衡水中学2017-2018学年高一下学期期末模拟数学试题(解析版)

六安一中2017～2018年度高一年级第二学期期末考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为（ ）A ．21n a n =-B ．(1)(12)n n a n =--C ．(1)(21)n n a n =--D ．1(1)(21)n n a n +=--2.已知数列{}n a 中，12a =，111(2)n n a n a -=-≥，则2018a 等于（ ） A ．12-B ．12C ． -1D ．2 3.已知数列{}n a 满足：12a =，0n a >，22*14()n n a a n N +-=∈，那么使10n a <成立的的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．24D ．254.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且，，为等比数列{}n b 的连续三项，则2334b b b b ++的值为（ ）A ．12B ．4C ．2D ． 5.若01a <<，则不等式1()()0x a x a-->的解集是（ ）A ．1{|}x a x a <<B ．1{|}x x a a <<C ．1{|}x x a x a <>或D ．1{|}x x x a a<>或6.已知,a b R ∈，且a b <，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．220a b -< B ．220ab-< C ．110a b-> D ．cos cos 0a b -< 7.已知点(2,2)A ，若动点(,)P x y 的坐标满足02x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则AP 的最小值为（ ）A．．2 C ． D ．8.若20ax bx c ++<的解集为{|13}x x x <->或，则对于函数2()f x cx bx a =++应有（ ）A ．(5)(0)(1)f f f <<-B ．(5)(1)(0)f f f <-<C ．(1)(0)(5)f f f -<<D ．(0)(1)(5)f f f <-<9.已知,a b R ∈，且2a b P +=，Q = ）A ．P Q ≥B ．P Q >C ．P Q ≤D ．P Q <10.已知，满足11123αβαβ-≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，则3αβ+的取值范围是（ ）A ．[1,7]B ．[5,13]-C ．[5,7]-D ．[1,13] 11.已知数列{}n a 的通项为258n na n =+，则数列{}n a 的最大值为（ ）AB ．7107C ．461D ．不存在12.设正数，满足2b a -<，若关于的不等式222(4)40a x bx b -+-<的解集中的整数解恰有4个，则的取值范围是（ ）A ．(2,3)B ．(3,4)C ．(2,4)D ．(4,5) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.中国古代数学著作《算法统宗》有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后达到目的地.”则该人最后一天走的路程为里． 14.已知点(1,2)在直线2(0)x yab a b+=>上，则2a b +的最小值为． 15.不等式组210y x y kx y ≤-+⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域的面积等于14，则．16.已知,m n R ∈，若关于实数的方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根，满足101x <<，21x >，则ba的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.若221a x =+，22b x x =+，3c x =--，比较，，的大小. 18.已知函数22()log (611)f x ax ax =-+. （1）当1a =时，求不等式2()log 3f x ≥的解集； （2）若()f x 的定义域为，求的取值范围.19.某研究所计划利用“神舟十号”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品甲，乙，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？ 20.各项均为正数的等比数列{}n a 中，11a =，3564a a =，且*23log 2()n an b n N =+∈. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令*()nn nb c n N a =∈，求数列{}n c 的前项和. 21.（1）若关于的不等式2(2)20x a x a -++<的解集是[1,)+∞的子集，求实数的取值范围； （2）已知，，均为正数，且9()abc a b =+，求a b c ++的最小值.22.已知数列{}n a 中，112a =，其前项的和为，且满足22(2)21nn n S a n S =≥-.（1）求证：数列1{}nS 是等差数列；（2）证明：123111123n S S S S n+++⋅⋅⋅+<.六安一中2017～2018年度高一年级第二学期期末考试数学试卷（理科）参考答案一、选择题1-5: CBCAC 6-10: BCDCA 11、12：CC 二、填空题13. 6 14. 4 15. 1 16. 1(2,)2-- 三、解答题17.解：∵221a x =+，22b x x =+，3c x =--，∴22(21)(2)a b x x x -=+-+2221(1)0x x x =-+=-≥，即a b ≥，2(2)(3)b c x x x -=+---223333()024x x x =++=++>，即b c >，综上可得：a b c ≥>.18.解：（1）1a =时，22()log (611)f x x x =-+，则222()log 3log (611)f x x x ≥⇔-+2log 3≥，即26113x x -+≥，解得2x ≤或4x ≥. ∴不等式2()log 3f x ≥的解集为(,2][4,)-∞+∞；（2）∵()f x 的定义域为，∴26110ax ax -+>对任意x R ∈恒成立，当0a >时，236440a a ∆=-<，解得1109a <<.又0a =成立， ∴的取值范围是11[0,)9. 19.解：设搭载产品甲件，产品乙件，预计总收益160120z x y =+.则2003003000105110,x y x y x N y N +≤⎧⎪+≤⎨⎪∈∈⎩，（或写成23302220,0,x y x y x y x y Z +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈⎩）作出可行域，如图.作出直线：430x y +=并平移，由图象得，当直线经过点时能取得最大值，2330222x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得(9,4)M .∴max 160912041920z =⨯+⨯=（万元）.答：搭载产品甲9件，产品乙4件，可使得总预计收益最大，为1920万元.20.解：（1）12n n a -=，31n b n =-. （2）1312n n n n b n c a --==，数列{}n c 的前项和21258311222n n n T --=+++⋅⋅⋅+，∴21125343122222n n n n n T ---=++⋅⋅⋅++， ∴21111113123()22222n n n n T ---=+++⋅⋅⋅+-111(1)3122231212n n n ---=+⨯--113123(1)22n n n --=+--3552n n +=-.∴135102n n n T -+=-.21.解：（1）由题(2)()0x x a --<，当2a ≥时，不等式的解集为{|2}x x a <<，此时显然是[1,)+∞的子集，当2a <时，不等式的解集为{|2}x a x <<，要使其为[1,)+∞的子集，∴12a ≤<，综上，[1,)a ∈+∞.。

2017-2018学年度下学期高一年级期末考试理科数学试卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、与直线132y x =+平行且过点(0,1)-的直线方程为（ ） A ．210x y ++= B ．220x y --= C ．220x y ++= D ．210x y --= 2、若点(1,1)-在圆220x y x y m +-++=外，则m 的取值范围是（ ） A ．0m > B ．12m <C ．102m <<D ．102m ≤≤3、点P 在直线40x y +-=上，O 为原点，则OP 的最小值为（ ）A ．2BC ．4、圆22210x y x +--=关于直线30x y -+=对称的圆的方程是（ ） A ．22(3)(4)2x y ++-= B ．22(3)(4)2x y -++= C ．221(3)(4)2x y ++-=D ．221(3)(4)2x y -++= 5、点(,)M a b 在圆221x y +=内，则直线1ax by +=与圆221x y +=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定6、两圆22(2)(1)4x y -+-=与22(1)(2)9x y ++-=的公切线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条7、在三棱柱111ABC A B C -中侧棱垂直于底面，90,30,1ACB BAC BC ∠=∠==，且三棱柱111ABC A B C -的体积为3，则三棱柱111ABC A B C -的为接球的表面积为（ ）A ．16πB ．．π D ．32π8、点P 是直线3100x y ++=上的动点，PA 、PB 与圆224x y +=分别相切于A 、B 两点，则四边 形PAOB 面积的最小值为（ ）A ．2 C ．．49、直线y x b =+与曲线x =b 的取值范围是（ ）A ．b =．11b -<≤或b =．11b -≤≤或b =．11b -≤≤10、某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ ）A ．81πB ．12πC ．45πD ．57π11、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB 60=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD ⊥底面ABD ，G 为AD 的中点，则点G 到平面PAB 的距离为（ ）A ．10a B C ．5D 12、若直线:0l ax by +=与圆22:440C x y x y +-+=相交，则直线l 的倾斜角不等于（ ） A ．6π B ．3π C ．4π D ．56π第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

