【创新设计】2011届高三数学一轮复习 8-7双曲线随堂训练 文 苏教版

双曲线分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝________.解析 ∵b ＝3，∴c ＝a 2＋3，∴c a ＝a 2＋3a＝2，∴a ＝1.答案 12．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________．解析 焦点(c,0)到渐近线y ＝b ax 的距离为bc a 2＋b2＝b ，则由题意知b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2，∴离心率e ＝c a＝ 5. 答案53．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为________． 解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝6，a 2＋b 2＝c2b a ＝3，，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝27.答案x 29－y 227＝14．(2011·湖南卷改编)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a ＝________.解析 双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为3x ±ay ＝0与已知方程比较系数得a ＝2.答案 25．(2012·苏州市自主学习调查)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点垂直于x 轴的弦长为a2，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为________．解析 由题意，得2b 2a ＝a 2，即a 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)，所以5a 2＝4c 2，e 2＝c 2a 2＝54，e ＝52.答案526．(2012·南京模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点、右焦点分别为A 、F ，它的左准线与x 轴的交点为B ，若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为________．解析 由题意知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，0，A (a,0)，F (c,0)，于是A 是线段BF 的中点，得c －a 2c ＝2a ，∴c 2－a 2＝2ac ，∴e 2－2e －1＝0.又e ＞1，所以e ＝2＋1. 答案2＋1二、解答题(每小题15分，共30分)7．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b ＞a ＞0)的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率． 解 由l 过两点(a,0)、(0，b )，得l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为34c ，得ab a 2＋b2＝34c . 将b ＝c 2－a 2代入，平方后整理，得16⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 22－16×a 2c 2＋3＝0.令a 2c 2＝x ，则16x 2－16x ＋3＝0，解得x ＝34或x ＝14. 由e ＝ca，得e ＝1x ，故e ＝233或e ＝2. ∵0＜a ＜b ，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a2＞2， ∴应舍去e ＝233，故所求离心率e ＝2.8．设中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且F 1F 2＝213，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解 (1)由已知，得c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a ，b ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.所以b ＝6，n ＝2.故椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则PF 1＋PF 2＝14，PF 1－PF 2＝6，所以PF 1＝10，PF 2＝4.又F 1F 2＝213，故cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝102＋42－21322×10×4＝45. 分层训练B 级 创新能力提升1．(2011·天津卷改编)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为________． 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋p2＝4，－p2＝－2，－1＝－2·b a⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，a ＝2，b ＝1⇒c ＝a 2＋b 2＝ 5.∴双曲线的焦距2c ＝2 5. 答案 2 52．(2012·南京调研)设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3PF 1＝4PF 2，则△PF 1F 2的面积是________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1－PF 2＝2，3PF 1＝4PF 2，可解得⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＝8，PF 2＝6.又由F 1F 2＝10可得△PF 1F 2是直角三角形， 则S △PF 1F 2＝12PF 1×PF 2＝24.答案 243. (2012·苏州调研一)如图，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A 、B 为左、右焦点，且双曲线过C 、D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 2＋b 2，4a 2－9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. 答案 x 2－y 23＝14．(2013·南京师大附中调研)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A 、B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．