解直角三角形(方位角问题)

1.如下图，某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A 测得某岛C 在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B 测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁。

（1）说明点B 是否在暗礁区域内；（2）若继续向东航行有无触礁的危险？请说明理由。

2.如图，海岛A 四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B 处见岛A 在北偏西60˚，航行24海里到C ，见岛A 在北偏西15˚，货轮继续向西航行，有无触礁的危险3.如图所示，A 、B 两城市相距100km ．现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内．请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区．为什么？（参考数据：3 1.7322 1.414≈，≈）4.为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛A 北偏西45°并距该岛20海里的B 处待命．位于该岛正西方向C 处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60°的方向有我军护航舰（如图所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿BC 航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C 处？（结果精确到个位）5.如图，某天然气公司的主输气管道从A 市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A 处测得要安装天然气的M 小区在A 市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C 处，测得小区M 位于C 的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N ，使到该小区铺设的管道最短，并求AN 的长.6.如图，A 城气象台测得台风中心在A 城的正西方300千米处，以每小时10千米的速度向北偏东60º的BF 方向移动，距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域。

:i h l=hlα基础知识2解直角三角形的应用举例1.仰角与俯角：仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

2.坡度与坡角：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即hi l=。

坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等. 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα== 3.方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方位角.如图,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）.【题型1】仰角与俯角如图，两幢建筑物AB 和CD ，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB ＝15m ，CD ＝20m ，AB 和CD 之间有一观景池，小南在A 点测得池中喷泉处E 点的俯角为42°，在C 点测得E 点的俯角为45°（点B 、E 、D 在同一直线上），求两幢建筑物之间的距离BD （结果精确到0.1m ）.（参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90）【变式训练】1.如图,宁宁在家里楼顶上的点A处，测量建在与自家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为多少米（精确到0.1）.2.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）.（参考数据：≈1.414，≈1.732）3.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度．4.如图，曦曦在M处用高1米(DM＝1米)的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高度．【题型2】坡度与坡角如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是多少？【变式训练】1.如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米？2.如图，为了缓解交通拥堵，方便行人，在某街道计划修建一座横断面为梯形ABCD的过街天桥，若天桥斜坡AB的坡角∠BAD为35°，斜坡CD的坡度为i＝1∶1.2(垂直高度CE与水平宽度DE的比)，上底BC＝10 m，天桥高度CE＝5 m，求天桥下底AD的长度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin35°≈ 0.57，cos35°≈ 0.82，tan35°≈ 0.70)3.如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1∶3，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比).4.如图，曦曦在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点C 的仰角为60° ，沿山坡向上走到P 处再测得点C 的仰角为45° ，已知OA=100米，山坡坡度为i=1:2， 且O 、A 、B 在同一条直线上。

二、解直角三角形的运用--仰角与俯角知识点1 解直角三角形1. 解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． 2.解直角三角形要用到的关系 （1）锐角直角的关系：∠A+∠B=90° （1）三边之间的关系：a 2+b 2=c 2（3）边角之间的关系：c a A ==斜边对边sin ，c b A ==斜边邻边cos ，baA ==邻边对边tan （a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边） 知识点2 方向角方向角的概念：是指采用某坐标轴方向作为标准方向所确定的方位角。

