高考理科数学考点解析 几何证明选讲

几何证明选讲选择题1.(2015·天津高考理科·T5)如图,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N.若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为( )A. B.3 C. D.【解析】选 A.根据相交弦定理可知,CM·MD=AM·MB,又因为M,N为弦AB的三等分点,所以,AM·MB=AN·NB.因为CM=2,MD=4,即CN·NE=AN·NB=CM·MD=8,由CN=3,得NE=.2.(2015·天津高考文科·T6)如图,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N,若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为( )A. B.3 C. D.【解析】选 A.根据相交弦定理可知,CM·MD=AM·MB,又因为M,N为弦AB的三等分点,所以,AM·MB=AN·NB.因为CM=2,MD=4,即CN·NE=AN·NB=CM·MD=8,由CN=3,得NE=.二、填空题3. (2015·湖北高考理科·T15)(选修4-1:几何证明选讲)如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线,且BC=3PB,则ABAC=.【解题指南】利用圆的切割线定理和三角形相似求解.【解析】设PB=1,因为BC=3PB,所以PC=4,又因为PA是圆的切线,所以∠PAB=∠BCA,∠P=∠P,所以△PBA∽△PAC,所以PA2=PB·PC=4,PA=2,1.2== AB PAAC PC答案: 126. （2015·重庆高考理科·Ｔ14）如题（14）图，圆O 的弦AB ，CD 相较于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC4。

的延长线交于点P ，若PA=6，AE=9，PC=3，CE ：ED=2:1，则BE= _________.【解题指南】首先根据切割线定理可求出CD 的长，然后利用相交弦定理结合线段的比例可求出BE 的长.【解析】由切割线定理可知，2PA PC PD =∙，所以236123PA PD PC ===， 1239CD PD PC =-=-=，因为CE ：ED=2:1，所以CE=6，ED=3由相交弦定理可知CE ED AE EB ∙=∙，所以63 2.9CE ED EB AE ∙⨯=== 5. (2015·广东高考理科·T15)(几何证明选讲选做题)如图,已知AB 是圆O 的直径,AB=4,EC 是圆O 的切线,切点为C,BC=1,过圆心O 作BC 的平行线,分别交EC 和AC 于点D 和点P,则OD=.【解题指南】可作辅助线OC,然后利用直角三角形射影定理求得.【解析】如下图所示，连接OC ，因为//OD BC ，又B C A C ⊥，所以OP AC ⊥，又O 为AB 线段的中点，所以1122OP BC ==，在Rt OCD ∆中，122OC AB ==，由直角三角形的射影定理可得2OC OP OD =⋅即222812OC OD OP===答案:86. (2015·广东高考文科·T15)(几何证明选讲选做题)如图,AB 为圆O 的直径,E 为AB 的延长线上一点,过E 作圆O 的切线,切点为C,过A 作直线EC 的垂线,垂足为 D.若AB=4,CE=2,则AD= .【解题指南】作辅助线OC,先利用切割线定理求出BE,再利用平行线分线段成比例求出AD.【解析】连结C O ，则C D O ⊥E ，因为D D A ⊥E ，所以C//D O A ，所以C D O OE =A AE ，由切割线定理得：2C E =BE⋅AE ，所以()412BE BE+=，即24120BE +BE -=，解得：2BE =或6BE =-（舍去），所以C 26D 34O ⋅AE ⨯A ===OE ， 答案:3三、解答题7.(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T20)(10分)选修4-1:几何证明选讲如图,AB 是☉O 的直径,AC 是☉O 的切线,BC 交☉O 于点E.(1)若D 为AC 的中点,证明:DE 是☉O 的切线.(2)若OA=CE,求∠ACB 的大小.【解析】(1)连结AE,由已知得,AE ⊥BC,AC ⊥AB.在Rt △ABC 中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE.连结OE,则∠OBE=∠OEB.又∠ACE+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°,所以∠OED=90°,DE 是☉O 的切线.(2)设CE=1,AE=x,由已知得AB=2,BE=,由射影定理可得,AE 2=CE ·BE,所以x 2=,即x 4+x 2-12=0.可得x=,所以∠ACB=60°.8.(2015·新课标全国卷Ⅰ文科·T22)(10分)选修4-1:几何证明选讲如图,AB 是☉O 的直径,AC 是☉O 的切线,BC 交☉O 于点E.(1)若D为AC的中点,证明:DE是☉O的切线.(2)若OA=CE,求∠ACB的大小.【解析】(1)连结AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB.在Rt△ABC中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE.连结OE,则∠OBE=∠OEB.又∠ACE+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°,所以∠OED=90°,DE是☉O的切线.(2)设CE=1,AE=x,由已知得AB=2,BE=,由射影定理可得,AE2=CE·BE,所以x2=,即x4+x2-12=0.可得x=,所以∠ACB=60°.9. (2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T22)如图O是等腰三角形ABC内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.(1)证明:EF∥BC.(2)若AG等于圆O的半径,且AE=MN=2,求四边形EBCF的面积.【解题指南】(1)要证明EF∥BC,可证明AD⊥BC,AD⊥EF.(2)先求出有关线段的长度,然后把四边形EBCF的面积转化为△ABC和△AEF的面积之差求解.【解析】(1)由于△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,所以AD是∠CAB的平分线,又因为☉O分别与AB,AC相切于点E,F,所以AE=AF,故AD⊥EF,从而EF∥BC.(2)由(1)知,AE=AF,AD ⊥EF,故AD 是EF 的垂直平分线,又EF 为☉O 的弦,所以O 在AD 上.连结OE,OM,则OE ⊥AE.由AG 等于☉O 的半径得AO=2OE,所以∠OAE=30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形.因为AE=2,所以AO=4,OE=2.因为OM=OE=2,DM=MN=,所以OD=1.于是AD=5,AB=.所以四边形EBCF 的面积为((2211⨯⨯-⨯⨯=23222310. (2015·新课标全国卷Ⅱ文科·T22)如图O 是等腰三角形ABC 内一点,圆O 与△ABC 的底边BC 交于M,N 两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC 分别相切于E,F 两点.(1)证明:EF ∥BC.(2)若AG 等于圆O 的半径,且AE=MN=2,求四边形EBCF 的面积.【解题指南】(1)要证明EF ∥BC,可证明AD ⊥BC,AD ⊥EF.(2)先求出有关线段的长度,然后把四边形EBCF 的面积转化为△ABC 和△AEF 的面积之差求解.【解析】(1)由于△ABC 是等腰三角形,AD ⊥BC,所以AD 是∠CAB 的平分线,又因为☉O 分别与AB,AC 相切于点E,F,所以AE=AF,故AD ⊥EF,从而EF ∥BC.(2)由(1)知,AE=AF,AD ⊥EF,故AD 是EF 的垂直平分线,又EF 为☉O 的弦,所以O 在AD 上.连结OE,OM,则OE ⊥AE.由AG 等于☉O 的半径得AO=2OE,所以∠OAE=30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形.因为AE=2,所以AO=4,OE=2.因为,OM OE DM MN 1==2=2OD =1.于是AD =5，AB =.所以四边形EBCF 的面积为((2211⨯⨯-⨯⨯=23222311. (2015·江苏高考·T21本小题满分10分)如图,在△ABC 中,AB=AC,△ABC 的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D.求证:△ABD ∽△AEB.【解题指南】利用等弦对等角,同弧对等角,得到∠ABD=∠E,又公共角∠BAE,所以两三角形相似.【证明】因为AB=AC,所以∠ABD=∠C.又因为∠C=∠E,所以∠ABD=∠E,又∠BAE 为公共角,所以△ABD ∽△AEB.12.（2015陕西高考）如图,ΑΒ切☉O 于点Β,直线AO 交☉O 于D,Ε两点,ΒC ⊥D Ε,垂足为C.(1)证明:∠C ΒD=∠D ΒΑ.(2)若ΑD=3DC,ΒC=,求☉O 的直径.【解题指南】(1)利用同角的余角相等及弦切角定理即可得证.(2)根据三角形的角平分线定理及勾股定理即可求解.【解析】(1)因为DE 是☉O 的直径,则∠BED+∠EDB=90°, 又BC ⊥DE,所以∠CBD+∠EDB=90°,即∠BED=∠CBD, 又AB 切☉O 于点B,得∠DBA=∠BED,所以∠CBD=∠DBA.(2)由(1)知BD 平分∠CBA, 则3BA AD BC CD==，又BC =AB =4AC ==，所以3AD =， 由切割线定理得2AB AD AE =⋅，即26AB AE AD ==故DE=AE-AD=3,即☉O 的直径为3.。

