方向角问题1

1、在南北海岸线有A、B两港口，相距(120-120)海里，一船从A港出发，沿北偏东60°方向航行，当船到达C处时，从B港测得此时船在B 港的南偏东45°处，求这时C处到海岸线AB的距离。

2、一轮船在海面上A处，沿着南偏东75°方向以每小时24海里的速度航行，为了确定船的位置，船在A处测得灯塔B在北偏东45°的方向上，船按原来航向和航行速度继续航行40分钟到达C处，测得灯塔B恰好在正北方向，求此时船与灯塔的距离(精确到0.1海里)sin75°=0.9659,cos75°=0.2588,tan75°=3.7321,cot75°=0.26793.一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东(即BD)方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？4、正午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？(精确到1分)．5.如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？6、已知：某次台风目前正位于A 地朝北偏西45°的方向移动，台风中心最大风速为25千米/时，在半径为240千米的范围内将受到影响，城市B恰在A地正西方和与A地距离300千米处，试问B市气象部门应当怎样报道这次台风对城市B的影响？（B 市是否遭到台风的影响？若受影响，从何时开始到何时结束，时间多长）7、轮船在离观察站A正北海里处的港B出发，向正东方向航行，在观察站A第一次测得该船在A的北偏东30゜的M处，半小时后又测得该船在A的北偏东60゜的N处，求船速。

