高考一轮复习创新设计练习题1()

“古诗歌阅读”仿真综合练仿真综合练(一)唐代诗歌1.阅读下面这首唐诗，完成(1)～(2)题。

(8分)盖少府新除江南尉问风俗郎士元①闻君作尉向江潭，吴越风烟到自谙。

客路寻常随竹影，人家大底傍山岚。

缘溪花木偏宜远，避地衣冠②尽向南。

惟有夜猿啼海树，思乡望国意难堪。

[注]①郎士元，唐代诗人，安史之乱时避难江南。

②避地衣冠：西晋末年，中原士庶大举迁居东南，史称“衣冠南渡”。

(1)颔联和颈联从自然特点、、三方面来写“吴越风烟”。

(4分)解析：颔联写自然环境的清静幽谧、景色优美，突出吴越人的居住特点；颈联运用“衣冠南渡”的典故，突出其历史渊源。

参考答案：居住特点历史渊源(2)请简要赏析“避地衣冠尽向南”一句的艺术技巧。

(4分)答：解析：“避地衣冠”是用典，以“衣冠南渡”的典故，既写出当时政局的动荡，又间接写出江南风景的美好。

“衣冠”运用借代手法，借指士庶。

参考答案：①运用借代手法，以“衣冠”借指士庶。

②运用“衣冠南渡”的典故，既写出当时政局的动荡，又间接写出江南风景的美好。

2．阅读下面这首唐诗，完成(1)～(2)题。

(8分)长安秋望赵嘏云物凄清拂曙流，汉家宫阙动高秋。

残星几点雁横塞，长笛一声人倚楼。

紫艳半开篱菊静，红衣落尽渚莲愁。

鲈鱼正美[注]不归去，空戴南冠学楚囚。

[注]鲈鱼正美：西晋张翰，因秋风起，想念故乡的菰菜、莼羹、鲈鱼脍的美味，便弃官回家。

(1)颔联“残星几点雁横塞，长笛一声人倚楼”运用、的手法，表现了诗人内心的孤寂、怅惘之情。

(4分)解析：“残星几点”是目见，“长笛一声”是耳闻。

“雁横塞”是动态，“人倚楼”是静态。

参考答案：动静结合视听结合(2)“紫菊”和“红莲”对表现诗人的情感起到什么作用？(4分)答：解析：意象是诗人情感显现的载体，作用主要从借景抒情、衬托等方面思考。

先立足全诗理解这两个意象的具体含义，再分析诗人在它们身上所寄托的情感。

参考答案：紫菊半开，红莲凋谢，正是深秋时令的景色。

目睹眼前这憔悴含愁的枯荷，追思往日那红艳满堂的莲花，使人产生红颜易老、好景无常的伤感之情。

基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、选择题1.(2022·贵阳检测)下列命题中，正确的是( ) A.若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B.若ac ＞bc ，则a ＞b C.若a c 2＜bc 2，则a ＜bD.若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －d解析 A 项，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误； B 项，当c ＜0时，ac ＞bc ⇒a ＜b ，∴B 错误； C 项，∵a c 2＜bc 2，∴c ≠0，又c 2＞0，∴a ＜b ，C 正确； D 项，取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误，故选C. 答案 C2.若a ＜b ＜0，则下列不等式肯定成立的是( ) A.1a －b＞1bB.a 2＜ab C.|b ||a |＜|b |＋1|a |＋1D.a n ＞b n解析 (特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确；C 项，|b ||a |＜|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)＜|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |＜|a ||b |＋|a |⇔|b |＜|a |， ∵a ＜b ＜0，∴|b |＜|a |成立，故选C. 答案 C3.若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A.{a |0＜a ＜4} B.{a |0≤a ＜4} C.{a |0＜a ≤4} D.{a |0≤a ≤4} 解析 由题意知a ＝0时，满足条件.a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0＜a ≤4，所以0≤a ≤4.答案 D4.(2022·江西重点中学盟校联考)已知a ＞0且a ≠1，则a b ＞1是(a －1)b ＞0的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 由a b＞1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，b ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，b ＜0，所以(a －1)b ＞0；由(a －1)b ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a －1＞0，b ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a －1＜0，b ＜0，又a ＞0且a ≠1，所以a b ＞1.即a b ＞1是(a －1)b ＞0的充要条件. 答案 C5.(2022·皖南八校联考)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.[－1，4]B.(－∞，－2]∪[5，＋∞)C.(－∞，－1]∪[4，＋∞)D.[－2，5]解析 由于x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4， 所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立， 只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4. 答案 A 二、填空题6.已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________.解析 由已知得f (0)＝0，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－x 2－4x ，因此f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，－x 2－4x ，x <0.不等式f (x )>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x >x 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2－4x >x .解得x >5或－5<x <0. 答案 (－5，0)∪(5，＋∞)7.(2021·宝鸡模拟)若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a＞0的解集为________.解析 由已知ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，解得－1＜x ＜45，故不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，45.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，458.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________.解析 二次函数f (x )对于任意x ∈[m ，m ＋1]， 都有f (x )＜0成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1＜0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1＜0，解得－22＜m ＜0.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0三、解答题9.已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值.解 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3.所以不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}. (2)∵f (x )＞b 的解集为(－1，3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1，3，∴⎩⎪⎨⎪⎧（－1）＋3＝a （6－a ）3，（－1）×3＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.10.解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0(a ∈R ). 解 原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0.(1)当a ＞0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，依据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0.由于方程(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＝0的两个根分别是2，1a ，所以当0＜a ＜12时，2＜1a ，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2＜x ＜1a ；当a ＝12时，原不等式的解集是∅； 当a ＞12时，1a ＜2，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2.(2)当a ＝0时，原不等式为－(x －2)＜0，解得x ＞2， 即原不等式的解集是{x |x ＞2}.(3)当a ＜0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，依据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0， 由于1a ＜2，故原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜1a 或x ＞2. 综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞2； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞2}；当0＜a ＜12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2＜x ＜1a ；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a ＞12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2. 力量提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2022·淄博模拟)若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0，2]恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1－32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32 解析 ∵x ∈(0，2]，∴a 2－a ≥x x 2＋1＝1x ＋1x，要使a 2－a ≥1x ＋1x在x ∈(0，2]时恒成立，则a 2－a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ，由基本不等式得x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ＝12，故a 2－a ≥12，解得a ≤1－32或a ≥1＋32.答案 C12.(2021·合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则ca 的取值范围为( ) A.(1，＋∞) B.(0，2)C.(1，3)D.(0，3)解析由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜b ＋c ≤3a ，a ＋b ＞c ，a ＋c ＞b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＜b a ＋ca ≤3，1＋b a ＞c a ，1＋c a ＞b a，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＜b a ＋ca ≤3，－1＜c a －ba ＜1，两式相加得，0＜2×c a ＜4，∴ca 的取值范围为(0，2).故选B. 答案 B13.若不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围是________. 解析 设f (x )＝x 2＋ax －2，由题知：Δ＝a 2＋8＞0， 所以方程x 2＋ax －2＝0恒有一正一负两根，于是不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解的充要条件是f (5)＞0，即a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞14.已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1，3). (1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，求f (x )的解析式； (2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围. 解 (1)∵f (x )＋2x >0的解集为(1，3)， f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a <0，因而f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .① 由方程f (x )＋6a ＝0， 得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.② 由于方程②有两个相等的实根， 所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0， 即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15. 由于a <0，舍去a ＝1，将a ＝－15代入①， 得f (x )＝－15x 2－65x －35.(2)由f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a 及a <0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a. 由⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋4a ＋1a >0，a <0，解得a <－2－3或－2＋3<a <0.故当f (x )的最大值为正数时，实数a 的取值范围是 (－∞，－2－3)∪(－2＋3，0).。

2019版《创新设计》高考数学一轮复习单元突破：集合与逻辑本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若x R ∈，则“0x >”是“0x ≠”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 【答案】B2．已知A B ⊆，A C ⊆，{}1,2,3,5B =，{}0,2,4,8C =，则A 可以是( )A ．{}1,2B ．{}2,4C ．{}2D ．{}4【答案】C3．命题“0tan =x ”是命题“1cos =x ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不是充分又不是必要条件 【答案】B4．设集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,3,5M =,则U C M =( )A ．{}2,4,6B ．{}1,3,5C ．{}1,2,4D ．U【答案】A5．下列各项中，不可以组成集合的是( )A ． 所有的正数B ． 等于2的数C ． 接近于0的数D ． 不等于0的偶数 【答案】C6．命题“若x=1，则x 2-3x+2=0”以及它的逆命题，否命题和逆否命题中，真命题的个数是( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B7．设集合{1}P x x =>， 2{0}Q x x x =->，则下列结论正确的是( )A ．P Q =B ．P Q =RC ．P ⊂≠QD ．Q ⊂≠P【答案】C8．设m l ,为两条不同的直线，α为一个平面，α//m ，则“α⊥l ”是“m l ⊥”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A9．下列结论中正确的有( ) ①自然数集记作N ；②{}{}2|0,1x xx ==；③中国∈{x|x 是联合国常任理事国}A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】D10．集合{1,0,1}A =-,A 的子集中,含有元素0的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个 【答案】B11．如果集合A={x|ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是( )A ． 0B ． 0 或1C ． 1D ． 不能确定 【答案】B12．已知全集U ＝R ，集合M ＝{y|y ＝x 2－1，x ∈R}，集合N ＝{x|y ＝4－x 2}，则 (∁U M)∩N＝( ){}1-2-|A.<<x x {}1-2-|B.<≤x x{}12-|C.<≤x x {}1-2-|D.≤≤x x【答案】B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．下列命题中：①2()tan 3k k Z παπα=+∈=是的充分不必要条件；②函数()2cos 1f x x =-的最小正周期是π；③ABC ∆中，若cos cos sin sin A B A B >，则ABC ∆为钝角三角形； ④若0a b +=，则函数sin cos y a x b x =-的图像的一条对称轴方程为4x π=。

