方位角解决实际问题

人教版数学七年级上册《方位角》教学设计一. 教材分析《方位角》是人教版数学七年级上册的一章内容，主要介绍了方位角的概念、计算方法及其应用。

本章内容是学生学习平面几何的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

本节课的教学内容主要包括方位角的定义、计算方法以及如何利用方位角解决实际问题。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力，他们对平面几何的概念和性质有一定的了解。

但是，对于方位角这一概念，学生可能较为陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。

此外，学生可能对于如何将方位角应用于实际问题中存在一定的困难，需要教师的引导和启发。

三. 教学目标1.理解方位角的定义，掌握方位角的计算方法。

2.能够运用方位角解决实际问题，提高空间想象能力和逻辑思维能力。

3.培养学生的合作意识和交流能力，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.方位角的定义和计算方法。

2.如何将方位角应用于实际问题中。

五. 教学方法1.采用情境教学法，通过实例引入方位角的概念，激发学生的兴趣和好奇心。

2.采用讲解法，引导学生理解方位角的定义和计算方法。

3.采用练习法，让学生通过实际问题巩固所学知识。

4.采用小组合作交流法，培养学生的合作意识和交流能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作方位角的教学课件，包括图片、实例和练习题。

2.教学道具：准备一些实际物品，如木棍、绳子等，用于展示方位角的概念和计算方法。

3.练习题：准备一些有关方位角的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入方位角的概念，如描述一个物体在另一个物体的哪个方向上，以及距离有多远。

引导学生思考如何计算方位角。

2.呈现（10分钟）讲解方位角的定义和计算方法，结合课件和实物道具进行展示。

让学生通过观察和操作，理解方位角的计算过程。

3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，运用方位角解决实际问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