河北省衡水中学2017-2018学年高三下学期一调数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合I={x|﹣3＜x＜3，x∈z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A∩（∁I B）等于（）A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知正数组成的等比数列{a n}，若a1•a20=100，那么a7+a14的最小值为（）A．20 B．25 C．50 D．不存在4．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）设x，y满足约束条件，则取值范围是（）A．[1，5]B．[2，6]C．[3，10]D．[3，11]6．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=7．（5分）已知一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为（）A．4+4+5 B．2+2+C．D．2+2+38．（5分）利用如图所示算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=10内的共有（）个．A．2B．3C．4D．59．（5分）已知点A（﹣1，0），若函数f（x）的图象上存在两点B、C到点A的距离相等，则称该函数f（x）为“点距函数”，给定下列三个函数：①y=﹣x+2（﹣1≤x≤2）；②y=；③y=x+4（x≤﹣）．其中，“点距函数”的个数是（）A．0B．1C．2D．310．（5分）设直线l与曲线f（x）=x3+2x+1有三个不同的交点A、B、C，且|AB|=|BC|=，则直线l的方程为（）A．y=5x+1 B．y=4x+1 C．y=x+1 D．y=3x+111．（5分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为的同一半球面上，则当四棱锥S﹣ABCD的体积最大时，底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）A．2﹣B．2C．D．+112．（5分）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f （x）=﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n=（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（5分）已知，那么展开式中含x2项的系数为．14．（5分）已知P为△ABC所在的平面内一点，满足的面积为2015，则ABP的面积为．15．（5分）若实数a、b、c成等差数列，点P（﹣1，0）在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N（0，3），则线段MN长度的最小值是：．16．（5分）已知函数f（x）=，若存在k使得函数f（x）的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（14分）设向量=（cosωx﹣sinωx，﹣1），=（2sinωx，﹣1），其中ω＞0，x∈R，已知函数f（x）=•的最小正周期为4π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若sinx0是关于t的方程2t2﹣t﹣1=0的根，且，求f（x0）的值．18．（14分）为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：学校学校甲学校乙学校丙学校丁人数 4 4 2 2该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军，现要从中选出两名队员代表冠军队发言．（Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率；（Ⅱ）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．19．（14分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（Ⅱ）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求二面角C﹣A1D﹣E的余弦值．20．（14分）定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆C1：的长轴长是4，椭圆C2：短轴长是1，点F1，F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点，（Ⅰ）求椭圆C1，C2的方程；（Ⅱ）过F1的直线交椭圆C2于点M，N，求△F2MN面积的最大值．21．（14分）已知f（x）=xlnx，g（x）=，直线l：y=（k﹣3）x﹣k+2（1）函数f（x）在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值（2）若至少存在一个x0∈[1，e]使f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围（3）设k∈Z，当x＞1时f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．河北省衡水中学2017-2018学年高三下学期一调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合I={x|﹣3＜x＜3，x∈z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A∩（∁I B）等于（）A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由全集I及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．解答：解：∵集合I={x|﹣3＜x＜3，x∈Z}={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，∴∁I B={0，1}，则A∩（∁I B）={1}．故选：A．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：根据两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，化简复数z为=1﹣i，故z对应点的坐标为（1，﹣1），从而得出结论．解答：解：∵复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，∴z=====1﹣i，故复数z对应点的坐标为（1，﹣1），故选D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3．（5分）已知正数组成的等比数列{a n}，若a1•a20=100，那么a7+a14的最小值为（）A．20 B．25 C．50 D．不存在考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得a 7+a14≥2=2=2=20．解答：解：∵正数组成的等比数列{a n}，a1•a20=100，∴a 7+a14≥2=2=2=20．当且仅当a7=a14时，a7+a14取最小值20．故选：A．点评：本题考查等比数列中两项和的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．4．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：判充要条件就是看谁能推出谁．由m⊥β，m为平面α内的一条直线，可得α⊥β；反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β．解答：解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，且m⊥β，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β，所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选B．点评：本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题，属基本题．5．（5分）设x，y满足约束条件，则取值范围是（）A．[1，5]B．[2，6]C．[3，10]D．[3，11]考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：再根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线l0过A（0，4）时l0最大，k也最大为11，当直线l0过B（0，0））时l0最小，k也最小为3即可．解答：解：根据约束条件画出可行域，∵设k==1+，整理得（k﹣1）x﹣2y+k﹣3=0，由图得，k＞1．设直线l0=（k﹣1）x﹣2y+k﹣3，当直线l0过A（0，4）时l0最大，k也最大为11，当直线l0过B（0，0））时l0最小，k也最小为3．故选D．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；定积分．专题：三角函数的图像与性质．分析：由f（x）dx=0求得cos（φ+）=0，故有φ+=kπ+，k∈z．可取φ=，则f（x）=sin（x﹣）．令x﹣=kπ+，求得x的值，可得函数f（x）的图象的一条对称轴方程．解答：解：∵函数f（x）=sin（x﹣φ），f（x）dx=﹣cos（x﹣φ）=﹣cos（﹣φ）﹣[﹣cos（﹣φ）]=cosφ﹣sinφ=cos （φ+）=0，∴φ+=kπ+，k∈z，即φ=kπ+，k∈z，故可取φ=，f（x）=sin（x﹣）．令x﹣=kπ+，求得x=kπ+，k∈Z，则函数f（x）的图象的一条对称轴为x=，故选：A．点评：本题主要考查定积分，函数y=Asin（ωx+φ）的图象的对称性，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．7．（5分）已知一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为（）A．4+4+5 B．2+2+C．D．2+2+3考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三棱柱的三视图可得几何体是一个三棱柱，分别计算出棱柱的底面面积，底面周长和高，代入棱柱表面积公式，可得答案．解答：解：由三棱柱的三视图可得几何体是一个三棱柱，底面三角形的三边长为：1，，故底面三角形的面积为：×1×1=，底面周长为：1++，棱柱的高为2，故棱柱的表面积：S=2×+（1++）×2=2+2+3，故选：D点评：本题考查了由三视图求原几何体的体积和表面积，解答的关键是由三视图还原原图形，是基础的计算题．8．（5分）利用如图所示算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=10内的共有（）个．A．2B．3C．4D．5考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是打印满足条件的点，执行程序不难得到所有打印的点的坐标，再判断点与圆x2+y2=10的位置关系，即可得到答案．解答：解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是打印如下点：（﹣3，6）、（﹣2，5）、（﹣1，4）、（0，3）、（1，2）其中（0，3）、（1，2）满足x2+y2＜10，即在圆x2+y2=10内，故打印的点在圆x2+y2=10内的共有2个，故选：A点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型⇒③解模．9．（5分）已知点A（﹣1，0），若函数f（x）的图象上存在两点B、C到点A的距离相等，则称该函数f（x）为“点距函数”，给定下列三个函数：①y=﹣x+2（﹣1≤x≤2）；②y=；③y=x+4（x≤﹣）．其中，“点距函数”的个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：进行简单的合情推理．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知中函数f（x）为“点距函数”的定义，逐一判断所给定的三个函数，是否满足函数f（x）为“点距函数”的定义，最后综合讨论结果，可得答案．解答：解：对于①，过A作直线y=﹣x+2的垂线y=x+1，交直线y=﹣x+2于D（，）点，D（，）在y=﹣x+2（﹣1≤x≤2）的图象上，故y=﹣x+2（﹣1≤x≤2）的图象上距离D距离相等的两点B、C，满足B、C到点A的距离相等，故该函数f（x）为“点距函数”；对于②，y=表示以（﹣1，0）为圆心以3为半径的半圆，图象上的任意两点B、C，满足B、C到点A的距离相等，故该函数f（x）为“点距函数”；对于③，过A作直线y=x+4的垂线y=﹣x﹣1，交直线y=x+4于E（，）点，E（，）是射线y=x+4（x≤﹣）的端点，故y=x+4（x≤﹣）的图象上不存在两点B、C，满足B、C到点A的距离相等，故该函数f（x）不为“点距函数”；综上所述，其中“点距函数”的个数是2个，故选：C点评：本题考查的知识点是新定义函数f（x）为“点距函数”，正确理解函数f（x）为“点距函数”的概念是解答的关键．10．（5分）设直线l与曲线f（x）=x3+2x+1有三个不同的交点A、B、C，且|AB|=|BC|=，则直线l的方程为（）A．y=5x+1 B．y=4x+1 C．y=x+1 D．y=3x+1考点：函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：根据对称性确定B的坐标，设出直线方程代入曲线方程，求出A的坐标，利用条件，即可求出斜率的值，从而得到直线的方程．解答：解：由题意，曲线f（x）=x3+2x+1是由g（x）=x3+2x，向上平移1个单位得到的，函数g（x）=x3+2x是奇函数，对称中心为（0，0），曲线f（x）=x3+2x+1的对称中心：B（0，1），设直线l的方程为y=kx+1，代入y=x3+2x+1，可得x3=（k﹣2）x，∴x=0或x=±∴不妨设A（，k+1）（k＞2）∵|AB|=|BC|=∴（﹣0）2+（k+1﹣1）2=10∴k3﹣2k2+k﹣12=0∴（k﹣3）（k2+k+4）=0∴k=3∴直线l的方程为y=3x+1故选：D．点评：本题考查直线与曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，设出直线方程是关键．11．（5分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为的同一半球面上，则当四棱锥S﹣ABCD的体积最大时，底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）A．2﹣B．2C．D．+1考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，判断四棱锥体积最大时S的位置，然后求解底面ABCD的中心与顶点S 之间的距离即可．解答：解：四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为的同一半球面上，则当四棱锥S﹣ABCD的体积最大时，顶点S与球心的连线恰好底面ABCD的一边的中点，如图：此时球心O到底面中心F的距离为：OF==1．即EF=OF=1，∠SEF=45°，SE=，SF==所求距离为：．故选：C．点评： 本题考查球的内接体，几何体的高的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 12．（5分）已知定义在[0，+∞）上的函数f （x ）满足f （x ）=2f （x+2），当x ∈[0，2）时，f（x ）=﹣2x 2+4x ．设f （x ）在[2n ﹣2，2n ）上的最大值为a n （n ∈N *），且{a n }的前n 项和为S n ，则S n =（）A ．B ．C ．D ．考点： 数列与函数的综合． 专题： 综合题．分析： 根据定义在[0，+∞）上的函数f （x ）满足f （x ）=2f （x+2），可得f （x+2）=f （x ），从而f （x+2n ）=f （x ），利用当x ∈[0，2）时，f （x ）=﹣2x 2+4x ，可求（x ）在[2n ﹣2，2n ）上的解析式，从而可得f （x ）在[2n ﹣2，2n ）上的最大值为a n ，进而利用等比数列的求和公式，即可求得{a n }的前n 项和为S n ．解答： 解：∵定义在[0，+∞）上的函数f （x ）满足f （x ）=2f （x+2）， ∴f （x+2）=f （x ）， ∴f （x+4）=f （x+2）=f （x ），f （x+6）=f （x+4）=f （x ），…f （x+2n ）=f （x ）设x ∈[2n ﹣2，2n ），则x ﹣（2n ﹣2）∈[0，2）∵当x ∈[0，2）时，f （x ）=﹣2x 2+4x ．∴f[x ﹣（2n ﹣2）]=﹣2[（x ﹣（2n ﹣2）]2+4[x ﹣（2n ﹣2）]． ∴=﹣2（x ﹣2n+1）2+2∴f （x ）=21﹣n[﹣2（x ﹣2n+1）2+2]，x ∈[2n ﹣2，2n ），∴x=2n ﹣1时，f （x ）的最大值为22﹣n∴a n =22﹣n∴{a n }表示以2为首项，为公比的等比数列∴{a n }的前n 项和为S n ==故选B ．点评： 本题以函数为载体，考查数列的通项与求和，解题的关键是确定函数的解析式，利用等比数列的求和公式进行求和．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（5分）已知，那么展开式中含x 2项的系数为135．考点： 定积分；二项式定理的应用．专题：计算题；导数的概念及应用；概率与统计．分析：根据定积分的计算方法，计算，可得n的值，进而将n=6代入，利用通项公式T r+1=C n r a n﹣r b r来解决，在通项中令x的指数幂为2可求出含x2是第几项，由此算出系数．解答：解：根据题意，=lnx|1{\;}^{{e}^{6}}=6，则中，由二项式定理的通项公式T r+1=C n r a n﹣r b r可设含x2项的项是T r+1=C6r（﹣3）r x6﹣2r可知r=2，所以系数为C62×9=135，故答案为：135．点评：本题考查二项式定理的应用以及定积分的计算，关键是由定积分的计算得到n的值．14．（5分）已知P为△ABC所在的平面内一点，满足的面积为2015，则ABP的面积为1209．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：取AB中点D，根据已知条件便容易得到，所以三点D，P，C共线，并可以画出图形，根据图形即可得到，所以便可得到．解答：解：取AB中点D，则：=；∴；∴D，P，C三点共线，如图所示：∴；∴=1209．故答案为：1209．点评：向量加法的平行四边形法则，以及共线向量基本定理，数形结合的方法及三角形面积公式．15．（5分）若实数a、b、c成等差数列，点P（﹣1，0）在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N（0，3），则线段MN长度的最小值是：4﹣．考点：等差数列的性质；点到直线的距离公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得动直线l：ax+by+c=0过定点Q（1，﹣2），PMQ=90°，点M在以PQ为直径的圆上，求出圆心为PQ的中点C（0，﹣1），且半径为．求得点N到圆心C的距离，再减去半径，即得所求．解答：解：因为a，b，c成等差数列，故有2b=a+c，即a﹣2b+c=0，对比方程ax+by+c=0可知，动直线恒过定点Q（1，﹣2）．由于点P（﹣1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，即∠PMQ=90°，所以点M在以PQ为直径的圆上，该圆的圆心为PQ的中点C（0，﹣1），且半径为=，再由点N到圆心C的距离为NC=4，所以线段MN的最小值为NC﹣r=4﹣，故答案为：4﹣．点评：本题主要考查等差数列的性质，直线过定点问题、圆的定义，以及点与圆的位置关系，属于中档题．16．（5分）已知函数f（x）=，若存在k使得函数f（x）的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是[，1]．考点：分段函数的应用．专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用．分析：分别作出函数y=log2（1﹣x）+1，（x＞﹣1）和y=x2﹣3x+2的图象，观察函数值在[0，2]内的图象，讨论最小值和最大值的情况，对a讨论，a=1，a＞1，a＜1，以及a＜，a，的情况，即可得到结论．解答：解：分别作出函数y=log2（1﹣x）+1，（x＞﹣1）和y=x2﹣3x+2的图象，由于函数f（x）的值域是[0，2]，则观察函数值在[0，2]内的图象，由于f（﹣1）=log22+1=2，f（0）=02﹣3×0+2=2，显然a=0不成立，a=1成立，a＞1不成立，又f（）=+1=0，若a＜，则最小值0取不到，则a，综上可得，．即有实数a的取值范围是[，1]．故答案为：[，1]．点评：本题考查已知函数的值域，求参数的范围，考查数形结合的思想方法，注意观察和分析，考查运算能力，属于中档题和易错题．三、解答题：本大题共5小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（14分）设向量=（cosωx﹣sinωx，﹣1），=（2sinωx，﹣1），其中ω＞0，x∈R，已知函数f（x）=•的最小正周期为4π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若sinx0是关于t的方程2t2﹣t﹣1=0的根，且，求f（x0）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换以及两个向量的数量积公式化简函数f（x）的解析式为，再根据周期求得ω的值．（Ⅱ）求得方程2t2﹣t﹣1=0的两根，可得，可得x0的值，从而求得f（x0）的值．解答：解：（Ⅰ）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+1=sin2ωx+cos2ωx=，因为T=4π，所以，ω=．…（6分）（Ⅱ）方程2t2﹣t﹣1=0的两根为，因为，所以sinx0∈（﹣1，1），所以，即．又由已知，所以．…（14分）点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，两个向量的数量积公式的应用，属于中档题．18．（14分）为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：学校学校甲学校乙学校丙学校丁人数 4 4 2 2该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军，现要从中选出两名队员代表冠军队发言．（Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率；（Ⅱ）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式．专题：概率与统计．分析：（I）“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一学校”记作事件A，根据题设条件，利用排列组合知识能求出这两名队员来自同一学校的概率．（II）ξ的所有可能取值为0，1，2，分别求出其相对应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．解答：解：（I）“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一学校”记作事件A，则．…（6分）（II）ξ的所有可能取值为0，1，2…（7分）则，，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2P…（10分）∴…（13分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年2017-2018学年高考中都是必考题型．19．（14分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（Ⅱ）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求二面角C﹣A1D﹣E的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）根据题意，得△ABE是正三角形，∠AEB=60°，等腰△CDE中∠CED=（180°﹣∠ECD）=30°，所以∠AED=90°，得到DE⊥AE，结合DE⊥AA1，得DE⊥平面A1AE，从而得到平面A1AE⊥平面平面A1DE．（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C．证出EF∥A1D，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角．利用勾股定理和三角形中位线定理，算出△AEF各边的长，再用余弦定理可算出异面直线AE与A1D所成角的余弦值．（3）建立的空间直角坐标系中，求得平面A1DE的一个法向量，平面CA1D的法向量，利用向量数量积求解夹角余弦值，则易得二面角C﹣A1D﹣E的余弦值．解答：解：（1）依题意，BE=EC=BC=AB=CD，∴△ABE是正三角形，∠AEB=60°，又∵△CDE中，∠CED=∠CDE=（180°﹣∠ECD）=30°∴∠AED=180°﹣∠CED﹣∠AEB=90°，即DE⊥AE，∵AA1⊥平面ABCD，DE⊆平面ABCD，∴DE⊥AA1，∵AA1∩AE=A，∴DE⊥平面A1AE，∵DE⊆平面A1DE，∴平面A1AE⊥平面A1DE．（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C，∵△BB1C中，EF是中位线，∴EF∥B1C∵A1B1∥AB∥CD，A1B1=AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，可得B1C∥A1D∴EF∥A1D，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角．∵△CDE中，DE=CD==A1E=，AE=AB=1∴A1A=，由此可得BF=，AF=EF==，∴cos∠AEF==，即异面直线AE与A1D所成角的余弦值为（Ⅲ）取BE的中点F，以A为原点，AF所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，AA1=则A（0，0，0），D（0，2，0），C（，，0），A1（0，0，），又，设平面CA1D的法向量则得，同理可得平面A1DE的一个法向量为=（）设二面角C﹣A1D﹣E的平面角为θ，且θ为锐角则cosθ=|cos＜＞|===所以二面角C﹣A1D﹣E的余弦值为．点评：本题在直平行六面体中，求证面面垂直并求异面直线所成角余弦，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和异面直线所成角的求法等知识，属于中档题．20．（14分）定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆C1：的长轴长是4，椭圆C2：短轴长是1，点F1，F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点，（Ⅰ）求椭圆C1，C2的方程；（Ⅱ）过F1的直线交椭圆C2于点M，N，求△F2MN面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c'，易知a=2，b=m，n=，根据椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，可得关于a，b，m，n的方程，解出即可；（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：．与椭圆C2的方程联立消掉x得y的二次方程，则△＞0，由弦长公式可表示出|MN|，由点到直线的距离公式可表示出△F2MN的高h，则△F2MN的面积S=，变形后运用基本不等式即可求得S的最大值；解答：解：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c'．由已知a=2，b=m，．∵椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，即，∴，即∴，即bm=b2=an=1，∴b=m=1，∴椭圆C1的方程是，椭圆C2的方程是；（Ⅱ）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为：．联立：，得，即，∴△=192m2﹣44（1+4m2）=16m2﹣44＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴，△F2MN的高即为点F2到直线的距离．∴△F2MN的面积，∵，等号成立当且仅当，即时，∴，即△F2MN的面积的最大值为．点评：本题考查椭圆方程及其性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式求函数的最值，考查学生的运算能力、分析解决问题的能力．21．（14分）已知f（x）=xlnx，g（x）=，直线l：y=（k﹣3）x﹣k+2（1）函数f（x）在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值（2）若至少存在一个x0∈[1，e]使f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围（3）设k∈Z，当x＞1时f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求导，根据导数的几何意义得到关于k的方程解得即可．（2）由于存在x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0），则kx0＞2lnx0⇒a＞，只需要k大于h （x）=的最小值即可．（3）分离参数，得到k＜，构造函数，求函数的最小值即可．解答：解：（1）∵f′（x）=1+lnx，∴f′（e）=1+lne=k﹣3∴k=5，（2）由于存在x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0），则ax02＞x0lnx0，∴a＞设h（x）=则h′（x）=，当x∈[1，e]时，h′（x）≥0（仅当x=e时取等号）∴h（x）在[1，e]上单调递增，∴h（x）min=h（1）=0，因此a＞0．（3）由题意xlnx＞（k﹣3）x﹣k+2在x＞1时恒成立即k＜，设F（x）=，∴F′（x）=，令m（x）=x﹣lnx﹣2，则m′（x）=1﹣=＞0在x＞1时恒成立所以m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，所以在（1，+∞）上存在唯一实数x0（x0∈（3，4））使m（x）=0当1＜x＜x0时m（x）＜0即F′（x）＜0，当x＞＜x0时m（x）＞0即F′（x）＞0，所以F（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，F（x）min=F（x0）===x0+2∈（5，6）故k＜x0+2又k∈Z，所以k的最大值为5点评：本题考查导数在研究函数的单调性、函数恒成立的问题，考查等价转化的思想方法以及分析问题的能力，属于难题．。

2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （）A. B. C. D.2. 已知向量，若，则（）A. B. C. D.3. 如图是2017年某校在元旦文艺晚会上，七位评委为某同学舞蹈打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A. B. C. D.4. 已知圆圆心是直线与轴的交点，且圆与直线相切，则圆的方程是（）A. B.C. D.5. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数作为点的坐标，则点落在圆外部的概率是（）A. B. C. D.6. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度7. 如图是计算的值的程序框图，在图中①、②处应填写的语句分别是（）A. B.C. D.8. 任取，则使的概率是（）A. B. C. D.9. 平面上有四个互异的点，已知，则的形状为（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形10. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（）A. B. C. D.11. 已知直线与圆交于不同的两点是坐标原点，且有，那么的取值范围是（）A. B. C. D.12. 已知定义在上的奇函数，满足，且当时，，若方程在区间上有四个不同的根，则的值为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在一次对人体脂肪百分比和年龄关系的研究中，研究人员获得如下一组样本数据：由表中数据求得关于的线性回归方程为，若年龄的值为，则脂肪含量的估计值为__________.14. 已知，则的值为__________.15. 若圆与恒过点的直线交于两点，则弦的中点的轨迹方程为__________.16. 如图，半径为的扇形的圆心角为，点在上，且，若，则__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知为两个非零向量，且.（1）求与的夹角；（2）求.18. 某地政府调查了工薪阶层人的月工资收人，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图，其中工资收人分组区间是.（单位：百元）（1）为了了解工薪阶层对工资收人的满意程度，要用分层抽样的方法从调查的人中抽取人做电话询问，求月工资收人在内应抽取的人数；（2）根据频率分布直方图估计这人的平均月工资为多少元.19. 已知，且.（1）求的值；（2）若，求的值.20. 某游乐场推出了一项趣味活动，参加活动者需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为，奖励规则如下：①若，则奖励玩具一个；②若，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.（1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.21. 已知，函数（其中，且图象在轴右侧的第一个最高点的横坐标为，并过点.（1）求函数的解析式及单调增区间；（2）若对任意都有，求实数的取值范围.22. 如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点.（1）是否存在直线与圆有两个交点，并且，若有，求此直线方程，若没有，请说明理由；（2）设点满足：存在圆上的两点和使得，求实数的取值范围.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：。

