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10 11．直线斜率不存在、截距为0不可忽视一、忽视直线斜率不存在的情况【例1】► 已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4，直线l 过点P (1,2)，且与圆C 交于A 、B 两点．若|AB |＝23，求直线l 的方程．解 (1)当直线l 的斜率不存在时，画出图象可知，直线x ＝1也符合题意．(2)当直线l 的斜率k 存在时，其方程可设为y －2＝k (x －1)，又设圆心到直线l 的距离为d .由d 2＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22，得k ＝34， 代入y －2＝k (x －1)，得y －2＝34(x －1)， 即3x －4y ＋5＝0.所以直线l 的方程为3x －4y ＋5＝0和x ＝1.老师叮咛：在确定直线的倾斜角、斜率时，要注意倾斜角的范围、斜率存在的条件；在利用直线方程的几种特殊形式时要注意它们各自的适用范围，特别是在利用直线的点斜式与斜截式解题时，要防止由于“无斜率”而漏解.二、忽视直线在坐标轴上的截距为0的情形【例2】► 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；解 当直线l 经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时2＋a ＝0，解得a ＝－2，此时直线l 的方程为x －y ＝0；当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得：2＋a a ＋1＝2＋a ，解得a ＝0，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.所以，直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0.老师叮咛：直线在坐标轴上的截距可正，可负，也可为0.直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以设为\f(x,a )＋\f(y,a )＝1，此时ab ≠0，而且不要忘记当a ＝0时，直线y ＝kx 在两条坐标轴上的截距都是0，也是截距相等，所以要充分考虑截距为0的情形.必考问题12 圆锥曲线【真题体验】1．(2012·江苏，8)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．解析 建立关于m 的方程求解。
新课程高中数学必备知识点归纳 ----必须理解、记忆和应用第一册第一章 集合与常用逻辑用语一、集合的定义与表示1.集合的定义：把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合2.集合的表示：常用大写拉丁字母 ,,,C B A 表示，集合中的元素一般用小写拉丁字母 ,,,c b a 表示3.集合的性质：确定性、互异性、无序性（集合中元素的性质）4.元素与集合的关系：属于(A a ∈) , 不属于(A a ∉)5.常用数集：R Q,Z,,N N N,*+或 6.集合的表示：列举法：把集合中的所有元素一一列举出来，并用“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法。
描述法：设A 是一个集合，把集合A 中所具有共同特征)(x P 的元素x 所组成的集合表示为)}(|{x P A x ∈，这种表示集合的方法称为描述法。
二、集合间的基本关系（从文字语言、图形语言、符号语言等方面理解） 1.子集：一般地，对于两个集合,A B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，称集合A 是集合B 的子集，记作B A ⊆（读作A 包含于B ）或A B ⊇（读作B 包含A ）。
韦恩表示图略 2.集合相等：如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 中的任何一个元素都是集合A 的元素，那么集合A 与集合B 相等。
记作A B =。
若B A ⊆且A B ⊆，则A B =。
韦恩表示图略 3.真子集：如果集合B A ⊆，但存在元素,x B ∈且,x A ∉称集合A 是集合B 的真子集，记作B A ≠⊂（读作A真含于B ）或A B ≠⊃（读作B 真包含A ）。
韦恩表示图略4.空集：不含任何元素的集合叫做空集。
空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集 拓展：集合的子集个数含有n 个元素的集合的子集个数为n2，真子集个数为12-n，非空真子集个数为22-n三、集合的基本运算（从文字语言、图形语言、符号语言等方面理解） 1.并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与集合B 的并集，记作A B（读作：“A 并B ”），即{},A B x x A x B =∈∈或，韦恩表示图略，数轴表示略。
训练8 数列的综合应用(参考时间：80分钟)一、填空题1．在数列{a n }中，a 1＝4，a 2＝10，若{log 3(a n －1)}为等差数列，则T n ＝1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n等于________．2．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝2a 1，则4m＋1n的最小值为________．3．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn的最小值为________．4．设{a n }是等比数列，公比q ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．记T n ＝17S n －S 2n a n ＋1，n ∈N *.设Tn 0为数列{T n }的最大项，则n 0＝________.5．已知等差数列{a n }满足2a 2－a 27＋2a 12＝0，且{b n }是等比数列，若b 7＝a 7，则b 5b 9＝________. 6．(2012·天一、某某、海门中学联考)在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 2 012＝9，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 2 012)＋2，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为________．