V0 . 这 就 证 明 了 V0 是 A - 子 空 间 . 在 B 的 值 域 B V 中 任 取 一 向量 B ，则
A ( B ) = B (A ) B V .
可知 Vi 是A
( A iE )ri Vi f ( A )V 0 .
其中i Vi .
当然 i 满足
(A iE)ri i 0 , i 1,2, s .
所以 i = 0，i =1, 2, … , s .
由此可得到第一点中的
表示法是唯一的.
再设有一向量
示成
(A iE)ri 的核. 把 表
1 + 2 + … + (i - ) + … +s = 0 .
令 j = j ，j i , i = i - ，
则 1 , 2 , … , s 是
满足
1 + 2 + … + s = 0
和
( A iE )ri i 0 i 1,2, s
的向量.பைடு நூலகம்
所以
1 = 2 = … = i = … = s = 0 ,
证明 令
fi()(f( i))ri ( 1)r1 ( i1)ri1( i1)ri1 ( s)rs
及
Vi = f (A )V .
则 Vi 是 f (A ) 的值域.
由本节
的不变子空间.
显然 Vi 满足
例 3 若线性变换 A 与 B 是可交换的，则B 的核与值域都是 A -子空间.
在 B 的 核 V0 中 任 取 一 向 量 ， 则 B ( A ) = (B A ) = (A B ) = A (B ) = A 0 = 0 .
所 以 A 在 B 下 的 像 是 零 ， 即 A V0 . 这 就 证 明 了 V0 是 A - 子 空 间 . 在 B 的 值 域 B V 中 任 取 一 向量 B ，则
A ( B ) = B (A ) B V .
可知 Vi 是A
( A iE )ri Vi f ( A )V 0 .
其中i Vi .
当然 i 满足
(A iE)ri i 0 , i 1,2, s .
所以 i = 0，i =1, 2, … , s .
由此可得到第一点中的
表示法是唯一的.
再设有一向量
示成
(A iE)ri 的核. 把 表
大学数学(高数微积分)第七章线性变换第八节(课堂讲义)
1
i
lt`
也是若尔当形.
把每个 Vi 的上述基合起来是 V 的
基， A 在该基下的矩阵仍为若尔当形矩阵.
证毕
上述结果用矩阵表示就是：
定理 17 每个 n 级复矩阵 A 都与一个若尔当
形矩阵相似.
定理 17 是借助于线性变换的不变子空间的直
和分解及取适当基向量来达到证明的.
这是用线性
变换的工具来解决矩阵问题的范例.
其中 Vi { | ( A iE )ri 0, V }. 我们如
能证明在每个 Vi 上有一组基使 A |Vi 在该基下矩
阵为若尔当形矩阵，则定理得证. 为此需证明：
引理 n 维线性空间 V 上线性变换 B 满足 B k = 0 ，k 是某正整数，就称 B 为 V 上幂零线性 变换. 对幂零线性变换 B ，V 中必有下列形式的
这组基下的矩阵是若尔当形矩阵.
证明 设 A 的特征多项式为
f ( ) ( 1 )r1 ( 2 )r2 ( s )rs ,
1 , 2 , … s 是 f () 的全部不同的根.
由 定理 15 设
知 V 可分解成 A 的不变子空间的直和
它可分解成一次
f () (
V = V1 V2 … Vs ,
一组元素作为基
1
2
B1
B2
B k111,
B k2 12 ,
(B
k1 1
0)
(B
k2 2
0)
于是 B 在这组基下的矩阵为
s Bs
(2)
B ks 1s.
(B
ks s
0)
0
1 0
10
k1`
0
10
(3)
大学数学高数微积分第七章线性变换第六节课件课堂讲解
知： 1 , 2 , … , r , r+1 , … , n 是 V
的一组基.
在这组基下， A 的矩阵就是 (1) .
