第1课时 视角问题与方向角问题

[初中数学]方位角与方向角问题教案-人教版《方位角与方向角问题》教案复习引入本节课将应用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题．探究新知（一）方位角与方向角1．方向角教师讲解：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如课本图28．2-1中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图28．2-1的目标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向．图28．2-1 图28．2-22．方位角教师讲解：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．•如课本图海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，•距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，•到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里）教师提示：这道题的解题思路与上一节课的例4相似．因为△APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，△ACP与△PCB．PC•是东西走向的一条直线．AB是南北走向的一直线，所以AB与PC是相互垂直的，即∠ACP与∠BDP•均为直角．再通过65度角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34度角与∠BPC•互余的关系求∠BPC．教师分析后要求学生自行做完这道题．学生做完后教师再加以总结并板书．解：如课本图28．2-8，在Rt△APC中，PC=PA·cos（90°-65°）=80×cos25°≈80×0.91=72.8．在Rt △BPC 中，∠B=34°，∵sinB=PC PB ， ∴PB=72.872.8sin sin 340.559PC B =≈︒≈130.23． 因此，当海轮到达位于灯塔P 的南偏东34°方向时，它距离灯塔P 大约130.23海里．教师讲解：解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，•要根据实际情况灵活运用相关知识．例如，当我们要测量如课本图28．2-9所示大坝的高度h 时，只要测出仰角α和大坝的坡面长度L ，就能算出h=Lsin α．但是，当我们要测量如课本图28．2-10所示的山高h 时，问题就不那么简单了．这是由于不能很方便地得到仰角α和山坡长度L ．图28．2-9图28．2-10 与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的．怎样解决这样的问题呢？我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，课本图28．2-11表示其中一部分小段．划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长L1，测出相应的仰角α，这样就可以算出这段山坡的高度h1=L1sinα．图28．2-11在每个小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1，h2，……．然后我们再“积零为整”，把h1，h2，…相加，于是得到山高h．以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．随堂练习课本第95页练习第1题、第2题．课时总结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，•转化为解直角三角形的问题）．2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．3．得到数学问题的答案．4．得到实际问题的答案．教后反思:__________________________________________ ________________________________________________________________________ __________________________________第4课时作业设计课本练习课本第97页习题28．2拓广探索第9题、第10题．双基与中考一、选择题．1．如图，轮船航行到C处时，观测到小岛B 的方向是北偏西35°，那么同时从B观测到轮船的方向是（）．A．南偏西35° B．东偏西35°C．南偏东55° D．南偏东35°(第1题) (第5题) (第8题)2．•身高相同的三个小朋友甲、•乙、•丙放风筝，•他们放出的线长分别是300m，250m，200m，线与地面所成的角分别为30°、45°、60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放风筝（）．A．甲的最高 B．乙的最低 C．丙的最低 D．乙的最高3．一日上午8时到12时，若太阳光线与地面所成角由30°增大到45°，•一棵树的高为10m，则树在地面上影长h的范围是（）．A．5<h≤103B．10≤h≤103C．10<h<15 D．34．△ABC中，AB=6，AC=3，则∠B最大值是（）．A．30° B．45° C．60° D．无法确定5．如图，水库大坝横断面为梯形，坝顶宽6m，坝高2m，斜坡AB的坡角为45°，•斜坡CD的坡度i=1：2，则坝底AD的长为（）．）m C．78mA．42m B．（D．（m6．△ABC+（2=0且AB=4，则△ABC的面积是（）．A．．4 C．．27．一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘船以28海里/小时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时，灯塔M与渔船的距离是（）．A．B． C．7 D．148．某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，•使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板AC 的宽度应为（ ）．A ． 1.8tan80°mB ．1.8cos80°mC ． 1.8sin 80D ．1.8cot80°m9．若菱形的边长为4，它的一个内角为126°，则较短的对角线长为（ ）．A ．4sin54°B ．4cos63°C ．8sin27°D ．8cos27°10．如图，上午9时，一条船从A 处出发以20海里/小时的速度向正北方向航行，•11时到达B 处，从A 、B 望灯塔C ，测得∠NAC=36°，∠NBC=72°，那么从B 处到灯塔C 的距离是（ ）．A ．20海里B ．36海里C ．72海里 D ．40海里北BA NC(第10题) (第11题)11．如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1•米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB 落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD 的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高，•请你计算电线杆AB的高为（）．A．5米 B．6米 C．7米 D．8米二、填空题．12．升国旗时，某同学站在离旗杆底部24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，•该同学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面1.5m，则旗杆高度为______m．（•用含根号的式子表示）13．在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45°，沿水平方向，•再向塔底前进a米，又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔高为________．• • •14．•如图一铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD，•根据图示数据得下底宽AD=______米．(第14题) (第15题)15．如图△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，4），（3，0），并且∠ACB=90°，∠B=•30°，则顶点B的坐标是________．16．如图，•燕尾槽的外口宽AD=•90mm，•深为70mm，•燕尾角为60•°，•则里口宽为________．(第16题) (第17题)17．如图，从高出海平面500m的直升飞机上，测得两艘船的俯角分别为45•°和30°，如果这两艘船一个在正东，一个在正西，那么它们之间的距离为______．三、解答题．18．甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以16．1海里/小时的速度向东偏南35°方向航行，乙船向西偏南58°，方向航行，航行了两小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正西方向，求乙船的速度v．（精确到0.1海里/小时）（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，cot32°≈1.60）19．去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，•为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A、B两地之间修筑一条笔直公路（图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C•处有一个半径为0.7千米的公园，问计算修筑的这条公路会不会穿出公园？为什么？答案：一、1．D 2．D 3．B 4．A 5．C 6．A 7．A 8．D 9．C 10．D 11．D二、12．83+32 13．33a米 14．29.215．（3316．（1403）mm 17．500（3m三、18．由题意可知：OA=16．1×2=32.2（海里）．∠1=32°，∠2=58°．∴∠AOB=180°-（∠1+∠2）=180°-（32°+58°）=90°．由B在A的正西方向，可得：∠A=∠1=32°．又∵在Rt△AOB中，tanA=OB，OA∴OB=OA·tanA=32.2×tan32°=32.2×0.62=19.964（海里）．OB=19.964÷2=9.982≈10.0（海∴v=2里/小时）．即：乙船的速度约为10.0海里/小时． 19．过点C作CD⊥AB于D，，这条公路不会穿过公园．。