7．(2012·宿迁联考)设y ＝f (x )是一次函数，f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝________.8．(2012·宿迁联考)第30届奥运会在伦敦举行．设数列a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，定义使a 1·a 2·a 3…a k 为整数的实数k 为奥运吉祥数，则在区间[1,2 012]内的所有奥运吉祥数之和为________．9．(2012·某某模拟)在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝21，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，若S 2n ＋1－S n ≤m15对n ∈N *恒成立，则正整数m 的最小值为________．二、解答题10．数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n＋1(n ∈N *，n ≥2)，a 3＝27.(1)求a 1，a 2的值；(2)是否存在一个实数t ，使得b n ＝12n (a n ＋t )(n ∈N *)，且数列{b n }为等差数列？若存在，求出实数t ；若不存在，请说明理由； (3)求数列{a n }的前n 项和S n .11．设函数f (x )＝2x ＋33x (x ＞0)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1(n ∈N *，且n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…＋(－1)n －1·a n a n ＋1，若T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，某某数t 的取值X 围．12．(2012·某某期中)已知数列{a n }满足对任意的n ∈N *，都有a 31＋a 32＋…＋a 3n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2且a n ＞0. (1)求a 1，a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式a n ； (3)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋2的前n 项和为S n ，不等式S n ＞13log a (1－a )对任意的正整数n 恒成立，某某数a 的取值X 围．13．(2012·某某、某某一模)已知数列{a n }满足a 1＝a (a ＞0，a ∈N *)，a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0(p ≠0，p ≠－1，n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若对每一个正整数k ，若将a k ＋1，a k ＋2，a k ＋3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且公差为d k .①求p 的值及对应的数列{d k }．②记S k 为数列{d k }的前k 项和，问是否存在a ，使得S k ＜30对任意正整数k 恒成立？若存在，求出a 的最大值；若不存在，请说明理由．参考答案训练8 数列的综合应用1．解析 由{log 3(a n －1)}是等差数列得d ＝log 3(a 2－1)－log 3(a 1－1)＝log 3(10－1)－log 3(4－1)＝1，所以log 3(a n －1)＝log 3(a 1－1)＋(n －1)×1＝n 所以a n ＝3n＋1，则T n ＝1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝132＋1－31－1＋133＋1－32－1＋…＋13n ＋1＋1－3n－1＝13×2＋132×2＋…＋13n ×2＝12×13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－13n .答案 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n2．解析 由a 7＝a 6＋2a 5得q 2＝q ＋2，又a n ＞0，所以q ＝2，a m a n ＝2m ＋n －2a 1＝2a 1，所以m ＋n ＝3，故4m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3＋n 3＝53＋4n 3m ＋m 3n ≥53＋2 49＝3.(当且仅当m ＝2，n ＝1等号成立)． 答案 33．解析 a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋33＝33＋n 2－n ，所以a n n＝33n＋n －1，设f (n )＝33n＋n －1，令f ′(n )＝－33n2＋1＞0，则f (n )在(33，＋∞)上是单调递增，在(0，33)上是递减的，因为n ∈N *，所以当n＝5或6时f (n )有最小值．又因为a 55＝535，a 66＝636＝212，所以，a n n 的最小值为a 66＝212.答案 2124．解析 T n ＝17a 1[1－2n]1－2－a 1[1－22n]1－2a 12n＝11－2·22n－172n＋162n＝11－2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n＋162n－17，因为(2)n＋162n≥8，当且仅当(2)n＝4，即n＝4时取等号，所以当n 0＝4时T n 有最大值． 答案 45．解析 因为{a n }是等差数列，所以a 2＋a 12＝2a 7，又2(a 2＋a 12)＝a 27，所以4a 7＝a 27，b 7＝a 7≠0，所以a 7＝4，所以b 5b 9＝b 27＝42＝16. 答案 166．解析 f ′(0)即为f (x )展开式中x 的系数，所以f ′(0)＝a 1a 2…a 2 012＝(a 1a 2 012)1 006＝91 006＝32 012，又f (0)＝2，故在点(0，f (0))处的切线方程为y －2＝32 012x ，即为y ＝32 012x ＋2.答案 y ＝32 012x ＋2 7．解析 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，又f (0)＝1，所以b ＝1，即f (x )＝kx ＋1(k ≠0)，由f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，得f 2(4)＝f (1)f (13)，即(4k ＋1)2＝(k ＋1)(13k ＋1)，因为k ≠0，所以解得k ＝2，即f (x )＝2x ＋1，所以f (2)＋f (4)＋…f (2n )＝5＋9＋…＋(4n ＋1)＝n 5＋4n ＋12＝n (2n ＋3)．