北京市各区2012年高考数学一模试题分类解析(17) 几何证明选讲 理

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学 (理 )(北京卷 )本试卷共 5 页 . 150 分 .考试时长 120 分钟 .考试生务必将答案答在答题卡上 .在试卷上作答无效 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分 ( 选择题共 40 分 )一、选择题共 8 小题。

每小题 5 分 .共 40 分 .在每小题列出的四个选项中， 选出符合胜目要求的一项 .1．已知集合 A={x ∈ R|3x+2＞ 0} B={x ∈ R|（ x+1 ） (x-3) ＞ 0} 则 A ∩ B=A （ -， -1） B （ -1， -2） C（ -2,3）D (3,+ )33【解析】和往年一样，依然的集合 (交集 )运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。

因为 A{ x R | 3x 20}x2 B{ x | x1或 x 3} 画出数，利用二次不等式可得3轴易得： A B { x | x 3} ．故选 D ．【答案】 D2．设不等式组0 x2,D ，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标y，表示平面区域为2原点的距离大于 2 的概率是（A ）（B ） 2（ C ）（ D ） 44246【解析】题目中0 x 2 D0 y表示的区域如图正方形所示，而动点2可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此2 2 1224P4，故选 D 。

2 24【答案】 D3．设 a ， b ∈R 。

“ a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的（ ）A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】当 a0 时，如果 b0同时等于零，此时 a bi0 是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果 a bi 已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a 0 ，因此想必要条件，故选 B 。

【答案】 B4．执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A. 2 B .4 C.8 D. 16【解析】 k 0 ， s1k 1， s 1 k 2 ， s 2k 2 ， s 8 ，循环结束，输出的 s 为 8，故选 C。

二、[教学重点] 1．了解作者留学日本的情况、与藤野先生的交往和本文的写作背景。

2．把握课文的组织结构，理解课文的思想内容。

三、[教学难点] 掌握本文通过典型事例突出人物品质的写法 五、[教学过程] 第一课时 [教学内容] 了解背景，学习词语，初读课文。

[教学环节] 一、导入新课 学过了《从百草园到三味书屋》这篇散文，我们了解到三味书屋中的老先生虽然施行的是封建书塾教育，但思想还算开明，因此，鲁迅对他“很恭敬”。

虽是“很恭敬”，但并不是很有感情。

藤野先生是鲁迅在日本仙台学医时的一位日本医专的教授，他是一位怎样的老师呢？鲁迅对他的感情又是如何呢？让我们一起走访《藤野先生》吧！ 二、简介作者、藤野先生和作品的写作背景。

三、学生默读课文，疏通有关阅读障碍 要求：1．标注出难字难词。

2．注意：文章变换了几个地点? 3．划分文章的段落层次，并说说各部分的大意。

学生默读后，讨论明确： 1．需要注意的字词列举如下： （多媒体展示） 绯(fēi)红：鲜红。

会馆：旧时同乡或同业的人在京城、省会或大商埠设立的寄寓和机构。

流言：流传的毫无根据的坏话。

瞥(pīe)见：很快地看一下。

畸(jī)形：不正常的形状。

遗民：a．留下的在国外的人；b．改朝换代后仍效忠前一朝代的人；c．大乱后遗留下来的 人民。

不逊(Xùn)：不客气；无礼貌；骄傲、蛮横。

美其名曰：(把不美的事物)美化它的名字叫。

四、学习课文第一部分 1．学生自由朗读第一部分内容。

2．思考：(1)请标出最能表现清国留学生丑态的词语和句子。

(2)对于这些清国留学生，“我”是持什么态度?哪些词语表明了“我”的态度? (3)从“我”的态度，可以看出作者的什么思想? 表达了作者对东京“清国留学生”的恶浊生活的憎恶、失望和不满，强有力地讽刺了这些顽固维护清王朝统治的“遗少”，强烈表达了作者对他们的极端憎恶的感情。

3．找出人物外貌、语言描写的语句，体现了人物什么特点。

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考试生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作 无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{}|320A x x =∈+>R ，()(){}|130B x x x =∈+->R ，则A B = （ ）A ．()1-∞-，B ．213⎧⎫--⎨⎬⎩⎭，C ．233⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．()3+∞，2．设不等式组0202x y ⎧⎨⎩≤≤，≤≤表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）A ．π4B ．π22- C ．π6D ．4π4- 3．设a b ∈R ，．“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．如图，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则（ ）A ．CE CB AD DB ⋅=⋅ B ．CE CB AD AB ⋅=⋅C ．2AD AB CD ⋅= D ．2CE EB CD ⋅=EBDAC6．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ） A ．24 B ．18 C ．12 D ．67．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）A．28+B．30+C．56+D．60+8．某棵果树前n 前的总产量n S 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 值为（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11344正（主）视图侧（左）视图俯视图第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9直线21x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与曲线3cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）的交点个数为 ．10．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若112a =，23S a =，则2a = ． 11．在ABC △中，若2a =，7b c +=，1cos 4B =-，则b = ．12．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60︒．则OAF △的面积为 ．13．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅的值为 ；DE DC ⋅的最大值为 ．14．已知()()()23f x m x m x m =-++，()22x g x =-．若同时满足条件：①x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <；②()()()40x f x g x ∃∈-∞-<，，， 则m 的取值范围是 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数()()sin cos sin 2sin x x x f x x-=．（1）求()f x 的定义域及最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间． 16．（本小题共14分）如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3BC =，6AC =．D ，E分别是AC ，AB 上的点，且DE BC ∥，2DE =，将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置，使1AC CD ⊥，如图2. （1）求证：1AC ⊥平面BCDE ； （2）若M 是1A D 的中点，求CM 与平面1A BE 所成角的大小； （3）线段BC 上是否存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直？说明理由．ACDEA 1MCBE D图1图217．（本小题共13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a b c ，，，其中0a >，600a b c ++=．当数据a b c ，，的方差2s 最大时，写出a b c ，，的值（结论不要求证明），并求此时2s 的值． （求：()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦ ，其中x 为数据1x ，2x ，…，n x 的平均数）18．（本小题共13分）已知函数()()210f x ax a =+>，()3g x x bx =+．（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1c ，处具有公共切线，求a ，b 的值； （2）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(]1-∞-，上的最大值．19．（本小题共14分）已知曲线()()()22:528C m x m y m -+-=∈R（1）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；（2）设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A B ，（点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M ，N ，直线1y =与直线BM 交于点G ．求证：A G N ，，三点共线．20．（本小题共13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零．记()S m n ，为所有这样的数表构成的集合．对于()A S m n ∈，，记()i r A 为A 的第i 行各数之和()1i m ≤≤，()j c A 为A 的第j 列各数之和()1j n ≤≤；记()k A 为()1||r A ，()2||r A ，…，()||m r A ，()1||c A ，()2||c A ，…，()||n c A 中的最小值．（1）对如下数表A ，求()k A 的值；（2）设数表(A S ∈求()k A 的最大值；（3）给定正整数t ，对于所有的()221A S t ∈+，，求()k A 的最大值．参考答案一、选择题二、填空题三、解答题 15． 解： (sin cos )sin 2(sin cos )2sin cos ()2(sin cos )cos sin sin x x x x x x xf x x x x x x--===-{}πsin 21cos 221|π4x x x x x k k ⎛⎫=-+=--≠∈ ⎪⎝⎭Z ，，（1）原函数的定义域为{}|πx x k k ≠∈Z ，，最小正周期为π．（2）原函数的单调递增区间为πππ8k k ⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，k ∈Z ，3πππ8k k ⎛⎤+⎥⎝⎦，k ∈Z16．解：（1） CD DE ⊥，1A E DE ⊥∴DE ⊥平面1A CD ，又 1AC ⊂平面1A CD ， ∴1AC ⊥DE 又1AC CD ⊥， ∴1AC ⊥平面BCDE yC（2）如图建系C xyz -，则()200D -，，，(00A ，，，()030B ，，，()220E -，，∴(103A B =-，，,()1210A E =-- ，，设平面1A BE 法向量为()n x y z =，，则1100A B n A E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴3020y x y ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩∴2z y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴(12n =-，又∵(10M -，∴(10CM =-，∴cos ||||CM n CM n θ⋅====⋅ ∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45︒（3）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为()00a ，，，则[]03a ∈，则(10A P a =-，，，()20DP a = ，，设平面1A DP 法向量为()1111n x y z =，，则1111020ay x ay ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩∴111112z x ay⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()136n a =-，假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直 则10n n ⋅=，∴31230a a ++=，612a =-，2a =- ∵03a <<∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直 17．（1）由题意可知：4002=6003（2）由题意可知：200+60+403=100010（3）由题意可知：22221(120000)3s a b c =++-，因此有当600a =，0b =，0c =时，有280000s =．18． 解：（1）由()1c ，为公共切点可得：2()1(0)f x ax a =+>，则()2f x ax '=，12k a =， 3()g x x bx =+，则2()=3f x x b '+，23k b =+，∴23a b =+①又(1)1f a =+，(1)1g b =+，∴11a b +=+，即a b =，代入①式可得：33a b =⎧⎨=⎩． （2） 24a b =，∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++则221()324h x x ax a '=++，令()0h x '=，解得：12a x =-，26ax =-；0a >，∴26a a -<-，∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增，在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减，在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增 ①若12a--≤，即2a ≤时，最大值为2(1)4a h a =-；②若126a a -<-<-，即26a <<时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③若16a --≥时，即6a ≥时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 综上所述：当(]02a ∈，时，最大值为2(1)4a h a =-；当()2,a ∈+∞时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．19．（1）原曲线方程可化简得：2218852x y m m +=--由题意可得：8852805802m m mm ⎧>⎪--⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪-⎩，解得：752m <<（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=，2=32(23)k ∆-，解得：232k >由韦达定理得：21621M N k x x k +=+①，22421M N x x k =+，② 设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(1)G G x ，MB 方程为：62M M kx y x x +=-，则316M M x G kx ⎛⎫⎪+⎝⎭，， ∴316M M x AG x k ⎛⎫=-⎪+⎝⎭ ，，()2N N AN x x k =+，， 欲证A G N ，，三点共线，只需证AG ，AN共线即3(2)6MN N M x x k x x k +=-+成立，化简得：(3)6()M N M N k k x x x x +=-+将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证。