ABCDE F12 3【例1】 如图，90C DEB ∠=∠=︒，FB // AC ，从A 看D 的仰角是______；从B 看D 的俯角是______；从A 看B 的______角是______；从D 看B 的______角是______．【难度】★【答案】2∠；3∠；仰；1∠；仰；3∠． 【解析】考查仰角、俯角的基本定义．【例2】 升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼．当国旗升至旗杆顶端时，该 同学视线的仰角为30°．若双眼离地面1.5米，则旗杆的高度为______米．（用含根号的式子表示）【难度】★ 【答案】2338+． 【解析解：如图所示，AB 为旗杆，CD 为某同学． 则24==CA DE ，5.1==AE CD ，30BDE ∠=︒，在BDE Rt △中，DE BEBDE =∠tan ，∴2433BE=， ∴38=BE ，∴2338+=+=EB AE AB ． 【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角的理解．例题解析ABC D 【例3】 如图，两建筑物水平距离为a 米，从点A 测得点C 的俯角为α，测得点D 的俯角 为β，则较低建筑物CD 的高为（ ）A ．a 米B ．（tan a αg ）米C ．tan a α米D ．(tan tan )a αβ-米【难度】★ 【答案】D【解析】过C 作CE ⊥AB ，垂足为E ． 由题意有：a BD CE ==，α=∠ACE ，β=∠ADB 在ACE Rt △中，CE AE ACE =∠tan ， ∴αtan a AE =在ABD Rt △中，BDABADB =∠tan ， ∴βtan a AB =∴()βαβαtan tan tan tan -=-=-==a a a AE AB BE DC【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对俯角的理解．【例4】 如图，河对岸有一座铁塔AB ，若在河这边C 、D 处分别用测角仪器测得顶部A 的仰角为30°、45°，已知CD = 30米，求铁塔的高．（结果保留根号）【难度】★★ 【答案】15315+．【解析】解：由题意可得：︒=∠30ACB ，︒=∠45ADB ． 设x AB =，则x BD =，在ABC Rt △中，BC AB ACB =∠tan ，∴3330=+x x ，解得：15315-=x ． 【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角的理解．AB CDEABCDAB CDE【例5】 如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为60°，看这栋高楼 底部的俯角为30°，热气球与高楼的水平距离为120m ，请问：这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m ）【难度】★★ 【答案】277.1米．【解析】解：由题意可得：︒=∠60BAD ，︒=∠30CAD ，120=AD在ABD Rt △中，AD BDBAD =∠tan ，∴1203BD=，∴3120=BD ． 在ACD Rt △中，AD CDCAD =∠tan ，∴12033CD=，∴340=CD ． ∴1.27731603403120≈=+=+=CD BD BC【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角、俯角的理解和运用．【例6】 如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD ，甲、乙两人分别在相距8米的A 、B 两处 测得点D 和点C 的仰角为45°和60°，且A 、B 、E 三点在一条直线上，若BE = 15米，3 1.73≈，计算结果保留整数）【难度】★★ 【答案】3【解析】解：由题意可得：︒=∠60CBE ，︒=∠45ADE ，在CBE Rt △中，BE CECBE =∠tan ，∴153CE=，∴315=CE 在AED Rt △中，AEDEDAE =∠tan ，∴1581+=DE，∴23=DE ． ∴323315≈-=-=ED EC CD ．【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角的理解和运用．【例7】 某高层建筑物图中AB 所示，小明家住在高层建筑物附近的“祥和”大厦（图中 CD 所示），小明想利用所学的有关知识测量出高层建筑物AB 的高度．他先在自己家 的阳台（图中的Q 点）测得AB 的顶端（点A ）的仰角为37°，然后来到楼下，由于附 近建筑物影响测量，小明向AB 方向走了84米，来到另一座高楼的底端（图中的点P 处），测得点A 的仰角为45°．已知点C 、P 、B 在一条直线上，小明家的阳台距地面60米，请你画出示意图，并根据上述信息求出AB 的高度．（参考数据：sin370.6︒=，cos370.8︒=，tan370.75︒=） 【难度】★★★ 【答案】492米．【解析】过Q 作AE ⊥AB ，垂足为E ． 解：由题意可得：︒=∠37AQE ，︒=∠45APB ， 60=CQ ，84=PC ．设x BA =，则x PB = 在AQE Rt △中，QEAEAQE =∠tan ， ∴xx+-=846075.0，∴492=x ．【总结】本题综合性较强，需要认真分析题目中的条件，然后利用锐角三角比解决实际问题．ABC D P QE【例8】 如图，为某小区的两幢10层住宅楼，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第 10层，每层的高度为3米，两楼间的距离AC = 30米．现需了解在某一时间段内，甲 楼对乙楼采光的影响情况．假设某一时刻甲楼楼顶B 落在乙楼的影子长EC = h ，太阳光线与水平线的夹角为α．（1）用含α的式子表示h ；（2）当α= 30°时，甲楼楼顶B 的影子落在乙楼的第几层？从此时算起，若α每小时增加10°，约几小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光．（结果精确到0.01）【难度】★★★【答案】(1)αtan 3030-=h ；（2）第4层，6小时．【解析】解：(1)由题意可得：30103=⨯=AB ． 过E 作FE ⊥AB ，垂足为F ．在BEF Rt △中，EFFBBEF =∠tan ，∴tan 30FBα=，∴αtan 30=BF ．∴αtan 3030-=-==AF AB AF EC ． （2）如图2，30==AC AB ， ∴︒=∠45BCA∵若α每小时增加10°， ∴()5.1103045=÷-．∴需要1.5小时才能从30°到90°．【总结】本题综合性较强，需要认真分析题目中的条件，然后利用锐角三角比解决实际问题．BD甲 楼乙 楼太阳光EF北北偏东30°南偏西45°北偏西70°南偏东50°30° 70° 45° 50°1、 方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角． 