[数学]2014-2015年广东省深圳中学高一(上)数学期末试卷带解析word

2014-2015学年广东省深圳市罗湖区翠园中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每题5分，共50分）1. 圆(x−2)2+(y+3)2=2的圆心和半径分别是（）A.(−2, 3)，1B.(2, −3)，3C.(−2, 3)，√2D.(2, −3)，√22. 空间中，两条直线若没有交点，则这两条直线的位置关系是（）A.相交B.平行C.异面D.平行或异面3. 设集合A={x|12<2x<2}，B={x|lg x>0}，则A∪B=()A.{x|x>−1}B.{x|−1<x<1}C.⌀D.{x|−1<x<1或x>1}4. 圆O1:x2+y2−2x=0和圆O2:x2+y2−4y=0的位置关系是()A.内切B.相离C.相交D.外切5. 在同一坐标系中，函数y=2−x与y=log2x的图象是（）A. B.C. D.6. 点B是点A(1, 2, 3)在坐标平面yOz内的正投影，则|OB|等于（）A.√14B.√13C.2√3D.√117. 某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A.72π B.48π C.30π D.24π8. 水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=√32，那么原△ABC是一个（）A.等边三角形B.直角三角形C.三边中只有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形9. 关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：①若m // α，n // β且α // β，则m // n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n // β且α // β，则m⊥n；④若m // α，n⊥β且α⊥β，则m // n；其中真命题的序号是（）A.①②B.③④C.①④D.②③10. 已知函数f(x)=|log4x|，正实数m、n满足m<n，且f(m)=f(n)，若f(x)在区间[m5, n]上的最大值为5，则m、n的值分别为（）A.12、2 B.14、4 C.√22、√2 D.12、4二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）函数f(x)=lg(x−3)的定义域为________．一个球的外切正方体的体积是8，则这个球的表面积是________．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2−8x+15＝0，若直线y＝kx−2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________43．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(−∞, 0]上是增函数，且f(−2)=0，则使得x[f(x)+f(−x)]<0的x 的取值范围是________．三、解答题：（本大题共6小题．共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）已知直线l1:2x−ay+1=0，直线l2:4x+6y−7=0．（1）若l1 // l2，求a的值；（2）若l1与l2相交，交点纵坐标为正数，求a的范围．设函数f(x)=1+1x．（1）用定义证明函数f(x)在(0, +∞)上的单调性；（2）求函数f(x)在x∈[2, 6]上的值域．如图，五面体EF−ABCD中，ABCD是以点H为中心的正方形，EF // AB，EH丄平面ABCD，AB=2，EF=EH=1．（1）证明：EH // 平面ADF；（2）证明：平面ADF丄平面ABCD；（3）求五面体EF−ABCD的体积．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为线段AD1上的中点，Q为线段PC1上的中点．（1）求证：DP⊥平面ABC1D1；（2）求证：CQ // 平面BDP．已知直线l:√2ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A、B两点（其中a，b为实数），点Q(0, 23)是圆内的一定点．（1）若a=√2，b=1，求△AOB的面积；（2）若△AOB为直角三角形（O为坐标原点），求点P(a, b)与点Q之间距离最大时的直线l方程；（3）若△AQB为直角三角形，且∠AQB=90∘，试求AB中点M的轨迹方程．已知函数f(x)=2|x−m|和函数g(x)=x|x−m|+2m−8，其中m为参数，且满足m≤5．（1）若m=2，写出函数g(x)的单调区间（无需证明）；（2）若方程f(x)=2|m|在x∈[−2, +∞)上有唯一解，求实数m的取值范围；（3）若对任意x1∈[4, +∞), 存在x2∈(−∞, 4]，使得f(x2)=g(x1)成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析2014-2015学年广东省深圳市罗湖区翠园中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每题5分，共50分）1.【答案】D【考点】圆的标准方程【解析】根据圆的标准方程，即可写出圆心坐标和半径．【解答】解：∵圆的标准方程为(x−2)2+(y+3)2=2∴圆的圆心坐标和半径长分别是(2, −3)，√2故选D．2.【答案】D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】根据空间两条直线的位置关系矩形判断．【解答】解：在空间，两条直线的位置关系有：相交、平行和异面；其中两条直线平行或者相交可以确定一个平面，所以空间中，两条直线若没有交点，则这两条直线的位置关系是平行或者异面；故选：D．3.【答案】D【考点】并集及其运算【解析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的并集即可．【解答】解：由A中的不等式变形得：2−1<2x<2，即−1<x<1，即A=(−1, 1)，由lg x>0=lg1，即x>1，即B=(1, +∞)，则A∪B={x|−1<x<1或x>1}．故选D.4.【答案】C【考点】圆与圆的位置关系及其判定圆的一般方程【解析】求出半径，求出圆心，看两个圆的圆心距与半径的关系即可．【解答】解：圆O1:x2+y2−2x=0，即(x−1)2+y2=1，圆心是O1(1, 0)，半径是r1=1；圆O2:x2+y2−4y=0，即x2+(y−2)2=4，圆心是O2(0, 2)，半径是r2=2；∵|O1O2|=√5，故|r1−r2|<|O1O2|<|r1+r2|，∴两圆的位置关系是相交．故选C.5.【答案】A【考点】指数函数的性质对数函数的图象与性质【解析】由函数y=2−x=(12)x是减函数，它的图象位于x轴上方，y=log2x是增函数，它的图象位于y轴右侧，能得到正确答案．【解答】解：∵函数y=2−x=(12)x是减函数，它的图象位于x轴上方，y=log2x是增函数，它的图象位于y轴右侧，观察四个选项，只有A符合条件，故选A．6.【答案】B【考点】空间两点间的距离公式【解析】根据点B是点A(1, 2, 3)在坐标平面yOz内的正投影，得到点B与点A的纵标和竖标相同，而横标为0，写出点B 的坐标，根据两点之间的距离公式，得到结果．【解答】解：∵点B是点A(1, 2, 3)在坐标平面yOz内的正投影，∴点B与点A的纵标和竖标相同，而横标为0，∴B的坐标是(0, 2, 3)∴|OB|=√0+22+32=√13，故选B．7.【答案】C【考点】由三视图求体积【解析】由题意，结合图象可得该几何体是圆锥和半球体的组合体，根据图中的数据即可计算出组合体的体积选出正确选项【解答】解：由图知，该几何体是圆锥和半球体的组合体，球的半径是3，圆锥底面圆的半径是3，圆锥母线长为5，由圆锥的几何特征可求得圆锥的高为4，则它的体积V=V圆锥+V半球体=13π⋅32⋅4+12⋅43π⋅33=30π，故选C.8.【答案】A【考点】平面图形的直观图【解析】由图形和A′O′=√32通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边BC=B′C′，AO⊥BC，且AO=√3，故三角形为正三角形．【解答】解：由图形知，在原△ABC中，AO⊥BC，∵A′O′=√32∴AO=√3∵B′O′=C′O′=1∴BC=2∴AB=AC=2∴△ABC为正三角形．故选A9.【答案】D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】根据线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理，对四个结论逐一进行分析，易得到答案．【解答】若m // α，n // β且α // β，则m，n可能平行也可能异面，也可以相交，故①错误；若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m，n一定垂直，故②正确；若m⊥α，n // β且α // β，则m，n一定垂直，故③正确；若m // α，n⊥β且α⊥β，则m，n可能相交、平行也可能异面，故④错误10.【答案】B【考点】对数函数的图象与性质【解析】由题意可知0<m<1<n，以及mn=1，又f(x)在区间[m5, n]上的最大值为5，可得出f(m5)=5求出m，故可得m、n的值．【解答】解：f(x)=|log4x|，图象如图，正实数m、n满足m<n，且f(m)=f(n)，∴0<m<1<n，再由f(m)=f(n)，得|log4m|=|log4n|，即−log4m=log4n，∴log4mn=0，∴mn=1，又函数在区间[m5, n]上的最大值为5，由于f(m)=f(n)，f(m5)=5f(m)，故可得f(m5)=5，即|log4m5|=5，即log4m5=−5，即m5=4−5，可得m=14，∴n=4．∴m、n的值分别为14、4．故选：B．二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）【答案】{x|x>3}【考点】函数的定义域及其求法【解析】利用对数函数类型的函数的定义域的求法即可得出．【解答】解：∵x−3>0，∴x>3．∴函数f(x)=lg(x−3)的定义域为{x|x>3}．故答案为：{x|x>3}．【答案】4π【考点】球的表面积和体积【解析】先求出球的直径，再求球的表面积．【解答】解：∵正方体的体积是8，∴正方体的列出为：2，∵一个球的外切正方体的体积是8，∴球的直径是正方体的棱长，即为2，∴球的表面积为4π×12=4π．故答案为：4π【答案】43【考点】圆与圆的位置关系及其判定直线与圆的位置关系【解析】由于圆C的方程为(x−4)2+y2＝1，由题意可知，只需(x−4)2+y2＝4与直线y＝kx−2有公共点即可．【解答】∵圆C的方程为x2+y2−8x+15＝0，整理得：(x−4)2+y2＝1，即圆C是以(4, 0)为圆心，1为半径的圆；又直线y＝kx−2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：(x−4)2+y2＝4与直线y＝kx−2有公共点即可．设圆心C(4, 0)到直线y＝kx−2的距离为d，则d=√1+k2≤2，即3k2−4k≤0，∴0≤k≤43．∴k的最大值是43．【答案】(−2, 0)∪(2, +∞)【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴x[f(x)+f(−x)]<0等价为2xf(x)<0，∵在(−∞, 0]上是增函数，且f(−2)=0，∴在(0, +∞]上是减函数，且f(2)=0，函数f(x)的简图如图，则不等式等价为{x>0f(x)<0或{x<0f(x)>0，即x>2或x<−2，故答案为：(−2, 0)∪(2, +∞)三、解答题：（本大题共6小题．共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）【答案】解：（1）因为l1 // l2，由A1B2−A2B1=0，得2×6−(−a)×4=0，解得a=−3．（2）联立方程组{2x−ay+1=04x+6y−7=0，解得y=92a+6，a≠−3．由已知得2a+6>0，解得a>−3．即a的范围为(−3, +∞)．【考点】直线的一般式方程【解析】（1）因为l1 // l2，由A1B2−A2B1=0，能求出a的值．（2）联立方程组{2x−ay+1=04x+6y−7=0，得y=92a+6，a≠−3，由已知得2a+6>0，由此能求出a的范围．【解答】解：（1）因为l1 // l2，由A1B2−A2B1=0，得2×6−(−a)×4=0，解得a=−3．（2）联立方程组{2x−ay+1=04x+6y−7=0，解得y=92a+6，a≠−3．由已知得2a+6>0，解得a>−3．即a的范围为(−3, +∞)．【答案】解：（1）设x1，x2∈(0, +∞)，且x1<x2，---------则f(x1)−f(x2)=x2−x1x1x2−−−−−−−−∵0<x1<x2∴x1x2>0，x2−x1>0，∴f(x1)>f(x2)，∴函数f(x)在(0, +∞)上是减函数------（2）由（1）知f(x)在(0, +∞)上为减函数，∴在x∈[2, 6]上也为减函数．----∵f(2)=32，f(6)=76，∴ 函数f(x)在x ∈[2, 6]上的值域是[76, 32]．---------【考点】利用导数研究函数的单调性 函数的值域及其求法【解析】（1）设0<x 1<x 2，然后通过作差判断f(x 1)和f(x 2)的大小关系即可．（2）函数在x ∈[2, 6]上也为减函数，即可求函数f(x)在x ∈[2, 6]上的值域． 【解答】 解：（1）设x 1，x 2∈(0, +∞)，且x 1<x 2，--------- 则f(x 1)−f(x 2)=x 2−x 1x 1x 2−−−−−−−−∵ 0<x 1<x 2∴ x 1x 2>0，x 2−x 1>0， ∴ f(x 1)>f(x 2)，∴ 函数f(x)在(0, +∞)上是减函数------（2）由（1）知f(x)在(0, +∞)上为减函数，∴ 在x ∈[2, 6]上也为减函数．---- ∵ f(2)=32，f(6)=76，∴ 函数f(x)在x ∈[2, 6]上的值域是[76, 32]．--------- 【答案】证明：（1）由已知得EF // AB 且EF =12AB取AD 的中点G ，连结GH ，GF ….. 则GH // AB 且GH =12AB …EF // GH 且EF =GH ，即EFGH 为平行四边形 ∴ FG // EH ，FG ⊂平面ADF ，EH ⊄平面ADF∴ EH // 平面ADF ；（2）∵ EH ⊥平面ABCD ，且FG // EH ，… ∴ FG ⊥平面ABCD ，且FG ⊂平面ADF ，… ∴ 平面ADF ⊥平面ABCD ；…．（2）解：在面ABCD 内过H 作RT // AD ，如图，则面RTE // 面ADF ，ADF −RTE 为三棱柱， 由（1）及HG ⊥AD 得GH 为该柱体的高，…． ∴ V ABCD−EF =V ADF−RTE +V E−BCTR=(12×2×1)×1+13×(2×1)×1=53．（不排除其它方法，酌情分布给分）【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 直线与平面平行的判定 平面与平面垂直的判定 【解析】（1）由已知得EF // AB 且EF =12AB ，取AD 的中点G ，连结GH ，GF ，证明FG // EH ，利用直线与平面平行的判定定理证明EH // 平面ADF ．（2）证明FG ⊥平面ABCD ，利用直线与平面垂直的判定定理证明平面ADF ⊥平面ABCD ． （2）说明GH 为该柱体的高，利用V ABCD−EF =V ADF−RTE +V E−BCTR 求解即可． 【解答】证明：（1）由已知得EF // AB 且EF =12AB 取AD 的中点G ，连结GH ，GF ….. 则GH // AB 且GH =12AB …EF // GH 且EF =GH ，即EFGH 为平行四边形∴ FG // EH ，FG ⊂平面ADF ，EH ⊄平面ADF∴ EH // 平面ADF ；（2）∵ EH ⊥平面ABCD ，且FG // EH ，… ∴ FG ⊥平面ABCD ，且FG ⊂平面ADF ，… ∴ 平面ADF ⊥平面ABCD ；…．（2）解：在面ABCD 内过H 作RT // AD ，如图，则面RTE // 面ADF ，ADF −RTE 为三棱柱， 由（1）及HG ⊥AD 得GH 为该柱体的高，…． ∴ V ABCD−EF =V ADF−RTE +V E−BCTR=(12×2×1)×1+13×(2×1)×1=53．（不排除其它方法，酌情分布给分） 【答案】证明（1）因为正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB ⊥平面AA 1D 1D ，------- DP ⊂平面AA 1D 1D ，所以DP ⊥AB ，------- 又P 为AD 1的中点，所以DP ⊥AD 1，-------AB ∩AD 1=A ，所以DP ⊥平面ABC 1D 1−−−−−−−−−（2）证明：连BC 1，与B 1C 相交于H ，则QH // PB ，又CH // PD ，QH ∩CH =H ， 所以平面QHC // 平面PBD ，所以CQ // 平面BDP −−−−−−− 【考点】直线与平面平行的判定 直线与平面垂直的判定【解析】（1）利用正方体的性质得到AB ⊥平面AA 1D 1D ，得到DP ⊥AB ，又P 为AD 1的中点，所以DP ⊥AD 1，由线面垂直的判定定理证明；（2）连BC 1，与B 1C 相交于H ，则QH // PB ，又CH // PD ，QH ∩CH =H ，利用线面平行的判定定理证明． 【解答】证明（1）因为正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB ⊥平面AA 1D 1D ，------- DP ⊂平面AA 1D 1D ，所以DP ⊥AB ，------- 又P 为AD 1的中点，所以DP ⊥AD 1，-------AB ∩AD 1=A ，所以DP ⊥平面ABC 1D 1−−−−−−−−−（2）证明：连BC 1，与B 1C 相交于H ，则QH // PB ，又CH // PD ，QH ∩CH =H ，所以平面QHC // 平面PBD ，所以CQ // 平面BDP −−−−−−− 【答案】解：（1）由已知直线方程为2x +y =1，圆心到直线的距离d =5=√55， |AB|=2√1−d 2=4√55，∴ S △AOB =12|AB|⋅d =25；（2）∵ △AOB 为直角三角形，∴ |AB|=√2， ∴ 圆心到直线的距离为√2a 2+b 2=12|AB|=√22，即2a 2+b 2=2，∵ 2−b 2=2a 2≥0，∴ −√2≤b ≤√2， |PQ|=√a 2+(b −23)2=√12b 2−43b +139=√12(b −43)2+59，当b =−√2时可取最大值，此时a =0， ∴ 直线l 方程为√2y +1=0；（3）设M(x, y)，连OB ，OM ，OQ ，则由“垂径定理”知： M 是AB 的中点，则OM ⊥AB ，∴ |OM|2+|MB|2=|OB|2， 又在直角三角形AQB 中，|QM|=|AM|=|BM|=12|AB|， ∴ |OM|2+|QM|2=|OB|2，即x 2+y 2+x 2+(y −23)2=1，∴ M 点的轨迹方程为：x 2+y 2−23y −518=0．【考点】直线和圆的方程的应用 【解析】（1）由点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，进一步求得|AB|，然后代入三角形的面积公式得答案； （2）在直角三角形AOB 中，求得|AB|，再由点到直线的距离公式得到a ，b 的关系，把|PQ|用含有b 的代数式表示，通过配方法求得点P(a, b)与点Q 之间距离最大时的a ，b 的值，则直线l 的方程可求； （3）设出M 的坐标，利用圆中的垂径定理列式求得AB 中点M 的轨迹方程． 【解答】解：（1）由已知直线方程为2x +y =1，圆心到直线的距离d =√5=√55， |AB|=2√1−d 2=4√55，∴ S △AOB =12|AB|⋅d =25；（2）∵ △AOB 为直角三角形，∴ |AB|=√2， ∴ 圆心到直线的距离为√2a 2+b2=12|AB|=√22，即2a 2+b 2=2，∵ 2−b 2=2a 2≥0，∴ −√2≤b ≤√2， |PQ|=√a 2+(b −23)2=√12b 2−43b +139=√12(b −43)2+59，当b =−√2时可取最大值，此时a =0， ∴ 直线l 方程为√2y +1=0；（3）设M(x, y)，连OB ，OM ，OQ ，则由“垂径定理”知： M 是AB 的中点，则OM ⊥AB ，∴ |OM|2+|MB|2=|OB|2， 又在直角三角形AQB 中，|QM|=|AM|=|BM|=12|AB|，∴ |OM|2+|QM|2=|OB|2， 即x 2+y 2+x 2+(y −23)2=1，∴ M 点的轨迹方程为：x 2+y 2−23y −518=0．【答案】解：（1）m =2时，g(x)={x 2−2x −4(x ≥2)−x 2+2x −4(x <2)，∴ 函数g(x)的单调增区间为(−∞, 1)，(2, +∞)，单调减区间为(1, 2)．（2）由f(x)=2|m|在x∈[−2, +∞)上有唯一解，得|x−m|=|m|在x∈[−2, +∞)上有唯一解．即(x−m)2=m2，解得x=0或x=2m，由题意知2m=0或2m<−2，即m<−1或m=0．综上，m的取值范围是m<−1或m=0．（3）由题意可知g(x)的值域应是f(x)的值域的子集．∵f(x)={2x−m(x≥m)2m−x(x<m).①m≤4时，f(x)在(−∞, m)上单调递减，[m, 4]上单调递增，∴f(x)≥f(m)=1．g(x)在[4, +∞)上单调递增，∴g(x)≥g(4)=8−2m，∴8−2m≥1，即m≤72．②当4<m≤5时，f(x)在(−∞, 4]上单调递减，故f(x)≥f(4)=2m−4，g(x)在[4, m]上单调递减，[m, +∞)上单调递增，故g(x)≥g(m)=2m−8∴2m−4≤2m−8，解得5≤m≤6．又4<m≤5，∴m=5综上，m的取值范围是(−∞,72]∪{5}【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用利用导数研究函数的单调性【解析】（1）由二次函数性质可知函数g(x)的单调增区间为(−∞, 1)，(2, +∞)，单调减区间为(1, 2)；（2）方程f(x)=2|m|可化为(x−m)2=m2，解得x=0或x=2m，根据题意可得2m=0或2m<−2，从而可知实数m的取值范围；（3）由题意可知g(x)的值域应是f(x)的值域的子集．分情况讨论f(x)和g(x)的值域，即可确定实数m的取值范围．【解答】解：（1）m=2时，g(x)={x2−2x−4(x≥2)−x2+2x−4(x<2)，∴函数g(x)的单调增区间为(−∞, 1)，(2, +∞)，单调减区间为(1, 2)．（2）由f(x)=2|m|在x∈[−2, +∞)上有唯一解，得|x−m|=|m|在x∈[−2, +∞)上有唯一解．即(x−m)2=m2，解得x=0或x=2m，由题意知2m=0或2m<−2，即m<−1或m=0．综上，m的取值范围是m<−1或m=0．（3）由题意可知g(x)的值域应是f(x)的值域的子集．∵f(x)={2x−m(x≥m)2m−x(x<m).①m≤4时，f(x)在(−∞, m)上单调递减，[m, 4]上单调递增，∴f(x)≥f(m)=1．g(x)在[4, +∞)上单调递增，∴g(x)≥g(4)=8−2m，∴8−2m≥1，即m≤72．②当4<m≤5时，f(x)在(−∞, 4]上单调递减，故f(x)≥f(4)=2m−4，g(x)在[4, m]上单调递减，[m, +∞)上单调递增，故g(x)≥g(m)=2m−8∴2m−4≤2m−8，解得5≤m≤6．又4<m≤5，∴m=5综上，m的取值范围是(−∞,72]∪{5}。

