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广西陆川县中学2017届高三下学期6月份理科数学收网试题

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2017年6月广西陆川县中学高三收网试卷理科数学试题 第I 卷(选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．设集合{}|(21)(3)0A x x x =-->，{|10}B x x =-<，则A B ⋂=（ ） A. ()(),13,-∞⋃+∞ B. (),1-∞ C. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭2．若复数z 满足()12i z i +=+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3．下列命题中正确命题的个数是（ ）（1）对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++>；（2）命题“已知,x y R ∈，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”是真命题；（3）回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为()4,5，则回归直线方程为1.230.08y x ∧=+；（4）3m =是直线()320m x my ++-=与直线650mx y -+=互相垂直的充要条件.A. 1B. 3C. 2D. 44．阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为（ ）A ．3k ≤B ．4k ≤C ．5k ≤D ．6k ≤5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）A. 42+B. 62+ C. 10 D. 126．已知α， β为锐角，且1tan 7α=， ()cos αβ+=cos2β=（ ） A.35 B. 23 C. 45D. 107．已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a a +=+（*n N ∈），若11()(1)n nb n a λ+=-+（*n N ∈），1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围为（ ）A ．2λ>B ．2λ<C ．3λ>D ．3λ<8． 函数()()ln sin 0f x x x x x ππ=+-≤≤≠且的图象大致是（ ）A ．B ．C.D ．9．已知正ABC ∆的顶点A 在平面α上，顶点,B C 在平面α的同一侧，D 为BC 的中点，若ABC ∆在平面α上的射影是以A 为直角顶点的三角形，则直线AD 与平面α所成角的正弦值的范围是（ ）A ．B ．C ．1[2D ．1(210.如图所示， 2π3BAC ∠=，圆M 与,AB AC 分别相切于点,D E ， 1AD =，点P 是圆M 及其内部任意一点，且(),R AP xAD yAE x y =+∈，则x y +的取值范围是 （）A. 1,4⎡+⎣B. 44⎡-+⎣C. 1,2⎡+⎣D. 2⎡⎣11．在2013年至2016年期间，甲每年6月1日都到银行存入m 元的一年定期储蓄，若年利率为q 保持不变，且每年到期的存款利息自动转为新的一年定期，到2017年6月1日甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是（ ）A. 4)1(q m +元 B. 5)1(q m +元 C. qq q m )]1()1[(4+-+元 D.qq q m )]1()1[(5+-+元12．若曲线()()1ln 1f x a x =+（211e x e -<<-）和()32g x x x =-+（0x <）上分别存在点A 、B ，使得OAB ∆是以原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边AB 的中点在y 轴上，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()2,e eB. 2,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()21,e D. [)1,e 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．口袋中装有4个形状大小完全相同的小球，小球的编号分别为1，2，3，4，甲、乙依次有放回地随机抽取1个小球，取到小球的编号分别为,a b .在一次抽取中，若有两人抽取的编号相同，则称这两人为“好朋友”，则甲、乙两人成为“好朋友”的概率为__________．14．直线0ax by c ++=与圆O ： 2216x y +=相交于两点M 、N .若222c a b =+， P为圆O 上任意一点，则PM PN ⋅的取值范围是__________．15．如图所示，三棱锥P ABC -中，ABC ∆是边长为3的等边三角形， D 是线段AB的中点， DE PB E ⋂=，且DE AB ⊥，若120EDC ∠=︒，32PA =，PB =则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为__________．16．对于函数()[]()(),0,212,2,2sin x x f x f x x π∈=-∈+∞⎧⎪⎨⎪⎩，下列5个结论正确的是__________．(1)任取1x ， [)20,x ∈+∞,都有()()122f x f x -≤； (2)函数()y f x =在[]4,5上单调递增；(3) ()()()•22N f x kf x k k =+∈，对一切[)0,x ∈+∞恒成立；(4)函数()()ln 1y f x x =--有3个零点；(5)若关于x 的方程()(0)f x m m =<有且只有两个不同的实根1x ,2x ，则123x x +=.三、解答题：(本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分10分）在ABC ∆ 中， ,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边, 且三个内角,,A B C 满足2A C B +=.（1）若2b =，求ABC ∆的面积的最大值，并判断取最大值时三角形的形状； （2）若11cos cos cos A C B+=-，求cos 2A C -的值.18． （本小题满分12分）参加衡水中学数学选修课的同学，对某公司的一种产品销量与价格进行了统计，得到如下数据和散点图：（参考数据：，，，）（Ⅰ）根据散点图判断，y 与x ，z 与x 哪一对具有较强的线性相关性（给出判断即可，不必说明理由）？（Ⅱ）根据（1）的判断结果及数据，建立y 关于x 的回归方程（方程中的系数均保留两位有效数字）．（Ⅲ）定价为多少元/kg 时，年收入的预报值最大？附：对于一组数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3），…，（x n ，y n ），其回归直线=•x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：z x -y x -==，=﹣•．19．（本小题满分12分）如图所示，已知长方体ABCD 中， 2AB AD == M为DC 的中点，将ADM ∆沿AM 折起，使得AD BM ⊥.（1）求证：平面ADM ⊥平面ABCM ；（2）是否存在满足(01)BE tBD t =<<的点E ，使得二面角E AM D --为大小为4π？若存在，求出相应的实数t ；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分12分）如图，设椭圆1C ： 22221(0)x y a b a b +=>>，长轴的右端点与抛物线2C ： 28y x =的焦点F 重合，且椭圆1C（Ⅰ）求椭圆1C 的标准方程；（Ⅱ）过F 作直线l 交抛物线2C 于A ， B 两点，过F 且与直线l 垂直的直线交椭圆1C 于另一点C ，求ABC ∆面积的最小值，以及取到最小值时直线l 的方程．21．已知等差数列{}n a 的公差0d >，且163411,12a a a a ⋅=+=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列1122n n n a a ++-⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．22．如图，已知矩形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，1BE CF ==，2BC =， 3AB CD ==，P 、Q 分别是DE 、CF 的中点，现沿着EF 翻折，使得二面角A EFB --大小为23π. （Ⅰ）求证：PQ //平面BCD ； （Ⅱ）求二面角A DB E --的余弦值.理科数学试题参考答案及评分标准1．C 2．A3．C ；【解析】（1）中:p x R ⌝∀∈ ，均有210x x ++≥，本题错；（2）中命题的逆否命题为：若2x = 且1y =，则3x y += 为真命题，故原命题正确；（4）中0m = 也有两直线垂直，故本题错；（3）确定。