1．B 【解析】过()222,3A m m +-， ()23,2B m m m --两点的直线l 的斜率2222232322321m m m mk m m m m m ----==+-+++-，∵直线l 倾斜角为45∘，∴2232121m mm m --=+-，解得m =−1或m =−2，当m =−1时，A ，B 重合，舍去， ∴m =−2．故选：B ．4．A 【解析】由等差数列的性质可得11212121a a d +--=，即11a =，又()()231615a a a -=+，则2456d d =+，解之得32,4d d ==-（设去），所以(){}11n n a --的前21项和为 ()()()21132432120110221S a a a a a a a =+-+-+⋅⋅⋅+-=+⨯=，应选答案A ．5．C 【解析】由题意，第一次切削，将该毛坯得到一个表面积最大的长方体，为正方体，第二次切削沿长方体的对角面刨开，得到两个全等的直三棱柱，设正方体的棱长为a ，则直三棱柱的体积=12×a ×a ×a =12a 3 鳖臑的体积=13×12×a ×a ×a =16a 3，阳马的体积=12a 3−16a 3=13a 3， ∴阳马与鳖臑的体积之比为2:1，故选C ．6．B 【解析】圆心()1,6C 不在直线1y x =+上． 由圆的性质，两条切线1l 、2l 关于直线CP 对称，又由已知，两条切线1l 、2l 关于直线l ： 1y x =+对称，所以， CP l ⊥，由点到直线距离可得=22CP 选B ．7．A 【解析】函数()f x x α=的图象过点(4，2)，可得42α=，解得12α=，()12f x x =，则()()1111n a n n f n f n n n===+++++．则201721322018201720181S +=，故选A ．8．A 【解析】由图中数据可得： 1S 222π2π=⨯⨯⨯=圆锥侧，S 212ππ=⨯⨯=圆柱侧 ，S 底面=π×12=π．所以几何体的表面积为()S 32π=+表面积．故答案为： ()32π+．故选A ．9．D 【解析】由题意可知曲线1C ： 2220x y x +-=表示一个圆，化为标准方程得：(x −1)2+y 2=1， 所以圆心坐标为(1，0)，半径r =1；2C ： 20mx xy mx -+=表示两条直线y =0和y −mx −m =0， 由直线y −mx −m =0可知：此直线过定点(−1，0)，在平面直角坐标系中画出图象如图所示： 当直线y −mx −m =0与圆相切时，圆心到直线的距离2211md r m ===+，化简得： 213,33m m ==±． 则直线y −mx −m =0与圆相交时，m ∈33,00,33⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D ．故选：B ．点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点,,,P A B C 构成的三条线段,,PA PB PC 两两互相垂直，且,,PA a PB b PC c ===，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用22224R a b c =++求解．点睛：给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a ． 应用关系式11,1{,2n n n S n a S S n -==-≥时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起．12．C 【解析】①因为点AC 平面11BB C C ，所以直线AC 与直线1C E 是异面直线；②111A EA E AB ⊥时，直线1A E ⊥平面1111,AB C A E AC ∴⊥，错误；③球心O 是直线11,AC A C 的交点，底面1OAA 面积不变，直线1BB 平面1AA O ，所以点E 到底面距离不变，体积为定值；④将距形11AA B B 和距形11BB C C 展开到一个面内，当点E 为1AC 与1BB 交点时， 1AE EC +取得最小值22，故选C ． 13．【解析】两条直线平行即斜率相等，所以，即，直线化简为，所以距离，故答案为点睛：已知直线和直线平行，则有且，切记不要了遗忘了这个条件；两条平形直线的距离公式为，在利用公式时注意先将两条直线、的系数化成相同． 14．66【解析】由题得：设AC 与BD 交于点O ，连接1B O ，则1B OC α∠=，又可知116,2,22BO OC BC ===，所以190B OC α︒∠==，过点O 做OH 垂直BC 交BC 于H ，连接 1B H ，所以1OB H β∠=，所以()116cos sin 66OH OB αββ-====点睛：根据题意先分析线线角通过计算求出90α︒=，然后根据线面角得定义作出β然后根据直接三角形求出sin β，要注意多分析题目条件16．4,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】∵数列{}n a 满足： 11a =， 12n n n a a a +=+（*n N ∈）， ∴1121n n a a +=+，化为111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭∴数列{11na +}是等比数列，首项为1112a +=，公比为2，∴112n n a +=，∴()()112122n n n b n n a λλ+⎛⎫=-⋅+=-⎪⎝⎭， ∵数列{}n b 是单调递增数列， ∴b n +1>b n ，∴(n −2λ)⋅2n >(n −1−2λ)⋅2n −1， 解得λ<1， 但是当n =1时， b 2>b 1，∵132b λ=-， ∴(1−2λ)⋅2>32-λ， 解得λ<45，故选：A ．点睛：数列单调性的研究一般有两个方法：定义法和函数法．定义法即为利用定义得出相邻两项的不等关系，化简为恒成立问题求参；函数法即为利用数列为函数上离散的点，借助函数的单调性研究数列即可，但是需注意数列的不连续性与函数有所区别． 17．【解析】试题解析：（1）因为AB 边所在直线方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直， 所以直线AD 的斜率为3-，又因为()1,1T -在直线AD 上， 所以AD 边所在直线的方程为()131y x -=-+，即320x y ++=． （2）由360{320x y x y --=++=解得点A 的坐标为()0,2-，因为矩形ABCD 两条对角线的交点为()2,0M ， 所以M 为距形ABCD 外接圆的圆心， 又()()22200222AM =-++=，从而距形ABCD 外接圆的方程为()2228x y -+=．【方法点晴】本题主要考查了直线的点斜式方程、圆的方程的求解，其中解答中涉及到两条直线的交点坐标，圆的标准方程，其中（1）中的关键是根据已知中AB 边所在的直线方程以及AD 与AB 垂直，求出直线AD 的斜率；（2）中的关键是求出A 点的坐标，进而求解圆的圆心坐标和半径，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力． 18．【解析】试题分析：（1）求出两圆圆心和半径，两圆外切，圆心距等于两半径和，由此解得4m =；（2）点A 坐标为()2,0，点B 坐标为()0,2，设P 点坐标为()00,x y ，由题意得点M 的坐标为0020,2y x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭；点N 的坐标为002,02x y ⎛⎫⎪-⎝⎭，由此得到四边形面积的表达式，化简得4S =．由题意得点M 的坐标为0020,2y x ⎛⎫⎪-⎝⎭；点N 的坐标为002,02x y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，四边形ABNM 的面积00002211222222x y S AN BM y x ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅-⋅- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭()()()2000000000042242242211222222y x y x x y y x y x ------=⋅⋅=⋅----， 有P 点在圆1C 上，有22004x y +=，∴四边形ABNM 的面积()()()0000004422422x y x y S y x --+==--，即四边形ABNM 的面积为定值4．【方法点晴】设两圆的圆心分别为1C 、2C ，圆心距为12d C C =，半径分别为R 、r (R r >)．(1)两圆相离：无公共点； d R r >+，方程组无解．(2)两圆外切：有一个公共点； d R r =+，方程组有一组不同的解．(3)两圆相交：有两个公共点； R r d R r -<<+，方程组有两组不同的解．(4)两圆内切：有一公共点； d R r =-，方程组有一组不同的解．(5)两圆内含：无公共点； 0d R r ≤<-，方程组无解．特别地，0d =时，为两个同心圆．学科&网19．【解析】试题分析：（1）证明面面垂直，通过证明线面垂直即可，根据{CD AD PAD ABCD ⊥⊥面面 CD ⇒⊥面PAD CD AP ⇒⊥，结合题目条件即可得AP ⊥平面PCD ，（2）由（1）AB ⊥面PAD ，所以AB 为几何体高，所以1132B PAD V AB PA PD -=⋅⋅ 113AB =⇒=，然后建立空间直接坐标系，写出两个 平面得法向量，利用向量夹角公式求解即可（2）{ABCD PCD CDBA PCD⋂=平面平面平面 BA CD ⇒，由（1）知AB ⊥面PAD1132B PAD V AB PA PD -∴=⋅⋅ 113AB =⇒=， 取AD 中点O ， PO AD ⊥，平面PAD 平面ABCD ， PO ∴平面ABCD ，以过点O 且平行于AB 的直线为x 轴，如图建系，各点坐标如图．由（1）易知平面PAD 的一法向量为()1,0,0m =，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =．()1,1,1PB =-， ()2,1,1PC =--．{0n PB n PC ⋅=⋅= 0{20x y z x y z +-=⇒--=，取2x =， ()2,1,3n =． cos ,m n 〈〉=147m n m n ⋅=，故所求二面角的余弦值为147．20．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用1n n n a S S -=-即可求得121n n a a -=+，从而可以得到()1121n n a a -+=+即可求解；（Ⅱ）由（Ⅰ）利用等比数列通项公式可得11222n nn a -+=⨯=进而得n a ；（Ⅲ）由11111112121n n n n n n b a a a +++=+=---，利用裂项相消求解即可． （Ⅱ）由（Ⅰ），知当2n ≥时， ()1121n n a a -+=+， 又因为112a +=，所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列．所以11222n nn a -+=⨯=， ∴21nn a =-（*n N ∈）．（Ⅲ）由（Ⅱ），知111111n n n n n n n a b a a a a a ++++=+= ()()122121n n n +=-- 1112121n n +=---， 则2233411111111111121212121212121212121n n n n n T -+=-+-+-+⋯+-+----------- 11121n +=--（*n N ∈）． 21．【解析】试题解析:（Ⅰ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中， 1CC ⊥平面ABC ， 故1AC CC ⊥，由平面1CC D ⊥平面11ACC A ，且平面1CC D ⋂平面111ACC A CC =， 所以AC ⊥平面1CC D ， 又1C D ⊂平面1CC D ， 所以1AC DC ⊥．（Ⅱ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中， 1AA ⊥平面ABC ， 所以1AA AB ⊥， 1AA AC ⊥， 又90BAC ∠=︒，所以，如图建立空间直角坐标系A xyz -，依据已知条件可得()0,0,0A ， ()0,3,0C ， ()12,3,0C ， ()0,0,1B ， ()12,0,1B ， ()1,3,2D ， 所以()12,0,0BB =， ()1,3,1BD =， 即//AM 平面1DBB ．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面1BB D 的法向量为()0,1,3n =-． 设BP BC λ=， []0,1λ∈，则()0,3,1P λλ-， ()1,33,1DP λλ=----． 若直线DP 与平面1DBB 成角为3π，则2233cos ,22445n DP n DP n DPλλλ⋅===⋅-+，解得[]50,14λ=∉， 故不存在这样的点．22．【解析】 试题分析：（Ⅰ）本小题用等比数列的基本量法可求解，即用首项1a 和公比q 表示出已知条件并解出，可得通项公式； （Ⅱ）由n n n b a =，因此用错位相减法可求得其前n 项和n S ，对不等式()112nn n n S a ++>-按n 的奇偶分类，可求得参数a 的取值范围． （Ⅱ）解： 12n n nb +=∴23411232222n n nS +=++++∴2341211111222222n n n n S ++=+++- ∴12311111+22222n n n n S +=++-=1111122211222n n n n n +++-+-=- ∴()1112nn a -⋅<-对任意正整数n 恒成立，设()112n f n =-，易知()f n 单调递增．n 为奇数时， ()f n 的最小值为12，∴12a -<得12a >-，n 为偶数时， ()f n 的最小值为34，∴34a <，综上， 1324a -<<，即实数a 的取值范围是13,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．。

2017—2018学年高一年级下学期期末考试数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则( )A. B. C. D.2. 设等差数列的前项和为，已知，则的值为( )A. 38B.C.D. 193. 下列函数中同时具有以下性质：“①最小正周期为；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是( )A. B. C. D.4. 已知为空间中两条不同的直线，为空间中两个不同的平面，下列命题正确的是( )A. 若，，，则B. 若，，则C. 若在平面内的射影互相平行，则D. 若，，则5. 已知直线与平行，则的值是( )A. 1或3B. 1或5C. 3或5D. 1或26. 直线绕着其上一点沿逆时针方向旋转，则旋转后得到的直线的方程为( )A. B. C. D.7. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.8. 若圆上有且只有两个点到直线的距离等于，则半径的取值范围是( )A. B. C. D.9. 已知，则( )A. 3B.C.D.10. 设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为( )A. 1B. 0C.D.11. 已知在三棱锥中，两两垂直，，是线段上一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥的外接球表面积是( )A. B. C. D.12. 已知定义在上的函数满足，且当时，，其中，若方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是( )A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的一般方程是__________.14. 如图，三棱锥中，，，点分别是的中点，则异面直线所成角的余弦值为__________.15. 在平面区域内取点，过点作曲线的两条切线，切点分别为，设，则当角最小时，的值为__________.16. 已知数列的首项为，且，若，则数列的前项和__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，分别是角的对边，且.(1)求的大小；(2)若，，求的面积.18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，为的中点.(1)求证：平面；(2)若四边形是正方形，且，求直线与平面所成角的正弦值.19. 已知，点.(1)求过点的圆的切线方程；(2)若点是坐标原点，连接，求的面积.20. 已知等比数列的公比，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设，是数列的前项和，若对任意正整数不等式恒成立，求实数的取值范围.21. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，.(1)求证：平面平面；(2)试在棱上确定一点，使截面把该几何体分成的两部分与的体积之比为；(3)在(2)的条件下，求二面角的余弦值.22. 已知函数在上有最大值1和最小值0，设.(1)求的值；(2)若不等式在上有解，求实数的取值范围；(3)若方程(为自然对数的底数)有三个不同的实数解，求实数的取值范围.一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】本题选择D选项.2. 设等差数列的前项和为，已知，则的值为( )A. 38B.C.D. 19【答案】C【解析】由等差数列的性质可知．即．．故本题答案选．3. 下列函数中同时具有以下性质：“①最小正周期为；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】对于,其周期，为最大值,故其图象关于对称，由得,，∴在上是增函数，即具有性质①②③，本题选择A选项.4. 已知为空间中两条不同的直线，为空间中两个不同的平面，下列命题正确的是( )A. 若，，，则B. 若，，则C. 若在平面内的射影互相平行，则D. 若，，则【答案】A【解析】由题知，则，又，则．正确；，可能会现，错误；若在内的射影互相平行，两直线异面也可以，错误；若，可能会出现，错误．故本题选．5. 已知直线与平行，则的值是( )A. 1或3B. 1或5C. 3或5D. 1或2【答案】C【解析】由两直线平行得,当k−3=0时,两直线的方程分别为y=−1 和，显然两直线平行。

河北省衡水市重点名校2017-2018学年高一下学期期末达标测试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度得到()g x 图像，则下列判断错误的是（ ） A ．函数()g x 的最小正周期是πB ．()g x 图像关于直线7π12x =对称C ．函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．()g x 图像关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 【答案】C【解析】【分析】 根据三角函数的图象平移关系求出()g x 的解析式，结合函数的单调性，对称性分别进行判断即可．【详解】由题意，将函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度， 可得2()sin[2()]sin(2)233g x x x πππ=-+=-， 对于A ,函数的最小正周期为2=2ππ，所以该选项是正确的； 对于B ，令712x π=，则772()sin(2)sin 1121232g ππππ=⨯-==为最大值， ∴函数()g x 图象关于直线712x π=，对称是正确的； 对于C 中，[,]63x ππ∈-，则22[3x ππ-∈-，0]， 则函数()g x 在区间[,]63ππ-上先减后增，∴不正确； 对于D 中，令3x π=，则2()sin(2)sin 00333g πππ=⨯-==， ()g x ∴图象关于点(,0)3π对称是正确的， 故选C ．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的单调性，对称性，求出解析式是解决本题的关键． 2．设()()ln 21x g x +＝，则(4)(3)(3)(4)g g g g -+---= A ．-1B ．1C ．l n2D ．-ln2【答案】C【解析】【分析】先把(4)(3)(3)(4)g g g g -+---化为[][](4)(4)(3)(3)g g g g --+--，再根据公式log log log a a aM M N N-=和log +log log ()a a a M N MN =求解. 【详解】 (4)(3)(3)(4)g g g g -+---[][](4)(4)(3)(3)g g g g =--+--4433ln(21)ln(21)ln(21)ln(21)--⎡⎤⎡⎤=+-+++-+⎣⎦⎣⎦43432121ln ln 2121--++=+++ 43ln 2ln 2-=+()43ln 22ln 2-=⋅=故选C.【点睛】本题考查对数、指数的运算，注意观察题目之间的联系.3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，18a =，42a =且满足()*212n n n a a a n N ++=-∈，若510S a λ=，则λ的值为（ ）A ．13-B ．3-C ．12-D ．2- 【答案】D【解析】【分析】由递推关系可证得数列{}n a 为等差数列，利用等差数列通项公式求得公差2d =-；利用等差数列通项公式和前n 项和公式分别求得10a 和5S ，代入求得结果.【详解】由()*212n n n a a a n N ++=-∈得：211n n n n a a a a +++-=-∴数列{}n a 为等差数列，设其公差为d18a =，42a = 3286d ∴=-=-，解得：2d =-101981810a a d ∴=+=-=-，515454020202S a d ⨯=+=-= 51020210S a λ∴===-- 本题正确选项：D本题考查等差数列基本量的计算，涉及到利用递推关系式证明数列为等差数列、等差数列通项公式和前n 项和公式的应用.4．菱形，是边靠近的一个三等分点，，则菱形面积最大值为（ ） A ．36B ．18C ．12D ．9 【答案】B【解析】【分析】 设出菱形的边长，在三角形中，用余弦定理表示出，利用菱形的面积公式列式，结合二次函数的性质求得菱形面积的最大值.【详解】 设菱形的边长为，在三角形中，，有余弦定理得.所以菱形的面积，故当时，菱形的面积取得最大值为.故选：B【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查菱形的面积公式，考查二次函数最值的求法，属于中档题.5．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若230a S +=，则公比q =（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】A【解析】【分析】将230a S +=转化为关于q 的方程，解方程可得q 的值．∵()2311230a S a a a a +=+++=，∴()()221231121210a a a a q qa q ++=++=+=， 又10a ≠，∴1q =-．故选A ．【点睛】本题考查等比数列的基本运算，等比数列中共有1,,,,n n a q n a S 五个量，其中1,a q 是基本量，这五个量可“知三求二”，求解的实质是解方程或解方程组．6．已知ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足sin sinC A 且ABC S ∆=，则△ABC （ ） A ．一定是等腰非等边三角形B ．一定是等边三角形C ．一定是直角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理可得a c =和sin =2A ，然后对A 进行分类讨论，结合三角形的性质，即可得到结果. 【详解】在ABC ∆中，因为sin sinC A ，所以a c =，又1sin 2ABC S bc A ∆==，所以sin =A ， 又()0,A π∈ 当3A π=时，因为a c =，所以ABC ∆时等边三角形； 当23A π=时，因为a c =，所以ABC ∆不存在，综上：ABC ∆一定是等边三角形. 故选:B.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，解题过程中注意两解得情况，一般需要检验，本题属于基础题. 7．下列关于四棱柱的说法：①四条侧棱互相平行且相等；②两对相对的侧面互相平行；③侧棱必与底面垂直；④侧面垂直于底面.其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】【分析】根据棱柱的概念和四棱锥的基本特征，逐项进行判定，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，侧棱垂直于底面的四棱柱叫做直四棱柱，由四棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等，①正确；②两对相对的侧面互相平行，不正确，如下图：左右侧面不平行.本题题目说的是“四棱柱”不一定是“直四棱柱”，所以，③④不正确，故选A.【点睛】本题主要考查了四棱柱的概念及其应用，其中解答中熟记棱柱的概念以及四棱锥的基本特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ）A ．当8n =时，该命题不成立B ．当8n =时，该命题成立C ．当6n =时，该命题不成立D ．当6n =时，该命题成立 【答案】C【解析】【分析】写出命题“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断.【详解】由逆否命题可知，命题“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题为“假设当()1n k k N *=+∈时该命题不成立，则当n k =时该命题也不成立”，由于当7n =时，该命题不成立，则当6n =时，该命题也不成立，故选：C.【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.9．已知方程22112x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．(1,2)B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(,1)(2,)-∞⋃+∞D ．3(,1),2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】【分析】利用椭圆的性质列出不等式求解即可．【详解】 方程2212x y m m+=--1表示焦点在y 轴上的椭圆， 可得2110m m m --⎧⎨-⎩＞＞，解得1＜m 32＜． 则m 的取值范围为：（1，32）． 故选B ．【点睛】本题考查椭圆的方程及简单性质的应用，基本知识的考查．10．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样 【答案】C【解析】试题分析：符合分层抽样法的定义，故选C.考点：分层抽样．11．已知1sin 63πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于（ ） A ．59- B ．79- C ．59 D ．79【答案】B【解析】2cos(2)cos[(2)]cos(2)333πππαπαα-=-+=-+ 2217[12sin ()][12()]639πα=--+=--=-． 12．若过点()2,M m -，(),4N m 的直线与直线50x y -+=平行，则m 的值为（ ）A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4【答案】A【解析】【分析】首先设一条与已知直线平行的直线1l ，点()2,M m -，(),4N m 代入直线1l 方程即可求出m 的值.【详解】设与直线50x y -+=平行的直线1l ：0x y c -+=，点()2,M m -，(),4N m 代入直线1l 方程， 有20140m c m m c --+=⎧⇒=⎨-+=⎩. 故选：A.【点睛】本题考查了利用直线的平行关系求参数，属于基础题.注意直线10Ax By C ++=与直线20Ax By C ++=在12C C ≠时相互平行.二、填空题：本题共4小题13．已知数列{}n a 为等差数列，754a a -=，1121a =，若9k S =，则k =________.【答案】3【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件列方程组解出1a 和d 的值，可求出k S 的表达式，再由9k S =可解出k 的值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由7511421a a a -=⎧⎨=⎩，得1241021d a d =⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩， ()()211192k k k S ka d k k k k -∴=+=+-==，k N *∈，因此，3k =，故答案为：3.【点睛】本题考查等差数列的求和，对于等差数列的问题，通常建立关于首项和公差的方程组求解，考查方程思想，属于中等题.14．若存在实数b 使得关于x 的不等式2sin (4)sin 132a x a b x a b ++++2sin 4x -恒成立，则实数a 的取值范围是____.【答案】[]1,1-【解析】【分析】先求得2sin x +的取值范围，将题目所给不等式转化为含2sin x +的绝对值不等式，对a 分成0,0,0a a a =><三种情况，结合绝对值不等式的解法和不等式恒成立的思想，求得a 的取值范围.【详解】由于[]2sin 1,3x +∈，故2sin (4)sin 132a x a b x a b ++++2sin 4x -≤可化简得()92sin 22sin a a x b x+++≤+恒成立. 当0a =时，显然成立.当0a >时，可得()[]92sin 6,102sin a a x a a x ++∈+， ()922sin 22sin a b a x b x--≤++≤-+，可得26b a --≤且210b a -≥，可得26210a b a --≤≤-，即26210a a --≤-，解得01a <≤. 当0a <时，可得()[]92sin 10,62sin a a x a a x++∈+，可得210b a --≤且26b a -≥，可得21026a b a --≤≤-，即21026a a --≤-，解得10a -≤<.综上所述，a 的取值范围是[]1,1-.【点睛】本小题主要考查三角函数的值域，考查含有绝对值不等式恒成立问题，考查存在性问题的求解策略，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.15．在数列{}n a 中，若113,4n n a a a +==+，则5a =____．【答案】19【解析】【分析】根据递推关系式，依次求得2345,,,a a a a 的值.【详解】由于113,4n n a a a +==+，所以21324347,411,415a a a a a a =+==+==+=，54419a a =+=.故答案为：19【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列某一项的值，属于基础题.16．数列{n a }的前n 项和为n S ，若1cos()2n n a n n N π*=+∈，则{n a }的前2019项和2019S =____. 【答案】1009【解析】【分析】 根据cos 2n π周期性，对2019项进行分类计算，可得结果。

