重庆市巴蜀中学2020届高三数学下学期期中线上试题理含解析.doc

2020-2021重庆巴蜀中学高三数学上期中模拟试卷(带答案)一、选择题1．朱载堉(1536～1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为1f ，第七个音的频率为2f ，则21f f ＝ A．BCD2．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（ ） ABCD． 3．已知数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +=+，则10a =（ ）A ．1024B ．2048C ．1023D ．20474．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1B ．6C ．7D ．6或75．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5）6．20,{0,0x y z x y x y x y y k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-37．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A ．2BC．2D ．48．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（ ） A ．1B ．3C ．6D ．99．已知x ，y 满足条件0{20x y xx y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( ) A ．－16B ．－6C ．-83D ．610．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A += ()2223S b a c =+-，则B ∠=A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒11．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足21,,n n n S S S ++成等差数列，则3a 等于( )A ．12B ．12-C ．14D ．14- 12．若0,0x y >>，且211x y+=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(8,1)-B ．(,8)(1,)-∞-⋃+∞C ．(,1)(8,)-∞-⋃+∞D ．(1,8)-二、填空题13．若变量x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z ＝2x +y 的最大值是_____．14．某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案为：第K 棵树种植在点(),k k k P x y 处，其中11x =，11y =，当2K ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如()2.62T =，()0.20T =．按此方案第2016棵树种植点的坐标应为_____________．15．设数列{a n }的首项a 1＝32，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *)，则满足2188177n n S S <<的所有n 的和为________． 16．设是定义在上恒不为零的函数，对任意，都有，若，，，则数列的前项和的取值范围是__________．17．已知数列的前项和，则_______．18．已知函数()3af x x x=++，*x ∈N ，在5x =时取到最小值，则实数a 的所有取值的集合为______.19．若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式234y x m m +<-有解，则实数m 的取值范围是____________ .20．设a ＞0,b ＞0． 若关于x,y 的方程组1,{1ax y x by +=+=无解，则+a b 的取值范围是 ．三、解答题21．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{nS n}的前10项和． 22．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且asin B ＝－bsin 3A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (1)求A ；(2)若△ABC 的面积S 32，求sin C 的值． 23．已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n n n a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 24．已知函数()sin 2(0)f x m x x m =+>的最大值为2. （Ⅰ）求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间； （Ⅱ）ABC ∆中,()()46sin 44f A f B A B ππ-+-=,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且060,3C c ==，求ABC ∆的面积．25．设等差数列{}n a 满足35a =，109a =- （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值26．在ΔABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222sin sin sin sin sin A C B A C +=-.(1)求B 的大小;(2)设BAC ∠的平分线AD 交BC 于,23,1D AD BD ==,求sin BAC ∠的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】：先设第一个音的频率为a ，设相邻两个音之间的频率之比为q ，得出通项公式， 根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，得出公比，最后计算第三个音的频率与第七个音的频率的比值。

重庆奉节县巴蜀中学2020-2021学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 阅读如图的程序框图,若运行相应的程序,则输出的的值是（）A．39 B．21 C．81 D．102参考答案：D2. 已知函数f(x)＝x2＋2x＋alnx，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是( )A．a≥0 B．a<－4 C．a ≥0或a ≤－4 D．a >0或a <－4参考答案：C3. 设F1、F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，与直线y=b相切的⊙F2交椭圆于E，且E是直线EF1与⊙F2的切点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系；K4：椭圆的简单性质．【分析】由题设知EF2=b，且EF1⊥EF2，再由E在椭圆上，知EF1+EF2=2a．由F1F2=2c，知4c2=（2a﹣b）2+b2．由此能求出椭圆的离心率．【解答】解：∵F1、F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，与直线y=b相切的⊙F2交椭圆于E，且E是直线EF1与⊙F2的切点，∴EF2=b，且EF1⊥EF2，∵E在椭圆上，∴EF1+EF2=2a．又∵F1F2=2c，∴F1F22=EF12+EF22，即4c2=（2a﹣b）2+b2．将c2=a2﹣b2代入得b=a．e2===1﹣（）2=．∴椭圆的离心率e=．故选D．4. 已知是定义在R上周期为2的奇函数，当x∈（0,1）时，=3x?1，则f(log35)=（）A、 B、? C、4 D、参考答案：B试题分析：因为是定义在上周期为的奇函数，所以，又，所以，所以，故选B.考点：1.函数的表示；2.函数的奇偶性与周期性.5. 执行如图所示的程序框图，输出的S值是A.B、－1 C、0 D. ―1―参考答案：D【知识点】程序框图．L1解析：模拟程序框图的运行过程，如下；n=1，s=0，s=0+cos=；n=2，n≥2015？，否，s=+cos=；n=3，n≥2015？，否，s=+cos=0；n=4，n≥2015？，否，s=0+cosπ=﹣1；n=5，n≥2015？，否，s=﹣1+cos=﹣1﹣；n=6，n≥2015？，否，s=﹣1﹣+cos=﹣1﹣；n=7，n≥2015？，否，s=﹣1﹣+cos=﹣1；n=8，n≥2015？，否，s=﹣1+cos2π=0；n=9，n≥2015？，否，s=0+cos=；…；s的值是随n的变化而改变的，且周期为8，又2015=251×8+7，此时终止循环，∴输出的s值与n=6时相同，为s=．故选D．【思路点拨】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是s=cos+cos+cos+cos+cos+…+cos的值，由此求出结果即可. 6. 甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生。

