精选题14能量法

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143 能量法

1. 试就图示杆件的受载情况，证明构件内弹性应变能的数值与加载次序无关。

证：先加F1后加F2，则 221212()222FabFaFFaVEAEAEA

先加F2后加F1，则 222112()222FaFabFFaVEAEAEA

所以 VV

2. 直杆支承及受载如图，试证明当23FF时，杆中应变能最小，并求出此时的应变能值。

解：1ACFFF ；1BCFF

22221111()2(23/2)22FFlFlFFFFlVEAEAEA

10VF： 1230FF ， 123FF

2min3FlVEA

3. 图示杆系的各杆EA皆相同，杆长均为a。求杆系内的总应变能，并用功能原理求A、B两点的相对线位移AB。

解： 256FaVEA

21256ABFΔFaEA

53ABΔFaEA ( 拉开 )

4. 杆AB的拉压刚度为EA，求

(a) 在F1及F2二力作用下，杆的弹性应变能；

(b) 令F2为变量，F2为何值时，杆中的应变能最小？此时杆的应变能是多少？

解： N12ACFFF， N2BCFF

(a) 22122()222FFlFlVEAEA221122(23/2)lFFFFEA

(b)

20VF，12230FF，1223FF 此时 21min3FlVEA ab1F2FF2llEAB1FCAAFCaDaBFaaa2llF1F2ACB 144 5. 力F可以在梁上自由移动。为了测定F力作用在C点时梁的弯曲轴线，可以利用千分表测各截面的铅垂位移。问：如果不移动千分表而移动F力，则千分表应放在x = 处，其根据是。

答：l – a ；位移互等定理。

6. 试用能量法证明各向同性材料的三个弹性常数E、G、 间有关系：2(1)EG

证：(1) 纯切应力状态应变能密度为 22uG

(2) 纯切应力状态的主应力为 1， 20， 3

应变能密度为：2(1)uE

由 22G=2(1)E 得 2(1)EG

7. 图示简支梁，受均布荷载q作用，试问与广义力q相对应的广义位移是什么？并给予证明。

解：设梁的弯曲轴线方程为w = w(x) ，则广义力q所作之功为

d()()dllWqxwxqwxx

与广义力相对应的广义位移为梁变形前后其轴线所围的面积。

8. 图示等截面直杆，受轴向载荷F作用，已知杆件的横截面面积为A，材料的应力应变关系为1/2C，其中C为已知常数。试计算外力所作的功。

解： 32223FlWCA

9. 处于水平线上的两杆铰接如图所示，两杆拉压刚度均为EA。试求在图示力F作用下的应变能。

解：NN2sin2FFF， 2cos2lll,

2N2EAFAEA

1/3FEA , 1/3FllEA

33 dd4ΔΔEAFΔVFl ( 式中为C点的最终位移 ) AxFaBClqlFllFCl 145 10. 试用莫尔积分法求图示曲杆在力F作用下，截面A的水平位移AxΔ及铅垂位移AyΔ。EI为已知。

解：sinMFR，1sinMR，2(1cos)MR

3()2AxFRΔEI ， 3()2AyFRΔEI

11. 用莫尔法求图示桁架点A的水平位移AxΔ。各杆EA均相同。

解：141FF，23560FFFF

143FFF，

()23iiiAxFFlΔFaEAEA

12. 已知梁的EI为常量，试用单位载荷法求下列外伸梁A点的挠度。

解：AB：101()Mxqlx ， 11()Mxx （10/3xl）

CB：23022220624()3lqlxxxMxq，

222()xMx （2320lx）

40()16405AqlwEI

13. 试用莫尔积分法求图示结构C点的铅垂位移。已知杆AC的弯曲刚度EI和BD杆的拉压刚度EA。受弯构件不计剪力和轴力的影响；BD杆不会失稳。

解：梁：CD： ()MxFx， ()Mxx

AD： ()()2MxFxaFxFaFx， ()Mxax

杆： 22BDFF ， 22BDF

C y = 32823FaFaEIEA

RFBAABC2l/3l/3lqF003qBCaaEIEIEAFAD45FF124356aa30A 146 14. 简支梁受均布载荷q作用如下，弯曲刚度EI已知。试用莫尔积分法求横截面A、C之间的相对角位移AC。