第 3 讲减数分裂和受精作用(时间：45 分钟)A 级根底演练1．(2023·豫南四校调研)细胞分裂的方式中，有丝分裂和减数分裂过程中共有的特点是( )。

①DNA 复制②纺锤体消灭③联会④着丝点分裂⑤基因重组A．①③⑤B．②③④C．①④⑤D．①②④解析联会、基因重组是减数分裂过程中特有的。

答案 D2．(2023·衡阳联考一)某同学总结了减数分裂过程中染色体、DNA 和着丝点的数量关系，其中正确的选项是( )。

A.次级精母细胞中核DNA分子数和正常体细胞中核DNA分子数不一样B.减数第一次分裂后期，细胞核中DNA 分子数等于正常体细胞中的染色体数C．初级精母细胞中染色体数和核内DNA 分子数一样D．细胞中染色体数目和着丝点数目总是一样的解析次级精母细胞中核DNA分子数和正常体细胞中核DNA分子数一样；减数第一次分裂后期细胞核中DNA 分子数是体细胞中染色体数的2 倍；初级精母细胞中染色体数是核内DNA 分子数的一半。

答案 D3．在果蝇卵巢中不能观看到的细胞分裂图像是( )。

解析果蝇含 4 对同源染色体，卵巢中既可以进展有丝分裂，也能进展减数分裂。

A 图可表示卵原细胞减数第一次分裂后期的图像；B 图可表示第一极体减数其次次分裂后期的图像；C 图可表示卵原细胞有丝分裂中期的图像；D 图由于不是8 条染色体，不是有丝分裂的细胞，又由于含同源染色体且不含姐妹染色单体，所以也不是减数其次次分裂末期的细胞。

答案 D4.一个基因型为AaX b Y 的精原细胞，在减数分裂过程中，由于染色体安排紊乱，产生了一个AAaX b 的精子，则另外三个精子的基因型分别是( )A.aX b，Y，Y C．AX b，aY，YB.X b，aY，Y D．AAaX b，Y，Y解析由于产生的这个精子中只有X，没有Y，说明减数第一次分裂时XY发生了分别；由于产生的这个精子中有A和a，说明减数第一次分裂时A、a没有分别而进入到一个次级精母细胞，含AAaaX b X b 的次级精母细胞在减数其次次分裂后期，着丝点分裂，两个A 基因移向同一极形成了基因型分别是AAaX b 和aX b 的精子；含YY 的次级精母细胞，则形成两个基因型为Y 的精子。

通用版2023届高考地理一轮复习创新素养限时练：海水的性质和运动海水密度是指单位体积海水的质量；海水盐度是指海水中所含溶解的矿物质与海水重量之比，通常以每千克海水中所含的矿物质克数表示，世界大洋的平均盐度为3.5%。

读图，完成下面小题。

1.图中显示，全球表层海水的温度（）A.由赤道向两极逐渐升高B.由南北纬30°分别向赤道和两极递增C.由低纬度向高纬度逐渐降低D.由南北纬40°分别向赤道和两极递增2.由图可知，赤道附近的表层海水（）A.温度高、盐度低、密度小B.温度高、盐度高、密度小C.温度低、盐度低、密度大D.温度低、盐度高、密度大波浪能是指海洋表面所具有的动能和势能。

图示为我国沿海局部海域波浪能密度分布示意图。

据此完成下面小题。

3.导致图示海区南、北部海域波浪能密度等值线分布差异的主要因素是（）A.海岸线走向B.洋流C.海水深度D.风速4.目前波浪能开发规模还比较小，主要原因是（）①市场需求不足②开发成本高③破坏生态环境④稳定性差A.①②B.①④C.②③D.②④潮汐发电与普通水力发电原理类似，在湖水流入或流出大坝时，利用两侧水位差，推动发电机组进行发电。

2019年9月9日，哈尔滨电力有限公司600千瓦潮汐发电机组在浙江舟山海城进行了海上试验并获得成功，标志着中国潮汐发电机组设计水平达到新高度。

下图为“浙江舟山海域潮汐发电示意图”，据此完成下面小题。

5.与波浪能相比利用潮汐能发电的突出优点是（）A.供能较稳定B.建设成本低C.清洁无运染D.技术难度小6.若图中水位秦示靠近海洋一侧的水位、水位二表示靠近陆地一侧的水位，则图中所示时间段内该地（）A.海滨浴场游泳安全B.船舶靠港速度较快C.冲浪健儿乘风破浪D.利于赶海收获颇丰海水的性质主要包括海水温度、海水密度、海水的颜色和透明度、海水的盐度等。

太阳辐射和海洋大气热交换是影响海水温度的两个主要因素。

影响海水盐度的因素主要有海域位置、气候、河川径流、洋流性质等。

第1讲人体的内环境与稳态(时间：45分钟)A级基础演练1．(2013·南京四校联考)下列对内环境稳态实质的描述是()。

A．神经—体液—免疫调节网络是机体维持稳态的主要调节机制B．稳态是各个器官、系统协调活动的结果C．温度、pH、渗透压等理化性质呈现动态平衡D．稳态是体内细胞生活不可缺少的条件解析A、B选项描述的是稳态的调节机制，稳态是在神经—体液—免疫调节作用下，使各个器官、系统协调活动，共同维持内环境的相对稳定状态；D选项属于稳态的意义。