2020-2021重庆巴蜀中学高一数学下期中模拟试卷(带答案)一、选择题1．已知a ，b 是两条异面直线，且a b ⊥，直线c 与直线a 成30角，则c 与b 所成的角的大小范围是( )A ．[]60,90︒︒B ．[]30,90︒︒C ．[]30,60︒︒D ．[]45,90︒︒2．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．202π+B ．203π+C ．242π+D ．243π+3．已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．()1,1-B ．()(),11,∞∞--⋃+C ．[]1,1-D ．][(),11,∞∞--⋃+ 4．圆心在x +y =0上，且与x 轴交于点A （-3，0）和B （1，0）的圆的方程为（ ） A ．22(1)(1)5x y ++-=B ．22(1)(1)5x y -++=C ．22(1)(1)5x y -++=D ．22(1)(1)5x y ++-=5．已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。

其中正确的是（ ）A ．（1）（2）（3）B ．（1）（4）C ．（1）（2）（4）D ．（2）（4）6．设α表示平面，a ，b 表示直线，给出下列四个命题：①a α//，a b b α⊥⇒//； ②a b //，a b αα⊥⇒⊥；③a α⊥，a b b α⊥⇒⊂；④a α⊥，b a b α⊥⇒//，其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③ 7．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π 8．设有两条直线m ，n 和三个平面α，β，γ，给出下面四个命题：①m αβ=，////n m n α⇒，//n β②αβ⊥，m β⊥，//m m αα⊄⇒；③//αβ，//m m αβ⊂⇒；④αβ⊥，//αγβγ⊥⇒其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为2，则a 的值为( ) A ．-2或2 B ．12或32 C ．2或0D ．-2或010．若方程124kx k =-+ 有两个相异的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．13,34⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．53,124⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．53,124 11．已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()221225x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ）A ．[]4,10B ．[]3,5C ．[]8,10D ．[]6,1012．若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心 B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离 二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________．14．光线由点P(2,3)射到直线x+y+1=0上，反射后过点Q(1,1) ，则反射光线方程为__________．15．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是线段AB 、AD 、AA 1的中点，又P 、Q 分别在线段A 1B 1、A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x (0<x <1).设平面MEF ∩平面MPQ＝l ，现有下列结论：①l ∥平面ABCD ；②l ⊥AC ；③直线l 与平面BCC 1B 1不垂直；④当x 变化时，l 不是定直线.其中不成立的结论是________.(写出所有不成立结论的序号)16．点(5,2)到直线()1(21)5m x m y m -+-=-的距离的最大值为________.17．已知一束光线通过点()3,5A -，经直线l ：0x y +=反射，如果反射光线通过点()2,5B ，则反射光线所在直线的方程是______.18．在平面直角坐标xOy 系中,设将椭圆()2222110y x a a a +=>-绕它的左焦点旋转一周所覆盖的区域为D ，P 为区域D 内的任一点，射线()02x y x =≥－上的点为Q ，若PQ 的最小值为a ，则实数a 的取值为_____．19．已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l ，m 是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l⊥m，则①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)．20．函数2291041y x x x =++-+的最小值为_________.三、解答题21．如图，在以,,,,A B C D E 为顶点的五面体中，O 为AB 的中点，AD ⊥平面ABC ，AD ∥BE ，AC CB ⊥，22AC =，244AB BE AD ===.（1）试在线段BE 找一点F 使得OF //平面CDE ，并证明你的结论；（2）求证：AC ⊥平面BCE ；（3）求直线DE 与平面BCE 所成角的正切值.22．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．23．如图所示，四棱锥B AEDC -中，平面AEDC ⊥平面ABC ，F 为BC 的中点，P 为BD 的中点，且AE ∥DC ，90ACD BAC ∠=∠=︒，2DC AC AB AE ===．（Ⅰ）证明：平面BDE ⊥平面BCD ；（Ⅱ）若2DC =，求三棱锥E BDF -的体积．24．如图四棱锥C ABDE -的侧面ABC ∆是正三角形，BD ⊥面ABC ，//BD AE 且2BD AE =，F 为CD 的中点.（1）求证：//EF 面ABC（2）若6BD AB ==，求BF 与平面BCE 所成角的正弦值25．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ， 33AB CD ==，AB AD ⊥，AB PA ⊥， 且2AD PA ==，22PD =，13PE PB =（1）证明：//CE 平面PAD ；（2）求点B 到平面ECD 的距离；26．如图，将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -沿着相邻的三个面的对角线切去四个棱锥后得一四面体11A CB D -．（Ⅰ）求该四面体的体积；（Ⅱ）求该四面体外接球的表面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】将异面直线所成的角转化为平面角，然后由题意，找出与直线a 垂直的直线b 的平行线，与直线c 平行线的夹角.【详解】在直线a 上任取一点O ，过O 做//c c '，则,a c '确定一平面α，过O 点做直线b 的平行线b '，所有平行线b '在过O 与直线a 垂直的平面β内，若存在平行线1b '不在β内，则1b '与b '相交又确定不同于β的平面，这与过一点有且仅有一个平面与一条直线垂直矛盾，所以b '都在平面β内，且,l αβαβ⊥=，在直线c '上任取不同于O 的一点P ，做PP l '⊥于P '，则PP β'⊥，POP '∠为是c '与β所成的角为60︒，若b l '⊥，则,b b c α'''⊥⊥，若b '不垂直l 且不与l 重合，过P '做P A b ''⊥，垂足为A ，连PA ，则b '⊥平面PP A '，所以b PA '⊥，即1,cos 2OA OP OA PA AOP OP OP '⊥∠=<=， 60AOP ∠>︒，综上b '与c '所成角的范围为[60,90]︒︒，所以直线b 与c 所成角的范围为[]60,90︒︒.故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成角，空间角转化为平面角是解题的关键，利用垂直关系比较角的大小，属于中档题.2．B解析：B【解析】该几何体是一个正方体与半圆柱的组合体，表面积为2215221122032S πππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ． 3．D解析：D 【解析】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．详解：∵点A （﹣3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线L 与线段AB 有公共点， ∴直线l 的斜率k≥k PB 或k≤k PA ，∵PA 的斜率为4031--- =﹣1，PB 的斜率为2031--=1， ∴直线l 的斜率k≥1或k≤﹣1，点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.4．A解析：A【解析】【分析】由题意得：圆心在直线x=-1上，又圆心在直线x+y=0上，故圆心M 的坐标为（-1，1），再由点点距得到半径。

