第三章能量法
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能量法
1
3Eh2 10GL2
It is therefore customary in engineering practice to neglect the effect of shear in computing the strain energy of slender beams.
F 广义力
1
广义位移
基本变形下杆的应变能：（线弹性范围内）
F
V
1 2
Fl
FN2l 2EA
l
FN2 x dx
2EA
Me
V
1 2
M e
T 2l 2GI P
T 2 xdx
l 2GIP
M
V
1 M
2
M 2l 2EI
横力弯曲
M 2 x dx
2EI 0
2GI p 0
4EI 4GI p
外力功
V
W
1 2
P
A
A
PR3
2EI
3PR3
2GI p
互等定理 (Reciprocal theorems)
1. 功的互等定理
设有两组外力F1和F2分别作用于同一线弹性结构上，如 图所示，(a)、(b)分别称为结构的第一状态和第二状态。
F1 Δ11 1
F1 dF
0
线弹性范围内：
1
1
Vc
V
F 2
➢ 余能仅具有与应变能相同的量纲，无具体 的物理意义。线弹性材料，余能数值上等 于应变能，应区分两者的概念。
应变能的普遍表达式
材料力学第三章 能量法
三、卡氏第二定理（线弹性体）
Di
Vc Fi
在线弹性范围内
余能定理 Vc V
Di
V Fi
卡氏第二定理： 线弹性杆件或杆系的应变能对于 作用在该杆件或杆系上的某一荷 载的变化率，就等于与该荷载相 应的位移。
卡氏第二定理适用于一切受力状态下的线弹性体。
卡氏第二定理公式D及i 含义VF：i
若结构的应变能 V 表示为F1、F2 …Fi …的函数，则应变 能对任一载荷Fi的偏导数等于Fi作用点沿Fi方向位移。
C
与需求位移相应的虚设外力
F。求偏导后令其为零。
（2）列弯矩方程
M
x
F 2
ql 2
x
qx 2 2
0
x
l 2
M
x
F 2
ql 2
x
qx 2 2
0
x
l 2
（3）求梁的应变能
M 2 l/2
x
1
V 2 0
dx
2EI
EI
l/2
0
F 2
ql 2
x
qx 2 2
2 dx
1 EI 1 EI
V W
一、杆件基本变形的应变能
(一)轴向拉伸(压缩)
1、杆的应变能
轴力沿轴线不变的情况:
dW Fd(Dl) W Dl1 Fd(Dl) 0
线弹性范围内 W 1 FDl
1
2
V
F
W
FN
2
F Dl Dl
FNl EA
应变能
V
FN2l 2EA
F
l
Dl
F
Dl d (Dl)
Dl1
Dl
(一)轴向拉伸(压缩)
能量法(上课用)
f1 f2
δ1
F2 ∆1
δ2
∆2
不论加载方式如何， 不论加载方式如何，在卸载过程中弹性体所作的总功均为 1 1 ' W = F1 ∆ 1 + F2 ∆ 2 2 2 由能量受恒定律： 由能量受恒定律： W ' 应等于加载时作的总功 W 克拉比隆定理 不论加载方式如何， 不论加载方式如何，作用在弹性体上的广义载荷在相应位移上 2011-4-24 所作的总功为： 所作的总功为： 1 W = ∑ Fi ∆ i 17 材料力学 2
式中P——广义力(力或力偶)； 广义力(力或力偶 ； 式中 广义力 广义位移( δ——广义位移(线位移或角位移) 广义位移 线位移或角位移)
• 弹性体的变形能决定于外力和位移的最终值，与加载 弹性体的变形能决定于外力和位移的最终值， 的过程无关。 的过程无关。
2011-4-24 材料力学 14
广义力与广义位移的相应关系： 广义力与广义位移的相应关系：
能量法与超静定系统/变形能的普遍表达式 能量法与超静定系统 变形能的普遍表达式
•特别注意点： 特别注意点：
广义力， 广义力 力或力偶，或一对力，或一对力偶。 Pi ——广义力，力或力偶，或一对力，或一对力偶。
δ i ——在所有力共同作用下与广义力 Pi 相对应的沿着力 在所有力共同作用下与广义力
的方向的广义位移。 的方向的广义位移。
2 MnL 1 U = W = mϕ = 2 2GI p
m A ϕ B
2011-4-24 材料力学
圆杆横截面上的扭矩； 式中 Mn——圆杆横截面上的扭矩； 圆杆横截面上的扭矩 圆杆横截面对圆心的极惯性矩。 圆杆横截面对圆心的极惯性矩 I p ——圆杆横截面对圆心的极惯性矩。
6
δ1
F2 ∆1
δ2
∆2
不论加载方式如何， 不论加载方式如何，在卸载过程中弹性体所作的总功均为 1 1 ' W = F1 ∆ 1 + F2 ∆ 2 2 2 由能量受恒定律： 由能量受恒定律： W ' 应等于加载时作的总功 W 克拉比隆定理 不论加载方式如何， 不论加载方式如何，作用在弹性体上的广义载荷在相应位移上 2011-4-24 所作的总功为： 所作的总功为： 1 W = ∑ Fi ∆ i 17 材料力学 2
