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§8-4 渐开线标准齿轮机构的名称和基本参数§8-4 渐开线标准齿轮机构的名称和基本参数一、外齿轮(External gears)各部分名称和符号1.齿顶高(h a )全齿高(h )齿宽（B ）分度圆（d ）齿根高(h f )pd z π=h=h a +h f 齿距(p=s+e)齿槽宽（e ）齿厚（s ）◆d =mz ，p=πm ◆齿数相同的齿轮，模数越大，尺寸越大。
2. 基本参数1）齿数z指齿轮整个圆周上轮齿的总数。
2）模数(Module )mπ d = z pd zp π=m （便于计算和测量）分度圆压力角α（齿形角）基圆上的压力角等于0arccos cos c s 2)o (b b mz r r r r ααα=== 任意圆压力角3）分度圆压力角分度圆大小相同的齿轮，其齿廓渐开线的形状随压力角α不同而不同。
(α是决定渐开线齿廓形状的一个基本参数） 压力角α已经规定为标准值：α=20o (或15o )arccos b i ir r α=分度圆是齿轮上具有标准模数和标准压力角的圆。
任一齿轮都有一分度圆，且只有一个分度圆。
1）分度圆(Reference circle)的定义3. 其他参数和概念2）法节(Normal pitch)指在齿轮相邻两齿同侧齿廓间沿法线所量得的距离，用p n 表示。
p n =p b =p cos齿顶高系数:h a *正常齿：h a *＝1短齿制：h a *＝0.8顶隙(Bottom clearance)系数:c *正常齿：c *＝0.25短齿制：c *＝0.3●分度圆直径：=d mz●齿顶高(Addendum)：*=a a h h m●齿根高(Dedendum)：()=**f a h h +c m●全齿高：**(2)a f a h h h h c m =+=+●齿顶圆直径：*2(z 2)=+=+a a a d d h h m●齿根圆直径：**r ah f h a hr r f标准齿轮的定义标准齿轮指齿轮的基本参数m和 以及参数h*,c* 均a为标准值,且e=s =p/2的齿轮.齿数为无穷多的齿轮的一部分就是齿条二、齿条(Rack )1. 特点●齿条齿廓上各点的压力角都相同，等于齿廓的倾斜角（齿形角）。
渐开线齿轮
什么是渐开线？
所谓渐开线顾名思义的说，那就是它上面的点逐渐离开一个固定点(基圆的圆心)的曲线。
如果你把一条线缠绕在一个圆柱上，线的末端固定在一个笔头上，让笔头牵着线逐渐取开圆柱并画下痕迹，那么这个痕迹就是一个渐开线。
从你这样画图的轨迹中你可以看到，这实际上是一条直线在一个圆上滚动的时候直线上的一个的的运动轨迹。
另外，类似的还有摆线，摆线就是一个圆在一条直线或曲线上滚动时圆上的一个点随圆滚动时的运动轨迹。
在实际应用中，渐开线和摆线主要用来设计齿轮、齿条的形状，因为齿轮、齿条的工作方式都是“滚动”，所以这两种曲线才是它们最合适的运动轨迹……
渐开线圆柱齿轮是齿轮中的一种。
齿轮的齿形由渐开线和过渡线组成时，便被称为渐开线齿轮。
因渐开线具有众多优点，是应用最广的一种齿轮曲线。
齿形有多种形式，其中以渐开线齿形最为常见。
渐开线齿形常用的加工方法有两大类，即成形法和展成法。
渐开线齿轮
渐开线齿轮是一种齿轮传动，也叫渐变齿轮或弧齿轮。
它的齿形轮廓不是一个圆的部分，而是一条渐开线，具有更好的传动性能和更小的齿轮噪声。
渐开线齿轮之所以得到广泛应用，是因为它能保证齿轮之间的传动比（即每转齿轮的
齿数比）不变，这是非常重要的，因为只有传动比保持不变，才能保证最终的输出与输入
间的关系不变，否则就无法实现工作的有效传递。
此外，渐开线齿轮还具有齿轮噪声低、
