高考数学(精讲+精练+精析)专题14_1 几何证明选讲试题 理(含解析)

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a 专题14.1 几何证明选讲

【三年高考】

1. 【2016高考天津】如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为__________.

【答案】233

2.【2016高考新课标1卷】如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,12OA为半径作圆.

(I)证明：直线AB与O相切；

(II)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明：AB∥CD.

ODCBA a

a EO'DCOBA

3．【2016高考新课标2】如图，在正方形ABCD中，,EG分别在边,DADC上（不与端点重合），且DEDG，过D点作DFCE，垂足为F．

(Ⅰ) 证明：,,,BCGF四点共圆；

(Ⅱ)若1AB，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．

【解析】（I）因为DFEC,所以,DEFCDF则有,,DFDEDGGDFDEFFCBCFCDCB所以,DGFCBF由此可得,DGFCBF由此0180,CGFCBF所以,,,BCGF四点共圆.（II）由,,,BCGF四点共圆，CGCB知FGFB，连结GB，由G为RtDFC斜边CD的中点，知GFGC,故,RtBCGRtBFG因此四边形BCGF的面积S是GCB面积GCBS的2倍，即111221.222GCBSS a

a

4．【2016高考新课标3】如图，O中AB的中点为P，弦PCPD，分别交AB于EF，两点．

（I）若2PFBPCD，求PCD的大小；

（II）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OGCD．

【解析】（Ⅰ）连结BCPB,，则BCDPCBPCDBPDPBABFD,.因为APBP，所以PCBPBA，又BCDBPD，所以PCDBFD.又180,2PFDBFDPFBPCD，所以3180PCD， 因此60PCD.

（Ⅱ）因为BFDPCD，所以180PCDEFD，由此知EFDC,,,四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过EFDC,,,四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上，又O也在CD的垂直平分线上，因此CDOG．

5.【2015高考新课标2，】如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与ABC的底边BC交于M、N两点与底边上的高AD交于点G，与AB、AC分别相切于E、F两点．

（Ⅰ）证明：//EFBC；

（Ⅱ） 若AG等于O的半径，且23AEMN，求四边形EBCF的面积．

【解析】（Ⅰ）由于ABC是等腰三角形，ADBC，所以AD是CAB的平分线．又因为O分别与AB、

a

a AC相切于E、F两点，所以AEAF，故ADEF．从而//EFBC．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AEAF,ADEF，故AD是EF的垂直平分线，又EF是O的弦，所以O在AD上．连接OE，OM，则OEAE．由AG等于O的半径得2AOOE，所以030OAE．所以ABC和AEF都是等边三角形．因为23AE，所以4AO，2OE．

因为2OMOE，132DMMN，所以1OD．于是5AD，1033AB．所以四边形EBCF的面积221103313163()(23)232223．

6．【2015高考陕西，】如图，切于点，直线D交于D，两点，CD，垂足为C．

（I）证明：CDD；

（II）若D3DC，C2，求的直径．

7.【2015高考新课标1】如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于E.

（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；

（Ⅱ）若3OACE，求∠ACB的大小. a

a

【解析】（Ⅰ）连结AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB，在Rt△AEC中，由已知得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，

连结OE，∠OBE=∠OEB，∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是圆O的切线.

（Ⅱ）设CE=1，AE=x,由已知得AB=23，212BEx， 由射影定理可得，2AECEBE，

∴2212xx，解得x=3，∴∠ACB=60°.

8.【2015高考湖南】如图，在圆O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：

（1）180MENNOM；

（2）FEFNFMFO

【解析】（1）如图a所示， ∵M，N分别是弦AB，CD的中点，∴OMAB，ONCD，

即90OME， 90ENO，180OMEENO，又四边形的内角和等于360，故180MENNOM；

（2）由（I）知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FEFNFMFO a

a

9. 【2014高考辽宁第22题】如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PGPD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.

（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；

（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED.

【解析】（Ⅰ）因为PD=PG,所以∠PDG=∠PGD. 由于PD为切线，故∠PDA=∠DBA, 又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA.由于AF垂直EP，所以∠PFA=90°，于是∠BDA=90°，故AB是直径.

