专题1 几何证明选讲
【三年高考全收录】
1. 【2017高考江苏】如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．
∠=∠；
求证：（1）PAC CAB
（2）2
=?．
AC AP AB
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【考点】圆的性质、相似三角形
【名师点睛】（1）解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：①直接应用相交弦、切割线定理及其推论；②当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．
（2）应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．
2. 【2016高考江苏】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点. 求证：∠EDC=∠ABD.
【答案】详见解析 【解析】
试题分析：先由直角三角形斜边上中线性质EC BC DE ==
2
1
， 再由ECD EDC ∠=∠，ECD ∠与DBC ∠互余，ABD ∠与DBC ∠互余，得ECD ABD ∠=∠，从而得证.
试题解析：
证明：在ADB △和ABC △中，
因为90,,ABC BD AC A ∠=⊥∠为公共角， 所以ADB △∽ABC △，于是ABD C ∠=∠. 在Rt BDC △中，因为E 是BC 的中点， 所以ED EC =，从而EDC C ∠=∠. 所以EDC ABD ∠=∠. 【考点】相似三角形
【名师点睛】1.相似三角形的证明方法：(1)找两对内角对应相等；(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；(3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例． 2．利用相似三角形的性质进行对应边的比、对应角的度数的相关运算时，要善于联想变换比例式，通过添加辅助线构造相似三角形，同时注意面积法的应用．
3．【2015江苏高考，21】如图，在ABC ?中，AC AB =，ABC ?的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D
求证：ABD ?∽AEB ?
A
B
C
E D
O
（第21——A 题）
【答案】详见解析
【考点定位】相似三角形
4．【2016高考天津理数】如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE =2AE =2，BD =ED ，则线段CE 的长为
__________.
【答案】
3
3
【解析】
试题分析：设CE x =，则由相交弦定理得DE CE AE BE ?=?，2DE x =
，又2BD DE x
==，所以1AC AE ==，因为AB 是直径，则22
3122BC =-=2
4
9AD x =-
BCE DAE ??，则
BC EC AD AE =2
221
49x
x
=-，解得23x =
考点：相交弦定理
【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路
(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．
2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．
5．【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB =120°.以O 为圆心,1
2
OA 为半径作圆. (I)证明：直线AB 与
O 相切；
(II)点C ,D 在⊙O 上,且A ,B ,C ,D 四点共圆,证明：AB ∥CD .
O
D
C
B
A
【答案】(I)见解析(II)见解析 【解析】
试题分析：(I)设E 是AB 的中点,先证明60AOE ∠=?,进一步可得1
2
OE AO =
,即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径,所以直线AB 与⊙O 相切．(II) 设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,作直线'OO ,证明'OO AB ⊥,'OO CD ⊥．由此可证明//AB CD ． 试题解析：（Ⅰ）设E 是AB 的中点,连结OE ,
因为,120OA OB AOB =∠=?,所以OE AB ⊥,60AOE ∠=?．
在Rt AOE ?中,1
2
OE AO =,即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径,所以直线AB 与⊙O 相切．
E
O'D
C
O B
A
（Ⅱ）因为2OA OD =,所以O 不是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,作直线'OO ．
由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又'O 在线段AB 的垂直平分线上,所以'OO AB ⊥．
同理可证,'OO CD ⊥．所以//AB CD ． 考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明
【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”,熟悉相关定理与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理. 6．【2016高考新课标2理数】选修4-1：几何证明选讲
如图，在正方形ABCD 中，,E G 分别在边,DA DC 上（不与端点重合），且DE DG =，过D 点作
DF CE ⊥，垂足为F ．
(Ⅰ) 证明：,,,B C G F 四点共圆；
(Ⅱ)若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）1
2
. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）证,DGF CBF ?~?再证,DGF CBF ?~?可得0
180,CGF CBF ∠+∠=即得,,,B C G F 四点共圆；（Ⅱ）由由,,,B C G F 四点共圆，可得FG FB ⊥，再证明
,Rt BCG Rt BFG ?~?根据四边形BCGF 的面积S 是GCB ?面积GCB S ?的2倍求得结论.
（II ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥，连结GB ， 由G 为Rt DFC ?斜边CD 的中点，知GF GC =,故,Rt BCG Rt BFG ?~? 因此四边形BCGF 的面积S 是GCB ?面积GCB S ?的2倍，即
111
221.222
GCB S S ?==???=
考点： 三角形相似、全等，四点共圆
【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．
7．【2016高考新课标3理数】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，
O 中AB 的中点为P ，弦PC PD ，分别交AB 于E F ，两点．
（I ）若2PFB PCD ∠=∠，求PCD ∠的大小；
（II ）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG CD ⊥．
【答案】（Ⅰ）60?；（Ⅱ）见解析． 【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据条件可证明PFB ∠与PCD ∠是互补的，然后结合2PFB PCD ∠=∠与三角形内角和定理，不难求得PCD ∠的大小；（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明可知,,,C E F D 四点共圆，然后根据用线段的垂直平分线知G 为四边形CEFD 的外接圆圆心，则可知G 在线段CD 的垂直平分线上，由此可证明结果．
试题解析：（Ⅰ）连结BC PB ,，则BCD PCB PCD BPD PBA BFD ∠+∠=∠∠+∠=∠,. 因为AP BP =，所以PCB PBA ∠=∠，又BCD BPD ∠=∠，所以PCD BFD ∠=∠. 又180,2PFD BFD PFB PCD ∠+∠=?∠=∠，所以3180PCD ∠=?， 因此60PCD ∠=?. （Ⅱ）因为BFD PCD ∠=∠，所以180PCD EFD ∠+∠=?，由此知E F D C ,,,四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过E F D C ,,,四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上，又O 也在CD 的垂直平分线上，因此CD OG ⊥．
考点：1、圆周角定理；2、三角形内角和定理；3、垂直平分线定理；4、四点共圆． 【方法点拨】（1）求角的大小通常要用到三角形相似、直角三角形两锐角互余、圆周角与圆心角定理、三角形内角和定理等知识，经过不断的代换可求得结果；（2）证明两条直线的夂垂直关系，常常要用到判断垂直的相关定理，如等腰三角形三线合一、矩形性质、圆的直径、平行的性质等．
8．【2015高考湖北，理15】如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则
AB
AC
= .