式中P——广义力(力或力偶)； 广义力(力或力偶 ； 式中 广义力 广义位移( δ——广义位移(线位移或角位移) 广义位移 线位移或角位移)
• 弹性体的变形能决定于外力和位移的最终值，与加载 弹性体的变形能决定于外力和位移的最终值， 的过程无关。 的过程无关。
2011-4-24 材料力学 14
广义力与广义位移的相应关系： 广义力与广义位移的相应关系：
能量法与超静定系统/变形能的普遍表达式 能量法与超静定系统 变形能的普遍表达式
•特别注意点： 特别注意点：
广义力， 广义力 力或力偶，或一对力，或一对力偶。 Pi ——广义力，力或力偶，或一对力，或一对力偶。
δ i ——在所有力共同作用下与广义力 Pi 相对应的沿着力 在所有力共同作用下与广义力
的方向的广义位移。 的方向的广义位移。
2 MnL 1 U = W = mϕ = 2 2GI p
m A ϕ B
2011-4-24 材料力学
圆杆横截面上的扭矩； 式中 Mn——圆杆横截面上的扭矩； 圆杆横截面上的扭矩 圆杆横截面对圆心的极惯性矩。 圆杆横截面对圆心的极惯性矩 I p ——圆杆横截面对圆心的极惯性矩。
6
能量法
11 X 1 1 p 0 11 ( X1 ) 11 X1 11 X 1 1P 0
1P , 11
MP
l
X1 1
M1
4、系数与自由项
M 1M P ql4 1P dx EI 8 EI
5、解方程
M 1M 1 l3 11 dx EI 3 EI
求C点挠度。
M ( x)M ( x) 莫尔定理 dx EI （莫尔积分） l M ( x)M ( x) dx EI l
对于组合变形： FN ( x)FN ( x) T ( x)T ( x) M ( x)M ( x) dx dx dx EA GI p EI l l l
M 1 m
6
6
M 1M P 702 dx EI EI
2 P
15
M 2M P 520 dx EI EI
X2 1
M 2 m
4、 解方程
135X 1 144X 2 520 0.......... ....2
X 1 2.67 kN X 2 1.11kN
能量法
能量法
一 外力功 二 变形能
三 利用功能原理计算位移
四 求位移的卡氏定理
五 单位载荷法 莫尔积分
六 力法
能量法/一 外力功 一 外力功 定义:
任何弹性体在外力作用下都要发生变
形。弹性体在变形过程中,外力沿其作用线
方向所作的功,称为外力功。
能量法/一 外力功
计算
1、常力作功
若体系上受到一个大小不变的常力P的作用,然
中不能使用。只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功
时，才可应用。 4 变形能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中，各杆
下册3-能量法-土木
2
2
2 M y ( x)
讨论：
1.杆件受组合变形作用时，其总应变能等于 各基本变形下的应变能总和（算术叠加）；
2.利用功能原理只能求单个载荷作用下在 载荷作用方向上的位移 3.曲杆某截面上的弯矩和扭矩的计算： 从该截面的形心引出切线，把载荷向该 切线平移简化即得M、T，剪力省略。
例13.2
例.已知EA、P，求 f A
可得： P M ( x ) x ; (0 x a ) 2 a 1 P 2 P 2a3 V ( x) dx 在应用对称性，得： 2 0 2 EI 2 12EI
a
W V
Pa3 wC 6 EI
注意：使用功能原理只能求解单个力作用时沿其 作用方向的位移
二、有关应变能的两个重要概念 1、叠加原理不能用于应变能计算 注意: 应变能是力的二次函数，因此，引起同一 基本变形的一组外力在杆内所产生的变形能，并不 等于各力分别作用时产生的变形能之和。
2、使用卡氏定理的注意事项：
①：Vε——整体结构在外载作用下的线弹性变形能 ②：Fi视为变量，结构反力和变形能等都必须表示为 Fi的函数 ③、 i为 Fi 作用点处沿 Fi方向的位移。 ④、当无与 i对应的 Fi 时，先加一沿 i 方向的 Fi， 求偏导后，再令其为零。称附加力法
3、特殊结构（杆）的卡氏定理：
③、功能原理
P W fA U 2
3 PR3 PR3 fA 2GI P 2 EI
§3-3
一、卡氏第一定理
2
卡氏定理
F2
弹性体承受广义力F1、F2、……Fi，相应位 移为δ1、δd
i 1
n
Fi
1
将应变能看成是广义位移的函数，即 V V (1 , 2 , n ) 设第i个Fi方向上的位移有个微小增 量，则弹性体应变能的相应增量为
材料力学13能量法
1 1 V F2 22 F111 F2 21 2 2
功的互等定理:
F1 12 F2 21