第一章直角三角形的边角关系5 三角函数的应用课时1 解直角三角形在方向角，仰角、俯角中的应用1.结合实际问题，弄清方位角的概念，通过解直角三角形，获得用数学知识解决实际问题的经验．2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.3.通过把实际问题转化为数学问题的过程，感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力.体会三角函数在解决问题过程中的作用，发展学生的数学应用意识和解决问题的能力．根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.课前5分钟：学生欣赏电影《泰坦尼克号》3D版预告片视频.如图1－5－6，泰坦尼克号(RMS Titanic)是一艘奥林匹克级游轮，于1912年4月处女航时撞上冰山后沉没．“泰坦尼克号”为Titanic常用的翻译，Titan是希腊神话中的泰坦星，象征着力量和庞大．电影《泰坦尼克号》更是叙述了一段浪漫、凄美的爱情故事．泰坦尼克号的沉没让人感到遗憾，如果舵手能够分清方向、准确计算距离，也许“泰坦尼克号”的结局会是美丽的.同学们，如果你是船长，怎样才能利用我们所学的知识来避免这样的灾难呢？本节课我们将一起探讨这个问题.【探究1】如图1－5－7，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．今有货轮由西向东航行，图1－5－7开始在A岛南偏西55°方向的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°方向的C处．之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与同伴进行交流.处理方式：首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55°方向的B处，根据“上北下南，左西右东”，B在A的“下偏左”55°位置．C在B的正东方，即C在B的右边．且在A的南偏东25°方向处，即C在A的“下偏左”25°位置.图1－5－8【探究2】如图1－5－8，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)处理方式：(自主解决问题)(鼓励学生展示自己的解题过程)例1如图1－5－9，荆河公园管理处计划在公园里建一个以A为喷泉中心，且半径为15 m的圆形喷水池．公园里已建有B，C两个休息亭，BC是一条长50 m的人行道，已测得∠ABC＝45°，∠ACB＝30°.(1)若要在人行道BC上安装喷泉用水控制阀门E，使它到喷泉中心A的距离最短，请你在BC上画出该点E的位置.(2)通过计算，你认为该圆形喷水池会影响人行道的通行吗？图1－5－9(积极思考，先独立完成，后集体交流展示)变式：如图1－5－10某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？(结果精确到0.01 m)图1－5－10 图1－5－11处理方式：学生对于具体的问题通过自主思考、小组交流、学生展讲、教师点拨后基本能形成比较好的解题思路．学生书写过程不规范，教师给出规范的步骤．根据图1－5－11回答下列问题：(1)若AC代表原楼梯长，则楼高、楼梯在地面上的长度分别是什么？40°的角是哪个角？(2)在楼梯改造过程中，楼高是否发生了变化？例2如图1－5－12，水库大坝的截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坝顶AD＝6 m，坡长CD＝8 m，坡底BC＝30 m，∠ADC＝135°.图1－5－12(1)求∠ABC的度数；(2)如果坝长100 m，那么修筑这个大坝共需多少土石料(结果精确到0.01m3)？(积极思考，先独立完成，后集体交流展示)我们可以按照下面两图所示的方法构造直角三角形解决问题.图1－5－13 图1－5－14你能独立完成解答过程吗？例3如图1－5－14，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5 m，在点C上方2 m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少？例4如图1－5－15，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时．接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响.(1)B处是否会受到台风的影响？请说明理由.(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？(参考数据：2≈1.4，3≈1.7)图1－5－15结合实际情景抽象出几何图形，利用直角三角形的边角关系解决实际问题．学生被情境吸引，迫切想获得新知．通过“触礁”问题的解决，引导学生分析问题，初步掌握数学建模的方法，然后再放手让学生自主解决问题．。

