本学期《高等数学》的考试范围是：第五章定积分的应用，第六章至第十一章.内容为：空间解析几何与向量代数，多元函数的微积分，曲线积分，微积分的应用-级数理论及常微分方程的解法．我们用了90课时，讲了尽可能多的知识，保证了后继课程学习中对数学知识的需要，及将来考研同学对高数的知识点范围．对教学工作仍坚持一丝不苟、认真负责的态度，讲好每节课，对大题量的作业做到每周全收、认真批阅一次，耐心解答同学提出的问题．对同学的学习坚持从严要求，强调做好听课、记笔记、独立完成作业三个教学环节．逐步培养同学掌握学习数学课的方法：多动脑勤动手，数学书不是光靠看，还要动手演算才能理解深刻，记忆牢固．考试题型为：一.选择题（每小题3分，共15分） 二.填空题（每小题3分，共15分） 三.计算题（8小题，共40分） 四.应用题（2小题，共16分） 五.证明题（2小题，共14分）下面分章复习所学知识第五章 定积分的应用定积分在几何上的应用：求平面图形的面积（1） 直角坐标情形：由平面曲线(),()[()()]y f x y g x f x g x ==≥,()x a x b a b ==<所围图形的面积为[()()].baA f x g x dx =-⎰（2）极坐标情形：由曲线()r r θ=及射线,()θαθβαβ==<所围成的曲边扇形的面积为21().2A r d βαθθ=⎰例 （填空题）由曲线x y 1=及直线0,2,===y x x y 围成的平面图形的面积 .第六章 向量代数与空间解析几何（一）向量代数1.空间两点111(,,)A x y z 与222(,,)B x y z 的距离公式222121212()()()d x x y y z z =-+-+- 2.非零向量 {}123,,a a a a =的方向余弦公式 312222222222123123123cos ,cos ,cos a a a a a aa a aa a aαβγ===++++++3.向量的运算设 {}{}123123,,,,,a a a a b b b b ==，则112233123123,ijka b a b a b a b a b a aab b b ⋅=++⨯= 两非零向量垂直、平行的充要条件11223331212300//0a b a b a b a b a b a a a a b a b a b b b b λ⊥⇔⋅=⇔++=⇔=⇔⨯=⇔==4.向量{}123,,a a a a =在非零向量{}123,,b b b b =上的投影 112233222123Pr cos ,b b a b a b a ba b a j a a a b bb b b ++⋅∏==<>==++（二）平面与直线 1.平面方程（1）一般式：0;Ax By Cz D +++=（2）点法式：000()()()0;A x x B y y C z z -+-+-=（3）截距式：1;x y za b c++=（4）三点式：1112121213131310.x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 2.直线方程（1）对称式（点向式、标准式）：000;x x y y z z m n p---== （2）一般式：111122220;0A xB yC zD A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩（3）参数式：000,;x x mt y y nt t z z pt=+⎧⎪=+-∞<<+∞⎨⎪=+⎩（4）两点式：111212121.x x y y z z x x y y z z ---==--- 3.平面()∏与直线()l 平行、垂直的充要条件及夹角（1）1212121211112222()()0()//()A A B B C C A B C A B C ∏⊥∏⇔++=∏∏⇔==;(2)12121212111122220//l l m m n n p p m n pl l m n p ⊥⇔++=⇔==；（3）1111111111111111()()//0m n p l A B C l m A n B p C ∏⊥⇔==∏⇔++=；（4）1()∏与2()∏的夹角： 121212222222111222c o s A A B B C C A B C A BC ϕ++=++⋅++(5)1l 与2l 的夹角： 121212222222111222c o s m m n n p p m n p m np ϕ++=++⋅++（6）1()∏与1l 的夹角：111111222222111111s i n m A n B p C m n p A BC ϕ++=++⋅++4.距离设点0000(,,)M x y z ，平面():0Ax By Cz D ∏+++=直线111:x x y y z z l m n p---==（1）点到平面的距离公式：000222;Ax By Cz Dd A B C+++=++(2) 点到直线的距离公式：01M M ld l⨯=，其中 {}01101010,,M M x x y y z z =---，{}1,,,l m n p M =是直线上任一点． （三）曲面与空间曲线记住一些常见的曲面的方程 （1）旋转曲面园锥面：22z x y =+，旋转抛物面：22z x y =+，旋转椭球面：22222 1.x y z a c++= （2）柱面圆柱面：222,x y R +=椭圆柱面：22221x y a b+=，抛物柱面：220x py -=，双曲柱面：2222 1.x y a b-=（3）二次曲面球面：2222()()();x a y b z c R -+-+-=椭球面：2222221,(,,0)x y z a b c a b c++=>；椭球抛物面：22,(,22x y z p q p g +=同号）； 双曲抛物面：22,(,2x y z p q p q-+=同号）； 单叶双曲面：2222221,(,,0)x y z a b c a b c +-=>；双叶双曲面：2222221,(,,0)x y z a b c a b c+-=->．