高等数学下册第七章习题答案详解1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：()123A ，，；()2,3,4B -； 2,3,4C --（）； D 3,4,0（）；()0,4,3E ；3,0,0F （）. 解：点A 在第Ⅰ卦限；点B 在第Ⅱ卦限；点C 在第Ⅷ卦限； 点D 在xOy 面上；点E 在yOz 面上；点F 在x 轴上.2. xOy 坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz 面上的呢？zOx 面上的呢？ 答: 在xOy 面上的点，z =0;在yOz 面上的点，x =0; 在zOx 面上的点，y =0.3. 对于x 轴上的点，其坐标有什么特点?y 轴上的点呢?z 轴上的点呢? 答：x 轴上的点，y =z =0;y 轴上的点，x =z =0; z 轴上的点，x =y =0.4. 求下列各对点之间的距离： (1) (000)，，，(234)，，； (2) (000)，，，(23,4)--，； (3) (2,3,4)--，() 1,0,3； (4) (4,2,3)-，(2,1,3)-.解：（1）22223429s =++=(2) 2222(3)(4)29s =+-+-=(3) 222(12)(03)(34)67s =++-++=(4) 222(24)(12)(33)35s =--+++-=5. 求点(4,3,5)-到坐标原点和各坐标轴间的距离.解：点(4，-3，5)到x 轴，y 轴，z 轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 22204(3)552s =+-+=222(44)(30)(50)34x s =-+--+-=2224(33)541y s =+-++=2224(3)(55)5z s =+-+-=.6. 在z 轴上求一点，使该点与两点(4,1,7)A -和(3,5,2)B -等距离. 解：设此点为M （0，0，z ），则222222(4)1(7)35(2)z z -++-=++--解得 149z =即所求点为M （0，0，149）. 7. 试证:以三点(4,1,9)A ，(10,1,6)B -，(2,4,3)C 为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB |=|AC |=7.且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2. 故△ABC 为等腰直角三角形.习题7-21. 验证:()()++=++a b c a b c . 证明：利用三角形法则得证.见图7-1图12. 设2,3=-+=-+-u a b c v a b c .试用a,b,c 表示23-u v . 解：232(2)3(3)2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c3.把ABC ∆的BC 边五等分，设分点依次为1234,,,D D D D ，再把各分点与A 连接，试以,AB BC ==c a 表示向量123,,A D A D A D 和4D A .解：1115D A BA BD =-=--c a 2225D A BA BD =-=--c a3335D A BA BD =-=--c a444.5D A BA BD =-=--c a4. 设向量OM 的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M 的投影为M '，则1Pr j cos604 2.2u OM OM =︒=⨯=5. 一向量的终点为点(2,1,7)B -，它在三坐标轴上的投影依次是4，－4和7，求这向量的起点A 的坐标.解：设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z )，则{4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----解得x =-2, y =3, z =0故A 的坐标为A (-2, 3, 0). 6. 一向量的起点是1(4,0,5)P ，终点是2(7,1,3)P ，试求: (1) 12P P 在各坐标轴上的投影； (2) 12P P 的模；(3) 12P P 的方向余弦； (4) 12P P 方向的单位向量.解：（1）12Pr j 3,x x a PP == 12Pr j 1,y y a PP == 12Pr j 2.z z a PP ==- (2) 22212(74)(10)(35)14PP =-+-+-=(3) 123cos 14x a PP α==121cos 14y a PP β==122cos 14z a PP γ-==(4) 120123{}141414141414PP PP ===-e j . 7. 三个力123(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)=---F F F 同时作用于一点，求合力R 的大小和方向余弦. 解：R =（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）222||21421=++=R cos cos cos 212121αβγ=== 8. 求出向量,235=++=-+a i j k b i j k 和22=--+c i j k 的模，并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量,,a b c .解：222||1113=++=a222||2(3)538=+-+=b222||(2)(1)23=-+-+=c3, 38, 3. a b c ===a e b e c e9. 设358,247,54,=++=--=+-m i j k n i j k p i j k 求向量43=+-a m n p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解：a =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k 在x 轴上的投影a x =13,在y 轴上分向量为7j . 