解：AB：2111625()qaxqxMx ，1()1Mx

BC：226()qaxMx ， 2()1Mx

3712ACqaEI

15. 由两个半圆组成“S”形的等截面弹簧片，截面的弯曲刚度为EI。该弹簧在B端受水平力F作用。试用莫尔积分法求该弹簧的刚度。

解：取一半计算水平位移

()sinMFr ， sinMr

1d2ΔsEIMMπ2201sindFrrEI

可得： 3ΔFrEI

弹簧刚度：30.32Fk=ΔEIr

16. 试用单位载荷法求图示桁架中杆AB的转角。各杆的拉压刚度EA相同，且均为常数。

解：422iiiABFFlFEAEA （顺时针）

17. 试用单位载荷法计算图示结构中铰链A左、右两截面间的相对转角A 。设各杆的弯曲刚度EI相同，且均为常数。

解： A = 2(2)4AFREI（反向转动）

18. 图示一缺口圆环， 为很小的角度， 、EI和R均已知。为使缺口处两截面恰好密合，试问在缺口处的两截面上应加多大的力偶M。必须验证此时两截面的相对线位移为R 。（用莫尔积分法）

解：()MM ，()1M

2ABMREI，2EIMR ACBa2aqABCrrFABF132445455FARRAB 147 19. 图示位于水平面内的半圆形构件，其平均半径为R，C端固定A端自由并作用一铅垂力F。杆的EI及pGI均为常数。用莫尔积分法求A端铅垂位移和水平位移的表达式。

解：sinyMFR ，sinyMR

(1cos)TFR，(1cos)TR

0xΔ ，

p3123yFRΔEIGI

20. 半径为R的开口圆环受力如图所示，A点F力垂直纸面向外，B点F力垂直纸面向里。EI及GIp均为常数。试用莫尔积分法求开口处A及B两点的相对铅垂位移。

解：sinMFR， sinMR；

(1cos)TFR，(1cos)TR

p333ABFRFRΔEIGI

21. 由拉杆AB、AC和小曲率杆BDC组成的结构及其受力情况如图。已知各杆的截面积均为A，弯曲刚度均为EI。试用莫尔积分法求B、C 两点之间的相对位移。

解：ABACFFF

223sin(1cos)FRMFR，sinMR

BC = 33(23)1.864ABFRFRΔEIEI （两点靠近）

22. 薄壁圆环的受力如图所示。已知该环的宽度b、厚度h（见图），弹性模量E。试用莫尔积分法求缺口两侧面的相对线位移和相对角位移。

解：(1) 相对线位移：

133326(4)2AAFRFRΔEIEbh（张开）

(2) 相对角位移：

1223224AAFRFREIEbh（张开） ACCRAFRFFABAFBCDR30F30AA1FRhFChb 148 23. 图示刚架各杆的EI和pGI分别相同，并均为已知。试用莫尔积分法求由于力F的作用使缺口两侧上下错开的距离。

解：1p33(4)(/2)6AAFabFababEIGI

24. 承受径向均布载荷半径为R的开口薄壁圆环如图。已知该环的b、h、弹性模量E。求缺口两侧面的张开位移。

解：2(1cos)MqR ，

(1cos)MR

AA1=14336AAΔqREbh

25. 已知梁的弯曲刚度EI为常数。试用莫尔积分法求图示三角形分布载荷作用下简支梁两端截面的转角A和B。

解：30066qlxqxMl，1AlxM，BlxM

307360AqlEI（顺时针）

3045BqlEI（逆时针）

26. 一半径为R的半圆形曲杆，杆截面直径为d，d  R 。此曲杆A端固定，在自由端B承受一力偶Me（Me作用面平行于xOz平面，z轴垂直于图面）。试用莫尔积分法求B点的z向位移。设杆的弯曲和扭转刚度分别是EI和GIp。

解： esinTM，(1cos)TR

ecosMM，sinMR

p2e2zMRGI FFAbaBCa/2A1C1B1yxzOqARhhbA1q0ABlAxyzROBMe 149 27. 一半径为R的半圆形曲杆，杆截面直径为d，d  R

。此曲杆A端固定，在自由端B承受一位于yz面内的力偶Me（xyz构成右手直角坐标系）。试用莫尔积分法求B端的z向位移。设杆的弯曲和扭转刚度分别是EI和pGI。

解：ecosTM，(1cos)TR

esinMM，sinMR

p22ee22zMRMRGIEI

28. 图示桁架，各杆的横截面面积均为A，拉压应力应变关系呈非线性，拉伸时，1/2B，压缩时，1/2()B，B为材料常数。试用单位载荷法计算节点C的铅垂位移CyΔ。

解： 222()6CyΔFlAB

29. 图示矩形截面梁AB，设其底面和顶面的温度分别升高1T℃和T2℃（1T T2）,且沿横截面高度h按线性规律变化。试用单位载荷法计算横截面A的铅垂位移AyΔ和水平位移AxΔ。材料的线膨胀系数为 。