因此A、B、D不符合题干要求。

答案 C2．(2013·潍坊、东营、淄博、滨州四市联考)以下关于动物内环境和稳态的叙述，错误的是()。

A．葡萄糖、生长激素、抗体属于人体内环境的成分B．若内环境稳态不能维持，机体的正常生命活动就会受到威胁C．血浆渗透压的大小主要取决于血浆中无机盐和蛋白质的含量D．人体剧烈运动时产生的乳酸会导致血浆pH显著下降解析葡萄糖、生长激素、抗体都可以存在于细胞外液中，因此属于内环境的成分，故A正确；内环境稳态的维持是机体进行正常生命活动的基础，故B正确；血浆中含有多种物质如水分、血浆蛋白、无机盐等，其中血浆蛋白和无机盐的含量是决定血浆渗透压的主要因素，故C正确；人体剧烈运动时会产生大量乳酸，但是在血浆中缓冲物质的作用下，血浆pH维持在7.35～7.45，不会出现显著下降，故D错误。

答案 D3．下图所示为人体体液相关组成及各成分间的关系，请依次填出①～⑤相关内容()。

A．细胞内液血浆组织液淋巴细胞外液B．细胞外液血浆淋巴组织液细胞内液C．细胞外液组织液血浆淋巴细胞内液D．细胞内液血浆淋巴组织液细胞外液解析根据题图所示，①由②③④构成，属于细胞外液。

