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11能量法讲解

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能量法

能量法

1
l F1 V c 2 vc (lA) n n (2 A) K (n 1) cos
n 1
§11－3 卡氏定理 1.卡氏第一定理
设图中材料为非线性弹性， 由于应变能只与 最后荷载有关， 而与加载顺序无 关。不妨按比例 方式加载，从而 n 1 有
1 1 2 3 n
0
1
O
d

1
(c)
若取边长分别为dx、dy、dz 的单元体，则此 单元体的应变能为：
d V v d x d y d z
整个拉杆的应变能为：
V vd V vv d V
(此为由应变能密度计算应变能的表达式)
特别地，在拉杆整个体 积内vε 为常量
所以有
V vV v Al
§11－1 概 述
1.能量法： 利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可变形 固体的位移、变形和内力等的方法。
2.能量法的应用范围：
（1）线弹性体；非线性弹性体
（2）静定问题；超静定问题
（3）是有限单元法的重要基础
§11－2 应变能余能
1.应变能 (1) 线弹性体的各基本变形形式下的应变能表达 式(参见上册) 2 FNl V ＝W＝ 拉(压)杆 2 EA 圆轴扭转 梁弯曲
v 0
1
2 1 1 2 d 1 1 E 1 1 2 2 2E
同理，可得纯剪时的应变能密度v为：
v 0

2 1 1 2 1 d 1 1 G 1 1 2 2 2G
例11-1 弯曲刚度为EI的简支梁受均布荷载q作用， 如图所示。试求梁内的应变能 。
若取各边长为单位长的单元体，则作用于上、下 F = 11 = 表面上的力为: ＝ 1＝ 其伸长量为： 则作用于此单元体上的外力功为：

工程力学 第十一章-能量法

工程力学 第十一章-能量法

L 2EI
M (x) P x ;(0 x a) 2
在应用对称性，得：
a
U 2
1
( P x)2 dx P2a3
0 2EI 2
12 EI
W
U
fC
Pa 3 6EI
思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？ q
能量法
例2 弯曲刚度为EI的简支梁受均布荷载q作用，如图所 示。试求梁内的应变能 。
q
A
w
能量法
注意：•卡氏第一定理和余能定理既适合于线弹性体， 也适合于非线性弹性体，而卡氏第二定理 作为 余能定理的特例，仅适合于线弹性体。
•所导出的位移是加力点沿加力方向的位移。
•当所求位移处无相应广义力时 ，可在该处 “虚加”上广义力，将其看成已知外力，反映 在反力和内力方程中，待求过偏导后，再令该 “虚加”外力为0。
材料相同，其弹性模量为E，且均处于线弹性范围内。
试按卡氏第一定理，求结点B的水平和铅垂位移。
l
F
1
A
B
A
45O
B B'
C
(a)
C
(b)
解： 设结点B的水平和铅垂位移分别为1和2，
先假设结点B只发生水平位移1 （图b）
则： AB 1
BC 1cos 450
2
2 1
能量法
同理，结点B只发生铅垂位移2（图c）
A
B
2
B''
则：
C
AB 0
(c)
BC 2 sin 450
2
2 2
当水平位移与铅垂位移同时发生时，则有（叠加）
AB 1
BC
2 2
1
2

能量法

能量法
线弹性条件下： 1 1 1 u x x y y z z 2 2 2 1 1 1 xy xy yz yz yz yz 2 2 2
3、应变能
U udV
V
三、杆件的应变能 1、单一变形
内力 U dx 0 2 刚度
l
第三节
余功
余能
余比能
P 1
余功：位移对荷载的积分
W * dP
0
余比能：应变对应力的积分 u* 余能：即余应变能， 余应变比能对体积的积分

1
0
d
U * u * dV
V
线弹性范围内
W* W
U* U
第四节
卡氏定理
一、卡氏第一定理
U Pi i
应变能对某集中力Pi作用点上该力作用方向 下的位移的偏导数等于该作用力。
能量法
第一节
概述
应变能：变形固体处于完全弹性阶段，由变 形而储存的能量。 能量法：利用外力作功与应变能之间的关系，求 解变形体的内力、应力、位移的方法。
W U
第二节
方法（两种）：
应变能的计算
1、通过外力作功W计算 2、用应力、应变或内力计算
一、外力作功
1、外力对刚体作功(复习)
（1）常力(集中力)·直线运动
W F S cos
（2） 变力· 曲线运动
W
S 0 w