巴蜀中学2020届高三下学期期中测试理科数学(满分：150分考试时间：120分钟)、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给岀的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)1.设复数z=(a+i)2在复平面上的对应点在虚轴负半轴上，则实数A.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件为f(x)的零点:且 f(x)| f( ) I 恒成立，f(x)在( ，)4412 24区间上有最小值无最大值，则0的最大值是8.图1是某县橙子辅导参加 2020年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形图表示学生人数依次记为A 、A 2L A °(如A 2表示身高(单位:cm)在［150, 155)内的人数］.图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数A. -1B.1C. 2D. ..32.质地均匀的骰子六个面分别刻有 到6的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，则下列事件中，发生可能性最大的是 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件23.已知函数 f(x) x ax b(a 0,b 0)有两个不同的零点 .x 1, x 2 , -2和X |, X 2三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，则函数 f(x)的解析式为2A. f (x) x 5x 4B. f(X ) 5x 4C. f (x) x 2 5x 4D. f(X )x 2 5x 44.若l,m 是两条不同的直线， m 垂直于平面 1〃 的t” A.11 B.13 C.15 D.17a 的值是C.充分必要条件5.已知函数f(x)2x 2x,x |log 2x|,xX 2 X 3 X 4,且 f (为)f(X 2)f(X 3) f(X 4)。

现有结论：①X iX 2 2,②X 3X 4 1,X 4 2,④0x 1x 2x 3x 4 1.这四个结论中正确的个数有A.1B.2C.3D.46.已知抛物线C :2px(p0)的焦点为 F,点M (X 0,2 I 2)( X 0 卫)时抛物线C.上的一点，以点M 为圆2心与直线x —交于2E , G 两点若sin MFG1,则抛物线C 的方程是 3A. y 2 xB. y 2 2xC. y 2 4xD. y 2 8xB.必要而不充分条件 7.已知函数f(x)=sin(C.2 .232的一个算法流程图。

