同济版高等数学件曲面及其方程

高等数学(下)教案曲面及其方程教学目标：1. 理解曲面的概念，掌握曲面的基本性质。

2. 学习曲面的方程表示方法，掌握常见曲面的方程。

3. 能够利用曲面方程进行曲面的绘制和分析。

教学内容：一、曲面的概念与基本性质1. 曲面的定义2. 曲面的基本性质2.1 曲面的导数2.2 曲面的切线和法线2.3 曲面的曲率2.4 曲面的切平面和法平面二、曲面的方程表示方法1. 参数方程表示法2.1 参数方程的定义2.2 参数方程的求导和积分2. 普通方程表示法2.1 普通方程的定义2.2 普通方程的求导和积分3. 柱面和二次曲面的方程3.1 柱面的方程3.2 二次曲面的方程三、常见曲面的方程1. 圆锥面的方程2. 椭圆面的方程3. 双曲面的方程4. 抛物面的方程5. 直纹面的方程四、曲面的绘制和分析1. 利用参数方程绘制曲面2. 利用普通方程绘制曲面3. 曲面的切线和法线分析4. 曲面的曲率分析5. 曲面的切平面和法平面分析教学方法：1. 采用多媒体教学，通过图形和动画展示曲面的形状和性质。

2. 通过例题讲解和练习，使学生掌握曲面方程的求解和分析方法。

3. 引导学生运用曲面方程解决实际问题，提高学生的应用能力。

教学评价：1. 课堂讲解和练习的参与度。

2. 学生对曲面方程的掌握程度。

3. 学生能够运用曲面方程进行曲面的绘制和分析。

教学资源：1. 教学PPT和动画演示。

2. 曲面方程的相关教材和参考书。

3. 计算机软件进行曲面的绘制和分析。

六、曲面的切平面和法线1. 切平面的定义与性质6.1 切平面的定义6.2 切平面的性质2. 法线的定义与性质6.3 法线的定义6.4 法线的性质3. 切平面和法线的求法6.5 切平面和法线的求法七、曲面的曲率1. 曲率的定义与性质7.1 曲率的定义7.2 曲率的性质2. 曲率的计算7.3 曲率的计算方法3. 曲面的弯曲程度分析7.4 曲面的弯曲程度分析八、曲面的绘制与分析实例1. 实例一：圆锥面的绘制与分析8.1 圆锥面的参数方程8.2 圆锥面的普通方程8.3 圆锥面的切平面和法线分析2. 实例二：椭圆面的绘制与分析8.4 椭圆面的参数方程8.5 椭圆面的普通方程8.6 椭圆面的切平面和法线分析3. 实例三：双曲面的绘制与分析8.7 双曲面的参数方程8.8 双曲面的普通方程8.9 双曲面的切平面和法线分析九、曲面在实际问题中的应用1. 曲面在工程中的应用9.1 曲面在机械设计中的应用9.2 曲面在建筑设计中的应用2. 曲面在自然科学中的应用9.3 曲面在光学中的应用9.4 曲面在声学中的应用十、复习与练习1. 复习本章内容10.1 复习曲面的概念与基本性质10.2 复习曲面的方程表示方法10.3 复习常见曲面的方程2. 课堂练习10.4 完成课堂练习题3. 课后作业10.5 布置课后作业教学方法：1. 采用案例教学法，通过具体实例讲解曲面的绘制与分析方法。