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°．【例9】 如果由点A 测得点B 在北偏东15°的方向，则由B 测点A 的方向为（ ）A ．北偏东15°B ．北偏西75°C ．南偏西15°D ．南偏东75°【难度】★ 【答案】B【解析】考查方向角的定义．【例10】 如图，小明从A 地沿北偏东30°方向走1003米到B 地，再从B 地向正南方向走200米到C 地，此时小明离A 地_____米．【难度】★ 【答案】100．【解析】解：由题意可知：︒=∠30ABD在ADB Rt △中，AB ADABD =∠cos ，∴310033BD =，∴150=BD ，35022=-=DB AB AD ． 知识精讲例题解析A BC东南西D∴50150200=-=-=BD BC CD ．∴10022=+=CD AD AC ．【总结】本题主要考查对方位角的准确理解和运用．【例11】 如图，一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B 地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距（ ） A ．30海里 B ．40海里C ．50海里D ．60海里【难度】★ 【答案】B【解析】解：∵AB BC =，︒=∠60ABC ∴ABC △为等边三角形．∴40=AC ．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【例12】 在位于O 处某海防哨所的北偏东60°相距6海里的A 处，有一艘快艇正向正南方向航行，经过一段时间快艇到达哨所东南方向的B 处，则A 、B 间的距离是______海里．（精确到0.1海里，2 1.414≈，3 1.732≈）【难度】★★ 【答案】5.5．【解析】解：由题意可知：6=OA ，︒=∠30AOC ，︒=∠45BOC在AOC Rt △中，AO ACAOC =∠sin ，∴216=AC ，∴3CA =，3322=-=AC AO OC ． ∴33==CO BC ．∴5.5333≈+=+=BC AC AB ．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．北 北 ABC【例13】 如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B 处，请问，此时，海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远？（精确到0.01海里，cos250.91︒≈，sin340.559︒≈）【难度】★★ 【答案】130.23．【解析】解：在APC Rt △中，APPCAPC =∠cos ， ∴8091.0PC=，∴8.72=PC 在BPC Rt △中，BPPCCBP =∠sin ，∴BP8.72559.0=，∴23.130=PB ． 【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【例14】 如图，A 、B 为湖滨的两个景点，C 为湖心一个景点．景点B 在景点C 的正东方向，从景点A 看，景点B 在北偏东75°方向，景点C 在北偏东30°方向．一游客自景 点A 驾船以20米/分的速度行驶了10分到达景点C ，之后又以同样的速度驶向景点B ，该游客从景点C 到景点B 需用多长时间？（tan75 3.732︒≈，精确到1分）【难度】★★ 【答案】27分．【解析】过A 作AD ⊥BC 的延长线于D ． 由题意可得：︒=∠75BAD ，︒=∠30DAC ，2002010=⨯=AC ．在ADC Rt △中，ACDCCAD =∠cos ， ∴20023AD=，∴3100=AD ，100=DC 在ABD Rt △中，DABDBAD =∠tan ，∴3100732.3BD=，∴32.373=DB∴3824.64610032.373≈-=-=CD BD BC东南西北ABPCABC东北D∴2731.27203824.646≈==t ．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【例15】 如图，某船以36海里/时的速度向正东方向航行，在点A 测得某岛C 在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B ，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．（1）试说明点B 是否在暗礁区域外？（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由． 【难度】★★【答案】（1）B 在暗礁区外；（2）有危险． 【解析】解：（1）由题意可得：︒=∠30CAB ，︒=∠60CBD ，182136=⨯=AB ．∴︒=︒-︒=∠-∠=∠303060CAB CBD ACB ， ∴ACB CAB ∠=∠ ∴1618>==BC AB∴B 在暗礁区外．（2）在BDC Rt △中，BCDCBCD =∠cos ， ∴1823CD=，∴16188.1539<≈=CD∴若继续向东航行有触礁危险．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，注意在触礁问题中的最小距离指的是垂直距离．东A B CD【例16】 如图，AC 是某市环城路的一段，AE 、BF 、CD 都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分别是A 、B 、C ．经测量，花卉世界D 位于点A 的北偏东45°方向、点B 的北偏东30°方向上，AB = 2千米，15DAC ∠=︒．（1）求B 、D 之间的距离； （2）求C 、D 之间的距离． 【难度】★★【答案】（1）2；（2）332． 【解析】解：(1)由题意得：︒=∠45EAD ， ︒=∠30DBF ．∵FB AE ∥∴︒=∠=∠60EAB FBC ∴︒=∠30DBC ∵15DAC ∠=︒ ∴︒=∠15ADB ∴DAB ADB ∠=∠∴2==AB BD(2)∵CD AE ∥ ∴︒=∠=∠45ADC EAD ∴︒=∠30BDC过C 作CG ⊥BD ，垂足为G 在GDC Rt △中，DCDGBDC =∠cos ， ∴CD123=，∴332=CD ．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，要注意认真分析题意．ABCDE F和平路 文化路中山路G11 / 32【例17】 如图，甲、乙两只捕捞船同时从A 港出海捕鱼，甲船以每小时152千米的速度沿北偏西60°的方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进，甲船航行2 小时到达C 处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船加快速度（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B 处相遇．（1） 甲船从C 处追赶上乙船用了多少时间？（2） 求甲船加快速度后，追赶乙船时的速度？