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高等数学(下)教案曲面及其方程教学目标：1. 理解曲面的概念，掌握曲面的基本性质。
2. 学习曲面的方程表示方法，掌握常见曲面的方程。
3. 能够利用曲面方程进行曲面的绘制和分析。
教学内容：一、曲面的概念与基本性质1. 曲面的定义2. 曲面的基本性质2.1 曲面的导数2.2 曲面的切线和法线2.3 曲面的曲率2.4 曲面的切平面和法平面二、曲面的方程表示方法1. 参数方程表示法2.1 参数方程的定义2.2 参数方程的求导和积分2. 普通方程表示法2.1 普通方程的定义2.2 普通方程的求导和积分3. 柱面和二次曲面的方程3.1 柱面的方程3.2 二次曲面的方程三、常见曲面的方程1. 圆锥面的方程2. 椭圆面的方程3. 双曲面的方程4. 抛物面的方程5. 直纹面的方程四、曲面的绘制和分析1. 利用参数方程绘制曲面2. 利用普通方程绘制曲面3. 曲面的切线和法线分析4. 曲面的曲率分析5. 曲面的切平面和法平面分析教学方法：1. 采用多媒体教学，通过图形和动画展示曲面的形状和性质。
2. 通过例题讲解和练习，使学生掌握曲面方程的求解和分析方法。
3. 引导学生运用曲面方程解决实际问题，提高学生的应用能力。
教学评价：1. 课堂讲解和练习的参与度。
2. 学生对曲面方程的掌握程度。
3. 学生能够运用曲面方程进行曲面的绘制和分析。
教学资源：1. 教学PPT和动画演示。
2. 曲面方程的相关教材和参考书。
3. 计算机软件进行曲面的绘制和分析。
六、曲面的切平面和法线1. 切平面的定义与性质6.1 切平面的定义6.2 切平面的性质2. 法线的定义与性质6.3 法线的定义6.4 法线的性质3. 切平面和法线的求法6.5 切平面和法线的求法七、曲面的曲率1. 曲率的定义与性质7.1 曲率的定义7.2 曲率的性质2. 曲率的计算7.3 曲率的计算方法3. 曲面的弯曲程度分析7.4 曲面的弯曲程度分析八、曲面的绘制与分析实例1. 实例一：圆锥面的绘制与分析8.1 圆锥面的参数方程8.2 圆锥面的普通方程8.3 圆锥面的切平面和法线分析2. 实例二：椭圆面的绘制与分析8.4 椭圆面的参数方程8.5 椭圆面的普通方程8.6 椭圆面的切平面和法线分析3. 实例三：双曲面的绘制与分析8.7 双曲面的参数方程8.8 双曲面的普通方程8.9 双曲面的切平面和法线分析九、曲面在实际问题中的应用1. 曲面在工程中的应用9.1 曲面在机械设计中的应用9.2 曲面在建筑设计中的应用2. 曲面在自然科学中的应用9.3 曲面在光学中的应用9.4 曲面在声学中的应用十、复习与练习1. 复习本章内容10.1 复习曲面的概念与基本性质10.2 复习曲面的方程表示方法10.3 复习常见曲面的方程2. 课堂练习10.4 完成课堂练习题3. 课后作业10.5 布置课后作业教学方法：1. 采用案例教学法，通过具体实例讲解曲面的绘制与分析方法。
高等数学(下)教案曲面及其方程教案内容：一、教学目标1. 让学生理解曲面的概念，掌握曲面的表示方法。
2. 让学生了解曲面的性质，如曲率、切线和法线等。
3. 让学生学会求解曲面的方程，并能运用曲面方程解决实际问题。
二、教学内容1. 曲面的概念及其表示方法曲面的定义曲面的表示方法：参数方程、直角坐标方程、柱面方程等。
2. 曲面的性质曲率：定义、计算方法及应用切线和法线：定义、计算方法及应用曲面的形状和分类：平面、柱面、锥面、二次曲面等。