答案 n (2n ＋3)8．解析 因为a 1·a 2·a 3…a k ＝log 23×log 34×…×log k ＋1(k ＋2)＝log 2(k ＋2)，当log 2(k ＋2)＝m (m ∈Z )时，k ＝2m－2∈[1,2 012](m ∈Z )，m ＝2,3,4，…，10，所以在区间[1,2 012]内的所有奥运吉祥数之和为(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝(22＋23＋…＋210)－18＝211－22＝2 026. 答案 2 0269．解析 由题意可知a n ＝4n －3，且(S 2n ＋3－S n ＋1)－(S 2n ＋1－S n )＝1a 2n ＋3＋1a 2n ＋2－1a n ＋1＝18n ＋9＋18n ＋5－14n ＋1＜0，所以{S 2n ＋1－S n }是递减数列，故(S 2n ＋1－S n )max ＝S 3－S 1＝1a 2＋1a 3＝1445≤m 15，解得m ≥143，故正整数m 的最小值为5. 答案 510．解 (1)由a 3＝27，得27＝2a 2＋23＋1，∴a 2＝9，∵9＝2a 1＋22＋1，∴a 1＝2.(2)假设存在实数t ，使得{b n }为等差数列，则2b n ＝b n －1＋b n ＋1，(n ≥2且n ∈N *)∴2×12n (a n ＋t )＝12n －1(a n －1＋t )＋12n ＋1(a n ＋1＋t )，∴4a n ＝4a n －1＋a n ＋1＋t ，∴4a n ＝4×a n －2n －12＋2a n ＋2n ＋1＋1＋t ，∴t ＝1.即存在实数t ＝1，使得{b n }为等差数列．(3)由(1)，(2)得b 1＝32，b 2＝52，∴b n ＝n ＋12，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12·2n －1＝(2n ＋1)2n －1－1，S n ＝(3×20－1)＋(5×21－1)＋(7×22－1)＋…＋[(2n ＋1)×2n －1－1]＝3＋5×2＋7×22＋…＋(2n ＋1)×2n －1－n ，①∴2S n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n ＋1)×2n－2n ，②由①－②得－S n ＝3＋2×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －1－(2n ＋1)×2n＋n ＝1＋2×1－2n1－2－(2n ＋1)×2n ＋n ＝(1－2n )×2n ＋n －1，∴S n ＝(2n －1)×2n－n ＋1.11．解 (1)因为a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1＝2×1a n －1＋33×1a n －1＝a n －1＋23(n ∈N *，且n ≥2)， 所以a n －a n －1＝23.因为a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，公差为23的等差数列．所以a n ＝2n ＋13.(2)①当n ＝2m ，m ∈N *时，T n ＝T 2m ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…＋(－1)2m －1a 2m a 2m ＋1 ＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2m (a 2m －1－a 2m ＋1)＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2m )＝－43×a 2＋a 2m 2×m ＝－19(8m 2＋12m )＝－19(2n 2＋6n )．②当n ＝2m －1，m ∈N *时，T n ＝T 2m －1＝T 2m －(－1)2m －1a 2m a 2m ＋1＝－19(8m 2＋12m )＋19(16m 2＋16m ＋3)＝19(8m 2＋4m ＋3)＝19(2n 2＋6n ＋7)． 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－192n 2＋6n ，n 为正偶数，192n 2＋6n ＋7，n 为正奇数，要使T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，只要使－19(2n 2＋6n )≥tn 2，(n 为正偶数)恒成立． 只要使－19⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋6n ≥t ，对n ∈N *恒成立，故实数t 的取值X 围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－59.12．解 (1)当n ＝1时，有a 31＝a 21，由于a n ＞0，所以a 1＝1.当n ＝2时，有a 31＋a 32＝(a 1＋a 2)2，将a 1＝1代入上式，由于a n ＞0，所以a 2＝2.(2)由于a 31＋a 32＋…＋a 3n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2，①则有a 31＋a 32＋…＋a 3n ＋a 3n ＋1＝(a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1)2.②②－①，得a 3n ＋1＝(a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1)2－(a 1＋a 2＋…＋a n )2，由于a n ＞0，所以a 2n ＋1＝2(a 1＋a 2＋…＋a n )＋a n －1.③同样有a 2n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＋a n (n ≥2)，④③－④，得a 2n ＋1－a 2n ＝a n ＋1＋a n ， 所以a n ＋1－a n ＝1，由于a 2－a 1＝1，即当n ≥1时都有a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列． 故a n ＝n .(3)由(2)知a n ＝n .则1a n a n ＋2＝1n n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， 所以S n ＝1a 1a 3＋1a 2a 4＋…＋1a n －1a n ＋1＋1a n a n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.