2012年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集U =R ，集合A ={x|1x ≥1}，则∁U A( )A (0, 1)B (0, 1]C (−∞, 0]∪(1, +∞)D (−∞, 0)∪[1, +∞)2. 执行如图所示的程序框图，若输入x =2，则输出y 的值为（ ）A 2B 5C 11D 233. 若实数x ，y 满足条件{x +y ≥0x −y +3≥00≤x ≤3，则z =2x −y 的最大值为（ ）A 9B 3C 0D −34. 已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm ，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）A 4√3cm 2B 2√3cm 2C 8cm 2D 4cm 25. 已知函数f(x)＝sin 4ωx −cos 4ωx 的最小正周期是π，那么正数ω＝（ ）A 2B 1C 12D 14 6. 若a =log 23，b =log 32，c =log 46，则下列结论正确的是（ ）A b <a <cB a <b <cC c <b <aD b <c <a7. 设等比数列{a n }的各项均为正数，公比为q ，前n 项和为S n ．若对∀n ∈N ∗，有S 2n <3S n ，则q 的取值范围是（ ）A (0, 1]B (0, 2)C [1, 2)D (0,√2)8. 已知集合A ＝{x|x ＝a 0+a 1×3+a 2×32+a 3×33}，其中a k ∈{0, 1, 2}(k ＝0, 1, 2, 3)，且a 3≠0．则A 中所有元素之和等于（ ）A 3240B 3120C 2997D 2889二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13, 14),[14, 15),[15, 16),[16, 17),[17, 18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16, 18]的学生人数是________．10. (x −2)6的展开式中x 3的系数是________．（用数字作答）11. 如图，AC 为⊙O 的直径，OB ⊥AC ，弦BN 交AC 于点M ．若OC =√3，OM =1，则MN =________． 12. 在极坐标系中，极点到直线l:ρsin(θ+π4)=√2的距离是________．13. 已知函数f(x)={x 12,0≤x ≤c x 2+x,−2≤x <0其中c >0．那么f(x)的零点是________；若f(x)的值域是[−14,2]，则c 的取值范围是________．14. 在直角坐标系xOy 中，动点A ，B 分别在射线y =√33x(x ≥0)和y =−√3x(x ≥0)上运动，且△OAB 的面积为1．则点A ，B 的横坐标之积为________；△OAB 周长的最小值是________．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. 在△ABC 中，已知sin(A +B)=sinB +sin(A −B)．（1）求角A ；（2）若|BC →|=7，AB →⋅AC →=20，求|AB →+AC →|．16. 乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．（1）求甲以4比1获胜的概率；（2）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；（3）求比赛局数的分布列．17. 如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB =∠DBF =60∘，且FA =FC ．(1)求证：AC ⊥平面BDEF ；(2)求证：FC // 平面EAD ；(3)求二面角A −FC −B 的余弦值．18. 已知函数f(x)=e ax⋅(ax+a+1)，其中a≥−1．(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．19. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√53，定点M(2, 0)，椭圆短轴的端点是B1，B2，且MB1⊥MB2．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分∠APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．20. 对于数列A n:a1，a2，…，a n(a i∈N, i=1, 2,…,n)，定义“T变换”：T将数列A n变换成数列B n:b1，b2，…，b n，其中b i=|a i−a i+1|(i=1, 2,…,n−1)，且b n=|a n−a1|，这种“T 变换”记作B n=T(A n)．继续对数列B n进行“T变换”，得到数列C n，…，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（1）试问A3:4，2，8和A4:1，4，2，9经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（2）求A3:a1，a2，a3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件；（3）证明：A4:a1，a2，a3，a4一定能经过有限次“T变换”后结束．2012年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）答案1. C2. D3. A4. A5. B6. D7. A8. D9. 5410. −16011. 112. √213. −1和0,0<c≤414. √32,2(1+√2)15. 解：（1）原式可化为：sinB=sin(A+B)−sin(A−B)=sinAcosB+cosAsinB−sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB，…∵ B∈(0, π)，∴ sinB>0，∴ cosA=12，…又A∈(0, π)，∴ A=π3；…（2）由余弦定理，得|BC →|2=|AB →|2+|AC →|2−2|AB →|⋅|AC →|⋅cosA ，…∵ |BC →|=7，AB →⋅AC →=|AB →|⋅|AC →|⋅cosA =20，∴ |AB →|2+|AC →|2=89，…∵ |AB →+AC →|2=|AB →|2+|AC →|2+2AB →⋅AC →=89+40=129，…∴ |AB →+AC →|=√129．…16. 解：（1）由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12． … 记“甲以4比1获胜”为事件A ，则P(A)=C 43(12)3(12)4−312=18． … （2）记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B ．因为，乙以4比2获胜的概率为P 1=C 53(12)3(12)5−312=532，… 乙以4比3获胜的概率为P 2=C 63(12)3(12)6−312=532，… 所以 P(B)=P 1+P 2=516． …（3）设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4，5，6，7．P(X =4)=2C 44(12)4=18，…P(X =5)=2C 43(12)3(12)4−312=14，…P(X =6)=2C 53(12)3⋅(12)5−3⋅12=516，…P(X =7)=2C 63(12)3(12)6−3⋅12=516． … 比赛局数的分布列为： 84161617. (1)证明：设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，且O 为AC 中点．又 FA =FC ，所以 AC ⊥FO ．因为 FO ∩BD =O ，BD ⊂平面BDEF ，所以 AC ⊥平面BDEF ．(2)证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以AD // BC ，DE // BF ，因为AD ∩DE =D ，BC ∩BF =B ,所以 平面FBC // 平面EAD ．又FC ⊂平面FBC ，所以FC // 平面EAD ;(3)解：因为四边形BDEF 为菱形，且∠DBF =60∘，所以△DBF 为等边三角形．因为O 为BD 中点，所以FO ⊥BD ，故FO ⊥平面ABCD ．由OA ，OB ，OF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ．设AB =2．因为四边形ABCD 为菱形，∠DAB =60∘，则BD =2，所以OB =1，OA =OF =√3． 所以 O(0,0,0),A(√3，0，0)，B(0,1,0)，C(−√3,0,0)，F(0,0,√3)．所以 CF →=(√3,0,√3)，CB →=(√3,1,0)．设平面BFC 的法向量为n →=(x, y, z)，则有{√3x +√3z =0√3x +y =0， 取x =1，得n →=(1,−√3,−1)．∵ 平面AFC 的法向量为v →=(0, 1, 0)．由二面角A −FC −B 是锐角，得|cos <n →，v →>|=|n →⋅v →|n →||v →||=√155． 所以二面角A −FC −B 的余弦值为√155． 18. 解：(1)当a =1时，f(x)=e x ⋅(1x+2)， f ′(x)=e x ⋅(1x +2−1x 2)．由于f(1)=3e ，f ′(1)=2e ，所以曲线y =f(x)在点(1, f(1))处的切线方程是2ex −y +e =0．(2)f ′(x)=ae ax (x+1)[(a+1)x−1]x 2，x ≠0．①当a =−1时，令f ′(x)=0，解得x =−1，所以f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，单调递增区间为(−1, 0)，(0, +∞)；当a ≠−1时，令f ′(x)=0，解得x =−1或x =1a+1.②当−1<a <0时，f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，(1a+1,+∞)，单调递增区间为(−1, 0)，(0,1a+1)；③当a =0时，f(x)为常值函数，不存在单调区间；④当a >0时，f(x)的单调递减区间为(−1, 0)，(0,1a+1)，单调递增区间为(−∞, −1)，(1a+1,+∞)． 19. 解：（1）由 59=e 2=a 2−b 2a 2=1−b 2a 2，得 b a =23．… 依题意△MB 1B 2是等腰直角三角形，从而b =2，故a =3．… 所以椭圆C 的方程是x 29+y 24=1．…（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，直线AB 的方程为x =my +2．将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去x 得 (4m 2+9)y 2+16my −20=0．… 所以 y 1+y 2=−16m 4m 2+9，y 1y 2=−204m 2+9．…若PM 平分∠APB ，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，所以k PA +k PB =0．…设P(a, 0)，则有 y 1x 1−a +y 2x 2−a =0．将 x 1=my 1+2，x 2=my 2+2代入上式，整理得2my 1y 2+(2−a)(y 1+y 2)(my 1+2−a)(my 2+2−a)=0， 所以 2my 1y 2+(2−a)(y 1+y 2)=0．…将 y 1+y 2=−16m4m 2+9，y 1y 2=−204m 2+9代入上式，整理得 (−2a +9)⋅m =0．…由于上式对任意实数m 都成立，所以 a =92．综上，存在定点P(92，0)，使PM 平分∠APB ．…20. （1）解：数列A 3:4，2，8不能结束，各数列依次为2，6，4；4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为0的情形． … 数列A 4:1，4，2，9能结束，各数列依次为3，2，7，8；1，5，1，5；4，4，4，4；0，0，0，0．…（2）解：A 3经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是a 1=a 2=a 3．…若a 1=a 2=a 3，则经过一次“T 变换”就得到数列0，0，0，从而结束． …当数列A 3经过有限次“T 变换”后能够结束时，先证命题“若数列T(A 3)为常数列，则A 3为常数列”．当a 1≥a 2≥a 3时，数列T(A 3)：a 1−a 2，a 2−a 3，a 1−a 3．由数列T(A 3)为常数列得a 1−a 2=a 2−a 3=a 1−a 3，解得a 1=a 2=a 3，从而数列A 3也为常数列．其它情形同理，得证．在数列A3经过有限次“T变换”后结束时，得到数列0，0，0（常数列），由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列A3也为常数列．…所以，数列A3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是a1=a2=a3．（3）证明：先证明引理：“数列T(A n)的最大项一定不大于数列A n的最大项，其中n≥3”．证明：记数列A n中最大项为max(A n)，则0≤a i≤max(A n)．令B n=T(A n)，b i=a p−a q，其中a p≥a q．因为a q≥0，所以b i≤a p≤max(A n)，故max(B n)≤max(A n)，证毕．…现将数列A4分为两类．第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，max(B4)≤max(A4)−1．第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时max(B4)=max(A4)．下面证明第二类数列A4经过有限次“T变换”，一定可以得到第一类数列．不妨令数列A4的第一项为0，第二项a最大(a>0)．（其它情形同理）①当数列A4中只有一项为0时，若A4:0，a，b，c(a>b, a>c, bc≠0)，则T(A4)：a，a−b，|b−c|，c，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若A4:0，a，a，b(a>b, b≠0)，则T(A4)：a，0，a−b，b；T（T(A4)）：a，a−b，|a−2b|，a−b此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若A4:0，a，b，a(a>b, b≠0)，则T(A4)：a，a−b，a−b，b，此数列各项均不为0，为第一类数列；若A4:0，a，a，a，则T(A4)：a，0，0，a；T（T(A4)）：a，0，a，0；T（T（T(A4)））：a，a，a，a，此数列各项均不为0，为第一类数列．②当数列A4中有两项为0时，若A4:0，a，0，b(a≥b>0)，则T(A4)：a，a，b，b，此数列各项均不为0，为第一类数列；若A4:0，a，b，0(a≥b>0)，则T(A)：a，a−b，b，0，T（T(A)）：b，|a−2b|，b，a，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列．③当数列A4中有三项为0时，只能是A4:0，a，0，0，则T(A)：a，a，0，0，T（T(A)）：0，a，0，a，T（T（T(A)））：a，a，a，a，此数列各项均不为0，为第一类数列．总之，第二类数列A4至多经过3次“T变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历3次“T变换”，数列的最大项又开始减少．又因为各数列的最大项是非负整数，故经过有限次“T变换”后，数列的最大项一定会为0，此时数列的各项均为0，从而结束．…。