3. 曲面的方程求解曲面的参数方程求解曲面的直角坐标方程求解曲面的柱面方程求解三、教学方法1. 采用多媒体教学，通过图形、动画等方式展示曲面的形象，帮助学生直观理解曲面的概念和性质。
2. 结合实例讲解曲面的方程求解方法，引导学生通过实践掌握曲面方程的求解技巧。
3. 开展课堂讨论，鼓励学生提出问题，共同探讨曲面的性质和应用。
四、教学安排1. 课时：2学时2. 教学方式：课堂讲解、实践练习、课堂讨论3. 教学过程：曲面的概念及其表示方法（0.5学时）曲面的性质（0.5学时）曲面的方程求解（0.5学时）课堂讨论（0.5学时）五、教学评价1. 课堂练习：要求学生在课堂上完成曲面方程的求解练习，检验学生对曲面方程的掌握程度。
2. 课后作业：布置有关曲面方程求解的课后作业，巩固学生对曲面方程的知识。
3. 课程考试：设置有关曲面方程的考试题目，全面评估学生对曲面及其方程的掌握情况。
六、教学内容1. 曲面的切平面与法线切平面的概念及其求法法线的概念及其求法切平面和法线在几何图形中的应用2. 曲面的图形描绘利用参数方程描绘曲面的图形利用直角坐标方程描绘曲面的图形利用柱面方程描绘曲面的图形七、教学方法1. 采用案例分析法，通过具体实例讲解曲面的切平面和法线的求法。
2. 利用计算机软件，演示曲面的图形描绘过程，帮助学生直观理解曲面的图形。
3. 鼓励学生参与讨论，分享曲面图形的描绘技巧，提高学生的动手能力和解决问题的能力。
高数曲面总结
高数曲面是高等数学中的一个重要知识点，在多元微积分中有广
泛应用。
曲面的概念涵盖了三维空间中的各种几何形体，包括球面、
圆柱面、圆锥面、双曲面等等。
以下是对于常见的曲面进行的总结：
1. 球面：球面是由一个半径为r的球体上所有与球心距离相等
的点构成的曲面。
它的方程是：(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2。
2. 圆柱面：圆柱面是由平面上一条曲线绕某条直线旋转一周形
成的曲面。
它的方程是：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。
3. 圆锥面：圆锥面是由平面上一条曲线绕某条直线在一个点处
旋转形成的曲面。
它的方程是：(x-a)^2+(y-b)^2=(z-c)^2tan^2α，
其中α是锥面的半锥角。
4. 双曲面：双曲面是由平面上一对相交曲线绕某条轴对称而成
的曲面。
它的方程是：(x-a)^2/a^2+(y-b)^2/b^2-(z-c)^2/c^2=1。
以上只是几个常见的曲面，实际上曲面的类型非常多，每一种曲
面都有其独特的性质和方程。
在实际应用中，我们可以通过计算曲面
的相关参数来求解相关问题。
需要提醒的是，在进行曲面相关计算时，需要注意计算精度和符号问题，尤其是在涉及到曲面的求导和积分时，应谨慎处理。
曲西方程；F （xj,z ）=O空同解祈/L 何一・曲面方程的概念定义：如果曲面s 与三元方程F (x,j,z) = O 满足:(1)曲面s 上任一点的坐标都满足方程F (xj^z) =O(2)不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程.二、平面及其方程例1设有点A (1,2,3)与B (2,-1,4),求与线段AB垂直平分的平面方程・所求平面就是与A和B等距离的动点的轨迹设平面上任一点为A/(x,j,z)AM\ = \MnI (X・ 1)2 + (y ・ 2)2 + (z - 3)2 = V(x-2y+6 + iy +(z-4)2化简得2x-6j + 2z-7 = 0 —所求平面方程Ax + By+ Cz + D = O平面的一般方程■特殊半廁XOYlfri z = 0YOZ 而x =()zox 而y=o适合下列条件的平面方程Ax + B\+Cz^D = 0仃什么特征？