解析 如图，由题知OA ⊥AF ，OB ⊥BF 且∠AOB ＝120°，∴∠AOF ＝60°， 又OA ＝a ，OF ＝c ，∴a c ＝OA OF ＝cos 60°＝12，∴ca＝2. 答案 25．(2012·台州中学模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．(1)解 ∵e ＝2，∴设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. 又∵双曲线过(4，－10)点，∴λ＝16－10＝6， ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 法一 由(1)知a ＝b ＝6，c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴kMF 1＝m 3＋23，k MF 2＝m3－23，∴kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝m 2－3，又点(3，m )在双曲线上，∴m 2＝3，∴kMF 1·kMF 2＝－1，MF 1⊥MF 2，MF 1→·MF 2→＝0.法二 ∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m ) ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M 在双曲线上，∴9－m 2＝6，∴m 2＝3，∴MF 1→·MF 2→＝0. (3)解 ∵在△F 1MF 2中，F 1F 2＝43，且|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝12·F 1F 2·|m |＝12×43×3＝6.6．(2010·全国Ⅱ卷)已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)相交于B 、D两点，且BD 的中点为M (1,3)． (1)求C 的离心率；(2)设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|DF |·|BF |＝17，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．(1)解 由题意知，l 的方程为y ＝x ＋2， 代入C 的方程并化简，得 (b 2－a 2)x 2－4a 2x －4a 2－a 2b 2＝0. 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4a 2b 2－a 2，x 1x 2＝－4a 2－a 2b2b 2－a 2. 由M (1,3)为BD 的中点，知x 1＋x 22＝1， 故12×4a 2b 2－a2＝1，即b 2＝3a 2，①∴c ＝a 2＋b 2＝2a ，∴C 的离心率e ＝c a＝2. (2)证明 由①知，C 的方程为3x 2－y 2＝3a 2. A (a,0)，F (2a,0)，x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝－4＋3a22<0.故不妨设x 1≤－a ，x 2≥a ， ∴|BF |＝x 1－2a2＋y 21＝x 1－2a2＋3x 21－3a 2＝a －2x 1，∴|FD |＝x 2－2a2＋y 22＝x 2－2a2＋3x 22－3a 2＝2x 2－a ，|BF |·|FD |＝(a －2x 1)(2x 2－a )＝－4x 1x 2＋2a (x 1＋x 2)－a 2＝5a 2＋4a ＋8. 又|BF |·|FD |＝17，故5a 2＋4a ＋8＝17， 解得a ＝1或a ＝－95(舍去)．故|BD |＝2|x 1－x 2|＝ 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝6.连接MA ，则由A (1,0)，M (1,3)知|MA |＝3， 从而MA ＝MB ＝MD ，∴∠DAB ＝90°，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆过A 、B 、D 三点，且在A 处与x 轴相切．∴过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.。

第2课 平面坐标系中几种常见变换、参数方程一、填空题1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－5t ，y ＝1＋5t ，(t 为参数)的倾斜角是________．解析：把直线的参数方程化为普通方程x ＋y ＝2，所以其斜率为－1，倾斜角为135°. 答案：135°2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ，(π3≤θ≤π)的长度是________．解析：曲线是圆x 2＋y 2＝25的一段圆弧，它所对的圆心角为π－π3＝2π3.所以曲线的长度为10π3.答案：10π33．已知点P (x ，y )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2sin θ，(θ为参数)上，则x ＋y 的最大值为________．解析：x ＋y ＝－1＋22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，所以其最大值为22－1. 答案：22－14．两圆⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3＋2cos θ，y ＝4＋2sin θ，与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ，的位置关系是________． 解析：两圆的圆心距为(－3－0)2＋(4－0)2＝5，两圆半径的和也是5，因此两圆外切． 答案：两圆外切5. 已知P (x ，y )是椭圆x 2144＋y 225＝1上的点，则u ＝x ＋y 的取值范围是________．解析：∵椭圆的参数方程可写为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12cos φ，y ＝5sin φ，∴可设P 点的坐标为(12cos φ，5sin φ)．从而u ＝12cos φ＋5sin φ＝13sin ()φ＋θ. ∵－13≤13sin ()φ＋θ≤13，∴u 的取值范围是－13≤u ≤13. 答案：－13≤u ≤136．已知点P (x ，y )为椭圆x 24＋y 2b2＝1(b >4)上的点，则x 2＋2y 的最大值为________．解析：设x ＝2cos θ，y ＝b sin θ，x 2＋2y ＝4cos 2θ＋2b sin θ＝－4sin 2θ＋2b sin θ＋4＝－4⎝⎛⎭⎫sin θ－b 42＋4＋b 24，因为－1≤sin θ≤1，b4>1，故当sin θ＝1时，(x 2＋2y )max ＝2b .答案：2b7． 