最新版高等数学-曲面及其方程.pdf

0z 3
在
yOz面上的投影
z
3y2 ,
xOy面上的圆 x 2 y 2 R2
叫做它的准线，平行于 z 轴的直线 l 叫做它的母线。 其实在 yOz 面内的一条直线: y R, 绕z轴旋转而成的旋转
曲面就是该圆柱面,则圆柱面方程为: x 2 y 2 R. 即
x2 y2 R2.
9
P11
定义: 平行于定直线并沿定曲线C平行移动的直线 l形成的轨迹
方程 Fx, y 0, 在空间 z
Fx, y 0,
直角坐标系中表示：
o 母线平行于 z 轴的柱面,
其准线是 xOy 面上的曲线
y
C : Fx, y 0.
x
C
方程 Gx,z 0, 在空间
直角坐标系中表示：
方程中缺哪个字母，母线 平行于相应的轴。
母线平行于 y轴的柱面, 其准线是 xOz 面上的曲线
1
在空间解析几何中关于曲面的研究,有下列两个基本问题: (1) 已知曲面点的几何轨迹，求曲面的方程； (2) 已知曲面的方程，求这方程所表示的曲面的形状。
1、球面方程
例1 建立球心在 M 0 x0 , y0 , z0 ,
半径为 R 的球面 S 的方程.
解：Mx, y, z S M0M R
M0 M x x0 2 y y0 2 z z0 2 ,
xz 0
o
x
y
12
小 结：
1.曲面的概念
2.球面方程 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
3.平面方程 Ax By Cz D 0 作业:习题7-5
4.旋转曲面
作业纸P50
设 C : f y, z 0 yoz面
下次交P49-50

这条定直线叫旋 转曲面的轴．
4/21
旋转过程中的特征：
如图 设 M (x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 6; 7 ;
（1）双曲线
x2 a2

z2 c2

1分别绕 x轴和z轴；
绕x 轴旋转
x2 a2

y2 c2
z2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2

z2 c2

1
曲 面
x
y z
y2
（2）椭圆

a
2

z2 c2

1绕 y 轴和z轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2

x2 c2
z2

1

0



2

叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，
半顶角为 的圆锥面方程． z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )

o
y
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21

例5 证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线
C:
f ( y, z)
x
0
0
为母线所产生的旋转曲面S的方程为：f ( x2 y2 , z) 0
证明： 旋转曲面如图
z
设M(x, y, z)为旋转曲面S上任意一点， (0, 0, z)
显然，M一定是由母线C上某点 M1(0, y1, z1)旋转得到， 即
C:
z
0
母线平行于 z 轴的柱面方程为：f ( x, y) 0
注意：方程 f ( x, y) 0 中缺z，表示z可以任意取值，所以 方程 f ( x, y) 0 表示母线平行于z轴的柱面。
一般地，在空间直角坐标下
f ( x, y) 0（缺z）， 表示母线∥？，准线为？的柱面。
f ( x, z) 0（缺y）， 表示母线∥？，准线为？的柱面。
高等数学（下）主讲杨益民
第三节 曲面及其方程
一、曲面方程的概念
一般地，若曲面S与三元方程 F(x,y,z)=0 满足： （1）曲面S上任一点的坐标都满足方程 F(x,y,z)=0 ； （2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程 F(x,y,z)=0 ；
则称：方程F(x,y,z)=0是曲面S的方程，而曲面S就叫做方程 F(x,y,z)=0的图像。
3. Ax By Cz D 0 表示空间的一张平面。
4. yoz平面上的母线
C:
f ( y, z) 0
x
0
绕oz轴旋转得旋转曲面
2020年6月15日星期一
12
高等数学（下）主讲杨益民
f 线方程
C:
f (x, z 0
y)
0
母线平行于
z
轴的