2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】专题1.5三角函数的应用-方向角问题姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•深圳）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（）A．200tan70°米B．米C．200sin 70°米D．米【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．【解答】解：在Rt△PQT中，∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90°﹣70°＝20°，∴∠PTQ＝70°，∴tan70°，∴PT，即河宽米，故选：B．2．（2020•济宁）一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C 在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（）A．15海里B．20海里C．30海里D．60海里【分析】根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出∠C＝∠CAB＝42°，根据等角对等边得出BC＝AB，求出AB即可．【解答】解：如图．根据题意得：∠CBD＝84°，∠CAB＝42°，∴∠C＝∠CBD﹣∠CAB＝42°＝∠CAB，∴BC＝AB，∵AB＝15×2＝30（海里），∴BC＝30（海里），即海岛B到灯塔C的距离是30海里．故选：C．3．（2019•济南）某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（）（参考数据：tan37°，tan53°）A．225m B．275m C．300m D．315m【分析】如图，作CE⊥BA于E．设EC＝xm，BE＝ym．构建方程组求出x，y即可解决问题．【解答】解：如图，作CE⊥BA于E．设EC＝xm，BE＝ym．在Rt△ECB中，tan53°，即，在Rt△AEC中，tan37°，即，解得x＝180，y＝135，∴AC300（m），故选：C．4．（2020•岱岳区一模）如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的北偏东30°方向有一灯塔B．轮船继续向北航行2小时后到达C处，发现灯塔B在它的北偏东60°方向．若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间时轮船离灯塔最近？（）A．1小时B．小时C．2小时D．小时【分析】过B作AC的垂线，设垂足为D．由题易知：∠DAB＝30°，∠DCB＝60°，则∠CBD＝∠CBA ＝30°，得AC＝BC．由此可在Rt△CBD中，根据BC（即AC）的长求出CD的长，进而可求出该船需要继续航行的时间．【解答】解：作BD⊥AC于D，如下图所示：易知：∠DAB＝30°，∠DCB＝60°，则∠CBD＝∠CBA＝30°．∴AC＝BC，∵轮船以40海里/时的速度在海面上航行，∴AC＝BC＝2×40＝80海里，∴CD BC＝40海里．故该船需要继续航行的时间为40÷40＝1小时．故选：A．5．（2020•开平区一模）如图，甲、乙两船同时从港口O出发，其中甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，已知两船的航行速度相同，如果1小时后甲、乙两船分别到达点A、B处，那么点B位于点A的（）A．南偏西40°B．南偏西30°C．南偏西20°D．南偏西10°【分析】由甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，得出∠BOA的度数，由两船的航行速度相同，得出AO＝BO，得出∠BAO＝50°，以及求出∠BAD的度数，得出点B位于点A的方向．【解答】解：∵甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，两船的航行速度相同，∴AO＝BO，∠BOA＝80°，∠OAD＝30°∴∠BAO＝∠ABO＝50°，∴∠BAD＝∠BAO﹣∠OAD＝50°﹣30°＝20°，∴点B位于点A的南偏西20°的方向上，故选：C．6．（2019•泰安）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．30【分析】根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC 于E，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30，∴AE＝BE AB＝30km，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，∴CE BE＝10km，∴AC＝AE+CE＝30+10，∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，故选：B．7．（2019秋•乐亭县期中）如图，一艘油轮在海中航行，在A点看到小岛B在A的北偏东25°方向距离60海里处，油轮沿北偏东70°方向航行到C处，看到小岛B在C的北偏西50°方向，则油轮从A航行到C处的距离是（）海里．（结果保留整数）（参考数据： 1.41， 1.74， 2.45）A．66.8 B．67 C．115.8 D．116【分析】过B作BD⊥AC于D，求出∠BAC和∠BCA，解直角三角形求出AD、BD、CD，即可求出答案．【解答】解：过B作BD⊥AC于D，则∠BDA＝∠BDC＝90°，由题意知：∠BAC＝70°﹣25°＝45°，∵AM∥CN，∴∠MAC+∠NCA＝180°，∴∠NCA＝180°﹣70°＝110°，∴∠BCA＝110°﹣50°＝60°，∵AB＝60海里，∠BAD＝45°，∴AD＝AB×cos45°＝30海里，BD＝AD＝30海里，CD10海里，301030×1.41+10×2.45≈67∴AC＝AD+CD＝67海里，故选：B．8．（2019•咸安区一模）如图，某轮船在点O处测得一个小岛上的电视塔A在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到达B处，测得电视塔A在船的西北方向，若要轮船离电视塔最近，则还需向西航行（）A．海里B．海里C．海里D．海里【分析】作AC⊥OB于C点，根据题目提供的方向角，并从图中整理出直角三角形的模型，利用解直角三角形的知识求得BC的长即可．【解答】解：作AC⊥OB于C点，只要到C处，轮船离电视塔最近，求出BC长即可，由已知得：∠AOB＝30°，∠ABC＝45°、OB＝20海里，∴BC＝AC，CO＝AC÷tan∠AOB＝AC÷tan30°，∵CO﹣CB AC＝20，解得：AC海里，∴BC＝AC＝10（1）海里，故选：A．9．（2019•张家口二模）如图，小明为了测量河宽AB，先在BA延长线上取一点D，再在同岸取一点C，测得∠CAD＝60°，∠BCA＝30°，AC＝15m，那么河AB宽为（）A．15m B．m C．m D．m【分析】先过C作CE⊥AB，在Rt△ACE中，根据∠CAD＝60°，AC＝15m可得出∠ACE的度数及AE、CE的长，再根据∠BCA＝30°可求出∠BCE的度数，由锐角三角函数的定义即可得出BE的长，进而可求出AB的长．【解答】解：过C作CE⊥AB，Rt△ACE中，∵∠CAD＝60°，AC＝15m，∴∠ACE＝30°，AE AC15＝7.5m，CE＝AC•cos30°＝15，∵∠BAC＝30°，∠ACE＝30°，∴∠BCE＝60°，∴BE＝CE•tan60°22.5m，∴AB＝BE﹣AE＝22.5﹣7.5＝15m．补充方法：∵∠CAD＝60°，∠BCA＝30°，∴∠CBA＝∠CAD﹣∠BCA＝30°，∴AB＝AC＝15m．故选：A．10．（2018•苏州）如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（）A．40海里B．60海里C．20海里D．40海里【分析】首先证明PB＝BC，推出∠C＝30°，可得PC＝2P A，求出P A即可解决问题；【解答】解：在Rt△P AB中，∵∠APB＝30°，∴PB＝2AB，由题意BC＝2AB，∴PB＝BC，∴∠C＝∠CPB，∵∠ABP＝∠C+∠CPB＝60°，∴∠C＝30°，∴PC＝2P A，∵P A＝AB•tan60°，∴PC＝2×2040（海里），故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020•邹城市一模）如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以12海里/时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60°方向航行，1.5小时后，在我航海区域的C处截获可疑渔船，问我渔政船的航行路程是18海里（结果保留根号）．【分析】作CD⊥AB于点D，垂足为D，首先在Rt△BCD中求得CD的长，然后在Rt△ACD中求得AC 的长即可．【解答】解：作CD⊥AB于点D，垂足为D，在Rt△BCD中，∵BC＝12×1.5＝18（海里），∠CBD＝45°，∴CD＝BC•sin45°＝189（海里），则在Rt△ACD中，AC92＝18（海里）．故我渔政船航行了18海里．故答案为：18．12．（2019•荆州）如图，灯塔A在测绘船的正北方向，灯塔B在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔B的正南方向，此时测得灯塔A在测绘船北偏西63.5°的方向上，则灯塔A，B间的距离为22海里（结果保留整数）．（参考数据sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50，2.24）【分析】根据题意得MN＝20，∠ANB＝63.5°，∠BMN＝45°，∠AMN＝∠BNM＝90°，于是得到BN ＝MN＝20，如图，过A作AE⊥BN于E，得到四边形AMNE是矩形，根据矩形的性质得到AE＝MN＝20，EN＝AM，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：由题意得，MN＝20，∠ANB＝63.5°，∠BMN＝45°，∠AMN＝∠BNM＝90°，∴BN＝MN＝20，如图，过A作AE⊥BN于E，则四边形AMNE是矩形，∴AE＝MN＝20，EN＝AM，∵AM＝MN•tan26.5°＝20×0.50＝10，∴BE＝20﹣10＝10，∴AB1022海里．故答案为：22．13．（2019•宁波）如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为566米．（精确到1米，参考数据： 1.414， 1.732）【分析】通过解直角△OAC求得OC的长度，然后通过解直角△OBC求得OB的长度即可．【解答】解：如图，设线段AB交y轴于C，在直角△OAC中，∠ACO＝∠CAO＝45°，则AC＝OC．∵OA＝400米，∴OC＝OA•cos45°＝400200（米）．∵在直角△OBC中，∠COB＝60°，OC＝200米，∴OB400566（米）故答案是：566．14．（2019•新宾县四模）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为（2）km．【分析】根据题意在CD上取一点E，使BD＝DE，进而得出EC＝BE＝2km，再利用勾股定理得出DE 的长，即可得出答案．【解答】解：在CD上取一点E，使BD＝DE，∵CD⊥AB，∴∠EBD＝45°，AD＝DC，∵AB＝AD﹣BD，CE＝CD﹣DE，∴CE＝AB＝2km，∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向，∴∠BCE＝∠CBE＝22.5°，∴BE＝EC＝2km，∴BD＝ED km，∴CD＝2（km）．故答案为：（2）km．15．（2019秋•德州期中）某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP＝7海里．【分析】过P作AB的垂线PD，在直角△BPD中可以求的∠P AD的度数是30度，即可证明△APB是等腰三角形，即可求解．【解答】解：过P作PD⊥AB于点D．∵∠PBD＝90°﹣60°＝30°且∠PBD＝∠P AB+∠APB，∠P AB＝90﹣75＝15°∴∠P AB＝∠APB∴BP＝AB＝7（海里）故答案是：7．16．（2018•辽阳）如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A处测得小岛C位于北偏东60°方向上，继续向东航行10海里到达点B处，测得小岛C在轮船的北偏东15°方向上，此时轮船与小岛C的距离为5海里．（结果保留根号）【分析】如图，作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，求出BH，再在Rt△BCH中，利用等腰直角三角形的性质求出BC即可．【解答】解：如图，作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，∵AB＝10海里，∠BAH＝30°，∴∠ABH＝60°，BH AB＝5（海里），在Rt△BCH中，∵∠CBH＝∠C＝45°，BH＝5（海里），∴BH＝CH＝5海里，∴CB＝5（海里）．故答案为5．17．（2018•潍坊）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行小时即可到达．（结果保留根号）【分析】如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，通过解直角△AQP、直角△BPQ求得PQ的长度，即MN的长度，然后通过解直角△BMN求得BM的长度，则易得所需时间．【解答】解：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，在直角△AQP中，∠P AQ＝45°，则AQ＝PQ＝60×1.5+BQ＝90+BQ（海里），所以BQ＝PQ﹣90．在直角△BPQ中，∠BPQ＝30°，则BQ＝PQ•tan30°PQ（海里），所以PQ﹣90PQ，所以PQ＝45（3）（海里）所以MN＝PQ＝45（3）（海里）在直角△BMN中，∠MBN＝30°，所以BM＝2MN＝90（3）（海里）所以（小时）故答案是：．18．（2018秋•顺义区期末）轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在观测灯塔A北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是25海里．【分析】根据题中所给信息，求出∠BCA＝90°，再求出∠CBA＝45°，从而得到△ABC为等腰直角三角形，然后根据解直角三角形的知识解答．【解答】解：根据题意，得∠1＝∠2＝30°，∵∠ACD＝60°，∴∠ACB＝30°+60°＝90°，∴∠CBA＝75°﹣30°＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∵BC＝50×0.5＝25，∴AC＝BC＝25（海里）．故答案为：25．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020•湘阴县一模）如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离点P点320千米处．（1）说明本次台风会影响B市；（2）求这次台风影响B市的时间．【分析】（1）作BH⊥PQ于点H，在Rt△BHP中，利用特殊角的三角函数值求出BH的长与200千米相比较即可．（2）以B为圆心，以200为半径作圆交PQ于P1、P2两点，根据垂径定理即可求出P1P2的长，进而求出台风影响B市的时间．【解答】（1）如图所示：∵台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，B市位于点P的北偏东75°方向上，∴∠QPG＝45°，∠NPB＝75°，∠BPG＝15°，∴∠BPQ＝30°作BH⊥PQ于点H，在Rt△BHP中，由条件知，PB＝320，得BH＝320sin30°＝160＜200，∴本次台风会影响B市．（2）如图，若台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结束．由（1）得BH＝160，由条件得BP1＝BP2＝200，∴P1P2＝2240，∴台风影响的时间t8（小时）．20．（2020•枣阳市校级模拟）已知：如图，一艘渔船正在港口A的正东方向40海里的B处进行捕鱼作业，突然接到通知，要该船前往C岛运送一批物资到A港，已知C岛在A港的北偏东60°方向，且在B的北偏西45°方向．问该船从B处出发，以平均每小时20海里的速度行驶，需要多少时间才能把这批物资送到A港（精确到1小时）（该船在C岛停留半个小时）？．【分析】作CD⊥AB于D点．设CD＝x海里，在直角△ACD中，利用x表示出AC，AD，同理表示出BD，BC，根据AB＝40即可列出方程求得CD的长，则AC+CB即可求得，然后除以速度即可得到时间．【解答】解：作CD⊥AB于D点．设CD＝x海里，在直角△ACD中，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，则AC＝2x，AD x，在直角△BCD中，∠CBD＝45°，则BD＝CD＝x，BC CD x，∵AB＝40，即AD+BD＝40，∴x+x＝40，解得：x＝20（1），∴BC＝20（1）＝2020，AC＝2x＝40（1），则总路程是：202040（1）海里，则时间是：22≈2.45﹣1.41+2×1.73﹣2≈2.5（小时）．∵该船在C岛停留半个小时，∴需要3小时能把这批物资送到A港．21．（2020•铁西区模拟）如图，海中有一小岛P，在距小岛P的海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°，且A、P之间的距离为32海里，若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行，才能安全通过这一海域？【分析】过P作PB⊥AM于B，则PC的长是A沿AM方向距离P点的最短距离，求出PC长和16比较即可，第二问设出航行方向，利用特殊角的三角函数值确定答案．【解答】解：过P作PB⊥AM于B，在Rt△APB中，∵∠P AB＝30°，∴PB AP32＝16海里，∵16＜16，故轮船有触礁危险．为了安全，应改变航行方向，并且保证点P到航线的距离不小于暗礁的半径16海里，即这个距离至少为16海里，设安全航向为AC，作PD⊥AC于点D，由题意得，AP＝32海里，PD＝16海里，∵sin∠P AC，∴在Rt△P AD中，∠P AC＝45°，∴∠BAC＝∠P AC﹣∠P AB＝45°﹣30°＝15°．答：若轮船继续向正东方向航行，轮船有触礁危险．轮船自A处开始至少沿东偏南15°度方向航行，才能安全通过这一海域．22．（2020•潮南区模拟）如图，已知某船向正东方向航行，在点A处测得某岛C在其北偏东60°方向上，前进8海里处到达点B处，测得岛C在其北偏东30°方向上．已知岛C周围6海里内有一暗礁，问：如果该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明你的理由．【分析】作CD⊥AB于点D，求出C到航线的最近的距离CD的长，与6海里比较大小即可．【解答】解：作CD⊥AB于点D，由题意可知，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，∴∠ACB＝30°，在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠CBD＝60°，∴∠BCD＝30°，∴∠ACB＝∠BCD．∴△CDB∽△ADC．∴∵AB＝CB＝8∴BD＝4，AD＝12．∴∴CD＝4≈6.928＞6．∴船继续向东航行无触礁危险．23．（2020春•呼兰区期中）如图，一艘轮船位于灯塔B的正西方向A处，且A处与灯塔B相距60海里，轮船沿东北方向匀速前行，到达位于灯塔B的北偏东15°方向上的C处．（1）求∠ACB的度数；（2）求灯塔B到C处的距离．（结果保留根号）【分析】（1）利用三角形内角和定理进行计算；（2）过点B作AC的垂线，垂足为D．在△BDC中利用三角函数即可求解．【解答】解：（1）在△ABC中，∠CAB＝45°，∠CBA＝90°+15°＝105°．则∠ACB＝180°﹣45°﹣105°＝30°，即∠ACB＝30°；（2）过点B作AC的垂线，垂足为D，依题意可得∠DAB＝45°，∠DBA＝45°，AB＝60海里．在△BDC中，∠DBC＝45°+15°＝60°，∠BDC＝90°，cos∠DBC cos60°．∴BC＝60（海里）．答：灯塔B到C处的距离是60海里．24．（2020•滨州模拟）在某飞机场东西方向的地面l上有一长为1km的飞机跑道MN（如图），在跑道MN 的正西端14.5千米处有一观察站A．某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点A的北偏西30°，且与点A相距15千米的B处；经过1分钟，又测得该飞机位于点A的北偏东60°，且与点A相距5千米的C处．（1）该飞机航行的速度是多少千米/小时？（结果保留根号）（2）如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN之间？请说明理由．【分析】（1）先求出∠BAC＝90°，然后利用勾股定理列式求解即可得到BC，再求解即可；（2）作CE⊥l于E，设直线BC交l于F，然后求出CE、AE，然后求出AF的长，再进行判断即可．【解答】解：（1）由题意，得∠BAC＝90°，∴BC10，∴飞机航行的速度为：1060＝600（km/h）；（2）能；作CE⊥l于点E，设直线BC交l于点F．在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝10，∴∠ABC＝30°，即∠BCA＝60°，又∵∠CAE＝30°，∠ACE＝∠FCE＝60°，∴CE＝AC•sin∠CAE，AE＝AC•cos∠CAE．则AF＝2AE＝15（km），∴AN＝AM+MN＝14.5+1＝15.5km，∵AM＜AF＜AN，∴飞机不改变航向继续航行，可以落在跑道MN之间．。