(Ⅱ)连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA=∠ACB=90°，在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA,AC=BD，

从而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是Rt△BDA与∠DAB=∠CBA.又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA，故DC∥AB.

由于ED是直径，由（Ⅰ）得ED=AB.

10. 【2014高考全国2第22题】如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.

证明：（Ⅰ）BE=EC；

（Ⅱ）ADDE=22PB a

a

11. 【2014高考全国1第22题】如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CBCE.

（Ⅰ）证明：DE；

（Ⅱ）设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MBMC，证明：ADE为等边三角形.

【解析】（I）由题设知,,,ABCD四点共圆，所以DCBE．由已知得ECBE，故DE．

（II）设BC的中点为N，连接MN，则由MBMC知MNBC，故O在直线MN上．又AD不是O的直径，AD的中点为M，故OMAD，即MNAD．所以//ADBC，故ACBE．又

CBEE，故EA．由（1）知，DE，所以ADE为等边三角形. a

a

【三年高考命题回顾】

纵观前三年各地高考试题, 高考对几何证明的考查，主要考查有关三角形相似、全等、面积、线段长度及角相等的求解及证明，以平行线等分线段定理，平行线截割定理，相似三角形的判定与性质定理，直角三角形射影定理，圆心角、圆周角定理，圆内接四边形的性质定理及判定定理，圆的割线定理，切割线定理，弦切角定理，相交弦定理等为主要考查内容，题目难度一般为中、低档，备考中应严格控制训练题的难度．

【2017年高考复习建议与高考命题预测】

由前三年的高考命题形式可以看出, 高考对这部分要求不是太高，要求会以圆为几何背景，利用直角三角形射影定理，圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理，相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理证明三角形相似，全等，求线段长等，预测2017年高考还会以圆为几何背景，考查相交线定理，切割线定理，以及圆内接四边形的性质定理与判定定理，考查学生的数形结合的能力.“几何证明选讲”是选修系列4的一个专题,该专题在高考中只考查“相似三角形”和“圆”这两部分平面几何内容,且与另三个选修4的专题一起命题,供考生选择作答.其核心内容为:线段成比例与相似三角形,圆的切线及其性质,与圆有关的相似三角形等.对同学们来说,“几何证明选讲”是初中所学知识的深化,因而倍感亲切.试题题型为解答题,且难度不大.题型以比例问题为主，平行线分线段成比例定理、相似形、角平分线定理、直角三角形中的射影定理、圆中的割线定理、切割线定理和相交弦定理等,都涉及线段成比例,因此比例问题是本专题中所占比重最大的题型.解决这类问题,主要方法就是设法利用上述定理,并灵活变形.复习建议：圆内接四边形的重要结论：内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推证过程.与圆有关的比例线段的证明要诀：相交弦、切割线定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效.

【2017年高考考点定位】

几何证明选讲的内容涉及的考点可归纳为:①相似三角形的定义与性质;②平行线截割定理;③直角三角形a

a 射影定理;④圆周角与圆心角定理;⑤圆的切线的判定定理及性质定理;⑥弦切角的性质;⑦相交弦定理;⑧圆内接四边形的性质定理和判定定理;⑨切割线定理.

【考点1】相似三角形的判定与性质

【备考知识梳理】

1．平行线等分线段定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．

推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．

推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．

2．平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．

3．相似三角形的判定与性质

(1)判定定理：

内容

判定定理1 两角对应相等的两个三角形相似

判定定理2 两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似

判定定理3 三边对应成比例的两个三角形相似

(2)性质定理：

内容

性质定理1 相似三角形对应高、中线、角平分线和它们周长的比都等于相似比

性质定理2 相似三角形的面积比等于相似比的平方

结论 相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方

射影定理 直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项

【规律方法技巧】

1．判定两个三角形相似的常规思路

(1)先找两对对应角相等；

(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；

(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．

2．借助图形判断三角形相似的方法

(1)有平行线的可围绕平行线找相似；