本章的考点：仅是一些简单的填空题或选择题．例1.设三角形ABC ，已知2,2,BA i j BC i j k D =+=++为BC 的中点，则BC 上 的中线长AD =10/2例2. 1.两向量a 与b 互相垂直的充要条件是0a b ⋅=.2.向量13(2),(1)a i j b i j k λλλ=-++=-+-平行，则λ= 1 .3.求同时垂直于向量{}{}2,3,1,1,2,0a b =-=-的单位向量是 0c ±.解 {}2312,1,1120i j kc a b =⨯=-=--，单位化 {}02222,1,1211,,66621(1)c c c --⎧⎫===⎨⎬⎩⎭++-. 例3.（选择题）过点(2,3,5)且平行于平面53210x y z -++的平面是（ C ）.53211A x y z ++-=.53211B x y z -++= .53211C xy z -+-=.53211D x y z +++= 例4.（选择题）在空间直角坐标系下，方程350x y +=的图形是（ D ）.A 过原点的一条直线； .B 斜率为35-的一条直线；.C 垂直于z 轴的一平面； .D 过z 轴的一平面.例5.（选择题）方程231x y +=在空间表示的图形是（ B ） .A 平行于XOY 坐标面的平面； .B 平行于z 轴的平面； .C 过oz 轴的平面； .D 直线． 例6.（选择题）方程22x y =在空间表示的是（ B ） .A 抛物线； .B 抛物柱面； .C 母线平行于x 轴的柱面； .D 旋转抛物面. 例7. (选择题) 下列平面方程中（ C ）过y 轴：.A 1x y z ++=； .B 0x y z ++=； .C 0x z +=； .D 1.x z +=例8. 曲线 2221z x y z ⎧=+⎨=⎩在XOY 平面上的投影方程为：22210x y z ⎧+=⎨=⎩第七章 多元函数微分法及其应用（一）基本概念1.二元函数：定义域和对应规律为(,)z f x y =的两要素，其定义域为平面上的点集．例9 (填空题)二元函数ln 1xyz y=+的定义域是0,0(,)0,10x y D x y x y ⎧⎫>>⎪⎪=⎨⎬<-<<⎪⎪⎩⎭或 二元函数221ln(1)x y z x y --=--的定义域为{}22(,)1,1D x y x y x y =+≤+<2.极限：函数(,)z f x y =的极限为A ，是指点(,)x y 以任何方式沿某路径趋于点00(,)x y 时，(,)f x y A →，记为00lim (,)x x y y f x y A →→=例10. 证明：极限2222200lim ()x y x y x y x y →→--不存在．证明 如果动点(,)P x y 沿y x =趋于点(0,0)时，则2242224000lim lim 1;()x x y x y x x y x y x →→→==-- 如果动点(,)P x y 沿2y x =趋于点(0,0)时，则2242224200024lim lim 0()4x x y y xx y x x y x y x x →→→===--+ 因沿不同路径，极限值不一，故原极限不存在.3.连续：函数(,)z f x y =在点00(,)x y 连续，必须同时满足三个条件，缺一不可：（1）在00(,)U x y 内有定义；（2）0lim (,)x x y y f x y →→存在；（3）0000lim (,)(,)x x y y f x y f x y →→=.否则间断．例11.（选择题）设221xy z x y=--，下面结论正确的是（ D ）.A 在XOY 平面上连续； .B 在XOY 平面上不连续；.C 在XOY 平面上只有(1,0),(0,1)为间断点；.D 在XOY 平面上，只有在区域221x y +<内，函数连续.例12． (选择题) 函数22222,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩在点(0,0)处（ C ）.A 连续； .B 有极限但不连续； .C 极限不存在； .D 无定义.（二）偏导数1.定义与计算偏导数,z zx y∂∂∂∂是整体记号，不具有商的意义，求z x ∂∂时，把(,)z f x y =中的y固定 （看作常数），利用一元函数的求导公式和法则求出．记住：偏导函数z x ∂∂与一点的偏导数000(,)x x x y y z f x y x==∂'=∂记号不同，及它们之间的关系例13.（填空题）设22(,)f x y x y x y =+-+，则(3,4)x f '=252.高阶偏导数（以二阶为主）：22(,)();xx z z f x y x x x ∂∂∂''==∂∂∂ 22(,)();yy z zf x y y y y∂∂∂''==∂∂∂ 2(,)();xy z z f x y x y y x ∂∂∂''==∂∂∂∂ 2(,)().yx z zf x y y x x y ∂∂∂''==∂∂∂∂（注意：二阶混合偏导数在定义域D 内连续时，相等）（三）全微分1.