第十三章几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质对应学生用书P1711．平行线等分线段定理若是一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：通过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：通过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定与性质(1)判定定理：内容判定定理1两角对应相等的两个三角形相似判定定理2两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似判定定理3三边对应成比例的两个三角形相似(2)性质定理：内容性质定理1相似三角形对应高、中线、角平分线和它们周长的比都等于相似比性质定理2相似三角形的面积比等于相似比的平方结论相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方射影定理直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项12．在解决相似三角形的判定或应历时易显现对应边和对应角对应失误．[试一试]1．如图，F 为▱ABCD 的边AD 延长线上的一点，DF ＝AD ，BF 别离交DC ，AC 于G ，E 两点，EF ＝16，GF ＝12，那么BE 的长为________．解析：由DF ＝AD ，AB ∥CD 知BG ＝GF ＝12，又EF ＝16知EG ＝4，故BE ＝8. 答案：82．在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC ＝∠ADC ，AC ＝8，BC ＝16，那么CD 的长为________．解析：∵∠BAC ＝∠ADC ，∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△DAC ，∴BC AC ＝AC CD ，∴CD ＝AC 2BC ＝8216＝4. 答案：41．判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)假设只能找到一对对应角相等，那么判定相等的角的两夹边是不是对应成比例；(3)假设找不到角相等，就判定三边是不是对应成比例，不然考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．借助图形判定三角形相似的方式(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；(3)有公共边的可将图形旋转，观看其特点，找出相等的角或成比例的对应边．[练一练]1．如图，D ，E 别离是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB ＝2，那么△ADE与四边形DBCE的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2.∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝49，∴S △ADES 四边形DBCE ＝45. 答案：45 2．如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，BC 2＝BD ·AB ，那么∠ACB ＝______. 解析：在△ABC 与△CBD 中，由BC 2＝BD ·AB ，得BC BD ＝ABBC ，且∠B ＝∠B ，因此△ABC ∽△CBD .那么∠ACB ＝∠CDB ＝90°.答案：90°对应学生用书P172考点一 平行线分线段成比例定理的应用1.如图，在▱ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ∶EC ＝2∶3，AE 交BD于F ，那么BF ∶FD 等于________．解析：∵AD ＝BC ，BE ∶EC ＝2∶3，∴BE ∶AD ＝2∶5.∵AD ∥BC ，∴BF ∶FD ＝BE ∶AD ＝2∶5.即BF ∶FD ＝25. 答案：252.(2021·惠州调研)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC＝3∶5，DE＝6，那么BF＝________.解析：由DE∥BC得DE BC＝AEAC＝35，∵DE＝6，又因为DF ∥AC ， 因此BF BC ＝BD AB ＝CE AC ＝25， 即BF ＝4.答案：43.如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，那么EF BC ＋FG AD ＝________.解析：由平行线分线段成比例定理得 EFBC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC， 故EFBC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝AC AC ＝1.答案：1[备课札记][类题通法]比例线段经常使用平行线产生，利用平行线转移比例是经常使用的证题技术，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.考点二 相似三角形的判定及性质[典例] (2021·陕西高考)如图，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P .已知PD ＝2DA ＝2，那么PE ＝________.[解析] 由PE ∥BC 知，∠A ＝∠C ＝∠PED .在△PDE 和△PEA 中，∠APE ＝∠EPD ，∠A ＝∠PED ，故△PDE ∽△PEA ，那么PD PE ＝PE PA ，于是PE 2＝PA ·PD ＝3×2＝6，因此PE ＝ 6.[答案] 6 [备课札记]1．判定两个三角形相似要注意结合图形特点灵活选择判定定理，专门要注意对应角和对应边．2．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等．[针对训练](2021·佛山质检)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，那么BE ＝________.解析：由于∠B ＝∠D ，∠AEB ＝∠ACD ，因此△ABE ∽△ADC ，从而得AB AD ＝AE AC ， 解得AE ＝2，故BE ＝AB 2－AE 2＝4 2.答案：42考点三 射影定理的应用 [典例] 如下图，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，交AD 于F ，求证：DF AF ＝AE EC. [证明] 由三角形的内角平分线定理得，在△ABD 中，DF AF ＝BDAB ， ①在△ABC 中，AE EC ＝ABBC ， ②在Rt △ABC 中，由射影定理知，AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝AB BC. ③ 由①③得：DF AF ＝ABBC， ④ 由②④得：DF AF ＝AEEC .[备课札记]1．在利用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．2．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时经常使用的方式．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，假设BD ∶AD ＝1∶9，那么tan ∠BCD ＝________. 解析：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又BD ∶AD ＝1∶9，令BD ＝x ，那么AD ＝9x (x >0)．∴CD 2＝9x 2，∴CD ＝3x .Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13. 答案：13对应学生用书P172[课堂练通考点]1．如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，那么BC 的长为________ cm. 解析： ⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED ⇒E 为AD 中点，M 为BC 的中点． 又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm ，∴BC ＝2MC ＝24 cm.答案：242.如图，在△ABC 中，F 为边AB 上的一点，BF AF ＝mn (m ，n >0)，取CF 的中点D ，连结AD 并延长交BC 于点E .那么BE EC ＝________.