2012年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ＝{x|x >1}，B ＝{x|x <m}，且A ∪B ＝R ，那么m 的值可以是（ ） A.−1 B.0 C.1 D.22. 在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝a 3a 5，则a 7＝（ ） A.116B.18C.14D.123. 在极坐标系中，过点(2,3π2)且平行于极轴的直线的极坐标方程是（ ）A.ρsin θ=−2B.ρcos θ=−2C.ρsin θ=2D.ρcos θ=24. 已知向量a →=(1, x)，b →=(−1, x)，若2a →−b →与b →垂直，则|a →|=( )A.√2B.√3C.2D.45. 执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（ ）A.4B.5C.6D.76. 从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是（ ） A.12 B.24C.36D.487. 已知函数f(x)={−x 2+ax ，x ≤1，ax −1,x >1， 若∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f(x 1)=f(x 2)成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.a <2 B.a >2C.−2<a <2D.a >2或a <−28. 在正方体ABCD −A′B′C′D′中，若点P （异于点B ）是棱上一点，则满足BP 与AC′所成的角为45∘的点P 的个数为（ ）A.0B.3C.4D.6二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.复数a+2i1−i 在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数a =________．过双曲线x 29−y 216=1的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是________．若tan α=12，则cos (2α+π2)＝________．设某商品的需求函数为Q ＝100−5P ，其中Q ，P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQEP 大于1（其中EQ EP=−Q ′QP ，Q ′是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是________．如图，以△ABC 的边AB 为直径的半圆交AC 于点D ，交BC 于点E ，EF ⊥AB 于点F ，AF =3BF ，BE =2EC =2，那么∠CDE =________，CD =________．已知函数f(x)={1,x ∈Q0,x ∈C R Q 则(I)f （f(x)）=________；（II ）给出下列三个命题： ①函数f(x)是偶函数；②存在x i ∈R(i =1, 2, 3)，使得以点（x i , f(x i )）(i =1, 2, 3)为顶点的三角形是等腰直角三角形； ③存在x i ∈R(i =1, 2, 3, 4)，使得以点（x i , f(x i )）(i =1, 2, 3, 4)为顶点的四边形为菱形． 其中，所有真命题的序号是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列． （1）若b =√13，a =3，求c 的值；（2）设t =sin A sin C ，求t 的最大值．在四棱锥P −ABCD 中，AB // CD ，AB ⊥AD ，AB =4,AD =2√2,CD =2，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝4． (Ⅰ)设平面PAB ∩平面PCD ＝m ，求证：CD // m ； (Ⅱ)求证：BD ⊥平面PAC ；(Ⅲ)设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC 所成角的正弦值为√33，求PQPB的值．某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0, 100]，样本数据分组为[0, 20),[20, 40),[40, 60),[60, 80),[80, 100]．（1）求直方图中x 的值；（2）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；（3）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）已知函数f(x)=e −kx (x 2+x −1k )(k <0)． （1）求f(x)的单调区间；（2）是否存在实数k ，使得函数f(x)的极大值等于3e −2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为F 1(−1, 0)，P 为椭圆G 的上顶点，且∠PF 1O ＝45∘．(Ⅰ)求椭圆G 的标准方程；(Ⅱ)已知直线l 1:y ＝kx +m 1与椭圆G 交于A ，B 两点，直线l 2:y ＝kx +m 2(m 1≠m 2)与椭圆G 交于C ，D 两点，且|AB|＝|CD|，如图所示． (ⅰ)证明：m 1+m 2＝0；(ⅱ)求四边形ABCD 的面积S 的最大值．对于集合M ，定义函数f M (x)={−1,x ∈M1,x ∉M. 对于两个集合M ，N ，定义集合M △N ＝{x|f M (x)⋅f N (x)＝−1}．已知A ＝{2, 4, 6, 8, 10}，B ＝{1, 2, 4, 8, 16}．(Ⅰ)写出f A (1)和f B (1)的值，并用列举法写出集合A △B ；(Ⅱ)用Card(M)表示有限集合M 所含元素的个数，求Card(X △A)+Card(X △B)的最小值； (Ⅲ)有多少个集合对(P, Q)，满足P ，Q ⊆A ∪B ，且(P △A)△(Q △B)＝A △B ？参考答案与试题解析2012年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【考点】并集及其运算【解析】根据题意，做出集合A，由并集的定义分析可得，若A∪B＝R，必有m<1，分析选项，即可得答案．【解答】根据题意，若集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x<m}，且A∪B＝R，必有m>1，分析选项可得，D符合；2.【答案】B【考点】等比数列的性质【解析】由等比数列的性质可知，a4＝a3a5=a42可求a4，然后由a1⋅a7=a42可求【解答】由等比数列的性质可知，a4＝a3a5=a42∵a4≠0∴a4＝1∵a1＝8∴a1⋅a7=a42=1∴a7=183.【答案】A【考点】圆的极坐标方程【解析】如图所示，在Rt△OPQ中，利用直角三角形的边角关系及诱导公式可得ρ=2cos(θ−3π2)=2−sinθ，即可．【解答】解：如图所示，在Rt△OPQ中，ρ=2cos(θ−3π2)=2−sinθ，可化为ρsinθ=−2．故选A．4.【答案】C【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量数量积【解析】根据向量的坐标运算先求出2a→−b→，然后根据向量垂直的条件列式求出x的值，最后运用求模公式求|a→|．【解答】解∵a→=(1,x)，b→=(−1,x)，∴2a→−b→=2(1,x)−(−1,x)=(3, x)，由(2a→−b→)⊥b→⇒3×(−1)+x2=0，解得x=−√3，或x=√3，∴a→=(1,−√3)或a→=(1,√3)，∴|a→|=√12+(−√3)2=2，或|a→|=√12+(√3)2=2．故选C．5.【答案】B【考点】循环结构的应用【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出k的值．【解答】解：第一次循环：n=3×5+1=16，k=0+1=1，继续循环；第二次循环：n=162=8，k=1+1=2，继续循环；第三次循环：n=82=4，k=2+1=3，继续循环；第四次循环：n=42=2，k=3+1=4，继续循环；第五次循环：n=22=1，k=4+1=5，结束循环．输出k=5．故选B ．6.【答案】 D【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】先分类：(1)不选甲，有A 43种选法；(2)选甲，共C 21⋅A 42种，相加可得． 【解答】解：(1)若不选甲，则有A 43=24种选法；(2)若选甲，则先从令两个位置中选一个给甲，再从其余的4人中选2人排列，共有C 21⋅A 42=24种， 由分类计数原理可得总的方法种数为24+24=48， 故选D 7. 【答案】 A【考点】全称命题与特称命题分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】若∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f(x 1)=f(x 2)成立，则说明f(x)在R 上不单调，分a =0及a ≠0两种情况分布求解即可. 【解答】解：若∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f(x 1)=f(x 2)成立，则说明f(x)在R 上不单调.①当a =0时，f(x)={−x 2，x ≤1,−1,x >1,，其图象如图所示，满足题意;②当a <0时，函数y =−x 2+ax 的对称轴x =a2<0，其图象如图所示，满足题意;③当a >0时，函数y =−x 2+ax 的对称轴x =a2>0，其图象如图所示， 要使得f(x)在R 上不单调,则只要二次函数的对称轴x =a2<1, ∴ a <2.综上可得，a <2.故选A. 8.【答案】 B【考点】异面直线及其所成的角 【解析】通过建立空间直角坐标系，通过分类讨论利用异面直线的方向向量所成的夹角即可找出所有满足条件的点P 的个数． 【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设棱长AB =1，B(1, 0, 1)，C(1, 1, 1)．①在Rt △AA′C 中，tan ∠AA′C =|AC||AA ′|=√2，因此∠AA′C≠45∘．同理A′B′，A′D′与A′C 所成的角都为arctan √2≠45∘．故当点P 位于（分别与上述棱平行）棱BB′，BA ，BC 上时，与A′C 所成的角都为arctan √2≠45∘，不满足条件. ②当点P 位于棱AD 上时，设P(0, y, 1)，(0≤y ≤1)，则BP →=(−1, y, 0)，A ′C →=(1, 1, 1)． 若满足BP 与AC′所成的角为45∘，则√22=|cos <BP →,A ′C →>|=|BP →⋅A ′C →||BP →||A ′C →|=|−1+y|√1+y 2√3，化为y 2+4y +1=0，无正数解，舍去.同理，当点P 位于棱B′C 上时，也不符合条件.③当点P 位于棱A′D′上时，设P(0, y, 0)，(0≤y ≤1)， 则BP →=(−1, y, −1)，A ′C →=(1, 1, 1)． 若满足BP 与AC ′所成的角为45∘，则√22=|cos <BP →,A ′C →>|=|BP →⋅A ′C →||BP →||A ′C →|=√2+y 2⋅√3，化为y 2+8y −2＝0，∵ 0≤y ≤1，解得y ＝3√2−4，满足条件，此时点P(0,3√2−4,0)．④同理可求得棱A′B′上一点P(√3−1,0,0)，棱A′A 上一点P(0,0,√3−1)． 而其它棱上没有满足条件的点P ．综上可知：满足条件的点P 有且只有3个． 故选B .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. 【答案】 2【考点】复数代数形式的乘除运算 复数的基本概念【解析】由题意，可先对所给的进行化简，由复数的除法规则，将复数化简成代数形式，再由题设条件其在复平面上对应的点在虚轴上，令实部为零即可得到参数的方程，从而解出参数的值 【解答】 解：复数a+2i 1−i=(a+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=a−2+(a+2)i2又复数a+2i 1−i在复平面内所对应的点在虚轴上所以a −2=0，即a =2 故答案为2 【答案】4x −3y −20=0 【考点】 双曲线的特性 【解析】根据双曲线方程，可得右焦点的坐标为F(5, 0)，且经过一、三象限的渐近线斜率为k =43．由平行直线的斜率相等，可得所求的直线方程的点斜式，再化成一般式即可． 【解答】解：∵ 双曲线的方程为x 29−y 216=1∴ a 2=9，b 2=16，得c =√a 2+b 2=5 因此，该双曲线右焦点的坐标为F(5, 0) ∵ 双曲线x 29−y 216=1的渐近线方程为y =±43x∴ 双曲线经过一、三象限的渐近线斜率为k =43∴ 经过双曲线右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是y =43(x −5) 化为一般式，得4x −3y −20=0． 故答案为：4x −3y −20=0 【答案】 −45【考点】同角三角函数间的基本关系二倍角的三角函数【解析】利用同角三角函数的基本关系，诱导公式，二倍角公式化简cos(2α+π2)为−2tanα1+tan2α，把tanα=12代入运算求得结果．【解答】∵tanα=12，∴cos(2α+π2)＝−sin2α＝−2sinαcosα=−2sinαcosαcos2α+sin2α=−2tanα1+tan2α=−45，【答案】(10, 20)【考点】函数最值的应用【解析】利用Q＝100−5P，弹性EQEP大于1，建立不等式，解不等式即可得到结论．【解答】∵Q＝100−5P，弹性EQEP大于1∴EQEP =−Q′QP=5P100−5P>1∴(P−10)(P−20)<0∴10<P<20【答案】60∘,3√1313【考点】与圆有关的比例线段【解析】如图所示，设圆心为点O，半径为R，连接OE，AE．利用已知AF=3FB，AF+FB=2R，可得FB=12R，又EF⊥AB，可得OE=EB，即△OEB为等边三角形，从而利用圆内接四边形的性质即可得出∠CDE的大小；也可求出AE．进而求出AC，再利用割线定理即可得出CD．【解答】解：如图所示，设圆心为点O，半径为R，连接OE，AE．由AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90∘，∴AE⊥CE．∵AF=3FB，AF+FB=2R，∴FB=12R，又EF⊥AB，∴OE=EB，即△OEB为等边三角形．∴∠ABE=60∘．∴∠CDE=∠ABE=60∘；∴AE=BE tan60∘=2 √3．在Rt△ACE，AC=√AE2+CE2=√(2√3)2+12=√13．由割线定理可得：CD⋅CA=CE⋅CB，∴CD=√13=3√1313．故答案为60∘；3√1313．【答案】1，①③．【考点】命题的真假判断与应用函数解析式的求解及常用方法【解析】（I）对x分类：x∈Q和x∈C R Q，再由解析式求出f（f(x)）的值；（II）①对x分类：x∈Q和x∈C R Q，分别判断出f(−x)=f(x)，再由偶函数的定义判断出①正确；②由解析式做出大致图象：根据图象和等腰直角三角形的性质，进行判断即可；③取两个自变量是有理数，使得另外两个无理数差与两个有理数的差相等，即可得出此四边形为平行四边形．【解答】解：(I)由题意知，f(x)={1,x∈Q0,x∈C R Q，当x∈Q时，f(x)=1∈Q，则f（f(x)）=1，当x∈C R Q时，f(x)=0∈Q，则f（f(x)）=1，综上得，f（f(x)）=1；（II）①当x∈Q时，则−x∈Q，故f(−x)=1=f(x)，当x∈C R Q时，则−x∈C R Q，故f(−x)=0=f(x)，∴函数f(x)是偶函数，①正确；②根据f(x)={1,x∈Q0,x∈C R Q，做出函数的大致图象：假设存在等腰直角三角形ABC，则斜边AB只能在x轴上或在直线y=1上，且斜边上的高始终是1，不妨假设A，B在x轴上，如图故斜边AB=2，故点A、B 的坐标不可能是无理数，否则O点不再是中点，故不存在另外，当AB在y=1上，C在x轴时，由于AB=2，则C的坐标应是有理数，故假设不成立，即不存在符合题意的等腰直角三角形，②错误；③根据②做出的图形知，取两个自变量是有理数，使得另外两个无理数差与两个有理数的差相等，即可画出平行四边形，且是对角线相互垂直，可以做出以点（x i, f(x i)）(i=1, 2, 3, 4)为顶点的四边形为菱形，③正确．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【答案】解：（1）因为A，B，C成等差数列，所以2B=A+C．因为A+B+C=π，所以B=π3．因为b=√13，a=3，b2=a2+c2−2ac cos B，所以c2−3c−4=0，解得c=4，或c=−1（舍去）．（2）因为A+C=23π，所以，t=sin A sin(2π3−A)=sin A(√32cos A+12sin A)=√34sin2A+12(1−cos2A2)=14+12sin(2A−π6)．因为0<A<2π3，所以，−π6<2A−π6<7π6．所以当2A−π6=π2，即A=π3时，t有最大值34．【考点】余弦定理等差数列的通项公式求两角和与差的正弦【解析】（1）由A，B，C成等差数列求得B的值，再由余弦定理求得c的值．（2）因为A+C=23π，利用两角和差的正弦公式化简函数t的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得t的最大值．【解答】解：（1）因为A，B，C成等差数列，所以2B=A+C．因为A+B+C=π，所以B=π3．因为b=√13，a=3，b2=a2+c2−2ac cos B，所以c2−3c−4=0，解得c=4，或c=−1（舍去）．（2）因为A+C=23π，所以，t=sin A sin(2π3−A)=sin A(√32cos A+12sin A)=√34sin2A+12(1−cos2A2)=14+12sin(2A−π6)．因为0<A<2π3，所以，−π6<2A−π6<7π6．所以当2A−π6=π2，即A=π3时，t有最大值34．【答案】（1）如图所示，过点B作BM // PA，并且取BM＝PA，连接PM，CM．∴四边形PABM为平行四边形，∴PM // AB，∵AB // CD，∴PM // CD，即PM为平面PAB∩平面PCD＝m，m // CD．（2）在Rt△BAD和Rt△ADC中，由勾股定理可得BD=√42+(2√2)2=2√6，AC=√22+(2√2)2=2√3．∵AB // DC，∴ODOB=OCOA=24=12，∴OD=13BD=2√63，OC=13AC=2√33．∴OD2+OC2=(2√63)2+(2√33)2=4＝CD2，∴OC⊥OD，即BD⊥AC；∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD．∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．(Ⅲ)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0, 0, 0)，B(4, 0, 0)，D(0, 2√2, 0)，C(2, 2√2, 0)，P(0, 0, 4)．∴PB→=(4,0,−4)，设PQ→=λPB→，则Q(4λ, 0, 4−4λ)，∴QC→=(2−4λ,2√2,4λ−4)．BD→=(−4,2√2,0)，由（2）可知BD→为平面PAC的法向量．∴cos<BD→,QC→>=BD→⋅QC→|BD→||QC→|=2√6√(2−4λ)2+(2√2)2+(4λ−4)2，∵直线QC与平面PAC所成角的正弦值为√33，∴√33=2√6√(2−4λ)2+8+(4λ−4)2，化为12λ＝7，解得λ=712．∴PQPB=712．【考点】直线与平面垂直 直线与平面所成的角【解析】(Ⅰ)利用平行四边形的性质和平行线的传递性即可找出两个平面的交线并且证明结论； (Ⅱ)利用已知条件先证明BD ⊥AC ，再利用线面垂直的性质定理和判定定理即可证明； (Ⅲ)通过结论空间直角坐标系，利用法向量与斜线所成的角即可找出Q 点的位置． 【解答】（1）如图所示，过点B 作BM // PA ，并且取BM ＝PA ，连接PM ，CM ． ∴ 四边形PABM 为平行四边形，∴ PM // AB ，∵ AB // CD ，∴ PM // CD ，即PM 为平面PAB ∩平面PCD ＝m ，m // CD ． （2）在Rt △BAD 和Rt △ADC 中，由勾股定理可得 BD =√42+(2√2)2=2√6，AC =√22+(2√2)2=2√3． ∵ AB // DC ，∴ OD OB=OC OA=24=12，∴ OD =13BD =2√63，OC =13AC =2√33． ∴ OD 2+OC 2=(2√63)2+(2√33)2=4＝CD 2，∴ OC ⊥OD ，即BD ⊥AC ；∵ PA ⊥底面ABCD ，∴ PA ⊥BD ． ∵ PA ∩AC ＝A ，∴ BD ⊥平面PAC ．(Ⅲ)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0, 0, 0)， B(4, 0, 0)，D(0, 2√2, 0)，C(2, 2√2, 0)，P(0, 0, 4)． ∴ PB →=(4,0,−4)，设PQ →=λPB →，则Q(4λ, 0, 4−4λ)，∴ QC →=(2−4λ,2√2,4λ−4)． BD →=(−4,2√2,0)，由（2）可知BD →为平面PAC 的法向量．∴ cos <BD →,QC →>=BD →⋅QC →|BD →||QC →|=2√6√(2−4λ)2+(2√2)2+(4λ−4)2，∵ 直线QC 与平面PAC 所成角的正弦值为√33， ∴√33=2√6√(2−4λ)2+8+(4λ−4)2，化为12λ＝7，解得λ=712． ∴ PQPB =712．【答案】 解：（1）由直方图可得：20×x +0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20=1． 所以 x =0.0125．（2）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003×2×20=0.12， 因为600×0.12=72，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿． （3）X 的可能取值为0，1，2，3，4．由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14，P(X =0)=(34)4=81256，P(X =1)=C 41(14)(34)3=2764，P(X =2)=C 42(14)2(34)2=27128， P(X =3)=C 43(14)3(34)=364，P(X =4)=(14)4=1256． 所以X 的分布列为：EX =0×81256+1×2764+2×27128+3×364+4×1256=1．（或EX =4×14=1） 所以X 的数学期望为1． 【考点】离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出x 值．（2）再求出小矩形的面积即上学所需时间不少于1小时组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数即可．（3）求出随机变量X 可取得值，利用古典概型概率公式求出随机变量取各值时的概率，列出分布列，利用随机变量的期望公式求出期望．【解答】 解：（1）由直方图可得：20×x +0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20=1． 所以 x =0.0125．（2）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003×2×20=0.12， 因为600×0.12=72，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿． （3）X 的可能取值为0，1，2，3，4．由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14，P(X =0)=(34)4=81256，P(X =1)=C 41(14)(34)3=2764，P(X =2)=C 42(14)2(34)2=27128， P(X =3)=C 43(14)3(34)=364，P(X =4)=(14)4=1256．所以X 的分布列为：EX =0×81256+1×2764+2×27128+3×364+4×1256=1．（或EX =4×14=1）所以X 的数学期望为1． 【答案】 解：（1）f(x)的定义域为R ，f′(x)=−ke −kx (x 2+x −1k )+e −kx (2x +1)=e −kx [−kx 2+(2−k)x +2]，即 f ′(x)=−e −kx (kx −2)(x +1)(k <0)．令f ′(x)=0，解得：x =−1或x =2k ．①当k =−2时，f ′(x)=2e 2x (x +1)2≥0， 故f(x)的单调递增区间是(−∞, +∞)；②当−2<k <0时，f(x)，f ′(x)随x 的变化情况如下：所以，函数f(x)的单调递增区间是(−∞,2k )和(−1, +∞)，单调递减区间是(2k ，−1)． ③当k <−2时，f(x)，f ′(x)随x 的变化情况如下：所以，函数f(x)的单调递增区间是(−∞, −1)和(2k ，+∞)，单调递减区间是(−1,2k )．综上，当k =−2时，f(x)的单调递增区间是(−∞, +∞)；当−2<k <0时，f(x)的单调递增区间是(−∞,2k )和(−1, +∞)，单调递减区间是(2k ，−1)；当k <−2时，f(x)的单调递增区间是(−∞, −1)和(2k ，+∞)，单调递减区间是(−1,2k )． （2） ①当k =−2时，f(x)无极大值．②当−2<k <0时，f(x)的极大值为f(2k )=e −2(4k 2+1k )， 令e −2(4k 2+1k )=3e −2，即4k 2+1k =3，解得 k =−1或k =43（舍）． ③当k <−2时，f(x)的极大值为f(−1)=−e kk ． 因为 e k <e −2，0<−1k <12，所以 −e k k<12e −2．因为 12e −2<3e −2，所以 f(x)的极大值不可能等于3e −2，综上所述，当k=−1时，f(x)的极大值等于3e−2．【考点】利用导数研究函数的单调性函数在某点取得极值的条件【解析】（1）求出f′(x)）=−e−kx(kx−2)(x+1)(k<0)，令f′(x)=0，解得：x=−1或x=2k ．按两根−1，2k的大小关系分三种情况讨论即可；（2）由（1）分情况求出函数f(x)的极大值，令其为3e−2，然后解k即可，注意k的取值范围；【解答】解：（1）f(x)的定义域为R，f′(x)=−ke−kx(x2+x−1k)+e−kx(2x+1)=e−kx[−kx2+(2−k)x+2]，即f′(x)=−e−kx(kx−2)(x+ 1)(k<0)．令f′(x)=0，解得：x=−1或x=2k．①当k=−2时，f′(x)=2e2x(x+1)2≥0，故f(x)的单调递增区间是(−∞, +∞)；②当−2<k<0时，f(x)，f′(x)随x的变化情况如下：所以，函数f(x)的单调递增区间是(−∞,2k )和(−1, +∞)，单调递减区间是(2k，−1)．③当k<−2时，f(x)，f′(x)随x的变化情况如下：所以，函数f(x)的单调递增区间是(−∞, −1)和(2k ，+∞)，单调递减区间是(−1,2k)．综上，当k=−2时，f(x)的单调递增区间是(−∞, +∞)；当−2<k<0时，f(x)的单调递增区间是(−∞,2k)和(−1, +∞)，单调递减区间是(2k，−1)；当k<−2时，f(x)的单调递增区间是(−∞, −1)和(2k ，+∞)，单调递减区间是(−1,2k)．（2）①当k=−2时，f(x)无极大值．②当−2<k<0时，f(x)的极大值为f(2k )=e−2(4k2+1k)，令e−2(4k2+1k)=3e−2，即4k2+1k=3，解得k=−1或k=43（舍）．③当k<−2时，f(x)的极大值为f(−1)=−e kk．因为e k<e−2，0<−1k<12，所以−ekk<12e−2．因为12e−2<3e−2，所以f(x)的极大值不可能等于3e−2，综上所述，当k=−1时，f(x)的极大值等于3e−2．【答案】（1）设椭圆G的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)．因为F1(−1, 0)，∠PF1O＝45∘，所以b＝c＝1．所以，a2＝b2+c2＝2．所以，椭圆G的标准方程为x22+y2=1．（2）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，D(x4, y4)．(ⅰ)证明：由{y=kx+m1x22+y2=1.消去y得：(1+2k2)x2+4km1x+2m12−2=0．则△=8(2k2−m12+1)>0，{x1+x2=−4km11+2k2x1x2=2m12−21+2k2.⋯所以|AB|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2√(−4km11+2k2)2−4⋅2m12−21+2k2=2√2√1+k2√2k2−m12+11+2k2．同理|CD|=2√2√1+k2√2k2−m22+11+2k2．因为|AB|＝|CD|，所以2√2√12√2k2−m12+11+2k2=2√2√1+k2√2k2−m22+11+2k2．因为m1≠m2，所以m1+m2＝0．(ⅱ)由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则d=12√1+k2．因为m1+m2＝0，所以d=1√1+k2．所以S=|AB|⋅d=2√2√1+k2√2k2−m12+11+2k21√1+k2=4√2√(2k2−m12+1)m121+2k2≤4√22121221+2k2=2√2．（或S=4√2√(2k2+1)m12−m14(1+2k2)2=4√2√−(m121+2k2−12)2+14≤2√2）所以当2k2+1=2m12时，四边形ABCD的面积S取得最大值为2√2．【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程【解析】(Ⅰ)根据F 1(−1, 0)，∠PF 1O ＝45∘，可得b ＝c ＝1，从而a 2＝b 2+c 2＝2，故可得椭圆G 的标准方程； (Ⅱ)设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，C(x 3, y 3)，D(x 4, y 4)．(ⅰ)直线l 1:y ＝kx +m 1与椭圆G 联立，利用韦达定理，可求AB ，CD 的长，利用|AB|＝|CD|，可得结论； (ⅱ)求出两平行线AB ，CD 间的距离为d ，则 d =12√1+k 2，表示出四边形ABCD 的面积S ，利用基本不等式，即可求得四边形ABCD 的面积S 取得最大值． 【解答】（1）设椭圆G 的标准方程为x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)．因为F 1(−1, 0)，∠PF 1O ＝45∘，所以b ＝c ＝1． 所以，a 2＝b 2+c 2＝2． 所以，椭圆G 的标准方程为x 22+y 2=1．（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，C(x 3, y 3)，D(x 4, y 4)． (ⅰ)证明：由{y =kx +m 1x 22+y 2=1.消去y 得：(1+2k 2)x 2+4km 1x +2m 12−2=0．则△=8(2k 2−m 12+1)>0，{x 1+x 2=−4km11+2k 2x 1x 2=2m 12−21+2k 2. ⋯ 所以 |AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2√(−4km 11+2k 2)2−4⋅2m 12−21+2k 2=2√2√1+k 2√2k 2−m 12+11+2k 2．同理 |CD|=2√2√12√2k 2−m 22+11+2k 2．因为|AB|＝|CD|， 所以 2√2√1+k 2√2k 2−m 12+11+2k 2=2√2√1+k 2√2k 2−m 22+11+2k 2．因为 m 1≠m 2，所以m 1+m 2＝0．(ⅱ)由题意得四边形ABCD 是平行四边形，设两平行线AB ，CD 间的距离为d ，则 d =122．因为 m 1+m 2＝0，所以 d =1√1+k 2．所以 S =|AB|⋅d =2√2√1+k 2√2k 2−m 12+11+2k 212=4√2√(2k 2−m 12+1)m 121+2k 2≤4√22121221+2k 2=2√2．（或S =4√2√(2k 2+1)m 12−m 14(1+2k 2)2=4√2√−(m 121+2k 2−12)2+14≤2√2）所以 当2k 2+1=2m 12时，四边形ABCD 的面积S 取得最大值为2√2．【答案】（1）结合所给定义知，f A (1)＝1，f B (1)＝−1，A △B ＝{1, 6, 10, 16}． （2）根据题意可知：对于集合C ，X ，①若a ∈C 且a ∉X ，则Card(C △(X ∪{a})＝Card(C △X)−1； ②若a ∉C 且a ∉X ，则Card(C △(X ∪{a})＝Card(C △X)+1．所以 要使Card(X △A)+Card(X △B)的值最小，2，4，8一定属于集合X ；1，6，10，16是否属于X 不影响Card(X △A)+Card(X △B)的值，但集合X 不能含有A ∪B 之外的元素． 所以 当X 为集合{1, 6, 10, 16}的子集与集合{2, 4, 8}的并集时，Card(X △A)+Card(X △B)取到最小值4． 所以Card(X △A)+Card(X △B)的最小值 (Ⅲ)因为 A △B ＝{x|f A (x)⋅f B (x)＝−1}， 所以 A △B ＝B △A ．由定义可知：f A△B (x)＝f A (x)⋅f B (x)．所以 对任意元素x ，f （A△B ）△C (x)＝f A△B (x)⋅f C (x)＝f A (x)⋅f B (x)⋅f C (x)， f A△（B△C ）(x)＝f A (x)⋅f B△C (x)＝f A (x)⋅f B (x)⋅f C (x)． 所以 f （A△B ）△C (x)＝f A△（B△C ）(x)．所以 (A △B)△C ＝A △(B △C)．由 (P △A)△(Q △B)＝A △B 知：(P △Q)△(A △B)＝A △B ． 所以 (P △Q)△(A △B)△(A △B)＝(A △B)△(A △B)． 所以 P △Q △⌀＝⌀．所以 P △Q ＝⌀，即P ＝Q ． 因为 P ，Q ⊆A ∪B ，所以 满足题意的集合对(P, Q)的个数为27＝128． 【考点】集合的包含关系判断及应用 集合中元素个数的最值【解析】(Ⅰ)根据定义直接得答案；(Ⅱ)对于已知集合E 、F ，①若a ∈E 且a ∉F ，则Card(E △(F ∪{a})＝Card(E △F)−1；②若a ∉E 且a ∉F ，则Card(E △(F ∪{a})＝Card(E △F)+1，据此结论找出满足条件的集合，从而求出Card(X △A)+Card(X △B)的最小值．(Ⅲ)由P ，Q ⊆A ∪B ，且(P △A)△(Q △B)＝A △B 求出集合P ，Q 所满足的条件，进而确定集合对(P, Q)的个数． 【解答】（1）结合所给定义知，f A (1)＝1，f B (1)＝−1，A △B ＝{1, 6, 10, 16}． （2）根据题意可知：对于集合C ，X ，①若a ∈C 且a ∉X ，则Card(C △(X ∪{a})＝Card(C △X)−1； ②若a ∉C 且a ∉X ，则Card(C △(X ∪{a})＝Card(C △X)+1．所以 要使Card(X △A)+Card(X △B)的值最小，2，4，8一定属于集合X ；1，6，10，16是否属于X 不影响Card(X △A)+Card(X △B)的值，但集合X 不能含有A ∪B 之外的元素． 所以 当X 为集合{1, 6, 10, 16}的子集与集合{2, 4, 8}的并集时，Card(X △A)+Card(X △B)取到最小值4． 所以Card(X △A)+Card(X △B)的最小值 (Ⅲ)因为 A △B ＝{x|f A (x)⋅f B (x)＝−1}， 所以 A △B ＝B △A ．由定义可知：f A△B (x)＝f A (x)⋅f B (x)．所以 对任意元素x ，f （A△B ）△C (x)＝f A△B (x)⋅f C (x)＝f A (x)⋅f B (x)⋅f C (x)， f A△（B△C ）(x)＝f A (x)⋅f B△C (x)＝f A (x)⋅f B (x)⋅f C (x)．所以f（A△B）△C (x)＝fA△（B△C）(x)．所以(A△B)△C＝A△(B△C)．由(P△A)△(Q△B)＝A△B知：(P△Q)△(A△B)＝A△B．所以(P△Q)△(A△B)△(A△B)＝(A△B)△(A△B)．所以P△Q△⌀＝⌀．所以P△Q＝⌀，即P＝Q．因为P，Q⊆A∪B，所以满足题意的集合对(P, Q)的个数为27＝128．。

