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材料力学13能量法

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材料力学第十三章 能量法

材料力学第十三章 能量法

1 vε = = τγ 2G 2
τ2
三、扭转
由实验知，线弹性范围内，扭转角与扭转力偶成线性关系： 由实验知，线弹性范围内，扭转角与扭转力偶成线性关系：
M e l M e 2l 1 1 Vε = W = M e ⋅ ∆φ = M e = 2 2 G I p 2G I p
T 2 ( x) Vε = ∫ dx 2G I p ( x) l
截面的挠度。 例：求图示简支梁C截面的挠度。 求图示简支梁 截面的挠度
F
θ B2
wC1
解：由功的互等定理 F ⋅ wC1 = M ⋅ θ B 2
得：F ⋅ wC1
Fl =M⋅ 16 E I Ml = 16 E I
2
2
由此得：wC1
例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移∆ C 。 求图示悬臂梁中点 处的铅垂位移
故：
M ( x) M ( x) ∆=∫ dx EI l
M ( x) M ( x) 莫尔定理 ∆=∫ dx 莫尔积分） （莫尔积分） EI l
对于组合变形： FN ( x) FN ( x) T ( x) T ( x) M ( x) M ( x) ∆=∫ dx + ∫ dx + ∫ dx EA GI p EI l l l
积分得： 积分得：
FN (x)dx M (x)dx T (x)dx Vε = ∫ +∫ +∫ 2EA 2EI 2GIP L L L
2
2
2
例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 求自由端B的挠度 能原理求自由端 的挠度。 能原理求自由端 的挠度。
F
解：
B
A
l
x
M ( x) = − F ⋅ x

材料力学(单辉祖)第十三章 能量法

材料力学(单辉祖)第十三章 能量法

第十三章能量法主讲人：张能辉1引言2-研究变形体方法：微体法，能量法引言微体法几何关系i ij u ~ε微体法静力学关系物理关系ijij εσ~平衡ij σd v ⇓V控制方程数学手段ij σ边界条件初值条件ijε3-引言能量法1P P 1P 外力作用线弹性体恢复22P 变形效应外力卸除原形i P →ij ij εσ~Hooke’s Law Lineariij u ~ε线弹性体f广义载荷δ广义位移δ∝f 引进比例常数δk f =下面看能量如何写?与外力有何关系?4由能量守恒WV =ε(外力功全部转化成应变能)P26488主平面微体应变能(P264 8-8)1ii εσυε2=应变能密度i =1,2,3)(,,)6外力功与应变能杆件应变能微段d x 储存应变能∫∫⋅==dVAdAdx dV dV εεευυdAxx体积分化为面积分d x dV整个梁存储应变能积分思想: 微段的叠加==dAdx dV V εεευ变∫∫∫AlV822 EA21 2NFdx EAd ml2ρ2p外力功与应变能弯曲(忽略切应力)21zM 21zM 2zEI ευ=2z lV dxEI ε=∫Conclusion外力功与应变能应变能特点C1: 与载荷终值有关，而与加载次序无关M(a) M 、F 同时作用(b)ABF (b)先F 后M (c) 先M 后F 三种加载历史等效?FM F M M FM M M M M =+=+19互等定理23互等定理讨论2F 独立加第I 组力系F 123411121:0;0;Δ→Δ→Δ先加第II 组力系，再加第I 组力系3F 2F 21110;0:Δ′→Δ′→Δ12344F ????;21211111Δ′=ΔΔ′=Δ问1F F =k Δ保证相等27互等定理线弹性体变形能特点：大小取决于加载终值而与加载次序无关21V V =414313222121Δ+Δ=Δ+Δ⇒F F F F 21F F I 组力系12I 组力系作用点43F F II 组力系，3，4力点II 组力系作用点2212,ΔΔII 组力系在I 组力系作用点引起的沿I 组力系方向的位移4131,ΔΔI 组力系在II 组力系作用点引起的沿II 组力系方向的位移28互等定理等定功的互等定理第I 组力系在第II 组力系引起位移上所做功等于第II 组力系在第I 组力系引起位移上所做功简化：If F 1---I; F 2---IIthen F =F FF =2then F 1Δ12= F 2Δ2112FF =1If F 1= F 2, then Δ12=Δ21位移互等定理弹在对于线弹性体，若在1，2处分别作用两个大小相等的载荷，则点1处由于点2处载荷引起的位移Δ12等于处由点点2处由于点1处载荷引起的位移Δ2129Example-1实测w 1 ,w 2 ,w 3方案：1F3211.三点装位移计浪费2.一个位移计逐点测费工1新方案(位移互等定理)F323.自由端加位移计逐点加载不影响原有力系30单位载荷法32Example-1E ample1qABlx已知：梁EI=const已知梁求：w=?θA=?A38Example-2M aCB B1x x FAa 2已知：刚架M B =F a 求：Δcy =?40E l3 Example-3BA1αβ2CF已知：桁架EA, l1l2? Δ?求: Δcx=? Δcy=?43Example-4 (P20 12-5)F FR已知：小曲率曲梁AB已知：小曲率曲梁，轴线曲率半径为R求：截面A和B的相对转角46E l5(P56)Example-5 (P56)F OA BϕCA B已知：小曲率曲梁，轴线曲率半径为R求求：A的铅垂位移48余能与卡氏第二定理50。