由
证毕
若本请请若本本若想请本节请单若单想节若 本节请想若本请结单若节 本内请本单击若若想请本本请击结内请本本节想单内想节若结本 若单请束击若请容请想若节本 若单内节返本若结击单想请想节节本请束请单容若本若返单内结结节内节请击请击容想束想本单本若若返想已本本单单结内想节 想回内击容节想请击束若返单结请结节本已内内单击想节想击回束容本束容若单返单内内返请节结本结已击节结回结想想击击节束容本堂请按容返结内 结若内本结单已单内堂结想请击回束击容束容本返返结内结本已节本已按单若想回内请击回击容容束堂束本束结若按返内结返结本节钮已已内请单课本回回堂束击容 束想容束击课容结束单返返结节按已已本本堂结内回回堂结束容束钮击容想按单按返返结节本本课已已钮束想内回.结回堂结容束击束容!按单节,按课返返已,结已本本已 本束内回回击束结结钮!课堂束容堂束课按返按已本已本结钮.内堂钮击回回束堂,结 堂.结容束按按课束结返钮按已已本本内击回,结回钮!结束堂容堂结 堂按按返,已束束本.课,回课结钮!束钮.!容堂结课堂按.返按!已课束 课本钮钮束束,.回束结容钮按!束结堂堂按返.!已束本课钮钮课束 课结钮回按束堂,.,已本,.!!课束课结钮回钮,,..堂按钮已束本钮.!束课课结回!!堂,..!束,,按.钮!课结堂!束,,按..钮课.结!.束堂,,按课!.钮!!束课,钮.!束,课,钮!.,!. ,!.
另一方
在前
同构对
证毕
四、A 的秩、零度与空间维数的关系
定理 12 设 A 是 n 维线性空间 V 的线性变
换. 则 A V 的一组基的原像及 A -1(0) 的一组基合
2024版大学微积分课件(ppt版)
大学微积分课件(ppt 版)目录•微积分概述•极限与连续•导数与微分•积分学•微分方程•微积分在实际问题中的应用PART01微积分概述微积分的定义与发展微积分的定义微积分是研究函数的微分与积分的数学分支，微分研究函数在某一点的变化率，而积分则是研究函数在一定区间上的累积效应。
微积分的发展微积分起源于17世纪的物理学和几何学问题，经过牛顿、莱布尼兹等数学家的努力，逐渐发展成为一门独立的数学学科。
微积分的研究对象与意义研究对象微积分的研究对象是函数，包括一元函数和多元函数，主要研究函数的性质、图像、变化率以及函数间的相互关系等。
研究意义微积分在自然科学、工程技术、社会科学等领域有着广泛的应用，如求解物理问题、优化工程设计、分析经济数据等。
微积分的基本思想与方法基本思想微积分的基本思想是通过局部近似来研究函数的整体性质，即“以直代曲”、“以不变应万变”。
基本方法微积分的基本方法包括微分法和积分法。
微分法是通过求导数来研究函数的局部性质，如单调性、极值等；积分法则是通过求原函数来研究函数的整体性质，如面积、体积等。
PART02极限与连续极限的概念与性质01极限的定义：描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势。
02极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性、四则运算法则。
03无穷小量与无穷大量：定义、性质及比较。
极限的运算法则与存在准则极限的四则运算法则加法、减法、乘法、除法。
极限存在准则夹逼准则、单调有界准则。
连续函数的概念与性质连续函数的定义函数在某一点连续的定义及性质。
间断点及其分类第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）、第二类间断点。
连续函数的性质局部性质（局部有界性、局部保号性）、整体性质（有界性、最值定理、介值定理）。
连续函数的四则运算加法、减法、乘法、除法。
初等函数基本初等函数及其性质，初等函数的连续性。
复合函数的连续性复合函数连续性的判断及证明。
连续函数的运算与初等函数PART03导数与微分导数的概念与几何意义导数的定义导数的几何意义可导与连续的关系描述函数图像在某一点处的局部变化率。
四川大学微积分函数-PPT课件
通常用大写拉丁字母表示集合，小写字母表示 元素.
a是集合M的元素,记作aM(读作a属于M)； a不是集合M的元素,记作aM (读作a不属于M).
微积分
函数-集合
例子 1. 1990年10月1日在南宁市出生的人。
2. 彩电、电冰箱、VCD。
3. x2-5x+6=0的根。
4. 全体偶数。
集合具有确定性，即对某一个元素是否属于某个 集合是确定的，是或不是二者必居其一。 由有限个元素构成的集合，称为有限集合。 由无限多个元素构成的集合，称为无限集合；
A={a|P(a)}
例： 由x2-5x+6=0的根所构成的集合A，表示为： A={x|x2-5x+6=0}
例：全体实数组成的集合通常记作R，即： R={x|x为实数}
微积分
函数-集合
子集
如果集合A的元素都是集合B的元素，即若 xA 则 必 xB ， 就 说 A 是 B 的 子 集 ， 记 作 AB(读作A包含于B)或BA(读作B包含A)
例如 y， 1x2 D:[1,1]
例如y， 1 1x2
D:(1,1)
微积分
函数-函数概念
如果自变量在定 y
义域内任取一个数值
时，对应的函数值总
是只有一个，这种函 W
数叫做单值函数，否
y
则叫与多值函数．
o
例如 x2， y2a2．
(x, y)
x
x
D
定义: 点C 集 {x (,y)yf(x)x ,D }称为
函y数 f(x)的图 . 形
微积分
函数-函数概念
几个特殊的函数举例
y
(1) 符号函数
1 当x0 ysgnx 0 当x0
四川大学微积分下册 习题册级数部分 答案
= 1 2 .所以R = 2,原级
∞ n1 n=1 (−1) n 收
∞ 1 n=1 n 发散.当t
= −2即x = −1时,级数为
解
=( 2.