定义与计算：若函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的全改变量（全增量）可表为()z A x B y ρ∆=∆+∆+，其中,A B 不依赖于,x y ∆∆，仅与00(,)x y 有关， 22()()x y ρ=∆+∆，则全增量的线性主要部分为为函数的全微分，记作 .z z dz A x B y dx dy x y∂∂=∆+∆=+∂∂ 例14.（选择题）函数(,)z z x y =由方程ln()0z xy +=所确定，则dz =（ A ）.;dx dy A x y -- .;dx dy B x y+ .;dx dy C z x + ..dx dy D xy xy+ 例15. 函数22ln()u x y z =++在点(1,0,1)处的全微分为： . 例16. 求22x y z e +=的全微分及二阶偏导数.解22222,2x y x y zz xe ye x y++∂∂==∂∂ 222222;x y x y d z x e d xy ed y++∴=+ 2222222222(12),4x y x y z z z ex x y e x x y y x++∂∂∂=+==∂∂∂∂∂22222,2(12).x y z e y y +∂=+∂2.二元函数在一点连续、可导（两个偏导数存在）与可微的关系．偏导数连续⇒可微⎧⎨⎩⇒⇒可导极限存在，反之不一定成立.例17.（选择题）二元函数22z x y =+在点(0,0)处（ C ）.A 不连续，两个偏导数不存在； .B 不连续，两个偏导数存在； .C 连续，两个偏导数不存在；.D 连续，两个偏导数存在．例18.（填空题）(,),(,)x y f x y f x y 连续是(,)z f x y =可微的充分条件.例19. 证明题：证明函数222222,0(,)0,0xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在(0,0)点处两个偏导数存在，但不连续.（用定义求偏导数，取两条路径如极限不一则不连续）3.方向导数与梯度（不做考试要求）（1）方向导数—函数在特定方向（指定方向）上的变化率：cos cos cos f f f fxy z l αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂，其中,,αβγ为射线l 与,,x y z 轴正向夹角（2）梯度—不同点的方向导数不同，它在哪个方向上最大呢？函数(,,)u f x y z =在点(,,)x y z 处的梯度为：(,,).f f f gradf x y z i j k x y z∂∂∂=++∂∂∂ 例20.（填空题）函数22u xy z xyz =+-在点(1,1,2)处沿方向{}1,2,1l =的方向导数是 .（四）多元复合函数的导数1.锁链法则—先画出链式图，写出公式，然后计算.(,),(,),(,)z f u v u x y v x y ϕψ===，则有锁链公式：z z u z v x u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂z z u z v y u y v y∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂ 2.几种推广情形（1）若(,,)z f u v w =，而(,),(,),(,)u x y v x y w x y ϕψω===，则有锁链公式：z z u z v z w x u x v x w x∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂z z u z v z w y u y v y w y∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂ （2）若(,,),z f u x y =而(,)u u x y =，则有锁链公式： z f f u x x u x∂∂∂∂=+∂∂∂∂z f f u y y u y∂∂∂∂=+∂∂∂∂注意：这里z x ∂∂与f x ∂∂不同，zx∂∂是把复合后的函数，将y 看作常数，对x 求偏导；而fx∂∂是把复合前的函数，将,u y 看作常数对x 求偏导． （3）设(,,,)u f x y z t =，而(),(),()x x t y y t z z t ===，则复合函数只有一个自变量， t 求导dzdt ，称为全导数.d z u d x u d y u d z u d td t x d t y d x t d t t d t∂∂∂∂=+++∂∂∂∂何时用锁链法则：①函数关系不具体； ②中间变量多于一个.例21.（选择题）设22(,)()()f x y x y x y x y x y +-=-=+-，则()()f x y f x yxy∂⋅∂⋅+=∂∂（ C ）..22A x y - .22B x y+.;C x y + ..D x y --例22.22sin()1,yz x e xy =++求 2,.z zx x y∂∂∂∂∂例23.设arctan()z u x y =-，求,,.u u u x y z∂∂∂∂∂∂ 解 由锁链法则121();1()z z u z x y x x y -∂=⋅-∂+- 121();1()z zu z x y y x y -∂-=⋅-∂+-21()l n .1()z z u x y x y z x y ∂=-⋅-∂+- 例24.