10. 已知单位向量a 与x 轴正向夹角为π3，与其在xOy 平面上的投影向量的夹角为π4.试求向量a .22223===34411cos cos cos 1cos ,cos ,42112112,,.222222a πππαγγαβγββ++===±⎧⎧⎪⎪±-±⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭由已知得单位向量的分向量：，或由知从而所求向量为，，或11. 已知两点12(2,5,3),(3,2,5)M M --，点M 在线段12M M 上，且123M M MM =，求向径OM 的坐标.解：设向径OM ={x , y , z }12{2,5,3}{3,2,5}M M x y z MM x y z =--+=----因为，123M M MM =所以，11423(3)153(2) 433(5)3x x x y y y z z z ⎧=⎪-=-⎧⎪⎪⎪-=--⇒=-⎨⎨⎪⎪+=-⎩=⎪⎪⎩故OM ={111,,344-}. 12. 已知点P 到点(0012)A ，，的距离是7，OP 的方向余弦是236,,777，求点P 的坐标.解：设P 的坐标为（x , y , z ）, 2222||(12)49PA x y z =++-=得2229524x y z z ++=-+122226570cos 6, 749z z z x y z γ==⇒==++ 又122222190cos 2, 749xx x x y z α==⇒==++ 122223285cos 3, 749y y y x y z β==⇒==++ 故点P 的坐标为P （2，3，6）或P （190285570,,494949）. 13. 已知,a b 的夹角2π3ϕ=，且3=a ， 4=b ，计算: (1) ⋅a b ；(2) (32)(2)-⋅+a b a b .解：（1）a ·b =2π1cos ||||cos3434632ϕ⋅⋅=⨯⨯=-⨯⨯=-a b (2) (32)(2)3624-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b b a b b2223||44||334(6)41661.=+⋅-=⨯+⨯--⨯=-a a b b14. 已知(4,2,4),(6,3,2)=-=-a b ，计算:(1) ⋅a b ； (2) (23)()-⋅+a b a b ；(3) 2-a b .解：（1）46(2)(3)4238⋅=⨯+-⨯-+⨯=a b (2) (23)()2233-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b a b b b222222222||3||2[4(2)4]383[6(3)2]23638349113=-⋅-=⨯+-+--+-+=⨯--⨯=-a a b b(3) 222||()()2||2||-=-⋅-=⋅-⋅+⋅=-⋅+a b a b a b a a a b b b a a b b36238499=-⨯+=15. 已知32,2=+-=-+a i j k b i j k ， 求: (1) ⨯a b ； (2) 27⨯a b ；(3) 72⨯b a ； (4) ⨯a a .解：（1） 211332375122111--⨯=++=----a b i j k i j k(2) 2714()429870⨯=⨯=--a b a b i j k(3) 7214()14()429870⨯=⨯=-⨯=-++b a b a a b i j k (4) 0⨯=a a .16 已知向量a 和b 互相垂直，且3,4==a b ， 计算： (1) ()()+⨯-a b a b ；(2) (3)(2)+⨯-a b a b .解：（1）|()()|||2()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯a b a b a a a b b a b b a bπ2||||sin242=⋅⋅=a b (2) |(3)(2)||362||7()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=⨯a b a b a a a b b a b b b aπ734sin842=⨯⨯⨯= 习题7-31. 求过点(41,2)，-，且与平面32611x y z -+=平行的平面方程.解：所求平面与平面3x -2y +6z =11平行 故n ={3,-2,6}，又过点(4,1,-2)故所求平面方程为：3(x -4)-2(y -1)+6(z +2)=0 即3x -2y +6z +2=0.2. 求过点0(1,7,3)M -，且与连接坐标原点到点0M 的线段0OM 垂直的平面方程. 解：所求平面的法向量可取为0{1,7,3}OM ==-n故平面方程为：x -1+7(y -7)-3(z +3)=0 即x +7y -3z -59=03. 设平面过点(1,2,-1)，而在x 轴和z 轴上的截距都等于在y 轴上的截距的两倍，求此平面方程.解：设平面在y 轴上的截距为b 则平面方程可定为122x y z b b b++= 又(1,2,-1)在平面上，则有121122b b b-++= 得b =2.故所求平面方程为1424x y z ++= 4. 求过(1,1,-1),(2,-2,2)-和(1,-1,2)三点的平面方程. 解：由平面的三点式方程知1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 代入三已知点，有1112121210111121x y z --+----+=---+化简得x -3y -2z =0即为所求平面方程.5. 指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形： (1) 0y =； (2) 310x -=； (3) 2360x y --=； (4) 0x y -=； (5) 2340x y z -+=.解：(1) y =0表示xOz 坐标面（如图2） (2) 3x -1=0表示垂直于x 轴的平面.