解析：如图，作FG ∥BC 交AE 于点G ，那么FG CE ＝FD DC ＝1，BE FG ＝AB AF ＝m ＋n n .两式相乘即得BE EC ＝m ＋nn .答案：m ＋nn3．在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE ∶EB ＝1∶2，DE 与AC 交于点F ，假设△AEF 的面积为6 cm 2，那么△ABC 的面积为________ cm 2.解析：令E ＝a ，EF ＝b ，那么12ab ＝6. 由题意知EB ＝2a .DF ＝3b .∴S △ABC ＝12·AB ·DE ＝12×3a ×4b ＝12×12ab ＝12×6＝72. 答案：724．如图，在四边形ABCD 中，E 是AB 上一点，EC ∥AD ，DE ∥BC ，假设S △BEC ＝1，S △ADE ＝3，那么S △CDE ＝________.解析：∵EC ∥AD ，∴S △DCE ∶S △ADE ＝EC ∶AD ，∵DE ∥BC ，∴S △BCE ∶S △CDE ＝BC ∶ED ，又因为∠ECB ＝∠DEC ＝∠ADE ，∠BEC ＝∠EAD ，∴△BEC ∽△EAD ，∴EC ∶AD ＝BC ∶ED .∴S △DCE ∶S △ADE ＝S △BCE ∶S △CDE ，于是S △CDE ＝3. 答案：35．(2021·广东高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，求ED 的长________．解析：∵tan ∠BCA ＝BA BC ＝33，因此∠BCA ＝30°， ∠ECD ＝90°－∠BCA ＝60°.在Rt△BCE 中，CE ＝BC ·cos∠BCA ＝3cos 30°＝332.在△ECD 中，由余弦定理得ED ＝CE 2＋CD 2－2CE ·CD ·cos∠ECD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3322＋32－2×332×3×12＝212.答案：21 2[课下提升考能]1.如图，已知▱ABCD中，G是DC延长线上一点，AG别离交BD和BC于E，F两点，证明：AF·AD＝AG·BF.证明：因为四边形ABCD为平行四边形，因此AB∥DC，AD∥BC.因此△ABF∽△GCF，△GCF∽△GDA.因此△ABF∽△GDA.从而有AFAG＝BFAD，即AF·AD＝AG·BF.2．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，点D在BC上且CD＝1，假设∠CAD＝∠B，求BD的长．解：作出图形(如图)，依题意，有tan∠CAD＝tan∠B，即12＝21＋BD.故BD＝3.3.已知△ABC中，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于点P，求证：(1)△BPE∽△CPF；(2)△EFP∽△BCP.证明：(1)∵BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，∴∠BFC＝∠CEB.又∵∠CPF＝∠BPE，∴△CPF∽△BPE.(2)由(1)得△CPF ∽△BPE ，∴EP FP ＝BP CP . 又∵∠EPF ＝∠BPC ， ∴△EFP ∽△BCP .4.如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，过A 作AH ∥BE .连结ED 并延长交AB 于F ，交AH 于H .若是AB ＝4AF ，EH ＝8，求DF 的长．解：∵AH ∥BE ，∴HFHE ＝AFAB .∵AB ＝4AF ，∴HF HE ＝14，∵HE ＝8，∴HF ＝2.∵AH ∥BE ，∴HD DE ＝ADDC .∵D 是AC 的中点，∴HDDE ＝1.∵HE ＝HD ＋DE ＝8，∴HD ＝4，∴DF ＝HD －HF ＝4－2＝2.5．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的三等分点，AE 的延长线交BC 于F ，求S △BEFS 四边形DEFC 的值．解：过D 点作DM ∥AF 交BC 于M ，因为DM ∥AF ，因此BF BM ＝BE BD ＝13，因为EF ∥DM ，因此S △BEF S △BDM ＝19，即S △BDM ＝9S △BEF ，又S △DMC S △BDM ＝23，即S △DMC ＝23S △BDM ＝6S △BEF ， 因此S 四边形DEFC ＝14S △BEF ，因此S △BEF S 四边形DEFC ＝114. 6.如图，在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AD 上的一点，延长BE交AC 于点F .假设AE AD ＝14，求AF AC的值． 解：如图，过点A 作AG ∥BC ，交BF 的延长线于点G .∵AE AD ＝14，∴AE ED ＝13. 又∵△AGE ∽△DBE ，∴AG BD ＝AE ED ＝13.∵D 为BC 中点，BC ＝2BD ，∴AG BC ＝16. ∵△AGF ∽△CBF ，∴AF FC ＝AG BC ＝16，∴AFAC ＝17. 7.如下图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，DE ＝12CD ，BE 与AD 交于点F . (1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)假设△DEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠BAF ＝∠BCD ，∵AB ∥CD ，∴∠ABF ＝∠CEB ，∴△ABF∽△CEB.(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF . ∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2，S△DEFS △ABF ＝(DE AB )2.又DE ＝12CD ＝12AB ，∴CE ＝DE ＋CD ＝DE ＋2DE ＝3DE .∴S △DEF S △CEB ＝(DECE )2＝19，S △DEFS △ABF ＝(DE AB )2＝14.∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8.∴平行四边形ABCD 的面积S ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝8＋18－2＝24.8.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E ，求证：(1)AB ·AC ＝BC ·AD ；(2)AD 3＝BC ·CF ·BE .证明：(1)在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ，∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝12BC ·AD .∴AB ·AC ＝BC ·AD .(2)Rt △ADB 中，DE ⊥AB ，由射影定理可得BD 2＝BE ·AB ，同理CD 2＝CF ·AC ，∴BD 2·CD 2＝BE ·AB ·CF ·AC .又在Rt △BAC 中，AD ⊥BC ，∴AD 2＝BD ·DC ，∴AD 4＝BE ·AB ·CF ·AC ，又AB ·AC ＝BC ·AD .即AD 3＝BC ·CF ·BE .第二节直线与圆的位置关系对应学生用书P1731．圆周角定理(1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理1：圆内接四边形的对角互补．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)判定判定定理：若是一个四边形的对角互补，那么那个四边形的四个极点共圆．推论：若是四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么那个四边形的四个极点共圆．3．圆的切线性质及判定定理(1)性质：性质定理：圆的切线垂直于通过切点的半径．推论1：通过圆心且垂直于切线的直线必通过切点．推论2：通过切点且垂直于切线的直线必通过圆心．(2)判定定理：通过半径的外端而且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．与圆有关的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． (4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．1．易混圆心角与圆周角，在利历时注意结合图形作出判定．2．在利用相交弦定理、割线定理、切割线定理时易显现比例线段对应不成比例而失误．[试一试]1.如图，P 是圆O 外一点，过P 引圆O 的两条割线PB 、PD ，PA ＝AB ＝5，CD ＝3，那么PC 等于________．