故选C4．B ；试题分析：第一次循环，211,2S k ===；第二次循环，22126,3S k =⨯+==；第三次循环，226321,4S k =⨯+==；第四次循环，2221458,5S k =⨯+==,最后输出的数据为58,所以判断框中应填入4k ≤,选B.5．B ；【解析】如图所示，可将此几何体放入一个边长为2的正方体内，则四棱锥P ABCD -即为所求，且3PA PB ==，PC PD =62+.故选B.6．C【解析】()()()π,0,0,πcos sin 2αβαβαβαβ⎛⎫∈∴+∈+=+= ⎪⎝⎭1tan sin 7ααα=∴==()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++== 294cos22cos 121105ββ=-=⨯-= ,选C. 7．B ；试题分析：因为数列{}n a 满足11a =，12n n n a a a +=+（*n N ∈），所以1121n na a +=+，化为1112(1)1n n a a +=++，所以数列1{1}n a +是等比数列，首项为11121a +=+，公比为2，所以1121n n a +=+，所以11()(1)()2n n n b n n a λλ+=-+=-⋅，因为1b λ=-且数列{}n b 是单调递增数列，所以1n n b b +>，所以1()2(1)2n n n n λλ--⋅>--⋅，化为1n λ<+，因为数列{}1n +为单调递增数列，所以2λ<，故选B ． 8．D 解析：函数f （x ）为偶函数，排除A ； 当x ＞0时，()ln sin f x x x =+，1'()cos f x x x =+，当(0,)2x π∈时，'()0f x >，函数f （x ）在(0,)2π递增，排除C ；21''()sin f x x x =--＜0，所以，'()f x 在(0,)π内单调递减， 所以，函数f （x ）在(0,)π内先增后减，选D ；9．B ；试题分析：如图所示，设B 到平面α，C 到平面α的射影，D 到平面α的射影分别为E ，F ，P ，设BE a =，CF b =，则2a bDP +=，由题意可知2222244()3()EF AP AD DP a b ==-=-+，22221AE AB BE a =-=-，22221AF AC CF b =-=-，∴222AE AF EF +=2221113()2a b a b b a ⇒-+-=-+⇒=，由011112012a a a <<⎧⎪⇒<<⎨<<⎪⎩，∴112sin a a a DPDAP AD++∠===，由函数1()2f x x x =+在1(,22上单调递减，上单调递增，∴可知1()max{(),(1)}sin 2f f a f f DAP ≤<⇒∠∈，故选B ．10.B【解析】连接AM 并延长分别交圆M 于Q T 、，连接DE ， DE 与AM 交于R ，显然1122AR AD AE =+，此时1x y +=，分别过Q T 、作DE 的平行线，由于01,120AD AE BAC ==∠=，则2,AM DM ==2AQ = 12AR = ，(((242212AQ AR AD AE ==-=+-，此时4x y +=- ，同理可得：((22AT AD AE =+，4x y +=+B .【点睛】此题为向量三点共线的拓展问题，借助点P 在等和线DE 上1x y +=去求x y +的取值范围，由于点P 是圆M 及其内部任意一点，所以分别过Q T 、作圆的切线，求出两条等和线的x y +值，就可得出x y +的取值范围，本题型在高考中出现多次，要掌握解题方法. 11.D 12.B【解析】()2'32(0)g x x x x =-+< ,由()'0g x < 得()g x 在(),0-∞ 上单调递减，所以()()00g x g >= ，设()001,ln 1A x a x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭，因为斜边AB 的中点在x 轴上，所以()32000,B x x x -+ ，又因为OA OB ⊥ ，所以()32000001•1ln 1x x x a x x +=--+ ，可得()001,ln 1x a x +=+ 设()()21(11),ln 1x h x e x e x +=-<<-+ 则()()()()()()222ln 11'0,112ln 1x e h x h e e h x h e x +-=>-=<<-=⎡⎤+⎣⎦，实数a 的取值范围是2,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭，故选B. 13．14【解析】解：由题意可知，两人取球的概率空间为： (1,1 ),(1,2 ),(1,3 ),(1,4 ), (2,1 ),(2,2 ),(2,3 ),(2,4 ), (3,1 ),(3,2 ),(3,3 ),(3,4 ), (4,1 ),(4,2 ),(4,3 ),(4,4 ),共有16种可能的取值，其中满足两人为“好朋友”的共有4种情况，由古典概型公式可知，甲、乙两人成为“好朋友”的概率为41164p == . 14．[]6,10- 【解析】由题得：取M,N 的中点为H ，则()()·PM PN PH HM PH HN=++ =()()·PM PN PH HM PH HM=+-=22PH HM -又圆心到直线的距离为1d MN ==⇒==，所以222·15PM PN PH HM PH =-=- ，而m a xm i n14 5.413P H P H =+==-=，所以PM PN ⋅的取值范围是[]6,10-15．13π 【解析】三棱锥P ABC -中， ABC 是边长为3的等边三角形，设ABC ∆的外心为1O ，外接圆的半径1032sin60O A ==，在PAB ∆中，3,32PA PB AB ===，满足222PA PB AB +=， PAB ∆为直角三角形， PAB ∆的外接圆的圆心为D ，由于,CD AB ED AB ⊥⊥， 0120EDC ∠=为二面角P AB C --的平面角，分别过两个三角形的外心1,O D 作两个半平面的垂线交于点O ，则O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，在1R t O O D∆中，01130,2ODO DO ∠==，则01c o s 30,1O D OD OD ===，连接OA，设O A=，则22222313124R AD OD ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭， 21344=134S R πππ==⨯球.16．（1）（4）（5） 【解析】由题意，得()[]()(),0,212,2,2sin x x f x f x x π∈=-∈+∞⎧⎪⎨⎪⎩的图象如图所示，由图象()()max min 1,1f x f x ==- ，则任取1x ， [)20,x ∈+∞,都有()()()()12max min 2f x f x f x f x -≤-=，故（1）正确；函数()y f x =在[]4,5上先增后减，故（2）错误；当[]0,2x ∈时， ()()()2112222422f x k f x k f x k +=+-=+- ()12k f x =⋅⋅⋅=，即()()*22,N kf x f x k x =+∈，故（3）错误；在同一坐标系中作出()f x 和()ln 1y x =-的图象，可知两函数图象有三个不同公共点，即函数()()ln 1y f x x =--有3个零点，故（4）正确；在同一坐标系中作出()f x 和y m =的图象，由图象可知当且仅当112m -<<- 时，关于x 的方程()(0)f x m m =<有且只有两个不同的实根1x ,2x ，且1x ,2x 关于32x =对称，即123x x +=；故（5）正确；故填（1）、（4）、（5）.17．