中考数学锐角三角函数应用方位角与方向角问题复习引入本节课将应用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题．探究新知（一）方位角与方向角1．方向角教师讲解：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如课本图28．2-1中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图28．2-1的目标方向线OD 与正南方向成45°角，通常称为西南方向．图28．2-1 图28．2-2 2．方位角教师讲解：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．•如课本图28．2-2中，目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．（二）用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点教师讲解：在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）•之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解．解题时一般有以下三个步骤：1．审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知．2．将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成是直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形．3．根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、•角）之间关系解有关的直角三角形．（三）例题讲解教师解释题意：如课本图28．2-8所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，•距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，•到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里）教师提示：这道题的解题思路与上一节课的例4相似．因为△APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，△ACP与△PCB．PC•是东西走向的一条直线．AB是南北走向的一直线，所以AB与PC是相互垂直的，即∠ACP与∠BDP•均为直角．再通过65度角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34度角与∠BPC•互余的关系求∠BPC．教师分析后要求学生自行做完这道题．学生做完后教师再加以总结并板书．解：如课本图28．2-8，在Rt△APC中，PC=PA·cos（90°-65°）=80×cos25°≈80×0.91=72.8．在Rt△BPC中，∠B=34°，∵sinB=PC PB，∴PB=72.872.8sin sin340.559PCB=≈︒≈130.23．因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．教师讲解：解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，•要根据实际情况灵活运用相关知识．例如，当我们要测量如课本图28．2-9所示大坝的高度h时，只要测出仰角α和大坝的坡面长度L，就能算出h=Lsinα．但是，当我们要测量如课本图28．2-10所示的山高h 时，问题就不那么简单了．这是由于不能很方便地得到仰角α和山坡长度L．图28．2-9 图28．2-10与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的．怎样解决这样的问题呢？我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，课本图28．2-11表示其中一部分小段．划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长L1，测出相应的仰角α，这样就可以算出这段山坡的高度h1=L1sin α．图28．2-11在每个小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1，h2，……．然后我们再“积零为整”，把h1，h2，…相加，于是得到山高h．以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．随堂练习课本第95页练习第1题、第2题．课时总结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，•转化为解直角三角形的问题）．2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．3．得到数学问题的答案．4．得到实际问题的答案．教后反思:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 第4课时作业设计课本练习课本第97页习题28．2拓广探索第9题、第10题．双基与中考一、选择题．1．如图，轮船航行到C处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°，那么同时从B观测到轮船的方向是（）．A．南偏西35°B．东偏西35°C．南偏东55°D．南偏东35°(第1题) (第5题) (第8题) 2．•身高相同的三个小朋友甲、•乙、•丙放风筝，•他们放出的线长分别是300m，250m，200m，线与地面所成的角分别为30°、45°、60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放风筝（）．A．甲的最高B．乙的最低C．丙的最低D．乙的最高3．一日上午8时到12时，若太阳光线与地面所成角由30°增大到45°，•一棵树的高为10m，则树在地面上影长h的范围是（）．A．5<h≤B．10≤h≤C．10<h<15 D．4．△ABC中，AB=6，AC=3，则∠B最大值是（）．A．30°B．45°C．60°D．无法确定5．如图，水库大坝横断面为梯形，坝顶宽6m，坝高2m，斜坡AB的坡角为45°，•斜坡CD的坡度i=1：2，则坝底AD的长为（）．A．42m B．（）m C．78m D．（）m6．△ABC中，+（2=0且AB=4，则△ABC的面积是（）．A．B．4 C．D．27．一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘船以28海里/小时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时，灯塔M 与渔船的距离是（）．A．B．C．7 D．148．某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，•使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板AC的宽度应为（）．A．1.8tan80°m B．1.8cos80°mC．1.8sin80︒D．1.8cot80°m9．若菱形的边长为4，它的一个内角为126°，则较短的对角线长为（ ）．A ．4sin54°B ．4cos63°C ．8sin27°D ．8cos27°10．如图，上午9时，一条船从A 处出发以20海里/小时的速度向正北方向航行，•11时到达B 处，从A 、B 望灯塔C ，测得∠NAC=36°，∠NBC=72°，那么从B 处到灯塔C 的距离是（ ）．A ．20海里B ．36海里C ．72海里D ．40海里 北BA NC(第10题) (第11题)11．如图，一电线杆AB 的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1•米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB 落在地上的影子BD 长3米，落在墙上的影子CD 的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB 的高，•请你计算电线杆AB 的高为（ ）．A ．5米B ．6米C ．7米D ．8米二、填空题．12．升国旗时，某同学站在离旗杆底部24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，•该同学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面1.5m ，则旗杆高度为______m ．（•用含根号的式子表示）13．在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45°，沿水平方向，•再向塔底前进a 米，又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔高为________．• • •14．•如图一铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD ，•根据图示数据得下底宽AD=______米．(第14题) (第15题)15．如图△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，4），（3，0），并且∠ACB=90°，∠B=•30°，则顶点B的坐标是________．16．如图，•燕尾槽的外口宽AD=•90mm，•深为70mm，•燕尾角为60•°，•则里口宽为________．(第16题) (第17题)17．如图，从高出海平面500m的直升飞机上，测得两艘船的俯角分别为45•°和30°，如果这两艘船一个在正东，一个在正西，那么它们之间的距离为______．三、解答题．18．甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以16．1海里/小时的速度向东偏南35°方向航行，乙船向西偏南58°，方向航行，航行了两小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正西方向，求乙船的速度v．（精确到0.1海里/小时）（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，cot32°≈1.60）19．去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，•为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A、B两地之间修筑一条笔直公路（图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C•处有一个半径为0.7千米的公园，问计算修筑的这条公路会不会穿出公园？为什么？A B答案：一、1．D 2．D 3．B 4．A 5．C 6．A 7．A 8．D 9．C 10．D11．D 二、12．332 1333米 14．29.2 15．（3316．（90+33）mm 17．500（3）m三、18．由题意可知：OA=16．1×2=32.2（海里）．∠1=32°，∠2=58°．∴∠AOB=180°-（∠1+∠2）=180°-（32°+58°）=90°．由B 在A 的正西方向，可得：∠A=∠1=32°．又∵在Rt △AOB 中，tanA=OBOA ，∴OB=OA ·tanA=32.2×tan32°=32.2×0.62=19.964（海里）．∴v=2OB=19.964÷2=9.982≈10.0（海里/小时）．即：乙船的速度约为10.0海里/小时．19．过点C 作CD ⊥AB 于D ，3，这条公路不会穿过公园．。