∵S n －1－S n ＝1n ＋1n ＋3＞0，∴数列{S n }单调递增．所以(S n )min ＝S 1＝13.要使不等式S n ＞13log a (1－a )对任意正整数n 恒成立，只要13＞13log a (1－a )．∵1－a ＞0，∴0＜a ＜1.∴1－a ＞a ，即0＜a ＜12.所以，实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 13．解 (1)因为a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0，所以n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1－pa n ＝0，两式相减，得a n ＋1a n ＝p ＋1p (n ≥2)，故数列{a n }从第二项起是公比为p ＋1p的等比数列，又当n ＝1时，a 1－pa 2＝0，解得a 2＝ap，从而a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝1，a p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋1p n －2n ≥2.(2)①由(1)得a k ＋1＝a p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋1p k －1，a k ＋2＝a p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋1p k ，a k ＋3＝a p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋1p k ＋1，若a k ＋1为等差中项，则2a k ＋1＝a k ＋2＋a k ＋3， 即p ＋1p ＝1或p ＋1p ＝－2，解得p ＝－13；此时a k ＋1＝－3a (－2)k －1，a k ＋2＝－3a (－2)k，所以d k ＝|a k ＋1－a k ＋2|＝9a ·2k －1，若a k ＋2为等差中项，则2a k ＋2＝a k ＋1＋a k ＋3， 即p ＋1p＝1，此时无解；若a k ＋3为等差中项，则2a k ＋3＝a k ＋1＋a k ＋2， 即p ＋1p ＝1或p ＋1p ＝－12，解得p ＝－23，此时a k ＋1＝－3a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k －1，a k ＋3＝－3a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k ＋1，所以d k ＝|a k ＋1－a k ＋3|＝9a 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1，综上所述，p ＝－13，d k ＝9a ·2k －1或p ＝－23，d k ＝9a 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1②当p ＝－13时，S k ＝9a (2k－1)．则由S k ＜30，得a ＜1032k－1， 当k ≥3时，1032k－1＜1，所以必定有a ＜1， 所以不存在这样的最大正整数当p ＝－23时，S k ＝9a 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ，则由S k ＜30，得a ＜403⎣⎢⎡1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ]，因为403⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＞403，所以a ＝13满足S k ＜30恒成立；但当a ＝14时，存在k ＝5，使得a ＞403⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 即S k ＜30，所以此时满足题意的最大正整数a ＝13.。
(参考时间：80分钟)1．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(3)a 1＋a 3＋a 5＋a 7.2．求证：1＋2＋22＋…＋25n －1能被31整除．3．已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式的二项式系数之和比(a ＋b )2n 的展开式的系数之和小240，求⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中系数最大的项． 4．已知(1＋x )n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a n (x －1)n .(n ∈N *)．(1)求a 0及S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ；(2)试比较S n 与(n －2)2n ＋2n 2的大小，并说明理由．5.如图，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，…，P n (x n ，y n )(0＜y 1＜y 2＜…＜y n )是曲线C ：y 2＝3x (y ≥0)上的 n 个点，点A i (a i,0)(i ＝1,2,3，…，n )在x 轴的正半轴上，且△A i －1A i P i 是正三角形(A 0是坐标原点)．(1)写出a 1，a 2，a 3；(2)求出点A n (a n,0)(n ∈N *)的横坐标a n 关于n 的表达式．6．对于定义域为A 的函数f (x )，如果任意的x 1，x 2∈A ，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，则称函数f (x )是A 上的严格增函数；函数f (k )是定义在N *上，函数值也在N *中的严格增函数，并且满足条件f (f (k ))＝3k .(1)证明：f (3k )＝3f (k )；(2)求f (3k －1)(k ∈N *)的值； (3)是否存在p 个连续的自然数，使得它们的函数值依次也是连续的自然数；若存在，找出所有的p 值，若不存在，请说明理由．参考答案训练21 二项式定理及数学归纳法1．解 (1)∵(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1.令x ＝0得a 0＝1.∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2.(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 6－a 7＝37＝2 187.