试题解析：(1) 由题设条件知60,120,26ABCB AC S Aπ∆⎛⎫=+==-+⎪⎝⎭，()maxABCS∆=，此时3Aπ=，又3Bπ=，所以ABC∆是等边三角形………….4分(2) 由题设条件知60,120B A C=+=,设2A Cα-=，则2A Cα-=，可得60,60A Cαα=+=-，()()1111cos cos cos60cos60A Cαα∴+=++-222cos cos133cos sin cos444ααααα===--，依题设条件有22cos1cos,cos,33cos2cos cos44BBαααα==∴=---，整理得()22cos0,2cos30,30a a a a a+-=+=+≠，2cos0a∴=.从而得cos22A C-=.10分18、解：（1）由散点图可知：z与x具有较强的线性相关性；……………….2分（2）由==35，==11.55，==≈﹣0.10，由=﹣•=15.05≈15，=x+=15﹣0.10x，线性回归方程为：=15﹣0.10x，则y关于x 的回归方程==，∴y关于x 的回归方程==；………………………………..8分（3）年利润L（x）=x •=x •，求导L ′（x ）=•（1﹣x •），令导L ′（x ）=0，解得：x=20，由函数的单调性可知：当x=20时，年收入的预报值最大，∴定价为20元/kg 时，年收入的预报值最大．……………………12分19．【解析】（1）证明：∵长方形ABCD 中，2AB AD == M 为DC 的中点，∴2AM BM ==， 222AM BM AB +=，∴BM AM ⊥， ∵AD BM ⊥， AD AM A ⋂=，所以BM ⊥平面ADM ，又BM ⊂平面ABCM ，所以平面ADM ⊥平面ABCM …………….4分（2）解：以点M 为坐标原点， MA方向为x 轴正方向建立如图空间直角坐标系M xyz -，则()()()()2,0,0,0,2,0,1,0,1,2,0,0A B D MA = ， ()()0,2,0,1,2,1MB BD ==-， (),22,ME MB BE t t t =+=-，设平面AME 的一个法向量为(),,m x y z =， 由()·20{·220MA m x ME m tx t y tz ===+-+=，取y t =，得0,,22x y t z t ===-，所以()0,,22m t t =-， 由（1）知平面AMD 的一个法向量()0,1,0n =， 所以·,·2m n cos m n m n 〈〉===23t =或2t =（舍去），故存在23t =为所求…………………………………………….12分20．【解析】（Ⅰ）∵椭圆1C ： 22221(0)x y a b a b+=>>，长轴的右端点与抛物线2C ： 28y x=的焦点F 重合，∴2a =，又∵椭圆1Cc =， 1b =， ∴椭圆1C 的标准方程为2214x y +=．……………………………………………..4分 （Ⅱ）过点()2,0F 的直线l 的方程设为2x my =+，设()11,A x y ， ()22,B x y ， 联立22,{8,x my y x =+=得28160y my --=，∴128y y m +=， 1216y y =-， ∴()281AB m ==+．过F 且与直线l 垂直的直线设为()2y m x =--，联立()222,{1,4y m x x y =--+=得()222214161640m x m x m +-+-=，∴2216214C m x m +=+，故()2224141C m x m -=+，∴2441C F CF x m =-=+ ABC ∆面积()221611241m S AB CF m +=⋅=+t =，则()321643t S f t t ==-， ()()()42221649'43t t f t t -=-， 令()'0f t =，则294t =，即2914m +=时， ABC ∆面积最小，即当m =时， ABC ∆面积的最小值为9， 此时直线l 的方程为22x y =±+．……………………………………..12分 17．解析：（1）因为163412a a a a +=+=， 所以16,a a 是方程212110x x -+=两根，且16a a <，解得161,11a a ==，————————————————————————（2分）所以61510a a d -==，即2d =， ————————————————————（4分） 所以21n a n =-． —————————————————(5分) （2）（方法一）因为11112222n n n nn n n a a a a ++++-=-， —————————————————(7分) 所以3112121213211112112222222222n n n n n n n n a a a a a a a a n T ++++++=-+-+-=-=- ． ——————(12分) （方法二）因为112123222n n n n a a n ++--=-⨯， 所以2311132322222n n n T --⎛⎫=-⨯++++ ⎪⎝⎭， 所以23411111323222222n n n T +--⎛⎫=-⨯++++ ⎪⎝⎭， 所以212341111111222231123221222222242212n n n n n n n T +++----⎛⎫=-⨯++++-=-+⨯ ⎪⎝⎭- ，所以121122n n n T ++=-18．【解析】（Ⅰ）取EB 的中点M ，连接PM ， QM ，又P 为DE 的中点，所以PM BD ， PM ⊄平面BCD ， BD ⊂平面BCD ，所以PM 平面BCD ， 同理可证MQ BC ， MQ 平面BCD ，又因为PM MQ M ⋂=，所以平面PMQ 平面BCD ， PQ ⊂平面PQM ，所以PQ 平面BCD .———————————————(4分)（Ⅱ）在平面DFC 内，过点F 作FC 的垂线，易证明这条垂线垂直平面EBCF ，因为二面角A EF B --大小为23π，所以23DFC π∠=，——————————————(6分)建立空间直角坐标系F xyz -如图所示，则()2,0,0E ， ()0,1,0C ， ()2,1,0B ，(0,D -，(2,A -，则(2,3BD =--，(0,2,AB =，()0,1,0EB =，设平面DAB 的一个法向量(),,m x y z =，根据0{0m BD m AB ⋅=⇒⋅=220{20x y y --+==，令z =0x =， 32y =，所以30,2m ⎛= ⎝ ，——————————————(8分)设平面D B E 的一个法向量()111,,n x y z =，根据0{0n B D n E B ⋅=⇒⋅=1111220{0x y y --==，令1z =10y =， 132x =，所以32n ⎛= ⎝ ，——————————————(10分)所以cos ,m n m n m n⋅〈〉==342174===，——————————————(11分)所以二面角A DB E --的余弦值为47.——————————————(12分)。