解：微段dx两端截面的相对转角：d12()TTd/xh

微段dx的轴向变形为： d12()TTd x / 2

()Mxx， 1()dAylΔMx

12 0[()/]lxTThdx

212()/(2)()AyΔTTlh

()1Fx， 1 A x = ()lFxd

12 0[1()/2]lTTdx

12()/2()AxΔTTl

30. 对于图示线弹性简支梁，试用单位载荷法计算变形后梁的轴线与变形前梁的轴线所围成的面积A。已知EI为常数。

解：1()/MxbFxl ， 2()()/MxFbxal

加单位均布载荷1q，

21()/2/2Mxlxx，22()/2/2Mxlxx

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⽔⼒学习题

⽔⼒学课程复习题

⼀、名词解释（100个）

连续介质理想液体粘滞性等压⾯⽜顿内摩擦定律⽔头测压管压⼒中⼼绝对压强相对压强真空度压⼒体运动要素真空压强分布图恒定流渐变流欧拉法迹线拉格朗⽇法流线流管元流总流断⾯平均流速过⽔断⾯流量⼀维流均匀流连续性⽅程急变流能量⽅程动量⽅程⽔⼒坡度沿程⽔头损失收缩断⾯⽔头损失层流紊流局部⽔头损失雷诺数湿周⽔⼒半径粘性底层动能修正系数摩阻流速长管短管简单管道动量修正系数串联管道并联管道明渠⽆压流⽔⼒光滑管边坡系数允许流速急流缓流紊流粗糙管临界流正常⽔深相对波速佛如德数沿程阻⼒系数断⾯⽐能临界⽔深陡坡缓坡相对粗糙度⽔跃⽔跃函数⽔跌共轭⽔深棱柱形渠道控制断⾯堰流闸孔出流薄壁堰⽔⼒最佳断⾯实⽤堰宽顶堰淹没系数流量系数实⽤经济断⾯⽆压涵洞底流消能⾯流消能挑流消能远趋式⽔跃临界⽔跃淹没⽔跃渗流模型达西定律侧收缩系数普通井承压井完全井井群流⽹

⼆、填空题（ 52 题）1、⽔静⼒学基本⽅程 C g p z =+ρ 的适⽤条件是：

（1），（2），（3）。2、当_______平⾯放置时，压⼒中⼼与⾯积形⼼重合。

3、⽜顿内摩擦定律τ=µdu/dy 适⽤于流体的流动。

4、当液体中某点的绝对压强，就称该点存在真空，真空度的⼤⼩ P k = 。

5、流线是⼀条光滑的曲线，除奇点外流线不能 _ ____，在__ ___ 中流线与迹线重合。

6、当液流为时，流线与迹线相重合。

7、流线是某⼀瞬时在流速场中所作的⼀条线，位于这条线上的每个质点在该瞬时的都与此线。

8、孔⼝和管嘴出流的流速公式均为02gH ?υ=，对孔⼝⽽⾔ υ是___ ___断⾯的流速，对管嘴⽽⾔υ为___ ______断⾯的流速。9、必托管共开有两孔，⼀孔以便测动⽔压强，另⼀孔

材料力学B精选题10

能量法

1. 试就图示杆件的受载情况，证明构件内弹性应变能的数值与加载次序无关。

证：先加F1后加F2，则

221212()/(2)/(2)/(2)VFabEAFaEAFFaEA

先加F2后加F1，则

222112/(2)()/(2)/(2)VFaEAFabEAFFaEA

所以 V 1 = V 2

2. 直杆的支承及受载如图，试证明当F1=2F/3时，

杆中应变能最小，并求出此时的应变能值。

解：1ACFFF ；1BCFF

22221111()2/(2)/(2)(23/2)/()VFFlEAFlEAFFFFlEA

1/0VF： 1230FF ， 12/3FF

2min/(3)VFlEA

3. 图示杆系的各杆EA皆相同，杆长均为a。求杆系内的总应变能，并用功能原理求A、B两点的相对线位移AB。

解： 25/(6)VFaEA

视CD相对固定2FAB /4 = 5F2a/(6EA)

AB = 5Fa/(3EA) ( 拉开 )

4. 杆AB的拉压刚度为EA，求

(a) 在F1及F2二力作用下，杆的弹性应变能；

(b) 令F2为变量，F2为何值时，杆中的应变能

最小？此时杆的应变能是多少？

答： N12ACFFF， N2BCFF

(a) 22122()2/(2)/(2)VFFlEAFlEA221122(23/2)/()lFFFFEA

(b) 2/0VF，12230FF，212/3FF

此时 21min/(3)VFlEA ab1F2FF2llEAB1FCAAFCaDaBFaaa2llF1F2ACB5. 力F可以在梁上自由移动。为了测定F力作用在C点时梁的弯曲轴线，可以利用千分表测各截面的铅垂位移。问：如果不移动千分表而移动F力，则千分表应放在x = 处，其根据是。