2017-2018学年河北省衡水中学高一（下）二调数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．空间不共线的四点，可以确定平面的个数是（）A．0 B．1 C．1或4 D．无法确定2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（）A．一定平行 B．一定异面 C．相交或异面D．一定相交3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．πB．π C．8πD．16π4．有下列命题：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α：②若直线a在平面α外．则a∥α：③若直线a∥b，b∥α，则a∥α：④若直线a∥b．b∥α．则a平行于平面α内的无数条直线．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．在正六棱柱中，不同在任何侧面而且不同在任何底面的两顶点的连线称为对角线，那么一个正六棱柱对角线的条数共有（）A．24 B．18 C．20 D．326．已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为l的正方形，如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）=ax2+bx+3a+b是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，则的最小正周期是（）A．6πB．5πC．4πD．2π8．给出下列命题，其中正确的命题个数是（）①如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；③如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；④如果一个几何体的正视图和俯视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．A．3 B．2 C．1 D．49．函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（1）+f（2）+f（3）+…+fA．0 B．3C．6D．﹣10．在正四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=1，A′A=2，则A′C与BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称 D．关于点（，0）对称12．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（）A． B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为2的正方形，则原平面四边形的面积等于．14．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为．15．如图所示，在单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P 最短，则AP+D1P的最小值为．16．已知向量，满足||=2，||=1，且对一切实数x，|+x|≥|+|恒成立，则，的夹角的大小为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=，AD=2，求四边形绕AD旋转一周所围成几何体的表面积及体积．18．已知E，F，G，H依次为空间四边形ABCD各边的中点．（1）求证：E，F，G，H四点共面；（2）若AC与BD相互垂直，BD=2，AC=4，求EG2+HF2；（3）若，求直线BD与AC的夹角．19．已知△ABC中，，∠ABC=120°，∠BAC=θ，记f（θ）=．（Ⅰ）求f（θ）关于θ的表达式；（Ⅱ）求f（θ）的值域．20．在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，∠AA1B=∠AA1C1=60°，∠BB1C1=90°，侧棱长AA1=3．（1）求此三棱柱的表面积；（2）若，求三棱柱的体积．21．已知正四面体的棱长为a．（1）求正四面体的高；（2）求正四面体内切球的半径和体积．22．函数f（x）=6cos2sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x0）=，且x0∈（﹣），求f（x0+1）的值．2015-2016学年河北省衡水中学高一（下）二调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．空间不共线的四点，可以确定平面的个数是（）A．0 B．1 C．1或4 D．无法确定【考点】平面的基本性质及推论．【分析】若有三点共线，则可以确定平面的个数为1个；若任意三点均不共线，则可以确定平面的个数是=4．【解答】解：若有三点共线，则由直线与直线外一点确定一个平面，得：不共线的四点，可以确定平面的个数为1个；若任意三点均不共线，则空间不共线的四点，可以确定平面的个数是=4．∴空间不共线的四点，可以确定平面的个数是1或4个．故选：C．2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（）A．一定平行 B．一定异面 C．相交或异面D．一定相交【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】根据空间两条直线的位置关系分别判断即可．【解答】解：在空间中分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系异面或相交．故选：C．3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．πB．π C．8πD．16π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥，分别计算柱体和圆锥的体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥，圆柱和圆锥的底面直径为4，故底面半径为2，故底面面积S=4π，圆柱和圆锥的高h=2，故组合体的体积V=（1﹣）Sh=，故选：B4．有下列命题：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α：②若直线a在平面α外．则a∥α：③若直线a∥b，b∥α，则a∥α：④若直线a∥b．b∥α．则a平行于平面α内的无数条直线．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在①中，直线l与α相交、平行或l⊂α：在②中，a与α平行或相交；在③中，a∥α或a⊂α；在④中，a∥α或a⊂α，故a平行于平面α内的无数条直线．【解答】解：在①中，若直线l平行于平面α内的无数条直线，当这无数条直线不相交时，则直线l与α相交、平行或l⊂α，故①错误：在②中，若直线a在平面α外．则a与α平行或相交，故②错误；在③中，若直线a∥b，b∥a，则a∥α或a⊂α，故③错误；在④中，若直线a∥b．b∥a，则a∥α或a⊂α，∴a平行于平面α内的无数条直线，故④正确．故选：A．5．在正六棱柱中，不同在任何侧面而且不同在任何底面的两顶点的连线称为对角线，那么一个正六棱柱对角线的条数共有（）A．24 B．18 C．20 D．32【考点】棱柱的结构特征．【分析】正六棱柱的空间对角线，投影就是正六边形的对角线．正六棱柱的空间对角线有两条件对角线投影相同．正六棱柱的空间对角线就是正六边形的对角线2倍．【解答】解：∵空间对角线的投影就是正六边形的对角线2倍．多边形的对角线．那么多边形空间对角线的投影就是多边形的对角线2倍．即公式是n（n﹣3）所以：正六棱柱的对角线是：6×（6﹣3）=18故选：B6．已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为l的正方形，如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】判断几何体是正方体削去一个角，先计算被消去的三棱锥体积，再求几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是正方体削去一个角，体积为1﹣=1﹣=．故选：D．7．已知函数f（x）=ax2+bx+3a+b是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，则的最小正周期是（）A．6πB．5πC．4πD．2π【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由偶函数的定义域关于原点对称求出a的值，由偶函数的定义f（x）=f（﹣x），求出b的值，将a，b代入函数，求出ω，从而求出最小正周期．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx+3a+b是定义在[a﹣1，2a]的偶函数，∴a﹣1+2a=0，解得a=，由f（x）=f（﹣x）得，b=0，∴=2cos（x﹣），∴T==6π，故选：A．8．给出下列命题，其中正确的命题个数是（）①如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；③如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；④如果一个几何体的正视图和俯视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．A．3 B．2 C．1 D．4【考点】简单空间图形的三视图．【分析】找出①如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；正确；②其它可能几何体是圆柱；③找出满足的其它可能几何体﹣﹣﹣球；找出满足④可能的其它几何体是棱台；然后判断即可．【解答】解：①如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；正确；②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；可能是放倒的圆柱，不正确；③如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；也可能是球，不正确；④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．可能是棱台；不正确故选C．9．函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（1）+f（2）+f（3）+…+fA．0 B．3C．6D．﹣【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由已知中的函数的图象，我们易求出函数的解析式，进而分析出函数的性质，根据函数是一个周期函数，我们可以将f（1）+f（2）+…+f=8=，故解得：ω=，可得函数解析式为：f（x）=2sin x，所以，有：f（1）=f（2）=2f（3）=f（4）=0f（5）=﹣f（6）=﹣2f（7）=﹣f（8）=0f（9）=…观察规律可知函数f（x）的值以8为周期，且f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）=0，由于2015=251*8+7，故可得：f（1）+f（2）+f（3）+…+f+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f （6）+f（7）=0．故选：A．10．在正四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=1，A′A=2，则A′C与BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】连结A′B，结合几何体的特征，直接求解A′C与BC所成角的余弦值即可．【解答】解：如图：正四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=1，A′A=2，连结A′B，则A′C与BC所成角就是直角三角形A′BC中的∠A′CB，A′C与BC所成角的余弦值为：==．故选：C．11．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称 D．关于点（，0）对称【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据三角函数的性质求出函数的解析式进行求解即可．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，∴T==π，解得ω=2，即f（x）=sin（2x+φ），将其图象向右平移个单位后得到y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x+φ﹣），若此时函数关于原点对称，则φ﹣=kπ，即φ=+kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k=﹣1时，φ=．即f（x）=sin（2x）．由2x=，解得x=+，k∈Z，故当k=0时，函数的对称轴为x=，故选：B12．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（）A． B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是三棱锥，根据三视图知最里面的面与底面垂直，高为2，结合直观图判定外接球的球心在SO上，利用球心到A、S的距离相等求得半径，代入球的表面积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱锥，且最里面的面与底面垂直，高为2，如图：其中OA=OB=OC=2，SO⊥平面ABC，且SO=2，其外接球的球心在SO上，设球心为M，OM=x，则=2﹣x⇒x=，∴外接球的半径R=，∴几何体的外接球的表面积S=4π×=π．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为2的正方形，则原平面四边形的面积等于8．【考点】平面图形的直观图．【分析】利用斜二测画法的过程把给出的直观图还原回原图形，即找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，然后直接利用平行四边形的面积公式求面积．【解答】解：还原直观图为原图形如图，∵O′A′=2，∴O′B′=2，还原回原图形后，OA=O′A′=2，OB=2O′B′=4．∴原图形的面积为2×4=8．故答案为：8．14．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为12π．【考点】球的体积和表面积．【分析】由∠BAC=90°，AB=AC=2，得到BC，即为A、B、C三点所在圆的直径，取BC的中点M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，则OA可求，再由球的表面积公式即可得到．【解答】解：如图所示：取BC的中点M，则球面上A、B、C三点所在的圆即为⊙M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，∴OA==，即球的半径R为，∴球O的表面积为S=4πR2=12π．故答案为：12π．15．如图所示，在单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P最短，则AP+D1P的最小值为．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】把对角面A1C绕A1B旋转至A1BC′D1′，使其与△AA1B在同一平面上，连接AD1′并求出，就是最小值．【解答】解：如图所示，把对角面A1C绕A1B旋转至A1BC′D1′，使其与△AA1B在同一平面上，连接AD1′，则AD1′==为所求的最小值．故答案为：．16．已知向量，满足||=2，||=1，且对一切实数x，|+x|≥|+|恒成立，则，的夹角的大小为．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】设向量，的夹角为θ，由数量积变形已知式子可得x2+4xcosθ﹣1﹣4cosθ≥0恒成立，由△≤0和三角函数可得．【解答】解：设向量，的夹角为θ，则•=2×1×cosθ=2cosθ，∵对一切实数x，|+x|≥|+|恒成立，∴对一切实数x，|+x|2≥|+|2恒成立，∴对一切实数x，2+2x•+x22≥2+2•+2恒成立，代入数据可得对一切实数x，4+4xcosθ+x2≥4+4cosθ+1恒成立，即有x2+4xcosθ﹣1﹣4cosθ≥0恒成立，∴△=16cos2θ+4（1+4cosθ）≤0，整理可得（2cosθ+1）2≤0，又（2cosθ+1）2≥0，∴（2cosθ+1）2=0，即2cosθ+1=0，解得cosθ=﹣，由θ∈[0，π]可得θ=故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=，AD=2，求四边形绕AD 旋转一周所围成几何体的表面积及体积．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】旋转后的几何体是圆台除去一个倒放的圆锥，根据题目所给数据，求出圆台的侧面积、圆锥的侧面积、圆台的底面积，即可求出几何体的表面积．求出圆台体积减去圆锥体积，即可得到几何体的体积．【解答】解：四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成的 几何体，如右图：S 表面=S 圆台下底面+S 圆台侧面+S 圆锥侧面 =πr 22+π（r 1+r 2）l 2+πr 1l 1===．体积V=V 圆台﹣V 圆锥 = [25π++4π]×4﹣×2π×2×2=×39π×4﹣×8π =．所求表面积为：，体积为：．18．已知E ，F ，G ，H 依次为空间四边形ABCD 各边的中点． （1）求证：E ，F ，G ，H 四点共面；（2）若AC与BD相互垂直，BD=2，AC=4，求EG2+HF2；（3）若，求直线BD与AC的夹角．【考点】异面直线及其所成的角；棱锥的结构特征；直线与平面平行的性质．【分析】（1）如图所示，E，F，G，H依次为空间四边形ABCD各边的中点，利用三角形中位线定理可得：EF∥GH，即可证明E，F，G，H四点共面．（2）由AC=4，EF=2；同理可得：EH=1．可得四边形EFGH为矩形．利用勾股定理即可得出：EG2+HF2．（3）由（1）可知：∠EFG或其补角为直线BD与AC的夹角．利用余弦定理即可得出．【解答】（1）证明：如图所示，∵E，F，G，H依次为空间四边形ABCD各边的中点，∴EF AC，GH AC，∴EF GH，∴四边形EFGH为平行四边形．∴E，F，G，H四点共面．（2）解：∵AC=4，∴EF=2；同理可得：EH=1．又AC⊥BD，∴EF⊥EH，可得四边形EFGH为矩形．∴EG2+HF2=2×（22+12）=10．（3）解：由（1）可知：∠EFG或其补角为直线BD与AC的夹角．cos∠EFG==﹣，∴直线BD与AC的夹角为60°．19．已知△ABC中，，∠ABC=120°，∠BAC=θ，记f（θ）=．（Ⅰ）求f（θ）关于θ的表达式；（Ⅱ）求f（θ）的值域．【考点】平面向量数量积的运算；正弦函数的定义域和值域；正弦定理．【分析】（I）利用三角形的正弦定理求出三角形的边AB，BC，利用向量的数量积公式及和三角函数的和、差角公式表示出f（θ）．（II）先求出角，再利用三角函数的图象求出，求出f（θ）的值域．【解答】解：（I）由正弦定理有：；∴，；∴f（θ）====（II）由；∴；∴f（θ）20．在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，∠AA1B=∠AA1C1=60°，∠BB1C1=90°，侧棱长AA1=3．（1）求此三棱柱的表面积；（2）若，求三棱柱的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】（1）利用三角形面积公式求出上下底面的面积，由平行四边形面积公式求出侧面ABB1A1和ACC1A1的面积，再由矩形面积公式求出侧面BCC1B1的面积得答案；（2）由，可得AA1⊥平面B1DC1，由已知求解直角三角形可得等腰三角形B1DC1的边长，进一步求其面积，代入棱柱体积公式得答案．【解答】解：（1）由题意知，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是一个等腰直角三角形，且AB=AC=2，∴BC=2，∴，∵∠AA1B1=∠AA1C1=60°，AB=AC=2，AA1=3，∴=，又∵∠BB1C1=90°，∴侧面BB1C1C为矩形，∴．∴斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积S=；（2）由题意，得AA1⊥平面B1DC1，∵B1D⊂平面B1DC1，∴AA1⊥B1D，又∵∠DA1B1=60°，A1B1=2，∴，同理，∴．21．已知正四面体的棱长为a．（1）求正四面体的高；（2）求正四面体内切球的半径和体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱锥的结构特征．【分析】（1）设正四面体为A﹣BCD，过D作DE⊥BC，交BC于E，作AH⊥底面BCD于点H，交DE于H，先求出DH，由此能求出正四面体的高AH．（2）设正四面体内切球的球心为O，半径为r，O点与A、B、C、D相连得四个小三棱锥，设原三棱锥的底面积为S，则每个侧面积均为S，由此能求出结果．【解答】解：（1）设正四面体为A﹣BCD，过D作DE⊥BC，交BC于E，作AH⊥底面BCD于点H，交DE于H，则DE==，DH=，∴AH==．∴正四面体的高为．（2）设正四面体内切球的球心为O，半径为r，O点与A、B、C、D相连得四个小三棱锥，设原三棱锥的底面积为S，则每个侧面积均为S，∴4×=，∴r=，∴正四面体内切球的体积V==．22．函数f（x）=6cos2sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x0）=，且x0∈（﹣），求f（x0+1）的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值；正弦函数的定义域和值域．【分析】（Ⅰ）将f（x）化简为f（x）=2sin（ωx+），利用正弦函数的周期公式与性质可求ω的值及函数f（x）的值域；（Ⅱ）由，知x0+∈（﹣，），由，可求得即sin（x0+）=，利用两角和的正弦公式即可求得f（x0+1）．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得，f（x）=3cosωx+sinωx=2sin（ωx+），又正三角形ABC的高为2，从而BC=4，∴函数f（x）的周期T=4×2=8，即=8，ω=，∴函数f（x）的值域为[﹣2，2]．（Ⅱ）∵f（x0）=，由（Ⅰ）有f（x0）=2sin（x0+）=，即sin（x0+）=，由，知x0+∈（﹣，），∴cos（x0+）==．∴f（x0+1）=2sin（x0++）=2sin[（x0+）+]=2 [sin（x0+）cos+cos（x0+）sin]=2（×+×）=．2016年12月6日。