∞ n−1 . n=1 nx n−1 = ∞ (xn ) s(x) = ∞ n=1 nx n=1 ∞ x 1 n n=1 x ) =( 1−x ) = (1−x)2
第一节 级数的概念与性质
一、 (1) 对级数 ∞ 则( ). n=1 un , 若limn→∞ un = 0 ， ∞ A. 必收敛; B. 必发散; C.不能判断 n=1 un 的收敛性; D. Sn = u1 + u2 + · · · + un = 0
(2) 若级数
∞ 则级数 n=1 un 收敛于S， ∞ n=1 (un
2.
∞ n 2n−1 . n=1 ( 3n−1 )
解 由根值判别法limn→∞ 原级数收敛。
3. 4.
∞ n=1 n+1 n .
√ n
un =limn→∞ ( 3nn −1 )
2n−1 n
=1 9 <1
解 级数通项的极限为1， 不为零.原级数收敛。 解 当a = 1时级数的通项趋于无穷，极限不存在。级数发散。当a = 1时，由比 1 1 lnn+3 a+ n n 1 0 1 n+1 值判别法limn→∞ uu = lim ) =ae = a ( .当a < 1时，原级数发散， n →∞ 1 lnn +2 n a+ a+ 1
1.
解 级数的通项极限不存在， 级数发散.
3. √ ∞ n=1 ( n √
解 Sn = 四、 判别下列级数的敛散性.
四川大学结构力学第7章
概括起来，只有位移和相应位移方向上的内力 均未知时，该位移作为位移法的基本未知量。
F
F
F
θ3
F
θ1
θ2
Δ2
F M
Δ1
F M
F
A E
C
F M AE A
F
BF
A
E
BF
D
F
F
B
M AE A
D
D
θ1
F
B
D
F
A
B
C
FRB
B
C
F DE
F
G
DE
F RB
M CB C
DE
G
F
G
FRB
M CB C
θ1 DE
F
G
由平衡条件建立位移法方程
16i1
6i l
1
ql 2 8
0
(1)
M CD
FX 0, FQCA 0
M CA
B FQCA
M CA
M AC l
6i l
1
12i l2
1
C
D
6i l
1
12i l2
1
0
例2、用位移法分析图示结构
10kN.m
20kN/m
B 2EI
40kN
E D 2EI
4m EI
EI
C
A
4m
2m
2m
❖ 解：１、确定基本未知量
20kN/m
40kN
10kN.m θ2
E
θ1 B
2i
D
2i
F
F
F
θ3
F
θ1
θ2
Δ2
F M
Δ1
F M
F
A E
C
F M AE A
F
BF
A
E
BF
D
F
F
B
M AE A
D
D
θ1
F
B
D
F
A
B
C
FRB
B
C
F DE
F
G
DE
F RB
M CB C
DE
G
F
G
FRB
M CB C
θ1 DE
F
G
由平衡条件建立位移法方程
16i1
6i l
1
ql 2 8
0
(1)
M CD
FX 0, FQCA 0
M CA
B FQCA
M CA
M AC l
6i l
1
12i l2
1
C
D
6i l
1
12i l2
1
0
例2、用位移法分析图示结构
10kN.m
20kN/m
B 2EI
40kN
E D 2EI
4m EI
EI
C
A
4m
2m
2m
❖ 解：１、确定基本未知量
20kN/m
40kN
10kN.m θ2
E
θ1 B
2i
D
2i
微积分下册 7-7
x x( t ) y y( t ) 空间曲线的参数方程 z z(t )
当给定 t t1 时，就得到曲线上的一个点
( x1 , y1 , z1 ) ，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
例 3 如果空间一点 M 在圆柱面 x y a 上以 角速度 绕 z 轴旋转，同时又以线速度v 沿平行于 z 轴的正方向上升（其中 、v 都是常数），那么点 M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
1
6（3）
1
0.5
0
-0.5
0
0.2
0
-0.25 -1
-0.2
-0.5 0 0.2
6（4）
-2 0 2 4 5 2 -4 1 0 -1 -2
解
z a x y
2 2
2
上半球面, 圆柱面,
a 2 a2 ( x ) y2 2 4
交线如图.