【答案】
2
1
A
P
B
C
【解析】因为PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割线定理知，
)(2BC PB PB PC PB PA +=?=，因为3BC PB =，所以224PB PA =，即PB PA 2=，
由PAB ?∽PCA ?，所以
2
1
==PA PB AC AB . 9.【2015
高考新课标2，理22】如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，圆O 与ABC ?的底边BC 交于M 、N 两点与底边上的高AD 交于点G ，与AB 、AC 分别相切于E 、F 两点．
（Ⅰ）证明：//EF BC ； （Ⅱ） 若AG 等于
O 的半径，且23AE MN ==，求四边形EBCF 的面积．
【解析】（Ⅰ）由于ABC ?是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB ∠的平分线．又因为
O 分别与AB 、AC 相切于E 、F 两点，
所以AE AF =，故AD EF ⊥．从而//EF BC ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF =,AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 是O 的弦，
所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE AE ⊥．由AG 等于
O 的半径得2AO OE =，
所以0
30OAE ∠=．所以ABC ?和AEF ?都是等边三角形．因为23AE =，所以4AO =，
2OE =．
因为2OM OE ==，1
32
DM MN =
=，所以1OD =．于是5AD =，103AB =．所以四边形EBCF 的面积
221103313163
()(23)22??-??=．
10．【2015高考陕西，理22】如图，AB 切
O 于点B ，直线D A 交O 于D ，E 两点，
G
A
E
F
O
N
D
B C
M
C D B ⊥E ，垂足为C ．
（I ）证明：C D D ∠B =∠BA ； （II ）若D 3DC A =，C 2B =
，求O 的直径．
【2018年高考命题预测】
纵观近几年高考试题，高考对几何证明的考查，主要考查有关三角形相似、全等、面积、线段长度及角相等的求解及证明，以平行线等分线段定理，平行线截割定理，相似三角形的判定与性质定理，直角三角形射影定理，圆心角、圆周角定理，圆内接四边形的性质定理及判定定理，圆的割线定理，切割线定理，弦切角定理，相交弦定理等为主要考查内容，题目难度一般为中、低档，备考中应严格控制训练题的难度．
高考对这部分要求不是太高，要求会以圆为几何背景，利用直角三角形射影定理，圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理，相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理证明三角形相似，全等，求线段长等，预测2017年高考可能以圆为几何背景，考查相交线定理，切割线定理，以及圆内接四边形的性质定理与判定定理，考查学生的数形结合的能力.“几何证明选讲”是选修系列4的一个专题,该专题在高考中只考查“相似三角形”和“圆”这两部分平面几何内容,且与另三个选修4的专题一起命题,供考生选择作答.其核心内容为:线段成比例与相似三角形,圆的切线及其性质,与圆有关的相似三角形等.对同学们来说, “几何证明选讲”是初中所学知识的深化,因而倍感亲切.试题题型为解答题,且难度不大.题型以比例问题为主，平行线分线段成比例定理、相似形、角平分线定理、直角三角形中的射影定理、圆中的割线定理、切割线定理和相交弦定理等,都涉及线段成比例,因此比例问题是本专题中所占比重最大的题型.解决这类问题,主要方法就是设法利用上述定理,并灵
活变形.复习建议：圆内接四边形的重要结论：内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推证过程.与圆有关的比例线段的证明要诀：相交弦、切割线定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效.
【2018年高考考点定位】
几何证明选讲的内容涉及的考点可归纳为:①相似三角形的定义与性质;②平行线截割定理;
③直角三角形射影定理;④圆周角与圆心角定理;⑤圆的切线的判定定理及性质定理;⑥弦切角的性质;⑦相交弦定理;⑧圆内接四边形的性质定理和判定定理;⑨切割线定理.
【考点1】相似三角形的判定与性质
【备考知识梳理】
1．平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．
推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．
2．平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定与性质
(1)判定定理：
项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项
【规律方法技巧】
1．判定两个三角形相似的常规思路
(1)先找两对对应角相等；
(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；
(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．
2．借助图形判断三角形相似的方法
(1)有平行线的可围绕平行线找相似；
(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；
(3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边．
3.比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.
4.判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等．
5.．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．
6.相似关系的证明中，经常要应用比例的性质：
若a c
b d
=，则①
a b
c d
=；②ad bc
=；③
a b c d
b d
++
=；④
a b c d
b d
--
=；⑤
a b c d
a b c d
++
=
--
；
⑥a a c
b b d
+
=
+
.
7.辅助线作法：几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法．
【考点针对训练】
1. 如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，过A作AH∥BE.连接ED并延长交AB于F，交AH于H.如果AB＝4AF，EH＝8，求DF的长．
【解析】∵AH ∥BE ，∴HF HE ＝
AF
AB
.
∵AB ＝4AF ，∴HF HE ＝14，∵HE ＝8，∴HF ＝2.∵AH ∥BE ，∴HD DE ＝AD
DC
.
∵D 是AC 的中点，∴HD
DE
＝1.∵HE ＝HD ＋DE ＝8，∴HD ＝4，∴DF ＝HD －HF ＝4－2＝2. 2. 如图，在Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E ，求证： (1)AB ·AC ＝BC ·AD ； (2)AD 3
＝BC ·CF ·BE .
【解析】(1)在Rt△ABC 中，AD ⊥BC ，∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝1
2BC ·AD .∴AB ·AC ＝BC ·AD .
(2)Rt△ADB 中，DE ⊥AB ，由射影定理可得, BD 2
＝BE ·AB ， 同理CD 2
＝CF ·AC ，∴BD 2
·CD 2
＝BE ·AB ·CF ·AC .