（结果保留根号） 【难度】★★★【答案】（1）4小时；（2）231515+． 【解析】解：由题意可得：︒=∠45BCA ， ︒=∠105BAC ，︒=∠30B ， 2302215=⨯=AC ．在ACD Rt △中，AC ADBCA =∠sin ，∴23022AD =， ∴30=AD ， ∴30==AD CD ，602==AD AB ，330=BD ． ∴（1）41560=÷=t ；（2）()231515433030+=÷+=v ． 【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，要注意认真分析题意．东东北 ABCD12 / 32【例18】 如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点A 到航线l 的距离为2千米，点B 位于点A 北偏东60°方向且与点A 相距10千米处．现有一艘轮船从位于点B 南偏 西76°方向的C 处，正沿该航线自西向东航行，5分钟后该轮船行至点A 正北方向的点D 处．（1）求观测点B 到航线l 的距离；（2）求该轮船航行的速度．（结果精确到0.1千米/时）（参考数据：3 1.73≈，sin760.97︒≈，cos760.24︒≈，tan76 4.01︒≈）【难度】★★★【答案】（1）3；（2）40.4．【解析】解：（1）由题意有：2=AD ，︒=∠30BAH ．在BAH Rt △中，521==AB BH ，3522=-=BH AB AH ，∴325=-=-=-=AD BH FH BH BF ．(2)在BCF Rt △中，BF CFCBF =∠tan ，∴301.4CF=，∴03.12=CF ． ∴3503.12-=-=-=AH CF DF CF CD ．∴()()112.03535min 12.035340.4/12v km km h km h =-÷=-÷≈． 【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，要注意认真分析题目中给出的条件．ABC D E l东北F H13 / 32ABCDABC【例19】 某人沿着坡度为3 : 4的斜坡前进了10米，则他所在的位置比原来的位置升高______米．【难度】★ 【答案】6．【解析】考查坡度的定义．【例20】 某铁路路基的横断面是等腰梯形，其上底为10米，下底为13.6米，高1.2米，则腰面坡角的正切值为______．【难度】★ 【答案】32．【解析】考查等腰梯形双高的辅助线．【例21】 如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC 为2米，则两树间的坡面距离AB 为（ ）A ．4米B 3C 43D ．43米【难度】★ 【答案】C【解析】考查坡角的定义．【例22】 如图，燕尾槽的横断面中，槽口的形状是等腰梯形，其外口宽AD = 15毫米，槽的深度为12毫米，B 的正切值为43，则它的里口宽BC = ______．【难度】★★14 / 32【答案】33毫米．【解析】考查等腰梯形双高的辅助线．【例23】 河堤横断面是梯形，上底为4米，堤高为6米，斜坡AD 的坡度为1 : 3，斜坡CB 的坡角为45°，则河堤横断面的面积为______平方米．【难度】★★ 【答案】96．【解析】考查坡角的基本定义．【例24】 如图，一个大坝的横断面是一个梯形ABCD ，其中坝顶AB = 3米，经测量背水坡AD = 20米，坝高10米，迎水坡BC 的坡度i = 1 : 0.6，求迎水坡BC 的坡角C ∠的余切值和坝底宽CD ．【难度】★★【答案】53；3109+．【解析】过A 、B 作AE ⊥CD ，BF ⊥CD ．由题意可得：356.01tan ==C ，10==BF AE ，∴5316.0cot ==C ． 在BCF Rt △中，CFBFC =∠tan ， ∴CF1035=，∴6=CF ．在ADE Rt △中，31022=-=AE AD DE ，ABCDE F15 / 32ABCD∴931063310+=++=++=FC EF DE CD ．【总结】本题主要考查坡脚和坡比的概念．【例25】 如图，某村开挖一条长1600米的水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道深0.8米，下底宽1.2米，坡度为1 : 1．求一共挖土多少立方米？【难度】★★ 【答案】2560． 【解析】()6.18.02.18.221=⨯+⨯=ABCD S 梯形，256016006.1=⨯=V ．【总结】考查等腰梯形双高辅助线的做法和坡度的基本定义．【例26】 如图，小杰发现垂直地面的旗杆AB 的影子落在地面和斜坡上，影长分别为BC 和CD ，经测量得BC =10米，CD =10米，斜坡CD 的坡度为1:3i =，且此时测得垂直于地面的1米长标杆在地面上影长为2米，求旗杆AB 的长度．（答案保留整数，其中10 3.2≈） 【难度】★★ 【答案】13．【解析】解：延长AD 和BC 交于点E ，过D 作DF ⊥BE ．由题意可知：31tan =∠DCF ，21tan =E ．在DCF Rt △中，CF DF DCF =∠tan ，∴CF DF=31．设x DF =，x CF 3=，则()101032222==+=+=x x x FC FD DC ，∴10=x ．∴10=DF ，103=CF ．AB CDEF16 / 32在DEF Rt △中，EFDFE =∠tan ， ∴EF1021=，∴102=EF 在ABC Rt △中，EBABE =∠tan ，∴1021031021++=AB ，∴1351025≈+=AB ． 【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题．【例27】 如图，斜坡AP 的坡度为1:2.4，坡长AP 为26米，在坡顶A 处的同一水平面上有一座古塔BC ，在斜坡底P 处测得该塔的塔顶B 的仰角为45°，在坡顶A 处测得该塔的塔顶B 的仰角为76°．求：（1）坡顶A 到地面PQ 的距离；（2）古塔BC 的高度．（结果精确到1米）（参考数据：sin760.97︒≈，cos760.24︒≈，tan76 4.01︒≈）【难度】★★【答案】（1）10；（2）19．【解析】解：延长BC 交PQ 于点E ，过A 作AD ⊥PQ由题意可知：︒=∠76BAC ，︒=∠45BPE1254.2:1tan ==∠APD ．在APD Rt △中，PD DA APD =∠tan ，∴PD DA=125．设x DA 5=，x PD 12=， 则()()26131252222==+=+=x x x PD AD PA ，∴2=x ．∴10=DA ，24=PD ． 在BAC Rt △中，AC BC BAC =∠tan ，∴ACBC=01.4 设x CA =，x BC 01.4=，ABCPQD E17 / 32ABCDE F G H 在PBE Rt △中，EPEBBPE =∠tan ， ∴241001.41++=x x ，∴65.4=x ．∴1901.4≈=x BC ．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题．