②与④可以相互渗透，④只能向③渗透，③只能向②渗透，则可推知②为血浆，③为淋巴，④为组织液。

组织液与细胞内液可以相互渗透，⑤为细胞内液。

答案 B4．毛细血管壁细胞和毛细淋巴管壁细胞生活的内环境分别是()。

阶段滚动检测(三)(建议用时：90分钟) 一、选择题1.设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，则右图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为( ) A.3B.4C.7D.8解析 由于A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x －x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，由题意知，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1，2，3}，所以其真子集有∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共7个. 答案 C2.曲线y ＝x 2＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为( ) A.3x －y －2＝0 B.x －3y ＋2＝0 C.3x ＋y －4＝0D.x ＋3y －4＝0解析 y ′＝2x ＋1x ，故y ′|x ＝1＝3，故在点(1，1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，化简整理得3x －y －2＝0. 答案 A3.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝( )A.1B.2C.3D.4解析 f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋a x ＋1′＝（x 2＋a ）′（x ＋1）－（x 2＋a ）（x ＋1）′（x ＋1）2＝x 2＋2x －a（x ＋1）2， ∵x ＝1为函数的极值点， ∴f ′(1)＝0，即3－a ＝0，∴a ＝3. 答案 C4.(2022·金华重点中学联考)设x ，y ∈R ，则“x 2＋y 2≥9”是“x ＞3且y ≥3”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 当x ＝－4时满足x 2＋y 2≥9，但不满足x ＞3，所以充分性不成立；反之，当x ＞3且y ≥3时，肯定有x 2＋y 2≥9，所以必要性成立，即“x 2＋y 2≥9”是“x ＞3且y ≥3”的必要不充分条件，故选B. 答案 B5.(2022·杭州质量检测)如图，在平面直角坐标系中，AC 平行于x 轴，四边形ABCD 是边长为1的正方形，记四边形位于直线x ＝t (t ＞0)左侧图形的面积为f (t )，则f (t )的大致图象是( )解析 由题意得，f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2⎝⎛⎭⎪⎫0＜t ≤22，－（t －2）2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫22＜t ＜2，1（t ≥2），故其图象为C. 答案 C6.已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2恒成立，则a 的最大值为( )A.0B.1C.2D.3解析 令f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f ′(x )＝x －1x 2，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1时，f ′(x )＜0，当x ∈(1，2]时，f ′(x )＞0，∴f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1上单调递减，在(1，2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (1)＝0，∴a ≤0. 答案 A7.设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )解析 如图所示，当x ∈(－∞，x 0)时，函数f (x )为增函数，当x ∈(x 0，0)和x ∈(0，＋∞)时，函数f (x )为减函数，∴x ＝x 0是函数f (x )的极大值点，可得f ′(x 0)＝0，且当x ∈(－∞，x 0)时，f ′(x )＞0，当x ∈(x 0，0)和x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＜0.由此对比各个选项，可得函数y ＝f ′(x )的图象只有A 项符合.答案 A8.对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b ＜1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( ) A.(－2，1) B.[0，1] C.[－2，0)D.[－2，1)解析 当x 2－1≥4＋x ＋1，即x ≤－2或x ≥3时，f (x )＝4＋x ，当x 2－1＜4＋x ＋1，即－2＜x ＜3时，f (x )＝x 2－1，如图所示，作出f (x )的图象，由图象可知，要使－k ＝f (x )有三个根，需满足－1＜－k ≤2，即－2≤k ＜ 1.答案 D9.函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )＞1，则不等式e x ·f (x )＞e x ＋1的解集为( ) A.{x |x ＞0} B.{x |x ＜0}C.{x |x ＜－1或x ＞1}D.{x |x ＜－1或0＜x ＜1}解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x .由于g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x ＞e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数.由于g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，故原不等式化为g (x )＞g (0)，解得x ＞0.答案 A10.已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.(0，1)D.(0，＋∞)解析 由题知，x >0，f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ，由于函数f (x )有两个极值点，则f ′(x )＝0有两个不等的正根，故y ＝ln x ＋1与y ＝2ax 的图象有两个不同的交点(x >0)，则a >0.设函数y ＝ln x ＋1上任一点(x 0，1＋ln x 0)处的切线为l ，则k l ＝y ′＝1x 0，当直线l 过坐标原点时，1x 0＝1＋ln x 0x 0，则x 0＝1，从而令2a ＝1，∴a ＝12.结合函数图象知0<a <12. 答案 B 二、填空题11.已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________.解析 ∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin π4＋cos π4， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝(2－1)cos π4＋sin π4＝1. 答案 112.(2022·杭州高三模拟)给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件； ②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0相互垂直”的充要条件； ④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则A ＝30°是B ＝60°的必要不充分条件. 其中真命题的序号是________.解析 对于①，当数列{a n }为等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列，但当数列{a n a n ＋1}为等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1，3，2，6，4，12，8明显不是等比数列，而相应的数列3，6，12，24，48，96是等比数列，因此①正确；对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m ＝3时，相应两条直线垂直，反之，这两条直线垂直时，不肯定有m ＝3，也可能m ＝0.因此③不正确；对于④，由题意得b a ＝sin B sin A ＝3，若B ＝60°，则sin A ＝12，留意到b ＞a ，故A ＝30°，反之，当A ＝30°时，有sin B ＝32，由于b ＞a ，所以B ＝60°或B ＝120°，因此④正确.综上所述，真命题的序号是①④. 答案 ①④13.(2022·杭州重点中学联考)对于任意x ∈R ，满足(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0恒成立的全部实数a构成集合A ，使不等式|x －4|＋|x －3|＜a 的解集为空集的全部实数a 构成集合B ，则A ∩(∁R B )＝________．