点P 为曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)上一点，点Q 为直线⎩⎨⎧x ＝－6－2t y ＝3＋2t(t 为参数)上一点，则P 、Q 的距离的最小值为________．解析：由曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)，得(x －1)2＋y 2＝1，将直线⎩⎨⎧x ＝－6－2t y ＝3＋2t(t 为参数)化为普通方程为x ＋y ＋3＝0.圆心到直线的距离为d ＝|1＋0＋3|2＝22，∴P 、Q 的距离的最小值为22－1. 答案：22－1 二、解答题8．(南京调研)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t y ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l 距离的最大值．解：直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t y ＝t －2(t 为参数)，故直线l 的普通方程为x ＋2y ＝0，因为P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ)其中θ∈R.因此点P 到直线l 的距离是d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π45. 所以当θ＝k π＋π4，k ∈Z 时，d 取得最大值2105.9．(苏锡常镇四市高三教学情况调查)求圆ρ＝3cos θ被直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2ty ＝1＋4t (t 是参数)截得的弦长．解：将极坐标方程转化成直角坐标方程ρ＝3cos θ，即x 2＋y 2＝3x ，即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t y ＝1＋4t，即2x －y －3＝0.所以圆心到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪2×32－0－322－(－1)2＝0，即直线经过圆心，所以圆被直线截得的弦长为3.10．(盐城调研)已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋4cos θ，y ＝4sin θ，若P 是圆C 与y 轴正半轴的交点，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，试求过点P 的圆C 的切线的极坐标方程．解：由题设知，圆心C (2,0)，P (0,23)，故所求切线的直角坐标方程为x －3y ＋6＝0. 从而所求切线的极坐标方程为ρcos θ－3ρsin θ＋6＝0.1．若点P (x ，y )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos θy ＝－4＋5sin θ(θ为参数)上，求x 2＋y 2的最大值．解：x 2＋y 2＝(3＋5cos θ)2＋(－4＋5sin θ)2＝50＋30cos θ－40sin θ ＝50＋50cos(θ＋φ)≤100. 所以x 2＋y 2的最大值为100.2． 已知直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝1＋2t(t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＝22sin(θ＋π4)．(1)将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)判断直线l 和圆C 的位置关系．解：(1)消去参数t ，得直线l 的普通方程为y ＝2x ＋1；ρ＝22sin (θ＋π4)即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，消去参数θ，得⊙C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(x －1)2＝2.(2)圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝255<2，所以直线l 和⊙C 相交．。

第3课时 命题及其关系一、填空题1．(盐城市调研考试)直线l 1：2x ＋my ＋1＝0与直线l 2：y ＝3x －1平行的充要条件是m ＝________.解析：由题意得23＝m －1≠1－1，∴m ＝－23.答案：－232．命题“若a >b ，则2a >2b －1 ”的否命题为________． 答案：若a ≤b ，则2a≤2b－13．(苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查)已知集合A ＝{x |x ＞5}，集合B ＝{x |x ＞a }， 若命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ________．解析：由题意得，A 是B 的真子集，故a ＜5为所求． 答案：a ＜54．(2010·济南调研)设有一组圆C k ：(x －k ＋1)2＋(y －3k )2＝2k 4(k ∈N *)．下列四个命题 ①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交； ③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．其中真命题的代号 是________．(写出所有真命题的代号)解析：圆C k ：(x －k ＋1)2＋(y －3k )2＝2k 4的圆心坐标为(k －1,3k )，则圆心在直线 3x －y ＋3＝0上，由k ＝1,2,3可作图观察出所有圆都与y 轴相交，即(k －1)2＋ (y －3k )2＝2k 4关于y 的方程有解；所有圆均不经过原点，即关于k 的方程(k －1)2＋9k 2＝2k 4，即2k 4－10k 2＋2k －1＝0，没有正整数解，因此四个命题中②④正确． 答案：②④5．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则A B 是(∁U A )∪B ＝U 的________条件．解析：如右图所示，A B ⇒(∁UA)∪B=U ；但(∁UA)∪B=U A B ，如A=B ，因此A B 是(∁UA)∪B=U 的充分不必要条件． 答案：充分不必要6．(南京市调研)下列三个命题：①若函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象关于y 轴对称，则φ＝π2；②若函数f (x )＝ax ＋2x －1的图象关于点(1,1)对称，则a ＝1；③函数f (x )＝|x |＋|x －2|的图象关于直线x ＝1对称． 其中真命题的序号是________．(把所有真命题的序号都填上)解析：对于命题①还可以得到φ=-π2，故①为假命题；对于命题②，令x =0得y =-2，所以函数f(x)的图象过(0，-2)，又函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，所以函数f(x)的图象过(2,4)，将点(2,4)代入得a=1，当a=1时，f(x)=ax ＋2x －1，画出函数的图象可知该函数关于点(1,1)对称；对于命题③，在坐标系中画出该函数图象可知该函数的图象关于直线x =1对称，故真命题为②③. 