S 0 Fds cos
（3）力偶作功：
W Md
0 pd
2、单个荷载对变形固体作功
W
对线弹性体(准静态)
p k
2 k W 0 pd 0 kd 2
1 W P 2

11-磁场-u解读

11-磁场-u解读

d 1 o r S 2 2 1 2 1 1 We E d E Sd E EV DEV 2 d 2 2 2
电场占有的全部空间
2
1 We DEV 2
we
E
电场能量密度—电场中每单位体积中的静电能（电场能）
We 1 1 we DE D E V 2 2
金属
ρ 107 Ω m U 实验给出 dR dl 1 dl S S S 电阻率 dl 电导率 dl 一段有限长导体总电阻—— R S L L d l 2a R dR 2 a 0 S dl L b a r a dl dr L 斜率 ba L l r l 2a 2b dl b L l) dr 如果 (11 dR 2 2 ar b a r S dl
dl l o

r R
由于每个电流元产生的磁场元方向一致
B P dB P
o I dl sin
4π

1

P
r2
I
E .P
l ctg dl R csc 2 d R 2 R 1 sin 又 sin π 2 2 r r R o I o I cos1 cos 2 方向 … B sin d 17 4πR 4πR
E

S 电流强度的“正负”——正电荷的流动方向为电流的正方 I ( x , y , z ,t ) 向 ρ ρ( x , y , z ) 稳恒电流 8 当 I I ( x, y, z )
2.电流密度
E E( r )
矢量函数？ 电流场的分布
为表示电流在各点流动量的大小和方向，引入

材料力学(单辉祖)第十三章 能量法

材料力学(单辉祖)第十三章 能量法

第十三章能量法主讲人：张能辉1引言2-研究变形体方法：微体法，能量法引言微体法几何关系i ij u ~ε微体法静力学关系物理关系ijij εσ~平衡ij σd v ⇓V控制方程数学手段ij σ边界条件初值条件ijε3-引言能量法1P P 1P 外力作用线弹性体恢复22P 变形效应外力卸除原形i P →ij ij εσ~Hooke’s Law Lineariij u ~ε线弹性体f广义载荷δ广义位移δ∝f 引进比例常数δk f =下面看能量如何写?与外力有何关系?4由能量守恒WV =ε(外力功全部转化成应变能)P26488主平面微体应变能(P264 8-8)1ii εσυε2=应变能密度i =1,2,3)(,,)6外力功与应变能杆件应变能微段d x 储存应变能∫∫⋅==dVAdAdx dV dV εεευυdAxx体积分化为面积分d x dV整个梁存储应变能积分思想: 微段的叠加==dAdx dV V εεευ变∫∫∫AlV822 EA21 2NFdx EAd ml2ρ2p外力功与应变能弯曲(忽略切应力)21zM 21zM 2zEI ευ=2z lV dxEI ε=∫Conclusion外力功与应变能应变能特点C1: 与载荷终值有关，而与加载次序无关M(a) M 、F 同时作用(b)ABF (b)先F 后M (c) 先M 后F 三种加载历史等效?FM F M M FM M M M M =+=+19互等定理23互等定理讨论2F 独立加第I 组力系F 123411121:0;0;Δ→Δ→Δ先加第II 组力系，再加第I 组力系3F 2F 21110;0:Δ′→Δ′→Δ12344F ????;21211111Δ′=ΔΔ′=Δ问1F F =k Δ保证相等27互等定理线弹性体变形能特点：大小取决于加载终值而与加载次序无关21V V =414313222121Δ+Δ=Δ+Δ⇒F F F F 21F F I 组力系12I 组力系作用点43F F II 组力系，3，4力点II 组力系作用点2212,ΔΔII 组力系在I 组力系作用点引起的沿I 组力系方向的位移4131,ΔΔI 组力系在II 组力系作用点引起的沿II 组力系方向的位移28互等定理等定功的互等定理第I 组力系在第II 组力系引起位移上所做功等于第II 组力系在第I 组力系引起位移上所做功简化：If F 1---I; F 2---IIthen F =F FF =2then F 1Δ12= F 2Δ2112FF =1If F 1= F 2, then Δ12=Δ21位移互等定理弹在对于线弹性体，若在1，2处分别作用两个大小相等的载荷，则点1处由于点2处载荷引起的位移Δ12等于处由点点2处由于点1处载荷引起的位移Δ2129Example-1实测w 1 ,w 2 ,w 3方案：1F3211.三点装位移计浪费2.一个位移计逐点测费工1新方案(位移互等定理)F323.自由端加位移计逐点加载不影响原有力系30单位载荷法32Example-1E ample1qABlx已知：梁EI=const已知梁求：w=?θA=?A38Example-2M aCB B1x x FAa 2已知：刚架M B =F a 求：Δcy =?40E l3 Example-3BA1αβ2CF已知：桁架EA, l1l2? Δ?求: Δcx=? Δcy=?43Example-4 (P20 12-5)F FR已知：小曲率曲梁AB已知：小曲率曲梁，轴线曲率半径为R求：截面A和B的相对转角46E l5(P56)Example-5 (P56)F OA BϕCA B已知：小曲率曲梁，轴线曲率半径为R求求：A的铅垂位移48余能与卡氏第二定理50。