-2 -1 0 1 2 2 1.5 1 0.5 0 -2 -1 0 1 2
0.5 1 1.5 2 1 0.75 0.5 0.25 0 -1 -0.5 0
0
0.5 1
二、空间曲线的参数方程
z
C
C1
下面我们来研究一下投影曲面方程。
柱面上曲线投影
z
柱面上封闭曲线
投影曲线都是柱 面本身的投影
L2
Q
M
0ωtNayPx
F ( x, y, z ) 0 设空间曲线的一般方程： G ( x , y , z ) 0
消去变量z后得： H ( x , y ) 0
F ( x, y, z ) 0
0
0.5 1
z a2 x2 y2 a 2 a2 ( x ) y2 2 4
当给定 t t1 时，就得到曲线上的一个点
( x1 , y1 , z1 ) ，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
例 3 如果空间一点 M 在圆柱面 x y a 上以 角速度 绕 z 轴旋转，同时又以线速度v 沿平行于 z 轴的正方向上升（其中 、v 都是常数），那么点 M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
1
6（3）
1
0.5
0
-0.5
0
0.2
0
-0.25 -1
-0.2
-0.5 0 0.2
6（4）
-2 0 2 4 5 2 -4 1 0 -1 -2
解
z a x y
2 2
2
上半球面, 圆柱面,
a 2 a2 ( x ) y2 2 4
交线如图.
-2 -1 0 1 2 2 1.5 1 0.5 0 -2 -1 0 1 2
0.5 1 1.5 2 1 0.75 0.5 0.25 0 -1 -0.5 0
0
0.5 1
二、空间曲线的参数方程
z
C
C1
下面我们来研究一下投影曲面方程。
柱面上曲线投影
z
柱面上封闭曲线
投影曲线都是柱 面本身的投影
L2
Q
M
0ωtNayPx
F ( x, y, z ) 0 设空间曲线的一般方程： G ( x , y , z ) 0
消去变量z后得： H ( x , y ) 0
F ( x, y, z ) 0
0
0.5 1
z a2 x2 y2 a 2 a2 ( x ) y2 2 4
微积分-四川大学数学学院
习题课教学大纲（微积分II）（征求意见稿）课程名称：大学数学-微积分II英文名称：Calculus课程性质：必修课程代码：20113830(上册)20112530（下册）面向专业：大学数学II各专业习题课指导丛书名称：高等数学(第五版)出版单位：高等教育出版社出版日期：2002年7月主编：同济大学应用数学系习题课讲义名称：大学数学习题课系列教材--微积分编写单位：四川大学数学学院编写日期：2006年8月主编：四川大学数学学院高等数学教研室第一章函数与极限1．函数与极限2学时（1）基本内容函数的概念，函数的表示，函数的几种特性，复合函数，分段函数，极限的概念及性质，极限存在准则，重要极限，无穷小量与无穷大量，极限的计算，函数的连续与间断，闭区间上连续函数的性质。
（2）基本要求处理作业批改中发现的问题。
通过具体例子讲解极限的计算问题，连续性讨论问题，复合函数定义域及分段函数的复合问题。
第二章导数与微分2学时（1）基本内容：导数及高阶导数的定义；复合函数隐函数参数方程决定的函数和分段函数的求导；微分。
（2）基本要求：处理作业批改中发现的问题；举列说明复合函数隐函数参数方程决定的函数和分段函数的一阶二阶求导；会求微分。
第三章微分中值定理与导数的应用2学时1.中值定理及洛必达法则(1) 基本内容:中值定理的应用;洛必达法则求极限.(2)基本要求:处理作业批改中发现的问题;通过具体例子讲解中值定理的题型和解题步骤;求各种不定形的极限并注意化简和变形技巧.2.不等式的证明和函数曲线(1)基本内容:函数单调性凹凸性的判定;函数的最值;泰勒定理.(2)基本要求:处理作业批改中发现的问题;举例说明函数导数二阶导数曲线关系;举例讲解利用曲线特征证明函数不等式;举例说明函数最值的应用;泰勒中值定理的应用方法.第四章不定积分2学时一、基本内容：复习原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质及基本积分公式，总结换元积分法和分部积分法，有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分的计算方法。
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e
x
.