寿命长、精度高的优点，广泛应用于机器人、自动化生产设备等领域，为这些领域的发展
提供了强大的动力支持。
渐开线齿轮的齿形轮廓是一条由起始点开始的渐开线，渐开线的长度与齿数成比例，
可以通过多次迭代计算来画出齿形。
渐开线的性质决定了它的优越性能，它的齿形切线方
向始终与齿轮的转动方向垂直，因此可以避免斜齿轮传动时因齿面压力而导致的左右偏移。
此外，由于渐开线齿轮的齿形是一条渐进式的曲线，可以保证齿隙更小，因此可以实现更
好的传动效率。
渐开线齿轮的制造有一定的难度，需要精密的加工设备和高水平的技能。
目前已经有
许多先进的数控加工设备和流程应用于渐开线齿轮制造，使得渐开线齿轮的制造和应用变
得更加可靠和清晰。
总之，渐开线齿轮是一种具有广泛应用前景的高性能齿轮传动，为自动化机械化及智
能化制造领域的发展提供了有力支持，同时，通过新技术新工艺的应用，可以不断提高制
造的精度和细节控制能力，进一步发挥渐开线齿轮的优势。
2023齿轮传动渐开线齿轮的基本参数与计算课件•齿轮传动概述•渐开线齿轮的基本参数•渐开线齿轮的设计计算目录•渐开线齿轮的制造与检测•渐开线齿轮的应用与维护01齿轮传动概述齿轮传动是一种通过两个或多个齿轮之间的啮合来传递运动和动力的机械传动方式。
齿轮传动的定义具有高效、稳定、可靠、传动距离远、结构紧凑等优点，但也存在制造和维护成本较高、对安装精度要求较高等缺点。
齿轮传动的特点齿轮传动的定义与特点齿轮传动的历史齿轮传动起源于古代，最初用于水车、磨坊等场所，后来广泛应用于各种工业机械和交通工具中。
齿轮传动的发展随着工业技术的不断发展和进步，齿轮传动逐渐向高速、重载、高精度、低噪音等方向发展，同时也不断探索和研发新的材料和制造技术，提高齿轮传动的性能和寿命。
齿轮传动的历史与发展1齿轮传动的基本类型23常见的齿轮传动类型之一，两个齿轮的轴线相互平行，一般采用直齿圆柱齿轮或斜齿圆柱齿轮。
平行轴齿轮传动两个齿轮的轴线相互垂直或相交，一般采用直齿锥齿轮或斜齿锥齿轮。
相交轴齿轮传动一种特殊的齿轮传动类型，一般由太阳轮、行星轮、齿圈等组成，具有结构紧凑、传动比大、传动效率高等优点。
行星齿轮传动02渐开线齿轮的基本参数齿数一个齿轮的齿数的多少，决定了齿轮的大小。
齿数越多，齿轮越小；反之，齿数越少，齿轮越大。
模数模数是齿轮的一个基本参数，它表示齿轮的厚度。
模数越大，齿轮的厚度越厚；反之，模数越小，齿轮的厚度越薄。
齿数与模数齿形角是齿轮上齿的形状的角度。
标准的齿形角是45度。
齿形角压力角是齿轮上齿承受载荷时的角度。
标准压力角是20度。
压力角齿形角与压力角齿顶圆齿顶圆是齿轮上齿的顶部的圆。
齿根圆齿根圆是齿轮上齿的根部的圆。
齿顶圆与齿根圆基圆与根圆基圆基圆是形成渐开线的圆。
根圆根圆是齿轮上齿的根部的圆。
03渐开线齿轮的设计计算齿轮传动的中心距计算中心距定义齿轮传动的中心距是指两个齿轮的转动中心之间的距离。
中心距计算公式在渐开线齿轮传动中，中心距等于两齿轮基圆半径之和减去模数的一半。
齿轮渐开线方程渐开线的形成原理：渐开线就像一个有破断点的圆形展开成一条直线的过程中，圆上的破断点运动的轨迹，如图所示，从破断点A展平到K点，运动轨迹AK就是渐开线的一段，继续展平可至B点或更远。
随着ω不断增大，渐开线曲率会越来越小，渐开线会越来越平直，如图所示。
渐开线方程的推理过程：如图所示，圆O为渐开线AB的基圆，半径为Rb,K为渐开线AB上的任一点；展平段KN为渐开线AB的发生线。
根据渐开线形成的原理可知，NO⊥NK，NK= N⌒A, ONK构成一个直角三角形。
以下过程将滚动角α（rad）作为已知变量进行推导：根据渐开线的形成原理可得N⌒A = NK，圆心角ω所对应的弧长：N⌒A =Rb*ω* PI /180, R=Rb/COS(α)。