一．选择题（共7小题）1．如图为东西流向且河岸平行的一段河道，点A ，B 分别为两岸上一点，且点B 在点A 正北方向，由点A 向正东方向走a 米到达点C ，此时测得点B 在点C 的北偏西55°方向上，则河宽AB 的长为（ ）方向角知识导航A．a tan55°米B．米C．米D．米【解答】解：连接AB，BC，由题意得，∠BAC＝90°，∠ABC＝55°，AC＝a米，∴tan∠ABC＝tan55°＝，∴AB＝＝，故选：D．2．如图，一艘海伦位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离PB 的长可以表示为（）A．40海里B．40sin37°海里C．40cos37°海里D．40tan37°海里【解答】解：∵一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，∴∠BAP＝37°，∵AP＝40海里，∴BP＝AP•sin37°＝40sin37°海里；故选：B．3．如图，一艘轮船在A处测的灯塔C在北偏西15°的方向上，该轮船又从A处向正东方向行驶20海里到达B处，测的灯塔C在北偏西60°的方向上，则轮船在B处时与灯塔C之间的距离（即BC的长）为（）A．40海里B．（20+10）海里C．40海里D．（10+10）海里【解答】解：过A作AD⊥BC于D，如图所示：在Rt△ABD中，∠ABD＝90°﹣60°＝30°，AB＝20海里，∴AD＝AB＝10（海里），BD＝AD＝AB＝10（海里），∵∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠BAC＝90°+15°＝105°，∴∠C＝180°﹣105°﹣30°＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴CD＝AD＝10（海里），∴BC＝BD+CD＝（10+10）海里，故选：D．4．如图，一般客轮从小岛A沿东北方向航行，同时一艘补给船从小岛A正东方向相距（100+100）海里的港口B出发，沿北偏西60°方向航行，与客轮同时到达C处给客轮进行补给，则客轮与补给船的速度之比为（）A．：2 B．：1 C．：2 D．：1【解答】解：过C作CD⊥AB于D，设AD＝x，由题意得∠CAD＝45°，∠NBC＝60°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACD＝∠CAD，∴CD＝AD＝x，∴AC＝＝x，在Rt△BCD中，∠CBD＝90°﹣60°＝30°，∴BC＝2CD＝2x，∴BD＝＝x，∵AB＝100+100，∴AD+BD＝x+x＝100+100，∴（1+）x＝100（1+），∴x＝100，即AD＝100海里，∴AC＝100海里，BC＝200海里，∵时间一定时速度与路程成正比，∴客轮与补给船的速度之比为100：200＝：2，故选：A．5．如图，一渔船以32海里/时的速度向正北航行，在A处看到灯塔S在渔船的北偏东30°，半小时后航行到B处看到灯塔S在船的北偏东60°，若渔船继续向正北航行到C处时，此时渔船在灯塔S的正西方向，此时灯塔S与渔船的距离（）A．16海里B．18海里C．8海里D．8海里【解答】解：由题意得，AB＝32×＝16（海里），∠ACS＝90°，∵∠A＝30°，∠CBS＝60°，∴∠ASB＝∠CBS﹣∠A＝30°，∴∠ASB＝∠A，∴BS＝AB＝16（海里），在Rt△CBS中，sin∠CBS＝，∴CS＝BS•sin∠CBS＝16×＝8（海里），故选：D．6．如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是（）A．10海里B．（10﹣10）海里C．（10﹣10）海里D．10海里【解答】解：由题意得：∠CAP＝30°，∠CBP＝45°，BC＝10海里，在Rt△APC中，∵∠CAP＝30°，∴AC＝＝＝10（海里），∴AB＝AC﹣BC＝（10﹣10）海里．故选：C．7．如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝6千米，则A，B两点的距离为（）千米．A．4 B．4C．2 D．6【解答】解：由题意知，∠P AB＝30°，∠PBC＝60°，∴∠APB＝∠PBC﹣∠P AB＝60°﹣30°＝30°，∴∠P AB＝∠APB，∴AB＝PB，在Rt△P AC中，∵AP＝6千米，∴PC＝P A＝3千米，在Rt△PBC中，∵sin∠PBC＝，∴PB＝＝＝6千米．故选：D．二．解答题（共8小题）8．一辆小汽车在某城市道路上自西向东行驶，某“玩转数学”活动小组在距路边20米的点C处放置了“检测仪器”，测得该车从北偏西60°方向的点A行驶到东北方向的点B，所用时间为6秒．（1）求AB的长；（2）求该车的速度约为多少米/秒？（精确到0.1，参考数据：≈1.414，≈1.732）【解答】解：（1）由题意可知，CD＝20m，∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，CD＝20m，∴AD＝tan∠ACD•CD＝20（m），在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，CD＝20m，∴BD＝CD＝20m，∴AB＝AD+BD＝（20+20）m，答：AB的长度为（20+20）m；（2）该车的速度为（20+20）÷6≈9.1（米/秒），答：该车的速度约为9.1米/秒．9．如图，某海岸线M的方向为北偏东75°，甲、乙两船同时出发向C处海岛运送物资．甲船从港口A处沿北偏东45°方向航行，乙船从港口B处沿北偏东30°方向航行，其中乙船的平均速度为v．若两船同时到达C处海岛，求甲船的平均速度．（结果用v表示．参考数据：≈1.4，≈1.7）【解答】解：过点C作CD⊥AM，垂足为D，由题意得，∠CAD＝75°﹣45°＝30°，∠CBD＝75°﹣30°＝45°，设CD＝a，则BD＝a，BC＝a，AC＝2CD＝2a，∵两船同时到达C处海岛，∴t甲＝t乙，即＝，∴＝，∴V甲＝＝v≈1.4v．10．小张早起在一条东西走向的笔直马路上晨跑，他在A处时，D处学校和E处图书馆都在他的东北方向，当小张沿正东方向跑了600m到达B处时，E处图书馆在他的北偏东15°方向，然后他由B处继续向正东方向跑600m到达C处，此时D处学校在他的北偏西63.4°方向，求D处学校和E处图书馆之间的距离．