(如图3)图2 图3(3) 2x -3y -6=0表示平行于z 轴且在x 轴及y 轴上的截距分别为x =3和y =-2的平面.(如图4) (4) x –y =0表示过z 轴的平面（如图5）(5) 2x -3y +4z =0表示过原点的平面（如图6）.图4 图5 图66. 通过两点(1,1,1)和(2,2,2)作垂直于平面0x y z +-=的平面. 解：设平面方程为Ax +By +Cz +D =0 则其法向量为n ={A ,B ,C }已知平面法向量为n 1={1,1,-1} 过已知两点的向量l ={1,1,1} 由题知n ·n 1=0, n ·l =0 即00, .0A B C C A B A B C +-=⎧⇒==-⎨++=⎩所求平面方程变为Ax -Ay +D =0又点（1，1，1）在平面上，所以有D =0 故平面方程为x -y =0.7. 求通过下列两已知点的直线方程： (1)()1,2,1,(3,1,1)--；(2) (3,1,0),(1,0,3)--.解：（1）两点所确立的一个向量为s ={3-1，1+2，-1-1}={2，3，-2}故直线的标准方程为：121232x y z -+-==- 或 311232x y z --+==- （2）直线方向向量可取为s ={1-3，0+1，-3-0}={-2，1，-3}故直线的标准方程为：31213x y z -+==-- 或 13213x y z -+==-- 8. 求直线234035210x x z x y z +--=⎧⎨-++=⎩的标准式方程和参数式方程.解：所给直线的方向向量为 12311223719522335--=⨯=++=----s n n i j k i j k另取x 0=0代入直线一般方程可解得y 0=7,z 0=17于是直线过点（0，7，17），因此直线的标准方程为:7171719x y z --==-- 且直线的参数方程为：771719x t y t z t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩9. 决定参数k 的值，使平面29x ky z +-=适合下列条件： (1) 经过点(5,4,6)－；(2) 与平面230x y z -+=成π4的角. 解：（1） 因平面过点（5，-4，6） 故有 5-4k -2×6=9 得k =-4.（2） 两平面的法向量分别为 n 1={1,k ,-2} n 2={2,-3,1} 且122123π2cos cos ||||42514k k θ⋅-====+⋅n n n n 解得70k =±10. 确定下列方程中的l 和m ：(1) 平面2350x ly z ＋＋－＝和平面620mx y z --+=平行； (2) 平面3530x y lz -+-=和平面3250x y z +++=垂直. 解：（1）n 1={2,l ,3}, n 2={m ,-6,-1}12232,18613l m l m ⇒==⇒=-=--n n (2) n 1={3, -5, l }, n 2={1,3,2}12315320 6.l l ⊥⇒⨯-⨯+⨯=⇒=n n11. 通过点(11,1)，－作垂直于两平面10x y z -+-=和210x y z +++=的平面. 解：设所求平面方程为Ax +By +Cz +D =0其法向量n ={A ,B ,C }n 1={1,-1,1}, n 2={2,1,1}12203203A C A B C A B C CB ⎧=-⎪⊥⇒-+=⎪⇒⎨⊥⇒++=⎪=⎪⎩n n n n又（1，－1，1）在所求平面上，故A －B +C +D =0，得D =0故所求平面方程为2033CCx y Cz -++= 即2x -y -3z =012. 求平行于平面375x y z -+=，且垂直于向量2i j k －＋的单位向量. 解：n 1={3,-1,7}, n 2={1,-1,2}.12,⊥⊥n n n n故1217733152122111--=⨯=++=+---n n n i j k i j k则1(52).30n =±+-e i j k 13. 求下列直线的夹角： (1) 533903210x y z x y z -+-=⎧⎨-+-=⎩和2223038180x y z x y z +-+=⎧⎨++-=⎩；(2) 2314123x y z ---==-和38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩.解：（1）两直线的方向向量分别为：s 1={5, -3,3}×{3, -2,1}=533321ij k--={3,4, -1}s 2={2,2, -1}×{3,8,1}=221381i j k-={10, -5,10}由s 1·s 2=3×10+4×(-5)+( -1) ×10=0知s 1⊥s 2 从而两直线垂直，夹角为π2. (2) 直线2314123x y z ---==-的方向向量为s 1={4, -12,3},直线38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩的方程可变为22010y z x -+=⎧⎨-=⎩,可求得其方向向量s 2={0,2, -1}×{1,0,0}={0, -1, -2},于是 12126cos 0.2064135785θθ⋅==≈⋅'≈︒s s s s 14. 求下列直线与平面的交点： (1) 11,2310126x y zx y z -+==++-=-；(2)213,2260232x y z x y z +--==+-+= 解：（1）直线参数方程为1126x ty t z t =+⎧⎪=--⎨⎪=⎩代入平面方程得t =1 故交点为（2，-3，6）.（2） 直线参数方程为221332x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩代入平面方程解得t =0. 故交点为（-2，1，3）. 15. 求点(121)，，到平面22100x y z ++-=的距离.解：过点（1，2，1）作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s =n ={1，2，2}所以垂线的参数方程为12212x ty t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩将其代入平面方程得13t =.