解析：设PC ＝x ，由割线定理知PA ·PB ＝PC ·PD .即5×25＝x (x ＋3)，解得x ＝2或x ＝－5(舍去)．故PC ＝2.答案：22.如图，EB ，EC 是⊙O 的两条切线，B ，C 是切点，A ，D 是⊙O 上两点，若是∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，那么∠BAD 等于________．解析：由已知，显然△EBC 为等腰三角形，因此有∠ECB ＝180°－∠E 2＝67°， 因此∠BCD ＝180°－∠ECB －∠DCF ＝81°.而由A ，B ，C ，D 四点共圆，得∠BAD ＝180°－∠BCD ＝99°.答案：99°1．与圆有关的辅助线的五种作法(1)有弦，作弦心距．(2)有直径，作直径所对的圆周角．(3)有切点，作过切点的半径．(4)两圆相交，作公共弦．(5)两圆相切，作公切线．2．证明四点共圆的经常使用方式(1)利用圆内接四边形的判定定理，证明四点组成的四边形的对角互补；(2)证明它的一个外角等于它的内对角；(3)证明四点到同一点的距离相等．当证明四点共圆以后，圆的各类性质都能够取得应用．3．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应历时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比，由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，因此应注意代数法在解题中的应用．[练一练]1．(2021·荆州模拟)如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，过PA 的中点M 作割线交⊙O 于点B 和C ，假设∠BMP ＝110°，∠BPC ＝30°，那么∠MPB ＝________.解析：由切割线定理得，MA 2＝MB ·MC ，又MA ＝MP ，故MP 2＝MB ·MC ，即MB MP ＝MP MC ，又∠BMP ＝∠PMC .故△BMP ∽△PMC ，因此∠MPB ＝∠MCP ，因此30°＋∠MPB ＋∠MCP ＝∠AMB ＝180°－110°＝70°，因此∠MPB ＝20°.答案：20°2．(2021·长沙一模)如图，过圆O 外一点P 别离作圆的切线和割线交圆于点A ，点B ，且PB ＝7，C 是圆上一点，使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，那么AB ＝________.解析：由PA 为圆O 的切线可得，∠PAB ＝∠ACB ，又∠BAC ＝∠APB ，于是△APB ∽△CAB ，因此PB AB ＝AB BC，而PB ＝7，BC ＝5，故AB 2＝PB ·BC ＝7×5＝35， 即AB ＝35. 答案：35对应学生用书P174考点一 圆周角、弦切角和圆的切线问题1.(2021·天津高考)如图， △ABC 为圆的内接三角形， BD 为圆的弦， 且BD ∥AC . 过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD与BC 交于点F .假设AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝ 5，那么线段CF 的长为________．解析：因为AE 是圆的切线，且AE ＝6，BD ＝5，由切割线定理可得EA 2＝EB ·ED ，即36＝EB ·(EB ＋5)，解得EB ＝4.又∠BAE ＝∠ADB ＝∠ACB ＝∠ABC ，因此AE ∥BC .又AC ∥BD ，因此四边形AEBC 是平行四边形，因此AE ＝BC ＝6，AC ＝EB ＝4.又由题意可得△CAF ∽△CBA ，因此CACB ＝CF CA ，CF ＝CA 2CB ＝166＝83. 答案：832．(2021·广东高考)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上．延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .假设AB ＝6，ED ＝2，那么BC ＝________.解析：连结OC ，那么OC ⊥CE ，∠OCA ＋∠ACE ＝90°，∵∠OAC ＝∠OCA ，∴∠OAC ＋∠ACE ＝90°.易知Rt △ACB ≌Rt △ACD ，那么∠OAC ＝∠EAC .∴∠EAC ＋∠ACE ＝90°，∴∠AEC ＝90°，在Rt △ACD 中，由射影定理得：CD 2＝ED ·AD ①，又CD ＝BC ，AD ＝AB ，将AB ＝6，ED ＝2代入①式，得CD ＝12＝2 3，∴BC ＝2 3.答案：233.(2021·岳阳模拟)如下图，⊙O的两条切线PA和PB相交于点P，与⊙O相切于A，B两点，C是⊙O上的一点，假设∠P＝70°，那么∠ACB ＝________.解析：如下图，连结OA ，OB ，则OA ⊥PA ，OB ⊥PB .故∠AOB ＝110°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝55°. 答案：55°[备课札记][类题通法]1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两头作圆周角或弦切角.考点二 圆内接四边形的性质及判定[典例] (2021·郑州模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，G 是AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AG 的垂线，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F ，过点G 作⊙O 的切线，切点为H .(1)求证：C ，D ，E ，F 四点共圆；(2)假设GH ＝6，GE ＝4，求EF 的长．[解] (1)证明：连结DB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，在Rt △ABD 与Rt △AFG 中，∠ABD ＝∠AFE ，又∠ABD ＝∠ACD ，∴∠ACD ＝∠AFE ，∴C ，D ，E ，F 四点共圆．(2) ⎭⎪⎬⎪⎫C ，D ，E ，F 四点共圆⇒GE ·GF ＝GC ·GD GH 切⊙O 于点H ⇒GH 2＝GC ·GD ⇒GH 2＝GE ·GF ， 又GH ＝6，GE ＝4，∴GF ＝9，EF ＝GF －GE ＝5.[备课札记][类题通法]证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也能够证明它们与某必然点距离相等；如两点在一条线段异侧，那么证明它们与线段两头点连成的凸四边形对角互补．[针对训练]如下图，在四边形ABCP 中，线段AP 与BC 的延长线交于点D ，已知AB ＝AC 且A ，B ，C ，P 四点共圆．(1)求证：PC AC ＝PD BD ；(2)假设AC ＝4，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：因为点A ，B ，C ，P 四点共圆，因此∠ABC ＋∠APC ＝180°，又因为∠DPC ＋∠APC ＝180°，因此∠DPC ＝∠ABC ，又因为∠D ＝∠D ，因此△DPC ∽△DBA ，因此PC AB ＝PD BD ，又因为AB ＝AC ，因此PC AC ＝PD BD .(2)因为AB ＝AC ，因此∠ACB ＝∠ABC ，又∠ACD ＋∠ACB ＝180°，因此∠ACD ＋∠ABC ＝180°.由于∠ABC ＋∠APC ＝180°，因此∠ACD ＝∠APC ，又∠CAP ＝∠DAC ，因此△APC ∽△ACD ，因此AP AC ＝ACAD，因此AP ·AD ＝AC 2＝16. 考点三 与圆有关的比例线段 [典例] 的外接圆交BC 于点E ，AB ＝2AC .(1)求证：BE＝2AD；(2)当AC＝1，EC＝2时，求AD的长．[解] (1)证明：连结DE，因为四边形ACED是圆的内接四边形，因此∠BDE＝∠BCA，又∠DBE ＝∠CBA ，因此△BDE ∽△BCA ，因此BE BA ＝DE CA ，而AB ＝2AC ，因此BE ＝2DE .又CD 是∠ACB 的平分线，因此AD ＝DE ，从而BE ＝2AD .(2)由已知得AB ＝2AC ＝2，设AD ＝t (0<t <2)，依照割线定理得，BD ·BA ＝BE ·BC ，即(AB －AD )·BA ＝2AD ·(2AD ＋CE )，因此(2－t )×2＝2t (2t ＋2)，即2t 2＋3t －2＝0，解得t ＝12，即AD ＝12. [备课札记][类题通法]1．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2．相交弦定理、切割线定理要紧用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识与圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．