2012 数学一模 试题分类整合-------解析几何（19）（本小题满分13分）-------- 2012 海淀 一模已知椭圆:C 2222 1 (0)x y a b a b+=>>的右顶点(2,0)A ，离心率为2，O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P （异于点A ）为椭圆C 上一个动点，过O 作线段AP 的垂线l 交椭圆C 于点,E D ，求DE AP的取值围.解：（Ⅰ） 椭圆C 的方程为2214x y +=. （Ⅱ）当直线AP 的斜率为0时，||4AP =，DE 为椭圆C 的短轴，则||2DE =.所以||1||2DE AP =. 当直线AP 的斜率不为0时，设直线AP 的方程为(2)y k x =-，00(,)P x y ， 则直线DE 的方程为1y x k=-. 由 22(2),14yk x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得224[(2)]40x k x +--=. 即2222(14)161640k x k x k +-+-=. 所以202162.41k x k +=+20282.41k x k =+-所以 ||AP ==即 2||41AP k =+.类似可求||DE =所以22||||41DE AP k ==+设24,t k =+则224k t =-，2t >.22||4(4)1415(2).||DE t t t AP t t-+-==>令2415()(2)t g t t t -=>，则22415'()0t g t t+=>. 所以 ()g t 是一个增函数. 所以2||41544151||22DE t AP t -⨯-=>=. 综上，||||DE AP 的取值围是18.（本小题满分14分）----- 2012 西城 一模已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3F ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设直线5:2l y kx =-交椭圆C 于A ，B 两点，若点A ，B 都在以点(0,3)M 为圆心的圆上，求k 的值．（Ⅰ）解：依题意，点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为29C y x =-+．点B 的横坐标B x 满足方程290B x -+=，解得3B x =，舍去3B x =-．所以2211(||||)(223)(9)(3)(9)22C S CD AB y x x x x =+⋅=+⨯-+=+-+． 由点C 在第一象限，得03x <<．所以S 关于x 的函数式为 2(3)(9)S x x =+-+，03x <<．（Ⅱ）解：由 03,,3x x k <<⎧⎪⎨≤⎪⎩ 及01k <<，得03x k <≤．记2()(3)(9),03f x x x x k =+-+<≤， 则2()3693(1)(3)f x x x x x '=--+=--+．令()0f x '=，得1x =． ① 若13k <，即113k <<时，()f x '与()f x 的变化情况如下：x(0,1)1(1,3)k ()f x '+-()f x ↗ 极大值 ↘所以，当1x =时，()f x 取得最大值，且最大值为(1)32f =． ② 若13k ≥，即103k <≤时，()0f x '>恒成立， 所以，()f x 的最大值为2(3)27(1)(1)f k k k =+-． 综上，113k ≤<时，S 的最大值为32；103k <<时，S 的最大值为227(1)(1)k k +-19、（本小题共13分）------ 2012 东城 一模已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点()0,1，且离心率为2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）12,A A 为椭圆的左、右顶点，直线:l x =x 轴交于点D ，点P 是椭圆C 上异于12,A A 的动点，直线12,A P A P 分别交直线l 于,E F 两点.证明：DE DF ⋅恒为定值.（Ⅰ）解：由题意可知，，， 解得. 所以椭圆的方程为. （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知,1(2,0)A -，2(2,0)A .设00(,)P x y ，依题意022x -<<， 于是直线1A P 的方程为00(2)2y y x x =++，令x =，则002)2y y x =+.即002)2y DE x =+. 又直线2A P 的方程为00(2)2y y x x =--，令x =02)2y y x =-，即002)2y DF x =-.所以2200220000442)2)2244y y y y DE DF x x x x ⋅=⋅==+---， 又00(,)P x y 在上，所以220014x y +=,即，代入上式，C 1b=2c a =2a =2214x y +=2214x y +=220044y x =-得202414x DE DF x -⋅==-,所以为定值.19.（本题满分14分）-------- 2012 一模已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为1(F，2F ，点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(1,0)M 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点,设点(3,2)N ，记直线AN ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +为定值. 解:（Ⅰ）依题意，由已知得c =，222a b -=，由已知易得1b OM ==,解得a =则椭圆的方程为2213x y +=. (II) ①当直线l 的斜率不存在时，由 221, 13x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得1,3x y ==±. 设(1,3A，(1,3B -， 则122233222k k -++=+= 为定值②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入 2213x y +=整理化简，得 2222(31)6330k x k x k +-+-= 依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则 2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+. 又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-，所以1212122233y y k k x x --+=+--122112(2)(3)(2)(3)(3)(3)y x y x x x --+--=--12211212[2(1)](3)[2(1)](3)93()k x x k x x x x x x ---+---=-++||||DE DF ⋅11212121212122()[24()6]93()x x k x x x x x x x x -++-++=-++2212222222336122()[246]3131633933131k k x x k k k k k k k --++⨯-⨯+++=--⨯+++ 2212(21)2.6(21)k k +==+ 综上得12k k +为常数2.19.（本小题共14分）------- 2012 丰台 一模已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，且经过点(2,0)M -．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设斜率为1的直线l 与椭圆C 相交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，连接MA ，MB 并延长交直线x =4于P ，Q 两点，设y P ，y Q 分别为点P ，Q 的纵坐标，且121111P Qy y y y +=+．求△ABM 的面积．解：（Ⅰ）依题意2a =，2c a =，所以c = 因为222a b c =+，所以b = 椭圆方程为22142x y +=． （Ⅱ）因为直线l 的斜率为1，可设l ：y x m =+，则2224x y y x m⎧+=⎨=+⎩， 消y 得 2234240x mx m ++-=， 0∆>，得26m <． 因为11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以 1243mx x +=-，212243m x x -=．设直线MA ：11(2)2y y x x =++，则1162P y y x =+； 同理2262Q y y x =+． 因为121111P Qy y y y +=+，所以12121222666666x x y y y y +++=+， 即121244066x x y y --+=．所以 1221(4)(4)0x y x y -+-=，所以 1221(4)()(4)()0x x m x x m -++-+=， 1212122()4()80x x m x x x x m ++-+-=，224442()4()80333m m mm m -⋅+----=， 所以8803m--=， 所以1(m =-∈． 所以 1243x x +=，1223x x =-．设△ABM 的面积为S ，直线l 与x 轴交点记为N ，所以1212133||||||222S MN y y x x =⋅⋅-=⋅-== 所以 △ABM。