设二元函数(,)xz xy f xy y=+，其中f 是二阶可微函数，求,,.x y yy z z z ''''解 设1,2xxy u v y====，则 121;x z y yf f y'=++122;y xz x xf f y '=+- 11122212223222()()yy x x x x z x f x f f f x f y y y y ⎡⎤⎡⎤''=+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 222111222224322.x x xx f f f f y y y=-++例25.设(5,)u f x y xyz =+，求22.ux∂∂解 12x u f yzf '=+； 2211122122.xx u f yzf yzf y z f ''=+++ （五）隐函数微分法：（只讨论一个方程的情形）1. 方程两边对自变量求导（复合函数的锁链法则）， 解出所求的偏导数（是,x y 的函数）.2.公式法：x z F z x F '∂=-'∂， .y z F zy F '∂=-'∂ 3.微分法：利用一阶全微分形式的＂不变性＂，对方程两边求全微分，即可求出所需的偏导数或导数．例26.（填空题）由方程2221x xyz z ++=确定(,)z z x y =，则z x ∂=∂124xy z-+. 例27.设ln ,x z z y =求,.z z x y∂∂∂∂ 解 由隐函数微分法 设 (,,)ln ln ln x z xF x y z z y z y z=-=-+ 因为 22111,,x y z x x zF F F z y z z z+'''===--=-所以 21x z F z z z x z x F x z z -'∂=-==+'∂+- 221.()y z F z z y x z y F y x z z -'∂=-==+'∂+-例28. 设(,)z z x y =是由方程2224x x y e z z ++=所确定的隐函数，求.dz例29.设2sin(23)23x y z x y z +-=+-，证明：1x z x y∂∂+=∂∂ 证明设(,,)2sin(23)23F x y z x y z x y z =+---+，则 2c o s (23)x F x y z '=+--,2c o s (23)2y F x y z '=+-⋅-2x F '= 2c o s (23)(3)3z x F x y z F ''=+--+=-133x x z x F F z x F F ''∂=-=-=''∂-, 2233y x z x F F zy F F ''∂=-=-=''∂-故12 1.33y x z z F F z zx y F F ''∂∂+=--=+=''∂∂ （六）微分法在几何上的应用（不做考试要求）1.空间曲线的切线与法平面设空间曲线Γ的参数方程 (),(),()x t y t z t ϕψω===，则Γ在点000(,,)x y z 处的切线方程为：000000()()()x x y y z zt t t ϕψω---==''' 法平面方程为： 000()()()()()()0t x x t y y t z zϕψω'''-+-+-= 2.空间曲线的切平面与法线隐函数的曲面方程：(,,)0F x y z =， 显函数的曲面方程：(,)z f x y =，（七）多元函数的极值及其求法1.极值的必要条件：见教材.264P 定理1（极值发生在可疑点，即驻点或偏导数不存在的点上.2.极值的充分条件：设00(,)x y 为为函数(,)z f x y =的驻点，000022222,,x x x x x xy y y y y yzz zA B C xx yy ======∂∂∂===∂∂∂∂,则下结论（1）20,0B AC A -<>有极小值，0A <有极大值； （2）20B AC ->，无极值；（3）20B AC -=,不定，另作讨论.例30.（选择题）下列说法中，正确的是（ ）.A 可微函数(,)f x y 在00(,)x y 达到极值，则必有0000(,)(,)0;x y f x y f x y ''==.B 二元函数(,)f x y 在00(,)x y 达到极值，则必有0000(,)(,)0;x y f x y f x y ''== .C 可微函数(,)f x y 在00(,)x y 有0000(,)(,)0;x y f x y f x y ''== .D 二元函数(,)f x y 在00(,)x y 的偏导数不存在，则必不存在极值. 例31求函数224(23)z x y =-+的极值.解 804(23)0x y z x z y ⎧'==⎪⎨'=-+=⎪⎩，得驻点3(0,)2-又22333(0,)(0,)(0,)222()xyxxyyB AC z z z ----=-⋅08(8)640-⋅-=>，故函数在3(0,)2-处无极值.3.用Lagrange 乘子法求条件极值的应用题解题步骤：（1）将实际问题化为二元或三元函数的条件极值问题； （2）作辅助函数(,,,)F x y z λ＝原函数+λ乘条件函数； （3）将辅助函数对,,,x y z λ分别求偏导数，得方程组； （4）解方程组，得唯一驻点（5）答：根据实际问题的意义，知此唯一驻点即极值点，也是最值点，并求出最值．例32 应用题：造一个容积为V 的长方体盒子，如何设计，才能使所用材料最少？解 设盒长为x ，宽为y 则高为V xy ，故表面积为：2()V V S xy x y=++， 于是，将问题化为求二元函数的最大值问题，222(02()0SV y x x S V x yy ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=∂⎪⎩，解得唯一驻点33(,)V V ，根据实际问题的意义，此唯一驻点即为极大值点，也是最大值点， 答：当盒子的长宽高都是3V ，即正方体时，所用材料最少.