中考数学锐角三角函数应用方位角与方向角问题复习引入本节课将应用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题．探究新知（一）方位角与方向角1．方向角教师讲解：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如课本图28．2-1中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图28．2-1的目标方向线OD 与正南方向成45°角，通常称为西南方向．图28．2-1 图28．2-2 2．方位角教师讲解：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．•如课本图28．2-2中，目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．（二）用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点教师讲解：在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）•之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解．解题时一般有以下三个步骤：1．审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知．2．将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成是直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形．3．根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、•角）之间关系解有关的直角三角形．（三）例题讲解教师解释题意：如课本图28．2-8所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，•距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，•到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里）教师提示：这道题的解题思路与上一节课的例4相似．因为△APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，△ACP与△PCB．PC•是东西走向的一条直线．AB是南北走向的一直线，所以AB与PC是相互垂直的，即∠ACP与∠BDP•均为直角．再通过65度角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34度角与∠BPC•互余的关系求∠BPC．教师分析后要求学生自行做完这道题．学生做完后教师再加以总结并板书．解：如课本图28．2-8，在Rt△APC中，PC=PA·cos（90°-65°）=80×cos25°≈80×0.91=72.8．在Rt△BPC中，∠B=34°，∵sinB=PC PB，∴PB=72.872.8sin sin340.559PCB=≈︒≈130.23．因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．教师讲解：解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，•要根据实际情况灵活运用相关知识．例如，当我们要测量如课本图28．2-9所示大坝的高度h时，只要测出仰角α和大坝的坡面长度L，就能算出h=Lsinα．但是，当我们要测量如课本图28．2-10所示的山高h 时，问题就不那么简单了．这是由于不能很方便地得到仰角α和山坡长度L．图28．2-9 图28．2-10与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的．怎样解决这样的问题呢？我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，课本图28．2-11表示其中一部分小段．划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长L1，测出相应的仰角α，这样就可以算出这段山坡的高度h1=L1sin α．图28．2-11在每个小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1，h2，……．然后我们再“积零为整”，把h1，h2，…相加，于是得到山高h．以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．随堂练习课本第95页练习第1题、第2题．课时总结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，•转化为解直角三角形的问题）．2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．3．得到数学问题的答案．4．得到实际问题的答案．教后反思:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 第4课时作业设计课本练习课本第97页习题28．2拓广探索第9题、第10题．双基与中考一、选择题．1．如图，轮船航行到C处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°，那么同时从B观测到轮船的方向是（）．A．南偏西35°B．东偏西35°C．南偏东55°D．南偏东35°(第1题) (第5题) (第8题) 2．•身高相同的三个小朋友甲、•乙、•丙放风筝，•他们放出的线长分别是300m，250m，200m，线与地面所成的角分别为30°、45°、60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放风筝（）．A．甲的最高B．乙的最低C．丙的最低D．乙的最高3．一日上午8时到12时，若太阳光线与地面所成角由30°增大到45°，•一棵树的高为10m，则树在地面上影长h的范围是（）．A．5<h≤B．10≤h≤C．10<h<15 D．4．△ABC中，AB=6，AC=3，则∠B最大值是（）．A．30°B．45°C．60°D．无法确定5．如图，水库大坝横断面为梯形，坝顶宽6m，坝高2m，斜坡AB的坡角为45°，•斜坡CD的坡度i=1：2，则坝底AD的长为（）．A．42m B．（）m C．78m D．（）m6．△ABC中，+（2=0且AB=4，则△ABC的面积是（）．A．B．4 C．D．27．一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘船以28海里/小时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时，灯塔M 与渔船的距离是（）．A．B．C．7 D．148．某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，•使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板AC的宽度应为（）．A．1.8tan80°m B．1.8cos80°mC．1.8sin80︒D．1.8cot80°m9．若菱形的边长为4，它的一个内角为126°，则较短的对角线长为（ ）．A ．4sin54°B ．4cos63°C ．8sin27°D ．8cos27°10．如图，上午9时，一条船从A 处出发以20海里/小时的速度向正北方向航行，•11时到达B 处，从A 、B 望灯塔C ，测得∠NAC=36°，∠NBC=72°，那么从B 处到灯塔C 的距离是（ ）．A ．20海里B ．36海里C ．72海里D ．40海里 北BA NC(第10题) (第11题)11．如图，一电线杆AB 的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1•米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB 落在地上的影子BD 长3米，落在墙上的影子CD 的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB 的高，•请你计算电线杆AB 的高为（ ）．A ．5米B ．6米C ．7米D ．8米二、填空题．12．升国旗时，某同学站在离旗杆底部24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，•该同学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面1.5m ，则旗杆高度为______m ．（•用含根号的式子表示）13．在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45°，沿水平方向，•再向塔底前进a 米，又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔高为________．• • •14．•如图一铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD ，•根据图示数据得下底宽AD=______米．(第14题) (第15题)15．如图△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，4），（3，0），并且∠ACB=90°，∠B=•30°，则顶点B的坐标是________．16．如图，•燕尾槽的外口宽AD=•90mm，•深为70mm，•燕尾角为60•°，•则里口宽为________．(第16题) (第17题)17．如图，从高出海平面500m的直升飞机上，测得两艘船的俯角分别为45•°和30°，如果这两艘船一个在正东，一个在正西，那么它们之间的距离为______．三、解答题．18．甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以16．1海里/小时的速度向东偏南35°方向航行，乙船向西偏南58°，方向航行，航行了两小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正西方向，求乙船的速度v．（精确到0.1海里/小时）（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，cot32°≈1.60）19．去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，•为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A、B两地之间修筑一条笔直公路（图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C•处有一个半径为0.7千米的公园，问计算修筑的这条公路会不会穿出公园？为什么？A B答案：一、1．D 2．D 3．B 4．A 5．C 6．A 7．A 8．D 9．C 10．D11．D 二、12．332 1333米 14．29.2 15．（3316．（90+33）mm 17．500（3）m三、18．由题意可知：OA=16．1×2=32.2（海里）．∠1=32°，∠2=58°．∴∠AOB=180°-（∠1+∠2）=180°-（32°+58°）=90°．由B 在A 的正西方向，可得：∠A=∠1=32°．又∵在Rt △AOB 中，tanA=OBOA ，∴OB=OA ·tanA=32.2×tan32°=32.2×0.62=19.964（海里）．∴v=2OB=19.964÷2=9.982≈10.0（海里/小时）．即：乙船的速度约为10.0海里/小时．19．过点C 作CD ⊥AB 于D ，3，这条公路不会穿过公园．。