又在Rt△BAC 中，AD ⊥BC ，∴AD 2
＝BD ·DC ，∴AD 4
＝BE ·AB ·CF ·AC ，又AB ·AC ＝BC ·AD . 即AD 3
＝BC ·CF ·BE . 【考点2】圆的有关问题 【备考知识梳理】 1．圆周角定理
(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角．
(2)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (3)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质：
定理1：圆内接四边形的对角互补．
定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． (2)判定：
判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．
推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．
另外：若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别的，对定线段张角为直角的点共圆．
3.圆的切线
(1)直线与圆的位置关系
直线与圆交点的个数直线到圆心的距离d 与圆的半径r的关系
相交两个d＜r
相切一个d＝r
相离无d＞r
(2) 圆的切线性质及判定定理
性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等．
3．弦切角
(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角．
(2)弦切角定理及推论
①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．
②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
4．与圆有关的比例线段
定理名称基本图形条件结论应用
相交弦定理弦AB、CD相交
于圆内点P
(1)PA·PB＝
PC·PD；
(2)△ACP∽
△DBP
(1)在PA、PB、PC、
PD四线段中知三
求一；
(2)求弦长及角
切割线定理PA切⊙O于A，
PBC是⊙O的割
线
(1)PA2＝
PB·PC；
(2)△PAB∽△P
CA
(1)已知PA、PB、
PC知二可求一；
(2)求解AB、AC
割线定理PAB、PCD是⊙O
的割线
(1)PA·PB＝
PC·PD；
(1)求线段PA、PB、
PC、PD及AB、CD；
(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
【规律方法技巧】
1. 与圆有关的比例线段： (1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．
(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．
(3)相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理统称为圆幂定理：圆的两条弦或其延长线若相交，各弦被交点分成的两条线段长的积相等.当两交点在圆内时为相交弦定理，当两交点在圆外时为割线定理，两交点重合时为切线，一条上两点重合时为切割线定理，两条都重合时为切线长定理，应用此定理一定要分清两条线段是指哪两条．
2. 弦切角定理及推论的应用
(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．
(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．
3. 证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．
4.涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．
5.一般地，涉及圆内两条相交弦时首先要考虑相交弦定理，涉及两条割线时要想到割线定理，涉及切线和割线时要注意应用切割线定理，要注意相交弦定理中线段之间的关系与切割线定理线段关系之间的区别．
6.在平面几何的有关计算中往往要使用比例线段，产生比例线段的一个主要根据是两三角形
相似．在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦．如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理．在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向． 【考点针对训练】
1. 如图，⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，且AB AD =，E 是CB 延长线上一点，直线EA 与圆
O 相切．
求证：CDA ABE ??∽．
【解析】连结AC ．EA 是圆O 的切线，∴EAB ACB ∠=∠．
AB AD =，∴ACD ACB ∠=∠． ∴ACD EAB ∠=∠．
圆O 是四边形ABCD 的外接圆，∴D ABE ∠=∠． ∴CDA ABE ??∽．
2. 如图，点C 是⊙O 直径BE 的延长线上一点，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，∠ ACB 的平分线CD 与AB 相交于点D ，与AE 相交于点F ． （I ）求AFD ∠的值； （11）若AB=AC ，求
BC
AC
的值．
【解析】（Ⅰ）∵AC 是⊙O 的切线，∴B EAC ∠=∠，又∵DC 是ACB ∠的角平分线，
DCB ACD ∠=∠,
∴+DCB B ACD EAC ∠∠=∠+∠,∴ADF AFD ∠=∠， 又∵BE 是
O 的直径，∴090BAE ∠=,∴045AFD ∠=
(Ⅱ) ∵AB AC =，∴=B ACB EAC ∠=∠∠，由（I ）得，0
90BAE ∠=，∴+=B AEB B ∠∠∠ACE +∠
0390EAC B +∠=∠=,∴30B ∠=,
∵B EAC ∠=∠,=ACB ACB ∠∠,∴ACE ?∽BCA ?,∴03
tan 30AC AE BC AB ===．
【两年模拟详解析】
1. 【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】选修4-1：几何证明选讲 如图，圆
的弦
，交于点
，且
为弧
的中点，点
在弧
上，若
，求
的度数.
【答案】45° 【解析】
连结，．
因为为弧
的中点，所以．
而，
所以
，
即．
又因为，
所以，
故
．
2. 【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】选修4-1：几何证明选讲 如图，直线DE 切圆O 于点D ，直线EO 交圆O 于A ，B 两点，DC OB ⊥于点C ，且
2DE BE =，求证：23OC BC =.
【答案】见解析 【解析】 解：连结，设圆的半径为，，则
，. 在中，
，
，即
，①
又直线
切圆于点，则
，即，②
，代入①，，，
，
.
3. 【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】（选修4-1：几何证明选讲）
如图，AB 是半圆O 的直径，点P 为半圆O 外一点，,PA PB 分别交半圆O 于点,D C .若
2AD =，4PD =，3PC =，求BD 的长.
【答案】43
4. 【2017年第二次全国大联考江苏卷】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，过点P 作圆O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点,连接AE BE ，，APE ∠的平分线与
AE BE ，分别交于C D ，，其中30AEB ∠=．求PCE ∠的大小．
【解析】由PC 为APE ∠的平分线得EPC APC ∠=∠,由弦切角定理得PEB PAC ∠=∠,因为,CDE PED EPD DCE PAC APC ∠=∠+∠∠=∠+∠ ，所以CDE DCE ∠=∠，因此
18030
75.2
PCE -∠=
= …………10分 5. 【2017年第三次全国大联考江苏卷】如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相
交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE AC =，求证：PDE POC ∠=∠．
P
E B O
D
A
C
【解析】
AE AC =，AB 为直径，OAC OAE ∴∠=∠，
POC OAC OCA OAC OAC EAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠，
又EAC PDE ∠=∠，PDE POC ∴∠=∠．
6. 【2017年第一次全国大联考江苏卷】如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，,BC BD BA =的延长线交CD 的延长线于点,
E 求证：AE 平分DA
F ∠.