广东省深圳高中2014-2015学年高一上学期10月月考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）.1．（5分）若集合M=（x，y）|x+y=0，N=（x，y）|x2+y2=0，x∈R，y∈R，则有（）A．M∪N=M B．M∪N=N C．M∩N=M D．M∩N=∅2．（5分）定义在R上的函数f（x）对任意两个不相等实数a，b，总有成立，则必有（）A．函数f（x）是先增加后减少B．函数f（x）是先减少后增加C．f（x）在R上是增函数D．f（x）在R上是减函数3．（5分）下列各组函数是同一函数的是（）①f（x）=与g（x）=x；②f（x）=|x|与g（x）=；③f（x）=x0与g（x）=；④f（x）=x2﹣2x﹣1与g（t）=t2﹣2t﹣1．A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④4．（5分）偶函数y=f（x）在区间[0，4]上单调递减，则有（）A．f（﹣1）＞f（）＞f（﹣π）B．f（）＞f（﹣1）＞f（﹣π）C． f（﹣π）＞f（﹣1）＞f（）D．f（﹣1）＞f（﹣π）＞f（）5．（5分）函数y=x2﹣4x+3，x∈[0，3]的值域为（）A．[0，3]B．[﹣1，0]C．[﹣1，3]D．[0，2]6．（5分）函数y=ax2+bx与y=ax+b（a•b≠0）在同一坐标系中的图象只能是（）A．B．C．D．7．（5分）若f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，又f（﹣3）=0，则（x﹣1）f（x）＜0的解是（）A．（﹣3，0）∪（1，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣3，0）∪（1，3）8．（5分）已知函数f（x）=的图象与直线y=x恰有三个公共点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[﹣1，2）C．[﹣1，2]D．[2，+∞）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）+﹣﹣=．10．（5分）已知函数f（x）=x2+（m+2）x+3是偶函数，则m=．11．（5分）已知f（x）=，那么f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+f（4）+f（）=．12．（5分）已知函数f（x）=，则满足f（x）=3的x的值为．13．（5分）若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是．14．（5分）已知函数f（x）=，若f（x）定义域为R，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（12分）集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}，若A∩B=∅，求实数a的取值范围．16．（12分）（I）画出函数y=x2﹣2x﹣3，x∈（﹣1，4]的图象；（II）讨论当k为何实数值时，方程x2﹣2x﹣3﹣k=0在（﹣1，4]上的解集为空集、单元素集、两元素集？17．（14分）已知定义域为x∈R|x≠0的函数f（x）满足；①对于f（x）定义域内的任意实数x，都有f（﹣x）+f（x）=0；②当x＞0时，f（x）=x2﹣2．（Ⅰ）求f（x）定义域上的解析式；（Ⅱ）解不等式：f（x）＜x．18．（14分）已知函数．（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；（2）若f（x）在上的值域是，求a的值．19．（14分）已知f（x）对于任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＞0．（1）求f（0）并判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）的单调性，并用定义加以证明．20．（14分）已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的定义域并判断函数的奇偶性；（2）设F（x）=m+f（x），若记f（x）=t，求函数F（x）的最大值的表达式g（m）．广东省深圳高中2014-2015学年高一上学期10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）.1．（5分）若集合M=（x，y）|x+y=0，N=（x，y）|x2+y2=0，x∈R，y∈R，则有（）A．M∪N=M B．M∪N=N C．M∩N=M D．M∩N=∅考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：据集合的表示法知两个集合一个表示直线一个表示一个点且点在直线上，得到两集合的并集．解答：解：∵M={（x，y）|x+y=0}表示的是直线x+y=0又N={（x，y）|x2+y2=0}表示点（0，0）∵（0，0）在直线x+y=0上∴M∪N=M故选项为A点评：本题考查集合的表示法及两个集合的并集的定义、据定义求并集．2．（5分）定义在R上的函数f（x）对任意两个不相等实数a，b，总有成立，则必有（）A．函数f（x）是先增加后减少B．函数f（x）是先减少后增加C．f（x）在R上是增函数D．f（x）在R上是减函数考点：函数单调性的判断与证明．专题：证明题．分析：比值大于零，说明分子分母同号，即自变量与函数值变化方向一致，由增函数的定义可得结论．解答：解：任意两个不相等实数a，b，总有成立，即有a＞b时，f（a）＞f（b），a＜b时，f（a）＜f（b），由增函数的定义知：函数f（x）在R上是增函数．故选C点评：本题主要考查增函数定义的变形．3．（5分）下列各组函数是同一函数的是（）①f（x）=与g（x）=x；②f（x）=|x|与g（x）=；③f（x）=x0与g（x）=；④f（x）=x2﹣2x﹣1与g（t）=t2﹣2t﹣1．A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④考点：判断两个函数是否为同一函数．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数的三要素即可判断出．解答：解：①f（x）=，g（x）=x，解析式不同，∴f（x）与g（x）不是同一函数；②∵f（x）=|x|，g（x）==|x|，故是同一函数；③f（x）=x0=1（x≠0），，解析式与定义域、值域相同，故是同一函数．④f（x）=x2﹣2x﹣1与g（t）=t2﹣2t﹣1对应法则和定义域相同，故是同一函数．综上可知：②③④．故选C．点评：本题考查了利用函数的三要素判定函数是否是同一函数，事实上只要具备定义域与对应法则相同即可．4．（5分）偶函数y=f（x）在区间[0，4]上单调递减，则有（）A．f（﹣1）＞f（）＞f（﹣π）B．f（）＞f（﹣1）＞f（﹣π）C． f（﹣π）＞f（﹣1）＞f（）D．f（﹣1）＞f（﹣π）＞f（）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：由函数y=f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），从而有f（﹣1）=f（1），f（﹣π）=f（π），结合函数y=f（x）在[0，4]上的单调性可比较大小解答：解：∵函数y=f（x）为偶函数，且在[0，4]上单调递减∴f（﹣x）=f（x）∴f（﹣1）=f（1），f（﹣π）=f（π）∵1＜＜π∈[0，4]f（1）＞f（）＞f（π）即f（﹣1）＞f（）＞f（﹣π）故选A点评：本题主要考查了函数的奇偶性及函数的单调性的综合应用，解题的关键是由偶函数把所要比较的式子转化为同一单调区间上可进行比较5．（5分）函数y=x2﹣4x+3，x∈[0，3]的值域为（）A．[0，3]B．[﹣1，0]C．[﹣1，3]D．[0，2]考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：由函数y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，x∈[0，3]可得，当x=2时，函数取得最小值为﹣1，当x=0时，函数取得最大值3，由此求得函数的值域．解答：解：∵函数y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，x∈[0，3]，故当x=2时，函数取得最小值为﹣1，当x=0时，函数取得最大值3，故函数的值域为[﹣1，3]，故选C．点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，属于中档题．6．（5分）函数y=ax2+bx与y=ax+b（a•b≠0）在同一坐标系中的图象只能是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数ax2+bx+c的图象相比较看是否一致，即可得到结论．解答：解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，错误；B、由抛物线可知，a＞0，b=0，由直线可知，a＞0，b＞0，错误；C、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，正确；D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，错误．故选C．点评：本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，掌握它们的性质是解题的关键．7．（5分）若f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，又f（﹣3）=0，则（x﹣1）f（x）＜0的解是（）A．（﹣3，0）∪（1，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣3，0）∪（1，3）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：把不等式（x﹣1）•f（x）＜0转化为f（x）＞0或f（x）＜0的问题解决，根据f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果．解答：解：∵f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，∴在（﹣∞，0）内f（x）也是增函数，又∵f（﹣3）=0，∴f（3）=0∴当x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）时，f（x）＜0；当x∈（﹣3，0）∪（3，+∞）时，f（x）＞0；∵（x﹣1）•f（x）＜0∴或解可得﹣3＜x＜0或1＜x＜3∴不等式的解集是（﹣3，0）∪（1，3）故选D．点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查解不等式，体现了分类讨论的思想方法，属基础题．8．（5分）已知函数f（x）=的图象与直线y=x恰有三个公共点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[﹣1，2）C．[﹣1，2]D．[2，+∞）考点：函数的零点；函数的图象；函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得只要满足直线y=x和射线y=2（x＞m）有一个交点，而且直线y=x与函数f（x）=x2+4x+2的两个交点即可，画图便知，直线y=x与函数f（x）=x2+4x+2的图象的两个交点为（﹣2，﹣2）（﹣1，﹣1），由此可得实数m的取值范围．解答：解：由题意可得射线y=x与函数f（x）=2（x＞m）有且只有一个交点．而直线y=x与函数f（x）=x2+4x+2，至多两个交点，题目需要三个交点，则只要满足直线y=x与函数f（x）=x2+4x+2的图象有两个交点即可，画图便知，y=x与函数f（x）=x2+4x+2的图象交点为A（﹣2，﹣2）、B（﹣1，﹣1），故有m≥﹣1．而当m≥2时，直线y=x和射线y=2（x＞m）无交点，故实数m的取值范围是[﹣1，2），故选B．点评：本题主要考查函数与方程的综合应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）+﹣﹣=．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：把27化为33，16化为42，化为2﹣1，化为，然后进行有理指数幂的化简求值．解答：解：===．故答案为．点评：本题考查了有理指数幂的化简求值，解答的关键是熟记有关公式，此题是基础题．10．（5分）已知函数f（x）=x2+（m+2）x+3是偶函数，则m=﹣2．考点：偶函数．专题：计算题．分析：根据偶函数的定义可得f（x）=f（﹣x）然后整理即可得解．解答：解：∵函数f（x）=x2+（m+2）x+3是偶函数∴f（x）=f（﹣x）∴（﹣x）2+（m+2）（﹣x）+3=x2+（m+2）x+3∴2（m+2）x=0①即①对任意x∈R均成立∴m+2=0∴m=﹣2故答案为﹣2点评：本题主要考查了利用偶函数的定义求参数的值．事实上通过本题我们可得出一个常用的结论：对于关于x的多项式的代数和所构成的函数若是偶函数则x的奇次项不存在即奇次项的系数为0，若为奇函数则无偶次项且无常数项即偶次项和常数项均为0！11．（5分）已知f（x）=，那么f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+f（4）+f（）=．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知得f（x）+f（）=1，由此能求出f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+f （4）+f（）的值．解答：解：∵f（x）=，∴f（x）+f（）=+=1，∴f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+f（4）+f（）=+1+1+1=．故答案为：．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意f（x）+f（）=1的合理运用．12．（5分）已知函数f（x）=，则满足f（x）=3的x的值为1或﹣5．考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：根据x的范围，分别得到方程，解出即可．解答：解：由x+2=3，解得：x=1，由x2+4x﹣2=3，解得：x=﹣5，或x=1（舍），故答案为：1或﹣5．点评：本题考查了函数的零点问题，本题属于基础题．13．（5分）若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是[，3]．考点：二次函数的性质．专题：计算题；数形结合．分析：根据函数的函数值f（）=﹣，f（0）=﹣4，结合函数的图象即可求解解答：解：∵f（x）=x2﹣3x﹣4=（x﹣）2﹣，∴f（）=﹣，又f（0）=﹣4，故由二次函数图象可知：m的值最小为；最大为3．m的取值范围是：≤m≤3．故答案[，3]点评：本题考查了二次函数的性质，特别是利用抛物线的对称特点进行解题，属于基础题．14．（5分）已知函数f（x）=，若f（x）定义域为R，则实数a的取值范围是（﹣1，1]．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：通过讨论a的范围，结合二次函数，二次根式的性质，从而得出a的范围．解答：解：当a=1时，f（x）=，符合题意，当a=﹣1时，f（x）=，不合题意，当a≠±1时，由题意得：，解得：﹣1＜a＜1，综上，﹣1＜a≤1．故答案为：（﹣1，1]．点评：本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道基础题．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（12分）集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}，若A∩B=∅，求实数a的取值范围．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：①当A=∅时，a﹣1≥2a+1，解得a的取值范围．②当A≠∅时，有或，由此求得实数a的取值范围，再把这两个范围取并集，即得所求．解答：解：∵集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}，A∩B=∅，①当A=∅时，a﹣1≥2a+1，解得a≤﹣2．②当A≠∅时，有或．解得﹣2＜a≤﹣，或a≥2．综上可得a≤﹣，或a≥2，即实数a的取值范围为（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）．点评：本题主要考查集合中参数的取值问题，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．16．（12分）（I）画出函数y=x2﹣2x﹣3，x∈（﹣1，4]的图象；（II）讨论当k为何实数值时，方程x2﹣2x﹣3﹣k=0在（﹣1，4]上的解集为空集、单元素集、两元素集？考点：二次函数的性质；函数与方程的综合运用．专题：作图题．分析：（I）先明确其开口方向以及其对称轴，根据图象的变化规律，过几点画出即可，要注意定义域．（II）在（I）的基础上，再作出y=k的图象，根据条件，上下移动，来研究k的范围．解答：解：（I）图象如图所示，其中不含点（﹣1，0），含点（4，5）．（3分）（II）原方程的解与两个函数y=x2﹣2x﹣3，x∈（﹣1，4]和y=k的图象的交点构成一一对应．易用图象关系进行观察．（1）当k＜﹣4或k＞5时，原方程在（﹣1，4]上的解集为空集；（2）当k=﹣4或0≤k≤5时，原方程在（﹣1，4]上的解集为单元素集；（3）当﹣4＜k＜0时，原方程在（﹣1，4]上的解集为两元素集（8分）点评：本题即是一道作图题，也是一道数形结合题，这是函数中很常见的类型和很常用的方法，应熟练掌握，并理解其内在精华．17．（14分）已知定义域为x∈R|x≠0的函数f（x）满足；①对于f（x）定义域内的任意实数x，都有f（﹣x）+f（x）=0；②当x＞0时，f（x）=x2﹣2．（Ⅰ）求f（x）定义域上的解析式；（Ⅱ）解不等式：f（x）＜x．考点：一元二次不等式的解法；函数解析式的求解及常用方法；奇函数．专题：计算题；分类讨论．分析：（I）根据条件①变形，得到f（x）在定义域内是奇函数，设x小于0，得到﹣x大于0，代入②中f（x）的解析式中化简后即可得到x小于0时f（x）的解析式，综上，得到f （x）在x大于0和小于0上的分段函数解析式；（II）当x大于0时和小于0时，把（I）得到的相应的解析式代入不等式中，分别求出相应的解集，然后求出两解集的并集即为原不等式的解集．解答：解：（I）∵对于f（x）定义域内的任意实数x，都有f（﹣x）+f（x）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）在其定义域为{x∈R|x≠0}内是奇函数（2分）∵当x＞0时，f（x）=x2﹣2，设x＜0，所以﹣x＞0，∴f（﹣x）=﹣f（x）=x2﹣2，即f（x）=2﹣x2，则；（6分）（II）∵当x＞0时，x2﹣2＜x，化简得（x﹣2）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜2，所以不等式的解集为0＜x＜2；当x＜0时，2﹣x2＜x，化简得：（x﹣1）（x+2）＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，所以不等式的解集为x＜﹣2，综上，不等式f（x）＜x的解集为{x|0＜x＜2或x＜﹣2}．（10分）点评：此题要求学生掌握奇函数的性质及确定方法，考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，是一道中档题．18．（14分）已知函数．（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；（2）若f（x）在上的值域是，求a的值．考点：函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：计算题；证明题．分析：（1）利用函数单调性的定义，设x2＞x1＞0，再将f（x1）﹣f（x2）作差后化积，证明即可；（2）由（1）知f（x）在（0，+∞）上是单调递增的，从而在[，2]上单调递增，由f（2）=2可求得a的值．解答：证明：（1）证明：设x2＞x1＞0，则x2﹣x1＞0，x1x2＞0，∵=，∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）在（0，+∞）上是单调递增的．（2）∵f（x）在（0，+∞）上是单调递增的，∴f（x）在上单调递增，∴，∴．点评：本题考查函数单调性的判断与证明，着重考查函数单调性的定义及其应用，属于中档题．19．（14分）已知f（x）对于任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＞0．（1）求f（0）并判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）的单调性，并用定义加以证明．考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：（1）首先令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）；然后令y=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，从而判断f（﹣）与f（x）的关系；（2）设x1，x2∈R，x1＜x2，利用f（x+y）=f（x）+f（y），将f（x2）﹣f（x1）=f[x1+（x2﹣x1）]﹣f（x1）变形，从而得到f（x2）﹣f（x1）与0的关系．解答：解：（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0令y=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，∴f（x）=﹣f（﹣x），∴f（x）是奇函数…6分（2）函数f（x）在R上是增函数．证明如下：设x1，x2∈R，x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，由已知可得f（x2﹣x1）＞0，∴f（x2）﹣f（x1）=f[x1+（x2﹣x1）]﹣f（x1）=f（x1）+f（x2﹣x1）﹣f（x1）=f（x2﹣x1）＞0（或由（1）得f（x2）﹣f（x1）=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1）＞0）∴f（x）在R上是增函数．…14分．点评：本题考查了函数的奇偶性的判断以及单调性的证明；对于抽象函数的奇偶性的判断要充分利用抽象函数的等式，常用适当地赋值判断f（﹣x）与f（x）的关系．20．（14分）已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的定义域并判断函数的奇偶性；（2）设F（x）=m+f（x），若记f（x）=t，求函数F（x）的最大值的表达式g（m）．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数的奇偶性的定义即可得到结论；（2）根据二次函数的图象和性质即可得到结论．解答：解：（1）函数f（x）有意义，须满足，得﹣1≤x≤1，故函数定义域是{x|﹣1≤x≤1}．∵函数定义域关于原点对称，且，∴函数f（x）是偶函数．（2）设f（x）=t，则，∵，∴2≤[f（x）]2≤4，∵f（x）≥0，∴，即函数f（x）的值域为，即∴，令∵抛物线y=h（t）的对称轴为①当m＞0时，，函数y=h（t）在上单调递增，∴g（m）=h（2）=m+2；②当m=0时，h（t）=t，g（m）=2③当m＜0时，，若，即时，函数y=h（t）在上单调递减，∴；若，即时，；若，即时，函数y=h（t）在上单调递增，∴g（m）=h（2）=m+2；综上得．点评：本题主要考查函数奇偶性和最值的求解，根据函数奇偶性的定义以及二次函数的图象和性质是解决本题的关键．。