（结果保留整数）（参考数据：sin63.4°≈0.9，cos63.4°≈0.4，tan63.4°≈2.0，≈1.4，≈1.7，≈2.4）【解答】解：过D作DM⊥AC于M，设MD＝x，在Rt△MAD中，∠MAD＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AM＝MD＝x，∴AD＝x，在Rt△MCD中，∠MDC＝63.4°，∴MC≈2MD＝2x，∵AC＝600+600＝1200，∴x+2x＝1200，解得：x＝400，∴MD＝400m，∴AD＝MD＝400，过B作BN⊥AE于N，∵∠EAB＝45°，∠EBC＝75°，∴∠E＝30°，在Rt△ABN中，∠NAB＝45°，AB＝600，∴BN＝AN＝AB＝300，∴DN＝AD﹣AN＝400﹣300＝100，在Rt△NBE中，∠E＝30°，∴NE＝BN＝×300＝300，∴DE＝NE﹣DN＝300﹣100≈580（m），即临D处学校和E处图书馆之间的距离是580m．11．如图，线段EF与MN表示某一段河的两岸，EF∥MN．综合实践课上，同学们需要在河岸MN上测量这段河的宽度（EF与MN之间的距离），已知河对岸EF上有建筑物C、D，且CD＝60米，同学们首先在河岸MN上选取点A处，用测角仪测得C建筑物位于A 北偏东45°方向，再沿河岸走20米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）【解答】解：如图，过C、D分别作CP⊥MN、DQ⊥MN垂足为P、Q，设河宽为x米．由题意知，△ACP为等腰直角三角形，∴AP＝CP＝x（米），BP＝x﹣20（米），在Rt△BDQ中，∠BDQ＝55°，∴，∴tan55°⋅x＝x+40，∴（tan55°﹣1）⋅x＝40，∴，所以河宽为米．答：河宽为米．12．小明在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，并由A点向南偏西45°方向行走到达B点测得C点在B点的北偏西45°方向，继续向正西方向行走2km后到达D点，测得C 点在D点的北偏东22.5°方向，求A，C两点之间的距离．（结果保留0.1km．参数数据≈1.732）【解答】解：过点A作AM∥BD，过B点作BM⊥BD，AM与BM交于点M，∵在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，∴∠NAC＝75°，∴∠CAM＝15°，∵由A点向南偏西45°方向行走到达B点，∴∠MAB＝45°，∴∠MBA＝45°，∵C点在B点的北偏西45°方向，∴∠CBM＝45°，∴∠CBA＝90°，∠CBD＝45°，∵C点在D点的北偏东22.5°方向，∴∠PDC＝22.5°，∴∠DCB＝67.5°，∴∠BDC＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴BD＝BC，由题可得DB＝2km，∴BC＝2km，在Rt△ABC中，∠CAB＝15°+45°＝60°，BC＝2，∴AC＝≈1.3km．13．如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行．为测量其宽度，小明在南岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向，他以1.5m/s的速度沿着河岸向东步行40s后到达C处，此时测得大树位于北偏东45°方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据：≈1.732）【解答】解：如图，作AD⊥BC于D．由题意可知：BC＝1.5×40＝60（m），∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∠ACD＝90°﹣45°＝45°，在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝tan45°＝＝1，∴AD＝CD，在Rt△ABD中，∵tan∠ABD＝tan30°＝，∴BD＝，∵BC＝BD﹣CD＝﹣AD＝60（m），∴AD＝30（+1）≈82（m），答：此段河面的宽度约82m．14．时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A 处向正南方向走300米到达革命纪念碑B处，再从B处向正东方向走到党史纪念馆C处，然后从C处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D处，最后从D处回到A处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【解答】解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，如图所示：由题意得：∠CDF＝37°，CD＝200米，在Rt△CDF中，sin∠CDF＝＝sin37°≈0.60，cos∠CDF＝＝cos37°≈0.80，∴CF≈200×0.60＝120（米），DF≈200×0.80＝160（米），∵AB⊥BC，DF⊥BC，DE⊥AB，∴∠B＝∠DFB＝∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形，∴BF＝DE，BE＝DF＝160米，∴AE＝AB﹣BE＝300﹣160＝140（米），在Rt△ADE中，tan∠DAE＝＝tan65°≈2.14，∴DE≈AE×2.14＝140×2.14＝299.60（米），∴BF＝DE≈299.60（米），∴BC＝BF+CF＝299.60+120≈420（米），答：革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为420米．15．如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84，取1.73．【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC，垂足为H，由题意得，∠BAC＝60°，∠BCA＝40°，AC＝257海里，在Rt△ABH中，∵tan∠BAH＝，cos∠BAH＝，∴BH＝AH•tan60°＝AH，AB＝＝2AH，在Rt△BCH中，∵tan∠BCH＝，∴CH＝＝，又∵CA＝CH+AH，∴257＝+AH，所以AH＝，∴AB＝≈＝168（海里），答：AB的长约为168海里．。