先计算出OK与OX的夹角θ，根据渐开线函数公式θ=TAN(α)-α。
因为TAN(α)是N⌒A与Rb之比，相当于弧度值，所以此时α应换算为弧度值。
用PRO/E绘制方程曲线时，应将其转换为十进制角度。
即：θ=TAN(α)*180/PI-α，在PRO/E极坐标表示的方程中，θ用THETA表示。
A. 设α为压力角参数，将α用个人习惯的字母符号代替，如FAI。
设定一个参数值，如45°，即可写成：1. 压力角为参数“极坐标”表示的渐开线方程：FAI=T*45Rb=DB/2R=Rb/COS(FAI)THETA=TAN(FAI)*180/PI-FAIZ=0以上方程式是以压力角∠α作为变量参数。
若想使渐开线的长度控制在齿轮外径DW以内，就必须使渐开线K点与齿轮外径DW的边缘共线约束，可用∠α来控制。
因为齿轮的外径等于2*R=DW，基圆直径等于2*Rd=DB，渐开线K点与R的端点重合。
所以∠α应等于DB/DW的反余弦函数，即：∠α=ACOS(DB/DW)，此角就可使渐开线K点落在齿顶圆边缘的位置。
将其作为变量代入方程，即可写成：2. 齿顶圆压力角为参数控制的“极坐标”表示的渐开线方程A：以ACOS(DB/DW)作为已知变量进行推导，方程如下：FAI=T*ACOS(DB/DW)Rb=DB/2R=Rb/COS(FAI)THETA=TAN(FAI)*180/PI-FAIZ=0如果方程式是以滚角∠ω作为变量参数。
题目：用“齿轮啮合原理”考察用齿条刀具加工直齿渐开线圆柱齿轮。
（1）数学描述（2）特性描述（特征分析）（3）图形描述（matlab）解:（1）数学描述以渐开线齿轮为例齿轮渐开线方程：r k=r b／cosαkθk=invαk=tanαk-αk式中θk为渐开线转角；r b为基圆半径，αk为渐开线在i点的压力角；r k为渐开线的向径。
齿根圆及齿顶圆方程：x a=r a*cosμx b=r b*cosμy a=r b*sinμ式中，x a、y a、x b、y b分别为齿顶圆和基圆的直角坐标；μ为转角。
左齿廓坐标：x l=r a*cosβ1y l=r a*sinβ1x r=r b*cosβ2y r=r b*sinβ2β1=-θ+(i+0.25)*γ+θkΒ2=θ+(i-0.25)*γ+θkγ=2*π/z式中，x l、y l、x r、y r分别为左、右齿廓的直角坐标；β1、β2为齿廓渐开线的转角；γ为每个节距所占的转角；i∈(o，z)，z为齿数。
重合度ε=1/2π*[z1(tanαα1-tanα＇）＋z２(tanαα1-tanα＇）］α＝ｍcosα[(k-0.5)π+z*invα]=mW*公法线长度Ｗｋ式中，k为跨测齿数，k=α*z/180+0.5，按四舍五入原则取整；W k为模数等于1的标准齿轮的公法线长度，可从设计手册中查出具体数值。
标准齿轮不根切的最小齿数z min=2h a*/sin2α式中，h a*为齿顶系数；α为压力角。
(2) 特性描述function chilun(m,z,ha,c)rb=r*cos(pi/9);ra=r+ha*m;rf=r-(ha+c)*m;sita=2*pi/z;almax=acos(rb/ra);alg=acos(rb/r);ct1=tan(alg)-alg;ct2=tan(almax)-almax;bita=sita/4+ct1-ct2;for i=0:1:zfai=-bita:0.001:bita;xa=ra*cos(fai+i*sita);ya=ra*sin(fai+i*sita);hold on;plot(xa,ya,'b');fail=bita+ct2:0.01:sita-bita-ct2; xb=rb*cos(fail+i*sita);yb=rb*sin(fail+i*sita);hold