第一课时用角度描述物体方向教学内容教材1～3页用角度描述物体方向教学提示学生已经认识了八个方向。

本课时主要学习用方向描述物体的位置。

教学时充分利用情境图,和学生的生活经验,让学生动手操作,动嘴描述,体会方向的相对性,理解知识的发展过程。

教学目标知识与技能：学生在情境中初步理解南偏东、北偏西等方向的含义,能读懂简单的平面示意图。

会测量角并用角度描述物体所在的方向。

过程与方法：学生经历探索描述物体具体位置的过程,培养学生的观察能力和运用数学语言进行表达能力。

情感态度与价值观：体会用平面图表示事物和用角度描述物体方向的作用,培养学生空间观念。

重点、难点重点：能读懂简单的平面示意图。

能描述物体所在的方向。

难点：会测量角并用角度描述物体所在的方向。

教学准备教具准备：三角板、量角器、直尺,课件。

学具准备：三角板、量角器、直尺。

教学过程一、新课导入。

师：同学们都乘坐过火车吧,为了给旅客提供方便,火车站的周围建了好多服务设施,谁能说一说在火车站的周围都有哪些服务设施？生：候车室、出站口、托运处、汽车站、商店……。

师：那么我们怎么找到这些服务设施呢？生：车站有平面图。

在平面图上确定好位置就可以找到。

师：本节课我们来研究确定物体具体位置的方法。

（板书：用角度描述物体方向）设计意图：创设情境,提供情节,联系学生的生活经验。

引起学生探究的欲望,培养学生分析解决问题的能力。

二、探求新知,用角度描述物体方向。

课件出示某火车站广场周围主要服务设施示意图。

师：请学生们观察课件中的示意图,看一看这个火车站广场周围都有哪些服务设施？学生观察示意图,交流广场周围都有哪些服务设施。

生：候车室、出站口、售票处、快餐厅……师：我们知道了火车站周围的服务设施,假如以中心花坛为观测点,它们都在什么方向？生：商场在中心花坛的西南方向。

生：售票处和快餐厅都在中心花坛的西北方向。

生：出站口和托运处都在中心花坛的东北向。

……师：习惯上,在确定位置时,常把东北方向叫做北偏东,中心花坛的北偏东方向就是以中心花坛的正北方向为标准,向东偏的方向。

冀教版小学数学五年级第一单元第一课时教学设计课题用角度描述物体所在的方向单元第一单元学科数学年级五年级学习目标1、结合具体实例，经历观察平面示意图，用角度描述物体所在的方向的过程。

2、体会用角度描述物体方向的作用，会测量角并用角度描述物体所在的方向。

3、在辨认、描述物体所在方向的过程中，发展学生的空间观念。

重点读平面示意图，用角度描述物体所在的方向。

难点确定观测点与被观测物体的连线和方位线形成的夹角。

教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课1、谈话引入：在日常生活中，火车是人们出行的主要交通工具。