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2016-2017学年广西玉林市陆川中学高三下学期期中数学试卷(理科)【解析版】

2016-2017学年广西玉林市陆川中学高三下学期期中数学试卷(理科)【解析版】

2016-2017学年广西玉林市陆川中学高三（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|2x﹣3≥1}，集合，则A∩B＝（）A．（2，5）B．[2，5]C．（2，5]D．[2，5）2．（5分）复数z在映射f下的象为（2+i）z，则1﹣2i的原象为（）A．﹣i B．i C．4﹣3i D．4+3i3．（5分）已知向量，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）甲、乙、丙．丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动，丙车最先到达终点．丁车最后到达终点．若甲、乙两车的s﹣t图象如图所示，则对于丙、丁两车的图象所在区域，判断正确的是（）A．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域B．丙在Ⅰ区城，丁在Ⅲ区域C．丙在Ⅱ区域，丁在Ⅰ区域D．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅱ区域5．（5分）若sinα＝，且α为第二象限角，则tanα的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣6．（5分）已知定义在R上的函数f（x）＝2|x|，记a＝f（log0.52.2），b＝f（log20.5），c＝f（0.5），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a 7．（5分）执行如图的程序框图，那么输出S的值是（）A．﹣1B．C．2D．18．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则∠B＝（）A．或B．C．D．9．（5分）某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．24+πB．24+2πC．20+πD．20+2π10．（5分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A．B．4πC．2πD．11．（5分）已知点P是以F1，F2为焦点的椭圆上一点，若，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．12．（5分）若自然数n使得作竖式加法n+（n+1）+（n+2）均不产生进位现象，则称n为“开心数”．例如：32是“开心数”．因32+33+34不产生进位现象；23不是“开心数”．因23+24+25产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为（）A．9B．10C．11D．12二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最小值是．14．（5分）已知ω＞0，在函数y＝sinωx与y＝cosωx的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2，则ω＝．15．（5分）已知函数f（x）＝3x+2sin x，x∈（﹣2，2），如果f（a﹣1）+f（1﹣2a）＜0成立，则实数a的取值范围为．16．（5分）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x﹣2y＝0的距离最小的圆的方程．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，有b2+c2＝a2+bc．（1）求角A的大小；（2）若等差数列{a n}中，a1＝2cos A，a5＝9，设数列的前n项和为S n，求证：．18．（12分）某特色餐馆开通了美团外卖服务，在一周内的某特色外卖份数x（份）与收入y（元）之间有如下的对应数据：（1）画出散点图；（2）求回归直线方程；（3）据此估计外卖份数为12份时，收入为多少元．注：参考公式：，＝；参考数据：．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥平面ABB1A1，D，M分别为CC1和A1B的中点，△BA1B1是边长为2的正三角形，BC＝1．（1）证明：MD∥平面ABC；（2）求二面角A1﹣AC﹣B的余弦值．20．（12分）设点，动圆A经过点F且和直线相切，记动圆的圆心A的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设曲线C上一点P的横坐标为t（t＞0），过P的直线交C于一点Q，交x 轴于点M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N，若MN是C的切线，求t 的最小值．21．（12分）已知函数．（1）若函数f（x）存在单调递减区间，求实数a的取值范围；（2）设x1，x2（x1＞x2）是函数f（x）的两个极值点，若，求f（x1）﹣f （x2）的极大值．选做题：[选修4-4：坐标系与参数方程]（请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.）（共1个小题，共10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（1）写出直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）求直线l与曲线C的交点的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣2|+|x+a|（a∈R）．（1）若a＝1时，求不等式f（x）≥4的解集；（2）若不等式f（x）≤2x的解集为[1，+∞），求a的值．2016-2017学年广西玉林市陆川中学高三（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|2x﹣3≥1}，集合，则A∩B＝（）A．（2，5）B．[2，5]C．（2，5]D．[2，5）【解答】解：集合A＝{x|2x﹣3≥1}＝{x|x≥2}，集合＝{x|5﹣x＞0}＝{x|x＜5}，则A∩B＝{x|2≤x＜5}＝[2，5）．故选：D．2．（5分）复数z在映射f下的象为（2+i）z，则1﹣2i的原象为（）A．﹣i B．i C．4﹣3i D．4+3i【解答】解：设1﹣2i的原象为a+bi，则（2+i）（a+bi）＝1﹣2i，即2a﹣b+（a+2b）i＝1﹣2i，故，解得：，故1﹣2i的原象为﹣i，故选：A．3．（5分）已知向量，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“”可得向量，同向共线，因此“”是“”的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）甲、乙、丙．丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动，丙车最先到达终点．丁车最后到达终点．若甲、乙两车的s﹣t图象如图所示，则对于丙、丁两车的图象所在区域，判断正确的是（）A．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域B．丙在Ⅰ区城，丁在Ⅲ区域C．丙在Ⅱ区域，丁在Ⅰ区域D．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅱ区域【解答】解：∵丙车最先到达终点．丁车最后到达终点，∴丙车速度最大，丁车速度最小，∴丙车所在直线的倾斜角最大，丁车所在直线的倾斜角最小．故选：A．5．（5分）若sinα＝，且α为第二象限角，则tanα的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：sinα＝，且α为第二象限角，可得cosα＝﹣＝﹣，则tanα＝＝﹣．故选：D．6．（5分）已知定义在R上的函数f（x）＝2|x|，记a＝f（log0.52.2），b＝f（log20.5），c＝f（0.5），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）＝2|x|，∴a＝f（log0.52.2）＝＝2.2，b＝f（log20.5）＝＝2，c＝f（0.5）＝20.5＝，∴a，b，c的大小关系为c＜b＜a，故选：D．7．（5分）执行如图的程序框图，那么输出S的值是（）A．﹣1B．C．2D．1【解答】解：框图首先给变量S，k赋值S＝2，k＝2010．判断2010＜2013，执行S＝＝﹣1，k＝2010+1＝2011；判断2011＜2013，执行S＝，k＝2011+1＝2012；判断2012＜2013，执行S＝，k＝2012+1＝2013；判断2013＜2013，执行输出S，S＝2故选：C．8．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则∠B＝（）A．或B．C．D．【解答】解：∵，∴由正弦定理可得：sin B＝＝＝，∵b＜a，B为锐角，∴B＝．故选：C．9．（5分）某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．24+πB．24+2πC．20+πD．20+2π【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，下面是棱长为2的正方体，上面是半径为1的半球．则该几何体的表面积为．故选：A．10．（5分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A．B．4πC．2πD．【解答】解：在三棱锥D﹣ABC中，，可得AC⊥BC，AC⊥CD，CD⊥CB，则C﹣ABD三棱锥看作是长方体的一个角，三棱锥的外接球计算长方体的外接球，外接球的半径为：＝1．外接球的体积为：＝．故选：D．11．（5分）已知点P是以F1，F2为焦点的椭圆上一点，若，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵＝0，∴PF1⊥PF2，∵tan∠PF1F2＝＝，PF1+PF2＝2a，∴PF1＝a，PF2＝a，又F1F2＝2c，由勾股定理得：+＝4c2，∴10a2＝16c2，即＝，∴e＝＝．