答案：②③7．(2010·泰安抽查卷)设a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2均为非零常数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0 和a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集分别为M 与N ，那么“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”的________条件．解析：不等式2x 2－x ＋1>0，－2x 2＋x －1>0对应系数成比例但解集不等；不等式 x 2＋x ＋1>0与x 2＋x ＋2>0的解集相等，但对应系数不成比例．因此，“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”的既不充分又不必要条件． 答案：既不充分又不必要 二、解答题8．若a 、b 为非零向量，求证|a ＋b |＝|a |＋|b |成立的充要条件是a 与b 共线同向． 证明：|a ＋b |＝|a |＋|b |⇔(a ＋b )2＝(|a |＋|b |)2⇔2a ·b ＝2|a ||b |⇔cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝1⇔〈a ， b 〉＝0⇔a ，b 共线同向．9．设命题p ：|4x －3|≤1，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不 充分条件，求实数a 的取值范围．分析：利用等价性将“綈p 是綈q 的必要不充分条件”转化为“p 是q 的充分不必要条 件”来求解；或采用求得p ，q 所对应的集合后，再解出綈p 与綈q 所对应的集合进行 求解．解：设A ＝{x ||4x －3|≤1}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}，易知A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤1，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}． 由綈p 是綈q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即A B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12a ＋1≥1，故所求实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 10．方程x 2＋ax ＋1＝0(x ∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a |>3，这个条件 充分吗？为什么？证明：∵方程x 2＋ax ＋1＝0(a ∈R)有两实根，则Δ＝a 2－4≥0，∴a ≤－2或a ≥2.设方程x 2＋ax ＋1＝0的两实根分别为x 1、x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝1，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝a 2－2≥3.∴|a |≥5> 3.∴方程x 2＋ax ＋1＝0(a ∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a |>3；但a ＝2时，x 21＋x 22＝2≤3.因此这个条件不是其充分条件．1．(2010·全国大联考三江苏卷)“a >b >0”是“”成立的________条件．解析：∵⇒a －2>b －2≥0⇒a >b ≥2⇒a >b >0，但逆推不成立，故 “a >b >0”是“”成立的必要不充分条件．答案：必要不充分2．试证一元二次方程至多只能有两个不同的实根．证明：假设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)至少有三个不同的实根，不妨设这三个 实根为x 1，x 2，x 3.∴①－②得a (x 21－x 22)＋b (x 1－x 2)＝0，由x 1≠x 2知a (x 1＋x 2)＋b ＝0.④ 同理②－③整理得a (x 2＋x 3)＋b ＝0，⑤④－⑤得a (x 1－x 3)＝0.∵a ≠0，∴x 1－x 3＝0即x 1＝x 3，与假设矛盾． ∴一元二次方程至多只能有两个不同的实根．。

专题9.6 双曲线【考纲解读】内容要求备注A B C圆锥曲线与方程中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质√1．掌握双曲线的定义、标准方程，能够根据条件利用待定系数法求双曲线方程．2．掌握双曲线的几何性质．3．了解双曲线的一些实际应用． 【直击考点】题组一 常识题1．已知双曲线两个焦点分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，双曲线上一点P 到F 1，F 2的距离的差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为__________________．【解析】由已知可知，双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝5，a ＝3，∴b ＝4，故所求双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.2．已知双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为________．【解析】双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为3x ±ay ＝0，与已知方程比较系数得a ＝2.3．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a >0)的右焦点为点(3，0)，则该双曲线的离心率等于________．题组二 常错题4．动点P 到点A (－4，0)的距离比到点B (4，0)的距离多6，则动点P 的轨迹是__________________． 【解析】依题意有|PA |－|PB |＝6<8＝|AB |，所以动点P 的轨迹是双曲线的右支． 5．双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，虚轴长为23，则双曲线的方程为________________________．题组三 常考题6． 已知双曲线x 2－y 23＝1，则其离心率为________．