2017-2018学年一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{}|20,|A x x B x x a =-<=<，若A B A ⋂=，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞- B ．[)2,-+∞ C ．(],2-∞ D ．[)2,+∞ 【答案】D考点：集合的运算.2.如图，在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB，则12z z +=（ ）A ．2B ．3C ． ．【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，122,z i z i =--=，所以1222z z +=-=，故选A. 考点：复数的表示与复数的模.3.已知平面直角坐标系内的两个向量，()()1,2,,32a b m m ==-，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c a b λμ=+（,λμ为实数），则m 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．(),-∞+∞D ．(),2-∞()2,⋃+∞ 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c a b λμ=+（,λμ为实数），则,a b一定不共线，所以1232m m ≠-，解得2m ≠，所以m 的取值范围是(),2-∞()2,⋃+∞，故选D.考点：向量的坐标运算. 4.如图所示的是计算111124620++++ 的值的一个框图，其中菱形判断框内填入的条件是（ ）A ．8i >B ．9i >C ．10i >D ．11i >【答案】C考点：循环结构的程序框图的计算.5.将函数()cos f x x x -的图像向左平移m 个单位（0m >），若所得图像对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ） A ．23π B ．3π C ．8π D ．56π【答案】A【解析】试题分析：由题意得，函数()cos sin()6f x x x x π=-=-，将函数()sin()6f x x π=-的图象向左平移m 个单位（0m >），得()sin()6f x x m π=+-，若使得()sin()6f x x m π=+-为偶数，则2,623m k m k k Z πππππ-=+⇒=+∈,当1k =时，23m π=，故选A.考点：三角函数的图象变换与三角函数的性质. 6.已知等比数列{}n a 中，3462,16a a a ==，则101268a a a a --的值为（ ）A ． 2B ． 4C ． 8D ．16 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，246516a a a ==，所以54a =±，因为32a =，所以54a =，所以2532a q a ==，又91141012115768114a a a q a q q a a a q a q--===--，故选B. 考点：等比数列的通项公式的应用.7.某书法社团有男生30名，女生20名，从中抽取一个5人的样本，恰好抽到了2名男生和3名女生①该抽样一定不是系统抽样；②该抽样可能是随机抽样；③该抽样不可能是分层抽样；④男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率，其中说法正确的为（ ） A ．①②③ B ．②③ C ． ③④ D ．①④ 【答案】B考点：抽样的应用.8.已知点Q 在椭圆22:11610x y C +=，点P 满足()112OP OF OQ =+ （其中O 为坐标原点，1F 为椭圆C 的左焦点），则点P 的轨迹为（ ）A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆 【答案】D 【解析】试题分析：因为点P 满足()112OP OF OQ =+（其中O 为坐标原点，所以点P 是1QF 的中点，设(,)P a b ，由于1F 为椭圆22:11610x y C +=的左焦点，则1(F ，故)2b Q ，由点Q 在椭圆22:11610x y C +=上，则点P 的轨迹方程为2140b C +=，故选D. 考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质.9.已知一个几何体的三视图的如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3272π-B ．3182π- C ．273π- D ．183π- 【答案】B考点：几何体的三视图及体积的计算.10.三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，,1,AC BC AC BC PA ⊥===外接球的表面积为（ ）A ．5π BC ．20πD ．4π 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，所以BC ⊥平面,PAC PB 是三棱锥P ABC -的外接圆的直径，因为Rt PBA ∆中，AB PA =PB =接球的半径为R =，所外接球的表面积为245S R ππ==，故选A.考点：球的组合体及球的表面积公式.【方法点晴】本题主要考查了特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了直线与平面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式，同时考查了推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据题意，证得BC ⊥平面,PAC PB 是三棱锥P ABC -的外接圆的直径，利用勾股定理几何体题中数据算得球的直径，得到球的半径，即可求解球的表面积. 11.若函数[])111sin 20,y x x π=∈，函数223y x =+，则()()221212x x y y -+-的最小值为（ ）A．12 B ．()21872π+ C ．()21812π+ D．()21572π-【答案】B考点：利用导数研究曲线在某点处的切线；利用导数求闭区间上函数的最值.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线、利用导数求闭区间上函数的最值，体现了导数的综合应用，其中利用平移切线法求直线和正弦函数距离的最小值是解决本题的关键，同时着重考查了转化与化归思想和数形结合思想的应用，本题的解答中根据平移切线法，求出和直线3y x =+平行的切线或切点，利用点到直线的距离公式即可求解结论.12.已知,x y R ∈，且4300x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则存在R θ∈，使得()4cos sin 0x y θθ-++=的概率为 （ ） A ．4π B ． 8π C ．24π- D ．18π-【答案】考点：简单的线性规划的应用.【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划的应用，属于中档试题，着重考查了转化与化归的思想和数形结合思想的应用，本题的解答中作出不等式组表示的平面区域，利用辅助角公式将条件进行化简，转化为()2242x y -+≥，对应的图象是以(4,0)为圆心，半径r =的圆的外部，求出对应饿平面区域的面积即可求得结论.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知()22:12,:210,0p x q x x a a -≤-+-≥>，若p ⌝是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(]0,2考点：充分不必要条件的应用．14.已知函数()f x =[)0,+∞，则实数m 的取值范围是 . 【答案】[][)0,19,⋃+∞ 【解析】试题分析：由题意得，函数()f x =[)0,+∞，则当0m =时，函数()f x =[)0,+∞，显然成立；当0m >时，则2(3)40m m ∆=--≥，解得01m <≤或9m ≥，综上可知实数m 的取值范围是[][)0,19,⋃+∞. 考点：函数的值域及二次函数的性质.15.若点P 是以12,F F 为焦点的双曲线22221x y a b-=上一点，满足12PF PF ⊥，则122PF PF =，则次双曲线的离心率为 .考点：双曲线的定义及简单的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的定义及其简单的几何性质、离心率的求解，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力，解答的关键是抓住要求离心率的定义，利用题设条件建立,,a b c 的关系式，即可求解ca的值，得到双曲线的离心率，本题的解答中根据双曲线的定义和题设条件，可得12,PF PF ，在直角三角形中，利用勾股定理得到,,a b c 的关系式. 16.已知函数()()2cos 10,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=++>><< ⎪⎝⎭的最大值为3，()f x 的图像与y 轴的交点坐标为()0,2，其相邻两条对称轴间的距离为2，则 ()()()()1232016f f f f +++= .【答案】4032 【解析】 试题分析：因为()()21cos(22)cos 112wx f x A x A ϕωϕ++=++=⋅+cos(22)122A Awx ϕ=+++的最大值为3，所以1322A A++=，所以2A =，根据函数相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即24w π=，所以4w π=，故函数的解析式为()cos()2sin 2222f x x x πππ=++=-+，所以()()()()1232016f f f f +++[sin sin(2)sin(3)sin(2015)sin(2016)]2201604032403222222πππππ-+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=+= .考点：二倍角公式；三角函数的图象与性质.【方法点晴】本题主要考查了二倍角公式、三角函数sin()y A wx ϕ=+的图象与性质，着重考查分析问题、解答问题的能力和运算能力，属于中档试题，本题的解答中，由函数的最值求出A 的值，在根据相邻两条对称轴间的距离，求出函数的周期，确定w 的值，根据特殊点的坐标求解ϕ的值，确定函数的解析式，再利用三角函数的周期性求解相应式子的值. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且首项()113,3n n n a a S n N ++≠=+∈． （1）求证：{}3nn S -是等比数列；（2）若{}n a 为递增数列，求1a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）()9,-+∞.试题解析：（1）()13nn n a S n N ++=+∈ ，()1+1+1=233=23n n n n n n n SS S S +∴+∴--13a ≠ ，∴数列3n n S -是公比为2，首项为13a -的等比数列；（2）由（1）得()11332nn n S a --=-⨯，()11323n n n S a -=-⨯+2n ≥时，()21113223n n n n n a S S a ---=-=-⨯+⨯{}n a 为递增数列，2n ∴≥时，()()1211132233223n n n n a a ----⨯+⨯>-⨯+⨯2n ∴≥时，2213212302n n a --⎡⎤⎛⎫⨯+->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦12119,3a a a a ∴>-=+> ，1a ∴的取值范围是()9,-+∞.考点：等比数列的定义及等比数列的性质的应用.18．（本小题满分12分）去年年底，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了考核评估.将各连锁店的评估分数按[)[)[)[)60,70,70,80,80,90,90,100分成四组，其频率分布直方图如下图所示，集团公司依据评估得分，将这些连锁店划分为,,,A B C D 四个等级，等级评定标准如 下表所示.（1）估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数；（2）从评估分数不小于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求至少选一家A 等级的概率.【答案】（1）75，75.4；（2）35.（2）A 等级的频数为250.082⨯=，记这两家分别为,;a b B 等级的频数为250.164⨯=，记这四家分别为,,,c d e f ，从这6家连锁店中任选2家，共有()()()()()(),,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,b d b e b f c d c e c f d e d f e f ，共有15种选法.其中至少选1家A 等级的选法有()()()()()(),,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c ()()(),,,,,b d b e b f 共9种，则93155P ==，故至少选一家A 等级的概率为35.考点：频率直方图、众数与平均数的计算；古典概型及其概率的计算.19.（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -，侧面11ACC A 与侧面11CBBC 都是菱形，11160,2ACC CC B AC ∠=∠=︒=.（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若1AB =11A BB C C -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）2.试题解析：（1）连接11,AC CB 则1ACC ∆和11BCC ∆皆为正三角形. 取1CC 中点O ，连接1,OA OB则1111,,CC OA CC OB OA OB O ⊥⊥⋂=又 则1CC ⊥平面1OAB ，则11CC AB ⊥；（2）由（1）知，1OA OB =1AB所以1OA OB ⊥，又111,OA CC OB CC O ⊥⋂=，所以OA ⊥平面11BB C C则111sin 60BB C C S BC BB =⨯︒=菱形故1111123A BBC C BB C C V S OA -=⨯=菱形.考点：直线与平面垂直的判定与证明；几何体的体积的计算.20. （本小题满分12分）设抛物线21:4C y x =的准线与x 轴交于点1F ，焦点2F ；椭圆2C 以1F 和2F 为焦点，离心率12e =.设P 是1C 与2C 的一个交点. （1）椭圆2C 的方程；（2）直线l 过2C 的右焦点2F ，交1C 于12,A A 两点，且12A A 等于12PFF ∆的周长，求l 的方程.【答案】（1）22143x y +=；（2）)1y x =-或)1y x =-.试题解析：（1）由题得， ()()121,0,1,0F F -是椭圆2C 的两焦点，故半焦距为1，再由离心率为12知，长半轴长为2，从而2C 的方程为22143x y +=；考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质；直线与圆锥曲线综合应用.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线综合应用，解题是要认真审题，注意椭圆的弦长公式的合理运用，着重考查了推理与运算能力和分类讨论思想的应用，本题的解答中，利用12PF F ∆的周长为6，得出弦长，可设l 的方程为(1)y k x =-与1C 的方程联立，由此利用弦长公式，即可求解直线的方程.21.（本小题满分12分）已知函数()ln f x ax x x =+的图像在点x e =（e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3. （1）求实数a 的值；（2）若()2f x kx ≤对任意0x >成立，求实数k 的取值范围；（3）当()1,n m m n N+>>∈m n>.【答案】（1）1a =；（2）[)1,+∞；3mn>. 【解析】试题分析：（1）求出()f x 的导数，由切线的斜率为3，解方程，即可得到a ；（2）()2f x kx ≤对任意0x >成立，得1ln x k x +≥对任意0x >成立，令()1ln xg x x+=，则问题转化为求()g x 的最大值，运用导数，求出导数，求得单调区间，得到最大值，令k 不小于最大值即可；（3）令()ln 1x xh x x =-，求出导数，判断其单调性，即得()h x 是(1,)+∞上的增函数，由1n m >>，则()()h n h m >，化简整理，即可得证.试题解析：（1）()()'ln ln 1f x ax x x fx a x =+∴=++又()f x 的图像在点x e =处的切线的斜率为3，()'3f e ∴=，即ln 131a e a ++=∴=（3）令()ln 1x x h x x =-，则()()'21ln 1x xh x x --=- 由（2）知，()()'1ln 0,0x x x h x ≥+>∴≥()h x ∴在区间()1,+∞上增函数，()()'1n m h n h m >>∴> ，即ln ln 11n n m mn m >-- ln ln ln min mn n n n mn m m ∴->-，即ln ln ln ln mn n m m mn m n n ∴+>+ln ln ln ln mn m mn n n m m n +>+，()()ln ln mnn m mn nm >()()mnn nmn m n >，mn>. 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的综合应用和不等式的证明.【方法点晴】本题主要考查了导数的综合应用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查不等式的恒成立问题转化为求解函数的最值，同时考查了与函数有关的不等式的证明，运用构造函数，求得导数的单调性，再由单调性证明，试题有一定的难度属于难题，着重考查了转化与化归的思想方法和构造思想的应用，对于此类问题平时要注意总结和积累. 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知圆O 是ABC ∆的外接圆，,AB BC AD =是BC 边上的高，AE 是圆O 的直径. （1）求证：AC BC AD AE ⋅=⋅；（2）过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F ，若4,6AF CF ==，求AC 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）103.（2）因为FC 为圆的切线，所以2FC FA FB =⋅又4,6AF CF ==，从而解得9,5BF AB BF AF ==-= 因为,ACF CBF CFB AFC ∠=∠∠=∠， 所以AFC CFB ∆∆∽，所以AF AC CF CB =，即103AF CB AC CF ⋅==. 考点：圆的性质及与圆相关的比例线段.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，O 为极点，点2,,24A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求经过点,,O A B 的圆C 的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为x 的正半轴建立平面直角坐标系，圆D 的参数方程为1cos 1sin x a y a θθ=-+⎧⎨=-+⎩（θ 是参数，a 为半径），若圆C 与圆D 相切，求半径a 的值.【答案】（1）4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）a =a =试题解析：（1）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，∴点()()()0,0,0,2,2,2O A B ，过,,O A B 三点的圆C 的普通方程是()()22112x y -+-=即22220x x y y -+-=，化为极坐标方程为22cos 2sin ρρθρθ=+即4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭； （2）圆D 的参数方程1cos 1sin x a y a θθ=-+⎧⎨=-+⎩（θ是参数，a 为半径）化为普通方程是()()22211x y a +++=则圆C 与圆D 的圆心距CD ==,当圆C 与圆D 相切时，则有2a +=2a -=解得a =a =考点：参数方程与普通方程的互化；简单曲线的极坐标方程. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()(),4f x x g x x m ==--+. （1）解关于x 的不等式()20g f x m +->⎡⎤⎣⎦；（2）若函数()f x 的图像恒在函数()g x 图像的上方，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()()6,22,6--⋃；（2）(),4-∞.考点：函数的恒成立；函数的值；绝对值不等式的求解.。