《机械振动》课程期终考试卷_答案

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精心整理学习帮手一、填空题

1、机械振动按不同情况进行分类大致可分成（线性振动）和非线性振动；确定性振动和（随机振动）；（自由振动）和强迫振动。

2、周期运动的最简单形式是（简谐运动），它是时间的单一（正弦）或（余弦）函数。

3、单自由度系统无阻尼自由振动的频率只与（质量）和（刚度）有关，与系统受到的激励无关。

4、简谐激励下单自由度系统的响应由（瞬态响应）和（稳态响应）组成。

5、工程上分析随机振动用（数学统计）方法，描述随机过程的最基本的数字特征包括均值、方差、（自相关函数）和（互相关函数）。

6、单位脉冲力激励下，系统的脉冲响应函数和系统的（频响函数）函数是一对傅里叶变换对，和系统的（传递函数）函数是一对拉普拉斯变换对。

2、在离散系统中，弹性元件储存( 势能 )，惯性元件储存（动能），（阻尼）元件耗散能量。

4、叠加原理是分析（线性）系统的基础。

5、系统固有频率主要与系统的（刚度）和（质量）有关，与系统受到的激励无关。

6、系统的脉冲响应函数和（频响函数）函数是一对傅里叶变换对，和（传递函数）函数是一对拉普拉斯变换对。

7、机械振动是指机械或结构在平衡位置附近的（往复弹性）运动。

1．振动基本研究课题中的系统识别是指根据已知的激励和响应特性分析系统的性质，并可得到振动系统的全部参数。（本小题2分）

2．振动按激励情况可分为自由振动和强迫振动两类。（本小题2分）。

3．图（a）所示n个弹簧串联的等效刚度kniik111；图（b）所示n个粘性阻尼串联的等效粘性阻尼系数eCniic111。（本小题3分）

（a）（b）

题一 3 题图

4．已知简谐振动的物体通过距离静平衡位置为cmx51和cmx102时的速度分别为scmx201和scmx82，则其振动周期T2.97s；振幅A10.69cm。（本小题4分）

固有频率的计算

1——动力学应用专题

2基本内容

1、单自由度系统的自由振动

2、固有频率的计算

3、单自由度系统有阻尼的自由振动

4、单自由度系统的受迫振动

5、隔振与减振

3基本要求

1、会应用动力学基本理论建立单自由度系

统的振动微分方程

3、会计算振动周期、固有频率和振幅2、掌握自由振动、受迫振动的特征

5、了解隔振的概念4、掌握共

振和临界转速的概念

4振动是日常生活和工程实际中常见的物理现象。

例如：钟表的摆动；汽车行驶时车厢的上、下颠簸，

左、右晃动；电机、机床等工作时的振动，狂风吹得旗帜

哗哗作响、对瓶口吹气引起发声；以及地震时引起的建筑

物的振动等。1

、振动：

物体（或系统）在其平衡位置附近

周期性的往复运动。引言

一、振动的现象与定义

5利：振动给料机弊：磨损，减少寿命，影响强度

振动筛引起噪声，影响劳动条件

振动打桩机等消耗能量，降低精度等。

3. 研究振动的目的：研究并掌握振动规律，

消除或减小有害的振动，充分利用振动为人

类服务。2、振动的利弊：引言

一、振动的定义与现象

6引言

二、振动的模型与分析方法

xmg

stlmg

k单自

由度

质量

弹簧

系统k

7三、振动的分类：

按振动产生的原因分类：

自由振动：无阻尼的自由振动，

有阻尼的自由振动（衰减振动）

强迫振动：无阻尼的强迫振动

有阻尼的强迫振动

按振动方程：

可分为

线性振动和非线性振动。单自由度系统的振动

多自由度系统的振动

弹性体的振动

按振动系统的自由度分类

引言

§17-1

单自由度系统的自由振动

一、自由振动的概念：

质量—弹簧系统

一、自由振动的概念：

弹簧－质量系统，物块的质量为

弹簧的刚度系数

为

物块自平衡位置的初始速度为

。运动过程中，其方向恒指向物体平衡位置的力称为恢复力。

物体受到初干扰后，仅在恢复力作用下于其平衡位置附近的往复运动称为

无阻尼自由振动

。

二、自由振动微分方程及其解

0一、自由振动的概念：

12



iixFxm



0kxxm＋



以弹簧未变形时的平衡位置为原点建立

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