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B F P CF P(a)工程力学（静力学与材料力学）习题解答第14章 材料力学中的能量法14－1 线弹性材料悬臂梁承受载荷如图所示，εV 为梁的总应变能，B w 、C w 分别为点B 、C 的挠度。
关于偏导数P ε/F V ∂∂的含义，有下列四种论述，试判断哪一个是正确的。
（A ）C w ； （B ）C w 2； （C ）B w +C w ； （D ）C w 21。
知识点：应变能，卡氏定理 难度：难 解答：正确答案是 C 。
解：线性结构的外力功，由克拉贝依隆原理C C B B w F w F W P P 2121+=而 C C B B w F w F W V P P ε2121+==而卡氏第二定理B B w F V =∂∂P ε，C C w F V =∂∂P εC B C B C C B B w w F F F V F F F V F F F V F F F V F V +=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂PPP εP P P εP P P εP P P εP ε 14－2 线弹性材料悬臂梁承受载荷如图所示，其中P PF F ='，εV 为梁的总应变能，AB V ε和BC V ε分别为AB 和BC 段梁的应变能，B w 、C w 分别为点B 、C 的挠度。
关于这些量之间的关系有下列四个等式，试判断哪一个是正确的。
（A ）C B w w F V +=∂∂P ε； （B ）C B w w F V-=∂∂P ε；（C ）B AB w F V =∂∂P ε，C BC w F V =∂∂P ε； （D ）B AB w F V =∂∂P ε，C w F V=∂∂Pε。
知识点：应变能，卡氏定理 难度：难 解答：正确答案是 A 。
解：沿各自力方向的线位移为正：EIl F EI l F EI l F l EI l F EI l F EI l F w C 48114853)2(2)2(3)2(33P 3P 3P 2P 3P 3P =-'=⋅--'=（↓）习题14-1图习题14-2图C'P F 1x 2x AB2l 2l xPF w(a)EIl F EI l F EI l F EI ll F EI l F EI l F w B 16485242)2)(2(3)2(3)2(3P 3P 3P 2P 3P 3P ='+-='+'+-=（↓） 1P1)(x F x M BC '-=，2P 2P 2)2()(x F x lF x M AB ++'-= EIl F EI x x F EI x M V ll BC BC 48)(2d )(2d 32P 20121P2012ε'='-==⎰⎰EIl F EI l F F EI l F x EI x F x lF EI x M V l l AB AB 4848548)(7d 2])2([2d 32P 3P P 32P 20222P 2P2022ε+'-'=⋅++'-==⎰⎰EI l F EI l F F EI l F V V V AB BC 484856)(32P 3P P 32Pεεε+'-'=+= C B w w EIl F EI l F EI l F EI l F F V F V F F F V F F F V F V +='-+-'=∂∂+'∂∂=∂∂⋅∂∂+∂'∂⋅'∂∂=∂∂4852448533P 3P 3P 3PP εP εP P P εP P P εP ε14－3 线弹性材料悬臂梁承受载荷如图所示，εV 为梁的总应变能。
