高中数学高考总复习几何证明选讲习题及详解
一、选择题
1．已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y ，那么下列结论中正确的是( )
A ．y 是x 的增函数
B ．y 是x 的减函数
C ．y 随x 的增大先增大再减小
D ．无论x 怎样变化，y 为常数 [答案] D
[解析] ∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△P AR 的中位线，∴EF ＝1
2AR ，∵R 固
定，∴AR 是常数，即y 为常数．
2．(2010·湖南考试院)如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连结BD ，EC .若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的面积为( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 [答案] C
[解析] 由条件知AF ＝2，BF ＝BE ＝1， ∴S △ADE ＝12AE ×DF ＝1
2
×4×3＝6，
∵CE ∥DB ，∴S △DBC ＝S △DBE ，∴S 四边形ABCD ＝S △ADE ＝6.
3．(2010·广东中山)如图，⊙O 与⊙O ′相交于A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O ′于Q 和M ，交AB 的延长线于N ，MN ＝3，NQ ＝15，则PN ＝( )
A ．3 B.15 C ．3 2 D ．3 5 [答案] D
[解析] 由切割线定理知：
PN 2＝NB ·NA ＝MN ·NQ ＝3×15＝45， ∴PN ＝3 5.
4．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD BD ＝3 2，则斜边AB 上的中线CE 的长为( )
A ．5 6 B.562 C.15 D.3102
[答案] B
[解析] 设AD ＝3x ，则DB ＝2x ，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，∴36＝6x 2，∴x ＝6，∴AB ＝56，
∴CE ＝12AB ＝562
.
5．已知f (x )＝(x －2010)(x ＋2009)的图象与x 轴、y 轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是( )
A ．(0,1)
B ．(0,2)
C ．(0，
2010
2009
)
D ．(0，2009
2010
) [答案] A
[解析] 由题意知圆与x 轴交点为A (2010,0)，
B (－2009,0)，与y 轴交点为
C (0，－2010×2009)，
D (0，y 2)．设圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0
令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0，此方程两根为2010和－2009，∴F ＝－2010×2009 令x ＝0得y 2＋Ey －2010×2009＝0 ∴－2010×2009×y 2＝－2010×2009 ∴y 2＝1，故选A.
[点评] 圆与x 轴交点A (2010,0)，B (－2009,0)与y 轴交点C (0，－2010×2009)，D (0，y 2)，
∵A 、C 、B 、D 四点共圆，∴AO ·OB ＝OC ·OD ， ∴OD ＝1，∴y 2＝1.
6．设平面π与圆柱的轴的夹角为β (0°<β<90°)，现放入Dandelin 双球使之与圆柱面和平面π都相切，若已知Dandelin 双球与平面π的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径，则截线椭圆的离心率为( )
A.12
B.22
C.33
D.32
[答案] B
[解析] ∵Dandelin 双球与平面π的两切点是椭圆的焦点，圆柱的底面直径恰好等于椭圆的短轴长，
∴2b ＝2c ，∴e ＝c a ＝c b 2＋c 2＝c 2c ＝2
2.
二、填空题
7．如图，PT 切⊙O 于点T ，P A 交⊙O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD ＝2，AD ＝3，BD ＝6，则PB ＝________.
[答案] 15
[解析] 由相交弦定理得DC ·DT ＝DA ·DB ，则DT ＝9.
由切割线定理得PT 2＝PB ·P A ，即(PB ＋BD )2－DT 2＝PB (PB ＋AB )．又BD ＝6，AB ＝AD ＋BD ＝9，∴(PB ＋6)2－92＝PB (PB ＋9)，得PB ＝15.
8．(09·天津)如图，AA 1与BB 1相交于点O ，AB ∥A 1B 1且AB ＝12A 1B 1.若△AOB 的外接圆
的直径为1，则△A 1OB 1的外接圆的直径为______________．
[答案] 2
[解析] ∵AB ∥A 1B 1且AB ＝1
2A 1B 1，∴△AOB ∽△A 1OB 1，∴两三角形外接圆的直径之
比等于相似比，
∴△A 1OB 1的外接圆直径为2.
9．如图，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠A 的度数是________．
[答案] 99°
[解析] 连接OB 、OC 、AC ，根据弦切角定理得， ∠EBC ＝∠BAC ，∠CAD ＝∠DCF ，
可得∠A ＝∠BAC ＋∠CAD ＝1
2
(180°－∠E )＋∠DCF ＝67°＋32°＝99°.
[点评] 可由EB ＝EC 及∠E 求得∠ECB ，由∠ECB 和∠DCF 求得∠BCD ，由圆内接四边形对角互补求得∠A .
10．PC 是⊙O 的切线，C 为切点，P AB 为割线，PC ＝4，PB ＝8，∠B ＝30°，则BC ＝