I.过原点0 = 02•平行于他标轴 3 •包含坐标轴平行于X4 = 0包含X4 = 0Q = 0v/? = o>^B = 0 D = 02C = 0zC = 0Q = ()4•平行于坐标平面平行于XOY面4=0 B=Q zox®4=0C=0YOZifii B = 0 C = 04例2作Z-2的图形.三、球面及其方程例3建立球心在点Mo (myo, z…)半径为R的球而的方程.设是球面上的任一点\M A M = RJ (X-Xo) 2 + Cv-几)'+ (z・zj 承(尤-X J+ (y - y 0 y+ (z - z J=j 11+ZH OXZ ——HA THP GWOZZ XHXZ(o n )吕舍sHJ+X•I \7 卜 乙——K \—/ 丟逗迂膜低丫OHd +Xz IJ+ wZ = JQ■宀b上半部例5求与原点O及M❶（2,3,4）的距离之比为1:2 点的全体所组成的曲面方程•解设M （兀jsz）是曲面上任一点根据题意有-=1恨俯惣恵月IMMJ 2J(X・2), + (y - 3)2 +(Z - 4), 2所求方程为卜+I卜0+1）并+寻」四•旋转曲面定义以一条平曲线纟翹平面上的一条直线旋黔一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴.旋转面的方程曲线C卩（”Z）=0lx = 0曲线C〔八”乙）二。
高等数学(下)教案曲面及其方程一、教学目标1. 理解曲面的概念，掌握曲面的表示方法。
2. 学习曲面的方程，了解曲面的性质和分类。
3. 能够运用曲面的知识解决实际问题。
二、教学内容1. 曲面的概念及表示方法曲面的定义曲面的表示方法：参数方程、普通方程、参数曲线2. 曲面的方程曲面的方程的定义曲面的方程的求法曲面的方程的性质3. 曲面的性质和分类曲面的基本性质：连续性、differentiability、smoothness 曲面的分类：凸面、凹面、平面、空间曲线4. 曲面的切线和法线曲面的切线的定义和性质曲面的法线的定义和性质5. 曲面的实例分析球面平面圆柱面圆锥面三、教学方法1. 讲授法：讲解曲面的概念、性质和分类，讲解曲面的方程的求法。
2. 案例分析法：分析具体的曲面实例，引导学生理解曲面的性质和方程。
3. 互动教学法：引导学生参与课堂讨论，提问和解答问题。
四、教学准备1. 教案和教学PPT2. 相关数学软件和模型五、教学评价1. 课堂参与度：学生参与课堂讨论、提问和解答问题的积极性。
2. 作业完成情况：学生完成作业的情况和答案的正确性。
3. 期末考试：期末考试中关于曲面及其方程的题目得分情况。
六、教学重点与难点1. 教学重点：曲面的概念及表示方法曲面的方程的求法和性质曲面的性质和分类曲面的切线和法线的性质2. 教学难点：曲面的方程的求法曲面的切线和法线的求法1. 课时安排：本章共安排8课时。
2. 课时分配：曲面的概念及表示方法（2课时）曲面的方程（2课时）曲面的性质和分类（2课时）曲面的切线和法线（1课时）曲面的实例分析（1课时）八、教学步骤1. 引入曲面的概念，引导学生思考曲面在现实生活中的应用。
2. 讲解曲面的表示方法，包括参数方程、普通方程和参数曲线。
3. 引导学生学习曲面的方程的求法，通过实例讲解。
4. 讲解曲面的性质和分类，引导学生理解曲面的不同特征。