能量法

能量法

11 X 1 1 p 0 11 ( X1 ) 11 X1 11 X 1 1P 0
1P , 11
MP
l
X1 1
M1
4、系数与自由项
M 1M P ql4 1P dx EI 8 EI
5、解方程
M 1M 1 l3 11 dx EI 3 EI
求C点挠度。
M ( x)M ( x) 莫尔定理 dx EI （莫尔积分） l M ( x)M ( x) dx EI l
对于组合变形： FN ( x)FN ( x) T ( x)T ( x) M ( x)M ( x) dx dx dx EA GI p EI l l l
M 1 m
6
6
M 1M P 702 dx EI EI
2 P
15
M 2M P 520 dx EI EI
X2 1
M 2 m

4、 解方程
135X 1 144X 2 520 0.......... ....2
X 1 2.67 kN X 2 1.11kN
能量法
能量法
一 外力功 二 变形能
三 利用功能原理计算位移
四 求位移的卡氏定理
五 单位载荷法 莫尔积分
六 力法
能量法/一 外力功 一 外力功 定义:
任何弹性体在外力作用下都要发生变
形。弹性体在变形过程中,外力沿其作用线
方向所作的功,称为外力功。
能量法/一 外力功
计算
1、常力作功
若体系上受到一个大小不变的常力P的作用,然
中不能使用。只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功
时，才可应用。 4 变形能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中，各杆