同济版高等数学教材详解同济大学出版社出版的《高等数学》教材是大学教学中常用的一本教材。

本篇文章将对该教材进行详解，帮助读者更好地理解和学习高等数学知识。

一、教材结构《高等数学》教材由全书目录、前言、正文和附录四部分组成。

其中，正文部分包括基础篇、提高篇和拓展篇，共分为十二章。

每一章都由若干节组成，每一节又包含了重要的概念、原理和解题方法等。

二、基础篇详解基础篇包括了数列与级数、函数与极限、微分学、积分学等内容，这些内容是高等数学学习的基础，对于理解后续章节的内容至关重要。

1. 数列与级数数列与级数是数学中重要的内容之一，本书对其进行了详细的讲解。

其中包括等差数列与等比数列的概念、性质及求和公式；级数的概念、性质及常见的级数判别法等。

通过学习这一章的内容，读者可以深入理解数列与级数的概念，掌握求和公式和级数求和的方法。

2. 函数与极限函数与极限是微积分的基础。

本章主要介绍了函数的极限及其性质，包括无穷小量、无穷大量和函数极限的运算法则等。

此外，还介绍了常见的极限计算方法，如洛必达法则等。

通过学习这一章的内容，读者可以建立对函数极限的概念和运算法则的理解，并能熟练地应用到实际问题中。

3. 微分学微分学是函数学的一部分，主要研究函数的变化率和变化规律。

本章主要介绍了函数的导数及其应用，包括导数的定义、性质、导数的运算法则以及相关的微分中值定理等。

此外，还介绍了常见的函数的极值判断方法，如一阶导数、二阶导数的判别法等。

通过学习这一章的内容，读者可以掌握函数的导数及其应用，并能灵活运用到实际问题中。

4. 积分学积分学是微积分的另一部分，主要研究函数的积分与求面积、求体积等问题。

本章主要介绍了不定积分和定积分的定义与性质，包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。

此外，还介绍了常见的定积分应用，如求曲线的弧长、平面图形的面积等。

通过学习这一章的内容，读者可以理解积分的概念与性质，并能应用到实际问题中。

三、提高篇详解提高篇是在基础篇的基础上进一步拓展和深化数学知识的内容。

第五篇 向量代数与空间解析几何第八章 向量代数与空间解析几何解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何的问题，为了把代数运算引入几何中来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化，数量化. 平面解析几何使一元函数微积分有了直观的几何意义，所以为了更好的学习多元函数微积分，空间解析几何的知识就有着非常重要的地位.本章首先给出空间直角坐标系，然后介绍向量的基础知识，以向量为工具讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分容.第1节 空间直角坐标系1.1 空间直角坐标系用代数的方法来研究几何的问题，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现.1.1.1 空间直角坐标系过定点O ，作三条互相垂直的数轴，这三条数轴分别叫做x 轴(横轴）、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴)，它们都以O 为原点且具有相同的长度单位. 通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，而z 轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则：右手握住z 轴，当右手的四指从x 轴的正向转过2角度指向y 轴正向时，大拇指的指向就是z 轴的正向，这样就建立了一个空间直角坐标系（图8-1），称为Oxyz 直角坐标系，点O 叫做坐标原点.图8-1在Oxyz 直角坐标系下，数轴Ox ,Oy ,Oz 统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为xOy ，yOz ，zOx ，三个坐标平面将空间分为八个部分，每一部分叫做一个卦限（图8-2），分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.yxzO图8-21.1.2 空间点的直角坐标设M 为空间中的任一点，过点M 分别作垂直于三个坐标轴的三个平面，与x 轴、y 轴和z 轴依次交于A 、B 、C 三点，若这三点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为x ，y ，z ，于是点M 就唯一确定了一个有序数组(, , )x y z ，则称该数组(, , )x y z 为点M 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，如图8-3．x ，y ，z 分别称为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．图8-3反之，若任意给定一个有序数组(, , )x y z ，在x 轴、y 轴、z 轴上分别取坐标为x ，y ，z 的三个点A 、B 、C ，过这三个点分别作垂直于三个坐标轴的平面，这三个平面只有一个交点M ，该点就是以有序数组(, , )x y z 为坐标的点，因此空间中的点M 就与有序数组(, , )x y z 之间建立了一一对应的关系．注：A 、B 、C 这三点正好是过M 点作三个坐标轴的垂线的垂足．yxzOyxzAB C(,,)M x y z1.2 空间中两点之间的距离设两点111(, , )M x y z ，222(, , )N x y z ，则M 与N 之间的距离为212212212)()()(z z y y x x d -+-+-= （8-1-1）事实上，过点M 和N 作垂直于xOy 平面的直线，分别交xOy 平面于点1M 和1N ，则1MM ∥1NN ，显然，点1M 的坐标为11(, , 0)x y ，点1N 的坐标为22(, , 0)x y （如图8-4）．图8-4由平面解析几何的两点间距离公式知，1M 和1N 的距离为：21221211)()(||y y x x N M -+-=．