试卷类型：A 卷 河北冀州中学2018 — 2018学年下学期期末考试高一年级文科数学试题考试时间120分钟试题分数150分选择题：（共15小题。

每小题 4分，共 60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有1 &__B.2 C.2.已知向量方满足肚"卩-刘，"A(V ),则讥(A UB 20C . 12D .20■ ■ • •6.已知人饥是边长为1的等边三角形，则（M 価J14（：）（）n击------------------------—Q ---.2 CJB=2,JC=3J ZJi=6ff,则 cnsC 二B.C. 38.定义2^2-2 . 2cns x^an x/«=Vcos(— +2J ^ 1，若L 2—I矩阵 ，则几Q 的图象向右平移3个单位得到函数，则函数£⑴解析式为（）一项是符合要求的。

）1. - （）12x^2r jc<0--"',则打川))=(3. 若函数4. 已知 ，那么COSff =（） A.)A .10 B .25 B10 C . 2 D . 25.已知0为445C 的边8C 的中点，445C 所在平面内有一个点I 莎I11尸，满足 PA - PB I PC ，则丨丿"I 的值为（）A . 2 B . 3C. 1 DD.A.7 .人銚中, 迢 A.B.C.咖-坤"：）D.g(i) = -2ais(2x-56.+ff + €Esra ---------cos ----------9.若，ft 是第三象限角，则,JL —<L K — <Lon ----- -cos ------2 2D . —210.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（B.C. D. 711.的值是()A. B.---2（ianir + tn27M）12 .已知定义在 R 上的奇函数丁（工）满足 /（x+2）=V （4 则丁（6）的值为（）A. — 1B.013 .在下列四个正方体中，C. 2D.C.1D.2能得出 ABL CD 的是（）CBD的倾斜角的取值范围是3xX.[•，“Z JT14 .直线W 心jrA. [0 ,]C. [0 , 4 ] u (/« =15.若函数A.-B. 二 .填空题: 16.已知向量2,7'0—爲 x<7a^6.[「1 , 2)u [ 4 , ff)X>7单调递增，则实数d 的取值范围是（）C. (1,3)D.(2,3)（共5小题，每小题4分，共20分。

2017-2018学年一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设甲：2210ax ax ++>的解集是实数集R ；乙：01a <<，则甲是乙成立 的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C考点：必要不充分条件的判定.2.设,a b R ∈且0b ≠，若复数()3a bi +（i 为虚数单位）是实数，则（ ） A ．223b a = B ．223a b = C ．229b a = D ．229a b = 【答案】A 【解析】 试题分析：由题意得()303122233333()()()(a b i Ca C ab i+=+++=-，所以2330a b b -=，即223b a =，故选A.考点：复数概念及二项式定理的应用. 3.等差数列{}n a 中，2nna a 是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为（ ） A ．{}1 B ．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，因为数列{}n a 是等差数列，所以设数列{}n a 的通项公式为1(1)n a a n d =+-，则21(21)n a a n d =+-，所以121(1)(21)n n a a n da a n d+-=+-，因为2n n a a 是一个与n 无关的常数，所以10a d -=或0d =，所以2n na a 可能是1或12，故选B.考点：等差数列的通项公式. 4.ABC ∆中三边上的高依次为111,,13511，则ABC ∆为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不存在这样的三角形 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，根据三角形的面积相等11113511a b c ⨯=⨯=⨯，所以可设13,5,11a b c ===，由余弦定理得22251113cos 02511A +-=<⨯⨯，即(,)2A ππ∈，所以三角形为钝角三角形，故选C. 考点：余弦定理的应用.5.函数()f x 是定义在区间()0,+∞上可导函数，其导函数为()'fx ，且满足()()'20xf x f x +>，则不等式()()()201620165552016x f x f x ++<+的解集为（ ）A ．{}|2011x x >-B ．{}|2011x x <-C ．{}|20162011x x -<<-D ．{}|20110x x -<< 【答案】C考点：函数单调性的应用及导数的运算.6.已知F 是椭圆22:1204x y C +=的右焦点，P 是C 上一点，()2,1A -，当APF ∆周长最小时，其面积为（ ）A ．4B ．8C ．【答案】A考点：椭圆的定义的应用.7.已知等式()()()()432432123412341111x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++，定义映射()()12341234:,,,,,,f a a a a b b b b →，则()4,3,2,1f =（ ）A ．()1,2,3,4B ．()0,3,4,0C ． ()0,3,4,1--D ．()1,0,2,2-- 【答案】C 【解析】 试题分析：由43243212341234[(1)1][(1)1][(1)1][(1)1]x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=+-++-++-++-+所以()4,3,2,1f =432[(1)1]4[(1)1]3[(1)1]2[(1)1]1x x x x =+-++-++-++-+，所以102210143243234(1)40,(1)4(1)33,4,1b C C b C C C b b =-+==-+-+=-==-，故选C.考点：二项式定理的应用.8.如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且1AB BC ==，则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是（ ）A ．1B D ．12【答案】C考点：空间几何体的三视图及异面直线所成角的计算.【方法点晴】本题主要考查了异面直线所成角、异面直线所成角的求法、以及空间几何体的三视图等知识的应用，着重考查了空间想象能力、运算能力和推理论证能力及转化思想的应用，属于基础题，本题的解答中线将三视图转化为空间几何体，取AD 的中点E ，连接,,BE PE CE ，将CD 平移到BE ，根据异面直线所成角的定义可知PBE ∠为异面直线PB 与CD 所成角，在直角三角形PBE ∆中，即可求解角的正切值.9.某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（百分制）如下表所示：若数学成绩90分（含90分）以上为优秀，物理成绩85（含85分）以上为优秀.有多少把握认为学生的学生成绩与物理成绩有关系（ ）A ．99.9%B ． 99.5%C ．97.5%D ．95% 参考数据公式：①独立性检验临界值表②独立性检验随机变量2K 的值的计算公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】B考点：独立性检验的应用.10.在一个棱长为4的正方体内，你认为最多放入的直径为1的球的个数为（ ） A ．64 B ．65 C ．66 D ．67【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，底层可以16个，然后在底层每4个球之间放一个，第二层能放9个，依次类推，分别第三、第四、第五层能放16个、9个、16个，一共可放置1691691666++++=个，故选C.考点：空间几何体的机构特征.11.定义：分子为1且分母为正整数的分数成为单位分数，我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和.如：1111111111111,1,1236246122561220=++=+++=++++，依次类推可得： 11111111111111++++++26123042567290110132156m n =++++++，其中,,m n m n N +≤∈.设1,1x m y n ≤≤≤≤，则21x y x +++的最小值为（ ）A ．232B ．52C ．87D ．343【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，13,4520m n ==⨯=，则21111x y y x x +++=+++，因为1,1x m y n ≤≤≤≤，所以1,13y x ==时，21111x y y x x +++=+++有最小值，此时最小值为87，故选C.考点：归纳推理.【方法点晴】本题主要考查了归纳推理的应用，对于归纳推理是根据事物的前几项具备的规律，通过归纳、猜想可得整个事物具备某种规律，是一种特殊到一般的推理模式，同时着重考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理、计算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据式子的结构规律，得到,m n 的值是解答的关键. 12.已知,a b R ∈，直线2y ax b π=++与函数()tan f x x =的图像在4x π=-处相切，设()2x g x e bx a =++，若在区间[]1,2上，不等式()22m g x m ≤≤-恒成立，则实数m （ ） A ．有最小值e - B ．有最小值e C ．有最大值e D ．有最大值1e + 【答案】D考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程.【方法点晴】本题主要考查了导数的运用：求切线方程和判断函数的单调性，着重考查了函数的单调性的判定及应用、不等式的恒成问题的转化为函数的最值问题，属于中档试题，通知考查了推理、运算能力和转化的数学思想方法的运用，本题的解答中根据题意先求得,a b 的值，得出函数()g x 的解析式，再判断函数()g x 的单调性与最值，把不等式的恒成转化为函数的最值问题，即可求解m 的取值范围.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知函数()2f x x ax =-的图像在点()()1,1A f 处的切线与直线320x y ++=垂直，执行如图所示的程序框图，输出的k 值是 .【答案】6考点：程序框图的计算与输出.14.在直角坐标系xOy 中，已知点()0,1A 和点()3,4B -，若点C 在AOB ∠的平分线上，且2OC =，则OC =.【答案】( 【解析】试题分析：由题意得，1,2OA OB ==，设OC 与AB 交于(,)D x y 点，则:1:5AD BD =，即D 分有向线段AB 所成的比为15，所以110(3)14)1355,221155x y +-⨯+⨯==-==++，即13(,)22D -，因为2OC = ，所以2()OD OC OD=⨯=，即点C 的坐标为(. 考点：向量的运算.15.如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点O 顺时针旋转30︒后，构成一个斜坐标平面xOy .在此斜坐标平面xOy 中，点(),P x y 的坐标定义如下：过点P 作两坐标轴的平分线，分别交两轴于,M N 两点，则M 在Ox 轴上表示的数为x ，N 在Oy 轴上表示的数为y .那么以原点O 为圆心的单位圆在此斜坐标系下的方程为.【答案】2210x y xy ++-=考点：圆的一般方程.【方法点晴】本题主要考查了与直角坐标有关的新定义的运算问题，对于新定义试题，要紧紧围绕新定义，根据新定义作出合理的运算与变换，同时着重考查了转化与化归的思想方法的应用，属于中档试题，本题的解答中，设出(,)P x y 在直角坐标下的坐标为11(,)P x y '，建立两个点之间的变换关系，代入单位圆的方程，即可曲解轨迹方程，其中正确得到两点之间的变换关系是解答的关键.16.已知ABC ∆的面积为S ，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2s i n ,C A 成等比数列，2213,218322b a c ac =≤+≤241c +的最小值为 .【答案】34考点：等比数列的应用；余弦定理及三角形的面积公式；导数的应用.【方法点晴】本题主要考查了等比数列的通项公式，余弦定理及三角形的面积公式、导数的综合应用，试题有一点的难度，属于难题，着重考查了学生的推理、运算能力及转化与化归思想方法的应用，本题的解答中根据题设条件先得出c a =，在利用三角恒等变换和三角形的面积公式表示成三角形的面积，进而得到a 241c +其单调性确定最值即可.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知，12a =，且1234,3,2S S S 成等差 数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设25n n b n a =-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）()2n n a n N +=∈；（2）()16,110,234272,3n n n T n n n +⎧=⎪==⎨⎪+-⨯≥⎩.考点：等比数列通项公式及数列求和.18．（本小题满分12分）如图，四边形PCBM 是直角梯形，90,//,1,2PCB PM BC PM BC ∠=︒==，又1,120,AC ACB AB PC =∠=︒⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60︒. （1）求证：PC AC ⊥；（2）求二面角M AC B --的余弦值； （3）求点B 到平面MAC 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2；（3. （2）在平面ABC 内，过点C 作BC 的垂线，并建立空间直角坐标系，如图所示设()()()130,0,0,0,,0,1,,0,2222P z CP z AM z z ⎛⎫⎛⎫∴==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 60cos AM CP AM CP AM CP ⋅︒=〈⋅==⋅0z >131,122z AM ⎛⎫=∴=∴= ⎪ ⎪⎝⎭考点：直线与平面垂直的判定与证明；空间中二面角的求解；点到平面的距离.19.（本小题满分12分）电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为很多人的选择.某购物网站组织了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）.小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，由购买者随机点击进行选择（各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口香糖）.（1）小王花10元钱买三瓶，请问小王共有多少种不同组合选择方式？（2）小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖瓶数ξ的分布列，并计算其数学期望和方差.【答案】（1）120种；（2）分布列见解析，38，2164. 【解析】试题分析：（1）若8种口味均不一样，有38C 种，若其中两瓶口味一样，有1187C C 种，若三瓶口味一样，有8种，由此能求出小王共有多少种选择方式；（2）由已知得1(3,)8B ξ ，由此能求出小王喜欢的草莓口香糖瓶数ξ的分布列、数学期望和方差.试题解析：（1）若三瓶口味均不一样，有3856C =若其中两瓶口味不一样，有118756C C =，若三瓶口味一样，有8种，所以小王共有56+56+8=120种选择方式考点：排列组合的应用；离散型随机变量的期望与方差.20.（本小题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，其短轴的下端点在抛物线24x y =的准线上. （1）求椭圆1C 的方程；（2）设O 为坐标原点，M 是直线:2l x =上的动点，F 为椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM为直径的圆2C 相交于,P Q 两点，与椭圆1C 相交于,A B 两点，如图所示.①若PQ 2C 的方程；②设2C 与四边形OAMB 的面积分别为12,S S ，若12S S λ=，求λ的取值范围.【答案】（1）2212x y +=；（2）①()()22112x y -+-=或()()22112x y -++=；②,2⎫+∞⎪⎪⎣⎭.试题解析：（1） 椭圆短轴下端点在抛物线24x y =的准线上，1b ∴=2c e a ===，a ∴ 所以椭圆1C 的方程为2212x y += （2）①由（1），知()1,0F ，设()2,M t ，则2C 的圆心坐标为1,2t ⎛⎫⎪⎝⎭2C 的方程为()2221124t t x y ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭，当0t =时，PQ 所在直线方程为1x =，此时2PQ =，与题意不符，不成立，0t ∴≠.∴可设直线PQ 所在直线方程为()()210y x t t=--≠，即()2200x ty t +-=≠ 又圆2C的半径r ==由2222PQ d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得()2222114244t ⎛⎛⎫+⨯=+ ⎝⎭解得242t t =⇒=±∴圆2C 的方程为()()22112x y -+-=或()()22112x y -++==，即0t =时取等号又0,t λ≠∴>，当0t =时，直线PQ 的方程为1x =2AB OM ==，212S OM AB ∴=⨯=2112S OM ππ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，12S S λ∴===综上，2λ≥，所以实数λ的取值范围为,⎫+∞⎪⎪⎣⎭.考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质；直线与圆锥曲线的位置关系的应用.【方法点晴】本题主要考查了圆的方程、椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用，着重考查了的参数的取值范围的求解及分类讨论的数学与思想方法的应用及推理、运算能力，属于中档试题，解答时要认真审题，注意一元二次方程中韦达定理与判别式、弦长公式的灵活应用，同时熟记基本的公式是解答此类问题的基础. 21.（本小题满分12分）设a 为实数，函数()()211x f x x e a x -=--. （1）当1a =时，求()f x 在3,24⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值； （2）设函数()()()11,xg x f x a x e-=+--当()g x 有两个极值点()1212,x x x x <时，总有 ()()'211x g x f x λ≤，求实数λ的值（()'f x 为()f x 的导函数）.【答案】（1）最大值是()11f =；（2）21ee λ≤+.试题解析：（1）当1a =时，()()211xf x x ex -=--则()()21'211221x xx x x e fx x xee-----=--=，令()212x h x x x e -=--，则()'122x h x x e -=--显然()'h x 在区间3,24⎛⎫⎪⎝⎭内是减函数，又'31042h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭ ，在区间3,24⎛⎫⎪⎝⎭内，总有()'0h x <()h x ∴在区间3,24⎛⎫ ⎪⎝⎭内是减函数，又()10h =∴ 当3,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x >，()'0f x ∴>，此时()f x 单调递增；当()1,2x ∈时，()0h x <()'0f x ∴<，此时()f x 单调递减；()f x ∴在区间3,24⎛⎫⎪⎝⎭内的极大值也即最大值是()11f =①当10x =，11111210x x x ee λ--⎡⎤-+≤⎣⎦不等式恒成立，R λ∈；②当()10,1x ∈时，1111210x x eeλ---+≤恒成立，111121x x e e λ--≥+令函数()11111122211x x x e k x e e ---==-++显然()k x 是R 内的减函数，当()0,1x ∈，()()22011e ek x k e e λ<=∴≥++ ③()1,0x ∈-∞时，1111210x x eeλ---+≥恒成立，即111121x x e e λ--≤+由②，当(),0x ∈-∞，()()201e k x k e >=+，即21ee λ≤+ 考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，函数的极值问题，取闭区间上的最值问题，着重考查了分类讨论的数学思想和转化与化归的思想方法，是一道综合试题，试题有一定的难度，本题解答中把不等式可化为11111210x x x ee λ--⎡⎤-+≤⎣⎦，对任意的()1,1x ∈-∞恒成立.通过讨论①当10x =时，②当1(0,1)x ∈时，③1(,1)x ∈-∞时的情况是解解答的难点.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆内接于直径为BC 的圆O ，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点,P BAC ∠的平分线分别交BC 和圆O 于点,D E ，若210PA PB ==.（1）求证：2AC AB =；（2）求AD DE ⋅的值.【答案】（1）证明见解析；（2）50.（2）由切割线定理，得2,20PA PB PC PC =⋅∴=，又5,15PB BC ==又AD 是BAC ∠的平分线，2AC CD AB DB∴== 由相交弦定理，得50AD DE CD DB ⋅=⋅=.考点：圆的切割线定理；相似三角形的应用.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线14cos :3sin x t C y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），28cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）化12,C C 的方程为普通方程，并说明他们分别表示什么曲线；（2）若1C 上的点P 对应的参数为,2t Q π=为2C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线332:2x t C y t=+⎧⎨=-+⎩（t 为 参数）距离的最小值.【答案】（1）()()222212:431,:1649x y C x y C ++-=+=；（2）5.试题解析：（1）()()222212:431,:1649x y C x y C ++-=+= 1C 为圆心是()4,3-，半径是1的圆，2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.（2）当2t π=时，()()4,4,8cos ,3sin P Q θθ-，故324cos ,2sin 2M θθ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭3C 的普通方程为270x y --=，M 到3C 的距离3sin 13d θθ=--所以当43cos ,sin 55θθ==-时，d 取得最小值5. 考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()21f x x a x a R =---∈.（1）当3a =时，求函数()f x 的最大值；（2）解关于x 的不等式()0f x ≥.【答案】（1）2；（2）当1a >时，不等式的解集为22,3a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，当1a =时，不等式的解集为{}|1x x =当1a <，不等式的解集为2,23a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 试题解析：（1）当3a =时，()()()()1,332135,131,1x x f x x x x x x x --≥⎧⎪=---=-+<<⎨⎪+≤⎩所以当1x =，函数()f x 取得最大值2.（2）由()0f x ≥，得21x a x -≥- 两边平方，得()()2241x a x -≥-即()2232440x a x a +-+-≤ 得()()2320x a x a ---+≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以当1a >时，不等式的解集为22,3a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 当1a =时，不等式的解集为{}|1x x = 当1a <，不等式的解集为2,23a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 考点：绝对值不等式的求解.。