2012年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题．每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1．（5分）（2012•北京）已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=），}}2．（5分）（2012•北京）设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取B=44．（5分）（2012•北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）5．（5分）（2012•北京）如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E．则（）6．（5分）（2012•北京）从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数=6=6中选两个数字排在个位与十位，共有=637．（5分）（2012•北京）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）8+60+66+120+12=，=10=6．8．（5分）（2012•北京）某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（）二.填空题共6小题．每小题5分．共30分.9．（5分）（2012•北京）直线（t为参数）与曲线（α为参数）的交点个数为2．解：直线d=10．（5分）（2012•北京）已知﹛a n﹜是等差数列，s n为其前n项和．若a1=，s2=a3，则a2= 1．，，知，解得d==，d=11．（5分）（2012•北京）在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=4．，利用余弦定理可得﹣12．（5分）（2012•北京）在直角坐标系xOy中．直线l过抛物线y2=4x的焦点F．且与该抛物线相交于A、B两点．其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°．则△OAF的面积为．的方程为：，即代入抛物线方程，化简可得，或的面积为故答案为：13．（5分）（2012•北京）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为1．解：因为==114．（5分）（2012•北京）已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若同时满足条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．则m的取值范围是（﹣4，﹣2）．三、解答题公6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）（2012•北京）已知函数f（x）=．（1）求f（x）的定义域及最小正周期；（2）求f（x）的单调递增区间．sin）﹣）由，解得原函数的单调递增区间为16．（14分）（2012•北京）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．，，法向量为垂直，则，可求得2，法向量为∴∴，，∴，，法向量为∴垂直，则，17．（13分）（2012•北京）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a＞0，a+b+c=600．当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．（求：S2=[++…+]，其中为数据x1，x2，…，x n的平均数），因此有当正确的概率为率为，18．（13分）（2012•北京）已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；（2）当a2=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．，求导函式可得：．，设，解得：，，∴））﹣在在；＜﹣时，即（﹣时，最大值为19．（14分）（2012•北京）已知曲线C：（5﹣m）x2+（m﹣2）y2=8（m∈R）（1）若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；（2）设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N，直线y=1与直线BM交于点G．求证：A，G，N三点共线．则，从而可得，三点共线，只需证，，解得：，解得：，方程为：，，三点共线，只需证，20．（13分）（2012•北京）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s（m，n）为所有这样的数表构成的集合．对于A∈S （m，n），记r i（A）为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），C j（A）为A的第j列各数之和（1≤j≤n）；记K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，…，|Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值．（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2，2t+1），求K（A）的最大值．）首先构造满足是最大值即可．）的最大值为．的下面证明）的最大值为。