故选：C．12．（5分）若自然数n使得作竖式加法n+（n+1）+（n+2）均不产生进位现象，则称n为“开心数”．例如：32是“开心数”．因32+33+34不产生进位现象；23不是“开心数”．因23+24+25产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为（）A．9B．10C．11D．12【解答】解：根据题意个位数需要满足要求：∵n+（n+1）+（n+2）＜10，即n＜2.3，∴个位数可取0，1，2三个数，∵十位数需要满足：3n＜10，∴n＜3.3，∴十位可以取0，1，2，3四个数，故四个数的“开心数”共有3×4＝12个．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最小值是1．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A（0，1）时，直线的截距最小，此时z最小，此时z＝0×2+1＝1，故答案为：1．14．（5分）已知ω＞0，在函数y＝sinωx与y＝cosωx的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2，则ω＝．【解答】解：由题意，函数y＝sinωx与y＝cosωx的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2．令F（x）＝sinωx﹣cosωx＝0，可得：sin（ωx）＝0，即ωx＝kπ，k∈Z．当k＝0时，可得一个零点x1＝当k＝1时，可得二个零点x2＝那么：|x1﹣x2|＝2，ω＞0，可得．故答案为：．15．（5分）已知函数f（x）＝3x+2sin x，x∈（﹣2，2），如果f（a﹣1）+f（1﹣2a）＜0成立，则实数a的取值范围为．【解答】解：因为f′（x）＝2cos x+3＞0恒成立，所以f（x）在R上递增，又f（﹣x）＝2sin（﹣x）+3（﹣x）＝﹣2sin x﹣3x＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（1﹣2a）＜0，可化为f（a﹣1）＜f（2a﹣1），由f（x）递增，得，解得：0＜a＜，故答案为：．16．（5分）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x﹣2y＝0的距离最小的圆的方程．【解答】解法一：设圆的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X轴所得的弦长为，故r2＝2b2，又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2＝a2+1．从而得2b2﹣a2＝1．又点P（a，b）到直线x﹣2y＝0的距离为，所以5d2＝|a﹣2b|2＝a2+4b2﹣4ab≥a2+4b2﹣2（a2+b2）＝2b2﹣a2＝1，当且仅当a＝b时上式等号成立，此时5d2＝1，从而d取得最小值．由此有解此方程组得或由于r2＝2b2知．于是，所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，或（x+1）2+（y+1）2＝2．解法二：同解法一，得∴得①将a2＝2b2﹣1代入①式，整理得②把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△＝8（5d2﹣1）≥0，得5d2≥1．∴5d2有最小值1，从而d有最小值．将其代入②式得2b2±4b+2＝0．解得b＝±1．将b＝±1代入r2＝2b2，得r2＝2．由r2＝a2+1得a＝±1．综上a＝±1，b＝±1，r2＝2．由|a﹣2b|＝1知a，b同号．于是，所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，或（x+1）2+（y+1）2＝2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，有b2+c2＝a2+bc．（1）求角A的大小；（2）若等差数列{a n}中，a1＝2cos A，a5＝9，设数列的前n项和为S n，求证：．【解答】解：（1）∵b2+c2＝a2+bc，∴，又∵A∈（0，π），∴．（2）由（1）知，设等差数列{a n}的公差为d，∵a5＝a1+（5﹣1）d＝9，∴d＝2，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，∴，∴．显然为递减数列，故为递增数列，故的最小值为，故．18．（12分）某特色餐馆开通了美团外卖服务，在一周内的某特色外卖份数x（份）与收入y（元）之间有如下的对应数据：（1）画出散点图；（2）求回归直线方程；（3）据此估计外卖份数为12份时，收入为多少元．注：参考公式：，＝；参考数据：．【解答】解：（1）根据表中数据，作出散点图如图所示：（2）计算＝×（2+4+5+6+8）＝5，＝（30+40+60+50+70）＝50，＝22+42+52+62+82＝145，x i y i＝2×30+4×40+5×60+6×50+8×70＝1380，由公式＝＝6.5，＝＝50﹣6.5×5＝17.5，因此回归直线方程为＝6.5x+17.5；（3）由回归正弦方程，计算x＝12时，＝12×6.5+17.5＝95.5，即外卖份数为12份时，收入大约为95.5元．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥平面ABB1A1，D，M分别为CC1和A1B的中点，△BA1B1是边长为2的正三角形，BC＝1．（1）证明：MD∥平面ABC；（2）求二面角A1﹣AC﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：取AB的中点H，连接HM，CH．∵D，M分别为CC1和A1B的中点，∴HM AA1，又CD AA1，∴HM∥CD，HM＝CD，∴四边形CDMH是平行四边形，∴HC∥DM，又CH⊂平面ABC，DM⊄平面ABC，∴MD∥平面ABC．（2）解：取BB1中点E，连结AE，∵△A1B1E为等边三角形，∴AE⊥BB1，又BC⊥平面ABB1A1，DE∥BC，∴DE⊥平面ABB1A1，以E为坐标原点，分别以EB，A1E，ED为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图：则，则设平面ABC的法向量为，，则，即，令y＝1，则，即，平面ACA 1的法向量为，，则，得，即，令y＝1，则，即，则，即二面角A1﹣AC﹣B的余弦值是．20．（12分）设点，动圆A经过点F且和直线相切，记动圆的圆心A的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设曲线C上一点P的横坐标为t（t＞0），过P的直线交C于一点Q，交x 轴于点M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N，若MN是C的切线，求t 的最小值．【解答】解：（1）过点A作直线AN垂直于直线于点N，由题意得|AF|＝|AN|，所以动点A的轨迹是以F为焦点，直线为准线的抛物线，所以抛物线C得方程为x2＝y．（2）由题意知，过点P（t，t2）的直线PQ斜率存在且不为0，设其为k，则，当，则，联立方程，整理得：x2﹣kx+t（k﹣t）＝0．即（k﹣t）[x﹣（k﹣t）]＝0，解得x＝t或x＝k﹣t，∴Q（k﹣t，（k﹣t）2），而QN⊥QP，所以直线NQ斜率为，∴，联立方程，整理得：，即kx2+x﹣（k﹣t）[k（k﹣t）+1]＝0，[kx+k（k﹣t）+1][x﹣（k﹣t）]＝0，解得，或x＝k﹣t．∴，∴．而抛物线在点N的切线斜率，k＝y'|，MN是抛物线的切线，∴，整理得k2+kt+1﹣2t2＝0，∴△＝t2﹣4（1﹣2t2）≥0，解得（舍去），或，∴．21．（12分）已知函数．（1）若函数f（x）存在单调递减区间，求实数a的取值范围；（2）设x1，x2（x1＞x2）是函数f（x）的两个极值点，若，求f（x1）﹣f （x2）的极大值．【解答】解：（1）∵，∴，由题意知f'（x）＜0在（0，+∞）上有解，即有解，∵x＞0，∴，当且仅当x＝1时等号成立，要使有解，只需要的最小值小于a﹣1，∴2＜a﹣1，解得实数a的取值范围是{a|a＞3}．（2）∵，∴，由题意知f'（x）＝0在（0，+∞）上有解，∵x＞0，设μ（x）＝x2﹣（a﹣1）x+1，又，∴△＝（a﹣1）2﹣4＞0，∴x1+x2＝a﹣1，x1x2＝1，则＝＝，∵x1＞x2＞0，所以设，令，则，∴h（t）在（1，+∞）上单调递减，∵，∴，∴，∵t＞1，∴由4t2﹣17t+4＝（4t﹣1）（t﹣4）≥0，得t≥4，∴，故f（x1）﹣f（x2）的最大值为．选做题：[选修4-4：坐标系与参数方程]（请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.）（共1个小题，共10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（1）写出直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）求直线l与曲线C的交点的直角坐标．【解答】解：（1）因为直线l的参数方程为，∴，代入，∴，即，∴直线l的直角坐标方程为，∵曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，∴ρ2＝2ρcosθ，∴曲线C的普通方程x2+y2＝2x，即x2﹣2x+y2＝0．（2）曲线C的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1，∴，解得或，∴直线l与曲线C 的交点的直角坐标为．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣2|+|x+a|（a∈R）．（1）若a＝1时，求不等式f（x）≥4的解集；（2）若不等式f（x）≤2x的解集为[1，+∞），求a的值．【解答】解：（1）a＝1时，f（x）≥4可化为|x﹣2|+|x+1|≥4．x＜﹣1时，2﹣x﹣x﹣1≥4，∴x ≤﹣；﹣1≤x≤2时，2﹣x+x+1≥4，无解；x＞2时，x﹣2+x+1≥4，∴x ≥．综上所述，不等式的解集为{x|x≤﹣或x ≥}；（2）∵不等式f（x）≤2x的解集为[1，+∞），∴|x﹣2|+|x+a|＝2x的一个根是1，∴a＝0或﹣2．a＝0时，由|x﹣2|+|x|≤2x，解得x≥1，合题意；a＝﹣2时，由2|x﹣2|≤2x，解得x≥1，合题意；综上所述，a＝0或﹣2．第21页（共21页）。