过点M 作平行于xOy 平面的平面，交直线1NN 于2N ，则11M N ∥2MN ，因此2N 的坐标为221(, , )x y z ，且212212112)()(||||y y x x N M MN -+-==，在直角三角形N MN 2中，||||122z z N N -=，所以点M 与N 间的距离为2122122122222)()()(||||z z y y x x N N MN d -+-+-=+=．例1 设(1, 2, 0)A -与(1, 0, 2)B --为空间两点，求A 与B 两点间的距离． 解 由公式（8-1-1）可得，A 与B 两点间的距离为d ==例2 在z 轴上求与点(3, 5, 2)A -和(4, 1, 5)B -等距的点M ．解 由于所求的点M 在z 轴上，因而M 点的坐标可设为(0, 0, )z ，又由于MA MB =，由公式（8-1-1），得222222)5(1)4()2(53z z -++-=--++．从而解得72=z ，即所求的点为2(0, 0, )7M ．习题8-11．讨论空间直角坐标系的八个卦限中的点的坐标的符号． 2．在坐标轴上的点和在坐标平面上的点的坐标各有何特点？ 3．在空间直角坐标系中，画出以下各点：(2, 0, 0)A ；(0, 3, 0)B -；(3, 0, 1)C ；(3, 2, 1)D -．4．求点(1, 2, 3)-关于各坐标平面对称的点的坐标． 5．求点(1, 2, 3)关于各坐标轴对称的点的坐标． 6．求以下各对点间的距离： (1) (0, 1, 3)A -与(2, 1, 4)B ；(2) (1, 4, 2)C -与D(2, 7, 3)．7．在坐标平面yOz 上求与三点(3, 1, 2)A 、(4, 2, 2)B --和(0, 5, 1)C 等距的点． 8．求点(12, 3, 4)A -与原点、各坐标平面和各坐标轴的距离．9. 证明以()()()A 4,3,1,B 7,1,2,C 5,2,3为顶点的三角形△ABC 是一等腰三角形.第2节 空间向量的代数运算2.1 空间向量的概念在日常生活中，我们经常会遇到一些量，如质量、时间、面积、温度等，它们在取定一个度量单位后，就可以用一个数来表示．这种只有大小没有方向的量，叫做数量（或标量）．但有一些量，如力、位移、速度、电场强度等，仅仅用一个实数是无法将它们确切表示出来，因为它们不仅有大小，而且还有方向，这种既有大小又有方向的量，叫做向量（或矢量）．在数学上，我们用有向线段AB 来表示向量，A 称为向量的起点，B 称为向量的终点，有向线段的长度就表示向量的大小，有向线段的方向就表示向量的方向．通常在印刷时用黑体小写字母a ，b ，c ，…来表示向量，手写时用带箭头的小写字母, ,,a b c来记向量.向量的长度称为向量的模，记作a 或AB ，模为1的向量叫做单位向量，模为0的向量叫做零向量，记作0，规定：零向量的方向可以是任意的．本章我们讨论的是自由向量，即只考虑向量的大小和方向，而不考虑向量的起点，因此，我们把大小相等，方向相同的向量叫做相等向量，记作a =b .规定：所有的零向量都相等.与向量a 大小相等，方向相反的向量叫做a 的负向量(或反向量)，记作 a ． 平行于同一直线的一组向量称为平行向量（或共线向量）．平行于同一平面的一组向量，叫做共面向量，零向量与任何共面的向量组共面.2.2 向量的线性运算2.2.1 向量的加法我们在物理学中知道力与位移都是向量，求两个力的合力用的是平行四边形法则，我们可以类似地定义两个向量的加法．定义1 对向量a ，b ，从同一起点A 作有向线段AB 、AD 分别表示a 与b ，然后以AB 、AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则我们把从起点A 到顶点C 的向量AC 称为向量a 与b 的和（图8-5），记作a +b ．这种求和方法称为平行四边形法则．图8-5 图8-6若将向量b 平移，使其起点与向量a 的终点重合，则以a 的起点为起点，b 的终点为终ab Cabc =a +b点的向量c 就是a 与b 的和(图8-6），该法则称为三角形法则．多个向量，如a 、b 、c 、d 首尾相接，则从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量就是它们的和a +b +c +d （图8-7）．图8-7对于任意向量a ，b ，c ，满足以下运算法则： (1)a +b =b +a (交换律)．(2)()()a +b +c =a +b +c (结合律)． (3)0a +=a ．2.2.2 向量的减法定义2 向量a 与b 的负向量-b 的和，称为向量a 与b 的差，即()--a b =a +b ．特别地，当b =a 时，有()-0a +a =.由向量减法的定义，我们从同一起点O 作有向线段OA ，OB 分别表示a ，b ，则()OA OB OA OB --=+-a b =OA BO BA =+=．也就是说，若向量a 与b 的起点放在一起，则a ，b 的差向量就是以b 的终点为起点，以a 的终点为终点的向量（图8-8）．图8-82.2.3数乘向量定义3 实数λ与向量a 的乘积是一个向量，记作λa ，λa 的模是λa ，方向： 当0λ>时，λa 与a 同向；当0λ<时，λa 与a 反向；当0λ=时，λ0a =．abcda +b +c +daabb -a bBAC对于任意向量a ，b 以与任意实数λ，μ，有运算法则： (1) ()()λμλμa =a ． (2) ()+λμλμ+a =a a ．(3) ()+λλλ+a b =a b ．向量的加法、减法与数乘向量运算统称为向量的线性运算，λμa +b 称为a ，b 的一个线性组合(, )R λμ∈．特别地，与 a 同方向的单位向量叫做a 的单位向量，记做a e ，即aa e a=.上式说明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.例1 如图8-9，在平行六面体///ABCD B C D /—A 中，设/=AA ,a AD =b AB =c ,试用,,a b c 来表示对角线向量//,.AC A C图8-9解 ''AC AB BC CC =++'AB BC AA =++a b c =++；'''AC A A AB BC AA AB AD =++=-++a b c =++.由于向量λa 与a 平行，所以我们通常用数与向量的乘积来说明两个向量的平行关系.即有,定理1 向量a 与非零向量b 平行的充分必要条件是存在一个实数λ，使得λa =b .2.3 向量的坐标表示2.3.1向量在坐标轴上的投影设A 为空间中一点，过点A 作轴u 的垂线，垂足为'A ，则'A 称为点A 在轴u 上的投影(图8-10)．