材料力学习题册答案-第13章 能量法

材料力学习题册答案-第13章 能量法
如果考虑轴向拉压，解法同第2题，略。
5．如下图刚架受一对平衡力F作用，各段的EI相同且等于常量，试用图乘法求两端A、B间的相对转角。
解：应用图乘法，在A、B点加一对单位力偶。它们的内力图如下图。
6．图示刚架，各段的抗弯刚度均为EI。试计算B截面的水平位移和C截面的转角。
解：应用图乘法，在B截面加一水平单位力，在C截面加一单位力偶，它们的内力图如下图。
第十三章能量法
一、选择题
1．一圆轴在图1所示两种受扭情况下，其〔A〕。
A应变能相同，自由端扭转角不同；
B应变能不同，自由端扭转角相同；
C应变能和自由端扭转角均相同；
D应变能和自由端扭转角均不同。
〔图1〕
2．图2所示悬臂梁，当单独作用力F时，截面B的转角为θ，假设先加力偶M，后加F，那么在加F的过程中，力偶M〔C〕。
A不做功；B做正功；
C做负功，其值为 ；D做负功，其值为 。
3．图2所示悬臂梁，加载次序有下述三种方式：第一种为F、M同时按比例施加；第二种为先加F，后加M；第三种为先加M，后加F。在线弹性范围内，它们的变形能应为〔D〕。
A第一种大；B第二种大；
C第三种大；D一样大。
4．图3所示等截面直杆，受一对大小相等，方向相反的力F作用。假设杆的拉压刚度为EA，材料的泊松比为μ，那么由功的互等定理可知，该杆的轴向变形为 ，l为杆件长度。〔提示：在杆的轴向施加另一组拉力F。〕
A 0；B ；
C ；D无法确定。
〔图2〕〔图3〕
二、计算题
1．图示静定桁架，各杆的拉压刚度均为EA相等。试求节点C的水平位移。
解：解法1-功能原理，因为要求的水平位移与P力方向一致，所以可以用这种方法。
由静力学知识可简单地求出各杆的内力，如下表所示。

材料力学第十三章 能 量 法

材料力学第十三章 能 量 法

单元体上外力作功： W s e1 d e 0
应变能密度：
ve
e1 s d e
0
边长为dx、dy、dz的单元体： dVe ve d x d y d z
杆： Ve dVe V ve dV
线性弹性体：
ve
s e1
0
de
1 2
s
1e1
1 2
Ee12
1 2E
s
2 1
ve
1 d
0
1 2
1
AF
Fl 2 16 EI
应变能：
Vε
1 2
M AM
(1 2
FDCF
M AF )
1
F 2l3 (
M
2l
MFl 2
)
EI 96 6 16
④ M、F 分别单独作用
F
A
DCF
B
A M AM
B
DCF
Fl 3 48 EI
AM
Ml 3EI
应变能之和： VεF VεM
1 2
FDCF
1 2
M AM
1 EI
VεS
l
s
FS2 (x) d x 2GA
s — 剪切形状因数
S
S
通常，梁的剪切应变能远小于弯曲应变能。
杆件发生组合变形
在线弹性、小变形的条件下，每一基本变形的内力仅 在其相应的基本变形上作功，在其他基本变形上不作功。
Vε
l FN2 (x) d x 0 2EA
l T 2 (x) dx
0 2GIp
材料是线弹性的，但变形 D 与力F 不是线性的
几何非线性弹性问题
材料是非线性弹性的
物理非线性弹性问题