2017-2018年广西玉林市陆川中学高二(下)6月月考数学试卷(理科)(解析版)

2017-2018年广西玉林市陆川中学高二(下)6月月考数学试卷(理科)(解析版)

2017-2018学年广西玉林市陆川中学高二（下）6月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣4x+3＝0}，B＝{y|y＝﹣x2+2x+2，x∈R}，全集U＝R，则A∩（∁U B）＝（）A．∅B．[1，3]C．{3}D．{1，3}2．（5分）设复数z满足＝（i是虚单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.3，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是（）A．0.6B．0.7C．0.8D．0.94．（5分）直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．2B．4C．2D．45．（5分）已知在某项射击测试中，规定每人射击3次，至少2次击中8环以上才能通过测试．若某运动员每次射击击中8环以上的概率为，且各次射击相互不影响，则该运动员通过测试的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知双曲线的离心率为e，抛物线x＝my2的焦点为（e，0），则实数m的值为（）A．4B．C．8D．7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8．（5分）有6个座位连成一排，安排3个人就座，恰有两个空位相邻的不同安排方法共有（）种？A．48B．72C．96D．1209．（5分）若（1+x）（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a1+a2+…+a7的值是（）A．﹣2B．﹣3C．125D．﹣13110．（5分）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）A．B．C．D．11．（5分）当a＞0时，函数f（x）＝（x2﹣2ax）e x的图象大致是（）A．B．C．D．12．（5分）已知实数a，b满足2a2﹣5lna﹣b＝0，c∈R，则（a﹣c）2+（b+c）2的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上）13．（5分）现有2个男生，3个女生和1个老师共六人站成一排照相，若两端站男生，3个女生中有且仅有两人相邻，则不同的站法种数是．14．（5分）若函数f（x）＝f'（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2，则f'（1）＝．15．（5分）定积分（﹣x）dx＝．16．（5分）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，则ξ的数学期望值等于．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0恒成立；命题q：∃x0∈R使得方程x02+（a ﹣1）x0+1＝0．若“p∧q”为真，求实数a的取值范围．18．（12分）已知椭圆C：4x2+y2＝1及直线l：y＝x+m，m∈R．（1）当m为何值时，直线l与椭圆C有公共点？（2）若直线l被椭圆C截得的弦长为，求直线l的方程．19．（12分）已知函数f（x）＝m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣3，3]．（1）求m的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r＝m，求证：p2+q2+r2≥3．20．（12分）自“钓鱼岛事件”以来，中日关系日趋紧张并不断升级．为了积极响应“保钓行动”，某学校举办了一场“保钓知识大赛”，共分两组．其中甲组得满分的有1个女生和3个男生，乙组得满分的有2个女生和4个男生．现从得满分的同学中，每组各任选1个同学，作为“保钓行动代言人”．（1）求选出的2个同学中恰有1个女生的概率；（2）设X为选出的2个同学中女生的个数，求X的分布列和数学期望．21．（12分）已知定义域为R的函数f（x）＝是奇函数．（1）求a，b的值；（2）解关于t的不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣1）＜0．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点P（﹣1，2）且与直线l′：x+y﹣1＝0垂直，以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系（长度单位与直角坐标的长度单位一致），在极坐标系下．曲线C：ρ＝4sinθ．（1）求直线l的参数方程，曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A、B两点，求的值．2017-2018学年广西玉林市陆川中学高二（下）6月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣4x+3＝0}，B＝{y|y＝﹣x2+2x+2，x∈R}，全集U＝R，则A∩（∁U B）＝（）A．∅B．[1，3]C．{3}D．{1，3}【解答】解：集合A＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}，B＝{y|y＝﹣x2+2x+2，x∈R}＝{y|y＝﹣（x﹣1）2+3}＝{y|y≤3}，全集U＝R，∴∁U B＝{y|y＞3}，∴A∩（∁U B）＝∅．故选：A．2．（5分）设复数z满足＝（i是虚单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由＝，得＝，∴．∴z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第二象限．故选：B．3．（5分）已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.3，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是（）A．0.6B．0.7C．0.8D．0.9【解答】解：设事件A：第一个路口遇到红灯，事件B：第二个路口遇到红灯，则P（A）＝0.5，P（AB）＝0.3，∴P（B|A）＝＝0.6．故选：A．4．（5分）直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．2B．4C．2D．4【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线y＝x3与直线y＝4x在第一象限所围成的图形的面积是∫（4x﹣x3）dx，而∫（4x﹣x3）dx＝（2x2﹣x4）＝8﹣4＝4，∴曲边梯形的面积是4，故选：D．5．（5分）已知在某项射击测试中，规定每人射击3次，至少2次击中8环以上才能通过测试．若某运动员每次射击击中8环以上的概率为，且各次射击相互不影响，则该运动员通过测试的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵在某项射击测试中，规定每人射击3次，至少2次击中8环以上才能通过测试．某运动员每次射击击中8环以上的概率为，且各次射击相互不影响，∴该运动员通过测试的概率：p＝＝．故选：A．6．（5分）已知双曲线的离心率为e，抛物线x＝my2的焦点为（e，0），则实数m的值为（）A．4B．C．8D．【解答】解：双曲线中a＝2，b＝2，c＝＝4，e＝＝2，可得抛物线x＝my2的焦点为（e，0），即为（2，0），即有y2＝x的焦点为（，0），可得＝2，解得m＝，故选：D．7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，如图所示，所以其体积为．故选：D．8．（5分）有6个座位连成一排，安排3个人就座，恰有两个空位相邻的不同安排方法共有（）种？A．48B．72C．96D．120【解答】解：根据题意，把这三个空座位分成两组，2个相邻的，1个单一放置的．则三个人的坐法（不考虑空座位）共有A33＝3×2×1＝6 种，再把两组不同的空座位插入到三个人产生的四个空档里，有A42＝4×3＝12 种所以不同坐法有6×12＝72 种，故选：B．9．（5分）若（1+x）（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a1+a2+…+a7的值是（）A．﹣2B．﹣3C．125D．