即：F1 力在由F2力引起的位移上所作的功，等于F2 力在由F1力引起的位移上所作的功。
若F1 = F2 ，则得
位移互等定理:
12 21
即： F2引起的F1 作用点沿 F1方向的位移，等于同 样大小的力F1 引起的F2作用点沿 F2方向的位移。
( F1 F2 ) L F1 L F2 L F1F2 L V 2 EA 2 EA 2 EA EA
2
2
2
L
2） F1 单独作用下：
F1 F2
F1 L V 1 2 EA
3）F2 单独作用下：
F22 L V 2 2 EA
2
L F1 F2
L
V1 V 2 V
证毕。
b Px1 l ( 0 ≤x1 ≤ a) a CB段： M(x2 ) = RB x2 = Px2 l ( 0 ≤x2≤ b) 2
AC段：M(x1 ) = RA x1 =
13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。 比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
P12 l1 P1作功为 V 3 2 EA
（5）应变能是可逆的。(跳板跳水)
总功仍为上述表达式。
直接利用功能原理求位移的实例
利用能量法求解时，所列 例 求简支梁外力P作用点C的挠度。 弯矩方程应便于求解。
解：
A x1 RA l a
P
功的互等定理:
F1 12 F2 21
即：F1 力在由F2力引起的位移上所作的功，等于F2 力在由F1力引起的位移上所作的功。
若F1 = F2 ，则得
位移互等定理:
12 21
即： F2引起的F1 作用点沿 F1方向的位移，等于同 样大小的力F1 引起的F2作用点沿 F2方向的位移。
( F1 F2 ) L F1 L F2 L F1F2 L V 2 EA 2 EA 2 EA EA
2
2
2
L
2） F1 单独作用下：
F1 F2
F1 L V 1 2 EA
3）F2 单独作用下：
F22 L V 2 2 EA
2
L F1 F2
L
V1 V 2 V
证毕。
b Px1 l ( 0 ≤x1 ≤ a) a CB段： M(x2 ) = RB x2 = Px2 l ( 0 ≤x2≤ b) 2
AC段：M(x1 ) = RA x1 =
13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。 比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
P12 l1 P1作功为 V 3 2 EA
（5）应变能是可逆的。(跳板跳水)
总功仍为上述表达式。
直接利用功能原理求位移的实例
利用能量法求解时，所列 例 求简支梁外力P作用点C的挠度。 弯矩方程应便于求解。
解：
A x1 RA l a
P
材料力学第26讲 Chapter3-1第三章 能量法(应变能 余能)
利用功和能的概念求解可变形固体的位移、变形及内力等 的方法，统称为能量方法。
能量方法是用有限元法解固体力学问题的重要基础。
4
能量方法用途很广：
不仅适用于线弹性问题； 也可用于非线性弹性问题； 曲杆问题；
5
本章要介绍的几种能量方法：
应变能原理－卡氏第一定理 余能原理－卡氏第二定理 虚位移原理及单位力法
6
§3–2 应变能 余能
应变能的计算：
I. 应变能
外力缓慢做功W ，无损失地转化为应变能 （不
转化成动能、热能） ，贮存于弹性体内部。
V W
7
一、 线弹性问题
1. 轴向拉压杆件应变能的计算
W 1 Fl
2
l Fl
W F 2l 2EA
F
EA
W＝V 功能原理
V
EAl2
2l
F 2l V 2 EA
5P1P2l3 48EI
23
进一步分析
21
P1
P2
12
l
l
2
2
21P16(E 2l)Il2(3l2l)458P1E l3I
l
l
2
2
12P26(E 2l)Il2(3l2l)4 58 P2 E lI3
P112 P221 ====== 功的互等定理 ======
第一组力在第二组力作用所产生位移上做的功 等于第二组力在第一组力作用所产生位移上做的功。
17
4.3 弯曲杆件应变能的计算
V
V vdV
V
1 2
dV
V
1 2E
2dV
l
A21E(M Izy)2dAdl l
A21E(M Iz )2y2dAdl
d l dx M 2 l 2EIz
能量方法是用有限元法解固体力学问题的重要基础。
4
能量方法用途很广：
不仅适用于线弹性问题； 也可用于非线性弹性问题； 曲杆问题；
5
本章要介绍的几种能量方法：
应变能原理－卡氏第一定理 余能原理－卡氏第二定理 虚位移原理及单位力法
6
§3–2 应变能 余能
应变能的计算：
I. 应变能
外力缓慢做功W ，无损失地转化为应变能 （不
转化成动能、热能） ，贮存于弹性体内部。
V W
7
一、 线弹性问题
1. 轴向拉压杆件应变能的计算