[针对训练](2021·郑州模拟)如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A ，B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为弧BD 的中点，连结AG 别离交⊙O ，BD 于点E ，F ，连结CE .求证：(1)AG ·EF ＝CE ·GD ；(2)GF AG ＝EF 2CE 2.证明：(1)连结AB ，AC ，∵AD 为⊙M 的直径，∴∠ABD ＝90°，∴AC 为⊙O 的直径，∴∠CEF ＝∠AGD ＝90°.∵G 为弧BD 的中点，∴∠DAG ＝∠GAB ＝∠ECF .∴△CEF ∽△AGD ，∴CE AG ＝EF GD ，∴AG ·EF ＝CE ·GD .(2)由(1)知∠DAG ＝∠GAB ＝∠FDG ，又∠G ＝∠G ，∴△DFG ∽△ADG ，∴DG 2＝AG ·GF .由(1)知EF 2CE 2＝GD 2AG 2，∴GFAG ＝EF 2CE 2.对应学生用书P175[课堂练通考点]1．(2021·惠州模拟)如图，PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 通过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°取得OD ，那么PD 的长为________．解析：∵PA 切⊙O 于点A ，B 为PO 的中点，∴∠AOB ＝60°，∴∠POD ＝120°.在△POD 中，由余弦定理，得PD 2＝PO 2＋DO 2－2PO ·DO ·cos∠POD ＝4＋1－4×(－12)＝7，故PD ＝7.答案：7 2．(2021·江南十校联考)如图，在圆的内接四边形ABCD 中，∠ABC＝90°，∠ABD ＝30°，∠BDC ＝45°，AD ＝1，那么BC ＝________.解析：连结AC .因为∠ABC ＝90°，因此AC 为圆的直径．又∠ACD＝∠ABD ＝30°，因此AC ＝2AD ＝2.又∠BAC ＝∠BDC ＝45°，故BC ＝2.答案：2 3．(2021·广州模拟)如图，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点，PC ⊥OP ，PC 交⊙O 于C ，假设AP ＝4，PB ＝2，那么PC 的长是________．解析：如图，延长CP 交⊙O 于点D ，因为PC ⊥OP ，因此P 是弦CD 的中点，由相交弦定理知PA ·PB ＝PC 2，即PC 2＝8，故PC ＝2 2.答案：224．(2021·新课标卷Ⅰ)如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径． 解：(1)证明：如图，连结DE ，交BC 于点G .由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，因此DE 为直径，那么∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC .(2)由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，因此BG ＝32.设DE 的中点为O ，连结BO ，那么∠BOG ＝60°.从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，因此CF ⊥BF ，故Rt △BCF 外接圆的半径等于32. [课下提升考能]1．(2021·辽宁高考)如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连结AE ，BE .证明：(1)∠FEB ＝∠CEB ；(2)EF 2＝AD ·BC .证明：(1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB .由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2；又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2， 从而∠FEB ＝∠EAB .故∠FEB ＝∠CEB .(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，因此BC＝BF.类似可证，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，因此EF2＝AD·BC.2．(2021·江苏高考)如图，AB和BC别离与圆O相切于点D，C，AC通过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.证明：连结OD.因为AB和BC别离与圆O相切于点D，C，因此∠ADO＝∠ACB＝90°.又因为∠A＝∠A，因此Rt△ADO∽Rt△ACB.因此BCOD＝ACAD.又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.3．(2021·哈师大模拟)如图，圆O的半径OC垂直于直径AB，弦CD交半径OA于E，过D的切线与BA的延长线交于M.(1)求证：MD＝ME；(2)设圆O的半径为1，MD＝3，求MA及CE的长．解：(1)证明：连结OD，∵∠CEO＋∠ECO＝90°，∠MDE＋∠EDO＝90°，又∠EDO＝∠ECO，∴∠CEO＝∠MDE＝∠MED，∴MD＝ME.(2)∵MD2＝MA·MB，∴3＝MA·(MA＋2)，∴MA＝1.∵在Rt△MDO中，MO＝2，MD＝3，∴∠MOD＝60°，∴∠COD＝150°，∴∠ECO＝15°，CE ＝OC cos ∠ECO ＝1cos 15°＝6－ 2.4．(2021·洛阳模拟)如图，已知PE 切⊙O 于点E ，割线PBA 交⊙O 于A ，B 两点，∠APE 的平分线和AE ，BE 别离交于点C ，D .求证：(1)CE ＝DE ； (2)CA CE ＝PE PB . 证明：(1)∵PE 切⊙O 于点E ，∴∠A ＝∠BEP .∵PC 平分∠APE ，∴∠A ＋∠CPA ＝∠BEP ＋∠DPE .又∠ECD ＝∠A ＋∠CPA ，∠EDC ＝∠BEP ＋∠DPE ，∴∠ECD ＝∠EDC ，∴EC ＝ED .(2)∵∠PDB ＝∠EDC ，∠EDC ＝∠ECD ，∴∠PDB ＝∠PCE .又∠BPD ＝∠EPC ，∴△PBD ∽△PEC ，∴PE PB ＝PC PD . 同理△PDE ∽△PCA ，∴PC PD ＝CA DE ，∴PE PB ＝CA DE .又DE ＝CE ，∴CA CE ＝PEPB .5．如下图，直线AB 过圆心O ，交圆O 于A ，B 两点，直线AF 交圆O 于点F (不与B 重合)，直线l 与圆O 相切于点C ，交直线AB 于点E ，且与AF 垂直，交AF 的延长线于点G ，连结AC .求证：(1)∠BAC ＝∠CAG ；(2)AC 2＝AE ·AF .证明：(1)连结BC ，因为AB 是直径，因此∠ACB ＝90°，因此∠ACB ＝∠AGC ＝90°.因为GC 切圆O 于点C ，因此∠GCA ＝∠ABC ，因此∠BAC ＝∠CAG .(2)连结CF ，因为EC 切圆O 于点C ，因此∠ACE ＝∠AFC .又∠BAC ＝∠CAG ，因此△ACF ∽△AEC ，因此AC AE ＝AF AC ，因此AC 2＝AE ·AF .6．(2021·新课标卷Ⅱ)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 别离为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE＝DC ·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)假设DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值． 解：(1)证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，因此∠DCB ＝∠A ，由题设知BC FA ＝DC EA ，故△CDB ∽△AEF ，因此∠DBC ＝∠EFA .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，因此∠CFE ＝∠DBC ，故∠EFA ＝∠CFE ＝90°.因此∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)如图，连结CE ，因为∠CBE ＝90°，因此过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE .由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，因此CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.。