所以火车站南来北往的人特别多。

为了给旅客提供方便，在火车站的周围都会设置一些服务设施。

谁能给大家说一说在火车站周围都有哪些服务设施？学生根据自己的生活经验回答。

创设情境，提供情节，联系学生的生活经验。

引起学生探究的欲望，培养学生分析解决问题的能力。

激发学习数学的兴趣，为这节课做好铺垫。

讲授新课一、读示意图。

1、下面是某火车站广场周围主要服务设施示意图。

说一说：以中心花坛为观测点，各服务设施在什么方向？2、小组讨论：以中心花坛为观测点，各服务设施在什么方向？学生观察示意图。

学生讨论，汇报交流。

出站口、托运处都在花坛的用小组讨论的方式，让学生从讨论的过程中找到解决问题的方法，培养学生的语言表达能力、思维能力。

在学生分组合作2、小组讨论：用自己的语言在小组内描述出站口和托运处的方向。

3、怎样用角度描述物体所在的方向？4、试一试。

描述其他服务设施的方向。

出站口在花坛的北偏东30°。

托运处在花坛的东偏北45°。

描述物体的方向，一般从南或北说起。

托运处的方向应该说在花坛的北偏东45°。

要明确观测点。

这幅图的观测点是中心花坛。

要明确物体与观测点的连线与南北方向所成的夹角的度数。

描述物体的方向，一般从南或北说起。

快餐厅在花坛的北偏西交流自己的想法，培养表达能力及分析能力。

给学生充分发表自己意见的机会，培养学生的思维能力及表达能力。

28.2.2 应用举例第1课时与视角有关的解直角三角形应用题1.能将直角三角形的知识与圆的知识结合起来解决问题.2.进一步理解仰角、俯角等概念，并会把类似于测量建筑物高度的实际问题抽象成几何图形.3.能利用解直角三角形来解其他非直角三角形的问题.阅读教材P74-75页，自学“例3”与“例4”，复习与圆的切线相关的知识，弄清仰角与俯角的概念.自学反馈独立完成后小组内展示学习成果①某人从A看B的仰角为15°，则从B看A的俯角为.②什么叫圆的切线？它有什么性质？③弧长的计算公式是什么？④P89练习题1-2题.把求线段的长转化成解直角三角形的知识，构造直角三角形，把相应的元素放到相应的直角三角形中去.活动1 小组讨论例1如图，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为10 m，∠A=26°，求中柱BC(C为底边中点)和上弦AB的长.(精确到0.01 m)解:∵tanA=BC AC,∴BC=AC·tanA=5×tan26°≈2.44(m).∵cosA=AC AB,∴AB=ACcosA=526cos≈5.56(m).答:中柱BC约长2.44 m,上弦AB约长5.56 m.这类问题往往是将等腰三角形转化成解直角三角形，同一个问题可以用不同的关系式来解.活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.如图，某飞机于空中处探测到目标C，此时飞行高度AC=1 200 m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角a=16°31′,求飞机A到指挥台B的距离.(精确到1 m)2.在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5 m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少m.(精确到0.1 m)这类求距离的问题往往转化成求直角三角形边长的问题，另外，要注意理解有关的名词术语.第2小题要抽象成几何图形再来解决实际问题.活动1 小组讨论例2 如图，两建筑物的水平距离为32.6 m，从点A测得点D的俯角α为35°12′，测得点C 俯角β为43°24′，求这两个建筑物的高.(精确到0.1 m)解:过点D作DE⊥AB于点E,则∠ACB=β=43°24′,∠ADE=α=35°12′,DE=BC=32.6 m.