W 1 Fl
2
l Fl
W F 2l 2EA
F
EA
W＝V 功能原理
V
EAl2
2l
F 2l V 2 EA
5P1P2l3 48EI
23
进一步分析
21
P1
P2
12
l
l
2
2
21P16(E 2l)Il2(3l2l)458P1E l3I
l
l
2
2
12P26(E 2l)Il2(3l2l)4 58 P2 E lI3
P112 P221 ====== 功的互等定理 ======
第一组力在第二组力作用所产生位移上做的功 等于第二组力在第一组力作用所产生位移上做的功。
17
4.3 弯曲杆件应变能的计算
V
V vdV
V
1 2
dV
V
1 2E
2dV
l
A21E(M Izy)2dAdl l
A21E(M Iz )2y2dAdl
d l dx M 2 l 2EIz
第三章二自由度系统
为了完全确定物体的位置而选定的任意一组彼此独立的 坐标参数，称为这个物体的广义坐标。在选定坐标时，除去 直角坐标Ｘ、Ｙ、Ｚ之外，我们也可以用角度φ、θ及从物体 中的一点到某些固定点的距离等参数来确定物体在空间的位 置。
二自由度系统振动 / 不同坐标系的运动微分方程
以汽车的二自由度振动模型为例
汽车板簧以上部分被简化成为一根刚性杆，具有质量m和绕质心 的转动惯量Ic。质心位于C 点。分别在A点和B点与杆相联的弹性 元件k1、k2为汽车的前，后板簧。
若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维矩阵或列向量
二自由度系统振动 / 运动微分方程
式中：
[M
]
m11 m21
m12
m22
m1
0
0
m2
[K
]
k11 k 21
[C]
c11 c21
k12
k
22
k1 k2
k2
c12
c22
2 ET x1x1
2 ET x12
m1
m12
2 ET x1x2
2 ET x2x1
m21
0
m22
2ET x2x2
2 ET x22
m2
[M
]
m11 m21
m12
m22
m1
0
0
m2
二自由度系统振动 / 能量法
(t ) (t)
如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
二自由度系统振动 / 不同坐标系的运动微分方程
以汽车的二自由度振动模型为例
汽车板簧以上部分被简化成为一根刚性杆，具有质量m和绕质心 的转动惯量Ic。质心位于C 点。分别在A点和B点与杆相联的弹性 元件k1、k2为汽车的前，后板簧。
若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维矩阵或列向量
二自由度系统振动 / 运动微分方程
式中：
[M
]
m11 m21
m12
m22
m1
0
0
m2
[K
]
k11 k 21
[C]
c11 c21
k12
k
22
k1 k2
k2
c12
c22
2 ET x1x1
2 ET x12
m1
m12
2 ET x1x2
2 ET x2x1
m21
0
m22
2ET x2x2
2 ET x22
m2
[M
]
m11 m21
m12
m22
m1
0
0
m2
二自由度系统振动 / 能量法
(t ) (t)
如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
材料力学第29讲 Chapter3-4第三章 能量法(虚位移原理及单位力法)
1 l(M d F Sd F N d T d )
实际载荷－系统1
FA
F1
F2
F3 F4
FB
A
B
E I,l
M MdM
1 2
d
1 2
d
1 2
d
1 2
d
dx
dx
F S FS dFS
1 2
d
dx
1 2
d
FA
A
虚位移
单位载荷－系统2
F 1
FB
B
E I,l
x
外力
内力
F 1, F A , F B
M ,FS
dW' dWi 0
dWi dW'
内力总虚功
Wi
l dW'
0
0l(MdFSd)
由虚位移原理 We Wi 0 得：
nF iil (M d F Sd F N d T d )
i 1
8
杆件的虚位移原理的具体表达式
nF iil (M d F Sd F N d T d )
i 1
在推导杆件的虚位移原理表达式时，完全没有涉及物性 方面的问题。因此，虚位移原理既不限定用于线性问题，也 不限定用于弹性问题。
3. 利用单位力法公式计算位移
x
E I,l M(x) x
o
1
l
(ME M IdxF SG sF A Sdx)
l
FN
FN EA
dx
1
5 5
F FNili Ni EA
1
P a
3
3 EA
3
A
1 3
3
1 3 B 1 3
1
i 1
5 3
实际载荷－系统1
FA
F1
F2
F3 F4
FB
A
B
E I,l
M MdM
1 2
d
1 2
d
1 2
d
1 2