on;plot(xb,yb,'r');for al=almax:-0.001:0;ct=tan(al)-al;ri=rb/cos(al);alfa=-ct+(i+0.25)*sita+ct1; x2=ri*cos(alfa);y2=ri*sin(alfa);plot(x2,y2,'b');endfor al2=0:0.001:almaxct=tan(al2)-al2;ri=rb/cos(al2);beta=ct+(i-0.25)*sita-ct1;x3=ri*cos(beta);y3=ri*sin(beta);plot(x3,y3,'g');endend(3) 图形描述。
下图为渐开线在极坐标下的推导： 所以渐开线的圆柱座标方程为： R=Rb*sqrt(1+ω^2) θ=ω-atan(ω) 注意此方程的角度为弧度制
在Pro/E中若以Datum Curve=>From Equation绘出渐开线的话，应该将ω转成十进制。于是有: A= t * 45 ---- 假设滚动角ω为0-45度，要留意滚动角也就是以后齿轮的压力角了 R= Rb * sqrt( 1+ ( A * pi/180 )^2 ) theta = A - atan ( A * pi/180 ) z = 0
上面是推导上最简单的方法，下面是输入最省事的方法。 m=3（模数） z=20（齿数） alfa=20（压力角） rb=m*z*cos(alfa)/2 （基圆半径） ang(angle简写，尽量用自己能看懂的简写命名变量，所有规则与C语言一样)=t*90 （基圆半径生成角度即第一图中的w）
s=pi*rb*t/2 (指得是弧BC，也等于直线AB，约分之前为s=(pi*2*rb)*(ang/360)) xc=rb*cos(ang) （） yc=rb*sin(ang) （ 以B为基点，确定渐开线上点A，线就是点集，而w是按角度增加变化的，不同角度对应不同的点，整个角度变化完后，所有点生成完毕，集合成为所描绘的曲线。我们只需确定A相对与B的横纵坐标的增量与W间规律。如图所标出的两个角度，推出横坐标增量为 +s*sin(ang))注意为正。纵坐标增量为 - s*cos(ang)注意为负） x=xc + s*sin(ang) （最终的A点的横坐标） y=yc - s*cos(ang) （最终的A点的横坐标） z=0 （平面上故z=0）
将上程序合并一下为： m=3 z=20 alfa=20 rb=m*z*cos(alfa)/2 ang=t*90 s=pi*rb*t/2 x= rb*cos(ang)+s*sin(ang) y= rb*sin(ang)-s*cos(ang) z=0
4.2 渐开线齿轮
一、渐开线的形成及其特性
1、渐开线齿廓的形成
直线BK沿半径为r b的圆作纯滚动时，直线
上任一点K 的轨迹称为该圆的渐开线。
该圆称为
渐开线的基圆。
r b--- 基圆半径；
BK --- 渐开线发生线；
--- 渐开线上K点的展角。
A为渐开线的起始点，K为渐开线上任一点，
其向径用r k表示。
渐开线齿轮的齿廓曲线是渐开线。
2、渐开线的特性
1）发生线沿基圆滚过的长度，等于基圆上被滚过的圆弧长度。
由于发生线BK在基圆上作纯滚动，故
2）渐开线上任一点的法线恒与基圆相切。
发生线BK沿基圆作纯滚动，它与基圆的切点B即为其速度瞬心，所以发生线BK
即为渐开线在K点的法线。
又由于发生线恒切于基圆，故渐开线上任一点的法线恒与基圆相切。
3）渐开线上离基圆愈远的部分，其曲率半径愈大，渐开线愈平直。
发生线BK与基圆的切点B是渐开线在点K的曲率中心，而线段KB是相应的曲率半径，故渐