高一（上）期末数学试卷（必修一、二）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卡相应的位置.）1．已知集合M={x∈Z|x（x﹣3）≤0}，N={x|lnx＜1}，则M∩N=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{0，1，2}D．{1，2，3}2．函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．B．（1，2） C．（2，3） D．（e，+∞）3．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下些说法正确的是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βD．若α⊥γ，α⊥β，，则γ⊥β4．已知函数，设，则有（）A．f（a）＜f（b）＜f（c） B．f（a）＜f（c）＜f（b）C．f（b）＜f（c）＜f （a）D．f（b）＜f（a）＜f（c）5．将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．6．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，若该病毒占据64MB内存（1MB=210KB），则开机后经过（）分钟．A．45 B．44 C．46 D．477．若当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y=log a||的图象大致为（）A．B．C．D．8．在平面直角坐标系中，下列四个结论：①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；③方程与方程y+1=k（x﹣2）可表示同一直线；④直线l过点P（x0，y0），倾斜角为90°，则其方程为x=x°；其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图所示，圆柱形容器的底面直径等于球的直径2R，把球放在在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，此时容器中水的深度是（）A．2R B．C．D．10．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．11．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°12．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C． D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在答卷上.）13．计算的结果是．14．已知4a=2，lgx=a，则x=．15．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．16．已知：在三棱锥P﹣ABQ 中，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH，则多面体ADGE﹣BCHF的体积与三棱锥P﹣ABQ体积之比是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应位置.）17．如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3）．（1）求OC所在直线的斜率；（2）过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．18．如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=1，AB=2．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADE；（Ⅱ）求凸多面体ABCDE的体积．19．已知函数为奇函数，（1）求a的值；（2）当0≤x≤1时，关于x的方程f（x）+1=t有解，求实数t的取值范围；（3）解关于x的不等式f（x2﹣mx）≥f（2x﹣2m）．20．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场调查和预测，投资债券等稳键型产品A的收益f（x）与投资金额x的关系是f（x）=k1x，（f（x）的部分图象如图1）；投资股票等风险型产品B的收益g（x）与投资金额x的关系是，（g（x）的部分图象如图2）；（收益与投资金额单位：万元）．（1）根据图1、图2分别求出f（x）、g（x）的解析式；（2）该家庭现有10万元资金，并全部投资债券等稳键型产品A及股票等风险型产品B两种产品，问：怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？21．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，M，N分别为AC，B1C1的中点．（Ⅰ）求线段MN的长；（Ⅱ）求证：MN∥平面ABB1A1；（Ⅲ）线段CC1上是否存在点Q，使A1B⊥平面MNQ？说明理由．22．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．（1）若a＜0，b＞0，c=0，且f（x）在[0，2]上的最大值为，最小值为﹣2，试求a，b的值；（2）若c=1，0＜a＜1，且||≤2对任意x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．（用a来表示）高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卡相应的位置.）1．已知集合M={x∈Z|x（x﹣3）≤0}，N={x|lnx＜1}，则M∩N=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{0，1，2}D．{1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】解不等式化简集合M、N，根据交集的定义写出M∩N．【解答】解：集合M={x∈Z|x（x﹣3）≤0}={x∈Z|0≤x≤3}={0，1，2，3}，N={x|lnx＜1}={x|0＜x＜e}，则M∩N={1，2}．故选：A．2．函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．B．（1，2） C．（2，3） D．（e，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】由函数的解析式求得f（2）＜0，f（3）＞0，可得f（2）f（3）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间．【解答】解：∵函数，∴f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0，故有f（2）f（3）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间为（2，3），故选：C．3．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下些说法正确的是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βD．若α⊥γ，α⊥β，，则γ⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对于A，若m⊂β，α⊥β，则m与α平行、相交或m⊂α；对于B，根据线面垂直的判定定理进行判断；对于C，若αlγ=m，βlγ=n，m∥n，则α∥β或α与β相交；对于D，若α⊥γ，α⊥β，则γ与β相交或平行．【解答】解：若m⊂β，α⊥β，则m与α平行、相交或m⊂α，故A不正确；若m⊥α，m∥β，则α⊥β，因为m∥β根据线面平行的性质在β内至少存在一条直线与m平行，根据线面垂直的判定：如果两条平行线中的一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于该平面，故B正确；若αlγ=m，βlγ=n，m∥n，则α∥β或α与β相交，故C不正确；若α⊥γ，α⊥β，则γ与β相交或平行，故D不正确．故选B．4．已知函数，设，则有（）A．f（a）＜f（b）＜f（c） B．f（a）＜f（c）＜f（b）C．f（b）＜f（c）＜f （a）D．f（b）＜f（a）＜f（c）【考点】对数值大小的比较．【分析】由复合函数的单调性可得函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，进而得出大小关系．【解答】解：由复合函数的单调性可得函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，又，，，因此b＞c＞a，∴f（b）＞f（c）＞f（a）．故选：B．5．将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】直接利用三视图的画法，画出几何体的左视图即可．【解答】解：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，AD1在右侧的射影是正方形的对角线，B1C在右侧的射影也是对角线是虚线．如图B．故选B．6．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，若该病毒占据64MB内存（1MB=210KB），则开机后经过（）分钟．A．45 B．44 C．46 D．47【考点】等比数列的通项公式．【分析】n个3分钟后，所占内存是原来的2n+1倍，从而应有2n+1=64×210=216，由此能求出结果．【解答】解：因为开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，所以3分钟后占据内存22KB，两个3分钟后占据内存23KB，三个3分钟后占据内存24KB，故n个3分钟后，所占内存是原来的2n+1倍，则应有2n+1=64×210=216，∴n=15，15×3=45，故选：A．7．若当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y=log a||的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由于当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，利用指数函数的图象和性质可得0＜a＜1．先画出函数y=log a|x|的图象，此函数是偶函数，当x＞0时，即为y=log a x，而函数y=log a||=﹣log a|x|，即可得出图象．【解答】解：∵当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1．因此，必有0＜a＜1．先画出函数y=log a|x|的图象：黑颜色的图象．而函数y=log a||=﹣log a|x|，其图象如红颜色的图象．故选B．8．在平面直角坐标系中，下列四个结论：①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；③方程与方程y+1=k（x﹣2）可表示同一直线；④直线l过点P（x0，y0），倾斜角为90°，则其方程为x=x°；其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程；②，由倾斜角与斜率的关系知，倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；③，方程（x≠2）与方程y+1=k（x﹣2）（x∈R）不表示同一直线；④，直线l过点P（x0，y0），倾斜角为90°，则其方程为x=x°；【解答】解：对于①，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故错；对于②，由倾斜角与斜率的关系知，倾斜角是钝角的直线，斜率为负数，正确；对于③，方程（x≠2）与方程y+1=k（x﹣2）（x∈R）不表示同一直线，故错；对于④，直线l过点P（x0，y0），倾斜角为90°，则其方程为x=x0，正确；故选：B．9．如图所示，圆柱形容器的底面直径等于球的直径2R，把球放在在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，此时容器中水的深度是（）A．2R B．C．D．【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出水的体积，即可求出容器中水的深度．【解答】解：由题意，水的体积==，∴容器中水的深度h==，故选：C．10．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底边长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的边长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．11．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】如上图，正方体的体对角线AC1有以下性质：①AC1⊥平面A1BD，AC1⊥平面CB1D1；②AC1被平面A1BD与平面CB1D1三等分；③AC1=AB等．（注：对正方体要视为一种基本图形来看待．）【解答】解：因为三棱锥A﹣A1BD是正三棱锥，所以顶点A在底面的射影H是底面中心，所以选项A正确；易证面A1BD∥面CB1D1，而AH垂直平面A1BD，所以AH垂直平面CB1D1，所以选项B正确；连接正方体的体对角线AC1，则它在各面上的射影分别垂直于BD、A1B、A1D等，所以AC1⊥平面A1BD，则直线A1C与AH重合，所以选项C正确；故选D．12．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C． D．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．【分析】要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有6个不同实数根，转化为t2+at+b=0必有两个根t1、t2，分类讨论求解．【解答】解：依题意f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递增，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递减，当x=±2时，函数取得极大值；当x=0时，取得极小值0．要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R 有且只有6个不同实数根，设t=f（x），则则有两种情况符合题意：（1），且，此时﹣a=t1+t2，则；（2）t1∈（0，1]，，此时同理可得，综上可得a的范围是．故选答案C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在答卷上.）13．计算的结果是2．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【分析】利用指数幂的运算法则、对数的运算法则和换底公式即可得出．【解答】解：运算=1﹣++lg2+lg5=1﹣0.4+0.4+1=2．故答案为2．14．已知4a=2，lgx=a，则x=．【考点】对数的运算性质．【分析】根据指数函数和对数函数的定义计算即可．【解答】解：∵4a=2，∴22a=2，即2a=1解得a=∵lgx=a，∴lgx=∴x=，故答案为：15．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程2x﹣y=0或x+y﹣3=0．【考点】直线的两点式方程．【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x+y=a，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y﹣3=0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x即2x﹣y=0．综上，所求直线的方程为：2x﹣y=0或x+y﹣3=0．故答案为：2x﹣y=0或x+y﹣3=016．已知：在三棱锥P﹣ABQ 中，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH，则多面体ADGE﹣BCHF的体积与三棱锥P﹣ABQ体积之比是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意可得GH∥EF，且GH：EF=2：3，设出三棱锥P﹣ABQ体积为V，=，，=，作差求出多面体ADGE 可得V P﹣DCQ﹣BCHF的体积，则答案可求．【解答】解：∵D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，∴EF∥AB，DC∥AB，则EF∥DC，又EF⊄平面PCD，DC⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD，又EF⊂平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD=GH，∴EF∥GH，=，，设三棱锥P﹣ABQ体积为V，则V P﹣DCQ=．∴=．∴多面体ADGE﹣BCHF的体积与三棱锥P﹣ABQ体积之比是．故答案为：．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应位置.）17．如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3）．（1）求OC所在直线的斜率；（2）过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．【考点】直线的点斜式方程；斜率的计算公式；直线的一般式方程．【分析】（1）根据原点坐标和已知的C点坐标，利用直线的斜率k=，求出直线OC的斜率即可；（2）根据平行四边形的两条对边平行得到AB平行于OC，又CD垂直与AB，所以CD垂直与OC，由（1）求出的直线OC的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1，求出CD所在直线的斜率，然后根据求出的斜率和点C的坐标写出直线CD的方程即可．【解答】解：（1）∵点O（0，0），点C（1，3），∴OC所在直线的斜率为．（2）在平行四边形OABC中，AB∥OC，∵CD⊥AB，∴CD⊥OC．∴CD所在直线的斜率为．∴CD所在直线方程为，即x+3y﹣10=0．18．如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=1，AB=2．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADE；（Ⅱ）求凸多面体ABCDE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出AE⊥CD，CD⊥AD，从而CD⊥平面ADE，再由AB∥CD，能证明AB⊥平面ADE．+V B﹣ADE，由此能求出结果．（Ⅱ）凸多面体ABCDE的体积V=V B﹣CDE【解答】证明：（Ⅰ）∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD，又在正方形ABCD中，CD⊥AD，AE∩AD=A，∴CD⊥平面ADE，又在正方形ABCD中，AB∥CD，∴AB⊥平面ADE．…解：（Ⅱ）连接BD，设B到平面CDE的距离为h，∵AB∥CD，CD⊂平面CDE，∴AB∥平面CDE，又AE⊥平面CDE，∴h=AE=1，又=，∴=，又==，+V B﹣ADE=．…∴凸多面体ABCDE的体积V=V B﹣CDE19．已知函数为奇函数，（1）求a的值；（2）当0≤x≤1时，关于x的方程f（x）+1=t有解，求实数t的取值范围；（3）解关于x的不等式f（x2﹣mx）≥f（2x﹣2m）．【考点】函数奇偶性的性质；函数的零点与方程根的关系．【分析】（1）利用f（0）=0，即可求a的值；（2）当0≤x≤1时，关于x的方程f（x）+1=t有解，求出函数的值域，即可求实数t的取值范围；（3）利用函数的单调性，化不等式为具体不等式，分类讨论，即可解关于x的不等式f（x2﹣mx）≥f（2x﹣2m）．【解答】解：（1）∵x∈R，∴f（0）=0，∴a=﹣1…．（2）∵，∵0≤x≤1，∴2≤3x+1≤4…．∴…．∴…．（3）在R上单调递减，…．f（x2﹣mx）≥f（2x﹣2m）x2﹣mx≤2x﹣2m…．x2﹣（m+2）x+2m≤0（x﹣2）（x﹣m）≤0…．①当m＞2时，不等式的解集是{x|2≤x≤m}②当m=2时，不等式的解集是{x|x=2}③当m＜2时，不等式的解集是{x|m≤x≤2}…．20．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场调查和预测，投资债券等稳键型产品A的收益f（x）与投资金额x的关系是f（x）=k1x，（f（x）的部分图象如图1）；投资股票等风险型产品B的收益g（x）与投资金额x的关系是，（g（x）的部分图象如图2）；（收益与投资金额单位：万元）．（1）根据图1、图2分别求出f（x）、g（x）的解析式；（2）该家庭现有10万元资金，并全部投资债券等稳键型产品A及股票等风险型产品B两种产品，问：怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）设投资为x万元，由题意，知f（1.8）=0.45，g（4）=2.5，由此能求出A、B两种产品的收益表示为投资的函数关系式．（2）设对股票等风险型产品B投资x万元，则对债券等稳键型产品A投资（10﹣x）万元，记家庭进行理财投资获取的收益为y万元，则y=，x ≥0．利用换元法能求出怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，并能求出其最大收益为多少万元．【解答】解：（1）设投资为x万元，由题意，知f（1.8）=0.45，g（4）=2.5；解得k1=，k2=，∴f（x）=x，x≥0．g（x）=，x≥0；（2）设对股票等风险型产品B投资x万元，则对债券等稳键型产品A投资（10﹣x）万元，记家庭进行理财投资获取的收益为y万元，则y=，x≥0．设=t，则x=t2，0≤t≤∴y=﹣，当t=，也即x=时，y取最大值．答：对股票等风险型产品B投资万元，对债券等稳键型产品A投资万元时，可获最大收益万元．21．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，M，N分别为AC，B1C1的中点．（Ⅰ）求线段MN的长；（Ⅱ）求证：MN∥平面ABB1A1；（Ⅲ）线段CC1上是否存在点Q，使A1B⊥平面MNQ？说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连接CN，易证AC⊥平面BCC1B1．由勾股定理可得CN的值，进而可得MN的长；（Ⅱ）取AB中点D，连接DM，DB1，可得四边形MDB1N为平行四边形，可得MN∥DB1，由线面平行的判定定理可得MN∥平面ABB1A1；（Ⅲ）当Q为CC1中点时，有A1B⊥平面MNQ．连接BC1，易证QN⊥BC1．可得A1B⊥QN，A1B⊥MQ，由线面垂直的判定可得．【解答】解：（Ⅰ）连接CN，因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，所以AC⊥CC1，…因为AC⊥BC，所以AC⊥平面BCC1B1．…因为MC=1，CN==，所以MN=…（Ⅱ）证明：取AB中点D，连接DM，DB1…在△ABC中，因为M为AC中点，所以DM∥BC，DM=BC．在矩形B1BCC1中，因为N为B1C1中点，所以B1N∥BC，B1N=BC．所以DM∥B1N，DM=B1N．所以四边形MDB1N为平行四边形，所以MN∥DB1．…因为MN⊄平面ABB1A1，DB1⊂平面ABB1A1…所以MN∥平面ABB1A1．…（Ⅲ）解：线段CC1上存在点Q，且Q为CC1中点时，有A1B⊥平面MNQ．…证明如下：连接BC1，在正方形BB1C1C中易证QN⊥BC1．又A1C1⊥平面BB1C1C，所以A1C1⊥QN，从而NQ⊥平面A1BC1．…所以A1B⊥QN．…同理可得A1B⊥MQ，所以A1B⊥平面MNQ．故线段CC1上存在点Q，使得A1B⊥平面MNQ．…22．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．（1）若a＜0，b＞0，c=0，且f（x）在[0，2]上的最大值为，最小值为﹣2，试求a，b的值；（2）若c=1，0＜a＜1，且||≤2对任意x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．（用a来表示）【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质．【分析】（1）讨论对称轴与区间[0，2]的关系，判断f（x）的单调性，列出方程组解出a，b；（2）令g（x）=，讨论极值点与区间[1，2]的关系判断g（x）的单调性，列出不等式组解出b．【解答】（1）抛物线的对称轴为，①当时，即b＞﹣4a时，当时，，f（x）min=f（2）=4a+2b+c=﹣2，∴，∴a=﹣2，b=3．②当时，即b≥﹣4a时，f（x）在[0，2]上为增函数，f（x）min=f（0）=0与f（x）min=﹣2矛盾，无解，综合得：a=﹣2，b=3．（2）对任意x∈[1，2]恒成立，即对任意x∈[1，2]恒成立，即对任意x∈[1，2]恒成立，令，则，∵0＜a＜1，∴，（ⅰ）若，即时，g（x）在[1，2]单调递减，此时，即，得，此时，∴∴．（ⅱ）若，即时，g（x）在单调递减，在单调递增，此时，，只要，当时，，当时，，．综上得：①时，；②时，；③时，．。