例1 解 例2 解 例3
求微分方程 y 00 C 2y 0 C y D 3x 2 的通解。 通解为：y D .C1 C C2x/e 求微分方程 y 00
x
C 3x 2
x
12x C 18 .
y D ex C xe
的通解。
1 x.x C1/ 4
1 通解为：y D C1 C 2 x ex C C2
e
x
.
设 '.x/ 连续，且
x
'.x/ D ex C
0
.t
x/'.t / dt :
求 '.x/.
例1 解 例2 解 例3
求微分方程 y 00 C 2y 0 C y D 3x 2 的通解。 通解为：y D .C1 C C2x/e 求微分方程 y 00
x
C 3x 2
x
12x C 18 .
y D ex C xe
1 5
解 通解为：y D C1e 1 sin x . 10 例5 5. 解
1 C C2 C 4 x e3x
cos x
1 求解：y 00 C 4 y D 6 sin x ，y.0/ D 0，y 0.0/ D 2
通解为：y D 22 sin x 2
6x cos x . 2
例 6 设有一个弹簧，它的左端固定，右端挂一 个质量为 m 的物体。设弹簧使物体回到平衡位置的弹 性恢复力 f 和物体离开平衡位置的位移 x 成正比， 即：f D cx，其中常数 c > 0 为弹簧的弹性系数。初 始时，物体处于平衡静止状态。现物体受到一水平干扰 力 F D H sin pt 作用下开始运动。若不考虑摩擦力与空 气阻力，试求物体的运动规律。
第八节
常系数非齐次线性微分方程
第八节
常系数非齐次线性微分方程
形式：y 00 C py 0 C qy D f .x/.
第八节
常系数非齐次线性微分方程
形式：y 00 C py 0 C qy D f .x/. 通解结构：y D C1y1.x/ C C2y2.x/ C y .x/，
第八节
常系数非齐次线性微分方程
O
x
x
解 8 物体的运动规律为： ph h ˆ ˆ < sin k t C 2 sin pt ; p ¤ k; k.k 2 p 2/ k p2 xD h ˆ h ˆ : 2 sin kt t cos k t ; p D k; 2k 2k pc . 这里 k m
形式：y 00 C py 0 C qy D f .x/. 通解结构：y D C1y1.x/ C C2y2.x/ C y .x/，其中 C1y1.x/ C C2y2.x/ 是 y 00 C py 0 C qy D 0 的通解，
第八节
常系数非齐次线性微分方程
形式：y 00 C py 0 C qy D f .x/. 通解结构：y D C1y1.x/ C C2y2.x/ C y .x/，其中 C1y1.x/ C C2y2.x/ 是 y 00 C py 0 C qy D 0 的通解，而 y .x/ 是 y 00 C py 0 C qy D f .x/ 的一个特解。
例1 解
求微分方程 y 00 C 2y 0 C y D 3x 2 的通解。 通解为：y D .C1 C C2x/e
x
C 3x 2
12x C 18 .