开线上离基圆愈远的部分，其曲率半径愈大，渐开线愈平直；渐开线初始点A处的
曲率半
径为零。
4）基圆内无渐开线。
5）渐开线的形状取决于基圆的大小。
基圆愈小，渐开线愈弯曲；基圆愈大，渐开线愈平直。
当基圆半径为无穷大时，其渐开线将成为一条直线。
二、渐开线齿廓的啮合特点
一对齿轮传动，是依靠主动轮的齿廓依次推动从动轮的齿廓来实现的。
因此，要能实现预定的传动比，一个齿轮最关键的部位是轮齿的齿廓曲线。
图示为一对分别属于齿轮1和齿轮2的两条齿廓曲线G1、G2在点K 啮合接触的情况。
齿廓曲线
G1绕O1点转动,G2绕O2 转动。
过K点所作的两齿廓的公法线nn与连心线O1O2 相交于点C。
由三心定理知，点C是两齿廓的相对速度瞬心,齿廓曲线G1和齿廓曲线G2在该点有相同的速度：
由此可得
我们称点C为两齿廓的啮合节点，简称节点。
齿廓啮合基本定律：
两齿廓在任一位置啮合接触时，过接触点所作的两齿廓的公法线必通过节点C，它们的传动比等于连心线O1O2被节点C所分成的两条线段的反比。
如果要求两齿廓作定传动比传动，即要求为常数，则由式（5.1）可知，其齿廓曲线需满足的条件是：节点C为连心线上的一个定点。
当两齿轮作定传动比传动时，节点C在齿轮1运动平面上的轨迹是以O1为圆心、以O1C（）为半径的圆；节点C在齿轮2运动平面上的运动轨迹是以O2为圆心、以O2C ()为半径的圆。
由于啮合传动的两齿廓在节点C有相同的速度，所以两个圆在传动过程中作无滑动的纯滚动，我们把这两个圆称为节圆。
即一对齿轮啮合传动的传动比，等于两齿轮节圆半径的反比。
如果要求两齿廓作变传动比传动，则节点C不是一个定点，而是按相应的规律在连心线上移动。
因而，节点C在轮1和轮2上的轨迹就不是圆，而是非圆曲线。
这样的齿轮就是非圆齿轮。
凡是满足齿廓啮合基本定律的一对齿廓叫共轭齿廓。
共轭齿廓的曲线叫共轭曲线。
在给定工作要求的传动比的情况下，只要给出一条齿廓曲线，就可以根据齿廓啮合基本定律求出与其共轭的另一条齿廓曲线。
因此，理论上满足一定传动比规律的共轭曲线有很多。
但在生产实践中，选择齿廓曲线时，还必须综合考虑设计、制造、安装、使用等方面的因素。
目前常用的齿廓曲线有渐开线、摆线、变态摆线、圆弧曲线、抛物线等。
其中以渐开线作为齿廓曲线的齿轮（称为渐开线齿轮）应用最为广泛。
三、渐开线标准直齿圆柱齿轮
㈠、外齿轮
1、齿轮各部分的名称
图中所示为外齿轮的一部分，齿轮上每个凸起部分称为齿，齿轮的齿数用z 表示。
分度圆：人为选定的设计齿轮的基准圆。
半径用
r、直径用d 表示。
齿顶圆：过所有轮齿顶端的圆。
半径用r a、直径用d a表示。
齿顶高：分度圆与齿顶圆之间的径向距离。
用h a 表
示。
齿根圆：过所有齿槽底部的圆。
半径用r f、直径
用d f 表示。
齿根高：分度圆与齿根圆之间的径向距离。
用h f 表
示。
全齿高：齿顶圆与齿根圆之间的径向距离。
用h 表
示。
基圆：产生渐开线的圆。
半径用r b、直径用d b
表示。
齿厚：每个轮齿上的圆周弧长。
在半径为r k的圆上度量的弧长称为该半径上的齿厚，用s k表示；在分度圆上度量的弧长称为分度圆齿厚，用s表示。
齿槽宽：两个轮齿间齿槽上的圆周弧长。
在半径为r k 的圆周上度量的弧长称为该半径上的齿槽宽，用
e k表示。
在分度圆上度量的弧长称为分度圆齿槽宽，用e 表示。
齿距：相邻两个轮齿同侧齿廊之间的圆周弧长。
在半径为r k的圆周上度量的弧长称为该半径的齿距，用p k表示；显然。
在分度圆上度量的弧长称为分度圆齿距，用p表示，。
在基圆上度量的弧长称为基圆齿距，用p b 表示，。
法向齿距：相邻两个轮齿同侧齿廊之间在法线方向上的距离。
用p n表示。
由渐开线性质可知：
2、基本参数