例33. 应用题：利用Lagrange 乘子法求椭圆抛物面222z x y =+到平面232x y z +-=的最短距离.第八章 重 积 分（一）重积分的概念1.定义：二重积分表示一种类型的和式极限； 三重积分表示另一种类型的和式极限.2.几何与物理意义二重积分表示曲顶柱体的体积，平面薄板的质量； 三重积分表示空间物体的质量（无几何意义）． 3.性质与定积分类似性质3：如果在定义域D 上，函数(,)1f x y =，σ为D 的面积，则 1DDd d σσσ=⋅=⎰⎰⎰⎰（二）二重积分的计算1.直角坐标系下二重积分的计算步骤：面积元素 d dxdy σ= ①先通过解方程组曲线交点的坐标，然后画出积分域的草图； ②如是x -形积分域，将其化为先对y 后对x 的积分次序积出来 y -形积分域，将其化为先对x 后对y 的积分次序积出来. 注 利用“穿口法”的定限口诀是： 后积先定限，限内画条线； 先交下限写，后交上限见.2.极坐标系下二重积分的计算①何时采用极坐标：（ⅰ）积分域是园形或环形；（ⅱ）被积函数包含22x y +.②记住极坐标变换：cos x r θ= 面积元素：d rdrd σθ=， s i n y r θ=然后将积分化为先对r ，后对θ的次序积出来； ③积分限如下定：（ⅰ）若极点O 在域D 内，则2()(,)(cos ,sin );r Df x y d d f r r rdr πθσθθθ=⎰⎰⎰⎰（ⅱ）若极点O 在域D 的边界上，则()(,)(cos ,sin );r Df x y d d f r r rdr βθασθθθ=⎰⎰⎰⎰（ⅲ）若极点O 在域D 的外部，则21()()(,)(cos ,sin ).r r Df x y d d f r r rdr βθαθσθθθ=⎰⎰⎰⎰例34.（选择题）设(,)f x y 是连续函数，交换二重积分112203ydy x y dx -⎰⎰的的积分次序后的结果为（ C ） 11220.3;xA dx x y dy -⎰⎰11220.3;y B dx x y dy -⎰⎰21122.3;x C dx x y dy -⎰⎰ 211220.3.x D dx x y dy +⎰⎰例35.交换积分次序：22121(1)01(,)(,)x x odx f x y dy dx f x y dy --+=⎰⎰⎰⎰.例36.(选择题)设域22:1D x y +≤，且0,0x y ≥≥，则2Dxy dxdy =⎰⎰（ B ）112.;A dx xy dy ⎰⎰ 211200.;x B dx xy dy -⎰⎰2112.;y C dx xy dy -⎰⎰221120..y x D dx xy dy --⎰⎰例37.计算二重积分Ⅰ＝22y Dx e dxdy -⎰⎰，其中D 是由直线,1y x y ==及y轴所围的平面区域．解 画出积分区域草图，这是y -型积分域，故选取先对x 后对y 的积分次序，得Ⅰ＝221220yy y Dx edxdy edy x dx --=⎰⎰⎰⎰＝221113000111()366y t y t t y e dy te dt td e =---==-⎰⎰⎰令110112(1).66t t tee dt e--⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦⎰分部法例38.求二重积分 cos()Dx x y d σ+⎰⎰，其中D 是顶点分别为(0,0),(,0)π和(,)ππ的三角形区域.例39.计算Dydxdy ⎰⎰，其中D 由2,2y x y x x ==-围成．解 将22y x x =-改写为：11x y =+±-，则 {}(,)11,01D x y y x y y =--≤≤≤≤，所以原式＝11110(11)yyydy dx y y y dy --⋅=-+-⎰⎰⎰＝101514y ydy -+⋅-⎰ ＝2sin 2220442(1sin )sin .15815y tt tdt ππ==-+-=-⎰令例40.计算222DR x y d σ--⎰⎰，其中D 是由圆周22x y Rx +=所围成的闭区域 解 根据积分域和被积函数的特点，选用极坐标计算c o s22222202R DR x y d d R r rdrπθσθ--=-⋅⎰⎰⎰⎰＝33332024(sin )().333R R R d πθθπ--=-⎰例41.求二重积分22()xy De dxdy -+⎰⎰，其中222:0,0,.D x y x y a ≥≥+≤解 选用极坐标计算22222()221()(1).224aax yrraDedxdy d erdr e d r e πππθ-+----=⋅=⋅-=-⎰⎰⎰⎰⎰例42.应用题：求在XOY 平面上由2y x =与24y x x =-所围成区域的面积.例43.D 是由曲线24()y x y =+以及4x y +=所围成的图形，试求D 的面积.（以上两题，利用二重积分的几何意义，取被积函数(,)1f x y ≡，计算二重积分即得所谓区域的面积）例44.（填空题）设空间一光滑曲面S ：(,),z f x y D =是S 在坐标面XOY 上的投影，则D 的面积＝1Dd σ⋅⎰⎰例45.