d
dx
dx
F S FS dFS
1 2
d
dx
1 2
d
FA
A
虚位移
单位载荷－系统2
F 1
FB
B
E I,l
x
外力
内力
F 1, F A , F B
M ,FS
dW' dWi 0
dWi dW'
内力总虚功
Wi
l dW'
0
0l(MdFSd)
由虚位移原理 We Wi 0 得：
nF iil (M d F Sd F N d T d )
i 1
8
杆件的虚位移原理的具体表达式
nF iil (M d F Sd F N d T d )
i 1
在推导杆件的虚位移原理表达式时，完全没有涉及物性 方面的问题。因此，虚位移原理既不限定用于线性问题，也 不限定用于弹性问题。
3. 利用单位力法公式计算位移
x
E I,l M(x) x
o
1
l
(ME M IdxF SG sF A Sdx)
l
FN
FN EA
dx
1
5 5
F FNili Ni EA
1
P a
3
3 EA
3
A
1 3
3
1 3 B 1 3
1
i 1
5 3
材料力学(能量法)
弹性变形阶段
01
外力作用下，材料发生弹性变形，此时外力所做的功全部转化
为应变能储存于材料内部。
塑性变形阶段
02
当外力继续增加，材料进入塑性变形阶段，部分应变能转化为
热能散失到环境中。
断裂破坏阶段
03
当材料达到强度极限时发生断裂破坏，此时储存的应变能迅速
释放并转化为断裂表面的新表面能和其他形式的能量。
非圆截面扭转时的能量可以通过实验或数值模拟等方法进 行计算，以获得准确的能量值。
扭转变形过程中能量转化
弹性变形能
在扭转变形过程中，部分能量以弹性变形能的形式储存在材料中。 当外力去除后，这部分能量可以释放并使材料恢复原状。
塑性变形能
当扭转变形超过材料的弹性极限时，部分能量会以塑性变形能的形 式消耗在材料中。这部分能量不可逆转，导致材料产生永久变形。
压缩过程中能量变化
外力做功
在压缩过程中，外力对杆件做 功，使其产生压缩变形和位移 。外力做功的大小与外力的大 小和杆件的位移成正比。
内力耗能
杆件在压缩过程中，材料内部 会产生应力和应变，从而消耗 能量。内力耗能的大小与材料 的应力-应变关系有关。
弹性势能
杆件在压缩过程中，由于材料 的弹性变形，会储存一定的弹 性势能。弹性势能的大小与材 料的弹性模量和变形量有关。
结构稳定性分析方法
能量准则
通过比较结构失稳前后的能量变 化，判断结构的稳定性。若失稳 后能量降低，则结构不稳定。
平衡路径跟踪法
通过逐步增加荷载或位移，跟踪 结构的平衡路径，观察结构从稳 定到不稳定的转变过程。
特征值分析法
基于结构刚度矩阵和质量矩阵， 求解特征值和特征向量，分析结 构的振动特性和稳定性。
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广义力，Di为广义位移。各力按
简单加载方式作用在梁上。设加
载过程中各位移和相应力的瞬时
值分别为?i， fi。
梁的余能为
表明
? ? n
Vc ? Wc ?
? F i
0
i d fi
i?1
Vc ? f (F1, F2 ,? , Fi ,? , Fn )
第三章 能量方法
第三章 能量方法
由于Fi改变了dFi，外力余功相应改变量为
?
EA( 4 ? 2l 2
2
Δ1 ?
2 2
Δ2 )
?
0
?Vε ?Δ2
?
EA 2l
2 2
(?
Δ1
?
Δ2 ) ?
F
（3） （4）
联立求解（3）,（4），得
Δ1
?
Fl EA（→）,
Δ2 ? (1 ? 2
2) Fl （↓） EA
可以验证（3）,（4）式相当于平衡方程。
Ⅱ. 卡氏第二定理
(1) 余能定理
图示为非线性弹性杆，Fi为
第三章 能量法
本章主要研究
? 杆件应变能的计算方法 ? 卡氏第一定理及其在结构分析中的应用 ? 卡氏第二定理在静定结构位移计算中的应用 ? 卡氏定理求解超静定问题的方法
第三章 能量法
§3-1 概述 §3-2 应变能·余能 §3-3 卡式定理 §3-4 用能量法解超静定系统
§3－1 概 述
能量的观点讨论问题，是各门学科的一个共性的 内容，能量无处不在；在力学分析中，能量的概念将 力和变形（位移）作为一体讨论；
法统称为能量法。
(a)
优点：
? 1. 不管中间过程，只算最终状态
? 2. 能量是标量，容易计算
能量法的应用很广，也是有限元法求解固体力学问题的重要 基础。本章仅研究能量法中常用的一些原理和应用。
§3－2 应变能 ·余能
一、条件 大前提： 1、小变形； 2、服从郑玄 —胡克定律 线弹性体的响应（内力、应力和变形）为外载的
设B点只发生水平位移D1（图 b），由图可见
?AB=D1 ，
? BC= D1cos45?=
2 2 Δ1
设B点只发生铅垂位移D2（图 c），由图可见
第三章 能量方法
? AB ? 0 ,
? BC ? ? Δ2sin 450 ? ?