高考中的几何证明选讲几何证明选讲是新课标新增内容，在我省高考中是选考内容，常以填空题的形式出现，难度不大，在备考中应从考纲入手，掌握考试要求，在平时训练中，熟练掌握多种题型，以不变应万变。

几何证明选讲常考内容有：平行线分线段成比例定理、相似三角形、射影定理、圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理、相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理等.考题多数是以求角度，线段长度，面积，比值等。

类型一．求比值例1.（2007湛江一模理）如图1，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交BC 于F ，则=FCBF.【解析】作DH//BC 交AF 于H ，则由D 为AC 中点知12DH FC =, 又DH//BF, E 为BD 中点，易知BF=DH, 所以,BF DH =所以：12BF FC = 【命题意图】本题考查平行线分线段成比例定理。

例2．(2010天津理科)如图2，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长A B 和DC 相交于点P 。

若12PB PA =，13PC PD =，则BCAD的值为 。

【解析】因为ABCD 四点共圆，所以∠DAB =∠PCB ，∠CDA=∠PBC ，因为∠P 为公共角，所以PBC ∆∽PDA ∆，所以 PB PD =PC PA =BCAD，设PB=x ，PC=y ，则有32x y y x =，即62y x =， 所以BC AD =3x y=66。

【命题意图】本题考查四点共圆与相似三角形的性质。

类型二. 求长度 例3. (2010湖南理科)如图3，过O 外一点P 作一条直线与O 交于A ，B 两点，已知PA ＝2，点P 到O的切线长PT ＝4，则弦AB 的长为________.【解析】根据切线长定理2216,82PT PT PA PB PB PA ==== 所以826AB PB PA =-=-= 【命题意图】本题考察切线长定理。

例4．（2010广东理科）如图4，AB ，CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，PD=23a，∠OAP=30°，则CP ＝______.【解析】因为点P 是AB 的中点，由垂径定理知，OP AB ⊥.在Rt OPA ∆中，3cos30BP AP a a ===. A BCD E F H 图1图2.OBTA图3OA PD C 图4由相交线定理知，BP AP CP DP ⋅=⋅，即332223a a CP a ⋅=⋅，所以98CP a =． 【命题意图】考查垂径定理，相交弦定理。