5. 讲解曲面的切线和法线的性质，引导学生掌握切线和法线的求法。
⾼等数学：曲⾯及其⽅程§6．5曲⾯及其⽅程⼀、曲⾯⽅程的概念⼆、旋转曲⾯三、柱⾯曲⾯的⽅程、研究曲⾯的两个基本问题旋转曲⾯、旋转曲⾯的⽅程锥⾯的⽅程球⾯的⽅程柱⾯、柱⾯的准线和母线柱⾯⽅程的特征四、常见的⼆次曲⾯⼀、曲⾯⽅程的概念在空间解析⼏何中，任何曲⾯都可以看作点的⼏何轨迹．与三元⽅程F(x，y，z)?0F(x，y，z)?0有下述关系：(1)曲⾯S上任⼀点的坐标都满⾜⽅程F(x，y，z)?0；OxyzS在这样的意义下，如果曲⾯SM(x，y，z)(2)不在曲⾯S上的点的坐标都不满⾜⽅程F(x，y，z)?0，那么，⽅程F(x，y，z)?0就叫做曲⾯S的⽅程，⽽曲⾯S就叫做⽅程F(x，y，z)?0的图形．(x，y，z)OzxyM0RM例1建⽴球⼼在点M0(x0，y0，z0)、半径为R的球⾯的⽅程．解设M(x，y，z)是球⾯上的任⼀点，那么|M0M|?R．由于|M0M|所以?R，或(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R2．这就是建⽴球⼼在点M0(x0，y0，z0)、半径为R的球⾯的⽅程．特殊地，球⼼在原点O(0，0，0)、半径为R的球⾯的⽅程为x2?y2?z2?R2．例2设有点A(1，2，3)和B(2，?1，4)，求线段AB的垂直平分⾯的⽅程．解由题意知道，所求的平⾯就是与A和B等距离的点的⼏何轨迹．设M(x，y，z)为所求平⾯上的任⼀点，由于|AM|?|BM|，所以等式两边平⽅，然后化简得2x?6y?2z?7?0．这就是线段AB的垂直平分⾯的⽅程．OzxyABM解通过配⽅，原⽅程可以改写成(x?1)2?(y?2)2?z2?5．研究这⽅程所表⽰的曲⾯的形状．研究曲⾯的两个基本问题：(1)已知⼀曲⾯作为点的⼏何轨迹时，建⽴这曲⾯的⽅程；(2)已知坐标x、y和z间的⼀个⽅程时，例3⽅程x2?y2?z2?2x?4y?0表⽰怎样的曲⾯？这是⼀个球⾯⽅程，球⼼在点M 0(1，?2，0)、⽐较：球⼼在点M0(x0，y0，z0)、半径为R的球⾯的⽅程(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R2．，⼀般地，设有三元⼆次⽅程Ax2?Ay2?Az2?Dx?Ey?Fz?G?0，这个⽅程的特点是缺xy，yz，zx各项，⽽且平⽅项系数相同，只要将⽅程经过配⽅就可以化成⽅程(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R2．的形式，它的图形就是⼀个球⾯．⼆、旋转曲⾯以⼀条平⾯曲线绕其平⾯上的⼀条直线旋转⼀周所成的曲⾯叫做旋转曲⾯，这条定直线叫做旋转曲⾯的轴．设M1(0，y1，z1)为曲线C上的任⼀点，设在yOz坐标⾯上有⼀已知曲线C，它的⽅程为f(y，z)?0，把这曲线绕z轴旋转⼀周，就得到⼀个以z轴为轴的旋转曲⾯．它的⽅程可以求得如下：这时z?z1保持不变，且点M到z轴的距离为f(y1，z1)?0．当曲线C绕z轴旋转时，点M1也绕z轴转到另⼀点M(x，y，z)，这就是所求旋转曲⾯的⽅程．Ozxy|y1|那么有CM1(0,y1,z1)M便得曲线C绕z轴旋转所成的旋转曲⾯的⽅程．同理，曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲⾯的⽅程为所以只要将⽅程z?ycot?中的y改成例4试建⽴顶点在坐标原点O，旋转轴为z轴，半顶⾓为?的圆锥⾯的⽅程．解在yOz坐标⾯点，直线L的⽅程为z?ycot?