广东省深圳市高一上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）下列函数是偶函数，且在上单调递减的是（）A .B .C .D .2. （2分）不等式的解集记为P，关于x的不等式的解集记为q，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A . (-2,-1]B .C .D .3. （2分） (2016高二下·武汉期中) 若复数z= + ，则|z|的值为（）A .B .C .D . 24. （2分） (2015高一上·腾冲期末) 设a，b是两条不同直线，下列命题α，β，γ是三个不同平面，下列命题不正确的是（）A . b⊂α，a∥b⇒a∥αB . a∥α，α∩β=b，a⊂β⇒a∥bC . a⊂α，b⊂α，a∩b=p，a∥β，b∥β⇒α∥βD . α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b⇒a∥b5. （2分） (2015高一上·腾冲期末) 设a=log30.3，b=20.3 ， c=0.32则（）A . c＞b＞aB . c＞a＞bC . b＞c＞aD . b＞a＞c6. （2分） (2015高一上·腾冲期末) 的值等于（）A .B . 10C .D .7. （2分） (2015高一上·腾冲期末) 设2a=5b=10，则 + =（）A . ﹣1B . 1C . 2D . 58. （2分） (2015高一上·腾冲期末) 函数f（x）=log3x+x﹣3的零点一定在区间（）A . （0，1）B . （1，2）C . （2，3）D . （3，4）9. （2分） (2015高一上·腾冲期末) 已知三点A（3，5），B（x，7），C（﹣1，﹣3）在同一直线上，则x=（）A . 2B . ﹣2C . ﹣4D . 410. （2分） (2015高一上·腾冲期末) 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（）A . 6B .C .D .11. （2分） (2015高一上·腾冲期末) 如图，三棱锥V﹣ABC中，VA=VB=AC=BC=2，AB=2 ，VC=1则二面角V﹣AB﹣C的平面角的度数为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°12. （2分） (2015高一上·腾冲期末) 棱长为1的正四面体的外接球的半径为（）A .B .C . 1D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高三上·重庆期中) 已知函数f（x）=ln（﹣3x）+1，则f（1）+f（﹣1）=________．14. （1分） (2015高一上·腾冲期末) 已知直线L斜率为﹣3，在y轴上的截距为7，则直线l的方程为________．15. （1分） (2015高一上·腾冲期末) 已知直线l过点P（0，﹣2），且与以A（1，﹣1）B（2，﹣4）为端点的线段AB总有公共点，求直线l倾斜角的取值范围________．16. （1分） (2015高一上·腾冲期末) 已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1=0与l2：（k﹣3）x﹣y+1=0平行，则k的值是________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2015高三上·天津期末) 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn ，向量 =（Sn ，an+1）， =（an+1，4）（n∈N*），且∥（1）求{an}的通项公式（2）设f（n）= bn=f（2n+4），求数列{bn}的前n项和Tn ．18. （10分）(2020·天津模拟) 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）已短直线与椭交于A、B两点，点P的坐标为，且 ,求实数m的值.19. （10分） (2019高二下·湖州期末) 已知，为抛物线上的相异两点，且.（1）若直线过，求的值；（2）若直线的垂直平分线交x轴与点P，求面积的最大值.20. （10分） (2018·孝义模拟) 如图，三棱柱中，，平面 .（1）证明：；（2）若，，求二面角的余弦值.21. （15分） (2015高一上·腾冲期末) 已知（1）求f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明你的结论；（3）求使f（x）＞0的x的取值范围．22. （10分） (2015高一上·腾冲期末) 某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）= 其中x是仪器的月产量．（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益=总成本+利润．）参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。