2012年北京高考数学（理科）逐题详解2012年北京高考数学（理）逐题详解北京新东方优能中学教育孟祥飞刘珅2012年的北京数学高考是高中新课改后的第三次高考，试卷延续了近几年高考数学命题的风格，题干大气，内容丰富，难度客观讲适中，和以往一样，其中8,14,20三个题技巧性较高，侧重考查学生的数学思维和探索精神。

试题重能力有亮点拿到试卷的第一感觉是亲切，大部分试题均注重考查基础知识、基本技能和基本方法,考查数学传统的主干知识，较好把握了传统知识的继承点和新增知识的起步点，但是有几个试题还是非常具有新意，难度不小，重点考察能力，给笔者留下了较深的印象：例如选择第2题，在不等式背景下考查了一个概率问题，还是非常具有综合性的。

选择第7题，常见的三视图问题，但是计算几何体的表面积，对空间想象力要求还是很高的。

填空题第13小题，难度虽然不大，但是综合性以及对于函数思想的要求都很高。

第16题，立体几何考查了一个折纸的问题，难度虽然不大，但是形式还是比较有亮点的，第三问考查利用空间向量列方程求解参数的问题.再比如17题以生活背景为模型考查了一个概率统计的知识，题目难度仍然不大，但是第三问非常有创新思维的让学生大胆猜想方差最大的情况，还是非常考查能力的，另外，从生活的角度命题，让学生体验数学的建模思想和应用价值，激发学生学习数学的兴趣，拓展视野，开展研究性学习，实现数学的人文教育功能.试题解析（一）、选择题：【解析】第（1）题和往年一样，依然是集合（交集）运算，本次考察的是一次和二次不等式的解法。

因为，利用二次不等式的解法可得，画出数轴图易得：，答案：D【解析】第（）题是一道微综合题，它涉及到的知识包括：线性规划，圆的概念和面积公式，概率。

题目中表示的区域如右图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方型面积减去四分之一圆的面积部分，因此，答案：D时，如果同时等于零，此时是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到，因此是必要条件。

13.（2012年海淀一模理13）如图，以ABC ∆的边AB 为直径的半圆交AC 于点D ，交BC 于点E ，EFAB 于点F ，3AF BF ，22BE EC ，那么CDE =，CD = .答案：60° 1311.（2012年西城一模理11） 如图，AC 为⊙O 的直径，OB AC⊥，弦BN 交AC 于点M ．若OC =1OM =，则MN =_____． 答案：1。

12．（2012年东城一模理12）如图，AB 是⊙O 的直径，直线DE 切⊙O 于点D ，且与AB 延长线交于点C ，若CD =，1CB =，则ADE ∠= ．答案：60。

FEDCBAABCOM N12．（2012年丰台一模理12）如图所示，Rt △ABC 内接于圆，60ABC ∠=，PA 是圆的切线，A 为切点， PB交AC 于E ，交圆于D ．若PA=AE ，PD=3，BD=33，则AP= ，AC= ． 答案：23，33.10.（2012年东城11校联考理10）如图，已知PA 是⊙O 的切线，A 是切点，直线PO 交⊙O 于,B C 两点，D 是OC 的中点，连结AD 并延长交⊙O 于点E ，若23,30PA APB =∠=︒，则AE = .答案：7710。

11.（2012年石景山一模理11）如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，CE 与圆相切交AB 延长线上于点E ，若22DF CF ==，::4:2:1AF FB BE =，则线段CE 的长为 ． 答案：7。

ED P CBABAEDFC3．（2012年房山一模理3）如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于,B C 两点，3,1PA PB ==，则ABC ∠=( B )A.70︒B.60︒C.45︒D.30︒12．（2012年密云一模理12）如图3所示，AB 与CD 是O 的直径，AB ⊥CD ，P 是AB 延长线上一点，连PC 交O 于点E ，连DE 交AB 于点F ，若42==BP AB ，则=PF ．答案：3。

考点51 几何证明选讲一、选择题1.（2012·北京高考理科·Ｔ5）如图，∠ACB=90º，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E.则( ) (A)CE ·CB=AD ·DB (B)CE ·CB=AD ·AB (C)AD ·AB=CD ² (D)CE ·EB=CD ²【解题指南】利用切割线定理及直角三角形中的射影定理求解.【解析】选A. CD AB ⊥，∴以BD 为直径的圆与CD 相切，∴2CD CE CB =⋅. 在Rt ABC ∆中，CD 为斜边AB 上的高，有2CD AD DB =⋅，因此，CE ·CB=AD ·DB. 二、填空题2.（2012·湖北高考理科·Ｔ15）如图，点D 在⊙O 的弦AB 上移动，AB=4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，则CD 的最大值为_____________.【解题指南】本题考查直线与圆的位置关系，解答本题的关键是利用直线与圆的位置关系，取AB 的中点，连OC ，把CD 表示出来.ADBEC【解析】取AB 的中点为E ，连接OE ，则CD ==CD 的最大值，则点D 与E 重合.可知结果为2. 【答案】23.（2012·陕西高考理科·Ｔ15）如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF DB ⊥，垂足为F ，若6AB =，1AE =，则DF DB ⋅= .【解题指南】围绕Rt △BDE 和圆的有关性质列出成比例线段.【解析】连接AD,因为6AB =，1AE =,所以BE=5, 所以2155DE AE BE =⋅=⨯=,在Rt △BDE 中,25DF DB DE ⋅==. 【答案】54. （2012·广东高考文科·Ｔ15）如图所示，直线PB 与圆O 相切于点B,D 是弦AC 上的点，PBA DBA ∠=∠.若AD=m,AC=n,则AB= .【解题指南】本题要注意利用圆的几何性质,判断出ABP ACB ABD ∠=∠=∠,从而证出ABD ACB ∆∆ ，这是解答此题的关键.【解析】由题意知ABP ACB ABD ∠=∠=∠，所以ABD ACB ∆∆ ,所以,AD AB AB AC =所以AB ==5.（2012·广东高考理科·Ｔ15）如图，圆O 的半径为1，A ，B ，C 是圆周上的三点，满足30ABC ∠=，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则PA=_____________.【解题指南】本小题要注意利用圆的几何性质.连接OA ，AC ，从而可得60AOC ∠=, AOC ∆为等边三角形，30PAC ∠=, PAC ∆为等腰三角形，并且AC=CP=1,到此问题基本得以解决.【解析】连接AO ，AC ，因为30ABC ∠= ,所以30CAP ∠= ,60,AOC AOC ∠=∆ 为等边三角形，则120,30,ACP APC ACP ∠=∴∠=∴∆为等腰三角形，且6.（2012·天津高考文科·Ｔ13）与（2012·天津高考理科·Ｔ13）相同 如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D ，过点C 作BD 的平行线，与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF=3，FB=1，32EF =，则线段CD 的长为_________.【解题指南】利用相交弦及切线的比例关系求解.【解析】设CD=x,则AD=4x,因为AF ·FB=CF ·FE,所以CF=2, 又3843CF AF BD BD AB ==⇒=,又【答案】43三、解答题7. （2012·辽宁高考文科·T22）与（2012·辽宁高考理科·T22）相同 如图，⊙O 和⊙/O 相交于,A B 两点，过A 作两圆的切线AP分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E.证明 (1)AC BD AD AB ⋅=⋅. (2)AC AE =.【解题指南】据弦切角等于圆周角，证明三角形相似，对应边成比例，证明等式.【解析】(1)由AC 与圆O '相切于点A ，得CAB ADB ∠=∠;同理，ACB DAB ∠=∠. 从而ACB ∆∽DAB ∆，所以AC ABAC BD AB BD AD BD=⇒⋅=⋅.（2）由AD 与圆O 相切于点A ，得AED BAD ∠=∠;又ADE BDA ∠=∠,从而EAD ∆∽ABD ∆，所以AE ADAE BD AB ADAB BD=⇒⋅=⋅，又由（1）知，，所以AC BD AE BD AC AE ⋅=⋅⇒=.8.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ22）与（2012·新课标全国高考理科· Ｔ22）相同如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点，若CF//AB ，证明：(1)CD=BC. (2)△BCD∽△GBD .【解题指南】（1）连接AF ，作为中间量过渡，证CD AF BC ==，证明时充分利用图形中出现的平行四边形.（2）利用图形中的平行四边形及等腰三角形关系，设法寻找△BCD 与△GBD 中的两组对应角相等，从而可得△BCD∽△GBD . 【证明】（1）因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以//DE BC ，又已知//CF AB ，故四边形BCFD 是平行四边形，所以CF BD AD ==.而//CF AD ，连结AF ，所以四边形ADCF 是平行四边形，故CD ＝AF. 因为//CF AB ，所以BC AF =，故CD BC =. （2）因为//,FG BC 故GB CF =. 由（1）可知BD CF =，所以GB BD =.所以∠BGD=∠BDG.又∠BDG=∠CBD ，CB=CD ，所以∠BGD=∠CBD=∠BDG=∠CDB ， 故BCD ∆∽GBD ∆.9. （2012·江苏高考·Ｔ21）如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，连接BD 并延长至点C ，使BD = DC ，连接AC ，AE ，DE ．求证：E C ∠=∠． 【解析】证明：连接OD ，因为BD ＝DC ，O 为AB 的中点， 所以OD//AC,于是ODB C ∠∠＝， 因为OB ＝OD ，所以ODB B ∠∠＝，于是∠B＝∠C.因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以E∠∠=∠.和B∠为同弧所对的圆周角，故E B＝，所以E C∠∠。

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、 选择题共8小题。

每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1.已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A∩B=A. （﹣∞，﹣1）B. （﹣1，﹣23）C.（﹣23,3） D. (3,+∞) 【考点】集合【难度】容易【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系。

在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。

在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。

2.设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是A . 4πB . 22π- C. 6π D. 44π- 【考点】概率【难度】容易【点评】本题考查几何概率的计算方法。

在高二数学（理）强化提高班，第三章《概率》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对概率相关知识的总结讲解。

3.设a ，b ∈R .“a =O ”是“复数a +b i 是纯虚数”的A .充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D .既不充分也不必要条件【考点】复数的计算【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。

在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。

在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。

4.执行如图所示的程序框图，输出S值为A. 2B. 4C. 8D. 16【考点】算法初步【难度】中等【点评】本题考查几何概率的计算方法。

在高二数学（理）强化提高班上学期，第一章《算法初步》有详细讲解，其中第02讲有完全相似的题目。

十七、几何证明选讲（选修4-1）
1.（2012年西城二模理11）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角 形，PA 是⊙O 的切线，PB 交AC 于点E ，交⊙O 于点D ．若
PA PE =，60ABC ︒∠=，1PD =，9PB =，则PA =_____；
EC =_____．
答案：3，4
2.（2012年朝阳二模理12）如图，AB 是圆O 的直径，CD AB ⊥于D ，且2AD BD =，E 为AD 的中点，连接CE 并延长交圆O 于F
．若
CD =AB =_______，EF =_________． 答案：3
3.（2012年丰台二模理11）如图所示，AB 是圆的直径，点C 在圆上，过点B ，C 的切线交于点P ，
AP 交圆于D ，若AB=2，AC=1，则PC=______，PD=______．
7。

4.（2012年昌平二模理12）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 切⊙O 于点D ，CA 切⊙O 于点A ，CD 交AB 的延长线于点E .若3AC =，
2ED =，则BE =________;AO =________.
答案：1，2
3。

P B
A
E
A
5.（2012年东城二模理12） 如图，直线PC 与 O 相切于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，4PC =，8PB =，则CE = ．
6.（2012年海淀二模理12）如图， 圆O 的直径AB 与弦CD 交
于点P ，7
, 5, 15
CP PD AP =
==，则=∠DCB ______. 答案：45°。