【解析】因为a ＝1，c ＝1＋3＝2，所以e ＝c a＝2.7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5，则C 的渐近线方程为________________．【解析】由c a ＝5，得c 2a 2＝5，即a 2＋b 2a 2＝5，所以b 2a 2＝4，得ba ＝2，所以，渐近线方程为y ＝±2x .8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长为4，且双曲线的一条渐近线与直线2x －y ＝0平行，则双曲线的方程为____________________．【解析】依题意，2a ＝4，b a ＝2，所以a ＝2，b ＝4，所以双曲线的方程为x 24－y 216＝1.【知识清单】考点1 双曲线的定义及标准方程 1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； (3)这一定值一定要小于两定点的距离． 2．双曲线的标准方程标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形考点2 双曲线的简单几何性质 双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质X 围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率 e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长．a 、b 、c的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)考点3 直线和双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系：将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22221x y a b-=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x 或y的一元二次方程，其判别式为Δ.222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=若2220,b a k -=即bk a =±，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交与一点； 若2220,b a k -≠即bk a≠±，①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线相离，无公共点．【考点深度剖析】除与椭圆有相同的重点及考点之外，在高考中还经常考查双曲线独有的性质渐近线，以双曲线为载体考查方程、性质，也是高考命题的热点．【重点难点突破】考点1 双曲线的定义及标准方程【1-1】设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于_______． 【答案】24【解析】双曲线的实轴长为2，焦距为12||F F ＝2×5＝10.据题意和双曲线的定义知，2＝12PF PF －＝4322PF PF －＝213PF ，∴2168PF PF ＝，＝.∴2221212||PF PF F F ＋＝，∴12PF PF ⊥， ∴12PF F 1211S |PF||PF |=68=2422∆=⨯⨯. 【1-2】已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为_______． 【答案】37－2 5【1-3】已知双曲线C ：﹣=1的焦距为10，点P （2，1）在C 的渐近线上，则C 的方程为_______．【答案】﹣=1【解析】双曲线C ：﹣=1的渐近线方程为y ＝bx a±, ∵双曲线C ：﹣=1的焦距为10，点P （2，1）在C 的渐近线上 ,∴2c=10，a=2b , ∵c 2=a 2+b 2, ∴a 2=20，b 2=5 , ∴C 的方程为﹣=1．【1-4】与双曲线-=221916x y 有共同的渐近线，并且过点A(6,82)的双曲线的标准方程为__________．【答案】-=2216436y x【解析】设所求双曲线为()220916x y λλ-=≠，把点(6,82)代入，得36128916λ-=,解得 λ=-4，∴所求的双曲线的标准方程为-=2216436y x ．故答案为：-=2216436y x ．【1-5】双曲线的焦点为()()60,6,0-,且经过点()6,5-A ,则其标准方程为_______．【答案】2211620y x -=【思想方法】1.待定系数法求双曲线方程的常用方法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；(2)若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；(3)若过两个已知点则设为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)．2．应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．3．求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a 、b 、c 的关系易错易混．【温馨提醒】1、在焦点三角形中，注意双曲线的定义和正弦定理、余弦定理交汇解题；2、求双曲线方程需要两个独立条件．考点2 双曲线的简单几何性质【2-1】已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝2，则一条渐近线与实轴所成锐角的值是________．【答案】4π【解析】∵e=2，∴22e ＝，即22=2c a，又222c a b ＝＋，∴22=1b a , 即=1b a ，∴一条渐近线与实轴所成锐角的值是4π. 【2-2】已知F 2、F 1是双曲线22y a -22x b=1(a>0，b>0)的上、下焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为_______． 【答案】2【2-3】斜率为2的直线l 过双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率e 的取值X 围是_______． 【答案】),5(+∞【解析】如图,要使斜率为2的直线l 过双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，必须且只需2>ab 即可,从而有5442222222>⇔>-⇔>a c a a c a b 所以有离心率5>e .【2-4】已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF ∆是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值X 围是_______． 【答案】(12,)+∞【2-5】双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为23C 的焦距等于_______． 