2020届重庆市渝中区巴蜀中学校高三下学期2月月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合2{|10}A x x =-=，2{|230}B x x x =--<.则A B =I （ ） A ．{1,1}- B ．{1} C ．[1,1]- D ．[1,3]-【答案】B【解析】先计算得到{}11{|13}A B x x =-=-<<，，，再计算A B ⋂得到答案. 【详解】{}{}11{|13}1A B x x A B =-=-<<⋂=，，，故选：B 【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题.2sin 75︒︒+=（ ）A ．2B ．1C ．D 【答案】C【解析】直接利用诱导公式和辅助角公式化简得到答案. 【详解】()sin75cos152sin 1530︒︒+︒+︒=︒+︒=故选：C 【点睛】本题考查了诱导公式和辅助角公式，意在考查学生的计算能力.3．设复数11iz i =+，21z z i =，12,z z 在复平面内所对应的向量分别为OP uuu v ，OQ uuu v （O 为原点），则OP OQ ⋅=u u u v u u u v（ ）A ．12-B ．0C ．12D．2【答案】B【解析】化简得到11112222OP OQ ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，，，，再计算OP OQ ⋅u u u r u u u r 得到答案.【详解】121i 1i 1i1111i 01i 222222z z z OP OQ OP OQ +-+⎛⎫⎛⎫====∴==-⋅= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ，，，，，，故选：B 【点睛】本题考查了复平面对应向量的运算，掌握复数和向量的对应关系是解题的关键. 4．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，若244a a +=，58a =，则10S =（ ） A ．125 B ．115 C ．105 D ．95【答案】D【解析】根据等差数列公式得到方程组2415124448a a a d a a d +=+=⎧⎨=+=⎩，计算得到答案.【详解】()2411105124441091043954832a a a d a S a a d d +=+==-⎧⎧⨯⇒=⨯-+⨯=⎨⎨=+==⎩⎩，，， 故选：D 【点睛】本题考查了等差数列求和，理解掌握数列公式是解题的关键. 5．若61()ax x-的展开式中常数项等于20-，则a =（ ）A ．12B ．12-C ．1D ．1-【答案】C【解析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项，再根据常数项等于20-，求得实数a 的值． 【详解】解：∵61()ax x-的展开式中的通项公式为6616(1)rr r r r r T C a x ---+=-6626(1)r r r r C a x --=-，令620r -=得3r =，可得常数项为333361C ()2020ax a x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，得1a =，故选：C ． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．6．函数()sin()x x f x e e -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】判断函数为偶函数，取特殊点()00sin21f <=<，判断得到答案. 【详解】()00sin21f <=<，且()()f x f x -=，函数为偶函数故选：D 【点睛】本题考查了函数图像的判断，根据奇偶性和特殊点可以快速得到答案是解题的关键. 7．在高中阶段，我们学习的数学教材有必修1～5，选修2系列3册，选修4系列2册，某天晚自习小明准备从上述书中随机取两册进行复习，则他今晚复习的两本均是必修教材的概率是（ ） A ．13B ．29C ．59D ．15【答案】B【解析】先求“两本均是必修教材”包含的基本事件个数，再求“从上述书中随机取两册”包含的基本事件总数，然后根据概率计算公式即可求出．【详解】解：∵“两本均是必修教材”包含的基本事件个数为2554C 102⨯==， “从上述书中随机取两册”包含的基本事件总数为210109C 452⨯==， ∴小明今晚复习的两本均是必修教材的概率102459P ==， 故选：B ． 【点睛】本题考查了古典概型的概率，考查组合及组合数公式，属于基础题．8．已知函数2,(),x e x af x ex x a-+⎧<=⎨≥⎩的最小值为e ，则(ln 2)(2)f f +=（ ）A ．242e e +B ．(2ln 2)e +C ．222e +D ．1ln 2e +【答案】A【解析】利用解析式先求出每段函数的值域，再根据函数由最小值e 得2a e eae e -+⎧≥⎨≥⎩，解不等式得1a =，再代入解析式即可求出函数值． 【详解】解：∵2,(),x e x af x ex x a -+⎧<=⎨≥⎩，∴当函数x a <时，22()x a f x e e -+-+>=，当x a ≥时，()f x ex ae =≥， 又函数的最小值为e ，∴2a e e ae e -+⎧≥⎨≥⎩，∴211a a -≥⎧⎨≥⎩，则1a =，所以(ln 2)(2)f f +ln 22e 2e -+=+ln 22ee 2e -=⨯+242e e=+， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查分段函数的最值问题，先求出每段函数的最值，再求函数的最值，属于中档题．9．已知函数1()2sin()3f x x π=+，将()y f x =的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移1个单位，所得图象对应的函数为()g x ，若函数()g x 的图象在P ，Q 两处的切线都与x 轴平行，则||PQ 的最小值为（ ）A ．17B ．4C ．4πD ．25【答案】B【解析】先计算得到()ππ12sin 223g x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，画出函数图像，计算125PQ =，24PQ =得到答案.【详解】根据变换得到：()ππ12sin 223g x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，图象如图：由图可知，PQ 取到的最小可能为12PQ PQ ，，因为125PQ =，24PQ =，所以最小值为4 故选：B 【点睛】本题考查了三角函数的平移，放缩，距离的计算，综合性强，意在考查学生综合应用能力.10．如图，已知BD 是圆O 的直径，A ，C 在圆上且分别在BD 的两侧，其中2BD =，AB CD =.现将其沿BD 折起使得二面角A BD C --为直二面角，则下列说法不正确的是（ ）A ．A ，B ，C ，D 在同一个球面上B ．当AC BD ⊥时，三棱锥A BCD -的体积为13C ．AB 与CD 是异面直线且不垂直D ．存在一个位置，使得平面ACD ⊥平面ABC 【答案】D【解析】依次判断每个选项的正误：OA OB OC OD R ====，所以A 正确；当AC BD ⊥，A ，C 各在所在圆弧的中点，计算体积得到B 正确；反证法证明AB 与CD不垂直C 正确；根据C 选项知D 错误，得到答案。

绝密★启用前重庆市巴蜀中学2020届高三毕业班下学期3月阶段性质量检测数学(理)试题(解析版)2020年3月（完卷时间120分钟；满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，已知复数z 对应的点与复数1i +对应的点关于实轴对称，则z i=（ ）A. 1i +B. 1i -+C. 1i --D. 1i - 【答案】C【解析】【分析】 先求出复数z,再求z i得解. 【详解】由题得z=1-i , 所以1i i i 11i 1i z +==---=-. 故选C【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数除法的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2. 已知集合(){},|20A x y x y =+=,(){},|10B x y x my =++=.若A B =∅,则实数m =（ ）A. 2-B. 12- C. 12 D. 2【答案】C【解析】【分析】根据集合,A B 元素所表示的意义,以及集合,A B 关系,即可求解.【详解】因为A B =∅,所以直线20x y +=与直线10x my ++=平行,所以12m =. 故选:C .【点睛】本题主要考查集合的概念与运算、解方程等基础知识,属于基础题.3. 已知两个单位向量12,e e ,若()1212-⊥e e e ,则12,e e 的夹角为（ ） A. 23π B. 3π C. 4π D. 6π【答案】B【解析】【分析】由已知可求出12e e ⋅,再由向量夹角公式,即可求解.【详解】因为()1212-⊥e e e ,所以()12102=-⋅e e e ,所以11222=⋅e e e , 所以12,cos e e <>=12,又因为[]12,0,e e π<∈>,所以12,e e π3<>=. 故选:B . 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积与夹角,意在考查逻辑推理,数学运算,属于基础题.4. 随机变量()2~,N ξμσ,若(1)0.3P ξ≤=,(15)0.4P ξ<<=,则μ=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】 根据正态分布的对称性列方程,解方程求得μ的值.。

巴蜀中学2020届高三下学期期中测试(线上)理科数学(满分: 150分考试时间: 120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.设复数z=(a+i)2在复平面上的对应点在虚轴负半轴上，则实数a 的值是 A. -1B.1.C.D 2.质地均匀的骰子六个面分别刻有1到6的点数,掷两次骰子，得到向上一面的两个点数,则下列事件中，发生可能性最大的是A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已知函数2()(0,0)f x x ax b a b =++<>有两个不同的零点.12,,x x -2和12,x x 三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，则函数f(x)的解析式为2.()54A f x x x =-- B.2()54f x x x =++ 2.()54C f x x x =-+D.2()54f x x x =+-4.若l,m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m”是“l//α”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数222,0(),|log |,0x x x f x x x ⎧--≤=⎨>⎩,若1234,x x x x <<<且1234()()()()f x f x f x f x ===。