解析 对于任意x ∈R ，不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0恒成立，则a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，Δ＝4（a －2）2＋16（a －2）＜0，解得－2＜a ≤2，所以集合A ＝(－2，2]．当不等式|x －4|＋|x －3|＜a 有解时，a ＞(|x －4|＋|x －3|)min ＝1，所以解集为空集的全部实数a 构成集合B ＝(－∞，1]， 则∁R B ＝(1，＋∞)，所以A ∩(∁R B )＝(－2，2]∩(1，＋∞)＝(1，2]． 答案 (1，2]14.若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是________. 解析 2x ln x ≥－x 2＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x ＞0)，则h ′(x )＝（x ＋3）（x －1）x 2.当x ∈(0，1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4，则a ≤h (x )min ＝4，故实数a 的取值范围是(－∞，4]. 答案 (－∞，4] 三、解答题15.已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值；(2)争辩f (x )的单调性，并求f (x )的极大值. 解 (1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x(x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12.令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减. 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2.) 16.(2022·南山中学月考)已知函数f (x )＝sin x (x ≥0)，g (x )＝ax (x ≥0). (1)若f (x )≤g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当a 取(1)中的最小值时，求证：g (x )－f (x )≤16x 3. (1)解 令h (x )＝sin x －ax (x ≥0)， 则h ′(x )＝cos x －a .①若a ≥1，h ′(x )＝cos x －a ≤0，h (x )＝sin x －ax (x ≥0)单调递减，h (x )≤h (0)＝0， 则sin x ≤ax (x ≥0)成立.②若0<a <1，存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，使得cos x 0＝a ，当x ∈(0，x 0)，h ′(x )＝cos x －a >0，h (x )＝sin x －ax (x ∈(0，x 0))单调递增，h (x )>h (0)＝0，不合题意.③当a ≤0，结合f (x )与g (x )的图象可知明显不合题意. 综上可知，a ≥1.即实数a 的取值范围是[1，＋∞). (2)证明 当a 取(1)中的最小值为1时， g (x )－f (x )＝x －sin x .设H (x )＝x －sin x －16x 3(x ≥0)，则H ′(x )＝1－cos x －12x 2.令G (x )＝1－cos x －12x 2， 则G ′(x )＝sin x －x ≤0(x ≥0)，所以G (x )＝1－cos x －12x 2在[0，＋∞)上单调递减，此时G (x )＝1－cos x －12x 2≤G (0)＝0， 即H ′(x )＝1－cos x －12x 2≤0，所以H (x )＝x －sin x －16x 3在x ∈[0，＋∞)上单调递减.所以H (x )＝x －sin x －16x 3≤H (0)＝0， 则x －sin x ≤16x 3(x ≥0).所以，当a 取(1)中的最小值时，g (x )－f (x )≤16x 3. 17.已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0. (1)求a ，b 的值；(2)假如当x ＞0，且x ≠1时，f (x )＞ln x x －1＋kx，求k 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x（x ＋1）2－bx 2.由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1，1)，故⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1，f ′（1）＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12.解得a ＝1，b ＝1. (2)由(1)知f (x )＝ln x x ＋1＋1x，所以 f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x －1＋k x ＝11－x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2ln x ＋（k －1）（x 2－1）x . 考虑函数h (x )＝2ln x ＋（k －1）（x 2－1）x (x ＞0)，则h ′(x )＝（k －1）（x 2＋1）＋2xx 2.(ⅰ)设k ≤0，由h ′(x )＝k （x 2＋1）－（x －1）2x 2知，当x ≠1时，h ′(x )＜0，而h (1)＝0，故当x ∈(0，1)时，h (x )＞0.可得11－x 2h (x )＞0； 当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜0，可得11－x 2h (x )＞0. 从而当x ＞0，且x ≠1时，f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x －1＋k x ＞0，即f (x )＞ln x x －1＋kx.(ⅱ)设0＜k ＜1，由于当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，11－k 时，(k －1)(x 2＋1)＋2x ＞0.故h ′(x )＞0，而h (1)＝0，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，11－k 时，h (x )＞0，可得11－x 2h (x )＜0.与题设冲突.(ⅲ)设k ≥1，此时h ′(x )＞0，而h (1)＝0，故当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＞0，可得11－x 2h (x )＜0，与题设冲突.综合得k 的取值范围为(－∞，0]. 18.(2022·陕西检测)设函数f (x )＝e x －ax －1.(1)若函数f (x )在R 上单调递增，求a 的取值范围； (2)当a ＞0时，设函数f (x )的最小值为g (a )，求证： g (a )≤0；(3)求证：对任意的正整数n ，都有1n ＋1＋2n ＋1＋3n ＋1＋…＋n n ＋1＜(n ＋1)n ＋1.(1)解 由题意知f ′(x )＝e x －a ≥0对x ∈R 均成立，又e x ＞0(x ∈R )，故a 的取值范围为(－∞，0].(2)证明 由a ＞0，及f ′(x )＝e x －a 可得，函数f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故函数f (x )的最小值为g (a )＝f (ln a )＝e ln a －a ln a －1＝a －a ln a －1，则g ′(a )＝－ln a ， 故当a ∈(0，1)时，g ′(a )＞0，当a ∈(1，＋∞)时，g ′(a )＜0，从而可知g (a )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，又g (1)＝0，故g (a )≤0. (3)证明 当a ＝1时，f (x )＝e x －x －1，由(2)可知，e x －x －1≥0，当且仅当x ＝0时等号成立. ∴当x ≠0时，总有e x ＞x ＋1.于是，可得当x ≠0时，(x ＋1)n ＋1＜(e x )n ＋1＝e (n ＋1)x (n ∈N *). 令x ＋1＝1n ＋1，即x ＝－n n ＋1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＜e －n；令x ＋1＝2n ＋1，即x ＝－n －1n ＋1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n ＋1＜e －(n －1)；令x ＋1＝3n ＋1，即x ＝－n －2n ＋1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫3n ＋1n ＋1＜e －(n －2)；……令x ＋1＝n n ＋1，即x ＝－1n ＋1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＋1＜e －1.对以上各式求和可得：⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3n ＋1n ＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＋1＜e －n ＋e －(n －1)＋e －(n －2)＋…＋e －1＝e －n （1－e n ）1－e ＝e －n －11－e ＝1－e －n e －1＜1e-1＜1.故对任意的正整数n ，都有1n ＋1＋2n ＋1＋3n ＋1＋…＋n n＋1＜(n ＋1)n ＋1.阶段。