图8-10若M 为空间直角坐标系中的一点，则M 在x 轴、y 轴、z 轴上的投影为A 、B 、C ，如图8-11所示．图8-11设向量AB 的始点与终点B 在轴u 的投影分别为A '、B '，那么轴u 上的有向线段A B ''的值A B ''叫做向量AB 在轴u 上的投影，记作u prj AB A B ''=，轴u 称为投影轴.图8-12当A B ''与轴u 同向时，投影取正号，当A B ''与轴u 反向时，投影取负号． 注 (1) 向量在轴上投影是标量．(2) 设MN 为空间直角坐标系中的一个向量，点M 的坐标为111(, , )x y z ，点N 的坐标为222(, , )x y z ，显然，向量MN 在三个坐标轴上的投影分别为12x x -，12y y -，12z z -． 2.3.2向量的坐标表示yxzOA B CM取空间直角坐标系Oxyz ，在x 轴、y 轴、z 轴上各取一个与坐标轴同向的单位向量，依次记作, , i j k ，它们称为坐标向量．空间中任一向量a ，它都可以唯一地表示为, , i j k 数乘之和． 事实上，设MN a =，过M 、N 作坐标轴的投影，如图8-13所示．MN =MA+AP +PN =MA+MB +MC a =．由于MA 与i 平行，MB 与j 平行，MC 与k 平行，所以，存在唯一的实数, , x y z ，使得MA x =i ，MB y =j ，MC z =k ，即x y z a =i +j +k ． (8-2-1)图 8-13我们把(8-2-1)式中, , i j k 系数组成的有序数组(, , )x y z 叫做向量a 的直角坐标，记为{, , }x y z a =，向量的坐标确定了，向量也就确定了．显然，(8-2-1)中的, , x y z 是向量a 分别在x 轴、y 轴、z 轴上的投影．因此，在空间直角坐标系中的向量a 的坐标就是该向量在三个坐标轴上的投影组成的有序数组．例2 在空间直角坐标系中设点(3, 1, 5)M -，(2, 3, 1)N -，求向量MN 与NM 的直角坐标．解 由于向量的坐标即为向量在坐标轴上的投影组成的有序数组，而向量的各投影即为终点坐标与起点坐标对应分量的差．所以向量MN 的坐标为{5, 4, 4}--，向量NM 的坐标为{5, 4, 4}-． 例3(定比分点公式) 设111(,,)A x y z 和222(,,)B x y z 为两已知点，有向线段AB 上的点M 将它分为两条有向线段AM 和MB ，使它们的值的比等于数(1)λλ≠-，即AMMBλ=，求分点(,,)M x y z 的坐标.图8-14 解 如图8-14，因为AM 与MB 在同一直线上，且同方向，故AM MB λ=⋅，而122{,,}AM x x y y z z =---， 222{,,}MB x x y y z z =---222{(),(),()}MB x x y y z z λλλλ=---所以 12()x x x x λ-=-，12()y y y y λ-=-，12()z z z z λ-=- 解得121212,,.111x x y y z z x y z λλλλλλ+⋅+⋅+⋅===+++当λ=1, 点M 的有向线段→AB x 2.3.3向量可以用它的模与方向来表示，设空间向量12a M M =分别为,,αβγ，规定： 0,0απ≤≤≤称,,αβγ为向量a 的方向角因为向量a 12cos cos x a M M a αα=⋅=⋅12cos cos y a M M a ββ=⋅=⋅(8-2-2)12cos cos z a M M a γγ=⋅=⋅公式(8.2.2)中出现的cos ,cos ,cos αβγ称为向量a 的方向余弦.而{,,}{cos ,cos ,cos }x y z a a a a a a a αβγ==⋅⋅⋅{cos ,cos ,cos }a a a e αβγ=⋅=⋅{cos ,cos ,cos }a e αβγ=是与向量a 同方向的单位向量.而 a =M M =12,,x y z M P a M Q a M R a ===111，故向量a 的模为 x a a a =+2(8-2-3)从而向量a 的方向余弦为cos a αβγ===(8-2-4)并且 222cos cos cos 1αβγ++=.例4 已知两点1M 和()21,3,0M ,求向量12M M 的模、方向余弦和方向角.解12(12,32,0(1,1,M M =--=-2)2(1)1(222=-++-=；11cos ,cos ,cos 22αβγ=-==； 23,,334πππαβγ===. 例5 已知两点(4,0,5)A 和(7,1,3)B ，求与AB 同方向的单位向量e . 解 因为{74,10,35}{3,1,2},AB =---=-所以23AB == 于是 {}.e =2.4 向量的数量积在物理中我们知道，一质点在恒力F 的作用下，由A 点沿直线移到B 点，若力F 与位移向量AB 的夹角为θ，则力F 所作的功为||||cos W F AB θ=⋅⋅．类似的情况在其他问题中也经常遇到．由此，我们引入两向量的数量积的概念． 定义1 设a ，b 为空间中的两个向量，则数cos ,a b a b叫做向量a 与b 的数量积(也称积或点积)，记作⋅a b ，读作“a 点乘b ”．即cos ,⋅a b =a b a b （8-2-5）其中,a b 表示向量a 与b 的夹角，并且规定0, π≤≤a b ．两向量的数量积是一个数量而不是向量，特别地当两向量中一个为零向量时，就有0⋅a b =.由向量数量积的定义易知：(1)2⋅a a =a ，因此=a(2) 对于两个非零向量a ，b ，a 与b 垂直的充要条件是它们的数量积为零，即⊥a b ⇔0⋅a b =．注 数量积在解决有关长度、角度、垂直等度量问题上起着重要作用． 数量积的运算满足如下运算性质： 对于任意向量a ，b 与任意实数λ，有 (1) 交换律：⋅⋅a b =b a ．(2) 分配律：()⋅⋅⋅a b +c =a b +a c ．(3) 与数乘结合律：()()()λλλ⋅⋅=⋅a b =a b a b ． (4)0⋅≥a a 当且仅当0a =时，等号成立．例6 对坐标向量i ，j ，k ，求⋅i i ，⋅j j ，⋅k k ，⋅i j ，⋅j k ，⋅k i ． 解 由坐标向量的特点与向量积的定义得1⋅⋅⋅i i =j j =k k =， 0⋅⋅⋅i j =j k =k i =．