利用极坐标计算二重积分22ln(1)Dx y dxdy ++⎰⎰，其中 22:1,0,0.D x y x y +≤≥≥ 解 由于极点在D 的边界上，故原式＝1222ln(1)ln(1)Dr r drd d r r dr πθθ⋅+=+⎰⎰⎰⎰＝12201ln(1)(1)22r d r π⋅++⎰=分部法122100(1)l n (1)2(2l n 21).44r r rdr ππ⎡⎤++-=-⎢⎥⎣⎦⎰ 解 2244444464(4).43yy Dy S dxdy dy dx dy ---===-=⎰⎰⎰⎰⎰（三）三重积分的计算（只做简单的计算）1.直角坐标系下的计算 体积元素：dv dxdydz =1212(,)(,):()()z x y z z x y y x y y x a x b ≤≤⎧⎪Ω≤≤⎨⎪≤≤⎩，（这是上下张着的曲面，x -型的投影域）则2211()(,)()(,)(,,)(,,);by x z x y ay x z x y f x y z dv dx dy f x y z dz Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰2.柱坐标系（＝极坐标z +轴）下的计算体积元素：dv rdrd dz θ=1212(,)(,):()()z r z z r r r r θθθθαθβ≤≤⎧⎪Ω≤≤⎨⎪≤≤⎩，(这是上下张着的曲面，极点在投影域外部)则2211()(,)()(,)(,,)(cos ,sin );r z r r z r f x y z dv d rdr f r r dz βθθαθθθθθΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰3.球坐标系下的计算体积元素：2sin dv r drd d ϕϕθ=s i n c o s i n s i n c o s x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩， 1212(,)(,):()()r r r ϕθϕθϕθϕϕθαθβ≤≤⎧⎪Ω≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2211()(,)2()(,)(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin r r f x y z dv d d f r r r r dr βϕθϕθαϕθϕθθϕϕθϕθθϕΩ=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰例46.在柱坐标中，a θ=（常数）表示的曲面是：z 过轴的半平面. 例47.(填空题)设一立体由上半球面224z x y =--及锥面223()z x y =+所围成，则其在XOY 平面上的投影为：21y x y +≤.例48.（选择题）Ⅰ＝22()x y dv Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由锥面22z x y =+，平面(0)z a a =>所围成的闭区域，则它在柱坐标系下的三次积分是（ D ）2.;a arA d rdr r dz πθ⎰⎰⎰ 2220.;a arB d rdr r dz πθ⎰⎰⎰20.;a a C d rdr r dz πθ⎰⎰⎰ 220..a arD d rdr r dz πθ⎰⎰⎰例49（选择题）设区域{}222(,,)(1)1x y z x y z Ω=++-≤，且()f t 是连续函数，则222()f x y z dv Ω++=⎰⎰⎰（ A ） 22c o s220.()sin A d d f r r dr ππϕθϕϕ⎰⎰⎰；22c o s220.(2cos 1)sin B d d f r r r dr ππϕθϕϕϕ++⎰⎰⎰； 22c o s 200.(2c o s)s i n C d d f r r d rππϕθϕϕϕ⎰⎰⎰； 22c o s 220.(2c o s )s i n .D d d f r r d r ππϕθϕϕϕ⎰⎰⎰例50. 求曲面22y x z +=与22y x z +=所围成立体的体积体积. 解 在柱坐标系下，将被积函数(,,)1f x y z ≡，则所围立体的体积为：2211.6rr V dv rdrd dz d rdr dz ππθθΩΩ=⋅===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第九章 曲线积分与曲面积分（曲面积分不做考试要求） （一）曲线积分1.第Ⅰ型曲线积分（对弧长的积分）2.第Ⅱ型曲线积分（对坐标的积分）3.两类积分之间的联系.4.计算方法（1）设曲线L 由它的的参数方程：(),()x t t y t ϕαβψ=⎧≤≤⎨=⎩给出(特例) ,()x xa xb y y x =⎧≤≤⎨=⎩)，则[]22(,)(),()()(),();Lf x y ds f t t t t dt εαϕψϕψαβ''=+<⎰⎰（2）若弧AB 由()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩给出，起点A 对应t α=，终点B 对应,t β=则[][]{}(),()()(),()()ABPdx Qdy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ''+=+⎰⎰. 5.Green （格林）公式：()DLQ Pdxdy Pdx Qdy x y∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰ 应用：,P y Q x =-=，得D 得面积 12A xdy ydx =-⎰.6.