高考地理一轮复习创新素养限时练：学会阅读地图1.下图(线为等高线，单位:m)表示一种由风力堆积形成的地表形态。

读图，据此完成下列各题。

（1）图示地区的盛行风向是（）A.东南风B.西北风C.东北风D.西南风（2）该类地貌在我国可能广泛分布的地区是（）A.东北地区B.东南地区C.西北地区D.西南地区2.仰望星空，它是那样辽阔而深邃。

下图为厄瓜多尔共和国示意图，该国首都基多是距离赤道最近的城市，也是观察星空的绝佳地点之一。

读图，据此完成下列各题。

（1）厄瓜多尔国土面积大约为（）A.160000km2B.200000km2C.250000km2D.310000km2（2）下列关于厄瓜多尔的描述，不正确的是（）A.位于南美洲大陆的西北部，西临太平洋B.图中甲地距海洋近，降水多于图中乙地C.由于山脉纵贯南北，东西方向联系不便D.地处南极洲板块和美洲板块消亡边界，多地震3.下图是某地的等高线地形图(单位:米)。

图中最粗线内的范围在图上的面积约为6平方厘米，而其实际地表面积约为15000平方米。

读图，据此完成下列各题。

（1）这幅图的比例尺与下列最接近的是（）A.1∶1000B.1∶5000C.1∶25000D.1∶50000（2）某旅行团沿图中景观大道登山和下山观光，有关说法正确的是（）A.登山观光沿图示景观大道总体向正东方向B.在丁地俯视的人们能看到位于正北方的甲地C.在丙地人们发现东边的山地比较高D.从丙地回到丁地一直是向正南方向4.我国某中学地理活动小组于9月23日(秋分日)日落后3小时30分钟(北京时间21时58分)，对当地地理纬度进行测定，方法如下图所示。

读图，据此完成下列各题。

（1）若观测地位于洞庭湖畔，要想知道该地的地理坐标，除了材料提供的信息外，还需要测出（）A.北极星的仰角 B.树的高度C.地形的起伏D.北极星到地平面的距离（2）观测者面前小路的延伸方向是（）A.南北向转为东西向B.西北—东南走向转为东北—西南走向C.东北—西南走向转为东南—西北走向D.东西走向转为南北走向5.如图为我国太白山自然保护区南、北侧河流分布简图。