由(1)和上式得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝1 093.(3)由a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1和a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 6－a 7＝2 187两式相减得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1 094.2．证明 1＋2＋…＋25n －1＝25n －12－1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝31n ＋C 1n ·31n －1＋…＋C n －1n ·31＋C n n －1＝31n ＋C 1n ·31n －1＋…＋C n －1n ·31＝31·(31n －1＋C 1n ·31n －2＋…＋C n －1n )，∵31n －1，C 1n ·31n －2，…，C n －1n 都是整数，∴原式可被31整除．3．解 由题意，得2n ＝22n －240，∴22n －2n －240＝0，即(2n －16)(2n ＋15)＝0.又∵2n ＋15＞0，∴2n －16＝0.∴n ＝4.∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 4. 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 4的展开式中二项式系数最大的项为第3项，所以，所求⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 4展开式中系数最大的项为第3项，即T 3＝C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2＝63x . 4．解 (1)取x ＝1，则a 0＝2n；取x ＝2，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n ，所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －2n .(2)要比较S n 与(n －2)2n ＋2n 2的大小，即比较：3n 与(n －1)2n ＋2n 2的大小．当n ＝1时，3n ＞(n －1)2n ＋2n 2；当n ＝2,3时，3n ＜(n －1)2n ＋2n 2；当n ＝4,5时，3n ＞(n －1)2n ＋2n 2.猜想：当n ≥4时，3n ＞(n －1)2n ＋2n 2，下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，n ＝4时结论成立．假设当n ＝k (k ≥4)时结论成立，即3k ＞(k －1)2k ＋2k 2，两边同乘以3，得3k ＋1＞3[(k －1)2k ＋2k 2]＝k 2k ＋1＋2(k ＋1)2＋[(k －3)2k ＋4k 2－4k －2]．而(k －3)2k ＋4k 2－4k －2＝(k －3)2k ＋4(k 2－k －2)＋6＝(k －3)2k ＋4(k －2)(k ＋1)＋6＞0.所以3k ＋1＞[(k ＋1)－1]2k ＋1＋2(k ＋1)2.即n ＝k ＋1时结论也成立．所以当n ≥4时，3n ＞(n －1)2n ＋2n 2成立．综上得，当n ＝1时，S n ＞(n －2)2n ＋2n 2；当n ＝2,3时，S n ＜(n －2)2n ＋2n 2；当n ≥4，n ∈N *时，S n ＞(n －2)2n ＋2n 2.5．解 (1)a 1＝2，a 2＝6，a 3＝12；(2)依题意，得x n ＝a n －1＋a n 2，y n ＝3·a n －a n －12，由此及y 2n ＝3x n 得⎝ ⎛⎭⎪⎫3·a n －a n －122＝32(a n －1＋a n )，即(a n －a n －1)2＝2(a n －1＋a n )．由(1)可猜想：a n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．下面用数学归纳法予以证明：(1)当n ＝1时，命题显然成立；(2)假定当n ＝k 时命题成立，即有a k ＝k (k ＋1)，则当n ＝k ＋1时，由归纳假设及(a k ＋1－a k )2＝2(a k ＋a k ＋1)得[a k ＋1－k (k ＋1)]2＝2[k (k ＋1)＋a k ＋1]，即(a k ＋1)2－2(k 2＋k ＋1)a k ＋1＋[k (k －1)]·[(k ＋1)(k ＋2)]＝0，解之得a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)(a k ＋1＝k (k －1)＜a k 不合题意，舍去)，即当n ＝k ＋1时，命题也成立．所以a n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．6．解 (1)证明：对k ∈N *，f (f (k ))＝3k ，∴f [f (f (k ))]＝f (3k )①由已知f (f (k ))＝3k ，∴f [f (f (k ))]＝3f (k )，②由①、②∴f (3k )＝3f (k )(2)若f (1)＝1，由已知f (f (k ))＝3k 得f (1)＝3，矛盾；设f (1)＝a ＞1，∴f (f (1))＝f (a )＝3，③由f (k )严格递增，即1＜a ⇒f (1)＜f (a )＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f 1≠1，f 1＜3，f 1∈N *，∴f (1)＝2，由③f (f (1))＝f (a )＝3，故f (f (1))＝f (2)＝3.∴f (1)＝2，f (2)＝3.f (3)＝3f (1)＝6，f (6)＝f (3·2)＝3f (2)＝9，f (9)＝3f (3)＝18，f (18)＝3f (6)＝27，f (27)＝3f (9)＝54，f (54)＝3f (18)＝81.依此类推归纳猜出：f (3k －1)＝2×3k －1(k ∈N *)．下面用数学归纳法证明：(1)当k ＝1时，显然成立；(2)假设当k ＝l (l ≥1)时成立，即f (3l －1)＝2×3l －1，那么当k ＝l ＋1时，f (3l )＝f (3×3l －1)＝3f (3l －1)＝3×2×3l －1＝2·3l .猜想成立，由(1)、(2)所证可知，对k ∈N *f (3k －1)＝2×3k －1成立．(3)存在p ＝3k －1＋1，当p 个连续自然数从3k －1→2×3k －1时，函数值正好也是p 个连续自然数从f (3k －1)＝2×3k －1→f (2×3k －1)＝3k .。