平面曲线积分与路径无关的条件 （1）0;Pdx Qdy +=⎰（2）设G 是单连通域，,P Q 在G 内有一阶连续偏导数，则曲线积分LPdx Qdy +⎰在G 内与路径无关的充分必要条件是：P Q y x∂∂=∂∂在G 内恒成立. 例51.（选择题）设AB 为由点A (0,)π到点(,0)B π的直线段，则si n s i n ABydx xdy +=⎰（ C ）.2;A .1;B - .0;C .1.D例52.计算曲线积分22()()Lx y dx x y dyx y -+++⎰，其中L 是沿着园： 22(1)(1)1x y -+-=从点(2,1)到点(0,1)的上半圆弧. 解 2222(,),(,)x y x yP x y Q x y x y x y-+==++ 因为 222222,(0,0)()P y xy x Qx y y x y x∂--∂==≠≠∂+∂ 所以，在不含原点的任何闭曲线L 上0L=⎰，即在不含原点的任一闭区域内积分与路径无关.故选择路径为线段:,1,02,AB x x y x ==≤≤，在AB 上有：1,0y d y ==，故 原式＝02222()()11ABx y dx x y dyx dx x y x -++-=++⎰⎰ ＝22222011ln(1)arctan 12x dx x x x -+⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦⎰ln 5arctan 2.2=-例53.计算曲线积分22()Lx y ds +⎰，其中L 是园的渐开线：(c o s s i n ),02.(s i n c o s )x at t t t y at t t π=+⎧≤≤⎨=-⎩ 解 [][]222222(cos sin )(sin )(1)x y a t t t a t t a t +=++-=+(s i n s i n c o s 0x at t tt a tt'=-++= (cos cos sin )sin y a t t t t at t '=-+= 22ds x y dt atdt ''=+=原式＝2222330(1)()a t atdt a t t dt ππ+=+⎰⎰＝24322320()2(12).24t t a a πππ+=+例54.（填空题）L 为园：224x y +=，计算弧长的曲线积分22Lx y ds +=⎰8π例55. 计算 222(sin ).Lx yx dx xy dy -+⎰L 为正向圆周：22 1.x y +=（应用Green 公式化为二重积分计算）第十章 无 穷 级 数（一）数项级数敛散性的判别 一.级数的概念12121,nn nnn uu u u Su uu∞==++++=+++∑ 若lim n n S S →∞=，则称级数收敛到和S级数收敛的必要条件：1n n u ∞=∑收敛，则lim 0.n n u →∞=二.逆否命题：若lim 0,n n u →∞≠则级数1n n u ∞=∑发散．三.收敛判别法1.正项级数的两个判别法：比较判别法，比值判别法；2.任意项级数的两个定理； （1）绝对收敛定理1nn u∞=∑与1n n u ∞=∑有如下关系：1nn u∞=∑收敛 ⇒1nn u∞=∑也收敛；1nn u∞=∑发散 ⇒1nn u∞=∑收敛或发散；1nn u∞=∑收敛 ⇒1nn u∞=∑收敛或发散；1nn u∞=∑发散 ⇒1nn u∞=∑必定发散.（2）比值判别法23.交错级数的Leibniz （莱布尼兹）判别法；4.从定义、性质判别.四.两个重要的参照级数：1.等比（几何）级数1211n n n aqa aq aq aq ∞--==+++++∑当1q <时，级数收敛；当1q ≥时，级数发散. 2.p 级数11111123pp p pn nn ∞==+++++∑当1p >时，级数收敛；当1p ≤时，级数发散；特例：1p =时，11n n∞=∑称为调和级数，发散.五.判别级数收敛的一般步骤： 1.先看通项n u 是否趋于零？若lim 0n n u →∞≠，则级数1n n u ∞=∑发散；若lim 0n n u →=，则需进一步判断.2.选用合适的判别法；3.实在不行，再用定义试试，即看极限lim n n S →∞是否存在？例56.（选择题）若级数1n n u ∞=∑收敛，则级数（ D ）收敛1.;n n A u ∞=∑ 21.;n n B u ∞=∑1.();n n C u c ∞=+∑ 1..n n D c u ∞=⋅∑例57.若级数1nn u∞=∑收敛，则级数1(100)nn u∞=+∑收敛还是发散？ .例58.判定级数12sin3n nn π∞=∑的收敛性解 这是正项级数法一.用比较判别法 因 22sin()33n nn n u ππ=≤⋅，而12()3n n π∞=∑是公比213q =<的等比级数，收敛，由比较判别法，知原级数收敛.法二.用比值判别法 因111112si n3l i m l i m 2si n 3223l i m 1.323n n n n n n n n n n n n nu u ππππ+++→∞→∞++→∞=⋅==<⋅无穷小替换，由比值判别法，知原级数收敛. 例59判断级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑的收敛性.解 因 111ln(1)ln(2)n n u u n n +=>=++(1,2,)n =1l i m 0l n (1)n n →∞=+ ，故由leibniz 判别法，知原交错级数收敛.