方向角练习题方向角是描述物体朝向的角度，在物理学和几何学中有着重要的应用。

掌握方向角的概念和计算方法对于解决各种问题具有重要意义。

本文将为大家提供方向角的练习题，以帮助大家巩固对方向角的理解和运用。

题1：平面直角坐标系在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3, 4)。

求点A与正x轴的方向角。

解答：首先，利用坐标差公式计算点A与原点的距离d：d = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]= √[(3 - 0)^2 + (4 - 0)^2]= √[9 + 16]= √25= 5然后，求出点A与正x轴的夹角θ：θ = arccos(x/d)= arccos(3/5)≈ arccos(0.6)≈ 53.13°所以，点A与正x轴的方向角为约53.13°。

题2：极坐标系在极坐标系中，点B的坐标为(6, 30°)。

求点B与正x轴的方向角。

解答：根据极坐标系的定义，点B的坐标表示距离r为6，极角θ为30°。

由于正x轴的方向角为0°，所以点B与正x轴的方向角为：θ' = θ - 0= 30° - 0°= 30°所以，点B与正x轴的方向角为30°。

题3：三维直角坐标系在三维直角坐标系中，点C的坐标为(2, -3, 4)。

求点C的方向角。

解答：首先，利用坐标差公式计算点C与原点的距离d：d = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2]= √[(2 - 0)^2 + (-3 - 0)^2 + (4 - 0)^2]= √[4 + 9 + 16]= √29然后，求出点C与正x轴的夹角θx：θx = arccos(x/d)= arccos(2/√29)≈ arccos(0.374)≈ 67.78°接着，求出点C与正y轴的夹角θy：θy = arccos(y/d)= arccos(-3/√29)≈ arccos(-0.561)≈ 125.89°最后，求出点C与正z轴的夹角θz：θz = arccos(z/d)= arccos(4/√29)≈ arccos(0.748)≈ 42.11°所以，点C的方向角为约67.78°、125.89°和42.11°。