现有结论:122,x x +=-①341,x x =②412,x <<③12340 1.x x x x <<④这四个结论中正确的个数有A.1B.2C.3D.46.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F,点00()2pM x x >时抛物线C.上的一点，以点M 为圆心与直线2p x =交于E ，G 两点,若1sin ,3MFG ∠=则抛物线C 的方程是 2.A y x =2.2B y x =2.4C y x =2.8D y x =7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,||,24ππϕ-＜为f(x)的零点:且()|()|4f x f π恒成立，f(x)在(,)1224ππ-区间上有最小值无最大值，则0的最大值是A.11B.13C.15D.178.图1是某县橙子辅导参加2020年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形图表示学生人数依次记为1A 、210A A L (如2A 表示身高(单位: cm)在[150, 155)内的人数]. 图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。

2020-2021重庆市高三数学下期中一模试卷带答案一、选择题1．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ） A ．65B ．184C ．183D ．1763．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且239522,1a a a a ⋅==，则1a = ( )A ．12B ．2 CD．24．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =， 则96S S =（ ） A ．2B ．73C ．83D ．35．设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则1210b b b a a a ++⋯+=（ ） A ．1033B ．1034C ．2057D ．20586．数列{}n a 中，对于任意,m n N *∈，恒有m n m n a a a +=+，若118a =，则7a 等于( ) A ．712B ．714C ．74D ．787．已知首项为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1008a 和1009a 是方程2201720180x x --=的两根，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ）A ．1008B ．1009C ．2016D ．20178．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸9．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（ ）A ．()8,10B．(C．()D．)10．已知数列{a n } 满足a 1=1，且111()(233n n n a a n -=+≥，且n ∈N*），则数列{a n }的通项公式为（ ）A ．32nn a n =+B ．23n n n a +=C ．a n =n+2D ．a n =（ n+2）·3n11．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ）A ．7B ．5C ．5-D ．7-12．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（ ） A ．1B ．3C ．6D ．9二、填空题13．已知0a >，0b >，当()214a b ab++取得最小值时，b =__________． 14．已知数列{}{}n n a b 、满足ln n n b a =，*n ∈N ，其中{}n b 是等差数列，且431007e a a ⋅=，则121009b b b +++=L ________．15．若变量,x y 满足约束条件{241y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最小值为_____．16．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________． 17．设a ＞0,b ＞0． 若关于x,y 的方程组1,{1ax y x by +=+=无解，则+a b 的取值范围是 ．18．若原点和点(1,2019)-在直线0x y a -+=的同侧，则a 的取值范围是________（用集合表示）. 19．设等差数列{}na 的前n 项和为n S ．若35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列，则数列{}n a 的通项公式n a =____．20．在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________． 三、解答题21．已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =. （1）若b =30A =︒，求角B 的值； （2）若ABC ∆的面积3ABC S ∆=，cos 45B =，求,b c 的值. 22．已知等差数列{}n a 的所有项和为150，且该数列前10项和为10，最后10项的和为50.（1）求数列{}n a 的项数； （2）求212230a a a ++⋅⋅⋅+的值.23．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差d ∈N ，25a =，且53545S <<. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}237n S n -的前n 项和为n T ，若m n T T ≤，对n *∈N 恒成立，求m . 24．在平面四边形ABCD 中，已知34ABC π∠=，AB AD ⊥，1AB =．（1）若5AC =ABC ∆的面积；（2）若25sin CAD ∠=4=AD ，求CD 的长． 25．已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c --=．（1）求A ．（2）若2a =，ABC △3b ，c ．26．若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，24S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13,n n n n b T a a +=是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】 【详解】∵点M (a ,b )与点N (0,−1)在直线3x −4y +5=0的两侧,∴()()34530450a b -+⨯++<，即3450a b -+<，故①错误； 当0a >时,54a b +>，a +b 即无最小值，也无最大值，故②错误； 设原点到直线3x −4y +5=0的距离为d ,则22513(4)==+-d ,则22a b +>1，故③正确；当0a >且a ≠1时,11b a +-表示点M (a ,b )与P (1,−1)连线的斜率． ∵当0a =,b =54时,51194114b a ++==---,又直线3x −4y +5=0的斜率为34， 故11b a +-的取值范围为93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故④正确.∴正确命题的个数是2个. 故选B.点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大，z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.2．B解析：B 【解析】分析：将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996， 设首项为1a ，结合等差数列前n 项和公式有：811878828179962S a d a ⨯=+=+⨯=， 解得：165a =，则81765717184a a d =+=+⨯=. 即第八个孩子分得斤数为184. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查等差数列前n 项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．D解析：D 【解析】设公比为q ，由已知得()22841112a q a q a q ⋅=，即22q=，又因为等比数列{}n a 的公比为正数，所以q21a a q ===，故选D. 4．B解析：B 【解析】 【分析】首先由等比数列前n 项和公式列方程，并解得3q ，然后再次利用等比数列前n 项和公式，则求得答案． 【详解】设公比为q ，则616363313(1)1113(1)11a q S q q q a q S qq---===+=---， ∴32q =，∴93962611271123S q S q --===--． 故选：B ． 【点睛】本题考查等比数列前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时也可以利用连续等长片断的和序列仍然成等比数列，进行求解.5．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】首先根据数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，求出等差数列和等比数列的通项公式，然后根据a b1+a b2+…+a b10=1+2+23+25+…+29+10进行求和． 解：∵数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列， ∴a n =2+（n-1）×1=n+1，∵{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴b n =1×2n-1， 依题意有：a b1+a b2+…+a b10=1+2+22+23+25+…+29+10=1033， 故选A ．6．D解析：D 【解析】因为11,8m n m n a a a a +=+=,所以2112,4a a == 42122a a ==,3123,8a a a =+= 73478a a a =+=.选D.7．C解析：C 【解析】依题意知100810091008100920170,20180a a a a +=>=-<，Q 数列的首项为正数，()()1201610081009100810092016201620160,0,022a a a a a a S +⨯+⨯∴>∴==，()12017201710092017201702a a S a+⨯==⨯<，∴使0n S >成立的正整数n 的最大值是2016，故选C.8．B解析：B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。