B。

2012年几何综合汇总1. （昌平）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，直线MN 经过点O ，设锐角∠DOC =∠ ，将△DOC 以直线MN 为对称轴翻折得到△D’OC’，直线A D’、B C’相交于点P ．（1）当四边形ABCD 是矩形时，如图1，请猜想A D’、B C’的数量关系以及∠APB 与∠α的大小关系； （2）当四边形ABCD 是平行四边形时，如图2，（1）中的结论还成立吗？（3）当四边形ABCD 是等腰梯形时，如图3，∠APB 与∠α有怎样的等量关系？请证明．2. （朝阳）在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB =2，AP =1，将三角板的直角顶点放在点P 处，三角板的两直角边分别能与AB 、BC 边相交于点E 、F ，连接EF ．（1）如图，当点E 与点B 重合时，点F 恰好与点C 重合，求此时PC 的长；（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E 与点A 重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：①∠PEF 的大小是否发生变化？请说明理由；②直接写出从开始到停止，线段EF 的中点所经过的路线长．备用图图3图2图1D CBANC'OMPD'CBAN C'O MPD'D'PM OC'N A BCD3. （大兴）已知：如图，N 、M 是以O 为圆心，1为半径的圆上的两点，B 是 MN上一动点（B 不与点M 、N 重合），∠MON=90°，BA ⊥OM 于点A ，BC ⊥ON 于点C ，点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点，GF 与CE 相交于点P ，DE 与AG 相交于点Q ． （1）四边形EPGQ （填“是”或者“不是”）平行四边形； （2）若四边形EPGQ 是矩形，求OA 的值； （3）连结PQ ，求223PQ OA 的值．4. （东城）已知∠ABC=90°，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），分别以AB 、AP为边在∠ABC 的内部作等边△ABE 和△APQ,连结QE 并延长交BP 于点F . （1）如图1，若AB =，点A 、E 、P 恰好在一条直线上时，求此时EF 的长（直接写出结果）； （2）如图2，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想EF 与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；（3）若AB =，设BP =，以QF 为边的等边三角形的面积y ，求y 关于的函数关系式．3232x x图1C 图2D A C B P 5. （房山）如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =，以点B 为圆心，以为半径作圆.⑴设点P 为☉B 上的一个动点，线段CP 绕着点C 顺时针旋转90°，得到线段CD ，联结DA ，DB ，PB ，如图2．求证：AD =BP ； ⑵在⑴的条件下，若∠CPB =135°，则BD =___________； ⑶在⑴的条件下，当∠PBC =_______° 时，BD 有最大值，且最大值为__________； 当∠PBC =_________° 时，BD 有最小值，且最小值为__________．6. （丰台）24．已知：△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA =BC ，DA =DE ，联结EC ，取EC 的中点M ，联结BM 和DM ． （1）如图1，如果点D 、E 分别在边AC 、AB 上，那么BM 、DM 的数量关系与位置关系是；（2）将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．52CB AEMM EABC D7. （海淀）24、在□ABCD 中，∠A=∠DBC ，过点D 作DE=DF ，且∠EDF=∠ABD ，连接EF 、EC ， N 、P 分别为EC 、BC 的中点，连接NP .（1）如图1，若点E 在DP 上，EF 与DC 交于点M ，试探究线段NP 与线段NM 的数量关系及∠ABD 与∠MNP 满足的等量关系，请直接写出你的结论；（2）如图2，若点M 在线段EF 上，当点M 在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M 的位置，并证明（1）中的结论.8. （门头沟）24.已知：在△ABC 中，BC =2AC ，∠DBC =∠ACB ，BD =BC ，CD 交线段AB 于点E ． （1）如图l ，当∠ACB =90°时，直接写出线段DE 、CE 之间的数量关系； （2）如图2，当∠ACB =120°时，求证：DE =3CE ；（3）如图3，在（2）的条件下，点F 是BC 边的中点，连接DF ，DF 与AB 交于G ，△DKG 和△DBG 关于直线DG 对称（点B 的对称点是点K ），延长DK 交AB 于点H ．若BH =10，求CE 的长.图2图1图 1ED ACB图 2EDACBF GKH图 3EDACB9. （密云）24．已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．（1）如图1，当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时，有BM DN MN +=．当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．10. （平谷）25.两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°， ∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F ． （1）求证：AF ＋EF =DE ；（2）若将图①中的DBE △绕点B 按顺时针方向旋转角α，且060α<<°°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出⑴中的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60180β<<°°，其它条件不变，如图③．你认为⑴中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由． 解：（1）证明：（2）结论：AF ＋EF =DE .(填成立还是不成立)11. （石景山）24．（1）如图1，在矩形ABCD 中，AB=2BC ，M 是AB 的中点．直接写出∠BMD 与∠ADM的倍数关系；（2）如图2，若四边形ABCD 是平行四边形， AB=2BC ，M 是AB 的中点，过C 作CE ⊥AD 与AD 所在直线交于点E ．①若∠A 为锐角，则∠BME 与∠AEM 有怎样的倍数关系，并证明你的结论； ②当︒<∠<︒A 0时，上述结论成立；当︒<∠≤︒180A 时，上述结论不成立．12. （顺义）25．问题：如图1，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，点D 是射线CB 上任意一点，△ADE 是等边三角形，且点D 在ACB ∠的内部，连接BE ．探究线段BE 与DE 之间的数量关系． 请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.（1）当点D 与点C 重合时（如图2），请你补全图形．由BAC∠的度数为，点E 落在，容易得出BE 与DE 之间的数量关系为；（2）当点D 在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE 与DE 之间的数量关系是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．DB CAABC (D )图3图2M D BA CEADC图1D EBCA13. （通州）25．已知四边形ABCD ，点E 是射线BC 上的一个动点（点E 不与B 、C两点重合），线段BE 的垂直平分线交射线AC 于点P ，联结DP ，PE. （1）若四边形ABCD 是正方形，猜想PD 与PE 的关系，并证明你的结论.（2）若四边形ABCD 是矩形，（1）中的PD 与PE 的关系还成立吗？（填：成立或不成立）.（3）若四边形ABCD 是矩形，AB =6，cos ∠ACD =35，设AP=x ，△PCE 的面积为y ,当AP>12AC 时，求y 与x 之间的函数关系式.14. （西城）24．已知：在如图1所示的锐角三角形ABC 中，CH ⊥AB 于点H ，点B 关于直线CH 的对称点为D ，AC 边上一点E 满足∠EDA =∠A ，直线DE 交直线CH 于点F ． (1) 求证：BF ∥AC ；(2) 若AC 边的中点为M ，求证：2DF EM ；(3) 当AB =BC 时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE 相等的线段，并证明你的结论．图1 图215. （延庆）24.如图1，已知：已知：等边△A BC ，点D 是边BC 上一点（点D 不与点B 、点C 重合），求证：BD+DC > AD下面的证法供你参考：把ACD ∆绕点A 瞬时间针旋转60得到ABE ∆，连接ED ， 则有ABE ACD ∆≅∆,DC=E B ∵AD=AE,60=∠DAE∴ADE ∆是等边三角形∴AD=DE在DBE ∆中，BD+EB > DE 即：BD+DC >AD实践探索：（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：如图2，点D 是等腰直角三角形△ABC 边上的点（点D 不与B 、C 重合），求证：BD+DC>2AD（2）如果点D 运动到等腰直角三角形△ABC 外或内时，BD 、DC 和AD 之间又存在怎样的数量关系？直接写出结论.创新应用：（3）已知：如图3，等腰△ABC 中， AB=AC ，且∠BAC=α（α为钝角）， D 是等腰△ABC 外一点，且∠BDC+∠BAC =180º， BD 、DC 与AD 之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明.CB D 图2 CB图1 C。

侧视图俯视图十六、空间几何体（必修二、选修2-1）4．（2012高考模拟文科）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ B ）A ．34000cm 3B ．38000cm 3C ．32000cmD ．34000cm9．（2012东城一模文科）已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是 . 答案：434．（2012丰台一模文科）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ B ）A .20-2πB .2203-π C .2403-π D .4403-π3．（2012石景山一模文科）设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列命题正确的是（ D ）A ．αα//,//,//n m n m 则若B ．βαγβγα//,,则若⊥⊥C ．n m n m //,//,//则若αα D ．n m n m ⊥⊥则若,//,αα正视图侧视图俯视图7．（2012石景山一模文科）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ A ） A．83+．83+C．83+D ．3233. （2012高考仿真文科）设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ B ）A ． 若α⊂⊥n n m ,，则α⊥mB ． 若m n m //,α⊥，则α⊥nC ． 若αα//,//n m ，则n m //D ． 若γβγα⊥⊥,，则βα// 12. （2012高考仿真文科）如图是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是38，则=a ____________________.答案： 25. （2012朝阳一模文科）关于两条不同的直线m ,n 与两个不同的平面α,β，下列命题正确的是 （ C ） A ．βα//,//n m 且βα//，则n m // B ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则m //nC ．βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥D ．βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //10. （2012朝阳一模文科）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .侧视图俯视图正视图正视图 侧视图（第10题图） 答案：326. （2012东城示范校二模文）给出下列命题：① 如果不同直线m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不相交； ② 如果不同直线m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定平行；③ 如果平面βα、互相平行，若βα⊂⊂n m ，直线直线，则m//n. ④ 如果平面βα、互相垂直，且直线m 、n 也互相垂直，若α⊥m 则β⊥n . 则真命题的个数是（ C ） A ．3B ．2C ．1D ．011. （2012东城示范校二模文）已知某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为 . 答案：32 3．（2012房山一模文科）一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为 ( A ) A ． 32 B ． 2 C ．4 D ． 58．（2012海淀一模文科）在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足'2PA PC +=的点P 的个数为（ B ）A ．4B ． 6C ． 8D ． 12A'D'ABCD12．（2012海淀一模文科）已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是 ，左视图的面积是 .323．（2012门头沟一模文科）己知某几何体的三视图如右图所示，则其体积为（ A ） A ．4B ． 8C ．43D ．13．（2012密云一模文科）已知α，β是平面，m ，n 是直线，给出下列命题 ①若α⊥m ，β⊂m ，则βα⊥．②若α⊂m ，α⊂n ，m β ，n β ，则αβ ． ③如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交． ④若m αβ= ，n ∥m ，且βα⊄⊄n n ,，则n ∥α且n ∥β．其中正确命题的有 .（填命题序号） ①④ 答案：①④4. （2012师大附文科）若某空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是（ C ）俯视图主视图左视图俯视图A.32 B.34 C. 2 D. 66. （2012师大附文科）下列命题中（ B ）①三点确定一个平面；②若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则该直线与平面垂直； ③同时垂直于一条直线的两条直线平行；④底面边长为2，侧棱长为5的正四棱锥的表面积为12。

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）【试卷总评】2012年的北京数学高考是高中新课改后的第三次高考，试卷延续了近几年高考数学命题的风格，题干大气，内容丰富，难度客观讲适中，和以往一样，其中8,14,20三个题技巧性较高，侧重考查学生的数学思维和探究精神。

拿到试卷的第一感觉是亲切，大部分试题均注重考查基础知识、基本技能和基本方法，考查数学传统的主干知识，较好的把握了传统知识的继承点和新增知识的起步点，但是有几个试题还是非常具有新意，难度不小，重点考查能力，给考生留下了较深的印象。

本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合={x R|3x+2>0}A∈，B={x R|(x+1)(x-3)>0}∈，则A B=（）A．(,1)-∞- B．2(1,)3--C．2(,3)3-D．(3,)+∞2.设不等式0202xy≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点3.设,a b R∈，“0a=”是“复数a bi+是纯虚数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．从0,2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24B. 18C. 12D. 6【考点定位】本题是排列组合问题，属于传统的奇偶数排列的问题，解法不唯一，需先进行良好的分类之后再分步计算，该问题即可迎刃而解。