﹣131【解答】解：∵（1+x）（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a8x8，∴a8＝•（﹣2）7＝﹣128．令x＝0得：（1+0）（1﹣0）7＝a0，即a0＝1；令x＝1得：（1+1）（1﹣2）7＝a0+a1+a2+…+a7+a8＝﹣2，∴a1+a2+…+a7＝﹣2﹣a0﹣a8＝﹣2﹣1+128＝125．故选：C．10．（5分）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），|AB|＝x1+x2+p＝＝，∴x1+x2＝，又x1x2＝，可得x2＝p，x1＝，则＝＝，故选：A．11．（5分）当a＞0时，函数f（x）＝（x2﹣2ax）e x的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：解：由f（x）＝0，解得x2﹣2ax＝0，即x＝0或x＝2a，∵a＞0，∴函数f（x）有两个零点，∴A，C不正确．设a＝1，则f（x）＝（x2﹣2x）e x，∴f'（x）＝（x2﹣2）e x，由f'（x）＝（x2﹣2）e x＞0，解得x＞或x＜﹣．由f'（x）＝（x2﹣2）e x＜0，解得，﹣＜x＜即x＝﹣是函数的一个极大值点，∴D不成立，排除D．故选：B．12．（5分）已知实数a，b满足2a2﹣5lna﹣b＝0，c∈R，则（a﹣c）2+（b+c）2的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：x代换a，y代换b，则x，y满足：2x2﹣5lnx﹣y＝0，即y＝2x2﹣5lnx（x＞0），以x代换c，可得点（x，﹣x），满足y+x＝0．因此求（a﹣c）2+（b+c）2的最小值，即为求曲线y＝2x2﹣5lnx上的点到直线y+x＝0的距离的最小值的平方．设直线y+x+m＝0与曲线y＝2x2﹣5lnx＝f（x）相切于点P（x0，y0），f′（x）＝4x﹣，则f′（x0）＝4x0﹣＝﹣1，解得x0＝1，∴切点为P（1，2）．∴点P到直线y+x＝0的距离d＝，∴则（a﹣c）2+（b+c）2的最小值为．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上）13．（5分）现有2个男生，3个女生和1个老师共六人站成一排照相，若两端站男生，3个女生中有且仅有两人相邻，则不同的站法种数是24．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①、两端站男生，将2名男生安排在两端，有种情况，②、将3名女生全排列，排在男生中间，有种顺序，排好后，除去2端，有2个空位，③、将这1个老师插入3名女生形成的2空位，有2种情况，根据分步计数原理可得，共有种，故答案为：24．14．（5分）若函数f（x）＝f'（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2，则f'（1）＝2e．【解答】解：f'（x）＝f'（1）e x﹣1﹣f（0）+2x，则f'（1）＝f'（1）﹣f（0）+2，∴f（0）＝2；故f（x）＝f'（1）e x﹣1﹣2x+x2，则有f（0）＝f'（1）e﹣1，解得：f'（1）＝2e，故答案为：2e．15．（5分）定积分（﹣x）dx＝4π﹣4．【解答】解：定积分（﹣x）dx＝（）dx﹣＝＝4π﹣4；故答案为：4π﹣4．16．（5分）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，则ξ的数学期望值等于 3.75．【解答】解：由题意知一共种了3个坑，每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元得到变量ξ的可能取值是0，10，20，30，根据独立重复试验得到概率，P（ξ＝0）＝C330.8753＝0.670P（ξ＝10）＝C320.8752×0.125＝0.287P（ξ＝20）＝C31×0.875×0.1252＝0.041P（ξ＝30）＝0.1253＝0.002∴变量的分布列是：∴ξ的数学期望为：EX＝0×0.670+10×0.287+20×0.041+30×0.002＝3.75．故答案为：3.75．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0恒成立；命题q：∃x0∈R使得方程x02+（a ﹣1）x0+1＝0．若“p∧q”为真，求实数a的取值范围．【解答】解：∵∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0恒成立，即a≤x2恒成立，∴a≤1，即p：a≤1；又∃x0∈R使得，∴△＝（a﹣1）2﹣4≥0，a≥3或a≤﹣1，即q：a≥3或a≤﹣1．又p且q为真，则p，q同时为真，即得a的取值范围为{a|a≤﹣1}．18．（12分）已知椭圆C：4x2+y2＝1及直线l：y＝x+m，m∈R．（1）当m为何值时，直线l与椭圆C有公共点？（2）若直线l被椭圆C截得的弦长为，求直线l的方程．【解答】解：（1）把直线y＝x+m代入椭圆方程得：4x2+（x+m）2＝1，即：5x2+2mx+m2﹣1＝0，△＝（2m）2﹣4×5×（m2﹣1）＝﹣16m2+20≥0解得：﹣；（2）设该直线与椭圆相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程5x2+2mx+m2﹣1＝0的两根，由韦达定理可得：x1+x2＝﹣，x1x2＝，|AB|＝|x1﹣x2|＝＝＝，解得，m＝±1．检验成立．则所求直线的方程是：y＝x+1或y＝x﹣1．19．（12分）已知函数f（x）＝m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣3，3]．（1）求m的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r＝m，求证：p2+q2+r2≥3．【解答】解：（1）f（x+2）＝m﹣|x|≥0，即|x|≤m，则﹣m≤x≤m，且m＞0，又f（x+2）≥0的解集为[﹣3，3]．故m的值为m＝3；（2）证明：由（1）知，p+q+r＝3，又p，q，r为正实数，∴由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2＝（p+q+r）2＝32＝9，即p2+q2+r2≥3，得证．20．（12分）自“钓鱼岛事件”以来，中日关系日趋紧张并不断升级．为了积极响应“保钓行动”，某学校举办了一场“保钓知识大赛”，共分两组．其中甲组得满分的有1个女生和3个男生，乙组得满分的有2个女生和4个男生．现从得满分的同学中，每组各任选1个同学，作为“保钓行动代言人”．（1）求选出的2个同学中恰有1个女生的概率；（2）设X为选出的2个同学中女生的个数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设事件A表示“选出的2个同学中恰有1个女生”，则选出的2个同学中恰有1个女生的概率：P（A）＝＝．（2）由题意知X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，∴X的分布列为：E（X）＝＝．21．（12分）已知定义域为R的函数f（x）＝是奇函数．（1）求a，b的值；（2）解关于t的不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣1）＜0．【解答】解：（1）由，解得：，故f（x）＝＝﹣+，∴f（x）在R递减；（2）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣1）＜0，得f（t2﹣2t）＜f（1﹣2t2），由函数的单调性得：t2﹣2t＞1﹣2t2，解得：t＞1或t＜﹣．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点P（﹣1，2）且与直线l′：x+y﹣1＝0垂直，以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系（长度单位与直角坐标的长度单位一致），在极坐标系下．曲线C：ρ＝4sinθ．（1）求直线l的参数方程，曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A、B两点，求的值．【解答】解：（1）直线l过点P（﹣1，2）且与直线l′：x+y﹣1＝0垂直，可得斜率为，可得直线l的参数方程为：（t为参数）．曲线C：ρ＝4sinθ即ρ2＝4ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2＝4y．（2）把直线l的参数方程：（t为参数）代入方程：x2+y2＝4y．可得：t2﹣t﹣3＝0．∴t1+t2＝﹣1，t1t2＝﹣3．∴＝+＝＝＝＝．。