例1 解 例2
求微分方程 y 00 C 2y 0 C y D 3x 2 的通解。 通解为：y D .C1 C C2x/e 求微分方程 y 00
x
C 3x 2
第八节
常系数非齐次线性微分方程
形式：y 00 C py 0 C qy D f .x/. 通解结构：y D C1y1.x/ C C2y2.x/ C y .x/，其中 C1y1.x/ C C2y2.x/ 是 y 00 C py 0 C qy D 0 的通解，而 y .x/ 是 y 00 C py 0 C qy D f .x/ 的一个特解。 本节中仅考虑 f .x/ 取下面两种形式： f .x/ D Pm.x/e x ，
第八节
常系数非齐次线性微分方程
形式：y 00 C py 0 C qy D f .x/. 通解结构：y D C1y1.x/ C C2y2.x/ C y .x/，其中 C1y1.x/ C C2y2.x/ 是 y 00 C py 0 C qy D 0 的通解，而 y .x/ 是 y 00 C py 0 C qy D f .x/ 的一个特解。 本节中仅考虑 f .x/ 取下面两种形式：
推测：y D Q.x/e x ，其中 Q.x/ 是某个多项式。 求法：令 y D Q.x/e x ，其中 Qm.x/ D b0x m C b1x m 为 m 次多项式，
1
C
C bm 1x C bm
一、f .x/ D Pm.x/e x 型
推测：y D Q.x/e x ，其中 Q.x/ 是某个多项式。 求法：令 y D Q.x/e x ，其中 Qm.x/ D b0x m C b1x m
x
Pl .x/ cos !x C Pn.x/ sin !x
的一个特解可设为： y D xke
.1/ x .1/ .2/ Rm .x/ cos !x C Rm .x/ sin !x ;
其中 Rm .x/、Rm .x/ 为 m 次多项式，m D maxfl; ng，
.2/
型
二、f .x/ D e x Pl .x/ cos !xCPn.x/ sin !x
型
二、f .x/ D e x Pl .x/ cos !xCPn.x/ sin !x
微分方程 y 00 C py 0 C qy D e
x
Pl .x/ cos !x C Pn.x/ sin !x
型
二、f .x/ D e x Pl .x/ cos !xCPn.x/ sin !x
微分方程 y 00 C py 0 C qy D e
x
Pl .x/ cos !x C Pn.x/ sin !x
的一个特解可设为： y D xke
x .1/ .2/ Rm .x/ cos !x C Rm .x/ sin !x ;
型
二、f .x/ D e x Pl .x/ cos !xCPn.x/ sin !x
微分方程 y 00 C py 0 C qy D e
x
3y D e3x C cos x 的通
1 5
解 通解为：y D C1e 1 sin x . 10 例5 5.
1 C C2 C 4 x e3x
cos x
1 求解：y 00 C 4 y D 6 sin x ，y.0/ D 0，y 0.0/ D 2
例4 解。
求微分方程 y 00
2y 0
x
3y D e3x C cos x 的通
微分方程 y 00 C py 0 C qy D e
x
Pl .x/ cos !x C Pn.x/ sin !x
的一个特解可设为： y D xke
.1/ x .1/ .2/ Rm .x/ cos !x C Rm .x/ sin !x ;
其中 Rm .x/、Rm .x/ 为 m 次多项式，m D maxfl; ng， 8 <0; C !i 不是 r 2 C pr C q D 0 的根， kD :1; C !i 是 r 2 C pr C q D 0 的根。
x
12x C 18 .
y D ex C xe
的通解。
例1 解 例2 解
求微分方程 y 00 C 2y 0 C y D 3x 2 的通解。 通解为：y D .C1 C C2x/e 求微分方程 y 00
x
C 3x 2
x
12x C 18 .
y D ex C xe
的通解。
1 x.x C1/ 4
1 通解为：y D C1 C 2 x ex C C2
若 是 r 2 C pr C q D 0 的单根，则 Q.x/ D xQm.x/ 满足 Q00.x/ C .2 C p/Q0.x/ D Pm.x/； 若 是 r 2 C pr C q D 0 的 2 重根，则 Q.x/ D x 2Qm.x/ 满足 Q00.x/ D Pm.x/ .
例1
求微分方程 y 00 C 2y 0 C y D 3x 2 的通解。
1
C
C am 1x C am I
f .x/ D e
x
Pl .x/ cos !x C Pn.x/ sin !x ，
f .x/ D e 、! 是常数，
x
Pl .x/ cos !x C Pn.x/ sin !x ，其中
f .x/ D e x Pl .x/ cos !x C Pn.x/ sin !x ，其中 、! 是常数，Pl .x/、Pn.x/ 分别是 x 的 l 次、n 次多项 式。
第八节
常系数非齐次线性微分方程
形式：y 00 C py 0 C qy D f .x/. 通解结构：y D C1y1.x/ C C2y2.x/ C y .x/，其中 C1y1.x/ C C2y2.x/ 是 y 00 C py 0 C qy D 0 的通解，而 y .x/ 是 y 00 C py 0 C qy D f .x/ 的一个特解。 本节中仅考虑 f .x/ 取下面两种形式： f .x/ D Pm.x/e x ，其中 是常数，Pm.x/ 是 x 的一个 m 次多项式：
的通解。
1 x.x C1/ 4
1 通解为：y D C1 C 2 x ex C C2
e
x
.
设 '.x/ 连续，且
x
'.x/ D ex C
0
.t
x/'.t / dt :
求 '.x/. 解 通解为：y D 1 .cos x C sin x C ex / . 2