7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）A ．2865+B ．3065+C ．56125+D ．60125+8．某棵果树前n 年的总产量nS 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2012年普通高等学校招生全国统一考试 数学 （理）（北京卷）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}320A x x =∈+>R {}(1)(3)0B x x x =∈+->R 则A B = ( ) A ．(,1)-∞- B ．2(1,)3-- C ．2(,3)3- D ．(3,)+∞【测量目标】集合间的基本运算,（交集）.【考查方式】给出两个集合，解出不等式表示的集合，求出交集. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】2{|}3A x x =>-，利用二次不等式的解法可得{}|31B x x x =><-或，画出数轴易得{}|3A B x x => .2. 设不等式组0202x y⎧⎨⎩剟剟表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ( ) A ．π4 B ．π22- C ．π6 D ．4π4-【测量目标】判断不等式组表示的平面区域与几何概率的综合运用. 【考查方式】运用线性规划知识求几何概率. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】题目中0202xy⎧⎪⎨⎪⎩剟剟表示的区域表示正方形区域，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此2122π24π4224P ⨯-⨯-==⨯，故选D. 3.设,a b ∈R , “0a =”是“复数a b +i 是纯虚数”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 【测量目标】复数的概念，充分、必要条件. 【考查方式】将虚数与充分必要条件结合考查.【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】当0a =时，如果0b =，此时i 0a b +=是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果i a b +已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到0a =，因此是必要条件，故选B.4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ( ) A.2 B.4 C.8D.16第4题图【测量目标】循环结构的程序框图. 【考查方式】给出程序框图直接考查. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】0,11,12,23,8k s k s k s k s ==⇒==⇒==⇒==， 循环结束，输出的S 为8，故选C.5.如图，∠ACB =90，CD ⊥AB 于点D ,以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则 （ ）第5题图A .CE CB =AD DB B.CE CB =AD ABC .AD AB =2CD D .CE EB =2CD 【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】给出三角形和圆的位置关系，通过条件求解. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由切割线定理可知2CE CB CD = ，在直角ABC △中90,ACB CD AB ∠=⊥，则由射影定理可知2CD AD DB = ，所以CE CB AD DB =. 6.从0,2 中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 （ ） A ．24 B ．18 C ．12 D ．6 【测量目标】排列组合及其应用.【考查方式】选择数字进行排列，判断奇偶性. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析3种选择，之后二位，有2种选择，最后百位2种选择，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有一种选择，共6种，因此总共12618+=种，选B. 7. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 （ ）第7题图A ．28+B ．30+C ．56+D ．60+【测量目标】由三视图求几何体的表面积. 【考查方式】给出三视图，直接求表面积. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和.利用垂直关系和三角形面积公式，可得：10,10,10,S S S S ====后右左底因此该几何体表面积30S =+，故选B.8. 某棵果树前n 年得总产量n S 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（ ）第8题图A ．5B ．7C ．9D ．11 【测量目标】 函数图象的应用.【考查方式】给出函数图象，判断变化规律. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C.第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.直线2,1x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与曲线3cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）的交点个数为 .【测量目标】直线和圆的位置关系.【考查方式】给出直线和曲线的参数方程，通过转化为普通方程求解. 【难易程度】中等 【参考答案】2【试题解析】直线转化为1x y +=，曲线转化为圆229x y +=，将题目所给的直线和圆图形作出，易知有两个交点.10.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若112a =，23S a =，则2a = . 【测量目标】等差数列的通项.【考查方式】给出前2项和与数列第三项的关系及首项求数列第二项. 【难易程度】容易 【参考答案】1【试题解析】23S a = ，所以111211212a a d a d d a a d ++=+⇒=⇒=+=. 11.在ABC △中，若2a =，7bc +=，1cos 4B =-，则b = . 【测量目标】余弦定理的运用.【考查方式】给出三角形部分边角值，求另一边. 【难易程度】中等【参考答案】4【试题解析】在△ABC 中，得用余弦定理22214()()47()cos 2444a c b c b c b c b B ac c c+-++-+-=⇒-==，化简得8740c b -+=，与题目条件7b c +=联立，可解得4,3b c ==，答案为4.12.在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F,且与该抛物线相交于A 、B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60，则OAF △的面积为 . 【测量目标】抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系.【考查方式】通过直线与抛物线的位置关系，求三角形面积. 【难易程度】中等【试题解析】由24y x =，可求得焦点坐标为(1,0)F ，因为倾斜角为60，所以直线的斜率为tan60k ==y =21(,334y A B y x⎧=⎪⇒-⎨⎪=⎩，因此11122OAF AS OF y =⨯⨯=⨯⨯△13.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB的值为 ； DE DC的最大值为 .【测量目标】平面向量在平面几何中的运用.【考查方式】将最值问题，向量的数量积与平面几何结合起来考查. 【难易程度】中等 【参考答案】1,1【试题解析】根据平面向量的点乘公式||||cos DE CB DE DA DE DA θ==，可知||cos ||DE DA θ= ，因此2||1DE CB DA == ；||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα==，而||cos DE α就是向量DE 在DC 边上的射影，要想让DE DC 最大，即让射影最大，此时E 点与B 点重合，射影为||DC，所以长度为1.14.已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-.若同时满足条件：①,()0x f x ∀∈<R 或()0g x <；②(,4)x ∃∈-∞- ，()()0f x g x <. 则m 的取值范围是 .【测量目标】指数函数的性质，二次函数的性质. 【考查方式】将指数函数与二次函数综合考查. 【难易程度】较难 【参考答案】（4,2)--【试题解析】根据()2201xg x x =-<⇒<，由于题目中第一个条件的限制，导致()f x 在1x …时必须是()0f x <，当0m =时，()0f x =，不能做到()f x 在1x …时，()0f x <，所以舍去，因此()f x 作为二次函数开口只能向下，故0m <，且此时2个根为122,3x m x m ==--，为保证条件成立，只需121212314x m m x m m ⎧=<<⎧⎪⎪⇒⎨⎨=--<⎪⎪⎩>-⎩，和大前提0m <取交集结果为40m -<<，又由于条件2的限制，可分析得出(,4),()x g x ∃∈-∞-恒负，因此就需要在这个范围内()f x 有取得正数的可能，即4-应该比12,x x 两个根中较小的根大，当(1,0)m ∈-时，34m --<-，解得交集为空，舍去.当1m =-时，两个根同为24->-，也舍去，当(4,1)m ∈--时，242m m <-⇒<-，综上所述(4,2)m ∈--.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题13分） 已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.（1）求()f x 的定义域及最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间.【测量目标】三角函数的定义域、周期、单调性. 【考查方式】给出三角函数关系式，通过化简求解. 【难易程度】容易 【试题解析】(sin cos )sin 2()sin x x x f x x -==(sin cos )2sin cos sin x x x xx-=2(sin cos )cos x x x-sin 21cos 2x x =--π)14x --，{|π}x x k k ≠∈Z ,(步骤1)(1) 原函数的定义域为{|π,}x x k k ≠∈Z ，最小正周期为π；（步骤2） (2) 由πππ2π22π+,242k x k k --∈Z 剟.解得π3πππ,,88k x k k -+∈Z 剟又{|π,}x x k k ≠∈Z ,原函数的单调递增区间为π[π,π)8k k k -+∈Z ，3π(π,π]8k k k +∈Z .（步骤3） 16. （本小题14分）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90，BC =3，AC =6，D,E 分别是AC ，AB 上的点， 且DE ∥BC ，DE =2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2.（1）求证：A 1C ⊥平面BCDE;（2）若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；（3）线段BC 上是否存在点P ,使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由.图1 图2第16题图【测量目标】平面图形的折叠问题、立体几何中的探索问题. 【考查方式】通过图形折叠考查线面之间的综合问题. 【难易程度】中等【试题解析】（1）证明 CD DE ⊥，1A D DE ⊥又1CD A D D =∴DE ⊥平面1ACD ， 又 1AC ⊂平面1ACD ， ∴1AC ⊥DE 又1AC CD ⊥，CD DE D = ∴1AC ⊥平面BCDE .（步骤1） （2）如图建空间直角坐标系C xyz -，则()200D -，，，(100A ，，，()030B ，，，()220E -，，，(0,0,0)C .∴(103A B =-，，,(122A E =-- ，，设平面1A BE 法向量为()x y z =，，n ，则 1100A B A E ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n∴30220y x y ⎧-=⎪⎨---=⎪⎩∴(22z y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩步骤）∴(12=-，n又∵(10M -，∴(10CM =-，∴cos 2||||CM CM θ==== n n ∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45（步骤3）第16题图（3）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为()00a ，，，则[]03a ∈，则(10A P a =- ，，，()20DP a = ，， 设平面1A DP 法向量为()1111x y z =，，n ，则1111020ay x ay ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩∴111112z x ay⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()1(436a =-步骤），n 假设平面1A DP 与平面1ABE 垂直，则10= n n ，∴31230a a ++=，612a =-，2a =-∵03a剟 ∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直（步骤5）. 17.（本小题13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ，其中0a >，600a b c ++=.当数据,,a b c 的方差2S 最大时，写出,,a b c 的值（结论不要求证明），并求此时2S 的值. （注：方差2222121[()()()]n S x x x x x x n=-+-++- ，其中x 为12,,n x x x 的平均数） 【测量目标】概率与方差【考查方式】通过实际生活背景考查简单的概率与方差的运用 【难易程度】中等【试题解析】（1）由题意可知：40026003=(步骤1)（2）由题意可知：20060403100010++=（步骤2）（3）由题意可知：22221(120000)3S a b c =++-，因此有当600a =，0b =，0c =时有280000S =．（步骤3）18.（本小题13分）已知函数2()1f x ax =+（0a >），3()g x x bx =+.（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求,a b 的值； （2）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(,1)-∞-上的最大值. 【测量目标】利用导数求函数单调区间及最值.【考查方式】给出两个函数式，通过导数求最值及区间. 【难易程度】较难【试题解析】（1）由1c （，）为公共切点可得：2()1(0)f x ax a =+>，则()2f x a x '=，12k a =，3()g x x bx =+，则2()=3g x x b '+，23k b =+，∴23a b =+①（步骤1）又(1)1f a =+，(1)1g b =+，∴11a b +=+，即a b =，代入①式可得：33a b =⎧⎨=⎩．（步骤2）（2） 24a b =，∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++ 则221()324h x x ax a '=++，令()0h x '=，解得：12a x =-，26ax =-；0a >，∴26a a-<-，∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增，在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减，在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增（步骤3）①若12a--≤，即2a ≤时，最大值为2(1)4a h a =-；②若126a a -<-<-，即26a <<时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③若16a --≥时，即6a ≥时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 综上所述：当(]02a ∈，时，最大值为2(1)4a h a =-；当()2,a ∈+∞时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（步骤4） 19.（本小题14分）已知曲线C : 22(5)(2)8()m x m y m -+-=∈R (1)若曲线C 是焦点在x 轴的椭圆，求m 的范围；(2)设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A ,B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M ,N ,直线1y =与直线BM 交于点G 求证：A ,G ,N 三点共线. 【测量目标】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.【考查方式】给出曲线方程，通过条件判断运用几何性质求解. 【难易程度】中等【试题解析】（1）原曲线方程可化简得：2218852x ym m +=--，由题意可得：8852805802m m m m ⎧>⎪--⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪-⎩，解得：75.2m <<（步骤1）（2）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=，2=32(23)0k ∆->，解得：232k >. 由韦达定理得：21621M N k x x k +=-+①，22421M N x x k =+，②（步骤2） 设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(1)G G x ，MB 方程为：62M M kx y x x +=-，则316M M x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，（步骤3）∴316MM x AG x k ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，，()2N N AN x x k =+ ，，欲证A G N ，，三点共线，只需证AG ，AN共线即3(2)6MN N M x x k x x k +=-+成立，化简得：(3)6()M N M N k k x x x x +=-+将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证.（步骤4） 20.（本小题13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零.记(,)S m n 为所有这样的数表构成的集合.对于(,)A S m n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之和1i m 剟，()j c A 为A 的第j 列各数之和1jn 剟；记()k A 为1|()|r A ，2|()|r A ，…，|()|m r A ，1|()|c A ，2|()|c A ，…，|()|n c A 中的最小值. （1）对如下数表A ,求()k A 的值；（2）设数表A ∈(2,3)S 形如求()k A 的最大值；（3）给定正整数t ，对于所有的A ∈S (2，21t +),求()k A 的最大值.【测量目标】合情推理.【考查方式】通过设定的条件分析判断. 【难易程度】较难【试题解析】（1）由题意可知()1 1.2r A =，()2 1.2r A =-，()1 1.1c A =，()20.7c A =，()3 1.8c A =-∴()0.7k A =（步骤1）（2）先用反证法证明()1k A …：若()1k A > 则()1|||1|11c A a a =+=+>，∴0a >同理可知0b >，∴0a b +>，由题目所有数和为0，即1a b c ++=-∴11c a b =---<-与题目条件矛盾∴()1k A ≤．易知当0a b ==时，()1k A =存在∴()k A 的最大值为1.（步骤2）（3）()k A 的最大值为212t t ++. 首先构造满足21()2t k A t +=+的,{}(1,2,1,2,...,21)i j A a i j t ===+： 1,11,21,1,11,21,211...1, (2)t t t t t a a a a a a t +++-========-+， 22,12,22,2,12,22,211...,...1(2)t t t t t t a a a a a a t t +++++========-+. 经计算知，A 中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且 1221|()||()|2t r A r A t +==+， 2121121|()||()|...|()|11(2)22t t t t t c A c A c A t t t t ++++====+>+>+++， 1221121|()||()|...|()|122t t t t t c A c A c A t t +++-+====+=++.（步骤3） 下面证明212t t ++是最大值. 若不然，则存在一个数表(2,21)A S t ∈+，使得21()2t k A x t +=>+. 由()k A 的定义知A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于x ，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间[,2]x 中. 由于1x >，故A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于1x -.（步骤4）设A 中有g 列的列和为正，有h 列的列和为负，由对称性不妨设g h <，则,1g t h t +剠. 另外，由对称性不妨设A 的第一行行和为正，第二行行和为负.考虑A 的第一行，由前面结论知A 的第一行有不超过t 个正数和不少于1t +个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于1x -（即每个负数均不超过1x -）. 因此()11|()|()1(1)(1)21(1)21(2)r A r A t t x t t x x t t x x =++-=+-+=++-+< …， 故A 的第一行行和的绝对值小于x ，与假设矛盾. 因此()k A 的最大值为212t t ++ （步骤5）。