专题1.11解直角三角形（2）——仰角与俯角、方位角、坡角（比）问题（知识讲解）【学习目标】1.理解用三角函数解决实际问题的有关概念；2.理解并解决实际问题中转化为三角函数模型解决实际问题。

【要点梳理】解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD 的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.特别说明：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、解直角三角形的应用——仰角和俯角问题1．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B 的仰角为60°，沿山坡向上走20m 到达D 处，测得建筑物顶端B 的仰角为30°．已知山坡坡度3:4i =，即3tan 4θ=，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB ．（结果精确到0.1m 1.732≈）在Rt CDE △中，90E ∠=︒∴222DE CE CD +=∴222(3)(4)20x x +=∴4x =（负值舍去）∴12DE =，16CE =举一反三：【变式1】如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB ，在居民楼前方有一斜坡，坡长15m CD =，斜坡的倾斜角为α，4cos 5α=．小文在C 点处测得楼顶端A 的仰角为60︒，在D 点处测得楼顶端A 的仰角为30°（点A ，B ，C ，D 在同一平面内）．(1)求C ，D 两点的高度差；(2)求居民楼的高度AB ．（结果精确到1m 1.7≈）AFDF 4三角函数的定义是解答本题的关键．【变式2】如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E的俯角为16°．问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．（解答过程中可直接使用表格中的数据哟！）【答案】能，综合楼的高度约是37.00米．【分析】在Rt△AEG中，利用正切函数求得AG的长，在Rt△ACH中，利用正切函数求得CH的长，据此求解即可得到综合楼的高度．解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，理由如下：作EG⊥AB，垂足为G，作AH⊥CD，垂足为H，如图：·类型二、解直角三角形的应用——方位角问题2．小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15︒方向上，他沿西北方向前进D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60︒方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）(1)求点D与点A的距离；(2)求隧道AB的长度．（结果保留根号）举一反三：【变式1】如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile （nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile 处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）由题意得：EF=BC=33.2海里，【变式2】如图，AB 为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活·绿色出行”健步走公益活动．小宇在点A 处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68︒的点C 处，观光船到滨海大道的距离CB 为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E 时，观光船沿北偏西40︒的方向航行至点D 处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D 处的距离．（参考数据：sin 400.64︒≈，cos 400.77︒≈，tan 400.84︒≈，sin 680.93︒≈，cos680.37︒≈，tan 68 2.48︒≈）类型三、解直角三角形的应用——坡度坡比问题来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：︒︒︒）≈≈≈≈sin370.60,cos370.80,tan37 1.73【答案】约为1.9米【分析】根据正弦的定义求出AC，根据余弦的定义求出BC，根据正切的定义求出CD，结合图形计算，得到答案．举一反三：【变式1】如图是某水库大坝的横截面，坝高20m CD =，背水坡BC 的坡度为11:1i =．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为2i =求背水坡新起点A 与原起点B 之间的距离． 1.41≈ 1.73≈．结果精确到0.1m）【变式2】宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1≈）1.7≈ 1.4【点拨】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角形中的边角关系是解题的关键．类型四、解直角三角形的应用——其他问题4．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA 是垂直于工作台的移动基座，AB 、BC 为机械臂，1OA =m ，5AB =m ，2BC =m ，143ABC ∠=︒．机械臂端点C 到工作台的距离6CD =m ．(1)求A 、C 两点之间的距离；(2)求OD 长．（结果精确到0.1m ，参考数据：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈ 2.24≈）【答案】(1)6.7m(2)4.5m【分析】（1）连接AC ，过点A 作AH BC ⊥，交CB 的延长线于H ，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．（2）过点A 作AG DC ⊥，垂足为G ，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．．∴==m．OD AG4.5答：OD的长为4.5m．【点拨】求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解【变式1】某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度（结果保留≈）.1.7∠=︒FDB45,∴=，DF FB【变式2】小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN ，MN 与墙面AB 所成的角∠MNB =118°，厂房高AB =8m ，房顶AM 与水平地面平行，小强在点M 的正下方C 处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D 到他的距离CD 是多少?（结果精确到0.1m ，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）【答案】11.8m【分析】过M 点作ME ⊥MN 交CD 于E 点，证明四边形ABCM 为矩形得到CM=AB =8，∠NMC =180°-∠BNM=62°，利用物理学入射光线与反射光线之间的关系得到∠EMD =∠EMC ，且∠CME =90°-∠CMN =28°，进而求出∠CMD =56°，最后在Rt △CMD 中由tan ∠CMD 即可求解．解：过M 点作ME ⊥MN 交CD 于E 点，如下图所示：∵C点在M点正下方，∴CM⊥CD，即∠MCD=90°，∵房顶AM与水平地面平行，∴四边形AMCB为矩形，【点拨】本题借助平面镜入射光线与反射光线相关的物理学知识考查了解直角三角形，解题的关键是读懂题意，利用数形结合的思想解答．。