材料力学-第十三章能量方法

材料力学-第十三章能量方法

fc
U P
M (x) M (x) dx
l EI P
1
EI
l 2 0
[(
P 2
Me l
) x1
M
e
]
x1 2
dx1
1 EI
l 2
(
P
02
Me l
) x2
x2 2
dx2
M el 2 Pl3 16EI 48EI
(
)
31
• 例13-6 求刚架B的水平位移和C点的转角。
解:
AB段： M (x1) (Pa Pf x1)
P
2
29
A截面的转角:
A
U M e
M (x) M (x) dx l EI M e
1
EI
l
2 [(
0
P 2
Me l
) x1
M e ](1
x1 l
)dx1
1
EI
l 2 0
(P 2
Me l
) x2
x2 l
dx2
M el 3EI
Pl 2 16EI
(
)
30
Me
p
A
C
X1
L/2 L/2
B
X2
C截面的挠度为:
A ②将内力对MA求偏导后，令M A=0
L xO
③求变形（ 注意：M A=0）
M (x)
1
M A M 0
A
A
L
M (x) M (x) dx EI M A
L Px dx 0 EI
PL2
2 EI
A
PL2 ( 2 EI
)
“负号”说明 A与所加广义力MA反向。

材料力学刘鸿文第六版最新课件第十三章 能量方法

材料力学刘鸿文第六版最新课件第十三章 能量方法

13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。
比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
F1
1
应变能只取决于受力变形的最终状态，因
此可采用便于计算的方式计算应变能。
P1
P2
1 dV 2 M( x )d
一般情况下： 剪力对变形的影响很小，剪切 应变能远远小于弯曲应变能。
M 2( x )dx dV 2EI
w = M(x) = dθ EI dx
d M( x) dx
EI
M 2( x )dx
V l 2EI
应变能的特点：
（1）基本变形的应变能通式：
1
V
W
F 2
F2
F3
采用比例加载
2 3
外力
比例
0
位移
比例
F1、F2、F3
1、 2、 3
0
V
W
1 2
F11
1 2
F2 2
1 2
F33
n i1
1 2
Fii
即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘
积的二分之一的总和。
克拉贝依隆原理
对于组合变形
M (x)
Fs(x)
FN (x)
T (x)
M (x)
FN (x)
Me
⑵ 应变能
V
L
M 2 (x) dx
2EI
L
1 2EI
(M e
Fx)2 dx
M
2 e
L
M e FL2

材料力学第十三章 能量法2013


§13-7 计算莫尔积分的图乘法 ★重点
(Energy methods)
§13-1 概述（Introduction)
能量方法 (Energy methods )
利用功能原理 U = W 来求解可变形固体的位移、变形和内 力等的方法.
功能原理（Work-energy principle) 外力功等于变形能
2
Me ( x) U dx l 2 EI ( x )
2
(Energy （ Strain energy density for pure shearing state of stresses )
1 u ηγ 2
将 = G 代如上式得
G 2 2 u γ 2 2G
F1a
F2
M图
a B x A
F1a+F2l
特点：在刚节点处，弯矩值连续 ;
(Chapter Thirteen)
(Energy Method)
(Energy methods)
第十三章 能量法 (Energy Methods)
§13-1 概述（Introduction) §13-2 杆件变形能的计算及普遍表达式 §13-3 互等定理（Reciprocal theorems) §13-4 卡氏定理(Castigliano’s Theorem) §13-5 虚功原理（了解） §13-6 单位荷载法 莫尔定理 ★重点
2、利用功能原理计算变形 （Work-energy principle for calculating deflection)
2 FN ( x) T 2 ( x) M 2 ( x) U dx dx dx l 2 EA( x ) l 2GI ( x ) l 2 EI ( x ) p