例7 已知2=a ，3=b ，2, 3π=a b ，求a b ⋅，(2)()-+a b a b ⋅，+a b ． 解 由两向量的数量积定义有2cos , 23cos 3π⋅=⨯⨯a b =a b a b 123()=32=⨯⨯--．(2)()=22-⋅+⋅⋅-⋅-⋅a b a b a a +a b b a b b22=2-⋅-a a b b 222(3)23=11=---⨯-．2()()+=⋅+a b a +b a b =⋅⋅+⋅+⋅a a +a b b a b b222=+⋅+a a b b 2222(3)3=7=+⨯-+，因此+=a b ．在空间直角坐标系下，设向量111{,,}x y z a =，向量222{,,}x y z b =，即111x y z ++a =i j k , 222x y z ++b =i j k ．则111222()()x y z x y z ⋅++⋅++a b =i j k i j k121212()()+()x x x y x z ⋅+⋅⋅=i i i j i k 121212()()+()y x y y y z ⋅+⋅⋅+j i j j j k 121212()()+()z x z y z z ⋅+⋅⋅+k i k j k k ．由于1⋅⋅⋅i i =j j =k k =， 0⋅⋅⋅i j =j k =k i =，所以121212x x y y z z ⋅++a b =．(8-2-6)也就是说，在直角坐标系下，两向量的数量积等于它们对应坐标分量的乘积之和．同样，利用向量的直角坐标也可以求出向量的模、两向量的夹角公式以与两向量垂直的充要条件，即设非零向量111{,,}x y z a =，向量222{,,}x y z b =，则=a (8-2-7)cos ||||⋅=a ba,b a b=． (8-2-8)⊥a b ⇔1212120x x y y z z ++=． (8-2-9)例8 在空间直角坐标系中，设三点(5, 4, 1)A -，(3, 2, 1)B ，(2, 5, 0)C -．证明:ABC ∆是直角三角形．证明 由题意可知{2, 6, 0}AB =-，={3, 1, 1}AC ---，则(2)(3)6(1)0(1)0AB AC ⋅=-⨯-+⨯-+⨯-=，所以AB AC ⊥．即ABC ∆是直角三角形．2.5向量的向量积在物理学中我们知道，要表示一外力对物体的转动所产生的影响，我们用力矩的概念来描述．设一杠杆的一端O 固定，力F 作用于杠杆上的点A 处，F 与OA 的夹角为θ，则杠杆在F 的作用下绕O 点转动，这时，可用力矩M 来描述．力F 对O 的力矩M 是个向量，M 的大小为||||||sin OA OA =M F ,F ．M 的方向与OA 与F 都垂直，且OA ，F ，M 成右手系，如图8-16所示．图8-162.5.1向量积的定义在实际生活中，我们会经常遇到象这样由两个向量所决定的另一个向量，由此，我们引入两向量的向量积的概念．定义2 设a ，b 为空间中的两个向量，若由a ，b 所决定的向量c ，其模为sin , c =a b a b ． (8-2-10)其方向与a ，b 均垂直且a ，b ，c 成右手系（如图8-17），则向量c 叫做向量a 与b 的向量积(也称外积或叉积)．记作⨯a b ，读作“a 叉乘b ”．注 (1) 两向量a 与b 的向量积⨯a b 是一个向量，其模⨯a b 的几何意义是以a ，b 为邻边的平行四边形的面积． (2)⨯0a a =这是因为夹角θ=0，所以⨯0a a = 图8-17(3)对两个非零向量a 与b ，a 与b 平行(即平行)的充要条件是它们的向量积为零向量．a ∥b ⇔⨯0a b =．向量积的运算满足如下性质：对任意向量a ，b 与任意实数λ，有 (1) 反交换律：⨯-⨯a b =b a ． (2) 分配律:()⨯⨯⨯a b +c =a b +a c ，()⨯⨯⨯a +b c =a c +b c ．(3) 与数乘的结合律：()()()λλλ⨯⨯⨯a b =a b =a b ．例9 对坐标向量i ，j ，k ，求⨯i i ，⨯j j ，⨯k k ，⨯i j ，⨯j k ，⨯k i ． 解⨯⨯⨯0i i =j j =k k =．⨯i j =k ，⨯j k =i ，⨯k i =j ．2.5.2向量积的直角坐标运算在空间直角坐标系下，设向量111{, , }x y z a =，向量222{, , }x y z b =，即111x y z ++a =i j k ，222x y z ++b =i j k ，因为⨯⨯⨯0i i =j j =k k =． ⨯i j =k ，⨯j k =i ，⨯k i =j ， ⨯-j i =k ，⨯-k j =i ，⨯-i k =j ．则111222()()x y z x y z ⨯++⨯++a b =i j k i j k121212()()+()x x x y x z ⨯+⨯⨯=i i i j i k 121212()()+()y x y y y z ⨯+⨯⨯+j i j j j k 121212()()+()z x z y z z ⨯+⨯⨯+k i k j k k121212121212()()+()()()()x y y x y z z y x z z x -⨯-⨯--⨯=i j j k k i 121212121212()()+()y z z y x z z x x y y x ----=i j k ．为了便于记忆，借助于线性代数中的二阶行列式与三阶行列式有111111222222y z x z x y y z x z x y ⨯-a b =i j +k 111222x y z x y z =i j k ． 注 设两个非零向量111{, , }x y z a =，222{, , }x y z b =，则a ∥b ⇔⨯0a b =，⇔212121z z y y x x ==． 若某个分母为零，则规定相应的分子为零．例10 设向量{1,2,1}--a =，{2,0,1}b =，求⨯a b 的坐标．解211112121012120201----⨯--=-i j ka b =i j +k 234=--i j +k ．因此⨯a b 的直角坐标为{2, 3, 4}--．例11 在空间直角坐标系中，设向量{3, 0, 2}a =，{1, 1, 1}--b =，求同时垂直于向量a 与b 的单位向量．解 设向量⨯c =a b ，则c 同时与a ，b 垂直．而302111⨯--i j kc =a b =23=-+i j +k ，所以向量c 的坐标为{2, 1, 3}-．