用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌．
（一）椭球面
x2 a2
by22
cz22
1
椭球面与
三个坐标面 的交线：
x
2
a2
y2 b2
1,
z 0
z
x2 a2
z2 c2
1 ,
y
0
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
x
o
y
椭球面与平面 z z1 的交线为椭圆
特殊地：球心在原点时方程为 x2y2z2R2
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面）
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
二、旋转曲面
1.定义 以一条平面
曲线绕其平面上的
一条直线旋转一周
所成的曲面称为旋
转曲面.
生成的旋转曲面的方程．
（1）双曲线
x a
2 2
z2 c2
1分别绕 x轴和z轴；
旋 绕 x轴 旋 转
转 双 曲
x2 a2
y2c2z2
1
面 绕 z轴 旋 转
x
y
z
x2 y2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
cz22
1
y2
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕
y 轴和z轴；
x 0
绕 y轴 旋 转y2
a2
x2 z2 c2
1
旋 转
椭
2. 几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.

p 0,q 0
21
特殊地 当p q时, 方程变为
x2 y2 z ( p 0)
旋转抛物面
2p 2p
x2 y2 z 2 p 2q
(由 xOz面上的抛物线 x2 2 pz 绕z轴旋转
而成的)
用平面 z z1 (z1 0)去截这曲面,截痕为圆.
x2
y2
2 pz1
z z1
当 z1变动时，这种圆 的中心都在 z 轴上.
特点是: 平方项有一个取负号,另两个取正号.
z z
O
x
yx
O
y
炼油厂、炼焦厂的冷却塔就是单叶双曲面
的形状.
24
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
单叶双曲面
z
类似地, 方程
x 2 a2
y2 b2
z2 c2
1
O
ax22
y2 b2
z2 c2
1
x
y
亦表示 单叶双曲面.
想一想 以上两方程的图形是与此图形 一样吗?
f ( y, x2 z2 ) 0
4
例3 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周
所得旋转曲面称为圆锥面. 两直线的交点称为
圆锥面的顶点, 两直线的夹角 (0 )称为
2 圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点O, 旋
转轴为z轴,半顶角为 的圆锥面的方程.
解 yOz面上直线方程为 z
z
z y cot
z z1
当z1 0时,截痕退缩为原点;当z1 0时, 截痕不存在. 原点叫做椭圆抛物面的顶点.
19
x2 y2 z 2 p 2q
(2) 用坐标面 xOz( y 0)去截这曲面, 截痕为抛物线.

1 1 1
y
d
x y
2
2
| y1 |
2 2
x
将 z z1 , y1 x y
得方程
F
代入 F ( y1 , z1 ) 0

x y , z 0.
2 2

9
因此，曲线
F ( y , z ) 0 绕 z 轴旋转所成的旋转曲面
的方程
F

x y , z 0,
x
6
两个基本问题：
（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． （讨论旋转曲面）
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
7
二、旋转曲面
定义 以一条平面
曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
8
问题 : 求 yoz 面上一条曲线
2 2 2
点 _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ ， 半 径 R 4、设曲面 方程
x a
2 2
_ _ _ _ _ _ __ _ _ ；
a b
+
y b
2 2
+
z c
2 2
=1， 当
时，曲面可由
xoz 面 上 以 曲 线 _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _绕 _ _ __ _ _ _ 轴 旋 yoz 转面成，或由 面 上 以 曲 线 _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _
（熟知这几个常见曲面的特性）
34
作业：8-3 P31 4, 5, 6 , 7, 9(3)(4)
35
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？