材料力学能量法

材料力学能量法材料力学能量法是材料力学中的一种重要分析方法，它通过能量原理来研究材料的力学性能和行为。

能量法在工程应用中具有广泛的意义，可以用于解决各种复杂的材料力学问题。

本文将对材料力学能量法进行详细介绍，包括其基本原理、应用范围和计算方法等内容。

首先，我们来看一下材料力学能量法的基本原理。

能量法是以能量守恒原理为基础的一种力学分析方法，它认为在任何力学系统中，系统的总能量始终保持不变。

在材料力学中，通过能量方法可以方便地求解结构的变形、应力分布和稳定性等问题。

能量法的基本原理为系统的总能量等于外力对系统做功的总和，即系统的内能和外力对系统做功的总和保持恒定。

其次，材料力学能量法的应用范围非常广泛。

它可以用于分析材料的弹性、塑性、断裂等力学性能，也可以用于研究材料的疲劳、蠕变、冷却等行为。

在工程实践中，能量法可以应用于各种材料的设计、优化和性能评估，如金属材料、复合材料、土木工程材料等。

通过能量法分析，可以更好地理解材料的力学行为，为工程设计和材料选型提供科学依据。

最后，我们来介绍一下材料力学能量法的计算方法。

能量法的计算方法主要包括弹性能量法、弹塑性能量法和断裂能量法等。

在应用中，需要根据具体问题选择合适的能量方法，并结合数值计算和实验验证进行分析。

在计算过程中，需要考虑材料的本构关系、加载条件和边界约束等因素，以确保计算结果的准确性和可靠性。

综上所述，材料力学能量法是一种重要的力学分析方法，具有广泛的应用前景和深远的理论意义。

通过能量法分析，可以更好地理解材料的力学性能和行为，为工程实践提供科学依据。

在今后的研究和应用中，我们需要进一步深入理解能量法的基本原理和计算方法，推动其在材料力学领域的发展和应用。

材料力学第十三章__能量方法


解：由节点B的静力平衡 条件求得各杆内力:
NAB5 4P , NBC4 3P
构架的变形能等于 AB和 BC两杆变形能之和:
UUAB UBC N 2A 2ElB AA B N 2B 2ElC BA C
U 1.9P2l 2EA
1.9P2l UWPB
2EA
2
B

1.9Pl EA
的中点挠度 f 5q l 4
。求梁在中点
384 E I
集中力P作用下 (见图)，梁的挠曲线与梁变
形前的轴线所围成的面积 。


q P 5ql4 5Pl4
384E I
384E I
例：长为 l、直径为d的圆杆受一对横向压力
P作用，求此杆长度的伸长量。已知E和μ。
解：由位移互等定 ，理 ①知 杆的伸长量 ②杆直径的减小量
i

U C Pi
性弹性杆件或杆系在 外力Pi作用点处与Pi相 应的位移δi
在线弹性杆件或杆系U=UC
卡氏第二定理 i

U Pi
线弹性杆件或杆系的应变能U对
于作用在该杆件或杆系上的某一
外力之变化率就等于该力作用点
沿作用线方向的位移。
(1)
轴向拉伸和压缩
i

l
N(x)N(x)dx EA P
M2(x) dx
l 2EI(x)
QS Z
bI Z
矩形：
s
6 5
U

l
s Q 2 dx
2 GA
圆形： 薄壁管：
s s

10 9 2 .0
U弯

l
22
1 (Px)2dxP2l3

材料力学(配浙大 刘鸿文第五版)13 能量法

C
F1
b
F2
P21
杭州电子科技大学机械设计与车辆工程研究所
材料力学
（1）先在 B 截面加 F1,然后在 C 截面加 F2
第十三章
能量方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（a）在 B 截面加 F1, B截面的位移为
B1
外力作功为
F1a EA
2 1
A
B
a
1 F a W1 F1δB1 2 2 EA
（b）再在C上加 F2 C截面的位移为 C 2 F2 作功为
F3
C
B
F1
1
A
2
C1,C2,C3 是比例常数.
在比例加载时 F1/F2 和 F3/F2 也是常数
2 与 F2 之间的关系是线性的.
同理,1 与 F1, 3 与F3 之间的关系也是线性的.
P16
杭州电子科技大学机械设计与车辆工程研究所
材料力学
第十三章
能量方法
3
F2
B B'
Fi
F3
C Fi
第十三章
能量方法
1 u ε ηγ 2
y
G 2 2 uε γ 2 2G
等直圆杆扭转时应变能的计算
a