【解析】因为四边形ABCD 是圆的内接四边形，所以,DAE BCD FAE BAC BDC ∠=∠∠=∠=∠ 因为BC BD =，所以BCD BDC ∠=∠，所以FAE DAE ∠=∠， 所以AE 平分DAF ∠.……………10分
7. 【2017年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】如图， AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交BA 的延长线于点C ．若DB DC =，求证：CA AO =．
【解析】连接,.OD AD 因为AB 是圆O 的直径，所以90,2.ADB AB AO ∠==--------（3分） 因为DC 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=，-----------------------（6分） 又因为DB DC =，所以B C ∠=∠，于是ADB ODC ???，从而AB CO =， 即2OA OA CA =+，得CA AO =．-----------------------------------（10分） 8. 【2017年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】如图，,,A B E 是⊙O 上的点，过E 点的⊙O 的切线与直线AB 交于点P ，APE ∠的平分线和,AE BE 分别交于点,C D .
求证：(1) DE CE =； (2)
CA PE
CE PB
=
． 【答案】证明见解析．
9.【江苏省苏中三市2016届高三第二次调研测试】如图，AB 是圆O 的直径，C 为圆O 外一点，且AB AC =，BC 交圆O 于点D ，过D 作圆O 切线交AC 于点E.求证：DE AC ⊥
【答案】详见解析
【解析】证明：连结OD ，因为AB AC =，所以B C ∠=∠．
经典题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB ∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG ∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴ FG EO =HG GO ∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD ∴ CD CO HG GO = ∴CD CO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15° ∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP ∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15° ∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD ∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD ∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75° ∴∠BPC=360°-75°×4=60° ∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形
3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 证明:连接AC ，取AC 的中点G ,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG ∴GN ∥AD ，GN= 2 1AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG ∴GM ∥BC ，GM= 2 1BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM ∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F 经典题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB ⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB 又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD ∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF ∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC ∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC ∴∠BOM= 2 1 ∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM 由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO
高中数学选修4-4，几何证明选讲相关 知识点 相似三角形的判定及有关性质 知识点1：比例线段的有关定理 平行线等分线段定理： 推论1： 推论2： 平行线等分线段成比例定理： 推论：(1) (2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例． 定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边． 知识点2：相似图形 1、相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 叫做相似比（或相似系数） 2、相似三角形的判定方法 预备定理：平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例． 定理的基本图形语言：
数学符号语言表述是：BC DE // ∴ADE ∽ABC ． 判定定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似. 判定定理2：如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. 判定定理3：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两个三角形相似. 判定定理4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似． 三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下： 从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法. 3、相似三角形的性质定理： （1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于 ； （2）相似三角形的周长比等于 ； （3）相似三角形的面积比等于 ； （4）相似三角形内切圆与外接圆的直径比、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 4、直角三角形的射影定理 从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影；一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段. 点和线段的正射影简称为射影 直角三角形的射影定理：
编写说明：考虑到复习实际，本书将选修4－5不等式选讲与前面第六章不等式、推理与证明整合编写。 选修4－1几何证明选讲 第一节相似三角形的判定及有关性质 1．平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． 2．平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定与性质 (1)判定定理： (2)
1．在使用平行线截割定理时易出现对应线段、对应边对应顺序混乱，导致错误． 2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角对应失误． [试一试] 1．如图，F 为?ABCD 的边AD 延长线上的一点，DF ＝AD ，BF 分别交DC ，AC 于G ，E 两点，EF ＝16，GF ＝12，则BE 的长为________． 解析：由DF ＝AD ，AB ∥CD 知BG ＝GF ＝12，又EF ＝16知EG ＝4，故BE ＝8. 答案：8 2．在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC ＝∠ADC ，AC ＝8，BC ＝16，则CD ＝________. 解析：∵∠BAC ＝∠ADC ，∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△DAC ，∴BC AC ＝AC CD ，∴CD ＝AC 2BC ＝ 8216＝4. 答案：4 1．判定两个三角形相似的常规思路 (1)先找两对对应角相等； (2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例； (3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”． 2．借助图形判断三角形相似的方法 (1)有平行线的可围绕平行线找相似； (2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例； (3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边． [练一练] 1.如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且AD DB ＝2， 那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________． 解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，