专题一名词Ⅰ.单项填空1．Both sides are determined to get what they want，and there seems to be no possibility of ________.A．competence B．compositionC．competition D．compromise答案D[考查名词辨析。

句意：两边都决意取得他们想要的东西，似乎没有妥协的可能。

competence“能力；胜任；本领”；composition“成份；作品”；competition“竞争”；compromise“妥协；折衷”。

] 2．—Why did you say that yesterday?—It was just a casual________.I didn't mean anything by it.A．remark B．judgmentC．statement D．discussion答案A[考查名词辨析。

那个地址答话人表示，那仅仅是一个随意的评论，没有什么歹意。

因此remark“谈论；评述”，符合语境。

judgment“裁决”；st atement“声明”；discussion“讨论”。

]3．The boss showed his________ of Tom's hard work in the company by raising his pay to $ 5,000 a month.A．distinction B．promotionC．appreciation D．reservation答案C[考查名词辨析。

句意：老板通过将汤姆的月薪提升至5 000美元来表示对他的赏识。

appreciation 意为“欣赏，赏识”，符合句意。

]4．In his absence，I would like to thank all concerned on my brother's ________.A．behalf B．part C．business D．interest答案A[考查名词辨析。

(建议用时：80分钟)1.如图所示，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D ，E ，F 分别为B 1A ，C 1C ，BC 的中点.求证： (1)DE ∥平面ABC ； (2)B 1F ⊥平面AEF .证明 (1)如图建立空间直角坐标系A －xyz ，令AB ＝AA 1＝4， 则A (0，0，0)，E (0，4，2)，F (2，2，0)，B (4，0，0)， B 1(4，0，4).取AB 中点为N ，连接CN ，则N (2，0，0)，C (0，4，0)， D (2，0，2)，∴DE →＝(－2，4，0)，NC →＝(－2，4，0)，∴DE →＝NC →，∴DE ∥NC ， 又∵NC平面ABC ，DE ⊄平面ABC .故DE ∥平面ABC .(2)B 1F →＝(－2，2，－4)，EF →＝(2，－2，－2)，AF →＝(2，2，0). B 1F →·EF →＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， B 1F →·AF →＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0. ∴B 1F →⊥EF →，B 1F →⊥AF →，即B 1F ⊥EF ，B 1F ⊥AF ， 又∵AF ∩FE ＝F ，∴B 1F ⊥平面AEF .2.(2022·西安调研)如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝λAD ＝λAA ′(λ＞0)，E ，F 分别是A ′C ′和AD 的中点，且EF ⊥平面A ′BCD ′. (1)求λ的值；(2)求二面角C －A ′B －E 的余弦值.解 以D 为原点，DA ，DC ，DD ′分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设AA ′＝AD ＝2，则AB ＝2λ，D (0，0，0)，A ′(2，0，2)，D ′(0，0，2)，B (2，2λ，0)，C (0，2λ，0)，E (1，λ，2)，F (1，0，0).(1)EF →＝(0，－λ，－2)，D ′A ′→＝(2，0，0)，A ′B →＝(0，2λ，－2)， ∵EF ⊥D ′A ′，EF ⊥A ′B ，∴EF →·D ′A ′→＝0，EF →·A ′B →＝0， 即－2λ2＋4＝0，∴λ＝ 2.(2)设平面EA ′B 的一个法向量为m ＝(1，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A ′B →＝0，m ·A ′E →＝0，∵A ′B →＝(0，22，－2)，A ′E →＝(－1，2，0)， ∴⎩⎨⎧22y －2z ＝0，－1＋2y ＝0，，∴y ＝22，z ＝1，∴m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，1.由已知得EF→为平面A ′BC 的一个法向量，又EF →＝(0，－2，－2)，∴cos 〈m ，EF →〉＝m ·EF →|m |·|EF→|＝0－1－252×6＝－155.又二面角C －A ′B －E 为锐二面角，故二面角C －A ′B －E 的余弦值为155. 3.(2021·全国Ⅰ卷)如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .(1)证明：平面AEC ⊥平面AFC ， (2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值. (1)证明 如图，连接BD ，设BD ∩AC ＝G ， 连接EG ，FG ，EF .在菱形ABCD 中，不妨设GB ＝1.由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝ 3. 由BE ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ，可知AE ＝EC . 又AE ⊥EC ，所以EG ＝3，且EG ⊥AC . 在Rt △EBG 中，可得BE ＝2，故DF ＝22.在Rt △FDG 中，可得FG ＝62.在直角梯形BDFE 中，由BD ＝2，BE ＝2，DF ＝22，可得EF ＝322，从而EG 2＋FG 2＝EF 2，所以EG ⊥FG .又AC ∩FG ＝G ，可得EG ⊥平面AFC .由于EG 平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面AFC .(2)解 如图，以G 为坐标原点，分别以GB→，GC →的方向为x 轴，y 轴正方向，|GB →|为单位长度，建立空间直角坐标系G －xyz ，由(1)可得A (0，－3，0)，E (1，0，2)，F ⎝⎛⎭⎪⎫－1，0，22，C (0，3，0)，所以AE→＝(1，3，2)，CF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，－3，22. 故cos 〈AE →，CF →〉＝AE →·CF →|AE →||CF →|＝－33.所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为33.4.(2021·陕西卷)如图1，在直角梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点.将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，如图2.