d
Vε u εdV u εdAdx
V l A

x
G 2 uε γ 2 2G
2
P13
b z dx
dx

杭州电子科技大学机械设计与车辆工程研究所
材料力学
P22
F1
C
b
F22 (a b) 1 W2 F2 C 2 2 2 EA
杭州电子科技大学机械设计与车辆工程研究所
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1 1 V F2 22 F111 F2 21 2 2
功的互等定理:
F1 12 F2 21
即：F1 力在由F2力引起的位移上所作的功，等于F2 力在由F1力引起的位移上所作的功。
若F1 = F2 ，则得
位移互等定理:
12 21
即： F2引起的F1 作用点沿 F1方向的位移，等于同 样大小的力F1 引起的F2作用点沿 F2方向的位移。
( F1 F2 ) L F1 L F2 L F1F2 L V 2 EA 2 EA 2 EA EA
2
2
2
L
2） F1 单独作用下：
F1 F2
F1 L V 1 2 EA
3）F2 单独作用下：
F22 L V 2 2 EA
2
L F1 F2
L
V1 V 2 V
证毕。
b Px1 l ( 0 ≤x1 ≤ a) a CB段： M(x2 ) = RB x2 = Px2 l ( 0 ≤x2≤ b) 2
AC段：M(x1 ) = RA x1 =


13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。 比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
P12 l1 P1作功为 V 3 2 EA
（5）应变能是可逆的。(跳板跳水)
总功仍为上述表达式。
直接利用功能原理求位移的实例
利用能量法求解时，所列 例 求简支梁外力P作用点C的挠度。 弯矩方程应便于求解。
解：
A x1 RA l a
P
C
1)求反力 2) 弯矩方程
b
x2
B RB
b RA P l
说明：
(1) 互等定理只适用于线弹性结构；
(2) 互等定理中的力与位移应理解为广义力和相 应的广义位移。则位移互等定理中的相同大小的 力为数值相同，位移相同也仅代表数值相同，量 纲对应。
（3）这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下, 只是由变形引起的位移.
例：求图示简支梁C截面的挠度。
F
wC1
应变能远远小于弯曲应变能。
应变能的特点：
（1）基本变形的应变能通式：
2 内 力 l 1 V W F 2刚度 2
F-广义力泛指力或力偶矩；
-广义位移为线位移或角位移；
（2）应变能的数值恒为正值； （3）应变能为载荷的二次函数，同种类型荷载的变形能不 能叠加。
证明 1） F1 , F2 共同作用下：
DFi i F1D1 F2 D 2 Fi D i
所以：DV

DFi i
DV i DFi
卡氏第二定理
DFi 0
V i Fi
变形能对任一载荷Fi 的偏导数，等于Fi作用点沿Fi方向的位移
举例
F A 利用功能原理—— 2 L ( Fx) dx F 2 L3 1 1 : V W FwA 0 2 EI 6 EI 2 FL3 V FL3 V W wA wA 3EI
2
总功为： 先施加P2
Pl V P1 l1 P1 2 1 P2 ( l1 l 2 ) EA 2 EA 2 EA P1 l1 P2 2 ( l1 l2 ) V1 再施加P1 AB又伸长 Dl AB EA 2 EA
2
P1l1 P2保持不变，作功为 V 2 P2 EA
B2
解：由功的互等定理 F wC1 M B 2
Fl 得：F wC1 M 16E I Ml 由此得：wC1 16E I
2
2
例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移D C 。
wC1
F
B2
解：由功的互等定理 F wC1 M B 2
l F 2 得：F wC1 M 2E I 2 Ml 由此得： wC1 8E I
22Leabharlann 3例题：悬臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩 Me作用。设EI为常数，试求梁的应变能。
解： B F A
⑴ 弯矩方程
M ( x) M e Fx
⑵ 变形能
Me
L
M 2 ( x) 1 V dx ( M e Fx) 2 dx 2 EI 2 EI L L M e2 L M e FL2 F 2 L2 2 EI 2 EI 6 EI
1 W M 2
1 M 2l V M 2 2 EI
w =