【答案】4【解析】由已知可知渐近线的斜率k=233b a c =-2c a=，即22233b a c =- 且2213b a +=解得23c -=1，所以c=2,2c=4.【思想方法】1．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.2．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.3．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 4．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 5．渐近线与离心率x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝ b 2a 2＝ c 2－a 2a2＝e 2－1.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线X 口的大小．【温馨提醒】1、充分利用条件列关于a,b,c 的等式或不等式，可得离心率的取值或取值X 围；2、双曲线的渐近线是a 与b 之间的比值关系，再结合222c a b =+，可得,a c 的关系，及离心率的关系，从这点而言，渐近线方程和离心率是有联系的． 考点3 直线和双曲线的位置关系【3-1】在双曲线22525922=+y x 上求一点，使到直线03=--y x 的距离最短． 【解析】设与直线03=--y x 平行且与椭圆相切的直线方程为：0=+-m y x 联立化简得022*********=+++m mx x （*）0)22525(164)50(22=+⨯-=∆m m2,42±==∴m m ，故切线方程为：04=--y x 代入双曲线方程解得（49,425） 【3-2】已知直线l 和双曲线22194x y -=相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M.设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OM 的斜率为k 2,则k 1k 2=_______． 【答案】49【3-3】已知双曲线方程是x 2－22y ＝1，过定点P(2，1)作直线交双曲线于P 1、P 2两点，并使P(2，1)为P 1P 2的中点，则此直线方程是____________． 【答案】4x －y －7＝0【解析】设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由22112y x -＝1，22222y x -＝1，得k ＝212121212y y x x x x y y -（+）＝-+＝242⨯＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．【3-4】已知F 是双曲线C:22x a -22y b=1(a>0,b>0)的左焦点,B 1B 2是双曲线的虚轴,M 是OB 1的中点,过F 、M 的直线与双曲线C 的一个交点为A,且FM =2MA ,则双曲线C 离心率是. 【答案】52【3-5】已知函数13y x x=-是坐标原点O 为中心的双曲线，在此双曲线的两支上分别取点,P Q ，则线段PQ 的最小值为__________.【答案】232【解析】根据双曲线的性质，当直线经过双曲线的中心被双曲线截得的实轴长是线段是PQ 的最小值，2PQ OP =00(x ,)P y ，则222000201423OP x y x x =+=+-31≥，PQ 232≥. 【思想方法】1、设直线y kx m =+交双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则22121212||()()PP x x y y =-+-22121212()[1()]y y x x x x --+-2121|k x x +- 同理可得121221||1|(0)PP y y k k =+-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：2121212||()4x x x x x x -=-- 2121212||()4y y y y y y -=--2、若遇中点问题，可以利用“点差法”或者韦达定理处理．【温馨提醒】1、直线和双曲线的位置关系可以从方程的角度求解，把交点个数以及X 围问题，转化为方程解的个数以及解的X 围问题；2、涉及弦长和中点问题时，要考虑“设而不求”技巧．【易错试题常警惕】忽视“判别式”致误典例 (12分)已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？易错分析 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，所以在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑“判别式”．致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑“判别式”，导致解题错误． 规X 解答[失误与防X]1．区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 大小关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中word11 / 11 c 2＝a 2＋b 2.2．双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±a bx . 4．若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．5．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．。

第3课时 圆的方程一、填空题1．圆心为(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上的圆的标准方程为________________．解析：设圆的直径的两个端点分别为(x,0)和(0，y )，则由中点坐标公式可求得两个端点分别为(4,0)和(0，－6)，半径长为1216＋36＝13，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y＋3)2＝13.答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝132．若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a 等于________．解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a ＋2(2a a2)2－4aa 2＞0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1或2a ＜1.∴a ＝－1.答案：－13． 