11 机械能与内能的相互转化教案

11 机械能与内能的相互转化-教案第一章：引言1.1 教学目标让学生了解机械能和内能的概念。

让学生了解机械能和内能之间可以相互转化。

1.2 教学内容机械能和内能的定义。

机械能和内能的相互转化现象。

1.3 教学方法讲授法：讲解机械能和内能的概念及相互转化现象。

互动法：提问学生关于机械能和内能的知识，引导学生思考。

第二章：机械能的转化2.1 教学目标让学生了解机械能可以转化为其他形式的能量。

2.2 教学内容机械能转化为其他形式的能量，如热能、电能等。

实例分析：机械能转化为内能的实例，如摩擦生热现象。

2.3 教学方法讲授法：讲解机械能转化的原理和实例。

实验法：进行摩擦生热实验，让学生观察机械能转化为内能的现象。

第三章：内能的转化3.1 教学目标让学生了解内能可以转化为机械能。

3.2 教学内容内能转化为机械能的原理和实例，如热机的工作原理。

3.3 教学方法讲授法：讲解内能转化为机械能的原理和实例。

实验法：进行热机实验，让学生观察内能转化为机械能的现象。

第四章：能量守恒定律4.1 教学目标让学生了解能量守恒定律的内容和意义。

4.2 教学内容能量守恒定律的表述和解释。

能量守恒定律在机械能和内能转化中的应用。

4.3 教学方法讲授法：讲解能量守恒定律的内容和应用。

互动法：提问学生关于能量守恒定律的知识，引导学生思考。

第五章：总结与拓展5.1 教学目标让学生总结机械能和内能相互转化的规律。

激发学生对机械能和内能相互转化的进一步探究。

5.2 教学内容回顾本章内容，总结机械能和内能相互转化的规律。

提供一些拓展阅读材料和思考题，供学生进一步学习。

5.3 教学方法讲授法：回顾本章内容，总结机械能和内能相互转化的规律。

自主学习法：学生自主阅读拓展阅读材料，完成思考题。

第六章：生活中的机械能与内能转化6.1 教学目标让学生了解机械能与内能在日常生活中的应用。

培养学生观察和分析生活中的能量转化现象。

6.2 教学内容分析日常生活中的机械能与内能转化实例，如洗衣机、汽车等。

十能量方法专题培训


PL2
2 EI
A 2 P E L I 2 “负号”阐明 A与所加广义力MA反向。( )
22
[例6 ] 构造如图，用卡氏定理求梁旳挠曲线。
x A
Px P 解：求挠曲线——任意点旳挠度 f（x）
BC
没有与f（x）相相应旳力，加之。
L x1
O
x
①求内力 M AB ( x1) P(L x1) Px ( x x1)
其变形能是否为：
U
P12 L1
P2 2
L2
?
2EA 2EA
二、试述怎样用卡氏定理求图示梁自由端旳挠度。
三、刚架受力如图，已知EI为常数，试用莫尔 定理求A、B两点间旳相对位移（忽视CD段旳拉伸变 形）。
30
2 dx dx 解： AB
a M x1 M 0 x1
a / 2 M x2 M 0 x2
M
0
(
x)
x1 2a
qx12 2
BC:
M
(
x)qax2
qx22 2
M0(x)
x2 2a
c a M ( x)M 0 ( x) dx
0( AB )
EI
a M ( x)M 0 ( x) dx
0( BC )
EI
1 EI
a
(qax1
0
qx12 ) x1 2 2a
dx1
1 EI
a 0
(qax2
qx22 ) 2
1.轴向拉压杆旳变形能计算：
U
L
N 2 ( x) dx 2EA
n
或U
N
2 i
Li
i1 2Ei Ai
比能 : u 1U
M

材料力学-第9章 能量法


材料力学里的虚功原理： 变形体受力处于平衡状态时，外力在虚位移上所作的功 （外力虚功）等于内力在虚变形上作的功（内力虚功）
外力q在虚位移 上作功
q

=
应力 在虚应变 上作用 * 若外力虚功不等于内力虚功，则外力作功未完全转化为结构 应变能，受力不平衡
材料力学－第9章 能量法
§9-3 虚功原理、内力虚功
材料力学－第9章 能量法
§9-1 功与应变能的基本概念
轴向拉压
dx
对于拉伸和压缩杆件，微段的应变能为
FN
FN
dVε
1 FN d 2
Vε＝
dx+dδ
l 1 l 1 l 1 F 1 FN d FN dx FN dx FN N dx 0 2 0 2 0 2 0 2 E EA l
材料力学－第9章 能量法
§9-2 互等定理
思考题：
根据功的互等定理和位移互等定理对下列结构完成等式
?=?
材料力学－第9章 能量法
§9-2 互等定理
思考题：
根据功的互等定理和位移互等定理对下列结构完成等式
?=?
材料力学－第9章 能量法
§9-2 互等定理
思考题：
根据功的互等定理和位移互等定理对下列结构完成等式
?=?
材料力学－第9章 能量法
§9-2 互等定理
例题
A
Me
B
l
图示静不定梁，承受弯矩作用。利用功的互等 定理确定B端的支反力。设弯曲刚度EI为常数。
材料力学－第9章 能量法
§9-2 互定理
解：
Me A B FR M e
将支座B解除，代以支反力FR
。
将力偶Me和支反力FR作为一组力， 另外施加力F作为第二组力

材料力学--能量法

1、求内力
F
R
A
FA

R
M n
T
t
弯 矩:M () FR sin
扭矩:T () FR(1 cos) 12
2、变形能：
弯 矩:M () FR sin
扭矩:T () FR(1 cos)
U T 2 (x) dx M 2 (x) dx
l 2GI P
l 2EI
U1 U2
U U1 U2 F1 l2 U1 U2 F2 l1
结论：应变能与加载次序无关。
10
[例11-1-1] 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。
F
解：外力功等于应变能
A
C
B
W