【例28】 如图，某堤坝的横截面是梯形ABCD ，背水坡AD 的坡度i 为1 : 1.2，坝高为5米．现为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD 加宽1米，形成新的背水坡EF ，其坡度为1 : 1.4，已知堤坝总长度为4000米．（1）求完成该工程需要多少立方米的土？（2）该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成．按原计划需要20天．准备开工前接到上级 通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率，甲队工作效率提高30%，乙队 工作效率提高40%，结果提前5天完成．问这两个工程队原计划每天各完成多少立方米？【难度】★★★【答案】（1）30000；（2）甲：1000；乙：500．【解析】由题意可知：652.1:1tan ==∠DAG ，754.1:1tan ==∠EFG ．在AGD Rt △中，AGDG DAG =∠tan ，∴AG565=，∴6=AG ． ∴516=-=-=GH AG AH ． 在EFH Rt △中，FHEHEFG =∠tan ， ∴FH575=，∴7=FH ． ∴257=-=-=AH FH AF ． ∴()()2155212121=⋅+=⋅+=EH AF ED S EDAF 梯形．∴300004000215=⨯=V ． （2）设原计划甲工程队每天完成x 立方米，乙工程队每天完成y 立方米，18 / 32则根据题意可得：()()()()⎩⎨⎧=+++-=+30000]401301[5203000020y x y x ％％，解得：⎩⎨⎧==5001000y x ．∴原计划甲工程队每天完成1000立方米，乙工程队每天完成500立方米．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题． 【例29】 如图所示，在风景区观测塔高时，塔的底部不能直接到达．测绘员从观景台（横截面为梯形ABCD ）的底部A 沿坡面AB 方向走30米到达顶部B 处，用测角仪（测角 仪的高度忽略不计）在点B 处测得塔顶E 的仰角是45°，沿BC 方向走20米到达点C 处 测得塔顶E 的仰角是60°．已知坡面AB 的坡度是1:3，根据上述测量数据能否求出塔高？若能，请求出塔高（精确到1米）；若不能，说明还需测出哪些量才能求出塔高．【难度】★★★ 【答案】能，62米．【解析】由题意可知：︒=∠45EBC ，︒=∠60ECG ．333:1tan ==∠BAD ． 过B 作BH ⊥AD ． 在ECG Rt △中，CGEG ECG =∠tan ，∴31EGCG =．设x CG =，x EG 3=， 在EBG Rt △中，BGEGEBG =∠tan ， ∴BGEG=1． ∴2031+=x x，∴31010+=x ． ∵333:1tan ==∠BAD ， ∴︒=∠30BAC ．∴1521==AB BH ．∴6231045153≈+=+=+=x GF EG EF ．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题，注AB C DEFGH19 / 32意认真分析题目中的条件，分析清楚仰角分别指的是哪个角．【例30】 如图，小智所住的楼房在一个不高的斜坡EF 上，楼房旁边不远处有一棵笔直而垂直于水平地面BE 的大树HD ．小智想要测量这棵大树HD 的高度．在下午的某个 时刻，他观察到这棵大树树梢H 的影子落在楼房的外墙面上的点G 处．同时，他又观 察到在大树旁边有一根笔直而垂直于水平地面BE 的木柱AB ，它在水平地面BE 上的影 子BC 也清晰可见．小智通过测量得到以下一些数据：AB = 1.6米，BC = 3.2米，DE =7.2米，EF = 2.6米，斜坡EF 的坡度i =1 : 2.4，FG = 1.6米．试求大树HD 的高．【难度】★★★ 【答案】7.4米．【解析】解：由题意可得：12:54.2:1tan ==∠FEN ，212.36.1tan tan ===∠=∠BC AB ACB HGM过F 作FM ⊥HD ，过F 作FN ⊥DN在EFN Rt △中，EN FN FEN =∠tan ，∴EN FN=125．设x FN 5=，x EN 12=， ∴则()()6.2131252222==+=+=x x x EN FN EF ，∴2.0=x ．∴1=FN ，4.2=EN ．∴6.94.22.7=+=+==EN DE DN MG ．在HGM Rt △中，MG HMHGM =∠tan ，∴6.921HM =，∴8.4=HM ．∴4.716.18.4=++=++=+=FN GF HM MD HM HD ．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题，注意认真分析题目中的条件．A B CDEF GHM N随堂检测【习题1】某飞机在离地面1200米的上空测得地面控制点的俯角为60°，此时飞机与该地面控制点之间的距离是______米．【难度】★800．【答案】3【解析】考查俯角的定义．【习题2】一船在海上点B处沿南偏东10°方向航行到点C处，这时在小岛A测得点C 在南偏西80°方向，则=______．ACB【难度】★【答案】90°【解析】考查方向角的定义．【习题3】某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为25米，则这个坡面的坡度为______．【难度】★【答案】1:2【解析】考查坡度的定义．20/ 32AB CDE【习题4】 如图，已知楼房AB 高50米，铁塔塔基距楼房房基间的水平距离BD = 50米， 塔高DC 150503+ ） A ．由楼顶望塔顶仰角为60° B ．由楼顶望塔基俯角为60° C ．由楼顶望塔顶仰角为30°D ．由楼顶望塔基俯角为30°【难度】★★ 【答案】C ．【解析】解：由图可知：50====AE DE DB AB ， ∴3350503350150=-+=-=ED CD EC ． 在ACE Rt △中，33503350tan ===∠AE CE CAE ，∴︒=∠30CAE ．∴由楼顶望塔顶仰角为30°．【总结】本题主要考查利用已知条件解直角三角形，再利用锐角三角比的值求出角的度数．【习题5】 A 港在B 地的正南103A 港开出向西航行，某人第一次 在B 处望见该船在南偏西30°，半小时后，有望见该船在南偏西60°，则该船速度为______．【难度】★★ 【答案】40h km /．【解析】解：在ACB Rt △中，ABAC CBA =∠tan ，∴33310=CA ，解得：10=CA ． 在ADB Rt △中，ABAD DBA =∠tan ，∴3310=DA ，解得：30=DA ．∴201030=-=-=AC AD CD ，∴402120=÷=v ． 【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．DABCNM 【习题6】 如图，一架飞机在高度为5千米的点A 时，测得前方的山顶D 的俯角为30°， 水平向前飞行2千米到达点B 时，又测得山顶D 的俯角为45°，求这座山的高度DN ．（结果可保留根号）【难度】★★ 【答案】43-米．