深圳中学 2014-2015学年第一学期期末考试试题科目：数学 模块：必修2注意事项：用蓝色或黑色钢笔或圆珠笔将答案答在答题．．卷．上，答在试题卷上无效 下列公式供选用：1(')3V h S S =台体, ''1()2S c c h =+正棱台侧 ,34π3V r =⋅球.一、选择题：（8小题，每题4分，共32分）1．斜率为3，在y 轴上的截距为4的直线方程是( A ) A. 340x y -+= B.3120x y --= C. 340x y --= D. 3120x y --=2．在空间，下列命题中正确的是 ( C ) A ． 没有公共点的两条直线平行 B ． 与同一直线垂直的两条直线平行 C ． 平行于同一直线的两条直线平行D ．已知直线a 不在平面α内，则直线//a 平面α3．若两个平面互相平行，则分别在这两个平面内的直线( D ) A ．平行 B ．异面 C ．相交 D ．平行或异面 4．直线b ax y +=（b a +＝0）的图象可能是( D )5. 过点(1,3)-，且垂直于直线230x y -+=的直线方程为（ A ）(A)210x y +-= (B) 250x y +-= (C) 250x y +-= (D)270x y -+=6．右图是一个几何体的三视图，那么这个几何体是( B ) A ．三棱锥 B ．四棱锥C ．四棱台D ．三棱台7．如图所示为一个平面四边形ABCD 的直观图，''//''A D B C ， 且 ''''A D B C =，则它的实际形状( B )侧视图俯视图正视图C D 1oo x yx yD'C'y'1A A ．平行四边形B ．梯形C ．菱形D ．矩形8．圆2240x y x +-=在点(1P 处的切线方程为 ( D ) A ．20x-= B.40x-= C.40x += D. 20x +=二、填空题：（5小题，每小题5分，共25分） 9．空间两点12(2,3,5),(3,1,4)P P 间的距离12||PP = .10．若圆1)2()1(22=-+-y x 关于直线y x b =+对称，则实数b = .1 11．一个圆锥的底面圆半径为3，高为4，则这个圆锥的侧面积为 15π.12．光线从点(3,5)A -射到x 轴上，经反射以后经过点(2,10)B ，则光线从A 到B 的距离为 . 13．直三棱柱1111ABC A B C AC AB AA -==中，，01160AC A B 且异面直线与所成的角为，则CAB ∠等于 090三、解答题：本大题共4小题，共43分.14.（本小题满分10分）已知C 是直线1:3230l x y -+=和直线2:220l x y -+=的交点，(1,3),(3,1)A B .（1）求1l 与2l 的交点C 的坐标； （2）求ABC ∆的面积. 解：（1）解方程组 3230,220,x y x y -+=⎧⎨-+=⎩得 1,0.x y =-⎧⎨=⎩所以1l 与2l 的交点C 的坐标为(1,0)C ----------------（4分） （2）设AB 上的高为h ，则 1||2ABC S AB h ∆=||AB ==AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离. AB 边所在直线方程为31,1331y x --=-- 即40.x y +-=----------------------------------------------（7分）点C 到40x y +-=的距离为h ==因此，1 5.2ABC S ∆=⨯=--------------------（10分）15.（本小题满分10分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在边BC 上，1.AD C D ⊥ （1）求证：111ADC BCC B ⊥平面平面； （2）若12AA AB =，求二面角1C AD C --的大小.解：111111 (1) C C ABC C C AD AD ABC AD C D DC CC C ⎫⊥⎫⇒⊥⎬⎪⊂⎭⎪⎪⇒⊥⎬⎪⎪⎪=⎭平面平面1AD CDC ⊥平面111 AD BCC B AD ADC ∴⊥⎫⇒⎬⊂⎭平面平面111ADC BCC B ⊥平面平面……（5分）DC 1B 1A 1CBA(2)11,,C D AD CD AD CDC ⊥⊥∴∠为二面角的平面角 在1Rt CCD ∆中，01111,,602AA AB CD C D CDC =∴=∠= 1C A D C ∴--二面角的大小为060.…………………………（10分）16.（本小题满分11分）已知圆C:224210x y x y +-++=关于直线L : 210x y -+=对称的圆为 D .（1）求圆D 的方程（2）在圆C 和圆 D 上各取点 P ,Q, 求线段PQ 长的最小值。