2020届重庆市巴蜀中学高三下学期适应性月考数学（理）试题一、单选题1．已知复数z 满足()2z i i i -⋅=-，则z =（ ） A ．1i + B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】D【解析】首先得到2iz i i-∴=+，再化简复数. 【详解】2iz i i--=()2222111i i i i z i i i i i i --+∴=+=+=+=---. 故选：D 【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题型. 2．已知集合{}|1A x x =<，1|1B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =I （ ） A ．{}|01x x x <>或 B ．{}|010x x x <<<或 C ．{}|0x x < D ．φ【答案】C【解析】解不等式得出集合B ，根据交集的定义写出A ∩B ． 【详解】()()1|1=1,0B x x ⎧⎫=<+∞⋃-∞⎨⎬⎩⎭，,则A B =I {}|0x x <故选：C 【点睛】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．3．在等差数列 {}n a 中， n S 表示 {}n a 的前 n 项和，若 363a a += ，则 8S 的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．24 【答案】C【解析】由题意可知，利用等差数列的性质，得18363a a a a +=+=，在利用等差数列的前n 项和公式，即可求解，得到答案。

【详解】由题意可知，数列{}n a 为等差数列，所以18363a a a a +=+=， ∴由等差数列的求和公式可得1888()831222a a S +⨯=== ，故选C 。

【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，及前n 项和公式的应用，其中解答中数列等差数列的性质和等差数列的前n 项和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