1 dV M ( x )d 2
M(x) dθ = EI dx
d
M ( x) dx EI
理论证明：
M 2 ( x )dx dV 2 EI 剪力对变形的影响很小，剪切
V
l
M 2 ( x )dx 2 EI
外力功W＝物体所储存的应变能Vε 。
3、线弹性体（线弹性结构）
（1）材料服从胡克定律。 （2）变形微小，各力的作用互不影响。
应用
叠加原理
的条件
（3）任一点的位移与载荷呈线性齐次关系。
（4）线弹性结构受到充分约束，在任何外力作用下没有
刚体位移。
即：位移是由变形引起。
讨论对象：线弹性体。
§13-2 杆件变形能计算
（4）弹性体中的应变能只决定于外力和位移的最终值，与加 载的次序无关；
P1
A
P2
先施加P1 再施加P2
P12 l1 V1 2 EA
l1
B
l2
C
AB又伸长 Dl AB
P2 l1 EA
P2l1 P1保持不变，作功为 V 2 P1 EA
P2 2 ( l1 l2 ) P2作功为 V 3 2 EA
求位移的普遍方法
2．不受材料和形状限制，适用于线弹性、非线性和塑性
问题；（只讨论线弹性问题）
3．可求解静定与超静定问题；
2、应变能和功能原理
应变能：在外力作用下，物体因产生弹性变形而储存的能 量称为弹性应变能，也称变形能。
功能原理
物体受力产生弹性变形时，外力作用点将沿力的方向产生位 移，因而外力要作功，若不计动能的变化和其它的能量损失。
a RB P l
3) 由功能原理
2 b a 1 M 2 ( x )dx 1 a b PyC = 0 Px1 dx1 + 0 Px2 dx2 l 2 2 EI 2EI l l 2 2 2 P a b P2 2 3 2 3 b a a b 分析： V W 1 Py 2 6 EIl C 6 EIl 2 2 Pa b 2 yC M 2( x )dx 3 EIl 结果大于零，说明位移的方向与力的方向一致。 V l 2 EI 只适用于结构上有一个载荷，要求载荷作用点沿载荷方向的位移。
Dl
x
dx
略去高阶微量，认为dx只承受FN (x)
q(x)· dx
FN(x)
dx
FN(x)＋dFN (x)
FN 2 ( x )dx V dV l l 2 EA
应变能密度（变形比能）
1 2
2、扭转
加载过程中始终有 me
me T=me

l me 静载 外力功

Tl GI p
即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘
积的二分之一的总和。
克拉贝依隆原理
对于组合变形
M ( x)
FN ( x)
Fs(x)
M ( x)
FN ( x)
T ( x)
T ( x)Fs(x)
2 FN (x) T 2 (x) M 2 (x) kFs 2 (x) Vε dx dx dx dx l 2 EA(x ) l 2GI (x) l 2 EI (x) l 2GA(x) p
1、拉压
P=FN 静载P l q(x) P 加载过程中始终有 P P F l Dl N
EA
P
Dl
Dl 1 外力功 W PDl 2 2 1 1 FN l 应变能 V P Dl FN Dl 2 2 2 EA
1 FN 2 ( x )dx dV FN ( x )d Dl 2 2 EA
L wA=？
y z
变形能的应用
1.计算变形能 2.利用功能原理计算变形
例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功能原理
求自由端B的挠度。
F
A
B
解： M ( x) - F x
l
x
1 W F wB 2
M ( x) F l V dx 2E I 6EI l 3 由V W，得 wB Fl 3EI
1 W me 2


T 2l 1 1 应变能 V me T 2GI P 2 2
当扭矩随截面位置变化时
T 2 ( x )dx V l 2GI p
3、弯曲
纯弯曲 M=m 加载过程中始终有

m m
Ml EI
m 静载 外力功

l 应变能 横力弯曲 M=M(x) P2 P1
§13-4 互等定理
F1
1
2
F2
F1
11
21
i j
荷载作用点
•位移发生点
F2
12
22
F1
11
21
F2
12
22
先作用F1，后作用F2，外力所作的功： 1 1 V F111 F2 22 F112 2 2 先作用F2，后作用F1，外力所作的功：
对于双向弯曲，弯矩沿形心主轴分解 , 若杆件及杆系的变形是以弯曲变形为主的，因轴力和剪力远小 k是用来修正横力弯曲时切应力不沿截面均匀分布的修正系数， 2 2 2 于弯矩对变形的影响，故在计算这类杆件的变形时，通常不计轴力 M x M M x y z x 它的数值和截面形状有关。矩形 k=6/5；圆形 dx 。 换成 l 2 EIk=10/9 l 2 EI dx 和剪力的影响。l 2 EI dx