材料力学能量法知识点总结材料力学是工程力学的重要分支之一，研究材料在受力作用下的变形与破坏行为。
能量法是材料力学的基础理论之一，通过利用能量守恒原理，分析和求解材料的力学问题，具有重要的理论和实践价值。
本文将对材料力学能量法的基本概念、原理和应用进行总结。
1. 弹性势能与弹性应变能材料在受力作用下产生的变形能够存储为弹性势能，其中最常用的势能是弹性应变能。
弹性应变能是由于材料的弹性变形而储存的能量，可表示为弹性应变能密度。
2. 弹性势能的计算方法弹性应变能的计算方法主要有两种：一是通过力学平衡方程和材料力学性质的函数关系进行积分计算；二是通过应力-应变关系和应变能密度公式进行计算。
3. 弹性势能的应用弹性势能的应用涉及材料的变形、破裂、接头设计等问题。
通过计算弹性势能可以判断材料是否会发生破裂，并可用于材料的优化设计。
4. 塑性势能与塑性应变能材料在塑性变形时会产生塑性势能，塑性势能是由于材料的塑性变形而储存的能量。
塑性应变能可表示为塑性应变能密度。
5. 塑性势能的计算方法塑性势能的计算方法适用于材料的非弹性变形过程，常用的方法有等效应力法和Mises准则。
通过计算塑性势能可以估计材料在受力作用下的变形程度和破坏形式。
6. 塑性势能的应用塑性势能的应用主要涉及材料的变形、强度分析和塑性成形工艺等问题。
通过计算塑性势能可以评估材料的强度和变形能力，并可用于材料的成形优化。
7. 总势能与变分原理材料受到多种因素的叠加作用时，总势能是各种势能的代数和。
变分原理是能量法的基本原理之一，通过对总势能进行变分，得到材料力学问题的基本方程。
8. 总势能的应用总势能的应用主要涉及材料的稳定性分析和振动问题。
通过计算总势能可以判断材料的稳定性，预测振动频率和振动模式。
9. 耗散能与损伤模型材料在受力作用下会发生能量损耗，产生耗散能。
通过建立耗散能与应变的关系，可以描述材料的损伤行为，并建立损伤模型进行应力-应变分析。
12 能量法
1、外力的功、应变能、比能等的有关概念，
外力的功
应变能
比能
2、基本变形杆件应变能计算和组合变形杆件应变能计算对于线弹范围内的等直拉压杆的应变能
梁横力弯曲的剪切应变能为（常忽略）
当扭矩Mt沿杆轴变化时，圆轴的扭转应变能
横力弯曲时，不计剪切能，，弯矩沿截面变化，梁的应变能为
3、功能原理、功的互等定理和位移互等定理
4、余能概念
5、卡氏第一和第二定理
解题范例
12.1具有中间铰的线弹性材料梁，受力如图12.1（a）所示，两端梁的弯曲刚度均为EI。
用莫尔法确定中间铰两侧界面的相对转角有下列四种分段方法，使判断哪一种是正确的。
（A）按图（b）所示施加一对单位力偶，积分时不必分段；
（B）按图（b）所示施加一对单位力偶，积分时必须分段；
（C）按图（c）所示施加一对单位力偶，积分时不必分段；
（D）按图（c）所示施加一对单位力偶，积分时必须分段；
图12.1
答案：（A）
12.2图12.2示简支梁中点只承受集中力F时，最大转角为，应变能为；中点只承受集中力偶M时,最大挠度是、梁的应变能为。
当同时在中点施加F和M时，梁的应变能有以下四种答案，试判断哪一种是正确的。
（A）+；
（B）++M；
（C）++F；
（D）++（ M+F）；
图12.2
[解] 因为对于线性弹性结构，先加F时梁内的应变能为：
=F f F
在加M时，由于反对称载荷，梁中点的挠度仍是f F，所以梁内应变能将增加：
M=
当同时施加F和M时的应变能，等于先加F再加M时的应变能，即
+
故答案（A）正确。
12.3 用卡氏第二定理求图12.3所示刚架A截面的位移和B截面的转角。
略去剪力Q和轴力N的影响，EⅠ为已知.