4．已知随机变量X 服从正态分布(1,1)N -，则(01)P X <≤=（ ）（附：若2(,)X N μσ-，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=）A ．0.1359B ．0.906C ．0.2718D ．0.3413【答案】A【解析】由题意可知1,1μσ=-=，利用3σ原则，计算结果. 【详解】由题意可知1,1μσ=-=()()012P X P X μσμσ<≤=+<≤+()()112222P X P X μσμσμσμσ=-<≤+--<≤+ ()10.95450.68270.13592=⨯-=. 故选：A 【点睛】本题考查正态分布曲线的特性和曲线所表示的意义，意在考查3σ原则和曲线的对称性，属于基础题型. 5．将函数()sin 2f x x =的图像保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来的12，再向右平移6π个单位长度后得到()g x ，则()g x 的解析式为A ．()sin()6g x x π=-B ．()sin()6g x x π=+C ．2()sin(4)3g x x π=- D ．()sin(4)6g x x π=-【答案】C【解析】将函数()sin2f x x =的图像保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来的12得到sin 4y x =，再向右平移6π个单位长度后 得到()g x ，2()sin 4()sin(4)63g x x x ππ=-=-，故选C. 6．已知点(,)a b 在函数11()221x f x =-+的图象上，则下列四点中也在图象上的是（ ） A ．(,1)a b -+ B ．(,)a b --C ．(,1)a b --D ．(,)a b -【答案】B【解析】首先计算()()0f x f x -+=，由此判断选项. 【详解】()()1111221221x x f x f x --+=-+-++ 2111221x x x=--++ 21111012x x+=-=-=+ ， ∴点(,)a b 在函数11()221x f x =-+的图象上时，点(),a b --也在图象上. 故选：B 【点睛】本题考查函数的对称性的简单应用，属于基础题型，本题的关键是根据函数的形式，判断()()0f x f x -+=.7．如图是一个算法的程序框图，若该算法输出的结果是1011，则选择框里应该填入的是（ ）A ．9?i <B ．10?i <C ．11?i <D ．12?i <【答案】C【解析】首先判断程序框图的作用，然后根据输出结果判断选项. 【详解】由程序框图可知，程序是求数列()1111...1223341n n ++++⨯⨯⨯-的和， ()11111n n n n=---（2n ≥）根据裂项相消法可知()1111...1223341n n ++++⨯⨯⨯- 11111111......223341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n n n-=-= ， 由题意可知11011i i -=， 解得：11n =，这里i n = ，∴10i =进入循环，11=i 退出循环， ∴选择框里应填入11?i <.故选：C 【点睛】本题考查根据程序框图的的输出结果，求判断框的内容，属于基础题型，本题的关键是读懂循环结构，并会用裂项相消法求和.8．从“舞蹈、相声、小品、歌唱、杂技 ”5个候选节目中选出4个节目参加“艺术节”的汇演，其中第一出场节目不能是“舞蹈”，则不同的演出方案种数是（ ） A ．72 B ．96 C ．120 D ．144【答案】B【解析】分选到的4个节目没有“舞蹈”和有“舞蹈”两类情况讨论，按照先选再排的方法求解. 【详解】当选出的4个节目没有“舞蹈”，则有4424A =种演出方法，当选出的4个节目有“舞蹈”，则再选3个，则有344C =种选择方案，第一场有3种方法，再安排其他节目有336A =种方案，则不同的演出方案有43672⨯⨯=种方法，综上，共有247296+=种方案. 故选：B 【点睛】本题考查排列的应用，意在考查分析问题的能力，属于基础题型.9．已知正项数列{}n a 满足：12n n a a +>，n S 是{}n a 的前n 项和，则下列四个命题中错误的是（ ）A ．112nn a a +>B ．()212kk kS S>+⋅C ．12(2)n n S a a n <-≥D ．1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列【答案】D【解析】由条件逐一分析选项，A,;利用不等式迭代得到选项；B.由条件可知112kk a a +> ，222kk a a +>，……22kk k a a >，得到12212...2...k k k kka a a a a a +++++>+++，再证明；C. 由条件对不等式进行放缩得到123123 (2222)n n n nn n n n n n a a a a S a a a a a ---=++++<+++++，再求和证明；D.设数列{}n a 是公比为4的等比数列，说明结论. 【详解】A.0n a >Q ，根据已知可知231121222......2nn n n n a a a a a +-->>>>，112n n a a +∴>，故A 正确；B.0n a >，()()12122212.........k k k k k k ka a a a a a S S a a a +++++++++=+++ 12212...1...k k kka a a a a a +++++=++++ ，由A 可知112k k a a +> ，222k k a a +>，……22kk k a a >,12212...2...k k k kka a a a a a +++++∴>+++，()221212k k kk k kS S S S ∴>+⇒>+，故B 正确； C.由A 可知1122n n n n a a a a -->⇒<……,222222n n n n a a a a -->⇒<111122n n n n a a a a -->⇒<()2n ≥， 123123......2222n n n nn n n n n n a a a a S a a a a a ---∴=++++<+++++ 1211......122n n n a --⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭1112211212n n n n a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭122n n n aa -=- ，由A 可知112nn aa -> ，()2n ≥ 11222n n n n aa a a -∴-<- ， 12n n S a a ∴<- ()2n ≥，故C 成立；D.若数列{}n a 是正项等比数列，并且公比4q =，则142n na a +=>，此时1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，不是递增数列，故D 不正确. 故选：D 【点睛】本题考查数列，不等式，证明的综合问题，意在考查推理证明，数列的综合应用，属于难题，本题的关键是根据条件进行迭代，从而根据不等式进行证明.10．已知三棱锥P ABC -中，90PAB PAC BAC ︒∠=∠=∠=，1PA =，2AB AC ==，M ，N 分别为PB ，PC 的中点，则直线MN 被三棱锥P ABC -外接球截得的线段长为（ ）A ．7B ．2C ．33D ．22【答案】A【解析】首先将三棱锥P ABC -补全如图所示的长方体，求球心到直线MN 的距离，再求 直线MN 被三棱锥P ABC -外接球截得的线段长. 【详解】由题意，将三棱锥P ABC -补全如图所示的长方体，外接球的球心长方体的对角线的中点O ，22221223R =++= ,即32R =， OM ⊥平面PAB ，ON ⊥平面PAC ， OM ON ∴⊥，且1OM ON ==OMN ∴∆是等腰直角三角形，2MN =点O 到直线MN 的距离就是等腰直角三角形的高1222OH MN ==， ∴ 直线MN 被三棱锥P ABC -外接球截得的线段长为229122742R OH -=-=.故选：A 【点睛】本题考查球和几何体的组合体的综合问题，意在考查空间想象能力，作图能力，计算能力，属于中档题型，三棱锥的条件是三条棱两两垂直，或是对棱相等时都可以采用补体，将三棱锥补成长方体，再分析外接球的问题.11．已知1F ，2F 分别为双曲线22143x y -=的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，2F 关于直线1PF 的对称点为M ，1F 关于直线2PF 的对称点为N ，则当||MN 最小时，12F PF ∠的大小为（ ） A ．150︒ B ．120︒C ．90︒D ．