1 2
FwC
a
a
U
L
M 2(x) 2EI
dx
利用对称性，得：
M (x)
L 2EA
L 2GIP
L 2EI
注意:应变能是力的二次函数，因此，引起同一 基本变形的一组外力在杆内所产生的应变能，并不等 于各力分别作用时产生的应变能的简单相加。
6
例如： 求图示简支梁的应变能。 解：设F和M同时由零按比 A 例加至终值。
（1）求支反力，列弯矩方程：
x
F
C
l 2
M1(x)

1 2

MFl2 16

M 2l 6

7
U

1 EI

F 2l3 96

MFl2 16

M 2l 6

(a)
A
FM
C
B
变形(a)式得
l
l
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B
N AB 2P、N AC 3P(压)
2)求变形
30
a
C
A
N AB
P
N AC
P
N N l 2 P 2 2a P yA EA EA 3 P ( 3 ) 3a EA (8 3 3 ) Pa ( ) EA
例 911-4-5 4 4 用卡氏第二定理求梁中 点A处的挠度。 例
解：外力功等于应变能
W U fC
思考：分布荷载时，可 否用此法求C点位移？
Pa 6 EI
q
例11-1-2 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点 受铅垂力P的作用，求A点的垂直位移。 解：用能量法（外力功等于应变能） 1、求内力
P A
P A
R

M
R
n
T
t
弯矩: M ( ) PR sin 扭矩: T ( ) PR(1 cos )
先作用 P1， 再 作 用 P2， 则 总 功 1 1 W1 P1 11 P1 12 P2 22 2 2 先作用 P2， 再 作 用 P1， 则 总 功 1 1 W2 P2 22 P2 21 P1 11 2 2
A
1
12
2 P2 22
B
A
1 P1 2 P2
L
T ( x ) T ( x ) M ( x ) M ( x ) dx dx L GI P Pn EI Pn
例11-4-1 结构如图，用卡氏定理求A截面的挠度和转角。
EI
L x
O
P
解：1) 求挠度，建立坐标系 ① 求内力 M ( x) xPA xP
A
② 将内力对P A求偏导
l qlx 2
l 3 x x1 qx13 dx 2 ( qlx1 )dx1 2 4 yA 8 2 8 EI EI 0 0
()
qa l 3 qa l 3 q l 4 5qa 4 ( ) ( ) ( ) 48 EI 2 16 EI 2 16 EI 2 768EI
U U1 U2 P1 l2 U1 U2 P2 l1
结论：变形能与加载次序无关。
例11-1-1 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。
P
1 W Pf C A 2 B x C M 2 ( x) U dx L a a 2 EI P f M ( x) x ; (0 x a ) 2 a 1 P 2 P 2a 3 ( x ) dx 在应用对称性，得： U 20 2 EI 2 12EI 3
11 12
B
22
A
1 P1
11
2 P2 22 21
B
A
1 P1 2
11
21
B
线弹性体，载荷作功与加载次序 无关，只取决于载荷的终值。
A
1
12
2 P2 22
B
W1 W2
P1 12 P2 21
称为功的互等定理。
若 令 ： P1 P2
12 21
a
D
AB
l 2a
M M dx EI M e
a
2a

0
Pxdx Pady ( Pa Px1 )dx1 EI EI EI 0 0
a
3a
( Px2 )dx2 ( 2 Pa)dy1 4 Pa2 EI EI EI 0 0
(方向反）
例11-4-8 结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。 求挠曲线——任意点的挠度 f（x）
解：如图11-4b所示，在点 C及点D应加一对大小相等，方向相反， 且均垂直于杆CD的力。根据功的互等定理，这里有:
F B F lCD
F B F 0.08kN lCD
§13-3
一、定理证明
P1
卡氏定理
1、先给物体加P1、 P2、•••、 Pn 个力，则：
U U ( P1 , P2 ,..., Pn , ...)
材料力学
第十一章
§11–1 §11–2 §11–3 §11–4 §11–5 §11–6
能量法
杆件的变形能计算 功的互等定理和位移互等定理 卡氏定理 虚功原理 单位载荷法 计算莫尔积分的图乘法
§11－1 一、能量原理：
杆件的变形能计算 U=W
二、杆件变形能的计算
1、轴向拉压杆的变形能计算：
U L
M ( x ) x PA
③求挠度
U M ( x ) M ( x ) fA dx L PA EI PA