高中数学-《几何证明选讲》知识点归纳与练习（含答案） 一、相似三角形的判定及有关性质 平行线等分线段定理 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。 推理1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 推理2 :经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。 平分线分线段成比例定理 平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定： 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似 系数）。 由于从定义岀发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给岀过如下几个判定两个三角形相似的简单方法： （1 ）两角对应相等，两三角形相似； （2 ）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （3 ）三边对应成比例，两三角形相似。 预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。 判定定理1 :对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三 角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。 判定定理2 :对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等， 那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 判定定理3 :对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个 三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。 引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；
如图;已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O 交AB于点D，过点D作⊙O 的切线DE交BC于点E． 求证：BE=CE 证明：连接CD ∵AC是直径 ∴∠ADC=90° ∵∠ACB=90°，ED是切线 ∴CE=DE ∴∠ECD=∠EDC ∵∠ECD+∠B=90°，∠EDC+∠BDE=90° ∴∠B=∠BDE ∴BE=DE ∴BE=CE 如图，半圆O的直径DE=10cm，△ABC中，∠ABC=90°，∠BCA=30°，BC=10cm，半圆O 以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，D、E始终在直线BC上，设运动时间为t(s)，当t=0(s)时，半圆O在△ABC的左侧且OB=9cm。（1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切； （2）当△ABC一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直径DE围成的区域与△ABC的三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。 （1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切； 相切分两种情况，如图， ①左图：当t=0时，原图中OB=9，此时圆移动了OB-OE=9-5=4cm 则：t=4/2=2s； --------------- ②右图：设圆O与边AC的切点为F，此问不用三角函数是无法求出的==>∵∠C=30==>∴OC=OF/sinC=5/sin30=10=BC ==>O与B重合，此时圆移动的长即为OB的长，即9cm ==>t=9/2; =========
（2）如右图：由②得：∠AOE=90 ==>S阴=（90*π*5^2)/360=6.25π 不明之处请指出~~
十七、几何证明选讲 13.（2012年海淀一模理13）如图，以ABC ?的边AB 为直径的半圆交AC 于点D ，交BC 于点E ，EF AB ^于点F ，3AF BF =，22BE EC ==，那么CDE D= ， CD = . 答案：60° 11.（2012年西城一模理11） 如图，AC 为⊙O 的直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC 于点M ．若OC =，1OM =，则MN =_____． 答案：1。 12．（2012年东城一模理12）如图，AB 是⊙O 的直径，直线DE 切⊙O 于点D ， 且与AB 延长线交于点C ，若CD =1CB =，则ADE ∠= ． 答案：60 。 F E D C B A A B C O M N
12．（2012年丰台一模理12）如图所示，Rt △ABC 内接于圆，60ABC ∠= ，PA 是圆的切线，A 为切点， PB 交AC 于E ，交圆于D ．若PA=AE ， BD=AP= ，AC= ． 答案： 10.（2012年东城11校联考理10）如图，已知PA 是⊙O 的切线，A 是切点，直线PO 交⊙O 于,B C 两点，D 是OC 的中点，连结AD 并延长交⊙O 于点E ， 若 ,30P A A P B =∠=? ，则AE = . 答案：7710。 11.（2012年石景山一模理11）如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，CE 与圆相切交AB 延长线上于点E ， 若DF CF ==，::4:2:1AF FB BE =，则线段CE 的长为 ． 答案：7。 E D P C B A
3．（2012年房山一模理3）如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于,B C 两点， 1PA PB ==，则ABC ∠=( B ) A.70? B.60? C.45? D.30? 12．（2012年密云一模理12）如图3所示，AB 与CD 是O 的直径，AB ⊥CD ，P 是AB 延长线上一点，连PC 交O 于点E ，连DE 交AB 于点F ，若42==BP AB ，则 =PF ． 答案：3。 12．（2012年门头沟一模理12）如右图：点P 是O 直径AB 延长线上一点， PC 是O 的切线，C 是切点，4AC =，3BC =，则PC = ． 答案：60 7 。 C
初一几何证明典型例题 1、已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD解：延长AD到E,使AD=DE∵D是BC中点∴BD=DC 在△ACD和△BDE中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD＜4+21＜AD＜3∴AD=2ADBC 2、已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2ABCDEF21证明：连接BF和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴△BCF≌△EDF (S、 A、S)∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在△BEF中,BF=EF∴ ∠EBF=∠BEF。∵ ∠ABC=∠AED。∴ ∠ABE=∠AEB。∴ AB=AE。在△ABF和△AEF中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴△ABF≌△AEF。∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 3、已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=ACBACDF21E 过C作CG∥EF交AD的延长线于点GCG∥EF，可得，∠EFD＝CGDDE ＝DC∠FDE＝∠GDC（对顶角）∴△EFD≌△CGDEF＝CG∠CGD＝ ∠EFD又，EF∥AB∴，∠EFD＝∠1∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC 为等腰三角形，AC＝CG又 EF＝CG∴EF＝ACA 4、已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD ＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS）∴∠E＝
几何证明选讲 沙市五中高三数学组 一、填空题(每小题6分，共48分) 1．如图所示，l1∥l2∥l3，下列比例式正确的有________(填序号)． (1)AD DF ＝ CE BC ；(2) AD BE ＝ BC AF ；(3) CE DF ＝ AD BC ；(4) AF DF ＝ BE CE . 2．如图所示，D是△ABC的边AB上的一点，过D点作DE∥BC交AC于E.已 知AD DB ＝ 2 3 ，则 S △ADE S 四边形BCED ＝ __________________________________________________________________. 3．如图，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，则EF BC ＋ FG AD ＝________.
4．在直角三角形中，斜边上的高为6，斜边上的高把斜边分成两部分，这两部分的比为3∶2，则斜边上的中线的长为________． 5．(2010·苏州模拟)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于点O，过点O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，则EF＝________. 6．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于G，EC 的长为4，则EG＝________. 7．(2010·天津武清一模)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF ∥BC，AB＝15，AF＝4，则DE＝________. 8．如图所示，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ BC ＝ ________. 二、解答题(共42分) 9．(14分)如图所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC 的平分线，交AD于F，求证：DF AF ＝ AE EC .