方位角的解题技巧方位角是一个重要的地理概念，用于描述一个方向相对于北方的角度。

在解题时，掌握一些技巧可以帮助你更快速、准确地找到答案。

1. 理解基本概念：首先，要清楚方位角的定义。

方位角是从北方向开始，顺时针测量到目标方向的角度。

通常，方位角取值范围是0°到360°，其中0°或360°代表正北方向，90°代表正东方向，180°代表正南方向，270°代表正西方向。

2. 使用方位角图：在解决涉及方位角的问题时，可以绘制一个简单的方位角图。

这样可以帮助你直观地理解各个方向之间的关系，从而更容易找到答案。

3. 利用角度关系：方位角之间有一定的角度关系。

例如，东和南之间的夹角是90°，南和西之间的夹角是90°。

了解这些角度关系可以帮助你快速计算出某个方位角。

4. 注意角度的连续性：方位角是连续的，这意味着如果你从北方向开始测量一个角度，然后向东移动，下一个方向应该是东南。

同样地，从东南转向西南也是连续的。

理解这种连续性可以帮助你更准确地描述方向变化。

5. 应用在实际问题中：方位角不仅用于解决数学问题，还可以用于解决实际问题，如导航、气象观测等。

通过将理论知识应用于实际问题，你可以更好地理解和掌握方位角的概念。

6. 练习和巩固：最后，通过大量的练习来巩固你的方位角知识。

这可以通过解决各种方位角问题来实现，例如计算两个方向之间的夹角、确定某个物体的位置等。

通过掌握这些技巧，你可以更有效地解决涉及方位角的问题。

同时，不断练习和巩固也是提高方位角解题能力的关键。

二、解直角三角形的运用--仰角与俯角知识点1 解直角三角形1. 解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． 2.解直角三角形要用到的关系 （1）锐角直角的关系：∠A+∠B=90° （1）三边之间的关系：a 2+b 2=c 2（3）边角之间的关系：c a A ==斜边对边sin ，c b A ==斜边邻边cos ，baA ==邻边对边tan （a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边） 知识点2 方向角方向角的概念：是指采用某坐标轴方向作为标准方向所确定的方位角。