第十六章几何证明选讲考纲展示命题探究考点一平行线截割定理与相似三角形1平行线等分线段定理定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2平行线分线段成比例定理定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3相似三角形的判定及性质(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比值叫做相似比．(2)一般三角形相似的判定定理预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．判定定理1两角对应相等，两三角形相似．判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．引理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．判定定理3三边对应成比例，两三角形相似．(3)直角三角形相似的判定定理定理①如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似．②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(4)相似三角形的性质定理①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．②相似三角形周长的比等于相似比．③相似三角形面积的比等于相似比的平方．结论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．4直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项．如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，则CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.注意点相似三角形性质的作用(1)可用来证明线段成比例、角相等．(2)可间接证明线段相等．(3)为计算线段的长度及角的大小创造条件．(4)可计算周长、特征线段长等.1．思维辨析(1)如果两个三角形的三个内角分别相等，则它们相似．()(2)在△ABC 和△A ′B ′C ′中，若有AB A ′B ′＝AC A ′C ′，则△ABC ∽△A ′B ′C ′.( )(3)直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB ，则有△ABC ∽△ACD ，△ABC ∽△CBD .( )答案 (1)√ (2)× (3)√2．如图，在△ABC 中，∠AED ＝∠B ，DE ＝6，AB ＝10，AE ＝8，则BC 的长为( )A.154 B ．7C.152D.245答案 C解析 由已知条件∠AED ＝∠B ，∠A 为公共角，所以△ADE ∽△ACB ，则有DE BC ＝AE AB ，从而BC ＝6×108＝152.3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶3，则∠BCD ＝________.答案 π6解析 由射影定理得，CD 2＝AD ·BD ， 又∵BD ∶AD ＝1∶3，令BD ＝x ，AD ＝3x ，∴CD 2＝AD ·BD ＝3x 2，∴CD ＝3x ，在Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝33，∴∠BCD＝π6.[考法综述]考查三角形相似，利用平行线等分线段定理，三角形相似的性质，直角三角形射影定理证明两个三角形相似，通常与圆交错考查．命题法1平行线分线段成比例定理典例1如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，AE交BC于点F，则BFFC的值为________．[解析]如图，过点D作DM∥AF交BC于点M.∵点E 是BD 的中点，∴在△BDM 中，BF ＝FM .又点D 是AC 的中点，∴在△CAF 中，CM ＝MF ，∴BF FC ＝BF FM ＋MC＝12.[答案] 12【解题法】 平行线分线段成比例定理的应用以相似三角形为载体，通过三角形相似构建相应线段比，解题时要充分利用中点作辅助线，从而有效利用定理．命题法2 三角形相似的判定与性质典例2 (1)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 的延长线于点D .①求证：PC AC ＝PD BD ；②若AC ＝3，求AP ·AD 的值．(2)如图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过点C 作⊙O 的切线，交BD 的延长线于点P ，交AD 的延长线于点E .①求证：AB 2＝DE ·BC ；②若BD ＝9，AB ＝6，BC ＝9，求切线PC 的长．[解] (1)①证明：因为∠CPD ＝∠ABC ，∠PDC ＝∠PDC ，所以△DPC ∽△DBA ，所以PC AB ＝PD BD .又AB ＝AC ，所以PC AC ＝PD BD .②因为∠ABC ＋∠APC ＝180°，∠ACB ＋∠ACD ＝180°， ∠ABC ＝∠ACB ，所以∠ACD ＝∠APC .又∠CAP ＝∠DAC ，所以△APC ∽△ACD ，所以AP AC ＝AC AD .所以AP ·AD ＝AC 2＝9.(2)①证明：∵AD ∥BC ，∴AB ＝CD ，∠EDC ＝∠BCD . 又PC 与⊙O 相切，∴∠ECD ＝∠DBC .∴△CDE ∽△BCD .∴DC BC ＝DE DC .∴CD 2＝DE ·BC ，即AB 2＝DE ·BC .②由①知，DE ＝AB 2BC ＝629＝4，∵AD ∥BC ，∴△PDE ∽△PBC ，∴PD PB ＝DE BC ＝49.又∵PB －PD ＝9，∴PD ＝365，PB ＝815.∴PC 2＝PD ·PB ＝365×815＝54252.∴PC ＝545.【解题法】 相似三角形的判定定理的选择(1)已知有一角相等时，可选择判定定理一与判定定理二．(2)已知有两边对应成比例时，可选择判定定理二与判定定理三．(3)判定两个直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法来判定，如不能，再考虑用判定一般三角形相似的方法来判定．1.如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·F A；③AE·CE ＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是() A．①② B．③④C．①②③D．①②④答案 D解析由弦切角定理知∠FBD＝∠BAD，∵AD 平分∠BAC ，∠CBD ＝∠CAD ，∴∠BAD ＝∠DBC .∴∠FBD ＝∠CBD ，即BD 平分∠CBF ，∴①正确；由切割线定理知，②正确；由相交弦定理知，AE ·ED ＝BE ·EC ，∴③不正确；∵△ABF ∽△BDF ，∴AB BD ＝AF BF ，∴AF ·BD ＝AB ·BF ，∴④正确．故选D.2．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的面积△AEF 的面积＝________.答案 9解析 ∵EB ＝2AE ，∴AB ＝3AE ，又△DFC ∽△EF A ，∴S △CDF S △AEF＝DC 2AE 2＝AB 2AE 2＝9.3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的外接圆⊙O 的弦AE 交BC 于点D .求证：△ABD ∽△AEB .证明因为AB＝AC，所以∠ABD＝∠C.又因为∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E，又∠BAE为公共角，可知△ABD∽△AEB.4．如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF 的面积．解(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF.从而EF∥BC.(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°.因此△ABC和△AEF 都是等边三角形．因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3，所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033.所以四边形EBCF 的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633.5.如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE .证明：(1)∠FEB ＝∠CEB ；(2)EF2＝AD·BC.证明(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝π2.，又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝π2从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt △BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.类似可证：Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.考点二圆的初步1圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．3圆内接四边形的性质与判定定理性质定理1圆的内接四边形的对角互补．性质定理2圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．判定定理如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．判定定理的推论如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．4圆的切线的性质及判定定理性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．5弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．6与圆有关的比例线段相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．注意点圆中的有关定理可以解决的问题类型相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明，解决问题时要注意相似三角形的知识及相关圆的性质的综合应用．圆周角定理与弦切角定理多用于证明角的关系，从而证明三角形全等或相似，也可用于求线段的长或角的大小及与圆的切线有关的问题.1．思维辨析(1)相同长度的弧所对的圆心角相等．()(2)任何四边形都有外接圆．( )(3)同一段弧所对的圆周角是圆心角的12.( )(4)圆的切线长是割线与圆交点的两条线段长的比例中项．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．如图，过点P 的直线与⊙O 相交于A ，B 两点．若P A ＝1，AB ＝2，PO ＝3，则⊙O 的半径等于________．答案6解析 设圆的半径为r ，则(3－r )(3＋r )＝1×3，即r 2＝6，解得r＝ 6.3．如图，过点D 作圆的切线切于B 点，作割线交圆于A ，C 两点，其中BD ＝3，AD ＝4，AB ＝2，则BC ＝________.答案 32解析 由切割线定理，得BD 2＝CD ·AD ，得CD ＝94.又∵∠A ＝∠DBC ，∠D ＝∠D ，∴△ABD ∽△BCD ，BD CD ＝AB BC ，解得BC ＝32.[考法综述] 利用圆的切线的性质、切割线定理、相交弦定理确定圆中有关线段之间的关系，解题中一般应用弦切角定理，圆周角定理等确定角之间的关系，结合三角形相似的判定与性质或三角形的其他定理确定边角之间的关系，证明有关线段的等式或者求线段的长．命题法圆中的有关定理及其应用典例如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.(1)求证：AD∥EC；(2)若AD是⊙O2的切线，且P A＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．[解](1)证明：如图所示，连接AB，CE.∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC＝∠ADB.又∠BAC＝∠CEP，∴∠ADB＝∠CEP，∴AD∥EC.(2)解法一：∵P A是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，∴P A2＝PB·PD，即62＝PB·(PB＋9)．∴PB＝3或PB＝－12(舍去)．在⊙O2中由相交弦定理，得P A·PC＝BP·PE，∴PE ＝4.∴DE ＝BD ＋PB ＋PE ＝9＋3＋4＝16.∵AD 是⊙O 2的切线，DE 是⊙O 2的割线，∴AD 2＝DB ·DE ＝9×16＝144.∴AD ＝12.解法二：设BP ＝x ，PE ＝y .∵P A ＝6，PC ＝2，∴由相交弦定理得P A ·PC ＝BP ·PE ，即xy ＝12 ①∵AD ∥EC ，∴DP PE ＝APPC ，∴9＋x y ＝62 ②联立①②，解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝4或⎩⎨⎧x ＝－12y ＝－1(舍去)，∴DE ＝9＋x ＋y ＝16.∵AD 是⊙O 2的切线，DE 是⊙O 2的割线，∴AD2＝DB·DE＝9×16＝144，∴AD＝12.