2 2
Δ2
D1和D2同时发生时，则有
? AB ? Δ1, ? BC ?
2
?
)n?1
结构的余能为
? Vc ?
V vc
dV
?
2vc Al ?
l (2 A)n kn (n ? 1)
( F1
cos ?
)n?1
Ⅰ. 卡氏第一定理
§3－3 卡氏定理
? ? n
Vε ? W ?
Δi 0
fi d ? i
i?1
图示梁的材料为非线性弹性体 fi 为瞬时荷载
?i为瞬时位移 Vε为最后位移Di的函数
?
1 2 FwC
?
1 2
M e?
A
?
F 2l3 96 EI
?
Me2l 6EI
?
FM el 2 16 EI
例3-1 计算图示梁在集中力偶mo作用下的变形能
EI (a)
A l
mo B x
? ? V?a ? V?mo ?
l M(x)dx ? 0 2EI
l Mo2dx ? Mo2l 0 2EI 2EI
例3-2 计算图示梁在集中力P作用下的变形能
小变形时不计FS 产生的应变能， FN (x) — 只产生轴向线位移d Δ T(x) — 只产生扭转角 d?
M(x) — 只产生弯曲转角 d?
第三章 能量方法
对于dx 微段， FN(x) , T(x) , M(x) 均为外力。略去高阶微量后， dx段的应变能为
dVε
?
dW
?
1 2
FN (x) d Δ ?
30o
2
Dl2 ADl1
DAy
A'
(a)
(b)
(c)
若用解析法求解时，必须利用图c列出变形的几何关系，计 算比较麻烦。
若利用外力功在数值上等于应变能，即
1 2
F
ΔAy
?
F2 N1
l1
2EA1
?
F2 N2
l2
2EA2
就不需要用到变形几何关系，计算较为简便。
利用功和能的概念求解变形固体的位移、变形和内力的方
由结点C的平衡方程，得二杆的轴力为
应力为
FN1
?
FN 2
?
F1
2 cos?
s1 ?
FN A
?
F1
2 Acos?
由
s ? k?1/ n （n>1）
得
?
?
s
(
)n
k
余能密度为
? ? vc ?
? s1 ds ?
0
s1 (s )n ds
0k
?
k
n
1 (n
?
1)
s n? 1
1
?
k
n
1 (n
?
1)
(
2
F1 Acos
卡氏第二定理的变形形式：
例3-4 外伸梁ABC的自由端作用有铅直荷载F，求： （1）C端挠度,（2） C端转角
?
1 2
F1 Δ1 ?
1 2
F2
Δ2
第三章 能量方法
3、有 n 个广义力同时作用时
? Vε
?
W
?
1 2
F1Δ1
?
1 2
F2Δ2
?
?
?
1 2
Fn
Δn
?
n i?1
12Fi Δi
(i ? 1,2,?,n)
Fi 为广义力，Di 为Fi 的作用点沿Fi 方向的广义位移，它
是由所有广义力共同产生的。
4、组合变形（用内力形式表示的应变能）
（2）位移计算
V?
?
W
?
1 2
P? cx
即
1 2
P? cx
?
3P 2l 4EA
得
? cx
?
3P l 2EA
分析和讨论
1 若需要位移处无外力作用,如求b截面 ?bx ,外力功表达式 中无需求的位移项,因此无法求 ?bx。
2 若在该杆上作用的外力多于一个,如在b截面上还作用一 个P1力,这时.外力表达式无两个或两个以上的位移,显然也不 能求位移的大小。
对于复杂结构的位移计算，采用从几何、物 理关系和静力关系三个方面入手的思想，或者从 几何协调关系出发，显得非常麻烦.