故垂足为485(,,)333，且与点（1，2，1）的距离为222122()()()1333d =++= 即为点到平面的距离.习题7-41. 建立以点(13-2)，，为中心，且通过坐标原点的球面方程. 解：球的半径为22213(2)14.R =++-=设(x ,y ,z )为球面上任一点，则(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14即x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0为所求球面方程. 2. 一动点离点(20-3)，，的距离与离点(4-6,6)，的距离之比为3，求此动点的轨迹方程. 解：设该动点为M (x ,y ,z )，由题意知222222(2)(0)(3) 3.(4)(6)(6)x y z x y z -+-++=-+++-化简得：8x 2+8y 2+8z 2-68x +108y -114z +779=0 即为动点的轨迹方程.3. 指出下列方程所表示的是什么曲面，并画出其图形：(1)2222a a x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （a 为正常数）(2)22149x y -+=；(3)22194x z +=；(4)20y z －＝； (5)220x y －＝；(6)220x y ＋＝.解：（1）母线平行于z 轴的抛物柱面，如图7. （2）母线平行于z 轴的双曲柱面,如图8.图7 图8 （3）母线平行于y 轴的椭圆柱面，如图9. （4）母线平行于x 轴的抛物柱面，如图10.图9 图10 （5）母线平行于z轴的两平面，如图11.（6）z轴，如图12.图11 图124. 指出下列方程表示怎样的曲面，并作出图形：(1)222149y zx++=；(2)22369436x y z+-=；(3)222149y zx--=；(4)2221149y zx+-=；(5)22209zx y+-=.解：（1）半轴分别为1，2，3的椭球面，如图13.(2) 顶点在（0，0，-9）的椭圆抛物面，如图14.图13 图14(3) 以x轴为中心轴的双叶双曲面，如图15.(4) 单叶双曲面，如图16.图15 图16(5) 顶点在坐标原点的圆锥面，其中心轴是z 轴，如图17.图175. 作出下列曲面所围成的立体的图形： (1)2222x y z a ＋＋＝与()0,02az z a ==>为常数； (2)4x y z =＋＋，0,1,0,2x x y y ====及0z =； (3)24,0,0,0z x x y z =-===及24x y +=； (4)226,0,0,0z x y x y z =-+===（）及1x y +=. 解：（1）（2）（3）（4）分别如图18，19，20， 1所示.图18 图19图20 图216. 求下列曲面和直线的交点：(1)222181369x y z ++=与342364x y z --+==-； (2)22211694x y z +-=与2434x y z +==-. 解：（1）直线的参数方程为334624x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程解得t =0,t =1. 得交点坐标为（3，4，-2），（6，-2，2）. (2) 直线的参数方程为4324x t y tz t =⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程可解得t =1, 得交点坐标为（4，-3，2）.7. 设有一圆，它的中心在z 轴上、半径为3，且位于距离xOy 平面5个单位的平面上，试建立这个圆的方程.解：设（x ，y ，z ）为圆上任一点，依题意有2295x y z ⎧+=⎨=±⎩ 即为所求圆的方程.8. 试考察曲面22219254x y z -+=在下列各平面上的截痕的形状，并写出其方程.(1) 平面2x =； (2) 平面0y =； (3) 平面5y =； (4) 平面2z =.解：（1）截线方程为2212x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩ 其形状为x =2平面上的双曲线.（2）截线方程为221940x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩为xOz 面上的一个椭圆.(3)截线方程为2215y ⎧==⎩为平面y =5上的一个椭圆.(4) 截线方程为2209252x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩为平面z =2上的两条直线.9. 求曲线2222222,x y z a x y z ＋＋＝＋＝在xOy 面上的投影曲线. 解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为2222a x y +=故曲线在xOy 面上的投影曲线方程为22220a x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩10. 建立曲线22,1x y z z x ＋＝＝＋在xOy 平面上的投影方程. 以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为x 2+y 2=x +1即2215()24x y -+=. 故曲线在xOy 平面上的投影方程为2215()240x y z ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩习题七1.填空题：（1）过(0,1,0)且与平面1x y z -+=平行的平面方程为1x y z -+=-（2）点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离（3）原点关于平面6291210x y z +-+=的对称点是 （-12，-4，18） 。