考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且顶点坐标为（1，2），则a 的取值范围是（）。

A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 02. 在直角坐标系中，点A（2，3），点B（-3，1），则线段AB的中点坐标是（）。

A.（-1，2）B.（-1，3）C.（1，2）D.（1，3）3. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上的轨迹是（）。

A. 一条直线B. 一条圆C. 两个圆D. 无轨迹4. 下列函数中，是奇函数的是（）。

A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = x^45. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10 = 50，a1 = 2，则公差d的值为（）。

A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题5分，共50分）6. 若log2(3x - 2) = 3，则x的值为______。

7. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为______。

8. 若函数y = ax^2 + bx + c的图象与x轴有两个不同的交点，则a、b、c的符号关系为______。

9. 若等比数列{an}的首项a1 = 3，公比q = 2，则第n项an =______。

10. 已知复数z = 3 + 4i，则|z|的值为______。

三、解答题（每题15分，共60分）11. （15分）已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，求f(x)的极值。

12. （15分）在△ABC中，AB = AC，∠B = 60°，求△ABC的外接圆半径。

13. （15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10 = 50，a1 = 2，求公差d。

14. （15分）若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，求z在复平面上的轨迹方程。

广东省深圳高级中学第一学期高一期末考试数学试题说明：1．试卷总分150分，考试时间120分钟；2．不允许．．．用计算器； （第Ⅰ卷）一． 选择题（每小题只有唯一选项是正确的，每小题5分，共计50分） 1．左面的三视图所示的几何体是（ ）A. 六棱台B. 六棱柱C. 六棱锥D. 六边形 2．下列命题：(1)平行于同一平面的两直线平行; (2)垂直于同一平面的两直线平行;(3)平行于同一直线的两平面平行; (4)垂直于同一直线的两平面平行; 其中正确的有 ( )A. (1) (2)和(4)B. (2)和(4) B. (2) (3)和(4) D. (3)和(4) 3．设A 在x 轴上，它到P （0，2，3）的距离为到点Q （0，1，-1）的距离的两倍那么A点的坐标是（ ）A.（1，0，0）和（ -1，0，0）B.（2，0，0）和（-2，0，0）C.（12 ，0，0）和（–12 ，0，0）D.（–22，0，0）和（22，0，0）4．设Rt △ABC 斜边AB 上的高是CD ，AC=BC=2, 沿高CD 作折痕将之折成直二面 角A —CD —B （如图）那么得到二面角C —AB —D 的余弦值等于 ( )A.22 B. 33 C. 12 D.36BAC 1B 1A 1CBA5．如图，C B A ABC -是体积为1的棱柱，则四棱锥B B AA C -的体积是（ ）（第4题图）（第5题图）A.31 B.21C.32 D.43 6．根据表格中的数据，可以判定方程e x-x -2=0的一个根所在的区间为 （ ）A. (-1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)7．点E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 中AB ，BC ，CD ，AD 的中点， 若AC=BD ，且AC 与BD 成900，则四边形EFGH 是（ ）（A ）菱形 （B ）梯形（C ）正方形 （D ）空间四边形8．已知定义在实数集上的偶函数()x f y =在区间（0，+∞）上是增函数，那么⎪⎭⎫⎝⎛=31πf y ，()1223+=x f y 和⎪⎭⎫ ⎝⎛=41log 23f y之间的大小关系为 ( )A. y 1 < y 3 < y 2B. y 1 <y 2< y 3C. y 3 <y 1 <y 2D. y 3 <y 2 <y 19．直线y = 33 x 绕原点按逆时针方向旋转030后所得直线与圆 (x-2)2+y 2=3的位置关系是（ ）（A ）直线过圆心 （B ） 直线与圆相交，但不过圆心 （C ）直线与圆相切 （D ） 直线与圆没有公共点10．函数)1(log )(++=x a x f a x 在]1,0[上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为（ ）A. 41B.21 C.2 D. 4（第II 卷）二． 填空题（每小题5分，共计20分）11．用一张圆弧长等于12π分米，半径是10分米的扇形胶片制作一个圆锥体模型，这个圆FCB （ 第7题图）12．直线l 的斜率是-2，它在x 轴与y 轴上的截距之和是12，那么直线l 的一般式方程是 。