广西陆川县2017届高三数学下学期6月收网试题理

广西陆川县2017届高三数学下学期6月收网试题理

2017年6月广西陆川县高三收网试卷理科数学试题第I 卷(选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．设集合{}|(21)(3)0A x x x =-->，{|10}B x x =-<，则A B ⋂=（ ） A. ()(),13,-∞⋃+∞ B. (),1-∞ C. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭2．若复数z 满足()12i z i +=+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3．下列命题中正确命题的个数是（ ）（1）对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++>；（2）命题“已知,x y R ∈，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”是真命题；（3）回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为()4,5，则回归直线方程为 1.230.08y x ∧=+； （4）3m =是直线()320m x my ++-=与直线650mx y -+=互相垂直的充要条件.A. 1B. 3C. 2D. 44．阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为（ ）A ．3k ≤B ．4k ≤C ．5k ≤D ．6k ≤5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）A. 42+B. 62+ C. 10 D. 126．已知α， β为锐角，且1tan 7α=， ()cos αβ+=cos2β=（ ） A.35 B. 23 C. 45D. 107．已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a a +=+（*n N ∈），若11()(1)n nb n a λ+=-+（*n N ∈），1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围为（ ）A ．2λ>B ．2λ<C ．3λ>D ．3λ<8． 函数()()ln sin 0f x x x x x ππ=+-≤≤≠且的图象大致是（ ）A ．B ．C.D ．9．已知正ABC ∆的顶点A 在平面α上，顶点,B C 在平面α的同一侧，D 为BC 的中点，若ABC ∆在平面α上的射影是以A 为直角顶点的三角形，则直线AD 与平面α所成角的正弦值的范围是（ ）A ．[3B ．C ．1[,22D ．1(,2310.如图所示， 2π3BAC ∠=，圆M 与,AB AC 分别相切于点,D E ， 1AD =，点P 是圆M 及其内部任意一点，且(),R AP xAD yAE x y =+∈，则x y +的取值范围是 （）A. 1,4⎡+⎣B. 44⎡-+⎣C. 1,2⎡+⎣D. 2⎡+⎣11．在2013年至2016年期间，甲每年6月1日都到银行存入m 元的一年定期储蓄，若年利率为q 保持不变，且每年到期的存款利息自动转为新的一年定期，到2017年6月1日甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是（ ）A. 4)1(q m +元 B. 5)1(q m +元 C. q q q m )]1()1[(4+-+元 D. qq q m )]1()1[(5+-+元12．若曲线()()1ln 1f x a x =+（211e x e -<<-）和()32g x x x =-+（0x <）上分别存在点A 、B ，使得OAB ∆是以原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边AB 的中点在y 轴上，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()2,e eB. 2,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()21,e D. [)1,e 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．口袋中装有4个形状大小完全相同的小球，小球的编号分别为1，2，3，4，甲、乙依次有放回地随机抽取1个小球，取到小球的编号分别为,a b .在一次抽取中，若有两人抽取的编号相同，则称这两人为“好朋友”，则甲、乙两人成为“好朋友”的概率为__________．14．直线0ax by c ++=与圆O ： 2216x y +=相交于两点M 、N .若222c a b =+， P 为圆O 上任意一点，则PM PN ⋅的取值范围是__________．15．如图所示，三棱锥P ABC -中，ABC ∆是边长为3的等边三角形， D 是线段AB 的中点，DE PB E ⋂=，且DE AB ⊥，若120EDC ∠=︒， 32PA =，PB =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为__________．16．对于函数()[]()(),0,212,2,2sin x x f x f x x π∈=-∈+∞⎧⎪⎨⎪⎩，下列5个结论正确的是__________．(1)任取1x ， [)20,x ∈+∞,都有()()122f x f x -≤； (2)函数()y f x =在[]4,5上单调递增；(3) ()()()•22N f x kf x k k =+∈，对一切[)0,x ∈+∞恒成立；(4)函数()()ln 1y f x x =--有3个零点；(5)若关于x 的方程()(0)f x m m =<有且只有两个不同的实根1x ,2x ，则123x x +=.三、解答题：(本大题共6小题，共70分。

广西玉林市陆川县高三数学下学期期中试卷 理(含解析)

广西玉林市陆川县高三数学下学期期中试卷 理(含解析)

2016-2017学年广西玉林市陆川高三（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|2x﹣3≥1}，集合，则A∩B=（）A．（2，5） B． C．（2，5] D．（请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.）（共1个小题，共10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（1）写出直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）求直线l与曲线C的交点的直角坐标．23．设函数f（x）=|x﹣2|+|x+a|（a∈R）．（1）若a=1时，求不等式f（x）≥4的解集；（2）若不等式f（x）≤2x的解集为C．（2，5] D．=0，解得x=t或x=k﹣t，∴Q（k﹣t，（k﹣t）2），而QN⊥QP，所以直线NQ斜率为，∴，联立方程，整理得：，即kx2+x﹣（k﹣t）=0，=0，解得，或x=k﹣t．∴，∴．而抛物线在点N的切线斜率，k=y'|，MN是抛物线的切线，∴，整理得k2+kt+1﹣2t2=0，∴△=t2﹣4（1﹣2t2）≥0，解得（舍去），或，∴．【点评】本题考查了求抛物线的解析式问题，考查求直线的斜率以及转化思想，考查抛物线的性质，是一道综合题．21．（12分）（2017春•陆川县校级期中）已知函数．（1）若函数f（x）存在单调递减区间，求实数a的取值范围；（2）设x1，x2（x1＞x2）是函数f（x）的两个极值点，若，求f（x1）﹣f（x2）的极大值．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为有解，根据不等式的性质求出a的范围即可；（2）求出函数的导数，得到f（x1）﹣f（x2）=，设，令，根据函数的单调性求出函数的极大值即可．【解答】解：（1）∵，∴，由题意知f'（x）＜0在（0，+∞）上有解，即有解，∵x＞0，∴，当且仅当x=1时等号成立，要使有解，只需要的最小值小于a﹣1，∴2＜a﹣1，解得实数a的取值范围是{a|a＞3}．（2）∵，∴，由题意知f'（x）=0在（0，+∞）上有解，∵x＞0，设μ（x）=x2﹣（a﹣1）x+1，又，∴△=（a﹣1）2﹣4＞0，∴x1+x2=a﹣1，x1x2=1，则==，∵x1＞x2＞0，所以设，令，则，∴h（t）在（1，+∞）上单调递减，∵，∴，∴，∵t＞1，∴由4t2﹣17t+4=（4t﹣1）（t﹣4）≥0，得t≥4，∴，故f（x1）﹣f（x2）的最大值为．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及换元思想，转化思想，考查不等式的性质，是一道综合题．选做题：（请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.）（共1个小题，共10分）22．（10分）（2017春•陆川县校级期中）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（1）写出直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）求直线l与曲线C的交点的直角坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）直线l的参数方程消去参数t能求出直线l的直角坐标方程；曲线C的极坐标方程化为ρ2=2ρcosθ，由此能求出曲线C的普通方程．（2）曲线C的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，与直线联立方程组，由此能求出直线l与曲线C的交点的直角坐标．【解答】解：（1）因为直线l的参数方程为，∴，代入，∴，即，∴直线l的直角坐标方程为，∵曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴曲线C的普通方程x2+y2=2x，即x2﹣2x+y2=0．（2）曲线C的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，∴，解得或，∴直线l与曲线C的交点的直角坐标为．【点评】本题考查直线的直角坐标方程、曲线的普通方程的求法，考查直线与曲线的交点的直角坐标的求法，涉及到极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．23．（2016•上饶三模）设函数f（x）=|x﹣2|+|x+a|（a∈R）．（1）若a=1时，求不等式f（x）≥4的解集；（2）若不等式f（x）≤2x的解集为[1，+∞），求a的值．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）a=1时，f（x）≥4可化为|x﹣2|+|x+1|≥4．去掉绝对值符号解不等式，即可求不等式f（x）≥4的解集；（2）若不等式f（x）≤2x的解集为[1，+∞），则|x﹣2|+|x+a|=2x的一个根是1，求出a，再进行验证，即可求a的值．【解答】解：（1）a=1时，f（x）≥4可化为|x﹣2|+|x+1|≥4．x＜﹣1时，2﹣x﹣x﹣1≥4，∴x≤﹣；﹣1≤x≤2时，2﹣x+x+1≥4，无解；x＞2时，x﹣2+x+1≥4，∴x≥．综上所述，不等式的解集为{x|x≤﹣或x≥}；（2）∵不等式f（x）≤2x的解集为[1，+∞），∴|x﹣2|+|x+a|=2x的一个根是1，∴a=0或﹣2．a=0时，由|x﹣2|+|x|≤2x，解得x≥1，合题意；a=﹣2时，由2|x﹣2|≤2x，解得x≥1，合题意；综上所述，a=0或﹣2．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．。

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