1）齿数Z
2）分度圆模数：分度圆周长，因而分度圆直径d为:
从这个式子可见，由于是无理数，所以不论p取任何有理数，都会使计算出的分度圆和以它为基准
的其它圆的直径为无理数，这会给齿轮的设计、制造和测量带来诸多不便，为此，人为地将的比值取为有理数，用m表示，我们将m称为分度圆模数，简称为模数，单位是mm。
3）分度圆压力角
分度圆确定后，就要确定用作齿廓曲线的渐开线的形状。
渐开线的形状是由基圆决定的，由可知，已知分度
圆半径后,只要选定一个分度圆压力角，就可以求出基圆半
径:
4）齿顶高系数：齿顶高h a用齿顶高系数h a*与模数的乘积表示：
5）顶隙系数：齿根高h f用齿顶高系数h a*与顶隙系数c*之和乘以模数表示：
在这五个参数中，模数m 、压力角、h a*、c*都已标准化，设计齿轮时，一般按国家标准选取。
1）模数m的标准值
标准模数（GB1357-87)
第一系列0.1 0.12 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5 0.6 0.8 1
1.25 1.5 2
2.5 3 4 5 6 8 10 12 16 20 25 32 40 50
第二系列0.35 0.7 0.9 1.75 2.25 2.75 (3.25) 3.5 (3.75) 4.5 5.5 (6.5) 7 9 (11) 14 18 22 28 (30) 36 45
说明：
1.本表适用于渐开线圆柱齿轮。
对斜齿轮是指法面模数。
2.选用模数时，应优先选用第一系列，其次是第二系列，括号内的模数尽可能不用。
2）压力角标准值:
我国规定标准值一般为20°。
某些行业也采用14.5°，15°，22.5°，25°。
从理论上讲，压力角越小对传动越有利，如果压力角太小，会造成齿根变瘦，轮齿的承载能力小；如果压力角太大，齿根变厚、齿顶变尖，传动费力。
因而，我国标准规定分度圆压力角的取值为20°，在强度和传动效果方面都能够兼顾。
为减少标准刀具的数量，降低加工成本。
一个齿轮不同圆上的齿距不相同，因而模数也不相同；不同圆上压力角也不相同，只有分度圆上的模数和压力角为标准值。
通常所说的齿轮的模数和压力角，是特指分度圆上的模数和压力角。
3）齿顶高系数与顶隙系数的标准值
正常齿制
当m≥1mm时,h a*＝1, c*＝0.25
当m<1mm时,h a*＝1, c*＝0.35
短齿制h a*＝0.8, c*＝0.3
分度圆——－齿轮中具有标准模数和标准压力角的圆；
标准齿轮—－除m、、h a*、c* 四个基本参数为标准值外，还有两个特征：
1、分度圆齿厚与槽宽相等，即
2、具有标准齿顶高和齿根高，即,
不具备上述特征的齿轮是非标准齿轮。
3、渐开线标准直齿轮几何尺寸计算公式
4、任意圆上的齿厚
一个齿轮不同圆上的齿厚是不一样的，下面推导任意圆齿厚的公式，由图可知：
据上式可得齿顶圆齿厚:
式中为齿顶圆压力角
节圆齿厚:，其中为节圆半径,为节圆压力角基圆齿厚:
㈡、内齿轮
内齿轮与外齿轮的不同点：
1）齿顶圆小于分度圆,齿根圆大于分度圆。
2）齿廓是内凹的,其齿厚和槽宽分别对应于
外齿轮的槽宽和齿厚。
3）齿顶圆必须大于基圆，以使内齿轮齿顶的齿廓曲线全部为渐开线。
㈢、齿条
当外齿轮的齿数增加到无穷多时,齿轮上的基圆和其它圆都变成了互相平行的直线，同侧渐开线齿廓变成了互相平行的斜直线齿廓，于是，齿轮变为齿条。
标准齿条具有以下特点：
1）齿廓不同高度上的压力角均相等，且等于齿廓的倾斜角，此角称为齿形角，标准值为20°。
2）齿廓在不同高度上的齿距均相等，即。
3）齿廓不同高度线上的齿厚和槽宽各不相同，其中只有一条高度线上的齿厚等于槽宽，即：
这条线称为齿条中线（它相当于标准齿轮的分度圆）。