0
L
3 PL Px dx EI 3 EI
2
2)、求转角 A：
P
MA
由于没有与A向相对应的力 （广义力），加MA 。 ① 求内力 M ( x ) xP M A
3、外力功等于应变能 3 3 3 PR PR P W fA U fA 2GI P 2 EI 2
§11-2 功的互等定理和位移互等定理
A 1 P1 2
11
21
B
梁AB， 在1点 作 用 P1， 引 起 1点 的 位 移 11、 2点 的 位 移 21；
梁AB， 在2点 作 用 P2， 引 起 2点 的 位 移 22、 1点 的 位 移 12；
② 将内力对MA求偏导后，令MA=0
M ( x ) M A M
A
L
x O
1
A 0
③ 求转角（ 注意：MA = 0）
A
A
L
L 2 M ( x ) M ( x ) Px PL dx dx EI M A 2 EI EI 0
2
PL 2 EI
“负号”说明A 与所加广义力MA反向。
Px 2 ( 3l x ) 6 EI
§11－4
虚功原理
虚功原理又称为虚位移原理，在理论力学中，讨论过质 点系的虚位移原理，它表述为，质点系平衡的充要条件是作 用在质点系上的所有各力在质点系的任何虚位移上所作的总 虚功等于零，即
2
2
M 2( x ) 2 EI
dx
注意:变形能是力的二次函数，因此，引起同一 基本变形的一组外力在杆内所产生的变形能，并不等 于各力分别作用时产生的变形能之和。
例如：
EA EA EA

P1 P2

P1 P2
( P1 P2 )2 L U 2 EA P12 L P2 2 L P1 P2 L 2 EA 2 EA EA U1 U 2
P1
P2
U 第二卡氏定理 n Pn 意大利工程师——阿尔伯托· 卡斯提安诺
P3
(Alberto Castigliano， 1847～1884) 二、使用卡氏定理的注意事项：
1、U——整体结构在外载作用下的线
Pn n
弹性应变能 2、Pn 视为变量，结构反力和应变能
等都必须表示为 Pn的函数 3、 n为 Pn 作用点处沿 Pn 方向的位移。
例１1－４－３用卡氏第二定理求刚架Ａ的水平位移
2 EI
C
P 解：１）在Ａ点加水平力Ｐ
A
２）求支反力
qa 2
q
EI
P
a
qa qa V A P 、VB P 2 2 H B P qa
B P qa
a
３）列各段弯矩方程，求变形 qa AC : M ( P ) x 2
qa P 2
M AB ( x ) Px P
x1 x
x 0
M BC ( x ) Px
0
Px 0
③
求变形（ 注意：Px = 0）
U M ( x ) M ( x ) f ( x) dx L Px EI Px
1 EI
P( L x )( x
1 0
x
1
x )dx1
XA
l
qa qy 2 CB : M ( P )a Py 2 2
M M a dx P EI P0 0
qa 2 qa qy2 x dx a ( a )(a y )dy 7qa4 2 2 2 2 EI EI 24EI 0
例11－４－４用卡氏第二定理求三角架Ａ的铅垂位移.AB,AC 为相同材料,相同截面. 解:1)求AB,AC杆内力
FN 2 ( x ) dx 2 EA
2 FNi Li 或 U i 1 2 E i Ai n
1 比能 : u 2
2、扭转杆的变形能计算：
T 2( x) U dx 或 U L 2GI P 1 比能 : u 2
3、弯曲杆的变形能计算：
U M 2 ( x) 2 EI
q
B
A
l 2 l 2
解： 1 ）在A点加y方向集中力，如图
2）求支反力
C
RB
ql P 8 2
RC
3ql P 8 2 M AB 1 x P 2 M AC 1 x1 P 2
3）列弯矩方程、求变形
B
P A
q
C
ql P 8 2
3 P ql 8 2
ql P M AB x 8 2 q 2 3ql P M CA x1 x1 2 2 8
P2
若给P n 以增量 d P n ，则： U1 U
P3
U dPn Pn
2、先给物体加力 dPn ，则：
1 U 2 (dPn ) (d n ) 2 再给物体加P1、 P2、•••、 Pn个力，则：
Pn n
U1 U U 2 n (dPn )
n
U Pn
4、当无与 n对应的 Pn 时，先加一沿 n 方向的 Pn ，求偏导后 ，再令其为零。