一．选择题（共7小题）1．如图为东西流向且河岸平行的一段河道，点A ，B 分别为两岸上一点，且点B 在点A 正北方向，由点A 向正东方向走a 米到达点C ，此时测得点B 在点C 的北偏西55°方向上，则河宽AB 的长为（ ）方向角知识导航A．a tan55°米B．米C．米D．米【解答】解：连接AB，BC，由题意得，∠BAC＝90°，∠ABC＝55°，AC＝a米，∴tan∠ABC＝tan55°＝，∴AB＝＝，故选：D．2．如图，一艘海伦位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离PB 的长可以表示为（）A．40海里B．40sin37°海里C．40cos37°海里D．40tan37°海里【解答】解：∵一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，∴∠BAP＝37°，∵AP＝40海里，∴BP＝AP•sin37°＝40sin37°海里；故选：B．3．如图，一艘轮船在A处测的灯塔C在北偏西15°的方向上，该轮船又从A处向正东方向行驶20海里到达B处，测的灯塔C在北偏西60°的方向上，则轮船在B处时与灯塔C之间的距离（即BC的长）为（）A．40海里B．（20+10）海里C．40海里D．（10+10）海里【解答】解：过A作AD⊥BC于D，如图所示：在Rt△ABD中，∠ABD＝90°﹣60°＝30°，AB＝20海里，∴AD＝AB＝10（海里），BD＝AD＝AB＝10（海里），∵∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠BAC＝90°+15°＝105°，∴∠C＝180°﹣105°﹣30°＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴CD＝AD＝10（海里），∴BC＝BD+CD＝（10+10）海里，故选：D．4．如图，一般客轮从小岛A沿东北方向航行，同时一艘补给船从小岛A正东方向相距（100+100）海里的港口B出发，沿北偏西60°方向航行，与客轮同时到达C处给客轮进行补给，则客轮与补给船的速度之比为（）A．：2 B．：1 C．：2 D．：1【解答】解：过C作CD⊥AB于D，设AD＝x，由题意得∠CAD＝45°，∠NBC＝60°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACD＝∠CAD，∴CD＝AD＝x，∴AC＝＝x，在Rt△BCD中，∠CBD＝90°﹣60°＝30°，∴BC＝2CD＝2x，∴BD＝＝x，∵AB＝100+100，∴AD+BD＝x+x＝100+100，∴（1+）x＝100（1+），∴x＝100，即AD＝100海里，∴AC＝100海里，BC＝200海里，∵时间一定时速度与路程成正比，∴客轮与补给船的速度之比为100：200＝：2，故选：A．5．如图，一渔船以32海里/时的速度向正北航行，在A处看到灯塔S在渔船的北偏东30°，半小时后航行到B处看到灯塔S在船的北偏东60°，若渔船继续向正北航行到C处时，此时渔船在灯塔S的正西方向，此时灯塔S与渔船的距离（）A．16海里B．18海里C．8海里D．8海里【解答】解：由题意得，AB＝32×＝16（海里），∠ACS＝90°，∵∠A＝30°，∠CBS＝60°，∴∠ASB＝∠CBS﹣∠A＝30°，∴∠ASB＝∠A，∴BS＝AB＝16（海里），在Rt△CBS中，sin∠CBS＝，∴CS＝BS•sin∠CBS＝16×＝8（海里），故选：D．6．如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是（）A．10海里B．（10﹣10）海里C．（10﹣10）海里D．10海里【解答】解：由题意得：∠CAP＝30°，∠CBP＝45°，BC＝10海里，在Rt△APC中，∵∠CAP＝30°，∴AC＝＝＝10（海里），∴AB＝AC﹣BC＝（10﹣10）海里．故选：C．7．如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝6千米，则A，B两点的距离为（）千米．A．4 B．4C．2 D．6【解答】解：由题意知，∠P AB＝30°，∠PBC＝60°，∴∠APB＝∠PBC﹣∠P AB＝60°﹣30°＝30°，∴∠P AB＝∠APB，∴AB＝PB，在Rt△P AC中，∵AP＝6千米，∴PC＝P A＝3千米，在Rt△PBC中，∵sin∠PBC＝，∴PB＝＝＝6千米．故选：D．二．解答题（共8小题）8．一辆小汽车在某城市道路上自西向东行驶，某“玩转数学”活动小组在距路边20米的点C处放置了“检测仪器”，测得该车从北偏西60°方向的点A行驶到东北方向的点B，所用时间为6秒．（1）求AB的长；（2）求该车的速度约为多少米/秒？（精确到0.1，参考数据：≈1.414，≈1.732）【解答】解：（1）由题意可知，CD＝20m，∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，CD＝20m，∴AD＝tan∠ACD•CD＝20（m），在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，CD＝20m，∴BD＝CD＝20m，∴AB＝AD+BD＝（20+20）m，答：AB的长度为（20+20）m；（2）该车的速度为（20+20）÷6≈9.1（米/秒），答：该车的速度约为9.1米/秒．9．如图，某海岸线M的方向为北偏东75°，甲、乙两船同时出发向C处海岛运送物资．甲船从港口A处沿北偏东45°方向航行，乙船从港口B处沿北偏东30°方向航行，其中乙船的平均速度为v．若两船同时到达C处海岛，求甲船的平均速度．（结果用v表示．参考数据：≈1.4，≈1.7）【解答】解：过点C作CD⊥AM，垂足为D，由题意得，∠CAD＝75°﹣45°＝30°，∠CBD＝75°﹣30°＝45°，设CD＝a，则BD＝a，BC＝a，AC＝2CD＝2a，∵两船同时到达C处海岛，∴t甲＝t乙，即＝，∴＝，∴V甲＝＝v≈1.4v．10．小张早起在一条东西走向的笔直马路上晨跑，他在A处时，D处学校和E处图书馆都在他的东北方向，当小张沿正东方向跑了600m到达B处时，E处图书馆在他的北偏东15°方向，然后他由B处继续向正东方向跑600m到达C处，此时D处学校在他的北偏西63.4°方向，求D处学校和E处图书馆之间的距离．（结果保留整数）（参考数据：sin63.4°≈0.9，cos63.4°≈0.4，tan63.4°≈2.0，≈1.4，≈1.7，≈2.4）【解答】解：过D作DM⊥AC于M，设MD＝x，在Rt△MAD中，∠MAD＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AM＝MD＝x，∴AD＝x，在Rt△MCD中，∠MDC＝63.4°，∴MC≈2MD＝2x，∵AC＝600+600＝1200，∴x+2x＝1200，解得：x＝400，∴MD＝400m，∴AD＝MD＝400，过B作BN⊥AE于N，∵∠EAB＝45°，∠EBC＝75°，∴∠E＝30°，在Rt△ABN中，∠NAB＝45°，AB＝600，∴BN＝AN＝AB＝300，∴DN＝AD﹣AN＝400﹣300＝100，在Rt△NBE中，∠E＝30°，∴NE＝BN＝×300＝300，∴DE＝NE﹣DN＝300﹣100≈580（m），即临D处学校和E处图书馆之间的距离是580m．11．如图，线段EF与MN表示某一段河的两岸，EF∥MN．综合实践课上，同学们需要在河岸MN上测量这段河的宽度（EF与MN之间的距离），已知河对岸EF上有建筑物C、D，且CD＝60米，同学们首先在河岸MN上选取点A处，用测角仪测得C建筑物位于A 北偏东45°方向，再沿河岸走20米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）【解答】解：如图，过C、D分别作CP⊥MN、DQ⊥MN垂足为P、Q，设河宽为x米．由题意知，△ACP为等腰直角三角形，∴AP＝CP＝x（米），BP＝x﹣20（米），在Rt△BDQ中，∠BDQ＝55°，∴，∴tan55°⋅x＝x+40，∴（tan55°﹣1）⋅x＝40，∴，所以河宽为米．答：河宽为米．12．小明在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，并由A点向南偏西45°方向行走到达B点测得C点在B点的北偏西45°方向，继续向正西方向行走2km后到达D点，测得C 点在D点的北偏东22.5°方向，求A，C两点之间的距离．（结果保留0.1km．参数数据≈1.732）【解答】解：过点A作AM∥BD，过B点作BM⊥BD，AM与BM交于点M，∵在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，∴∠NAC＝75°，∴∠CAM＝15°，∵由A点向南偏西45°方向行走到达B点，∴∠MAB＝45°，∴∠MBA＝45°，∵C点在B点的北偏西45°方向，∴∠CBM＝45°，∴∠CBA＝90°，∠CBD＝45°，∵C点在D点的北偏东22.5°方向，∴∠PDC＝22.5°，∴∠DCB＝67.5°，∴∠BDC＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴BD＝BC，由题可得DB＝2km，∴BC＝2km，在Rt△ABC中，∠CAB＝15°+45°＝60°，BC＝2，∴AC＝≈1.3km．13．如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行．为测量其宽度，小明在南岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向，他以1.5m/s的速度沿着河岸向东步行40s后到达C处，此时测得大树位于北偏东45°方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据：≈1.732）【解答】解：如图，作AD⊥BC于D．由题意可知：BC＝1.5×40＝60（m），∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∠ACD＝90°﹣45°＝45°，在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝tan45°＝＝1，∴AD＝CD，在Rt△ABD中，∵tan∠ABD＝tan30°＝，∴BD＝，∵BC＝BD﹣CD＝﹣AD＝60（m），∴AD＝30（+1）≈82（m），答：此段河面的宽度约82m．14．时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A 处向正南方向走300米到达革命纪念碑B处，再从B处向正东方向走到党史纪念馆C处，然后从C处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D处，最后从D处回到A处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【解答】解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，如图所示：由题意得：∠CDF＝37°，CD＝200米，在Rt△CDF中，sin∠CDF＝＝sin37°≈0.60，cos∠CDF＝＝cos37°≈0.80，∴CF≈200×0.60＝120（米），DF≈200×0.80＝160（米），∵AB⊥BC，DF⊥BC，DE⊥AB，∴∠B＝∠DFB＝∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形，∴BF＝DE，BE＝DF＝160米，∴AE＝AB﹣BE＝300﹣160＝140（米），在Rt△ADE中，tan∠DAE＝＝tan65°≈2.14，∴DE≈AE×2.14＝140×2.14＝299.60（米），∴BF＝DE≈299.60（米），∴BC＝BF+CF＝299.60+120≈420（米），答：革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为420米．15．如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84，取1.73．【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC，垂足为H，由题意得，∠BAC＝60°，∠BCA＝40°，AC＝257海里，在Rt△ABH中，∵tan∠BAH＝，cos∠BAH＝，∴BH＝AH•tan60°＝AH，AB＝＝2AH，在Rt△BCH中，∵tan∠BCH＝，∴CH＝＝，又∵CA＝CH+AH，∴257＝+AH，所以AH＝，∴AB＝≈＝168（海里），答：AB的长约为168海里．。

1.5三角函数的应用第1课时方位角问题基础题知识点方位角问题1．(河北中考)已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是( )2．(南充中考)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，那么海轮航行的距离AB长是( )A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里3．如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是多少海里( )A．253B．252C．50 D．254．如图，一轮船由南向北航行到O处时，发现与轮船相距40海里的A岛在北偏东33°方向．已知A岛周围20海里水域有暗礁，如果不改变航向，轮船____________(填“有”或“没有”)触礁的危险．(可使用科学计算器)5．(南宁中考)如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于____________海里．6．(资阳中考)如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45°的方向上(其中A、B、C在同一个平面上)．求这个标志性建筑物的底部A到岸边BC的最短距离．中档题7．(荆门中考)如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A 处朝正南方向撤退，红方在公路上的B 处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1 000米到达C 处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D 处成功拦截蓝方，求拦截点D 处到公路的距离(结果保留根号)．8．(锦州中考)如图所示，位于A 处的海上救援中心获悉：在其北偏东68°方向的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．该中心立即把消息告知在其北偏东30°相距20海里的C 处救生船，并通知救生船，遇险船在它的正东方向B 处，现救生船沿着航线CB 前往B 处救援，若救生船的速度为20海里/时，请问：救生船到达B 处大约需要多长时间？(结果精确到0.1小时，参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80)综合题9．(营口中考)如图，我国南海某海域A 处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B 处，该渔政船收到渔政求救中心指令前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏西60°方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C 处，同时捕鱼船低速航行到A 点的正北1.5海里D 处，渔政船航行到点C 处时测得点D 在南偏东53°方向上．(参考数据：sin50°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43) (1)求C 、D 两点的距离；(2)渔政船决定再次调整航向前去救援，若两次航速不变，并且在点E处相会合，求∠ECD的正弦值．。