再将c 单位化，得02,1,3}={=-c ，即{与-- 为所求的向量． 例12 在空间直角坐标系中，设点(4, 1, 2)A -，(1, 2, 2)B -，(2, 0, 1)C ，求ABC ∆的面积．解 由两向量积的模的几何意义知：以AB 、AC 为邻边的平行四边形的面积为AB AC ⨯，由于{3, 3, 4}AB =--，{2, 1, 1}AC =--，因此33453211AB AC ⨯=--=++--i j ki j k ，所以21AB AC ⨯=故ABC ∆的面积为235=∆ABC S ．2.6向量的混合积定义3 给定空间三个向量,,a b c ，如果先作前两个向量a 与b 的向量积，再作所得的向量与第三个向量c 的数量积，最后得到的这个数叫做三向量,,a b c 的混合积，记做()a b c ⨯⋅或abc ⎡⎤⎣⎦.说明：三个不共面向量,,a b c 的混合积的绝对值等于以,,a b c 为棱的平行六面体的体积V .定理如果111a X i Y j Z k =++，222b X i Y j Z k =++，333c X i Y j Z k =++，那么 111222333.X Y Z abc X Y Z X Y Z ⎡⎤=⎣⎦习题8-21.,,,,,().ABCD AB AD AC DB MA M ==设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点a b.a b12.,().2M AB O OM OA OB =+设为线段的中点,为空间中的任意一点证明 2223.?(1)()();(2)();(3)()().==⨯=⨯对于任意三个向量与判断下列各式是否成立a,b c,a b c b c a a b a b a b c c a b4.:(1);(2)(3).利用向量证明三角形的余弦定理正弦定理；勾股定理5.设,,a b c 为单位向量,且满足0a b c ++=,求.a b b c c a ++6.1(3,2,2),(1,3,2),(8,6,2),322a b c a b + c.求=-==--7.已知三点(3,0,2),A B AB ==求的坐标、模、方向余弦和方向角.8.一向量的终点在点B(2,-1,7),它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4，-4和7.求这向量的起点A 的坐标.9．设2=a ，4=b ，3πa,b =，求⋅a b ，(2)-⋅a b b ，-a b ． 10．设向量a ，b ，c 两两垂直，且1=a ，2=b ，3=c ，求向量d =a +b +c 的模与d,a ．11．在空间直角坐标系中，已知{1,2,3}-a = ，{2,2,1}-b = ，求： (1)⋅a b ；(2) 25⋅a b ；(3) a ；(4)cos a,b ．12.已知向量2332和,,a i j k b i j k c i j =-+=-+=-，计算 （1）()();a b c a c b -（2）()();a b b c +⨯+（3）()a b c ⨯.13．设向量a ，b 的直角坐标分别为{1, 3, 2}--和{2, 4, }k -，若a b ⊥，求k 的值．14．设向量{2, 1, 1}-a =，{1, 3, 0}-b =，求以、a b 为邻边构造的平行四边形面积． 15．求同时垂直于向量{3, 2, 4}-a =和纵轴的单位向量．16．已知三角形三个顶点(4, 1, 2)A -，(3, 0, 1)B -，(5, 1, 2)C ，求ABC ∆的面积．第3节 空间中的平面与直线方程在本节我们以向量为工具，在空间直角坐标系中讨论最简单的曲面和曲线——平面和直线.3.1平面与其方程首先利用向量的概念，在空间直角坐标系中建立平面的方程，下面我们将给出几种由不同条件所确定的平面的方程．3.1.1平面的点法式方程若一个非零向量n 垂直于平面π，则称向量n 为平面π的一个法向量．显然，若n 是平面π的一个法向量，则λn (λ为任意非零实数)都是π的法向量，即平面上的任一向量均与该平面的法向量垂直．由立体几何知识知道，过一个定点0000(, , )M x y z 且垂直于一个非零向量{, , }A B C n =有且只有一个平面π．设(, , )M x y z 为平面π上的任一点，由于π⊥n ，因此0M M ⊥n ．由两向量垂直的充要条件，得00M M =⋅n ,而0000{, , }M M x x y y z z =---，{, , }A B C n =，所以可得0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ． (8-3-1)由于平面π上任意一点(, , )M x y z 都满足方程(8-3-1)，而不在平面π上的点都不满足方程(8-3-1)，因此方程(8-3-1)就是平面π的方程．由于方程(8-3-1)是给定点0000(, , )M x y z 和法向量{, , }A B C n =所确定的，因而称式(8-3-1)叫做平面π的点法式方程．图8-18例1 求通过点0(1, 2, 4)M -且垂直于向量{3, 2, 1}-n =的平面方程．解 由于{3, 2, 1}-n =为所求平面的一个法向量，平面又过点0(1, 2, 4)M -，所以，由平面的点法式方程(6-14)可得所求平面的方程为3(1)2(2)1(4)=0x y z --⋅++⋅-，整理，得32110x y z -+-=．例2 求过三点()12,1,4M -，()2M 1,3,2--，()3M 0,2,3 的平面π的方程． 解 所求平面π的法向量必定同时垂直于12M M 与13M M ．因此可取12M M 与13M M 的向量积1213M M M M ⨯为该平面的一个法向量n ．即1213n =M M M M ⨯．由于12{3, 4, 6}M M =--，13{2, 3, 1}M M =--，因此1213-631i j kn =M M M M =342⨯---149i j k,=+-,因此所求平面π的方程为0419214=--++-)()()(z y x ，化简得.015914=--+z y x一般地，过三点(,,)(1,2,3)k k k k M x y z k =的平面方程为1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 称为平面的三点式方程。