在Rt△ABC中,∵tan∠ACB=AB BC,∴AB=BC·tan∠ACB=32.6×tan43°24′≈30.83(m).在Rt△ADE中,∵tan∠ADE=AE DE,∴AE=DE·tan∠ADE=32.6×tan35°12′≈23.00(m).∴DC=BE=AB-AE=30.83-23.00≈7.8(m).答:两个建筑物的高分别约为30.8 m,7.8 m.关键是构造直角三角形，分清楚角所在的直角三角形，然后将实际问题转化成几何问题解决.活动2 跟踪训练(小组讨论完成并展示学习成果)如图，一只运载火箭从地面L处发射，当卫星到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR 的距离是6 km，仰角为43°，1s后，火箭到达B点，此时测得BR的距离是6.13 km，仰角为45.54°,这个火箭从A到B的平均速度是多少(精确到0.01 km/s)?速度=路程÷时间，本题中只需求出路程AB，即可求出速度.无论是高度还是速度，都转化成解直角三角形.活动3 课堂小结1.本节学习的数学知识:利用解直角三角形解决实际问题.2.本节学习的数学方法:数形结合、数学建模的思想.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.【预习导学】自学反馈①15°②略 ③360n ︒︒·2πr④7.7 m 334.2 m【合作探究1】活动2 跟踪训练1.4 221 m2.6.0 m【合作探究2】活动2 跟踪训练0.28 km/s。

初中数学视角问题教案教学目标：1. 理解视角问题的概念，掌握解决视角问题的基本方法。

2. 培养学生的空间想象力，提高学生解决实际问题的能力。

3. 培养学生独立思考、合作交流的能力。

教学重点：1. 视角问题的概念及解决方法。

2. 空间想象力的发展。

教学难点：1. 理解并应用视角问题的解决方法。

2. 空间想象力的培养。

教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 立体模型或图片。

3. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入新课：展示一些图片或立体模型，让学生观察并描述它们的特点。

2. 提问：我们如何判断一个物体在空间中的位置和形状呢？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解视角问题的概念：视角问题是指从不同的角度观察物体，得到的不同视觉效果。

2. 讲解解决视角问题的基本方法：a. 画图：通过画出物体的三视图（正视图、侧视图、俯视图）来理解物体的形状和位置。

b. 想象：通过空间想象力，在脑海中构建物体的三维形象，从而解决视角问题。

c. 实践：通过观察实物或模型，亲身体验不同角度观察物体得到的不同视觉效果。

三、例题讲解（15分钟）1. 讲解例题：展示一些视角问题的图片或题目，讲解解题思路和步骤。

2. 引导学生思考：如何从不同角度观察物体，得到正确的答案。

四、练习与讨论（15分钟）1. 学生自主练习：发放练习题，让学生独立解决视角问题。

2. 小组讨论：让学生分组，相互展示解题成果，讨论不同解题方法和解题思路。

五、总结与反思（5分钟）1. 教师总结：回顾本节课所学内容，强调视角问题的解决方法和空间想象力的重要性。

2. 学生反思：让学生谈谈自己在解决视角问题时的体会和困惑，以及如何克服困难。

教学延伸：1. 布置作业：让学生运用所学知识，解决一些生活中的视角问题。

2. 课外阅读：推荐一些有关视角问题和空间想象力的课外阅读材料，拓展学生的知识面。

教学反思：本节课通过展示图片和立体模型，引导学生从不同角度观察物体，理解视角问题的概念。