广东省广州市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则∁U（M∩N）=（）A．{1，2，3} B．{2} C．{1，3，4} D．{4}2．（5分）与直线3x+4y+2=0平行的直线方程是（）A．3x+4y﹣6=0 B．6x+8y+4=0 C．4x﹣3y+5=0 D．4x﹣3y﹣5=03．（5分）函数y=的定义域是（）A．{x|x＞0} B．{x|x＞3} C．{x|x≥0} D．{x|x≥3}4．（5分）设点B是点A（2，﹣3，5）关于xOy面的对称点，则A、B两点距离为（）A．10 B．C．D．385．（5分）函数的图象可能是（）A．B．C．D．6．（5分）如图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的侧视图的面积为（）A．8πB．6πC．2+D．4+7．（5分）圆（x+1）2+（y﹣2）2=1与圆x2+y2=9的位置关系是（）A．相交B．外切C．相离D．内切8．（5分）函数g（x）=x2﹣4x+9在[﹣2，0]上的最小值为（）A．5B．9C．21 D．69．（5分）圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程是（）A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x﹣y+4=0 D．x+y﹣4=010．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列命题正确的是（）①l⊥m⇒a∥β②l∥m⇒α⊥β③α⊥β⇒l∥m④α∥β⇒l⊥m．A．①②B．③④C．②④D．①③二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11．（5分）计算：lg50﹣lg5=．12．（5分）已知点A（5，2），B（4，1），则直线AB的倾斜角是．13．（5分）球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于．14．（5分）定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）上递减，且f（）=0，则满足f（x+1）＜0的x的取值范围．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出说明、证明过程和演算步骤．15．（12分）已知函数f（x）=a x+，且f（1）=．（1）求a的值；（2）判定f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）令函数g（x）=f（x）﹣5，且g（a）=8，求g（﹣a）的值．16．（12分）已知在平面直角坐标系xoy中，直线AB的方程为3x﹣2y+6=0，直线AC的方程为2x+3y﹣22=0，直线BC的方程为3x+4y﹣m=0．（1）求证：△ABC为直角三角形；（2）当△ABC的BC边上的高为1时，求m的值．17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．18．（14分）某市一家庭一月份、二月份、三月份天然气用量和支付费用如下表所示：月份用气量（立方米）支付费用（元）一 4 8二20 38三26 50该市的家用天然气收费方法是：天然气费=基本费+超额费+保险费．现已知，在每月用气量不超过a立方米时，只交基本费6元；用气量超过a立方米时，超过部分每立方米付b元；每户的保险费是每月c元（c≤5）．设该家庭每月用气量为x立方米时，所支付的天然气费用为y 元．求y关于x的函数解析式．19．（14分）已知圆C的半径为3，圆心C在直线2x+y=0上且在x轴的下方，x轴被圆C截得的弦长BD为2．（1）求圆C的方程；（2）若圆E与圆C关于直线2x﹣4y+5=0对称，P（x，y）为圆E上的动点，求的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）=lnx+mx（m＞0），其中e=2.71828…为自然对数的底数．（1）若函数f（x）的图象经过点（，0），求m的值；（2）试判断函数f（x）的单调性，并予以说明；（3）试确定函数f（x）的零点个数．广东省广州市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则∁U（M∩N）=（）A．{1，2，3} B．{2} C．{1，3，4} D．{4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由已知中U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，进而结合集合交集，并集，补集的定义，代入运算后，可得答案．解答：解：∵M={1，2}，N={2，3}，∴M∩N={2}，又∵U={1，2，3，4}，∴∁U（M∩N）={1，3，4}，故选：C点评：本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）与直线3x+4y+2=0平行的直线方程是（）A．3x+4y﹣6=0 B．6x+8y+4=0 C．4x﹣3y+5=0 D．4x﹣3y﹣5=0考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：求出已知直线的斜率和直线在y轴上的截距，然后分别求得四个选项的斜率与截距得答案．解答：解：由直线3x+4y+2=0，得，则直线的斜率为﹣，且直线在y轴上的截距为．直线3x+4y﹣6=0的斜率为，直线在y轴上的截距为，∴3x+4y﹣6=0与3x+4y+2=0平行；直线6x+8y+4=0的斜率为，直线在y轴上的截距为，∴6x+8y+4=0与3x+4y+2=0重合；直线4x﹣3y+5=0、4x﹣3y﹣5=0的斜率均为，与直线3x+4y+2=0垂直．故选：A．点评：本题考查了直线的一般式方程与直线平行间的关系，是基础的会考题型．3．（5分）函数y=的定义域是（）A．{x|x＞0} B．{x|x＞3} C．{x|x≥0} D．{x|x≥3}考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：要使函数有意义，只要使得根式有意义即可，解答：解：要使函数有意义，x应满足：x﹣3≥0，即x≥3，故函数y=的定义域是{x|x≥3}故选：D．点评：本题主要考查函数定义域的求法，解题的关键：使函数解析式有意义的自变量的范围．4．（5分）设点B是点A（2，﹣3，5）关于xOy面的对称点，则A、B两点距离为（）A．10 B．C．D．38考点：空间两点间的距离公式；空间中的点的坐标．专题：计算题．分析：点B是A（2，﹣3，5）关于xoy平面对称的点，B点的横标和纵标与A点相同，竖标相反，写出点B的坐标，根据这条线段与z轴平行，得到A、B两点距离．解答：解：点B是A（2，﹣3，5）关于xoy平面对称的点，∴B点的横标和纵标与A点相同，竖标相反，∴B（2，﹣3，﹣5）∴AB的长度是5﹣（﹣5）=10，故选A．点评：本题看出空间中点的坐标和两点之间的距离，本题解题的关键是根据关于坐标平面对称的点的特点，写出坐标，本题是一个基础题．5．（5分）函数的图象可能是（）A．B． C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的是R上的减函数，且图象经过定点（0，），结合所给的选项，可得结论．解答：解：由于函数的是R上的减函数，且图象经过定点（0，），结合所给的选项，只有D满足条件，故选：D．点评：本题主要考查利用函数的单调性、以及图象经过定点，判断函数的图象特征，属于基础题．6．（5分）如图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的侧视图的面积为（）A．8πB．6πC．2+D．4+考点：组合几何体的面积、体积问题．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三视图的侧视图的边长得出面积，运用矩形，三角形求解即可．解答：解：∵r=1，l=2，∴圆锥的高为，∴组合体的侧视图的面积为2×2+=4+，故选：D点评：本题考查了空间几何体的体积面积的计算，三视图，属于容易题．7．（5分）圆（x+1）2+（y﹣2）2=1与圆x2+y2=9的位置关系是（）A．相交B．外切C．相离D．内切考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：求出两圆的圆心，根据圆与圆的位置关系的判断即可得到结论．解答：解：（x+1）2+（y﹣2）2=1的圆心A（﹣1，2），半径R=1，x2+y2=9的圆心O（0，0），半径r=3，则|AB|=，∵3﹣1＜|AB|＜3+1，∴圆（x+1）2+（y﹣2）2=1与圆x2+y2=9的位置关系是相交，故选：A．点评：本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，求出两圆的圆心和半径是解决本题的关键．8．（5分）函数g（x）=x2﹣4x+9在[﹣2，0]上的最小值为（）A．5B．9C．21 D．6考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：根据二次函数的性质判断：函数g（x）=x2﹣4x+9在[﹣2，0]单调递减，求解即可．解答：解：∵函数g（x）=x2﹣4x+9在[﹣2，0]，∴对称轴为x=2，∴函数g（x）=x2﹣4x+9在[﹣2，0]单调递减，∵最小值为g（0）=9，故选：B点评：本题考查了二次函数的性质，闭区间上的最值，属于容易题，难度不大．9．（5分）圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程是（）A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x﹣y+4=0 D．x+y﹣4=0考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆相切得到切线斜率即可得到结论．解答：解：∵直线和圆相切于点P（1，），∴OP的斜率k=，则切线斜率k=，故切线方程为y﹣=（x﹣1），即x+y﹣4=0，故选：D点评：本题主要考查切线方程的求解，根据直线和圆相切得到切线斜率是解决本题的关键．10．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列命题正确的是（）①l⊥m⇒a∥β②l∥m⇒α⊥β③α⊥β⇒l∥m④α∥β⇒l⊥m．A．①②B．③④C．②④D．①③考点：平面与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：由已知中直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，结合条件根据线面垂直，面面平行的几何特征，判断选项的正误得到答案．解答：解：直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，若l⊥m，直线m⊂平面β，则α与β可能平行也可能相交，故①不正确；若l∥m，直线l⊥平面α，则直线m⊥平面α，又∵直线m⊂平面β，则α⊥β，故②正确；若α⊥β，直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则l与m可能平行、可能相交也可能异面，故③不正确；若α∥β，直线l⊥平面α，⇒l⊥β，④正确．故选C．点评：本题考查的知识点是空间平面与平面关系的判定及直线与直线关系的确定，熟练掌握空间线面关系的几何特征是解答本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11．（5分）计算：lg50﹣lg5=1．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数的运算性质计算即可解答：解：lg50﹣lg5=lg=lg10=1故答案为：1点评：本题考查了对数的运算性质，属于基础题12．（5分）已知点A（5，2），B（4，1），则直线AB的倾斜角是45°．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：由两点的坐标求得直线AB的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求得倾斜角的值．解答：解：由A（5，2），B（4，1），可得直线AB的斜率k=．设直线AB的倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tanα=1，α=45°．故答案为：45°．点评：本题考查了直线的倾斜角，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．13．（5分）球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于3．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；球．分析：设出球的半径，求出球的体积和表面积，利用相等关系求出球的半径即可．解答：解：设球的半径为r，则球的体积为：，球的表面积为：4πr2因为球的体积与其表面积的数值相等，所以=4πr2解得r=3，故答案为：3．点评：本题考查球的体积与表面积的计算，是基础题．14．（5分）定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）上递减，且f（）=0，则满足f（x+1）＜0的x的取值范围．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据偶函数在对称区间上单调性相反，f（x）=f（﹣x）=f（|x|），可利用函数的单调性，结合f（）=0，满足f（x+1）＜0可转化为|x+1|．去绝对值求解即可．解答：解：∵定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）上递减，且f（）=0，∴f（x）=f（﹣x）=f（|x|），∴满足f（x+1）＜0可转化为|x+1|．即：x，或x，故答案为：点评：本题综合考查了函数的单调性，奇偶性的运用，结合不等式求解即可，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出说明、证明过程和演算步骤．15．（12分）已知函数f（x）=a x+，且f（1）=．（1）求a的值；（2）判定f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）令函数g（x）=f（x）﹣5，且g（a）=8，求g（﹣a）的值．考点：函数奇偶性的判断；函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）运用代入法，解方程即可得到a；（2）运用奇偶性的定义，求出定义域，再计算f（﹣x），与f（x）比较，即可得到奇偶性；（3）求出f（a），由奇偶性得到f（﹣a），进而得到g（﹣a）．解答：解：（1）因为，所以，所以a=3；（2）由（1）得，所以f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），，所以f（x）=f（﹣x），所以f（x）为偶函数；（3）因为g（x）=f（x）﹣5，g（a）=8，所以f（x）=g（x）+5，所以f（a）=g（a）+5=13因为f（x）为偶函数，所以f（﹣a）=g（﹣a）+5=13，所以g（﹣a）=8．点评：本题考查函数的奇偶性的判断和运用：求函数值，考查定义法的运用，考查运算能力，属于基础题．16．（12分）已知在平面直角坐标系xoy中，直线AB的方程为3x﹣2y+6=0，直线AC的方程为2x+3y﹣22=0，直线BC的方程为3x+4y﹣m=0．（1）求证：△ABC为直角三角形；（2）当△ABC的BC边上的高为1时，求m的值．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：（1）由两直线方程得到两直线的斜率，由斜率之积等于﹣1得到直线AB与AC互相垂直，从而说明△ABC为直角三角形；（2）联立方程组求得A的坐标，然后由A到BC边的距离为1求得m的值．解答：解：（1）直线AB的斜率为，直线AC的斜率为，∵k AB•k AC=﹣1，∴直线AB与AC互相垂直，因此，△ABC为直角三角形；（2）解方程组，得，即A（2，6），设点A到直线BC的距离为d，则，依题意有d=1，即，即|30﹣m|=5，解得m=25或35．点评：本题考查了直线的一般式方程与直线垂直的关系，考查了点到直线距离公式的应用，是基础题．17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可．解答：证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．点评：本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目．18．（14分）某市一家庭一月份、二月份、三月份天然气用量和支付费用如下表所示：月份用气量（立方米）支付费用（元）一 4 8二20 38三26 50该市的家用天然气收费方法是：天然气费=基本费+超额费+保险费．现已知，在每月用气量不超过a立方米时，只交基本费6元；用气量超过a立方米时，超过部分每立方米付b元；每户的保险费是每月c元（c≤5）．设该家庭每月用气量为x立方米时，所支付的天然气费用为y 元．求y关于x的函数解析式．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意，利用天然气费=基本费+超额费+保险费，把x≤a及x＞a时的天然气费表示出来，再写出x的范围限制即可．解答：解：根据题意，因为0＜c≤5，所以6+c≤11．由表格知，二、三月份的费用大于11，因此，二、三月份的用气量均超过基本量a，于是有解得b=2，2a=8+c．③因为0＜c≤5，所以．所以6+c=8，c=2．因此，a=5，b=2，c=2．所以，．点评：本题主要考查函数的应用，读懂题意，列出函数的表达式，注意：要根据实际意义写出自变量x的范围．19．（14分）已知圆C的半径为3，圆心C在直线2x+y=0上且在x轴的下方，x轴被圆C截得的弦长BD为2．（1）求圆C的方程；（2）若圆E与圆C关于直线2x﹣4y+5=0对称，P（x，y）为圆E上的动点，求的取值范围．考点：直线与圆相交的性质．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）由题意可设方程为（x﹣a）2+（y+2a）2=9，由条件可得a=1，进而可得方程；（2）设圆心E（m，n），由对称关系可得m=﹣2，n=4，半径为3，表示圆E上的点与（1，﹣2）的距离，即可求出的取值范围．．解答：解：（1）由题意设圆心坐标（a，﹣2a）﹣﹣﹣（1分），则圆方程为（x﹣a）2+（y+2a）2=9﹣﹣﹣﹣（2分）作CA⊥x轴于点A，在Rt△ABC中，CB=3，AB=，∴CA=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所以|﹣2a|=2，解得a=±1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）又因为点C在x轴的下方，所以a=1，即C（1，﹣2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）所以圆方程为：（x﹣1）2+（y+2）2=9﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（2）设圆心E（m，n），由题意可知点E与点C是关于直线2x﹣4y+5=0对称，所以有﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）可解得m=﹣2，n=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）所以点E（﹣2，4）且圆E的半径为3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）所以圆E的方程为（x+2）2+（y﹣4）2=9，表示圆E上的点与（1，﹣2）的距离．因为（1，﹣2）与点E（﹣2，4）的距离为=3，所以的取值范围为[3﹣3，3+3]．点评：本题考查直线和圆的位置关系，以及对称问题，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．20．（14分）已知函数f（x）=lnx+mx（m＞0），其中e=2.71828…为自然对数的底数．（1）若函数f（x）的图象经过点（，0），求m的值；（2）试判断函数f（x）的单调性，并予以说明；（3）试确定函数f（x）的零点个数．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：（1）代入点的坐标秒即可求出m的值，（2）利用定义证明即可；（3）需要分类讨论，当m∈（0，e）时，根据函数零点定理，以及函数的单调性，当m=e时，当m∈（e，+∞）时，f（x）在定义域上单调递增，得到结论，当m∈（e，+∞）时，设x0=m﹣e＞0根据函数零点定理，以及函数的单调性，即可得到结论或构造函数，设，根据根据函数零点定理得到结论．解答：解：（1）因为函数f（x）的图象经过点，所以，所以m=e；（2）因为函数f（x）的定义域为（0，+∞），设0＜x1＜x2，所以f（x1）=lnx1+mx1，f（x2）=lnx2+mx2，所以，因为0＜x1＜x2，m＞0，所以，所以，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在定义域上单调递增．（3）函数f（x）的零点只有一个①当m∈（0，e）时，f（1）=ln1+m=m＞0，且函数f（x）在上的图象是连续不间断曲线，所以由零点定理可得函数f（x）在（e﹣1，1）上存在一个零点，又由（2）得f（x）在定义域上单调递增，所以函数f（x）的零点只有一个．②当m=e时，，又由（2）得f（x）在定义域上单调递增，所以函数f（x）的零点只有一个．方法一：③当m∈（e，+∞）时，设x0=m﹣e＞0则f（1）=ln1+m=m＞，因为x0＞0，所以，所以，即，且函数f（x）在上的图象是连续不间断曲线所以由零点定理可得函数f（x）在上存在一个零点，又由（2）得f（x）在定义域上单调递增，所以函数f（x）的零点只有一个．方法二：③当m∈（e，+∞）时，设则，且函数g（x）在[1，m]上的图象是连续不间断曲线所以存在x0∈（1，m），使得g（x0）=0，即，从而有，且函数f（x）在（0，+∞）上的图象是连续不间断曲线又由（2）得f（x）在定义域上单调递增，所以当m∈（e，+∞）时，函数f（x）的零点只有一个．点评：本题考查了函数零点存在定理和函数的单调性，培养可分类讨论的能力，转化能力，运算能力，属于中档题．。