若直线x －2y －2k ＝0与直线2x －3y －k ＝0的交点在圆x 2＋y 2＝9上，则k 的值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2k ＝02x －3y －k ＝0，得交点坐标为(－4k ，－3k )，∴(－4k )2＋(－3k )2＝9，解得：k ＝±35.答案：±354．(扬州市高三期末调研测试)若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________． 解析：∵直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，∴ab ＋ab ＝1，∴ab ＝12，又|OA |＝a 2＋b 2，∴以O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积：S ＝π²|OA |2＝(a 2＋b 2)π≥2ab ²π＝π， 所以面积的最小值为π.答案：π5．设圆C ：x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点在圆的________部． 解析：已知圆的圆心为(－a ，－1)，则原点到圆心的距离为a 2＋1>2a ，在已知条件下恒成立，且2a 是圆的半径，所以，原点在圆外．答案：外6．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称．直线4x －3y －2＝0与圆C相交于A 、B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．解析：抛物线y 2＝4x ，焦点为F (1,0)．∴圆心C (0,1)，C 到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝55＝1，且圆的半径r 满足r 2＝12＋32＝10.∴圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.答案：x 2＋(y －1)2＝107．(江苏省高考名校联考信息优化卷)实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，若u ＝x ＋y ＋2x －y ＋2，则u 的最大值为________．解析：由条件得x －y ＋2不为0，则再由u ＝x ＋y ＋2x －y ＋2，得(u －1)x －(u ＋1)y ＋2u －2＝0.又由x ，y 满足x 2＋y 2＝1，所以圆x 2＋y 2＝1与直线(u －1)x －(u ＋1)y ＋2u －2＝0必有公共点，所以圆心到直线的距离小于等于半径，即2|u －1|(u －1)2＋(u ＋1)2≤1， 化简得u 2－4u ＋1≤0，即2－3≤u ≤2＋3，所以u 的最大值为2＋ 3.答案：2＋ 3二、解答题8．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0关于直线x ＋y －1＝0对称，圆心在第二象限，半径为2，求圆C 的方程． 解：由已知x ＋y －1＝0过圆心． ∴－D 2－E2－1＝0，①又D 24＋E 24－3＝2，②解①②得：D ＝2，E ＝－4，或D ＝－4，E ＝2.而D >0，故圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.9．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0相交于P 、Q 两点，O 点为原点，经过O ，P ，Q 三点的圆满足OP ⊥OQ ，求实数m 的值． 解：设过P 、Q 两点的圆的方程为：x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＋λ(x ＋2y －3)＝0.它过O 点，得m ＝3λ，又OP ⊥OQ ，则圆心⎝⎛⎭⎪⎫－1＋λ2，3－λ在直线x ＋2y －3＝0上，故－1＋λ2＋6－2λ－3＝0，得λ＝1.∴m ＝3λ＝3.10．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t 是实数)表示的图形是圆． (1)求实数t 的取值范围； (2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3,4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围．解：(1)原方程可以转化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－16t 4－9＝－7t 2＋6t ＋1，则半径的平方r 2＝－7t 2＋6t ＋1>0，∴－17<t <1.(2)∵r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝ ⎛⎭⎪⎫t －372＋167， ∴当t ＝37∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，1时，半径取最大值477.此时面积最大，所对应的圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －2472＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋13492＝167. (3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)³3＋2(1－4t 2)(4t 2)＋16t 4＋9<0时，点P 在圆内，即8t 2－6t <0，∴0<t <34.1．已知圆的方程是x 2＋y 2＋2(m －1)x －4my ＋5m 2－2m －8＝0， (1)求此圆的圆心与半径；(2)求证：不论m 为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆．(1)解：配方得：(x ＋m －1)2＋(y －2m )2＝9，∴圆心为(1－m,2m )，半径r ＝3. (2)证明：由(1)可知，圆的半径为定值3，且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－m y ＝2m，∴2x ＋y ＝2.∴不论m 为何值，方程表示的圆的圆心在直线2x ＋y －2＝0上，且为等圆．2．已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P 、Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解：(1)设AP 中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． ∵P 点在圆x 2＋y 2＝4上，∴(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt△PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连结ON ，则ON ⊥PQ ，∴|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.。