解直角三角形及其应用——方位角和坡度问题在前面我们学习了直角三角形及其应用关于仰角和俯角的问题，我们在解决这类实际问题的时候，首先是要画出平面图形，然后转化为解直角三角形。

那我们今天继续进行解直角三角形及其应用的学习。

现在请看问题1：问题1：一艘轮船在大海上航行，当航行到A处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°，那么同时从B处观测到轮船在什么方向？若轮船从A处继续往正西方向航行到C处，此时，C 处位于小岛B 的南偏西40°方向，你能确定C的位置吗？试画图说明．1当航行到A处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°。

由这句话知谁是坐标原点？怎样建立直角坐标系？生：A是坐标原点。

上北下南左西又东。

2那么同时从B处观测到轮船在什么方向？由这句话你想到什么呢？谁是坐标原点？B还需满足什么条件？在同一图形中怎样建立直角坐标系？生：需另建立直角坐标系。

以B是坐标原点。

在A的北偏西35°3若轮船从A处继续往正西方向航行到C处，此时，C 处位于小岛 B 的南偏西40°方向，师：由这句话知轮船现在的航行路线？你能确定C的方向吗？你能确定C的具体位置吗？你是怎样想到的？生：往正西方向航行。

B是坐标原点。

正西方向与小岛B的南偏西40方向的交点，就是C点的位置。

我们经过这几个步骤，就把图形画出来了，也把这个问题解决了。

我们回过头来看看，从这个问题中我们学到了什么？生：将实际问题抽象为数学问题：画出平面图形，转化为解直角三角形的问题。

师：解决这个问题的关键就是能画出平面图形。

平面图形一经画出，所有问题就迎刃而解了。

如何画出这样的平面图形呢？生：1 找准坐标原点。

2 能准确地确定问题中提出的各个方位。

刚才同学们总结得很好，这就是今天我们要研究的第一个问题：解直角三角形的应用——方位角的问题。

出示课题。

刚才同学们都表现得非常不错，那我们再来继续下一个问题，看能不能解决呢？问题2 一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的 B 处，这时， B 处距离灯塔P 有多远（结果取整数）？（1）根据题意，你能画出示意图吗？画出图形后，你想到什么呢？（用哪个知识点解决这个问题呢？）生：可以用解直角三角形的知识解决问题（2）结合题目的条件，你能确定图中哪些线段和角？求什么？怎样求？师：在图上标出已知条件，需要求的量.怎样求？抽学生回答解题思路生：AP=80n mile; ∠APC=90-65=25; ∠A=65 ; ∠B=34;AB⊥PC。