【解析】解：由题意可得：5==CN AM ， 2=AB ，︒=∠30CAD ，︒=∠45CBD ．设x CD =，则x BC =．在ACD Rt △中，tan DC CAD AC ∠=，∴233+=x x，解得：13+=x ， ∴()34135-=+-=-=CD CN DN ．【总结】本题主要考查利用仰角和俯角的有关概念解决实际问题．【习题7】 小岛B 正好在深水港口A 的东南方向，一艘集装箱货船从港口A 出发，沿正 东方向以每小时30千米的速度行驶，40分钟后在C 处测得小岛B 在它的南偏东15°方向，求小岛B 离深水港口A 的距离．(精确到0.1千米)（参考数据：2 1.41≈，6 2.45≈，sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈） 【难度】★★ 【答案】38.6千米．【解析】解：由题意可得：203230=⨯=AC ， ︒=∠45CAB ，︒=∠30B ．过C 点作CD ⊥AB ．在ACD Rt △中，ACDC CAD =∠sin ，∴2022CD=，解得：210=CD ，∴210==CD AD ．在BCD Rt △中，BDDCB =tan ，∴BD 21033=，解得：610=BD ． ∴6.38610210≈+=+=BD AD AB ． 【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．ABC北 北 D【习题8】 如图，以水库大坝横断面是梯形ABCD ，坝顶宽6米，坝高23米，斜坡AB的坡度1:3AB i =，斜坡CD 的坡度1:2.5CD i =．（1）求斜坡AB 和坝底AD 的长度；（2）若要把坝宽增加3米，同时背水坡AB 的坡度AB i 由原来的1 : 3变为1 : 5，请求出大坝横断面的面积增加了多少平方米．【难度】★★【答案】（1）1023，132.5；（2）598． 【解析】解：由题意可得： 6=BC ，23==CF BE ，31tan =A ，525.21tan ==D ．在ABE Rt △中，AEBE A =tan ，∴AE2331=，解得：69=AE ． ∴102369232222=+=+=AE BE AB ． 在CDF Rt △中，DFCF D =tan ，∴DF 2352=，解得：2115=DF ．∴5.1322115669=++=++=FD EF AE AD ． （2）由（1）可得：66369=-=-=ME AE AM ．在HGM Rt △中，HM GM H =tan ， ∴HM2351=，∴115=HM ． ∴4966115=-=-=AM HM AH ．∴()()598234932121=⋅+=⋅+=GM AH GB S GHAB 梯形．【总结】本题主要考查利用坡度来解决实际问题，注意对题目中条件的认真分析．ABCDEFCD F G H【习题9】 某城市规划期间，欲拆除河岸边的一根电线杆AB （如图），已知距电线杆AB 水平距离14米处是河岸，即BD = 14米，该河岸的坡面CD 的坡比为1 : 2，岸高CF 为2米，在坡顶C 处测得杆顶A 的仰角为30°，D 、E 之间是宽2米的人行道，请你通 过计算说明在拆除电线杆AB 时，为确保安全，是否需要将此人行道封上？（在地面上以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域）【难度】★★★【答案】不需要将此人行道封上． 【解析】解：由题意可知：︒=∠30ACG ，21tan =D ．在Rt CDF △中，DF CF D =tan ，∴DF221=，解得：4=DF ， ∴52422222=+=+=DF CF CD ． ∴18414=+=+=DF BD BF ．在AGC Rt △中，GC AG ACG =∠tan ，∴1833AG=，解得：36=AG ， ∴392.12236≈+=+=GB AG AB ． ∴BD AB <．∴不需要将此人行道封上．【总结】本题主要考查利用坡度来解决实际问题，注意对题目中条件的认真分析．【习题10】 如图，小唐同学在操场上放风筝，风筝从A 处起飞，一会儿便飞抵C 处，此 时，在AQ 延长线B 处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ 的顶点P 在同一直线上．（1）已知旗杆高为10米，若在B 处测得旗杆顶点P 的仰角为30°，A 处测得点P 的仰角为45°，试求A 、B 之间的距离；（2）此时，在A 处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°．若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC 约为多长？（结果保留根号）【难度】★★★ 【答案】65215+．【解析】解：（1）由题意可知：︒=∠30B ， ︒=∠45PAQ ，10=PQ ．在PBQ Rt △中，BQPQB =tan ，∴BQ1033=，解得：310=BQ ， ∵10==PQ AQ ，∴10310+=+=QA BQ AB ． （2）由题意有：︒=∠75CAD ∴︒=︒-︒=∠453075C ． 过A 作AE ⊥BC ，在ABE Rt △中，ABAE B =sin ，∴3101023+=AE ，解得：1535+=AE ，在ACE Rt △中，ACEA C =sin ，∴AC351522+=，解得：65215+=AC ． 【总结】本题综合性较强，主要是利用已知条件，结合仰角和俯角的运用解直角三角形．BCDPE【作业1】 身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300米，250 米，200米，线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°（假设风筝线是拉直的），则 三人所放的风筝（ ）A ．甲的最高B ．乙的最低C ．丙的最低D ．乙的最高【难度】★ 【答案】D ．【解析】由仰角的定义和解直角三角形可得：甲的风筝离地面150米，乙的风筝离地面 2125米，丙的风筝离地面3100米．∵150********>>∴乙的风筝最高．【总结】本题主要考查方位角的概念以及特殊角的锐角三角比的值．【作业2】 小明在东西方向是沿江大道A 处，测得江中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处正东400米的B 处，测得江中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到沿江大道的距离为______米．【难度】★ 【答案】3200．【解析】解：由题意可知：︒=∠30PAB ，︒=∠120PBA ． ∴︒=∠30APB ∴APB PAB ∠=∠ ∴400==PB AB过P 作PC ⊥AB ，垂足为C 在PBC Rt △中，PBPCPBC =∠sin ， ∴40023PC=∴3200=PC ．【总结】本题主要考查方位角的概念及运用．课后作业【作业3】 某人从地面沿着坡度1:3i =的山坡走了100米，这时他离地面的高度是______米．【难度】★ 【答案】50【解析】考查坡度的定义和解直角三角形．