【解题法】应用圆中的有关定理的解题思路圆中的有关定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面，在与定理相关的图形不完整时，要借助辅助线补齐相应部分．处理与圆有关的比例线段的常见思路：(1)利用相似三角形．(2)利用圆的有关定理．(3)利用平行线分线段成比例定理及推论．(4)利用面积关系．1．如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE分别经过点M ，N .若CM ＝2，MD ＝4，CN ＝3，则线段NE 的长为( )A.83 B ．3 C.103 D.52 答案 A解析 由题意可得CM ·MD ＝AM ·MB ，则2×4＝2AM 2，AM ＝2.因为M 、N 是弦AB 的三等分点，所以AM ＝NB ，AN ＝MB ，又CN ·NE＝AN ·NB ，即3NE ＝4×2，解得NE ＝83.2．如图所示，已知AB 是圆O 的直径，AB ＝4，EC 是圆O 的切线，切点为C ，BC ＝1.过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD ＝________.答案 8解析 由题意得OP ＝12BC ＝12，OA ＝2，于是P A ＝CP ＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝152.因为∠DCP ＝∠B ＝∠POA ，又∠DPC ＝∠APO ，所以△DCP ∽△AOP ，故PD P A ＝PC PO ，即PD ＝15212×152＝152，所以OD ＝152＋12＝8.3.如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC的延长线交于点P，若P A＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，则BE＝________.答案 2解析由切割线定理得P A2＝PC·PD，得PD＝P A2PC ＝623＝12，∴CD＝PD－PC＝12－3＝9，即CE＋ED＝9，∵CE∶ED＝2∶1，∴CE＝6，ED＝3.由相交弦定理得AE·EB＝CE·ED，即9EB＝6×3，得EB＝2.4．如图，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝________.答案 3解析 ∵四边形BCFE 是圆内接四边形，∴∠C ＋∠BEF ＝180°，∴∠C ＝∠AEF ，∴△AEF ∽△ACB ，∴AE AC ＝EF BC ＝12，∴EF ＝3.5．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；(2)若OA＝3CE，求∠ACB的大小．解(1)证明：连接AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB.在Rt△AEC中，由已知得，DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.连接OE，则∠OBE＝∠OEB.又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝90°，DE是⊙O的切线．(2)设CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝23，BE＝12－x2.由射影定理可得，AE2＝CE·BE，所以x2＝12－x2，即x4＋x2－12＝0.可得x＝3，所以∠ACB＝60°.6．如图所示，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F.证明：(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；(2)FE·FN＝FM·FO.证明(1)如图所示．因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME ＋∠ENO＝180°.又四边形的内角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FE·FN ＝FM·FO.7．如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE ，垂足为C .(1)证明：∠CBD ＝∠DBA ；(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径．解 (1)证明：因为DE 为⊙O 的直径，则∠BED ＋∠EDB ＝90°，又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°，从而∠CBD ＝∠BED .又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ，所以∠CBD ＝∠DBA .(2)由(1)知BD 平分∠CBA ，则BA BC ＝AD CD ＝3，又BC ＝2，从而AB ＝3 2.所以AC＝AB2－BC2＝4，所以AD＝3.由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝AB2＝6，AD故DE＝AE－AD＝3，即⊙O的直径为3.8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．证明(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，∴∠D＝∠CBE，又BC＝EC，∴∠CBE＝∠E，∴∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC，知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.∴AD∥BC，∴∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，∴△ADE为等边三角形．9.如图，P是⊙O外一点，P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O 相交于点B，C，PC＝2P A，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.证明(1)连接AB，AC，由题设知P A＝PD，故∠P AD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠P AD＝∠BAD＋∠P AB，∠DCA＝∠P AB，所以∠DAC ＝∠BAD ，从而BE ︵＝EC ︵.因此BE ＝EC .(2)由切割线定理得P A 2＝PB ·PC .因为P A ＝PD ＝DC ，所以DC ＝2PB ，BD ＝PB ，由相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DC ，所以AD ·DE ＝2PB 2.10．如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.证明(1)∵PD＝PG，∴∠PDG＝∠PGD，由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，又∠PGD＝∠EGA，∴∠DBA ＝∠EGA.∴∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PF A.由AF⊥EP，得∠PF A＝90°，∴∠BDA＝90°，故AB是直径．(2)连接BC，DC.∵AB是直径，∴∠BDA＝∠ACB＝90°，在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD.∴Rt△BDA≌Rt△ACB，∴∠DAB＝∠CBA.又∠DCB＝∠DAB.∴∠DCB＝∠CBA，∴DC∥AB.∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∠DCE为直角．∴ED为直径，由(1)得ED＝AB.如图，在△ABC中，D为BC的中点，E在CA上，且AE＝2CE，AD，BE交于F，求AF FD.[错解][错因分析]错误得出三角形相似，比例关系混乱．[正解]取BE的中点G，连接DG在△BCE中，∵D，G是BC、BE的中点，∴DG∥EC，且DG＝12EC，又∵AE＝2CE，且DG＝12EC，∴△DFG∽△AFE，∴AFFD ＝EFFG＝AEDG＝AE12EC＝4.[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：90分钟基础组1.[2021·枣强中学期末]如图，等边三角形DEF内接于△ABC，且DE∥BC，已知AH⊥BC于点H，BC＝4，AH＝3，则△DEF的边长为________．答案 43解析 设DE ＝x ，AH 交DE 于点M ，显然MH 的长度与等边三角形DEF 的高相等，又DE ∥BC ，则DE BC ＝AM AH ＝AH －MH AH ，∴x 4＝3－32x 3＝2－x2，解得x ＝43.2．[2021·衡水二中仿真]如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，AD ＝5，DB ＝3，FC ＝2，则BF ＝________.答案 103解析 由平行线的性质可得BF FC ＝AE EC ＝AD BD ＝53，所以BF ＝53FC ＝103.3.[2021·枣强中学期中]如图所示，圆的内接三角形ABC 的角平分线BD 与AC 交于点D ，与圆交于点E ，连接AE ，已知ED ＝3，BD ＝6，则线段AE 的长为________．答案 3 3解析 易知∠CBE ＝∠CAE ＝∠ABE ，又∠E ＝∠E ，所以△EAD ∽△EBA ，所以AE EB ＝EDAE ，所以AE 2＝EB ·ED ＝27，所以AE ＝3 3.4．[2021·冀州中学猜题]如图，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.答案 6解析因为PE∥BC，所以∠C＝∠PED，所以∠A＝∠PED，又∠P 是公共角，所以△PED∽△P AE.则PD PE ＝PEP A，即PE2＝P A·PD.由PD＝2DA＝2，可得PE2＝6.∴PE＝ 6.5．[2021·武邑中学仿真]如图，过圆O外一点P作圆O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE、BE，∠APE的平分线分别与AE、BE相交于点C、D，若∠AEB＝40°，则∠PCE＝________.答案70°解析由PE为切线可得∠PEB＝∠P AE，由PC为角平分线可得∠EPC＝∠APC.由△P AE的内角和为180°，得2(∠APC＋∠BAE)＋40°＝180°，所以∠APC＋∠BAE＝70°，故∠PCE＝∠APC＋∠BAE＝70°.6．[2021·衡水中学模拟]如图，已知四边形PQRS是圆内接四边形，∠PSR＝90°，过点Q作PR，PS的垂线，垂足分别为H，K，HK 与QS交于点T，QK交PR于点M.求证：(1)QM HM ＝MP MK ； (2)QT ＝TS .证明 (1)因为∠QHP ＝∠QKP ，所以Q ，H ，K ，P 都在以QP 为直径的圆上，即Q ，H ，K ，P 四点共圆，由相交弦定理得QM ·MK ＝HM ·MP ，所以QM HM ＝MP MK .(2)因为Q ，H ，K ，P 四点共圆，所以∠HKS ＝∠HQP .因为∠PSR＝90°，所以PR 为圆的直径，所以∠PQR ＝90°，∠QRH ＝∠HQP .而∠QSP ＝∠QRH ，综上可得∠QSP ＝∠HKS ，所以TS ＝TK .又∠SKQ ＝90°，所以∠SQK ＝∠TKQ ，所以QT ＝TK ，所以QT ＝TS .7．[2021·冀州中学期中]如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，过D点作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E，求证：(1)△ABC≌△DCB；(2)DE·DC＝AE·BD.证明(1)因为四边形ABCD为等腰梯形，所以AB＝DC，∠ABC ＝∠DCB，又BC＝BC，所以△ABC≌△DCB.(2)因为AD∥BC，DE∥AC，所以∠EDA＝∠ACB.又由△ABC≌△DCB 知∠ACB＝∠DBC，所以∠EDA＝∠DBC.由AD∥BC得∠EAD＝∠ABC，＝又∠ABC＝∠DCB，所以∠EAD＝∠DCB.所以△AED∽△CDB，所以DEBDAE，所以DE·DC＝AE·BD.DC8．[2021·衡水中学仿真]由⊙O外一点P引⊙O的切线P A，PB，过P引割线PCD交⊙O于点C，D，OP与AB交于点E.求证：∠CEO＋∠CDO＝180°.证明如图，连接AO，则AO⊥P A，又AE⊥OP，则P A2＝PE·PO.因为P A2＝PC·PD，所以PE·PO＝PC·PD，从而C，D，O，E四点共。

《几何证明选讲》一、相似三角形的判定及有关性质平行线等分线段定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

平分线分线段成比例定理平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

相似三角形的判定及性质相似三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。

由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。

所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似。

预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。

判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两角对应相等，两三角形相似。

判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。