第十一章 曲线积分与曲面积分第1节 曲线积分以前讨论的定积分研究的是定义在直线段上的函数的定积分.本节将研究定义在平面或空间曲线段上函数的积分.1.1 第一型积分的概念与性质在设计曲线形细长构件时，通常需要计算它们的质量, 而构件的线密度(单位长度的质量)却是因点而异的. 工程技术人员常常用这样的方法计算一个构件的质量： 设构件为平面xOy 平面内一条有质量的曲线 L ， L 上任一点(,)f x y 处的线密度为(,)ρx y ，这样就可以把实际问题定量化(如图11-1)：将曲线L 分成n 小段曲线(1,2,)=L i L i n ,i s ∆表示曲线段i L 长度;任取(ξi , ηi )∈ L i , 得第i 小段质量的近 似值(,)ρξηi i i s ∆;图11-1整个曲线构件的质量近似的等于1(,)ρξη=∆∑ni i i i s ;当把L 分割的越来越细(即λ@max{∆s 1, ∆s 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆s n }0→), 则整个曲线构件的质量为 01lim (,)λμξη→=∆∑ni i i i s .这种和的极限在研究其它问题时也会遇到，因此给出下面概念.定义1 设L 为xOy 面内的一条光滑曲线段, 函数(,)f x y 在L 上有界.在L 上任意插入一点列P 1, P 2, ⋅ ⋅ ⋅, P n -1把L 分在n 个小段. 设第i 个小段的长度为i s ∆, (,)i i ξη 为第i 个小段上任意取定的一点, 作乘积 (,)i i i f s ξη∆ (i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ), 并作和i i i ni s f ∆=∑),(1ηξ, 如果各小弧段长度的最大值 λ→0, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数(,)f x y 在曲线L 上的第一型曲线积分或对弧长的曲线积分, 记作(,)d Lf x y s ⎰, 即01(,)d lim (,)ni i i Li f x y s f s λξη→==∆∑⎰. （11-1-1）其中，(,)f x y 叫做被积函数, L 叫做积分路径 , d s 弧长微元.特别地，如果L 是闭曲线, 那么函数(,)f x y 在闭曲线L 上第一型曲线积分记作(,)d Lf x y s ⎰Ñ.若L 为空间上的光滑曲线段，(,,)f x y z 为定义在L 上的函数，则可类似的定义(,,)f x y z 在空间曲线L 上第一型曲线积分，记作(,,)d Lf x y z s ⎰.这样，本节开始所求的曲线形构件的质量可表示为(,)d LM x y s ρ=⎰.类似于函数的定积分，并不是所有的(,)f x y 在曲线L 上都是可积的. 然而，当函数(,)f x y 在光滑曲线弧L 上连续时, 第一型曲线积分(,)d Lf x y s ⎰都是存在的. 因此，下文中我们总假定(,)f x y 在L 上是连续的.关于第一型曲线积分也和定积分一样具有下述重要性质. 性质1(线性性) 设α、β为任意常数, 则[(,)(,)]d (,)d (,)d LLLf x yg x y s f x y s g x y s αβαβ+=+⎰⎰⎰;性质2(路径可加性) 若积分弧段L 可分成两段光滑曲线弧L 1和L 2, 则12(,)d (,)d (,)d LL L f x y s f x y s f x y s =+⎰⎰⎰.1.2 第一型曲线积分的计算方法定理1 设(,)f x y 在曲线段L 上连续, L 的参数方程为x =ϕ(t ), y =ψ(t ) ( α ≤t ≤ β ),其中ϕ(t )、ψ(t ) 在[α, β]上具有一阶连续导数, 且ϕ'2(t )+ψ'2(t )≠0, 则曲线积分(,)d Lf x y s ⎰存在, 且(,)d [(),(Lf x y s f t t t βαϕψ=⎰⎰.证明 设 [(),(I f t t t βαϕψ=⎰. 如图11-1，在L 上顺次插入((),())(1,21)i i i P t t i n ϕψ=-L ，0((),())P A ϕαψα==，((),())n P B ϕβψβ==，其中011n n t t t t αβ-=<<<<=L . 设i s ∆为弧段P i-1P i 的长度，则1.i i t i t s t -∆=⎰令1((),())ni i i i f s σϕξψξ==∆∑，其中((),()i i ϕξψξ)为弧段P i-1P i 上任意一点. 那么[111((),())[(),(((),())((),()).ii ni i i i nt i i t i I f s f t t tf f t t t βασϕξψξϕψϕξψξϕψ-==-=∆-=-∑∑⎰⎰设L 的弧长为s. ((),())f t t ϕψαβ为[,]上的连续函数，因此一致连续. 所以对任意给定正数ε，存在δ，当1i i t t δ--<时，有|((),())((),())|i i f f t t sεϕξψξϕψ-<. (1,[,]i i i t t t ξ-∈）,因此11|||((),())((),())|.ii nt i i t i I f f t t tt s s sβασϕξψξϕψεεε-=-≤-<==∑⎰⎰又10(1,2)i i t t i n --→=L 等价于λ@max{∆s 1, ∆s 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆s n }0→. 从而(,)d lim =[(),(Lf x y s f t t t βαλσϕψ→=⎰⎰.特别地，如果平面光滑曲线L 的方程为 y =ψ(x ) (a ≤x ≤b ) 则(,)d (,(bLaf x y s f x x x ψ=⎰⎰如果平面光滑曲线L 的方程为x =ϕ(y ) ( c ≤x ≤d )则2(,)d((),)()1ddL cf x y s f y y y yϕϕ'=+⎰⎰若空间曲线L的方程为x=ϕ(t),y=ψ(t),z=ω(t) (α≤t≤β),则222(,,)d((),(),())()()()dLf x y z s f t t t t t t tβαϕψωϕψω'''=++⎰⎰.例1计算dLy s⎰,其中L是抛物线y=x2 上点O(0, 0) 与点B(1, 1) 之间的一段弧.解曲线的方程为y=x2 (0≤x≤1) (图11-2),因此1222d1()dLy s x x x'=+⎰⎰1214dx x x=+⎰)155(121-=.图11-2 图11-3例2计算22dx yLe s+⎰，其中L是从(0,1)A沿圆周221x y+=到22(,)B-处的一段劣弧(如图11-3).解曲线段L的参数方程为cos,sin,42x t y t tππ==-≤≤.从而22d(sin)(cos)d ds t t t t=-+=.