【作业4】 如图，一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60°的方向，这艘渔船以 28海里/时的速度向正东航行，半小时到达B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东15°的方 向，此时灯塔M 与渔船的距离是（ ）A ．14海里B ．142海里C ．7海里D ．72海里【难度】★★ 【答案】D【解析】解：由题意有：︒=∠30MAB ，︒=∠105ABM ，142128=⨯=AB ．∴︒=∠45M ．过B 作BC ⊥AM ，垂足为C在ABC Rt △中，721==AB BC ；在MBC Rt △中，MBBCM =sin ， ∴722MB=．∴27=MB ．【总结】本题主要考查利用方位角结合锐角三角比解决实际问题．A BM北东C【作业5】 如图，在同一地面上有甲、乙两幢楼AB 、CD ，甲楼AB 高10米，从甲楼AB 的楼顶测得乙楼CD 的楼顶C 的仰角为30°，从乙楼CD 的楼顶C 拉下的节日庆典条幅 CE 与地面所成的角为60°，这时条幅与地面的固定点E 到甲楼B 的距离为24米，求条幅CE 的长度．【难度】★★【答案】24310+米．【解析】解：由题意可知：︒=∠30CAF ，︒=∠60CED 设x CE 2=，则x ED =，x CD 3=在ACF Rt △中，AF CF CAF =∠tan ，∴xx +-=2410333， ∴1235+=x ．∴243102+==x CE ．【总结】本题主要考查利用仰角和俯角的相关概念结合锐角三角比解决实际问题．AB CDEF【作业6】 如图，水坝的横截面是梯形ABCD ，上底AD = 4米，坝高3AM DN ==米，斜坡AB 的坡比11:3i =，斜坡DC 的坡比21:1i =．（1）求坝底BC 的长；（结果保留根号）（2）为了增加水坝的抗洪能力，在原来的水坝上增加高度，使得水坝的上底2EF =米，求水坝增加的高度．（精确到0.1米，参考数据3 1.73≈）【难度】★★【答案】（1）733+；（2）0.7米．【解析】解：（1）在MBA Rt △中，MBAMB =tan ， ∴BM331=，∴33=MB ． 在DNC Rt △中，NCDNC =tan ， ∴NC31=，∴3=NC ．∴7333433+=++=++=NC MN BM BC ．(2)在EGB Rt △中，BG EGB =tan ，∴BG EG =31， 在FCH Rt △中，HC FH C =tan ，∴HCFH=1， 设x FH EG ==，则x BG 3=，x CH =，∴73323+=++=++=++=x x HC EF BG HC GH BG BC ． ∴32+=x ．∴7.013332≈-=-+=∆h ．【总结】本题主要考查利用坡度和坡比的相关概念结合锐角三角比解决实际问题．ABCDNMABCDNMEF GH【作业7】 如图，某人在建筑物AB 的顶部测得一烟囱CD 的顶端C 的仰角为45°，测得点C 在湖中的倒影C 1的俯角为60°，已知AB = 20米，求烟囱CD 的高．【难度】★★【答案】40320+米．【解析】解：由题意可得：︒=∠45CAE ，︒=∠601EBC ．过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ． 设x CE =，则x AE =． ∵C 和C 1关于BD 对称， ∴201+==x D C CD ． 在1AEC Rt △中，AEEC EAC 11tan =∠， ∴xx 403+=，∴20320+=x ．∴4032020+=+=x CD ．【总结】本题主要考查利用俯角的相关概念结合锐角三角比解决实际问题，注意认真分析．【作业8】 如图，一水渠的横断面是等腰梯形，已知其迎水斜坡AD 和BC 的坡度为1： 0.6，现在测得放水前的水面宽EF 为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH 为2.1米，求放水后水面上升的高度．【难度】★★【答案】放水后水面上升的高度为0.75米．【解析】解：由题意可知：四边形GEFH 为等腰梯形． 356.0:1tan ==∠MGE ．过E 作EM ⊥GH ，过F 作FN ⊥GH 由等腰梯形的性质可得：45.0==NH GM ．在GME Rt △中，GM EMMGE =∠tan ，∴45.035EM=，∴75.0=EM ．∴放水后水面上升的高度为0.75米．【总结】本题主要考查利用坡度和坡比的相关概念结合锐角三角比解决实际问题．ABC DC 1E AC D EF GHMN31 / 32 【作业9】 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋 风暴，有极强的破坏力．据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220千米的B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就减弱一级，该台风中心现在以每小时15千米的速度沿北偏东30︒方向往C 移动，且台风中心风力不 变，若城市所受风力达到四级，则称受台风影响．（1）该城市是否会受这次台风影响？请说明理由．（2）若受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间会有多长？（3）该城市受台风影响的最大风力是几级？【难度】★★★【答案】（1）受影响；（2）h 154；（3）6.5级．【解析】解：（1）会受到台风影响．过A 作AD ⊥BC ．台风在移动时，距离A 最近D 处时， 在ABD Rt △中，1102202121=⨯==AB AD 110÷20=5.5；12-5.5=6.5；6.5超过4级，受台风影响． （2）当台风在移动，其与A 距离是()km 16041220=-⨯时开始受影响或结束影响．持续时间为h h t 15415110160222=-⨯=． （3）由（1）可得：该城市受台风影响的最大风力是6.5级．【总结】本题主要考查对方位角的理解以及是否受影响的理解，解题时要认真分析题意．A B C D32 / 32 【作业10】 如图，小明发现在小丘上种植着一棵香樟树AB ，它的影子恰好落在丘顶平地BC 和斜坡的坡面CD 上．小明测得BC = 4米，斜坡的坡面CD 的坡度为41:3，CD =2.5米．如果小明同时还测得附近的一根垂直于地面的2米高的木柱MN 的影长NP = 1.5 米，求这棵香樟树AB 的高度．【难度】★★★ 【答案】6.5米．【解析】解：由题意可得：4:334:1tan ==∠CDE 345.12tan tan ==∠=ADE P ． 4==EF BC ， 设x FC 3=，x DF 4=， ∴()()5.25432222==+=+=x x x DF CF CD ． ∴5.0=x ，∴5.1=CF ，2=DF ，∴5.1==CF BE ．在AED Rt △中，ED AE ADE =∠tan ， ∴245.134++=AB ， ∴5.6=AB ．【总结】本题综合性较强，考查的知识点比较多，要认真分析题意，并且熟练使用相似的性质以及通过锐角三角比解直角三角形的方法．A B CD 光线P N M E F。