例60（填空题 ）极限2!lim n n n n n→∞的值为0解 以2!n n n n u n=为通项的正项级数，根据比值判别法知其收敛，又据收敛级数的必要条件，知其通项的极限为零.例61证明：若0,lim 0n n n u nu a →∞>=≠，则级数1n n u ∞=∑发散.证明 因为 lim lim01nn n n u n u a n→∞→∞⋅==≠，由0n u >，根据正项级数比值判别法的极限形式，由于11n n ∞=∑为调和级数，发散，所以级数1n n u ∞=∑也发散.（二）求幂级数的收敛半径及收敛区间 1. 用比值判别法2 1()lim()n n n u x u x +→∞=（一般与x 有关），再讨论，求出收敛半径.2. 1l i m n n n aa ρ→∞+=， 则收敛半径为：1R ρ=3.对端点单独讨论后，确定收敛区间. 例62.求幂级数221212n nn n x ∞-=-∑的收敛域. 解 这是缺少奇数次项的幂级数，由比值判别法2，1()lim ()n n nu x u x +→∞=2221221)12(22)12(lim x x n x n n n n n n =-⋅+-+∞→ ⇒ 当2211,2,22x x x <<<时，原级数收敛，收敛半径2R =讨论端点的情况：当2±=x 时，原级数为∑∞=-1212n n 发散，故收敛域)2,2(-例63.将函数21()52x f x x x -=-+展为1x -的幂级数.例64.求幂级数2ln (1)nnn n x n∞=-∑的收敛域；当1x =时，是绝对收敛， 还是条件收敛？并给出证明.（三）利用幂级数和函数的分析性质，求和函数.设幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛半径为(0)R >，则在(,)R R -内，和函数具有下列性质：（1）和函数是连续的；（2）()S x 逐项可导，且10()()nn n n n n S x a x na x ∞∞-==''==∑∑；（3）()S x 逐项可积，且10()1xx xnnn n n n n n n a S t dt a t dt a t dt x n ∞∞∞+======+∑∑∑⎰⎰⎰. 注意：求导和积分后的和函数收敛半径不变，但在收敛区间端点可能不同．例65.求幂级数41141n n x n +∞=+∑的和函数.解 设和函数411()41n n x S x n +∞==+∑，易得收敛区间为(1,1)-，利用逐项微分和积分，414442411()()()()41n n n n n x S x x x x x n +∞∞==''===+++++∑∑这是41q x =<的等比级数，由因(0)0S =，故 44440001(1)()()11xxx x x S x S x dx dx dx x x--'===--⎰⎰⎰ ＝4220011111(1)(1)12121x x dx dx x x x-=-+⋅+⋅-+-⎰⎰ ＝111arctan ln .241xx x x+-+- (11)x -<< 例66. 求幂级数21121n n x n +∞=+∑的收敛区间，并求其和函数.（四）傅立叶级数(不做考试要求)第十一章 微 分 方 程（一）一阶微分方程的求解1.可分离变量的方程：()()dyf xg y dx=的解法 分离变量后，两边同时积分得通解；2.齐次方程：()dy yF dx x =的解法： 令 y u x =，则()duxu F u dx+=，分离变量并积分，得通解； 3.一阶线性非齐次方程：()()dyp x y q x dx+=的解法解法-常数变易法通解公式为：()()()p x dx p x dx y e q x e dx c -⎡⎤⎰⎰=⋅+⎢⎥⎣⎦⎰ 注：解方程一般直接用常数变易法，当然，也可代通解公式，但公式复杂，且计算和化简时较繁，易出错．（二）二阶线性微分方程的通解结构1.齐次方程：()()0y p x y q x '''++=的通解：是两个线性无关特解12(),()y x y x 的线性组合，即1122()()y c y x c y x =+；2.非齐次方程：()()()y p x y q x y f x '''++=的通解 非齐通（y ）＝齐通（y ）+非齐特（y *）（三）二阶常系数线性齐次方程：0y py q '''++=通解的特征根解法； 二阶常系数线性非齐次方程的两种特殊右端特解的解法. 例67.（单选题）下列微分方程中，通解为212(cos sin )x y e c x c x =+的方程是（ B ）.450A y y y '''--= .450B y y y '''-+= .250C y y y '''-+= 2.45.x D y y y e '''++=解 B .的特征方程为：2450λλ-+= 4162042222i i λ±-±===±， 2,1αβ== 故通解为： 212(cos sin )x y e c x c x =+.例68.求微分方程0340,,5x x y y y yy ==''''--==-的特解.例69.（填空题）微分方程ln 0xy y y '-=的通解为cx y e =. 这是可分离变量的方程 ln dyx y y dx= 分离变量ln dy dxy y x = 两边积分(l n )ln d y dx y x =⎰⎰得 1l n l n l nl ny x c =+ 111ln ,ln ,.c x cx y c x y c x y e e ±==±== 例70. 求微分方程x y y y 2345-=+'+''的通解。