例 图中AB和AC杆的直径分别是d1=12 mm,d2=15 mm，弹 性模量均为E = 210 GPa。试求A点在铅垂方向的位移。
y FN1 45o 30o FN 2
A
x
F
1
45o
这是因为 (? Px? Mo)2 ? (? Px)2 ? Mo2
即 变形能是力的二次函数,一般说来,变形能不可以简单的 叠加
分析与讨论
(2)为什么有时两种荷载单独作用时的变形能可以进行 叠加,是因为其中一种荷载在另一种荷载引起的位移上不作 功。
例如,一直杆同时承受弯曲与扭转作用时,就可以把扭 转变形能和弯曲变形能叠加起来进行计算.因为扭转在弯曲
2 (D1 ? D2 )
由于是线弹性问题，结构的应变能为
（1）
Vε
?
EA?
2 AB
?
2l
EA?
2 BC
2 2l
?
EA 2l
Δ12
?
EA [ 2 2l
2 2
(
Δ1?
Δ2 )]2
?
EA 2l
Δ12
?
EA 2 2l
(1 2
Δ12
?
Δ1 Δ2
?
1 2
Δ22
)
（2）
第三章 能量方法
由卡氏第一定理，得
?Vε ?Δ1
1 T(x) d?
2
?
1 2
M (x) d?
?
FN2 (x) d x ?
T 2 (x) d x ?
M 2 (x) d x
2EA
2GI p
2EI
杆的应变能为
? ? ? ? Vε ?dl NhomakorabeaVε
?
FN2 (x) d x ? l 2EA
T 2 (x) d x ?
l 2GIp
M 2 (x) d x l 2EI
关于应变能计算的讨论：
线性函数 小前提： 缓慢加载 变力做功，功只转成应变能（不转成动能、热能）
二.功和应变能
力作用于物体，力在其作用方向上发生位移，则该力对物体
做了功。
恒力功：
变力功：
W ? Fp ? D1
? W ? D1 F ? dD 0
1
曲线与横轴围成的面积
在线弹性范围内 轴向拉伸时外力做功
扭转时外力做功
弯曲时外力做功
三.余功和余能 与余功相应的能称为余能
? W ? D1 F d D 0
与外力功
之和等于矩形面积 F1Δ 1
曲线与纵轴围成的面积
例 3－5 图a中两杆的长度均为l,横截面面积均为A。材料在
单轴拉伸时的 s －? 关系如图b 所示。求结构的余能。
解：该题为物理非线性问题，
需用
? Vc ? V v求c dVVc。
引起的转角 ? 上不作功,弯矩在扭转引起的扭转角 ? 上也
不作功。
例3-4 图示等截面悬臂梁， E,A,I 已知。在自由端受
简单加载方式作用在梁上。设加
载过程中各位移和相应力的瞬时
值分别为?i， fi。
梁的余能为
表明
? ? n
Vc ? Wc ?
? F i
0
i d fi
i?1
Vc ? f (F1, F2 ,? , Fi ,? , Fn )
第三章 能量方法
第三章 能量方法
由于Fi改变了dFi，外力余功相应改变量为
?
EA( 4 ? 2l 2
2
Δ1 ?
2 2
Δ2 )
?
0
?Vε ?Δ2
?
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2 2
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（3） （4）
联立求解（3）,（4），得
Δ1
?
Fl EA（→）,
Δ2 ? (1 ? 2
2) Fl （↓） EA
可以验证（3）,（4）式相当于平衡方程。
Ⅱ. 卡氏第二定理
(1) 余能定理
图示为非线性弹性杆，Fi为
第三章 能量法
本章主要研究
? 杆件应变能的计算方法 ? 卡氏第一定理及其在结构分析中的应用 ? 卡氏第二定理在静定结构位移计算中的应用 ? 卡氏定理求解超静定问题的方法
第三章 能量法
§3-1 概述 §3-2 应变能·余能 §3-3 卡式定理 §3-4 用能量法解超静定系统
§3－1 概 述
能量的观点讨论问题，是各门学科的一个共性的 内容，能量无处不在；在力学分析中，能量的概念将 力和变形（位移）作为一体讨论；
法统称为能量法。
(a)
优点：
? 1. 不管中间过程，只算最终状态
? 2. 能量是标量，容易计算
能量法的应用很广，也是有限元法求解固体力学问题的重要 基础。本章仅研究能量法中常用的一些原理和应用。
§3－2 应变能 ·余能
一、条件 大前提： 1、小变形； 2、服从郑玄 —胡克定律 线弹性体的响应（内力、应力和变形）为外载的
设B点只发生水平位移D1（图 b），由图可见
?AB=D1 ，
? BC= D1cos45?=
2 2 Δ1
设B点只发生铅垂位移D2（图 c），由图可见
第三章 能量方法
? AB ? 0 ,
? BC ? ? Δ2sin 450 ? ?
2 2
Δ2
D1和D2同时发生时，则有
? AB ? Δ1, ? BC ?
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结构的余能为
? Vc ?