，因为旋转轴为z轴，就得到所要求的圆锥⾯的⽅程或其中a?cot?．z2?a2(x2?y2)，Oxyza解绕x轴旋转所在的旋转曲⾯的⽅程为例5将xOy坐标⾯上的双曲线分别绕x轴和z轴旋转⼀周，求所⽣成的旋转曲⾯的⽅程．Oxyz这两种曲⾯都叫做旋转双曲⾯．绕z轴旋转所在的旋转曲⾯的⽅程为Oxyz三、柱⾯例6⽅程x2?y2?R2表⽰怎样的曲⾯？解⽅程x2?y2?R2在xOy⾯上表⽰圆⼼在原点O、半径为R的圆．在空间直⾓坐标系中，这⽅程不含竖坐标z，即不论空间点的竖坐标z怎样，只要它的横坐标x和纵坐标y能满⾜这⽅程，那么这些点就在这曲⾯上．因此，过xOy⾯上的圆x2?y2?R2，且平⾏于z轴的直线⼀定在x2?y2?R2表⽰的曲⾯上．RRx2?y2?R2Oxyz所以这个曲⾯可以看成是由平⾏于z轴的直线l沿xOy⾯上的圆x2?y2?R2移动⽽形成的．l柱⾯：平⾏于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱⾯，定曲线C叫做柱⾯的准线，动直线L叫做柱⾯的母线．OxyzCL母线准线其准线是xOy⾯上的曲线C：F(x，y)?0．上⾯我们看到，不含z的⽅程x2?y2?R2在空间直⾓坐标系中表⽰圆柱⾯，它的母线平⾏于z轴，它的准线是xOy⾯上的圆x2?y2?R2．⼀般地，只含x、y⽽缺z的⽅程F (x，y)?0，在空间直⾓坐标系中表⽰母线平⾏于z轴的柱⾯，它的准线是xOy⾯上的抛物线y2?2x，该柱⾯叫做抛物柱⾯．⼜如，⽅程x?y?0表⽰母线平⾏于z轴的柱⾯，其准线是xOy⾯的直线x?y?0，所以它是过z轴的平⾯．Oxyzx?y?0yOxzy2?2x例如，⽅程y2?2x表⽰母线平⾏于z轴的柱⾯，类似地，只含x、z⽽缺y的⽅程G(x，z)?0和只含y、z⽽缺x的⽅程程H(y，z)?0分别表⽰母线平⾏于y轴和x轴的柱⾯．例如，⽅程x?z?0表⽰母线平⾏于y轴的柱⾯，其准线是zOx⾯上的直线x?z?0．所以它是过y轴的平⾯．四、常见的⼆次曲⾯定义:三元⼆次⽅程所表⽰的曲⾯称为⼆次曲⾯.（1）椭球⾯（2）椭圆抛物⾯（3）马鞍⾯（4）单叶双曲⾯（5）圆锥⾯。
一、二次曲面
1-1球面
(X-X0)2+(Y-Y0)2+(Z-Z0)2=R2
球心为M0(X0,Y0,Z0)
1-2椭圆锥面
1-3椭球面
其中，表示xOz平面上的椭圆绕z轴旋转而成的椭球面。
1-4单叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕z轴旋转而成的单叶双曲面。
1-5双叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕x轴旋转而成的双叶双曲面。
1-6椭圆抛物面
1-7双曲抛物面（马鞍面）
二、柱面
2-1圆柱面
X2+Y2=R2
2-2椭圆柱面
2-3双曲柱面
2-4抛物柱面
y2=2px
注：形如二、柱面只含x,y而缺少z的方程F(x,y)=0在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面，其准线为xOy平面上的曲线C：F(x,y)=0
特别地，
1.球x2+y2+z2=R2
2.圆柱面x2+y2=R2
3.旋转抛物面X2+Y2=z(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的抛物线旋转而成的图形)
4.X2+Y2=z2(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的圆锥，锥顶角为90。
)。
