2012高考数学几何证明选讲
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几何证明选讲
一、知识精要
截得的线段也相等。
它们在斜边上射影与斜边的比例中项。
90°的圆周角所对的弦是直径。
圆内接四边形判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆。
切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
相等。
的比例中项。
两条切线的夹角。
二、试题解析
一、 选择题
例1.(2012北京、理科)如图. ∠ACB=90º,CD ⊥AB 于点
D ,以BD 为直径的圆与BC 交于点E.则( ) A. C
E ·CB=AD ·DB B. CE ·CB=AD ·AB C. AD ·AB=CD ² D.CE ·EB=CD ²
二、填空题
例1.(2012全国、文科)如图,已知AB 和AC 是圆的两条弦,过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于D .过点C 作BD 的平行线与圆交于点E ,与AB 相交于点
F ,3AF =,1FB =,3
2
EF =
,则线段CD 的长为 .
【解析】如图连结BC ,BE ,则∠1=∠2,∠2=∠A
1A ∠=∠∴,又∠B=∠B ,CBF ∆∴∽ABC ∆,
AC
CF
AB CB BC BF AB CB =
=∴
,,代入数值得BC=2,AC=4,又由平行线等分线段定理得FB
AF
CD AC =
,解得CD=34. 【答案】3
4
例2.(2012湖南、理科)如图2,过点P 的直线与圆O 相交于A ,B 两点.若PA=1,AB=2,PO=3,则圆O 的半径等于_______.
。
例3.(2012天津、理科)如图,已知AB 和AC 是圆的两条弦.过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D,过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E,与AB 相交于点F ,=3AF ,=1FB ,
3
=
2EF ,则线段CD 的长为 . 【解析】4
3
F
G
练习题
1.(2012湖北、理科)
如图,点D 在⊙O 的弦AB 上移动,AB=4,连接OD ,过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ,则CD 的最大值为_____________。
答案:2
2.(2012陕西、文理科)如图,在圆O 中,直径AB 与弦CD 垂直,垂足为E ,EF DB ⊥,垂足为F ,若6AB =,1AE =,则DF DB ⋅= 5 。
三、解答题
例1(2012年全国新课标卷)如图,D ,E 分别为△ABC 边AB ,
AC 的中点,直线DE 交△ABC 的外接圆于F ,G 两点,若CF//AB ,证明:
(Ⅰ)CD=BC ;
(Ⅱ)△BCD∽△GBD
例2.(2012辽宁、文理科)如图,⊙O 和⊙/
O 相交于,A B 两点,过A 作两圆的切线分别交两圆于C ,D 两点,连接DB 并延长交⊙O 于点E 。证明 (Ⅰ)AC BD AD AB ⋅=⋅; (Ⅱ) AC AE =。
例3.(2012江苏、理科)如图,AB 是圆O 的直径,D ,E 为圆上位于AB 异侧的两点,连结
BD 并延长至点C ,使BD = DC ,连结AC ,AE ,DE .
求证:E C ∠=∠.