方位角是地理中用来表示地球表面上某一点相对于某一参照物的方向的角度，通常以北为基准。

以下是一个方位角的例题：
问题：假设某个地球表面上的点相对于某一个参照物的方位角为30 度，该点到参照物的距离为10 公里，请问如果该点沿着该方向前进5 公里，那么此时相对于参照物的方位角是多少度？
解答：首先需要明确参照物和该点之间的方位关系，例如可以确定参照物在固定位置上，而该点随着运动方向会发生变化。

因此，在该点前进5 公里后，我们需要重新计算其方位角。

根据三角函数的知识，可以画出一个以参照物为顶点、与地球表面相切的直线，并将该点和参照物连线。

然后，使用正切函数求出这条直线与参照物的连线所夹角度数，即可得到该点相对于参照物的方位角。

具体而言，tan θ= 5 / 10，因此θ≈26.6 度。

由于方位角是以北为基准，因此该点相对于参照物的方位角约为63.4 度（即90 度减去26.6 度）。

因此，该点前进5 公里后，相对于参照物的方位角为约63.4 度。

2024年人教版七年级数学上册4[1].12《方位角》精彩课件.一、教学内容本节课选自2024年人教版七年级数学上册第四章第一节《方位角》，详细内容包括：1. 了解方位角的概念；2. 掌握方位角的表示方法；3. 学会使用方位角解决实际问题；4. 熟悉方位角的计算方法。

二、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握方位角的概念，能正确表示和计算方位角；2. 过程与方法：培养学生运用方位角解决实际问题的能力，提高空间想象力和逻辑思维能力；3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养合作精神和探究意识。

三、教学难点与重点教学重点：方位角的概念、表示方法和计算方法。

教学难点：如何运用方位角解决实际问题。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、方位角演示仪；2. 学具：量角器、直尺、三角板。

五、教学过程1. 实践情景引入：播放一段关于户外探险的视频，引导学生关注方位角在生活中的应用。

2. 知识讲解：（1）讲解方位角的概念，展示方位角的表示方法；（2）通过例题讲解，让学生掌握方位角的计算方法。

3. 随堂练习：发放练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

（1）如何确定一个物体的方位角？（2）在解决实际问题时，如何运用方位角？六、板书设计1. 方位角的概念；2. 方位角的表示方法；3. 方位角的计算方法；4. 实际问题解决方法。

七、作业设计1. 作业题目：（1）已知A、B两点的坐标，求点A到点B的方位角；（2）已知方位角和距离，确定物体的位置。

2. 答案：（1）方位角为α；（2）物体位置为（x，y）。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对方位角的概念和计算方法掌握程度较好，但在解决实际问题时，部分学生存在一定的困难，需要在今后的教学中加强训练。

2. 拓展延伸：引导学生了解其他角度的概念，如俯角、仰角等，并学会在实际问题中运用。

重点和难点解析1. 教学难点与重点的确定；2. 教学过程中的实践情景引入、例题讲解、随堂练习；4. 作业设计中的题目难度和答案的详细解释；5. 课后反思与拓展延伸的实际操作。

坐标方位角的计算在实际施工中的运用1 引言在测量工作实践中,我们经常需要根据两点坐标来计算坐标方位角和距离(一般称为坐标反算) ,对于从事测绘行业的工作者来说,掌握坐标反算是任何一位测量工作者的基本要素之一。

因此,在实际施工中采用哪一种公式计算能够更快、更准确的计算出坐标方位角是一个需要研究的问题。

日前测量学教材中关于距离和坐标方位角的计算公式,归纳起来如下:S AB = ( x B - x A ) 2 + ( y B - y A ) 2= Δx2AB +Δy2AB(1)T = arcsin(y B – y A)/S AB= arcsinΔy AB/S AB (2)T = arcos(x B – x A)/S AB= arccosΔx AB/S AB (3)T = arcos(y B – y A)/(x B– x A)= arctanΔy AB/S AB(4)由于两点坐标反算距离的计算没有方向性,所有教材中都是采用公式(1)直接计算求得。

而用公式(2) ～(4)来计算坐标方位角时都有一定的局限性,首先按公式(2) ～(4)计算T,然后再进行象限判断后加上一个合适的常数才能得到真正的坐标方位角,具体加什么样的常数、如何加? 不同的公式有不同的情况,但一般都是根据象限不同来进行讨论。

对于公式(2) ,有:当:Δx AB > 0,Δy AB > 0,在第1象限,αAB > T;Δx AB < 0,Δy AB > 0,在第2象限,αAB = 180°+ T;Δx AB < 0,Δy AB < 0,在第3象限,αAB = 180°+ T;Δx AB > 0,Δy AB < 0,在第4象限,αAB = 360°+ T。

对于公式(3) ,有:当:Δy AB > 0,在第1, 2象限,αAB = T; Δy AB < 0,在第3, 4象限,αAB = 360°- T。