第五章 空间与图形5.7 解直角三角形【基础巩固】1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

即：222c b a =+。

逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

2、直角三角形的边角关系:锐角三角函数 （1）. 正弦．．：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ;（2）. 余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ;（3）. 正切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边A A A ∠∠=tan（4）余切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即的对边的邻边A A A ∠∠=cot ;（5）.一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。

在一个直角三角形中，若∠A 为锐角，则①)90cos(sin A A ∠-︒=； )90sin(cos A A ∠-︒=解直角三角形 勾股定理锐角三角函数考查内容考查角度方向角问题楼的高度 旗杆高度 山的高度 坑的深度图 1图 3 图4 ②)90cot(tan A A ∠-︒=； )90tan(cot A A ∠-︒= (6).特殊角的锐角三角函数值3.仰角与俯角当从低处观测高处的目标时，视线与水平线 所成的锐角称为仰角．． 当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成 的锐角称为俯角．．4. 坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角．． (或叫做坡比．．)。

用字母i 表示， 即A lhi tan ==5.方位角与方向角从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。

如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。

25.3解直角三角形（5）—方位角问题课时学习目标：1.会根据直角三角形中已知元素，正确应用勾股定理、锐角三角函数求其他未知元素。

2.从利用勾股定理、锐角三角函数解决实际问题的过程中，归纳出解直角三角形的意义及方位角类型的应用题的解法。

教学重点、难点1.重点：利用勾股定理、锐角三角函数解决实际问题。

2.难点：方位角。

课前预习指导1.复习：（1）说出几个特殊锐角三角函数值。

（2）什么是方位角。

2、填空：（1）小明家在学校的北偏东20°方向，那么学校在小明家的______方向。

（2）西北方向即北偏西_______度，东南方向即东偏南_____度，西南方向即南偏西______度，东北方向即东偏北_______度。

（3）小明从A点出发向东走100m，再沿北偏西30°方向走100m，那么小明在A 点_________方向，距A点_________m。

课堂学习研讨：例1 如图25．3．2，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离．（精确到1米）图25.3.2例2：某省将地处A、B的大学合并成一所综合性大学，为了方便两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地间修一条笔直的公路，经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处，有一个半径为0.7km的公园，问该公路是否穿过公园？为什么？课堂达标训练1、一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°方向，货轮以20海里/小时的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°方向，问该货轮到达灯塔正东方向D处时，货轮与灯塔M的距离是多少？2、一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以30海里/小时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，求灯塔M与渔船B的距离是多少？1．某风景区的湖心岛有一凉亭A，其正东方向有一棵大树B，小明想测量A、B 之间的距离，他从湖边的C处测得A在北偏西45°度方向上，测得B在北偏东32°方向上，且量得B、C之间距离为100m，求A、B之间的距离。

解直角三角形----方位角问题（2）一、教学目标1、使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．二、教学过程（一）复习引入1、画出方向图（表示东南西北四个方向的）。

2、依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线（二）教学互动例：如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65 方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34 方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)?（三）巩固再现1、上午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？2、如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？3.如图，我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A地观测到我渔船C在东北方向上的我国某传统渔场．若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B处，此时观测到我渔船C在北偏东30°方向上．问渔政310船再航行多久，离我渔船C的距离最近？（假设我渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值．）（四）课后练习：1.如图，在与河对岸平行的南岸边有A、B、D三点，A、B、D三点在同一直线上，在A点处测得河对岸C点在北偏东60°方向；从A点沿河边前进200米到达B点，这时测得C点在北偏东30°方向，求河宽CD．2. 如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在码头西端M 的正西方向30 千米处有一观察站O．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西30°方向，且与O相距A处；经过40分钟，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距20千米的B处．（1）求该轮船航行的速度；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．（五）课后巩固1.一轮船在P处测得灯塔A在正北方向，灯塔B在南偏东24.5°方向，轮船向正东航行了2400m，到达Q处，测得A位于北偏西49°方向，B位于南偏西41°方向．（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；（2）求A、B间的距离（参考数据cos41°=0.75）．2. 如图，在A岛周围25海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°方向，轮船继续前行20海里到达B处发现A岛在北偏东45°方向，该船若不改变航向继续前进，有无触礁的危险？。