d
M1(0, y1, z1)
坐标平面上的曲线绕某轴旋转, 轴坐标变量不变, 而将曲线方程中的另一变量改写成该变量与第三个变 量的平方和的正负平方根. 例5: 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周, 所 得旋转曲面叫圆锥面. 两直线的交点叫圆锥面的顶点, 两直线的夹角 ( 0< < /2 )叫圆锥面的半顶角. 试建 立顶点在坐标原点, 旋转轴为 z 轴, 半顶角为 的圆锥 面方程. z 解: 由题意, 可设yoz坐标面上的 直线方程为: z = y cot M1 (0, y1 , z1 ) 则圆锥面方程为: M ( x, y, z ) o y z x 2 y 2 cot x 设cot =a, 则圆锥面的一般方程为:
a
x
o
b y
椭球面与相应平面的截痕均为椭圆. 随着|n|, |m|, |h|的增大, 截痕椭圆收缩, 当|n|=a, |m|=b, |h|=c时, 截痕 椭圆收缩为相应坐标轴上的点.
椭球面的几种特殊情况: 旋转椭球面:当a, b, c中有两个相等时. 如a=b时,
x2 y2 z2 1 a2 a2 c2 x2 z2 是由xoz面上的椭圆 2 2 1 绕z轴旋转而成. a c
旋转椭球面与椭球面的区别: 与平面 z=h ( |h|<c ) 的交线为圆: a2 2 2 x y 2 2 ( c h2 ) . c z h x2 y2 z2 球面: 当 a=b=c 时, 2 2 2 1. a a a x2 y2 z2 3. 单叶双曲面 2 2 2 1. a b c 先用截痕法研究单叶双曲面的形状: 平面z=h与单叶双曲面的截痕: h2 x2 y2 2 2 1 2 b c , a z h

设柱面的准线方程：F（x, y) 0, z 0,母线 / / z轴，求柱面方程
z
解：柱面上M ( x, y, z)，则准线上M（0 x0 , y0 , z0 )，
M
使得MM0 / / z轴 ，从而x x0 , y y0
由于F（x0 , y0 ) 0,从而F（x, y) 0
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线(即截痕)的形状, 然后加以综合, 从而 了解曲面的全貌．
二次曲面
曲面方程
旋转曲面
柱面
二次曲面
(1) 椭球面
z
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
O y
1 用坐标面z = 0 , x = 0和 x y = 0去截割,分别得椭圆

x
2
a2
柱面
例3
以曲
线

x a
2 2

z2 c2
1
为母线,
y 0
绕 z 轴旋转而成的曲面方程为
x2 y2 a2

z2 c2
1，
即
x2 a2

y2 a2

z2 c2
1 ——
旋 转 单 叶双曲面
二次曲面
曲面方程
旋转曲面
柱面
例3
以曲线

x2 a2

z2 c2
1 为母线,
y 0
o
的点都在S上;
x
y
那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲面 S叫做方程F (x, y, z) =0的图形 .
曲面方程
旋转曲面
柱面

02
常见曲面及其方程
平面
总结词：二维平面
详细描述：平面是一种常见的曲面，它在三维空间中表现为一个无限延展且没有 厚度的二维表面。平面的方程通常可以表示为 Ax + By + Cz = D。
球面
总结词
三维球体表面
详细描述
球面是三维空间中球体的表面，它可以由球心和球面上任意两点之间的距离来确定。球面的方程通常可以表示为 x^2 + y^2 + z^2 = R^2。
03
曲面的参数方程
参数方程的定义与特点
总结词
参数方程是描述曲面的重要方式，它通过引 入参数来表达曲面上点的坐标。
详细描述
参数方程通常由两个或三个参数变量和对应 的坐标表达式组成，例如，平面上的圆心为 $(h, k)$，半径为$r$的圆的参数方程为$(xh)^2+(y-k)^2=r^2$。参数方程能够清晰 地表达曲面的形状和大小，并且可以通过调 整参数来改变曲面的形状。
《曲面及其方程》 ppt课件
目录
CONTENTS
• 曲面及其方程概述 • 常见曲面及其方程 • 曲面的参数方程 • 曲面的性质与变换 • 曲面方程的求解方法 • 曲面在几何与工程中的应用
01
曲面及其方程概述
曲面的定义与分类
总结词
曲面的定义、分类
详细描述
曲面是三维空间中弯曲的二维表面，它可以由多种方式形成，如旋转、平移、 拉伸等。根据形成方式的不同，曲面可以分为多种类型，如球面、锥面、柱面 等。
性。
曲面的参数方程
曲面可以用参数方程表示，其中 两个参数（u和v）用于描述曲面 上的点。通过参数方程，可以方 便地研究曲面的几何性质和变换
方法。