(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值. (1)证明 在图1中，由于AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，图1∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC ，即在图2中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，且A 1O ∩OC ＝O ，从而BE ⊥平面A 1OC . 又在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝12AD ，E 为AD 中点，所以BC 綊ED ， 所以四边形BCDE 为平行四边形，故有CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC .图2(2)解 由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 又由(1)知，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，所以∠A 1OC 为二面角A 1－BE －C 的平面角，所以∠A 1OC ＝π2. 如图2，以O 为原点，建立空间直角坐标系， 由于A 1B ＝A 1E ＝BC ＝ED ＝1，BC ∥ED ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，22，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，0，得BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，0，A 1C →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，22，－22，CD →＝BE →＝(－2，0，0)， 设平面A 1BC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面A 1CD 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角为θ，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·BC →＝0，n 1·A 1C →＝0，得⎩⎨⎧－x 1＋y 1＝0，y 1－z 1＝0，取n 1＝(1，1，1)；⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CD →＝0，n 2·A 1C →＝0，得⎩⎨⎧x 2＝0，y 2－z 2＝0，取n 2＝(0，1，1)，从而cos θ＝|cosn 1，n 2|＝23×2＝63， 即平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为63.5.已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AD ＝2，AB ＝1，E 、F 分别是线段AB 、BC 的中点. (1)求证：PF ⊥FD ；(2)在P A 上找一点G ，使得EG ∥平面PFD ；(3)若PB 与平面ABCD 所成的角为45°，求二面角A －PD －F 的余弦值. (1)证明 建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ， 则A (0，0，0)，B (1，0，0)，F (1，1，0)，D (0，2，0)， 不妨令P (0，0，t )，t ＞0.∵PF→＝(1，1，－t )，DF →＝(1，－1，0)， ∴PF→·DF →＝1×1＋1×(－1)＋(－t )×0＝0.∴PF ⊥FD . (2)解 设平面PFD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PF →＝0，n ·DF →＝0得⎩⎨⎧x ＋y －tz ＝0x －y ＝0，令z ＝1，则n ＝(t 2，t 2，1)，设G (0，0，m )，∵E (12，0，0)， ∴EG→＝(－12，0，m )，由题意EG →·n ＝0， ∴－ t 4＋m ＝0，∴m ＝14t ，∴当G 是线段P A 的靠近于A 的一个四等分点时，使得EG ∥平面PFD . (3)解 ∵P A ⊥平面ABCD ，∴∠PBA 就是PB 与平面ABCD 所成的角， 即∠PBA ＝45° ，∴P A ＝AB ＝1，P (0，0，1)， 由(2)知平面PFD 的一个法向量为n ＝(12，12，1). 易知平面P AD 的一个法向量为AB →＝(1，0，0)，∴ cos 〈AB →，n 〉＝AB →·n |AB →||n |＝1214＋14＋1＝66.由图知二面角A －PD －F 的平面角为锐角，所以二面角A －PD －F 的余弦值为66.6.(2021·湖南卷)如图，已知四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA 1＝6，且AA 1⊥底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱DD 1，BC 上.(1)若P 是DD 1的中点， 证明：AB 1⊥PQ ；(2)若PQ ∥平面ABB 1A 1，二面角P －QD －A 的余弦值为37，求四周体ADPQ 的体积. 解 由题设知，AA 1，AB ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A (0，0，0)，B 1(3，0，6)，D (0，6，0)，D 1(0，3，6)，Q (6，m ，0)，其中m ＝BQ ，0≤m ≤6.(1)证明 若P 是DD 1的中点，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92，3，PQ→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6，m －92，－3， 又AB 1→＝(3，0，6)，于是AB 1→·PQ →＝18－18＝0， 所以AB 1→⊥PQ →，即AB 1⊥PQ . (2)由题设知，DQ →＝(6，m －6，0)，DD 1→＝(0，－3，6)是平面PQD 内的两个不共线向量. 设n 1＝(x ，y ，z )是平面PQD 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DQ →＝0，n 1·DD 1→＝0，即⎩⎨⎧6x ＋（m －6）y ＝0，－3y ＋6z ＝0.取y ＝6，得n 1＝(6－m ，6，3).又平面AQD 的一个法向量是n 2＝(0，0，1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝31·（6－m ）2＋62＋32＝3（6－m ）2＋45.而二面角P －QD －A 的余弦值为37，因此3（6－m ）2＋45＝37，解得m ＝4，m ＝8(舍去)，此时Q (6，4，0).设DP →＝λDD 1→(0＜λ≤1)，而DD 1→＝(0，－3，6)， 由此得点P (0，6－3λ，6λ)，所以PQ →＝(6，3λ－2，－6λ). 由于PQ ∥平面ABB 1A 1，且平面ABB 1A 1的法向量是n 3＝(0，1，0)，所以PQ →·n 3＝0，即3λ－2＝0，亦即λ＝23，从而P (0，4，4). 于是，将四周体ADPQ 视为以△ADQ 为底面的三棱锥P －ADQ ，则其高h ＝4.故四周体ADPQ 的体积V ＝13S △ADQ ·h ＝13×12×6×6×4＝24.。