高中数学高考总复习几何证明选讲习题 (附参考答案) 一、选择题 1．已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y ，那么下列结论中正确的是( ) A ．y 是x 的增函数 B ．y 是x 的减函数 C ．y 随x 的增大先增大再减小 D ．无论x 怎样变化，y 为常数 [答案] D [解析] ∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△P AR 的中位线，∴EF ＝12 AR ，∵R 固定，∴AR 是常数，即y 为常数． 2．(2010·湖南考试院)如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连结BD ，EC .若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 [答案] C [解析] 由条件知AF ＝2，BF ＝BE ＝1， ∴S △ADE ＝12AE ×DF ＝12 ×4×3＝6， ∵CE ∥DB ，∴S △DBC ＝S △DBE ，∴S 四边形ABCD ＝S △ADE ＝6. 3．(2010·广东中山)如图，⊙O 与⊙O ′相交于A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O ′于Q
和M ，交AB 的延长线于N ，MN ＝3，NQ ＝15，则PN ＝( ) A ．3 B.15 C ．3 2 D ．3 5 [答案] D [解析] 由切割线定理知： PN 2＝NB ·NA ＝MN ·NQ ＝3×15＝45， ∴PN ＝3 5. 4．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD BD ＝32，则斜边AB 上的中线CE 的长为( ) A ．5 6 B.56 C.15 D.3102 [答案] B [解析] 设AD ＝3x ，则DB ＝2x ，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，∴36＝6x 2，∴x ＝6，∴AB ＝56， ∴CE ＝12AB ＝562 . 5．已知f (x )＝(x －2010)(x ＋2009)的图象与x 轴、y 轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是( ) A ．(0,1) B ．(0,2)
初一几何典型例题 1、如图，∠AOB=90°，OM平分∠AOB，将直角三角尺的顶点P在射线OM上移动，两直角分别与OA，OB相较于C，D两点，则PC与PD相等吗？试说明理由。 PC=PD 证明：作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F ∵OM是角平分线 ∴PE=PF ∠EPF=90° ∵∠CPD=90° ∴∠CPE=∠DPF ∵∠PEC=∠PFD=90° ∴△PCE≌△PDF ∴PC=PD 2、如图，把两个含有45°角的三角尺按图所示的方式放置，D在BC上，连接AD、BE，AD的延长线交BE于点F。试判断AF与BE的位置关系。并说明理由。 AF⊥BE 证明： ∵CD=CE，CA=CB，∠ACD=∠BCE=90° ∴△ACD≌△BCE
∵∠CBE+∠BEC=90° ∴∠EAF+∠AEF=90° ∴∠AFE=90° ∴AF⊥BE 3、如图，已知直线l1‖l2，且l3和l1、l2分别交于A、B两点，点P在直线AB上。 （1）如果点P在A、B两点之间运动，试求出∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由； （2）如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与A、B不重合)，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系，请画出图形，并说明理由。解：（1）∠1+∠2=∠3； 理由：过点P作l1的平行线PQ， ∵l1∥l2，∴l1∥l2∥PQ， ∴∠1=∠4，∠2=∠5. ∵∠4+∠5=∠3，∴∠1+∠2=∠3； （2）同理：∠1-∠2=∠3或∠2-∠1=∠3． 理由：当点P在下侧时，过点P作l1的平行线PQ， ∵l1∥l2 ∴l1∥l2∥PQ， ∴∠2=∠4，∠1=∠3+∠4，
当点P在上侧时，同理可得∠2-∠1=∠3． 4、D、E是三角形△ABC内的两点，连接BD、DE、EC，求证AB+AC＞BD+DE+EC 解答：延长DE分别交AB、AC于F、G。 由于FB+FD>BD AF+AG>FG EG+GC>EC 所以 FB+FD+FA+AG+EG+GC>BD+FG+EC 即AB+AC+FD+EG>BD+FD+EG+DE+EC 所以AB+AC>BD+DE+EC 5、D为等边△ABC的边BC上任意一点，延长BC至G。作∠ADE＝60°(E.C在AD同侧)与∠ACG的角平分线相交于E，连AE。求证：ADE为等边三角形。 解：如图，作DF‖AC交AB于F. ∵DF‖AC.等边△ABC. ∴等边△BFD.
初三几何证明题 经典题（一） 1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF． 2、已知：如图，P是正方形ABCD内部的一点，∠PAD＝∠PDA＝ 15°。 求证：△PBC是正三角形．（初二）
3、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN 于E、F． 求证：∠DEN＝∠F． 经典题（二） 1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M． （1）求证：AH＝2OM； （2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．
2、设MN是圆O外一条直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E，连接CD并延长交MN于Q，连接EB并延长交MN于P. 求证：AP＝AQ． 3、如图,分别以△ABC的AB和AC为一边,在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE，点O是DF 的中点，OP⊥BC 求证：BC=2OP 证明：分别过F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是L、M、N ∵OF=OD，DN∥OP∥FL ∴PN=PL ∴OP是梯形DFLN的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG是正方形 ∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL 又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL≌△ABM ∴FL=BM 同理△AMC≌△CND ∴CM=DN ∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP 经典题（三） 1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．
第十四章 选修4系列选讲 第一节 几何证明选讲 高考试题 考点一 相似三角形的判定与性质 1. (2013年陕西卷,理15B)(几何证明选做题)如图,弦AB 与CD 相交于☉O 内一点E,过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P.已知PD=2DA=2,则PE= . 解析:由PD=2DA=2,得PA=PD+DA=2+1=3, 又PE ∥BC,得∠PED=∠C, 又∠C=∠A,得∠PED=∠A, 在△PED 和△PAE 中,∠EPD=∠APE,∠PED=∠A, 所以△PED ∽△PAE, 得 PE PA =PD PE , 因此PE 2 =PA ·PD=3× 答案2.(2011年陕西卷,理15B)如图所示,∠B=∠D,AE ⊥BC,∠ACD=90°,且AB=6,AC=4,AD=12,则BE= . 解析:由∠B=∠D,∠AEB=∠ACD=90°, 得△ACD ∽△AEB, 所以 AC AE =AD AB ,即4AE =12 6 ,所以AE=2, 所以在直角三角形ABE 中, 答案3.(2011年湖南卷,理11)如图所示,A,E 是半圆周上的两个三等分点,直径BC=4,AD ⊥BC,垂足为D,BE 与AD 相交于点F,则AF 的长为 .
解析:如图所示,设圆心为O,连接OA,OE,AE,因为A,E 是半圆周上的两个三等分点,所以AE ∥BC,AE=1 2 BC=2,所以△AFE ∽△DFB,所以 AF DF =AE DB .在△AOD 中, ∠AOD=60°,AO=2,AD ⊥BC,故OD=AOcos ∠AOD=1,AD=AOsin ∠所以BD=1.故 AF= AE BD ·DF=2(AD-AF).解得 答案考点二 直线和圆的位置关系 1.(2013年重庆卷,理14)如图所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=60°,AB=20,过C 作△ABC 的外接圆的切线CD,BD ⊥CD,BD 与外接圆交于点E,则DE 的长为 . 解析:在△ABC 中, BC=AB ·sin 60°, 由弦切角定理知∠BCD=∠A=60°, 所以 由切割线定理知,CD 2 =DE ·BD, 解得DE=5. 答案:5 2.(2012年湖北卷,理15)如图所示,点D 在☉O 的弦AB 上移动,AB=4,连接OD,过点D 作OD 的垂线交☉O 于点C,则CD 的最大值为 . 解析:连接OC.因为CD ⊥OD,所以又OC 为☉O 的半径,是定值,所以当OD 取最小值时,CD 取最大值.显然当OD ⊥AB 时,OD 取最小值,此时CD=1 2 AB=2,即CD 的最大值为2. 答案:2 3.(2013年广东卷,理15)(几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,延长BC 到D 使BC=CD,过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB=6, ED=2,则BC= .