九年级数学方位角知识点方位角是我们在解决与角度相关的问题时经常使用的一个概念。

它是与x轴的正方向之间的角度，顺时针方向为正，逆时针方向为负。

在九年级数学课程中，我们需要了解关于方位角的一些基本概念和应用。

一、方位角的定义和表示方位角可以通过一个与x轴的正方向之间的角度来进行表示。

例如，如果我们需要描述一个点在平面直角坐标系中的位置，我们可以使用方位角来表示。

对于点P(x,y)，其中x和y表示点P在x轴和y轴上的坐标，则P的方位角θ可以通过以下公式来计算：θ = arctan (y/x)这里，arctan是反正切函数。

二、方位角的范围方位角的范围通常是以弧度为单位的。

在一圈中，方位角θ的取值范围为0到2π(rad)。

0对应于与x轴正向重合的方向，π/2对应于与y轴正向重合的方向，π对应于与x轴负向重合的方向，以此类推。

三、方位角的应用方位角可以在很多数学问题中发挥重要作用。

下面是一些具体的应用场景：1. 导航和航空导航：在导航和航空导航中，确定物体的方位是至关重要的。

通过计算方位角，我们可以确定目标物体与参考点之间的角度差，从而确定正确的方向。

2. 相位差和波的震动：在物理学中，方位角可以用于描述两个波之间的相位差。

它可以告诉我们两个波在时间上的偏移量。

3. 几何问题：在几何学中，我们常常需要计算点、直线和平面之间的相对位置。

方位角可以提供一个有效的方式来描述和计算这些关系。

4. 运动学和力学问题：方位角也在运动学和力学问题中起着重要作用。

它可以帮助我们计算物体的速度、加速度和力的分量。

四、方位角的计算方法计算方位角可以使用反正切函数，也可以使用三角函数来实现。

在实际问题中，根据具体情况选择最适合的方法。

另外，如果我们已知一个角的正弦或余弦值，也可以通过查阅三角函数表来计算方位角。

三角函数表中列出了常见角度对应的正弦、余弦和正切值。

五、方位角与坐标变换方位角还可以通过坐标变换来进行计算。

假设我们要将一个点P(x,y)绕原点逆时针旋转θ弧度，我们可以使用以下公式来计算旋转后的点P'的坐标：x' = x*cos(θ) - y*sin(θ)y' = x*sin(θ) + y*cos(θ)这个公式可以帮助我们在进行坐标变换时方便地计算新的坐标。

平面向量的方向角及其性质平面向量是解决平面几何问题中常用的工具，它们具有方向和大小两个重要属性。

其中，方向角是描述向量方向的一种特殊方式，通过表示向量与某一固定轴之间的夹角来进行描述。

本文将介绍平面向量的方向角及其性质。

一、方向角的定义方向角是指向量与某一固定轴之间的夹角，通常以度数或弧度来表示。

我们常常使用弧度来描述方向角，在数学中，弧度用于衡量角度的大小，它是一个无单位的量。

二、方向角的计算为了计算一个向量的方向角，我们需要先确定一个固定的轴。

在坐标平面上，我们通常选择x轴作为固定轴。

对于给定的向量a(x, y)，我们可以使用反三角函数来计算它与x轴的夹角θ：θ = arctan(y/x)需要注意的是，方向角的范围通常由-π到π或0°到360°。

为了保持一致性，在计算方向角时需要根据向量的坐标系来确定所取的值范围。

三、方向角的性质1. 相反向量具有相同的方向角。

如果有两个向量a和-b，那么它们的方向角相同，只是方向相反。

2. 平行向量具有相同或相反的方向角。

如果有两个平行向量a和b，那么它们的方向角要么相同，要么相差180°。

3. 垂直向量的方向角相差90°。

如果有两个垂直向量a和b，它们的方向角之间相差90°。

4. 方向角与向量的正负有关。

正方向上的角度取正值，负方向上的角度则取负值。

5. 当向量与x轴平行时，方向角为0°或0弧度。

当向量与y轴平行时，方向角为90°或π/2弧度。

四、方向角的应用方向角在平面向量的运算中是非常有用的。

主要应用包括：1. 向量的坐标表示：根据向量的大小和方向角，可以将向量表示为坐标形式，以便进行计算和分析。

2. 向量的旋转：通过改变向量的方向角，可以实现对向量的旋转操作，这在图形变换和几何图形的构造中非常常见。

3. 向量的投影：通过计算向量在某一方向上的投影，可以实现向量与向量之间的相关性分析，对于解决实际问题非常有帮助。

平面向量的方向角和方向余弦平面向量是在平面上具有大小和方向的矢量。

在解决许多物理和数学问题时，了解平面向量的方向角和方向余弦是非常重要的。

本文将介绍平面向量的方向角和方向余弦的概念、计算方法以及其应用。

一、平面向量的方向角和方向余弦的概念平面向量的方向角是指与某一固定方向之间的夹角，以及相对于坐标轴的夹角。

方向余弦是指平面向量与坐标轴之间的夹角的余弦值。

方向角和方向余弦可以帮助我们准确地描述向量在平面上的朝向。

二、计算平面向量的方向角和方向余弦的方法1. 方向角的计算：要计算平面向量的方向角，可以使用以下公式：θ = arctan(y/x) (1)其中，(x,y)为平面向量的坐标。

2. 方向余弦的计算：设平面向量为A = (a,b)，则相对于x轴和y轴的方向余弦分别为：cosα = a/│A│ (2)cosβ = b/│A│ (3)其中，α和β为平面向量相对于x轴和y轴的方向余弦。

三、平面向量方向角和方向余弦的应用平面向量的方向角和方向余弦在很多实际问题中具有重要的应用价值，下面将介绍其中几个常见的应用。

1. 坐标变换：平面向量的方向角和方向余弦可以帮助我们在不同坐标系之间进行转换。

通过计算不同坐标系下的方向角和方向余弦，可以将一个向量在不同的坐标系中进行准确描述和比较。

2. 向量的投影：通过计算平面向量的方向角和方向余弦，可以方便地确定向量在特定方向上的分量。

这对于解决许多问题非常有用，如力的分解和合成、平面上的运动等。

3. 三角形的面积计算：当我们知道三角形的两边和它们夹角的余弦值时，可以利用平面向量的方向余弦计算三角形的面积。

这是解决几何问题时常用的方法之一。

4. 向量夹角的计算：平面向量的方向角和方向余弦也可以用于计算向量之间的夹角。

通过计算两个向量的方向余弦，可以求解向量夹角的余弦值。

这对于解决两个向量之间的关系、求解向量的夹角等问题非常有帮助。

在物理学和工程学等领域，平面向量的方向角和方向余弦是一些基本概念。