高级中学 2014— 2015 学年第二学期期末测试高一理科数学命题人：雷蕾辛彦瑶审题人：高书洪本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-12 题，共 60分，第Ⅱ卷为13-22 题，共 90 分．全卷共计 150 分．考试时间为120 分钟．第Ⅰ卷（本卷共 60 分）一、选择题：（本大题共12 题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合 A= x | ( x1)(4 x)0 ，集合B= y | y2sin3 x，则 A B= ()A (-1 , 2B ( 2 , 4 )C-2 , -1 )D-2 , 2答案C2.下列四个函数中,在 (0,+ ∞)上为增函数的是（）A. f ( x) 3 xB. f ( x)x23x C . f (x)xx1D. f ( x)log 2x答案： C3.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A ．12＋ 4 2B． 18＋ 8 2C． 28D．20＋ 82答案 D4.在△ABC 中，若 2cos Bsin A＝ sin C，则△ABC 的形状是()．A ．等边三角形B ．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形答案B5.已知a是实数，则函数 f ( x) 1 a sin ax的图象不可能是()．．．答案： D6. 已知数列n为等比数列， S n 是它的前 n 项和 ,若 a 2 a 32a 1 ，且 a 4 与 2 a 7 的等差中项a为5，则 S 54A ． 35B ． 33C ． 3lD ． 29答案 C7.在空间四边形 ABCD 中， AB ＝ CD ，AD ＝ BC ， AB ≠ AD ， M ， N 分别是对角线 AC 与 BD的中点，则 MN 与( )A ．AC ， BD 之一垂直B ． AC ，BD 都垂直C ．AC ， BD 都不垂直 D ． AC ，BD 不一定垂直答案 Bx 028.设变量 x, y 满足 xy 1 ，则 xy 的最大值是（）y1A 9B3 C2D1答案 A9.设 l 为直线，、 两个不同的平面．下列命题中正确的是()A ．若 l ∥ α， l ∥β，则 α∥ βB ．若 l， l ⊥ β，则 α∥ βC ．若 l ⊥α， l ∥β，则 α∥ βD ．若 ⊥ β， l ∥ ，则 l ⊥ β答案 B10. 两圆相交于两点 A(1,3) 和 B(m, n) ，且两圆圆心都在直线 x y 2 0 上，则 m n 的值是（）A. 1B.2C.3D. 4答案 D11．当点 P 在圆 x 2 ＋y 2 ＝1 上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段 PQ 的中点的轨迹方程是()A ． (x ＋ 3)2＋y 2＝4B ． (x －3) 2＋ y 2＝ 1C ．(2x － 3)2＋ 4y 2＝ 1D ．(2x ＋ 3)2 ＋4y 2＝ 1答案 C12.已知向量 a 与 b 的夹角为 ，定义 a b 为 a 与 b 的 “向量积 ”，且 a b 是一个向量， 它的长度 a brrrv) （）a b sin ，若 u(2,0) ， u v (1, 3) ，则 u (uA. 4 3B. 3C. 6D. 2 3答案 D第Ⅱ卷（本卷共计 90 分）二、填空题： （本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分）13.△ABC 的三个内角 A ，B ，C 所对的边分别为2b ＝a ，b ，c ，asin Asin B ＋ bcos A ＝ 2a ，则 a____________. 答案： 214. 等差数列 a n 的前 n 项的和为 S n , 若 a 1 24, S 17 S 10 . 则 S n 取最大值时 n 的值为_____________. 答案 13 或 1415.已知正方体的棱长为 a ，该正方体的外接球的半径为3 ，则 a=________．答案 216.曲线 y 14 x 2 与直线 y k( x 2) 4有两个交点，则实数 k 的取值范围是_______________.5 3答案 ，12 4三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）17.（本题满分 10 分）在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，向量 m ＝ (2sin B ，－ 3)， n ＝ cos 2B ， 2cos2B2－ 1 且 m ∥ n .(1) 求锐角 B 的大小；(2) 如果 b ＝ 2，求 S △ABC 的最大值．解(1) ∵m ∥n ，∴ 2sin B 2cos2B－ 1 ＝－ 3cos 2B ，2∴ sin 2B ＝－3cos 2B ，即 tan 2B ＝－ 3.又 B 角，∴ 2B ∈ (0，π)，∴ 2B ＝2ππ，∴ B ＝⋯⋯⋯⋯5 分3 3 πa 2＋c 2－b 2(2)∵ B ＝ 3，b ＝ 2，由余弦定理cos B ＝ 2ac ，得 a 2＋ c 2－ ac － 4＝ 0.又 a 2＋ c 2≥2ac ，代入上式，得 ac ≤4(当且 当 a ＝ c ＝ 2 等号成立 )．△＝13△ 的最大3.⋯10 分S ABC 2acsin B ＝ 4 ac ≤ 3(当且 当 a ＝ c ＝ 2 等号成立 )，即 S ABC18.（本 分 12 分）如 ，正四面体 S ABC 中，其棱 2.（ 1）求 几何体的体 ；（ 2）已知 M ， N 分 是棱 AB 和 SC 的中点 .求直 BN 和直 SM 所成的角的余弦 .解：（ 1）取三角形 ABC 的中心 O ， 接 SO ，由正四面体的性 知SO= SM 2OM 22 6 ， SO 正四面体的高3SABC3V1S ABC SO 2 2 ⋯⋯6 分3 3(2) 接 MC ，取 MC 中点 E ， 接 BE ，NE ， BN ， NE 平行于 SB.直 BN 和直 NE 所成的角即 直BN 和直 SM 所成的角 .BN = 3 ， NE =3， BE = EM 2MB 2722cosBN 2 NE 2 BE 22BNE32BN NE该几何体的体积2 2，直线和直线所成的角的余弦值为 2 .⋯⋯ 12 分3319.（本 分 12 分）已知直 l :y=k(x+22 )与 O: x 2y 24 相交于 A 、 B 两点， O 是坐 原点，三角形ABO 的面 S.（1） 将 S 表示成 k 的函数 S( k)，并求出它的定 域；（2）求 S 的最大 ，并求取得最大 k 的 .解： :如 ,(1) 直 l程 kxy 2 2k 0(k 0),原点 O 到 l 2 2 k 的距离 ock 21弦 AB22 22 48K 2OAOC1 K 2△ABO 面S14 2 K 2 (1 K 2 )AB0,1 K1(K0),2 AB OC1 K2S( k) 4 2 k 2 (1 k 2 ) 1 k 1且K 01 k 2( ⋯⋯6 分(2) 令1 1t ,1t 1,k 22S( k)4 2 k 2 (1 k 2 ) 422t 2 3t 14 2 2(t3 )2 1 .1 k 248当 t=3,1 1 3 , k2 1, k3,Smax2⋯⋯ 12 分4k 243320.（本 分12 分）如 ，在直三棱柱 ABC A 1 B 1C 1 中，平面 A 1BC 面 A 1 ABB 1 ，且AA1AB2(1)求证： AB BC ；(2) 若直线AC与平面A1 BC所成的角为，求锐二面角 A AC B的大小 .61解：（ 1）证明：如右图，取 A1B 的中点 D ，连接 AD ，因 AA1AB ，则 AD A1 B由平面 A BC侧面 A ABB ，111且平面 A1BC侧面 A1ABB1A1B ，得 AD平面 A BC ，又BC平面 A BC ，11所以 AD BC .因为三棱柱ABC —A1B1C1是直三棱柱，则AA1底面 ABC ，所以 AA1 BC .又 AA 1 AD =A ，从而 BC面 A 1 ABB 1 ，又 AB面 A ABB ，故 ABBC .⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分11（2） 接 CD ，由（ 1）可知 AD平面 A 1BC ， CD 是 AC 在 平面 A 1BC 内的射影∴ ACD 即 直 AC 与 平面 A 1BC 所成的角，ACD =6在等腰直角A 1AB 中， AA 1 AB 2 ，且点 D 是 A 1B 中点 ∴ AD1A 1B2 ，且 ADC=，ACD =622AC 2 2点 A 作 AEAC 1 于点 E ， DE由（ 1）知 AD平面 A BC ， ADAC ，且 AEAD A11∴ AED 即 二面角 A AC 1 B 的一个平面角且直角A 1 A AC2 22 2 6A 1 AC 中： AEAC2 331又 AD = 2 ， ADE =2∴ sin AD 23，且二面角 A ACB 二面角AED =AE 26 2 13∴ AED=，即二面角 AAC 1 B 的大小3⋯⋯⋯⋯ 12分321.（本 分 12 分） 数列a n 的前 n 和 S n ， a n 是 S n 与 2 的等差中 , 数列b n中， b 11，点 P(b n , b n 1 ) 在直 yx 2 上 .(1) 求 a n , b n ；(2) b n 11 1 若数列的前 n 和 B n ，比B 2与 2 的大小；B 1 B n(3) 令 T nb 1 b 2 b n，是否存在正整数 M ，使得 T n M 一切正整数n 都成a 1a 2a n立？若存在，求出 M 的最小 ；若不存在， 明理由。