2017-2018学年河北省衡水中学高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若点（，2）在直线l：ax+y+1=0上，则直线l的倾斜角为（）A．30° B．45° C．60° D．120°2．圆x2+y2+2x+6y+9=0与圆x2+y2﹣6x+2y+1=0的位置关系是（）A．相交 B．外切 C．相离 D．内切3．在数列{a n}中，a1=，a n+1=1﹣，则a10=（）A．2 B．3 C．﹣1 D．4．设α，β是两个不同的平面，m是一条直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m∥α，α⊥β，则m⊥β．则（）A．①②都是假命题B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题D．①②都是真命题5．一个等比数列的前n项和为45，前2n项和为60，则前3n项和为（）A．85 B．108 C．73 D．656．在正三棱锥S﹣ABC中，异面直线SA与BC所成角的大小为（）A．B．C．D．7．《算法统宗》是中国古代数学名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“竹筒容米”就是其中一首：家有八節竹一莖，为因盛米不均平；下頭三節三生九，上梢三節貯三升；唯有中間二節竹，要将米数次第盛；若是先生能算法，也教算得到天明！大意是：用一根8节长的竹子盛米，每节竹筒盛米的容积是不均匀的．下端3节可盛米3.9升，上端3节可盛米3升，要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，中间两节可盛米多少升．由以上条件，要求计算出这根八节竹筒盛米的容积总共为（）升．A．9.0 B．9.1 C．9.2 D．9.38．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．36+12πB．36+16πC．40+12πD．40+16π9．若等差数列{a n}的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则该数列的前n项和S n取最小值时，n的值等于（）A．7 B．6 C．5 D．410．已知圆C：（x+1）2+y2=32，直线l与一、三象限的角平分线垂直，且圆C上恰有三个点到直线l的距离为2，则直线l的方程为（）A．y=﹣x﹣5 B．y=﹣x+3C．y=﹣x﹣5或y=﹣x+3 D．不能确定11．在2013年至2016年期间，甲每年6月1日都到银行存入m元的一年定期储蓄，若年利率为q保持不变，且每年到期的存款本息自动转为新的一年定期，到2017年6月1日甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是（）A．m（1+q）4元B．m（1+q）5元C．元D．元12．已知函数f（x）的定义域为R，当x＞0时，f（x）＜2，对任意的x，y∈R，f（x）+f（y）=f（x+y）+2成立，若数列{a n}满足a1=f（0），且f（a n+1）=f（），n∈N*，则a2017的值为（）A．2 B． C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知数列{b n}是等比数列，b9是1和3的等差数列中项，则b2b16= ．14．过点A（4，a）和B（5，b）的直线与y=x+m平行，则|AB|的值为．15．将底边长为2的等腰直角三角形ABC沿高线AD折起，使∠BDC=60°，若折起后A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的体积为．16．若数列{a n}满足a2﹣a1＜a3﹣a2＜a4﹣a3＜…＜a n+1﹣a n＜…，则称数列{a n}为“差递增”数列．若数列{a n}是“差递增”数列，且其通项a n与其前n项和S n满足3S n=1+λ﹣2a n（n∈N*），则λ的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=2，S5=15．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和S n；（Ⅱ）记b n=，求数列{b n}的前n项和T n．18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，E为SA的中点，SB=2，BC=3，．（Ⅰ）求证：SC∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面ABCD⊥平面SAB．19．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足4S n=（a n+1）2，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，T n为数列{b n}的前n项和，求证T n＜6：．20．如图（1）所示，已知四边形SBCD是由直角△SAB和直角梯形ABCD拼接而成的，其中∠SAB=∠SDC=90°，且点A为线段SD的中点，AD=2DC=1，AB=SD，现将△SAB沿AB进行翻折，使得二面角S﹣AB﹣C的大小为90°，得到的图形如图（2）所示，连接SC，点E、F 分别在线段SB、SC上．（Ⅰ）证明：BD⊥AF；（Ⅱ）若三棱锥B﹣AEC的体积是四棱锥S﹣ABCD体积的，求点E到平面ABCD的距离．21．已知圆O：x2+y2=9，直线l1：x=6，圆O与x轴相交于点A，B（如图），点P（﹣1，2）是圆O内一点，点Q为圆O上任一点（异于点A、B），直线AQ与l1相交于点C．（1）若过点P的直线l2与圆O相交所得弦长等于4，求直线l2的方程；（2）设直线BQ、BC的斜率分别为k BQ、k BC，求证：k BQ•k BC为定值．22．已知数列{a n}满足：a n+1+a n=2n，且a1=1，b n=a n﹣×2n．（1）求证：数列{b n}是等比数列；（2）设S n是数列{a n}的前n项和，若a n a n+1﹣tS n＞0对任意n∈N*都成立．试求t的取值范围．2016-2017学年河北省衡水中学高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若点（，2）在直线l：ax+y+1=0上，则直线l的倾斜角为（）A．30° B．45° C．60° D．120°【考点】I2：直线的倾斜角．【分析】设直线l的倾斜角为θ∈[0°，180°）．由点（，2）在直线l：ax+y+1=0上，代入可得a+2+1=0，解得a．利用tanθ=﹣a，即可得出．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ∈[0°，180°）．∵点（，2）在直线l：ax+y+1=0上，∴ a+2+1=0，解得a=﹣．∴tanθ=﹣a=．则直线l的倾斜角θ=60°．故选：C．2．圆x2+y2+2x+6y+9=0与圆x2+y2﹣6x+2y+1=0的位置关系是（）A．相交 B．外切 C．相离 D．内切【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出R﹣r和R+r的值，判断d与R﹣r及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．【解答】解：把圆x2+y2+2x+6y+9=0与圆x2+y2﹣6x+2y+1=0的分别化为标准方程得：（x+1）2+（y+3）2=1，（x﹣3）2+（y+1）2=9，故圆心坐标分别为（﹣1，﹣3）和（3，﹣1），半径分别为r=1和R=3，∵圆心之间的距离d==2，R+r=4，R﹣r=2，∵，∴R+r＜d，则两圆的位置关系是相离．故选：C．3．在数列{a n}中，a1=，a n+1=1﹣，则a10=（）A．2 B．3 C．﹣1 D．【考点】8H：数列递推式．【分析】由a1=，a n+1=1﹣，可得a n+3=a n．即可得出．【解答】解：∵a1=，a n+1=1﹣，∴a2=1﹣2=﹣1，同理可得：a3=2，a4=，…，∴a n+3=a n．∴a10=a3×3+1=a1=．故选：D．4．设α，β是两个不同的平面，m是一条直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m∥α，α⊥β，则m⊥β．则（）A．①②都是假命题B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题D．①②都是真命题【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】由面面垂直的判定①为真命题；若m∥α，α⊥β，m与β不垂直，【解答】解：由面面垂直的判定，可知若m⊥α，m⊂β，则α⊥β，故①为真命题；如图m∥α，α⊥β，m与β不垂直，故②是假命题．故选：B．5．一个等比数列的前n项和为45，前2n项和为60，则前3n项和为（）A．85 B．108 C．73 D．65【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】由等比数列的性质得S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n成等比数列，由此能求出结果．【解答】解：由等比数列的性质得：S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n成等比数列，∵等比数列的前n项和为45，前2n项和为60，∴45，60﹣45，S3n﹣60成等比数列，∴（60﹣15）2=45（S3n﹣60），解得S3n=65．故选：D．6．在正三棱锥S﹣ABC中，异面直线SA与BC所成角的大小为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】取BC中点O，连结AO、SO，推导出BC⊥平面SOA，从而得到异面直线SA与BC所成角的大小为90°．【解答】解：取BC中点O，连结AO、SO∵在正三棱锥S﹣ABC中，SB=SC，AB=AC，∴SO⊥BC，AO⊥BC，∵SO∩AO=O，∴BC⊥平面SOA，∵SA⊂平面SAO，∴BC⊥SA，∴异面直线SA与BC所成角的大小为90°．故选：C．7．《算法统宗》是中国古代数学名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“竹筒容米”就是其中一首：家有八節竹一莖，为因盛米不均平；下頭三節三生九，上梢三節貯三升；唯有中間二節竹，要将米数次第盛；若是先生能算法，也教算得到天明！大意是：用一根8节长的竹子盛米，每节竹筒盛米的容积是不均匀的．下端3节可盛米3.9升，上端3节可盛米3升，要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，中间两节可盛米多少升．由以上条件，要求计算出这根八节竹筒盛米的容积总共为（）升．A．9.0 B．9.1 C．9.2 D．9.3【考点】8B：数列的应用．【分析】要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为d升，下端第一节盛米a1升，由等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组求出a1，d，由此能求出中间两节可盛米的容积，可得结论．．【解答】解：要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为d升，下端第一节盛米a1升，由题意得，解得a1=1.306，d=﹣0.06，∴中间两节可盛米的容积为：a4+a5=（a1+3d）+（a1+4d）=2a1+7d=2.292这根八节竹筒盛米的容积总共为：2.292+3.9+3≈9.2（升）．故选：C．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．36+12πB．36+16πC．40+12πD．40+16π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】几何体为棱柱与半圆柱的组合体，作出直观图，代入数据计算．【解答】解：由三视图可知几何体为长方体与半圆柱的组合体，作出几何体的直观图如图所示：其中半圆柱的底面半径为2，高为4，长方体的棱长分别为4，2，2，∴几何体的表面积S=π×22×2++2×4+2×4×2+2×4+2×2×2=12π+40．故选C．9．若等差数列{a n}的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则该数列的前n项和S n取最小值时，n的值等于（）A．7 B．6 C．5 D．4【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】由题意可得，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，解方程可得a1，结合已知公差，代入等差数列的通项可求，判断数列的单调性和正负，即可得到所求和的最小值时n的值【解答】解：由a5是a2与a6的等比中项，可得a52=a2a6，由等差数列{a n}的公差d为2，即（a1+8）2=（a1+2）（a1+10），解得a1=﹣11，a n=a1+（n﹣1）d=﹣11+2（n﹣1）=2n﹣13，由a1＜0，a2＜0，…，a6＜0，a7＞0，…可得该数列的前n项和S n取最小值时，n=6．故选：B．10．已知圆C：（x+1）2+y2=32，直线l与一、三象限的角平分线垂直，且圆C上恰有三个点到直线l的距离为2，则直线l的方程为（）A．y=﹣x﹣5 B．y=﹣x+3C．y=﹣x﹣5或y=﹣x+3 D．不能确定【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】设直线l的方程为y=﹣x+b，圆C的圆心C（﹣1，0），半径r=4，由圆C上恰有三个点到直线l的距离为2，得到圆心C（﹣1，0）到直线l：y=﹣x+b的距离为2，由此能求出直线l的方程．【解答】解：∵直线l与一、三象限的角平分线垂直，∴设直线l的方程为y=﹣x+b，圆C：（x+1）2+y2=32的圆心C（﹣1，0），半径r=4，∵圆C上恰有三个点到直线l的距离为2，∴圆心C（﹣1，0）到直线l：y=﹣x+b的距离为2，∴d==2，解得b=3或b=﹣5，∴直线l的方程为y=﹣x﹣5或y=﹣x+3．故选：C．11．在2013年至2016年期间，甲每年6月1日都到银行存入m元的一年定期储蓄，若年利率为q保持不变，且每年到期的存款本息自动转为新的一年定期，到2017年6月1日甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是（）A．m（1+q）4元B．m（1+q）5元C．元D．元【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】2013年6月1日到银行存入m元的一年定期储蓄，到2017年6月1日本息和为：m（1+q）4，2014年6月1日到银行存入m元的一年定期储蓄，到2017年6月1日本息和为：m（1+q）3，2015年6月1日到银行存入m元的一年定期储蓄，到2017年6月1日本息和为：m（1+q）2，2016年6月1日到银行存入m元的一年定期储蓄，到2017年6月1日本息和为：m（1+q），由此利用等比数列前n项和公式能求出到2017年6月1日甲去银行将所有存款的本息全部取回，取回的金额．【解答】解：2013年6月1日到银行存入m元的一年定期储蓄，到2017年6月1日本息和为：m（1+q）4，2014年6月1日到银行存入m元的一年定期储蓄，到2017年6月1日本息和为：m（1+q）3，2015年6月1日到银行存入m元的一年定期储蓄，到2017年6月1日本息和为：m（1+q）2，2016年6月1日到银行存入m元的一年定期储蓄，到2017年6月1日本息和为：m（1+q），∴到2017年6月1日甲去银行将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是：S=m（1+q）（1+q）+m（1+q）2+m（1+q）3+m（1+q）4==．故选：D．12．已知函数f（x）的定义域为R，当x＞0时，f（x）＜2，对任意的x，y∈R，f（x）+f（y）=f（x+y）+2成立，若数列{a n}满足a1=f（0），且f（a n+1）=f（），n∈N*，则a2017的值为（）A．2 B． C． D．【考点】3P：抽象函数及其应用．【分析】计算a1，判断f（x）的单调性得出递推公式a n+1=，两边取倒数化简得出∴{+}是等比数列，从而得出{a n}的通项公式．【解答】解：令x=y=0得f（0）=2，∴a1=2．设x1，x2是R上的任意两个数，且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，∵x＞0，f（x）＜2；∴f（x2﹣x1）＜2；即f（x2）=f[（x2﹣x1）+x1]=f（x2﹣x1）+f（x1）﹣2＜2+f（x1）﹣2=f（x1），∴f（x）在R上是减函数，∵f（a n+1）=f（），∴a n+1=，即=+1，∴+=3（+），∴{+}是以1为首项，以3为公比的等比数列，∴+=3n﹣1，∴a n=，∴a2017=．故选C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知数列{b n}是等比数列，b9是1和3的等差数列中项，则b2b16= 4 ．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】利用等差数列与等比数列的性质即可得出．【解答】解：∵b9是1和3的等差数列中项，∴2b9=1+3，解得b9=2．由等比数列的性质可得：b2b16==4．故答案为：4．14．过点A（4，a）和B（5，b）的直线与y=x+m平行，则|AB|的值为．【考点】II：直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由两点表示的斜率公式求出AB的斜率，再根据AB的斜率等于1，得到b﹣a=1，再代入两点间的距离公式运算．【解答】解：由题意，利用斜率公式求得k AB==1，即b﹣a=1，所以，|AB|==，故答案为：．15．将底边长为2的等腰直角三角形ABC沿高线AD折起，使∠BDC=60°，若折起后A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的体积为．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】通过底面三角形BCD求出底面圆的半径DM，判断球心到底面圆的距离OM，求出球O的半径OD，即可求解球O的体积．【解答】解：如图，在△BCD中，BD=1，CD=1，∠BDC=60°，底面三角形BCD的外接圆圆半径为r，则∴AD是球的弦，DA=1，∴OM=∴球的半径R=OD=，∴球O的体积为=．故答案为：16．若数列{a n}满足a2﹣a1＜a3﹣a2＜a4﹣a3＜…＜a n+1﹣a n＜…，则称数列{a n}为“差递增”数列．若数列{a n}是“差递增”数列，且其通项a n与其前n项和S n满足3S n=1+λ﹣2a n（n∈N*），则λ的取值范围是（﹣1，+∞）．【考点】8E：数列的求和．【分析】根据数列递推公式得到数列{a n}是以2为公比的等比数列，求出数列{a n}的通项公式，再根据新定义，即可求出λ的范围．【解答】解：∵3S n=1+λ﹣2a n（n∈N*），n≥2时，3S n﹣1=1+λ﹣2a n﹣1，两式相减得5a n=2a n﹣1．故数列{a n}是以为公比的等比数列，当n=1时，a1=，∴a n=，可得a n+1﹣a n=，a n﹣a n﹣1=，由此可得（a n+1﹣a n）﹣（a n﹣a n﹣1）=，可得1+λ＞0⇒λ＞﹣1故答案为：（﹣1，+∞）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=2，S5=15．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和S n；（Ⅱ）记b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由题意得解得，利用等差数列通项公式，求和公式即可求解（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b n===2（），累加即可．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由题意得解得，所以a n=n（n∈N+），（n∈N+）．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b n===2（），．则T n b1+b2+b3+…+b n=2（1﹣）=2（1﹣）=．18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，E为SA的中点，SB=2，BC=3，．（Ⅰ）求证：SC∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面ABCD⊥平面SAB．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连接AC交BD于F，则F为AC中点，连接EF，可得EF∥SC，即SC∥平面BDE．（Ⅱ）由SB2+BC2=SC2，得BC⊥SB，又四边形ABCD为矩形，即BC⊥平面SAB，可证平面ABCD ⊥平面SAB．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC交BD于F，则F为AC中点，连接EF，∵E为SA的中点，F为AC中点，∴EF∥SC，又EF⊂面BDE，SC⊄面BDE，∴SC∥平面BDE．（Ⅱ）∵SB=2，BC=3，，∴SB2+BC2=SC2，∴BC⊥SB，又四边形ABCD为矩形，∴BC⊥AB，又AB、SB在平面SAB内且相交，∴BC⊥平面SAB，又BC⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面SAB．19．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足4S n=（a n+1）2，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，T n为数列{b n}的前n项和，求证T n＜6：．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（Ⅰ）当n≥2时，4S n﹣1=（a n﹣1+1）2，4S n=（a n+1）2，n∈N*．两式相减，得（a n+a n）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，得a n﹣a n﹣1=2即可．﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b n==，利用错位相减法求T n即可证明．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，4S1=（a1+1）2，即a1=1．当n≥2时，4S n﹣1=（a n﹣1+1）2，又4S n=（a n+1）2，n∈N*．两式相减，得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0（a n﹣a n﹣1﹣2）=0．因为数列{a n}的各项均为正数，所以a n﹣a n﹣1=2．所以数列{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列，即a n=2n﹣1（n∈N*）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b n==，则T n=…①=…②①﹣②，得=1+﹣=3﹣所以T n=6﹣＜6．20．如图（1）所示，已知四边形SBCD是由直角△SAB和直角梯形ABCD拼接而成的，其中∠SAB=∠SDC=90°，且点A为线段SD的中点，AD=2DC=1，AB=SD，现将△SAB沿AB进行翻折，使得二面角S﹣AB﹣C的大小为90°，得到的图形如图（2）所示，连接SC，点E、F 分别在线段SB、SC上．（Ⅰ）证明：BD⊥AF；（Ⅱ）若三棱锥B﹣AEC的体积是四棱锥S﹣ABCD体积的，求点E到平面ABCD的距离．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）推导出SA⊥AD，SA⊥AB，从而SA⊥平面ABCD，进而SA⊥BD，再求出AC⊥BD，由此得到BD⊥平面SAC，从而能证明BD⊥AF．（Ⅱ）设点E到平面ABCD的距离为h，由V B﹣AEC=V E﹣ABC，且=，能求出点E到平面ABCD的距离．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形SBCD是由直角△SAB和直角梯形ABCD拼接而成的，其中∠SAB=∠SDC=90°，二面角S﹣AB﹣C的大小为90°，∴SA⊥AD，又SA⊥AB，AB∩AD=A，∴SA⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，∴SA⊥BD，在直角梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AD=2CD=1，AB=2，∴tan∠ABD=tan∠CAD=，又∠DAC+∠BAC=90°，∴∠ABD+∠BAC=90°，即AC⊥BD，又AC∩SA=A，∴BD⊥平面SAC，∵AF⊂平面SAC，∴BD⊥AF．解：（Ⅱ）设点E到平面ABCD的距离为h，∵V B﹣AEC=V E﹣ABC，且=，∴===，解得h=，∴点E到平面ABCD的距离为．21．已知圆O：x2+y2=9，直线l1：x=6，圆O与x轴相交于点A，B（如图），点P（﹣1，2）是圆O内一点，点Q为圆O上任一点（异于点A、B），直线AQ与l1相交于点C．（1）若过点P的直线l2与圆O相交所得弦长等于4，求直线l2的方程；（2）设直线BQ、BC的斜率分别为k BQ、k BC，求证：k BQ•k BC为定值．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】（1）若过点P的直线l2与圆O相交所得弦长等于4，圆心O（0，0）到直线的距离，分类讨论，求直线l2的方程；（2）求出相应直线的斜率，即可证明结论．【解答】（1）解：因直线l2与圆O相交所得弦长等于4，所以圆心O（0，0）到直线的距离设直线l2的方程为y﹣2=k（x+1），即kx﹣y+k+2=0由解得又过点P且与x轴垂直的直线x=﹣1显然符合要求所以直线l2的方程是x=﹣1或3x+4y﹣5=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）证明：设点C的坐标为（6，h），则直线AC的方程为由解得从而得点，所以所以k BQ•k BC=﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣22．已知数列{a n}满足：a n+1+a n=2n，且a1=1，b n=a n﹣×2n．（1）求证：数列{b n}是等比数列；（2）设S n是数列{a n}的前n项和，若a n a n+1﹣tS n＞0对任意n∈N*都成立．试求t的取值范围．【考点】8E：数列的求和；88：等比数列的通项公式．【分析】（1）由已知推导出，由此能证明数列{b n}是首项为，公比为1的等比数列．（2）先求出，数列{a n}的前n项和S n= []，从而a n a n+1= [2n﹣（﹣1）n][2n+1﹣（﹣1）n+1]，由此根据n为正奇数和n为正偶数，分类讨论，能求出t的取值范围．【解答】证明：（1）∵数列{a n}满足：a n+1+a n=2n，且a1=1，b n=a n﹣×2n，∴，∴=﹣1，∵=，∴数列{b n}是首项为，公比为1的等比数列．解：（2）由（1）知=，∴，∴数列{a n}的前n项和：S n={（2+22+23+…+2n）﹣[﹣（﹣1）+（﹣1）2+…+（﹣1）n}= []=﹣﹣．∵a n a n+1﹣tS n＞0对任意n∈N*都成立．∴由a n= [2n﹣（﹣1）n]，得a n a n+1= [2n﹣（﹣1）n][2n+1﹣（﹣1）n+1]，S n=﹣﹣．①当n为正奇数时，a n a n+1﹣tS n=（2n+1）（2n+1﹣1）﹣（2n+1﹣1）＞0对任意n∈N*都成立，∵2n+1﹣1＞0，∴（2n+1）﹣＞0，即t（2n+1）对任意正奇数n都成立，又因为数列{}递增，所以当n=1时，有最小值1，∴t＜1；②当n为正偶数时，a n a n+1﹣tS n=（2n﹣1）（2n+1+1）﹣，即（2n﹣1）（2n+1+1）﹣＞0对任意n∈N*都成立，又∵2n﹣1＞0，∴＞0，即t＜任意正偶数n都成立，又数列{（2n+1+1）}递增，∴当n=2时，有最小值．∴t．综上所述，当n为正奇数时，t的取值范围是（﹣∞，1）；当n为正偶数时，t的取值范围是（﹣1，）．。