初一几何证明典型例题 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
戴氏教育达州西外校区名校冲刺 戴氏教育温馨提醒： 暑假两个月是学习的最好时机，可以在两个月里，复习旧知识，学习新知识，承上，还能启下。在这个炎热的假期，祝你学习轻松愉快。 初一典型几何证明题 1、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2 2、已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 3、 4、证明：连接BF 和EF A B C D E F 2 1 A D B C
∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴△BCF≌△
∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在△BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。 在△ABF 和△AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴△ABF ≌△AEF 。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 已知：∠1=∠2，CD=DE ， EF P 是∠BAC 平 分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB 第1题图 第6题图 高二数学选修4-1《几何证明选讲》综合复习题 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.如图4所示,圆O 的直径AB =6,C 为圆周上一点,BC =3过C 作 圆的切线l ,过A 作l 的垂线AD ,垂足为D ,则∠DAC =( ) A .15? B .30? C .45? D .60? 【解析】由弦切角定理得60DCA B ∠=∠=?,又AD l ⊥,故30DAC ∠=?, 故选B . 2.在Rt ABC ?中,CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线,是该图中共有x 个三角形与ABC ?相似,则x =( ) A .0 B .1 C .2 D .3 【解析】2个:ACD ?和CBD ?,故选C . 3.一个圆的两弦相交,一条弦被分为12cm 和18cm 两段,另一弦被分为3:8,则另一弦的长为( ) D .99cm 【(0)k k >,由相交弦定理得 33k =cm .故选B . 4.ABC ?与 cm D . 5.P C D 经过圆心,已知 C .6 )(12)r r -+,解得8r =.故选6.如图,AB 是半圆O 的直径,点C 在半圆上,CD AB ⊥于点D , 且DB AD 3=,设COD θ∠=,则2 tan 2θ＝( ) A .13 B .14 C .4- D .3 A B C D E 第4题图 第11题图 第10题图 第9题图 【解析】设半径为r ,则31,22AD r BD r ==,由2CD AD BD =?得2 CD r =,从而3π θ=, 故21tan 23 θ=,选A . 7.在ABC ?中,,D E 分别为,AB AC 上的点,且//DE BC ,ADE ?的面积是22cm ,梯形DBCE 的面积为26cm ,则:DE BC 的值为( ) A . B .1:2 C .1:3 D .1:4 【解析】ADE ABC ?? ,利用面积比等于相似比的平方可得答案B . 8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个. A .2 B .3 C .4 D .5 1个,一外切一内切的2个,9..由4个这样的 , ( ) D .4 mm , AC ,AQ ＝23AB ＋14AC , A . 15 B . 45 C . 14 D . 13 【解析】如图,设25AM AB = ,15AN AC = ,则AP AM AN =+ . 几何证明选讲 一、填空题 1.(2016·天津高考文科·T13)同(2016·天津高考理科·T12)如图,AB 是圆的直径,弦CD 与AB 相交于点E ,BE=2AE=2,BD=ED ,则线段CE 的长为 . 【解题指南】设圆心为O ,连接OD ,构造三角形,利用相似三角形对应边成比例求解. 【解析】设圆心为O ,连接OD ,AC ,可得△BOD ∽△BDE ,所以BD 2=BO ·BE=3,所以BD=DE= 因为△AEC ∽△DEB , AE CE DE BE = ,即EC 2=,所以 答案二、解答题 2.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T22)同(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T22)选修4-1:几何证明选讲 如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以O 为圆心, 1 2 OA 为半径作圆. (1)证明:直线AB 与☉O 相切. (2)点C ,D 在☉O 上,且A ,B ,C ,D 四点共圆,证明:AB ∥CD. 【解析】(1)设圆的半径为r ,作OK ⊥AB 于K , 因为OA=OB ,∠AOB=120°, 所以OK⊥AB,∠A=30°,OK=OA·sin 30°=OA =r, 2 所以AB与☉O相切. (2)方法一:假设CD与AB不平行, CD与AB交于F,FK2=FC·FD.① 因为A,B,C,D四点共圆, 所以FC·FD=FA·FB=(FK-AK)(FK+BK). 因为AK=BK, 所以FC·FD=(FK-AK)(FK+AK)=FK2-AK2.② 由①②可知矛盾, 所以AB∥CD. 方法二: 因为A,B,C,D四点共圆,不妨设圆心为T, 因为OA=OB,TA=TB,所以OT为AB的中垂线, 又OC=OD,TC=TD, 所以OT为CD的中垂线, 所以AB∥CD. 3.(2016·全国卷Ⅱ文科·T22)同(2016·全国卷Ⅱ理科·T22)选修4-1:几何证明选讲 如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F. 初一典型几何证明题 1、已知： AB=4，AC=2，D是BC中点， AD是整数，求AD 解：延长 A D到 E,使AD=DE ∵D是 BC中点 A ∴BD=DC 在△ ACD和△ BDE中 AD=DE ∠BDE=∠ADC B C D BD=DC ∴△ ACD≌△ BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ ABE中 AB-BE＜AE＜AB+BE ∵AB=4 即 4-2＜2AD＜4+2 1＜AD＜3 ∴AD=2 2、已知： BC=DE，∠B=∠E，∠ C=∠D，F 是 CD中点，求证：∠1=∠2 A 2 1 B E C F D 证明：连 接BF和 EF ∵BC=ED,CF=DF∠, BCF=∠EDF ∴△ BCF≌△ EDF (S.A.S) 第1页 共22 页 ∴BF=EF,∠CBF=∠DEF B E 连接 在△ BEF中,BF=EF ∴∠EBF=∠BEF。 ∵∠ABC=∠AED。 ∴∠ABE=∠AEB。 ∴AB=AE。 在△ ABF和△ AEF中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴△ ABF≌△ AEF。 ∴∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 3、已知：∠1=∠2，CD=D，E EF//AB，求证： EF=AC A 2 1 F C D E B 点G C作 CG∥EF交 AD的延长线于 过 CG∥EF，可得，∠ EFD＝ CGD DE＝DC ∠FDE＝∠GDC（对顶角） ∴△EFD≌△CGD EF＝CG ∠CGD＝∠EFD 又，EF∥AB ∴，∠ EFD＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD＝∠2 ∴△AGC为等腰三角形， AC＝CG 又EF＝CG ∴EF＝AC 4、已知： AD平分∠ BAC，AC=AB+B，D求证：∠B=2∠C A 共22 页 第2页 考点52 几何证明选讲 一、填空题 1.