截痕法：通过综合截痕的变化去研究曲面的形状。 2.伸缩变形法
（一）椭球面
2 x y2 z2 2 2 1 2 a b c
椭球面与 三个坐标面 的交线：
2 z2 x2 2 1 , a c y 0
2 x2 a z 0
y 2 b
2
1
,
z
2 y2 2 z2 1 . b c x 0
思考：
2 求 将 x o z 面 上 的 抛 物 线绕 z x z 轴 旋 转 一 周
所 得 曲 面 的 方 程 .
zx y .
2 2
---旋转抛物面
a. 旋转曲面
Def 1 平面曲线绕其平面内的一条直线旋转一周所成的 曲面叫做旋转曲面。 称旋转曲线为母线； 称定直线为轴。
旋 转 曲 面 的 方 程 ：
(0 ,0 )， 圆 心 在
2的 半 径 为 圆
z 以 轴 为 中 心 轴 的 圆 柱 面
yx 1 斜率为1的直线
z轴 平 行 于 的 平 面
c. 二次曲面
Def 称三元二次方程F(x,y,z)=0表示的曲面为 二次曲面；相应地，把一次曲面称为平面.
1.截痕法 截痕：平面与曲面F(x,y,z)=0的交线；
故 ， ( * ) 即 为 所 求 .
1. 曲面方程的概念
D e f 若 曲 面 S 与 三 元 方 程 Fx ( ,yz , ) 0 满 足 下 列 关 系 ： ( * )
( 1 ) S 上 任 一 点 的 坐 标 满 足 方 程 ( * ) ;
( 2 ) 不 在 S 上 的 点 的 坐 标 都 不 满 足 ( * ) .
2 2 2 R M M ( x x ) ( yy ) ( zz ) 0 0 0 0

这条定直线叫旋转
曲面的轴．
播放
旋转曲面的方程
曲线 C
绕z 轴
f ( y, z) 0

x

0
z
C o
y
旋转曲面的方程
曲线 f ( y, z) 0
C

x

0
绕z轴
z
C o
y
x
旋转曲面的方程
曲线 C
f ( y, z) 0

x

0
绕 z轴
旋转一周得旋转曲面 S
M(x,y,z) S
所求方程为

x

2
2


y

12


z

4
2

116
.
3
3 9
例 3 已知 A(1,2,3)，B(2,1,4)，求线段 AB的垂直平分面 的方程.
解 设 M( x, y, z)是所求平面上任一点， 根据题意有 | MA|| MB |,
x 12 y 22 z 32 x 22 y 12 z 42 ,
94
3、z 2 x2 .
练习题答案
一、1、z2 2x 6 y 2z 11 0；
2、 x2 y2 z2 4x 4 y 2z 0；3、(1,-2,2),4；
4、 x 2 a2

z2 c2

1, z,
y2 b2

z2 c2

1, z,
x2 a2

y2 b2
以下给出几例常见的曲面. 例 1 建立球心在点 M0( x0 , y0 , z0 )、半径为 R的球面方程.

方程 F ( x, y ) 0 表示 柱面, 母线 平行于 z 轴;
准线 xoy 面上的曲线 l1.
x
zl 2
y
方程 G ( y, z ) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
x
z
l3
方程 H ( z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴;
准线 xoz 面上的曲线 l3.
x
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y
结束
四、柱面
引例. 分析方程
z
M
表示怎样的曲面 .
解:在 xoy 面上，
表示圆C, C o M1 在圆C上任取一点 M 1 ( x, y,0) , 过此点作 x 平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点 M ( x, y, z ) 的坐标也满足方程 x 2 y 2 R 2
z
C
M ( x, y, z )
M 1 (0, y1 , z1 )
f ( y1 , z1 ) 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到 M ( x, y, z ) , 则有
z z1 ,
x y y1
2 2
o
y
故旋转曲面方程为
x
f ( x 2 y 2 , z) 0
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x2 y2 z2 2 2 1. 2 a a c
曲面称为旋转椭球面，其方程为
再把旋转椭球面沿着y轴方向伸缩b/a倍，便得到椭球面。
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3. 双曲面 (1)单叶双曲面 x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c 2 2