2017-2018学年河北省衡水市武邑中学高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共60分1．（5分）与﹣457°角终边相同角的集合是（）A．{α|α＝k•360°+457°，k∈Z}B．{α|α＝k•360°+97°，k∈Z}C．{α|α＝k•360°+263°，k∈Z}D．{α|α＝k•360°﹣263°，k∈Z}2．（5分）某工厂采用系统抽样方法，从一车间全体300名职工中抽取20名职工进行一项安全生产调查，现将300名职工从1到300进行编号，已知从31到45这15个编号中抽到的编号是36，则在1到15中随机抽到的编号应是（）A．4B．5C．6D．73．（5分）已知sinα＞sinβ，那么下列命题成立的是（）A．若α、β是第一象限角，则cosα＞cosβB．若α、β是第二象限角，则tanα＞tanβC．若α、β是第三象限角，则cosα＞cosβD．若α、β是第四象限角，则tanα＞tanβ4．（5分）某校640名毕业生学生，现采用系统抽样方法，抽取32人做问卷调查，将640人按1，2，…，640随机编号，则抽取的32人中，编号落入区间[161，380]的人数为（）A．10B．11C．12D．135．（5分）已知两个球的表面积之比为1：16，则这两个球的半径之比为（）A．1：16B．1：48C．1：32D．1：46．（5分）直线x+y+1＝0与直线mx+3y﹣4＝0平行，则m＝（）A．m＝4．B．m＝3．C．m＝﹣3．D．m＝﹣47．（5分）如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员参加的每场比赛得分的茎叶图，由甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（）A．65B．64C．63D．628．（5分）某学校从编号依次为001，002，…，900的900个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本容量为20的样本，已知编号为054的学生在样本中，则样本中最大的编号为（）A．853B．854C．863D．8649．（5分）《莱因德纸草书》（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的三分之一是较小的两份之和，问最大一份为（）A．30B．20C．15D．1010．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i＝5，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜8B．S＜9C．S＜10D．S＜1311．（5分）已知x∈（﹣π，0），且cos x＝﹣，则角x等于（）A．arccos B．﹣arccosC．π+arccos D．﹣π+arccos二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）12．（5分）用绳子围成一块矩形场地，若绳长为20米，则围成最大矩形的面积是平方米．13．（5分）将300°化成弧度得：300°＝rad．14．（5分）在区间[0，10]中任意取一个数，则它与4之和大于10的概率是．15．（5分）若等腰△ABC的周长为9，则△ABC的腰AB上的中线CD的长的最小值是．三、解答题：16．（12分）某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？17．（14分）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形的周长y和腰长x 之间的函数解析式，并求出它的定义域．18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，点E、F分别为棱AB、PD的中点．求证：AF∥平面PCE；2017-2018学年河北省衡水市武邑中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共60分1．（5分）与﹣457°角终边相同角的集合是（）A．{α|α＝k•360°+457°，k∈Z}B．{α|α＝k•360°+97°，k∈Z}C．{α|α＝k•360°+263°，k∈Z}D．{α|α＝k•360°﹣263°，k∈Z}【解答】解：终边相同的角相差了360°的整数倍，设与﹣457°角的终边相同的角是α，则α＝﹣457°+k•360°，k∈Z，又263°与﹣457°终边相同，∴{α|α＝263°+k•360°，k∈Z}，故选：C．2．（5分）某工厂采用系统抽样方法，从一车间全体300名职工中抽取20名职工进行一项安全生产调查，现将300名职工从1到300进行编号，已知从31到45这15个编号中抽到的编号是36，则在1到15中随机抽到的编号应是（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：某工厂采用系统抽样方法，从一车间全体300名职工中抽取20名职工进行一项安全生产调查，∴抽样间隔为：＝15，现将300名职工从1到300进行编号，从31到45这15个编号中抽到的编号是36，则在1到15中随机抽到的编号应是：36﹣15×2＝6．故选：C．3．（5分）已知sinα＞sinβ，那么下列命题成立的是（）A．若α、β是第一象限角，则cosα＞cosβB．若α、β是第二象限角，则tanα＞tanβC．若α、β是第三象限角，则cosα＞cosβD．若α、β是第四象限角，则tanα＞tanβ【解答】解：若α、β同属于第一象限，则，cosα＜cosβ；故A错．第二象限，则，tanα＜tanβ；故B错．第三象限，则，cosα＜cosβ；故C错．第四象限，则，tanα＞tanβ．（均假定0≤α，β≤2π．）故D正确．故选：D．4．（5分）某校640名毕业生学生，现采用系统抽样方法，抽取32人做问卷调查，将640人按1，2，…，640随机编号，则抽取的32人中，编号落入区间[161，380]的人数为（）A．10B．11C．12D．13【解答】解：使用系统抽样方法，从640人中抽取32人，即从20人抽取1人．∴从编号161～380共220人中抽取＝11人．故选：B．5．（5分）已知两个球的表面积之比为1：16，则这两个球的半径之比为（）A．1：16B．1：48C．1：32D．1：4【解答】解：由题意可得：设大球与小球两个球的半径分别为R，r，所以两个球的表面积分别为：S1＝4πR 2，S2＝4πr2因为两个球的表面积之比为1：16，所以可得：，所以．故选：D．6．（5分）直线x+y+1＝0与直线mx+3y﹣4＝0平行，则m＝（）A．m＝4．B．m＝3．C．m＝﹣3．D．m＝﹣4【解答】解：∵直线x+y+1＝0与直线mx+3y﹣4＝0平行，∴，即m＝3．故选：B．7．（5分）如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员参加的每场比赛得分的茎叶图，由甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（）A．65B．64C．63D．62【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；甲运动员得分从小到大的顺序是8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，42，51，∴它的中位数是＝27；乙运动员得分从小到大的顺序是12，15，24，25，31，36，36，37，39，44，49，50，∴它的中位数是＝36；∴27+36＝63．故选：C．8．（5分）某学校从编号依次为001，002，…，900的900个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本容量为20的样本，已知编号为054的学生在样本中，则样本中最大的编号为（）A．853B．854C．863D．864【解答】解：由题意知，系统抽样的间隔为900÷20＝45，∴样本中第一个编号为054﹣045＝009，则样本中最大的编号为009+（20﹣1）×45＝864．故选：D．9．（5分）《莱因德纸草书》（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的三分之一是较小的两份之和，问最大一份为（）A．30B．20C．15D．10【解答】解：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，设等差数列中的这五项从小到大依次为a1，a2，a3，a4，a5，∵较大的三份之和的三分之一是较小的两份之和，∴（a3+a4+a5）＝a1+a2，且a1+a2+a3+a4+a5＝100，解得a1＝10，d＝5，∴a5＝10+4×5＝30．故选：A．10．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i＝5，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜8B．S＜9C．S＜10D．S＜13【解答】解：框图首先给变量S和i赋值S＝0，i＝1，执行i＝1+1＝2，判断2是奇数不成立，执行S＝2×2+1＝5；判断框内条件成立，执行i＝2+1＝3，判断3是奇数成立，执行S＝2×3+2＝8；判断框内条件成立，执行i＝3+1＝4，判断4是奇数不成立，执行S＝2×4+1＝9；判断框内条件成立，执行i＝4+1＝5，判断4是奇数成立，执行S＝2×5+2＝12；此时在判断时判断框中的条件应该不成立，输出i＝5．而此时的S的值是12，故判断框中的条件应S＜13．若是S＜10，输出的i值等于4，与题意不符．故选：D．11．（5分）已知x∈（﹣π，0），且cos x＝﹣，则角x等于（）A．arccos B．﹣arccosC．π+arccos D．﹣π+arccos【解答】解：cos x＝﹣，﹣π＜x＜0，则角x的值为：﹣π+arccos．故选：D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）12．（5分）用绳子围成一块矩形场地，若绳长为20米，则围成最大矩形的面积是25平方米．【解答】解：设矩形的两条邻边长分别为x米，y米，则有2（x+y）＝20，所以，x+y＝10，由基本不等式可知，围成的矩形的面积为平方米，当且仅当，即当x＝y＝5时，等号成立，故答案为：25．13．（5分）将300°化成弧度得：300°＝rad．【解答】解：∵180°＝π，∴1°＝，则300°＝300×＝．故答案为：．14．（5分）在区间[0，10]中任意取一个数，则它与4之和大于10的概率是．【解答】解：在区间[0，10]中任意取一个数x，则它与4之和大于10的x满足x+4＞10，解得6＜x≤10，∴所求概率为；故答案为：．15．（5分）若等腰△ABC的周长为9，则△ABC的腰AB上的中线CD的长的最小值是．【解答】解：如图所示，设腰长AB＝2x．则BC＝9﹣4x＞0，解得．由中线长定理可得：2CD2+2x2＝（2x）2+（9﹣4x）2，化为：CD2＝9（x﹣2）2+．∴x＝2时，CD取得最小值＝．故答案为：．三、解答题：16．（12分）某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？【解答】解：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab＝800．蔬菜的种植面积S＝（a﹣4）（b﹣2）＝ab﹣4b﹣2a+8＝808﹣2（a+2b）．所以S≤808﹣4＝648（m2）当且仅当a＝2b，即a＝40（m），b＝20（m）时，S最大值＝648（m2）．答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2．17．（14分）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形的周长y和腰长x 之间的函数解析式，并求出它的定义域．【解答】解：如图，作DE⊥AB于E，连接BD．因为AB为直径，所以∠ADB＝90°．在Rt△ADB与Rt△AED中，∠ADB＝90°＝∠AED，∠BAD＝∠DAE，所以Rt△ADB∽Rt△AED．所以，即．又AD＝x，AB＝4，所以．所以CD＝AB﹣2AE＝4﹣，于是y＝AB+BC+CD+AD＝4+x+4﹣+x＝﹣+2x+8由于AD＞0，AE＞0，CD＞0，所以x＞0，，4﹣＞0，解得0＜x，故所求的函数为y＝﹣+2x+8（0＜x）．18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，点E、F分别为棱AB、PD的中点．求证：AF∥平面PCE；【解答】证明：取PC的中点G，连结EG、FG，∵F，G分别是PD、PC的中点，∴FG CD，∵AB CD，E是AB的中点，∴AE CD，∴FG AE，∴四边形AEGF是平行四边形，∴AF∥EG，∵AF⊄平面PCE，EG⊂平面PCE，∴AF∥平面PCE．第11页（共11页）。