(2013·天津高考理科·T13)如图,△ABC 为圆的内接三角形,BD 为圆的弦,且BD ∥AC.过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E,AD 与BC 交于点F.若AB=AC,AE=6,BD=5,则线段CF 的长为 . 【解题指南】利用圆以及平行线的性质计算. 【解析】因为AE 与圆相切于点A,所以AE 2=EB ·(EB+BD),即62 =EB ·(EB+5),所以BE=4,根据切线的性质有∠BAE=∠ACB,又因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB,所以∠ABC=∠BAE,所以AE ∥BC,因为BD ∥AC,所以四边形ACBE 为平行四边形,所以AC=BE=4,BC=AE=6.设CF=x,由BD ∥AC 得 = AC CF BD BF ,即456=-x x ,解得x=83,即CF=83 . 【答案】 8 3 . 2. （2013·湖南高考理科·Ｔ11）的⊙0中,弦 ,,2,AB CD P PA PB ==相交于点1PD O =，则圆心到弦CD 的距离为 . 【解题指南】本题要利用相交弦定理:PA ·PB=PD ·PC 和解弦心三角形22)2 1 (CD r d -= 【解析】由相交弦定理PC PD PB PA ?=?得4=PC ，所以弦长5=CD ，故圆心O 到弦CD 的距离为234257)21(22=-=-CD OC . 【答案】 2 3. 3. （2013·陕西高考文科·Ｔ15）如图, AB 与CD 相交于点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知A C ∠=∠, PD = 2DA = 2, 则PE = . 初中几何证明题 经典题(一） 1、已知：如图,O 是半圆的圆心,C 、E 是圆上的两点，ＣD ⊥AB,E Ｆ⊥AB ，E Ｇ⊥C Ｏ． 求证:CD ＝G Ｆ． 证明:过点G 作GH ⊥ＡB 于Ｈ，连接OE ∵E Ｇ⊥CO ，ＥF ⊥ＡB ∴∠EGO=90°,∠ＥFO=9０° ∴∠ＥGO ＋∠ＥFO=180° ∴E 、Ｇ、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠ＨＦG ∵∠E ＧO ＝∠FHG ＝90° ∴△ＥGO ∽△F ＨG ∴ FG EO =HG GO ∵GH ⊥A Ｂ，CD ⊥AB ∴ＧＨ∥ＣD ∴ CD CO HG GO = ∴CD CO FG EO = ∵E Ｏ=C Ｏ ∴CD ＝ＧF 2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内部的一点,∠ＰAD=∠PDA=15°。 求证:△ＰB Ｃ是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ＡＤＭ,连接ＭＰ ∵∠ＭA Ｄ=60°，∠ＰＡD ＝15° ∴∠MAP=∠MAD+∠ＰAD=７5° ∵∠ＢＡＤ＝90°,∠ＰA Ｄ=15° ∴∠BAP=∠ＢＡD －∠ＰAD=90°-１5°＝75° ∴∠B ＡP=∠MAP ∵MA=BA ，ＡP=ＡP ∴△ＭAP ≌△BAP ∴∠BPA=∠ＭPA ，MP=B Ｐ 同理∠ＣPD=∠ＭP Ｄ,MP ＝C Ｐ ∵∠ＰＡＤ=∠PDA ＝15° ∴PA=P Ｄ,∠ＢA Ｐ=∠CDP=75° ∵ＢＡ＝ＣＤ ∴△ＢＡP ≌∠C ＤＰ ∴∠ＢP Ａ=∠CPD ∵∠B ＰA ＝∠MPA ，∠ＣＰD=∠MPD ∴∠MP Ａ＝∠M ＰD=75° ∴∠BPC=3６0°-７５°×4=60° ∵M Ｐ＝ＢP,ＭP=ＣＰ ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形 高中数学高考总复习几何证明选讲习题及详解 一、选择题 1．已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y ，那么下列结论中正确的是( ) A ．y 是x 的增函数 B ．y 是x 的减函数 C ．y 随x 的增大先增大再减小 D ．无论x 怎样变化，y 为常数 [答案] D [解析] ∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△P AR 的中位线，∴EF ＝1 2AR ，∵R 固 定，∴AR 是常数，即y 为常数． 2．(2010·湖南考试院)如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连结BD ，EC .若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 [答案] C [解析] 由条件知AF ＝2，BF ＝BE ＝1， ∴S △ADE ＝12AE ×DF ＝1 2 ×4×3＝6， ∵CE ∥DB ，∴S △DBC ＝S △DBE ，∴S 四边形ABCD ＝S △ADE ＝6. 3．(2010·广东中山)如图，⊙O 与⊙O ′相交于A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O ′于Q 和M ，交AB 的延长线于N ，MN ＝3，NQ ＝15，则PN ＝( ) A ．3 B.15 C ．3 2 D ．3 5 [答案] D [解析] 由切割线定理知： PN 2＝NB ·NA ＝MN ·NQ ＝3×15＝45， ∴PN ＝3 5. 4．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD BD ＝3 2，则斜边AB 上的中线CE 的长为( ) A ．5 6 B.562 C.15 D.3102 [答案] B [解析] 设AD ＝3x ，则DB ＝2x ，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，∴36＝6x 2，∴x ＝6，∴AB ＝56， ∴CE ＝12AB ＝562 . 5．已知f (x )＝(x －2010)(x ＋2009)的图象与x 轴、y 轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(0， 2010 2009 ) 初中几何证明题 经典题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ． 证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB ∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG ∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴ FG EO =HG GO ∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD ∴ CD CO HG GO = ∴CD CO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15° ∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP ∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15° ∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD ∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD ∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75° ∴∠BPC=360°-75°×4=60° ∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形 3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN高二数学选修4-1《几何证明选讲》综合复习题
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