因此22243d d4x yLe s e t eπππ+-==⎰⎰.例3计算曲线积分222()dLx y z s++⎰,其中L为螺旋线x=a cos t、y=a sin t、z=kt上相应于t从0到2π的一段弧.解在曲线L 上有x2+y2+z2=(a cos t)2+(a sin t)2+(k t)2=a2+k 2t 2,并且22222d(sin)(cos)d ds a t a t k t a k t=-++=+,于是222()dLx y z s++⎰222222()da k t a k tπ=++⎰)43(3222222k a k a ππ++=. 例 4 计算22(2)d Lx y z s ++⎰，其中L 为球面2222x y z a ++=和平面0x y z ++=的交线.解 有对称性得2222221d d d ()d 3LLLLx s y s z s x y z s ===++⎰⎰⎰⎰ 由于在L 上成立2222x y z a ++=，且L 是一个半径为a 的圆周，因此222223()d d d 2.LLLx y z s a s a s a π++===⎰⎰⎰ 同理1d d d ()d 0.3LLLLx s y s z s x y z s ++=++=⎰⎰⎰⎰ 于是222234(2)d d d 2d .3L L L Lx y z s x s y s z s a π++++=⎰⎰⎰⎰=1.3 第二型曲线积分在物理学中还会碰到另一种类型的曲线积分. 例如一质点在xOy 面内受变力 F (x , y )=P (x , y )i +Q (x , y )j 的作用下沿光滑曲线弧L 从点A 移动到点B , 求变力F (x , y ) 所作的功. 这样就可以把实际问题定量化(如图10-4).在曲线L 上插入点A =P 0, P 1, P 2, ⋅ ⋅ ⋅, 1n P -, P n =B 把有向曲线L 分成n 个小弧段. 设 P k =(x k , y k ),则有向曲线¼1i iP P -在x 轴与y 轴上的投影分别为 1i i i x x x -∆=- 与 1i i i y y y -∆=- , 所以(,)i i i x y =∆∆L (i =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1，n ).显然, F (x , y )沿有向小弧段¼1i iP P -所作的功可以近似为 图11-4 1(,)(,)(,)i i i i i P P i i i i i i W P x Q y ξηξηξη-=⋅=∆+∆F L ;其中(,)i i ξη为小弧段¼1i iP P -内任一点. 于是, 变力F (x , y )所作的功近似为 111(,)(,).n n niiiiiiii i i W W P x Q y ξηξη=====∆+∆∑∑∑当有向曲线L 的分割越细，上式右边的和就越接近正确值. 因此，0λ→（λ 是各小弧段长度的最大值）时的极限就是变力在L 上所作的功的精确值: ]),(),([lim1i i i ni i i i y Q x P W ∆+∆=∑=→ηξηξλ.这种类型的和式极限就是下面所要求的第二型曲线积分的定义:定义2 设函数 P (x , y ), (,)Q x y 在有向光滑曲线L 上有界. 在L 内插入一点列012=A, ,n P P P P B =L 得到n 个有向小弧段¼1(1,2,)i iP P i n -=L ， 设1i i i x x x -∆=-，1i i i y y y -∆=-; (ξi , ηi )为L i 上任意一点, λ 为各小弧段长度的最大值. 如果极限 011lim[(,)(,)]n niiiiiii i P x Q y λξηξη→==∆+∆∑∑总存在, 则称此极限为函数P (x , y ),(,)Q x y 在有向曲线L 上的第二型曲线积分或对坐标轴的曲线积分, 记作(,)d (,)d (,)d (,)d LABP x y x Q x y y P x y x Q x y y ++⎰⎰或. （11-1-2）特别地，如果L 是有向闭曲线，则记作(,)d (,)d LP x y x Q x y y +⎰Ñ. （11-1-3）若记F (x , y )=((,)P x y , (,)Q x y )，d (d ,d )x y =r , 则 (11-1-2) 式可写成向量形式d L⋅⎰F r 或d AB⋅⎰F r （11-1-4）这样，在变力F (x , y )=P (x , y )i +Q (x , y )j 作用下沿光滑曲线弧L 从点A 移动到点B 所作的功为(,)d (,)d LW P x y x Q x y y =+⎰.第二类曲线积分定义在有向曲线上，它具有的性质如下：性质1(方向性) 设L 是有向曲线弧, -L 是与L 方向相反的有向曲线弧, 则⎰⎰+-=+-L L dy y x Q dx y x P d y x Q dx y x P ),(),(),(),(.性质2(线性性) 设α、β为任意常数, F ，G 为向量函数，d (d ,d )x y =r ，则[]d d d LLLαβαβ+=+⎰⎰⎰F G r F r G r .性质3（路径可加性) 如果把L 分成L 1和L 2, 则12LL L Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy +=+++⎰⎰⎰.1. 4第二型曲线积分的计算方法定理2 设(,)P x y , (,)Q x y 是定义在光滑有向曲线L : x =ϕ(t ), y =ψ(t ),上的连续函数, 当参数t 单调地由 α 变到 β 时, 点M (x , y ) 从L 的起点A 沿L 方向运动到终点B , 则(,)d (,)d ((),())()((),())()d LP x y x Q x y yP t t t Q t t t t βαϕψϕϕψψ+''=+⎰⎰ 对于沿封闭曲线L 的第二型曲线积分（11-1-2）的计算，可在L 上任意选取一点作为起点，沿L 所指定的方向前进，最后回到这一点. 若空间曲线L 的参数方程为x =ϕ(t ), y =ψ (t ), z =ω(t ) ,则(,,)d (,,)d (,,)d LP x y z x Q x y z y R x y z z ++⎰⎰'=βαϕωψϕ )()](),(),([{t t t t P [(),(),()]()[(),(),()]()}d .Q t t t t R t t t t t ϕψωψϕψωω''++其中α 对应于L 的起点, β 对应于L 的终点.例5 计算224(2)d ()d Lx xy x x y y +++⎰，其中L 为由点(0,0)O 到点(1,1)A 的直线段 .解 L 的参数方程为 ,,01x t y t t ==≤≤2241222403510(2)d ()d (2)d 4123|.3515Lx xy x x y y t t t t tt t +++=+++=+=⎰⎰。