L
L
Ⅰ
2Ⅰ
图 12.3
[解] （1）A截面的位移
AB段弯矩：M(x)=-Px （0x）
∂M(x) /∂P=-x
在A 处虚加一水平力向右的力Q,之后，再令其为0.那么,BC段弯矩：M(y)=-2P- Q+(P+Q)y
∂M(y) /∂P=-2+y ∂M(y) /∂ Q=-+y
A截面的竖直位移:
A截面的水平位移:
积分，令Q=0得
(2)B截面的转角
在B处虚加一力偶M B,
AB段弯矩：M(x)=-Px （0x<）
BC段弯矩：
M(y)=-2P-+P y （0<y<）
∂M(x) /∂M B=0 ∂M(y) /∂M B =-1
习题解析
12.1用卡氏第二定理求图12.4示的A截面的位移和B截面的转角。
略去剪力Q和轴力N的影响，EⅠ为已知。
Ⅰ
Ⅰ
2Ⅰ
图12.4
[解] （1）A截面的位移
在A点虚加一向下的力F，支反力
（L为AB和AD的长度）
AB段弯矩： M1=0
∂ M1 /∂F=0
AD段弯矩：M2(x)=
∂M2(x) /∂F=x
CD段弯矩：M3(y)=P y
∂M3(y) /∂F=0
A截面的竖直位移:
积分，令F=0得
求A截面的水平位移时， 在A 处虚加一水平力向右的力Q, 再令其为0.那么, 支反力
（L为AB和AD的长度）
AB段弯矩： M1=0
∂ M1 /∂Q=0
AD段弯矩：M2(x)=
∂M2(x) /∂Q=x
CD段弯矩：M3(y)=（P+Q）y
∂M3(y) /∂Q=y
A截面的水平位移
积分，令Q=0得
(2) B截面的转角
在B处虚加一顺时针的力偶M B,积分，并令其为零。
支反力
（L为AB和AD的长度）
AB段弯矩： M1=M B
∂ M1 /∂M B=1
AD段弯矩：M2(x)=
∂M2(x) /∂M B =x/L
CD段弯矩：M3(y)=P y
∂M3(y) /∂M B =0
B截面的转角
积分，令M B =0得
12.2用卡氏第二定理求图12.5 示C点两侧的相对角位移。
各杆EI相同，且为已知。
图12.5
[解]
（1）在C处虚加两个力偶M图12.6 示（其后并令其为0），由刚架的
整体平衡条件确定支反力。
由∑M A=0和∑M B=0得: V B =P, V A =-
P，P = H A+H B
M
H A
V B
H B
V A
图12.6
再取C以左的部分为研究对象， 由∑M C=0得: H B=p/2－M/L，H A=P/2
+M/L
（2）各段的弯矩
AD段: M1(y)=(p/2+M/L)y ∂M1(x) /∂M=y/L
DC段: M2(x)= -px+(p/2+M/L)L ∂M2(x) ∂M=1 (0≤x≤L/2)
CE段: M3(x)=- (p/2－M/L)L +px ∂M3(x)∂ M=1 (0≤x≤L/2)
BE段: M4(y)= (p/2－M/L)y ，∂M(y)/ ∂M=-y/L
（3）C点两侧的相对角位移
积分，令M =0得：
10.3用卡氏第二定理求解图10.6示的超静定刚架,已知各杆EI相同。
不计剪力和轴力的影响。
图10.6
[解] 设A的支座反力为H A和V A,
AB段: M(x)=H A x∂M(x) /∂H A=x ∂M(x) /∂V A=0 (0≤x≤4)
BC段:M(x)=4H A－V A x+2 x2 (0≤x≤7)
∂M(x) /∂ H A=4 ∂M(x) /∂ V A=-x
由∆AH=0和 ∆AV=0 得：=0
∫04 H A x²dx+∫07 4（4 H A－V A x +2 x2）dx=0
=0
∫07[-x(4H A－V A x+2 x2)] dx=0
可解得H A和V A.再由整体平衡条件确定C的支座反力.
12.4 轴线为水平面内四分之一圆周曲杆,如图12.7所示,在自由端作用竖向荷载P ,设EI和GI P已知,求截面B在竖直方向的位移.
图 12.7
[解] 任意截面的弯矩方程
M(θ)=-RPsinθ ∂M(θ) /∂P=-Rsinθ (0≤θ<π/2)
扭矩方程
Mn(θ)=-RP(1-cosθ) ∂Mn(θ) /∂P=-R(1-cosθ) (0≤θ<π/2)
B截面竖直方向的位移
(↓)。