V vc
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l (2 A)n kn (n ? 1)
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Ⅰ. 卡氏第一定理
§3－3 卡氏定理
? ? n
Vε ? W ?
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图示梁的材料为非线性弹性体 fi 为瞬时荷载
?i为瞬时位移 Vε为最后位移Di的函数
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例3-1 计算图示梁在集中力偶mo作用下的变形能
EI (a)
A l
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l M(x)dx ? 0 2EI
l Mo2dx ? Mo2l 0 2EI 2EI
例3-2 计算图示梁在集中力P作用下的变形能
小变形时不计FS 产生的应变能， FN (x) — 只产生轴向线位移d Δ T(x) — 只产生扭转角 d?
M(x) — 只产生弯曲转角 d?
第三章 能量方法
对于dx 微段， FN(x) , T(x) , M(x) 均为外力。略去高阶微量后， dx段的应变能为
dVε
?
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1 2
FN (x) d Δ ?
30o
2
Dl2 ADl1
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(a)
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若用解析法求解时，必须利用图c列出变形的几何关系，计 算比较麻烦。
若利用外力功在数值上等于应变能，即
1 2
F
ΔAy
?
F2 N1
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F2 N2
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就不需要用到变形几何关系，计算较为简便。
利用功和能的概念求解变形固体的位移、变形和内力的方
由结点C的平衡方程，得二杆的轴力为
应力为
FN1
?
FN 2
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2 cos?
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卡氏第二定理的变形形式：
例3-4 外伸梁ABC的自由端作用有铅直荷载F，求： （1）C端挠度,（2） C端转角
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F1 Δ1 ?
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第三章 能量方法
3、有 n 个广义力同时作用时
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12Fi Δi
(i ? 1,2,?,n)
Fi 为广义力，Di 为Fi 的作用点沿Fi 方向的广义位移，它
是由所有广义力共同产生的。
4、组合变形（用内力形式表示的应变能）
（2）位移计算
V?
?
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1 2
P? cx
即
1 2
P? cx
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分析和讨论
1 若需要位移处无外力作用,如求b截面 ?bx ,外力功表达式 中无需求的位移项,因此无法求 ?bx。
2 若在该杆上作用的外力多于一个,如在b截面上还作用一 个P1力,这时.外力表达式无两个或两个以上的位移,显然也不 能求位移的大小。
对于复杂结构的位移计算，采用从几何、物 理关系和静力关系三个方面入手的思想，或者从 几何协调关系出发，显得非常麻烦.
例 图中AB和AC杆的直径分别是d1=12 mm,d2=15 mm，弹 性模量均为E = 210 GPa。试求A点在铅垂方向的位移。
y FN1 45o 30o FN 2
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x
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1
45o
这是因为 (? Px? Mo)2 ? (? Px)2 ? Mo2
即 变形能是力的二次函数,一般说来,变形能不可以简单的 叠加
分析与讨论
(2)为什么有时两种荷载单独作用时的变形能可以进行 叠加,是因为其中一种荷载在另一种荷载引起的位移上不作 功。
例如,一直杆同时承受弯曲与扭转作用时,就可以把扭 转变形能和弯曲变形能叠加起来进行计算.因为扭转在弯曲
2 (D1 ? D2 )
由于是线弹性问题，结构的应变能为
（1）
Vε
?
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（2）
第三章 能量方法
由卡氏第一定理，得
?Vε ?Δ1
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1 2
M (x) d?
?
FN2 (x) d x ?
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杆的应变能为
? ? ? ? Vε ?dl NhomakorabeaVε
?
FN2 (x) d x ? l 2EA
T 2 (x) d x ?
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M 2 (x) d x l 2EI
关于应变能计算的讨论：
线性函数 小前提： 缓慢加载 变力做功，功只转成应变能（不转成动能、热能）
二.功和应变能
力作用于物体，力在其作用方向上发生位移，则该力对物体
做了功。
恒力功：
变力功：
W ? Fp ? D1
? W ? D1 F ? dD 0
1
曲线与横轴围成的面积
在线弹性范围内 轴向拉伸时外力做功
扭转时外力做功
弯曲时外力做功
三.余功和余能 与余功相应的能称为余能
? W ? D1 F d D 0
与外力功
之和等于矩形面积 F1Δ 1
曲线与纵轴围成的面积
例 3－5 图a中两杆的长度均为l,横截面面积均为A。材料在
单轴拉伸时的 s －? 关系如图b 所示。求结构的余能。
解：该题为物理非线性问题，
需用
? Vc ? V v求c dVVc。
引起的转角 ? 上不作功,弯矩在扭转引起的扭转角 ? 上也
不作功。
例3-4 图示等截面悬臂梁， E,A,I 已知。在自由端受