60︒【答案】B【解析】根据对称性得到1224PN PM PF PF a -=-==，根据余弦定理得到()212121621cos3MN PF PF F PF =+⋅-∠，由三角函数的有界性得到得到||MN 的最小值.【详解】根据对称性知：2PM PF =，1PN PF =，故1224PN PM PF PF a -=-==. 根据余弦定理：2222cos MN PM PN PM PN MPN =+-⋅∠()()()()2121212121221cos 231621cos3PF PF PF PF F PF PF PF F PF π=-+⋅--∠=+⋅-∠120PF PF ⋅>Q ，12cos31F PF ∠≤故当121cos30F PF -∠=，即1223F PF π∠=时，||MN 有最小值. 故选：B 【点睛】本题考查了双曲线内三角函数最值，余弦定理，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于中档题型. 12．已知0a <，不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥对任意的实数1x >恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．12e-B ．2e -C ．1e-D ．e -【答案】D【解析】首先不等式变形为ln ln ax a x xe x e --≥⋅，()xf x xe=()1x >，不等式等价于()()ln a f x f x -≥，然后利用函数的单调性可得ln x a x ≥-对任意1x >恒成立，再利用参变分离ln x a x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭恒成立，转化为求函数的最小值. 【详解】不等式变形为()ln x axe xa x -≥- ，即ln ln ax a x xe x e --≥⋅，设()xf x xe =()1x >，则不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥对任意的实数1x >恒成立， 等价于()()ln af x f x-≥对任意1x >恒成立，()()10x f x x e '=+>，则()f x 在()1,+∞上单调递增，ln a x x -∴≥ ，即ln x a x ≥-对任意1x >恒成立，ln x a x ⎛⎫∴-≤ ⎪⎝⎭恒成立，即min ln x a x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭， 令()ln x g x x= ，则()()2ln 1ln x g x x -'= ()1x >， 当1x e <<时，()0g x '<，()g x 在()1,e 上单调递减， 当x e >时，()0g x '> ，()g x 在(),e +∞上单调递增，x e ∴=时，()g x 取得最小值()g e e = ，a e ∴-≤ ，即a e ≥-，a ∴的最小值是e -.故选：D 【点睛】本题考查函数，导数，不等式恒成立的综合问题，意在考查转化与化归的思想，计算能力，本题的关键和难点是不等式的变形ln ln ax a x xe x e --≥⋅，并能构造函数并转化为()()ln af x f x-≥对任意1x >恒成立.二、填空题 13．（题文）的二项展开式中的常数项为________．【答案】15【解析】试题分析：展开式的通项公式为，令，常数项为【考点】二项式定理14．若变量,x y 满足约束条件1,1,1,y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值是_______.【答案】5【解析】画出可行域分析最大值点即可. 【详解】由题画出可行域,将目标函数2z x y =+化为2y x z =-+, 易得在(2,1)处取得最大值为2215z =⨯+=.故答案为：5 【点睛】本题主要考查了线性规划的一般方法,属于基础题型.15．若a r，b r，c r 均为单位向量，a r，b r的夹角为60︒，且c ma nb =-rr r，则mn 的最大值为________. 【答案】1【解析】()22222c ma nbm n mna b =-=+-⋅r rr rr ，再利用基本不等式求mn 的最大值.【详解】()22222c ma nbm n mna b =-=+-⋅r rr rr111cos602a b ⋅=⨯⨯=o rr ，221m n mn ∴+-=， 222m n mn +≥Q ，21mn mn ∴-≤ ，即1mn ≤ ，等号成立的条件是m n = ，mn ∴的最大值为1.故答案为：1 【点睛】本题考查向量数量积，基本不等式求最值的综合应用，属于基础题型.16．已知抛物线22(0)y px p =>与直线:4320l x y p --=在第一、四象限分别交于A ，B 两点，F 是抛物线的焦点，若||||AF FB λ=u u u r u u u r，则λ=________.【答案】4【解析】首先判断直线l 过抛物线的焦点，方程联立求点,A B 的坐标，并得到AF ，BF 的值，求λ. 【详解】直线:l 当0y =时，2p x =， ∴直线l 过抛物线的焦点，,,A F B 三点共线，联立直线与抛物线方程，224320y pxx y p ⎧=⎨--=⎩ ，得2281720x px p -+=， 解得：2A x p = ，8B p x =， 522A p AF x p ∴=+=，528B p BF x p =+=，4AF FBλ==u u u r u u u r .故答案为：4 【点睛】本题考查直线与抛物线的简单综合问题，焦半径公式，意在考查计算能力，属于基础题型.三、解答题17．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos a b c B =+. （1）求角C 的大小；（2）若5a b +=，c =，求ABC V 的面积. 【答案】（1）3π；（2【解析】（1）首先根据正弦定理，边角互化得到2sin sin 2sin cos A B C B =+，再利用三角恒等变形得到cos C 的值；（2）根据余弦定理得2213a b ab =+-，变形求ab 和三角形的面积. 【详解】（1）在ABC ∆中，由正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B =+，()sin sin A B C =+Q ，可得()2sin sin 2sin cos B C B C B +=+ 得：2sin cos sin B C B =，sin 0B ≠Q ,1cos 2C ∴=, 0C π<<Q ，3C π∴=；（2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 代入可得()222133a b ab a b ab =+-=+-，()231312ab a b ∴=+-= ，4ab ∴= ，1sin 2ABC S ab C ∆∴==【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，意在考查转化与化归的思想，属于基础题型.18．某学校有30位高级教师，其中60%人爱好体育锻炼，经体检调查，得到如下列联表.（1）根据以上信息完成22⨯列联表，并判断有多大把握认为“身体好与爱好体育锻炼有关系”？ （2）现从身体一般的教师中抽取3人，记3人中爱好体育锻炼的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：【答案】（1）详见解析；（2）分布列见解析，35E ξ=【解析】（1）首先求22⨯列联表，并计算27.879K >，得到答案；（2）由题意可知0,1,2ξ=，并按照超几何分布概型求概率，并写出分布列和数学期望. 【详解】（1）由题意可知爱好体育锻炼的人有3060%18⨯=人，22⨯列联表如下表所示，()223016842107.87920101812K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯∴有99.5%的把握认为“身体好与爱好体育锻炼有关系”.（2）身体一般的人数有10人，任取3人，其中爱好体育锻炼的人有2人， 则0,1,2ξ=()383107015C P C ξ===，()12283107115C C P C ξ=== ,()21283101215C C P C ξ=== ,ξ0 1 2P 715715 11577130121515155E ξ∴=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查独立性检验，超几何概率类型求分布列和数学期望，意在考查对数据的分析，理解题意，抽象概括为数学问题，属于基础题型.19．如图，三棱锥S ABC -中，90ASC ABC ︒∠=∠=，30CAB ︒∠=，60CAS ︒∠=，30SB =，43AC =.（1）求证：平面ASC ⊥平面ABC ； （2）M 是线段AC 上一点，若534AM =A SM B --的大小. 【答案】（1）详见解析；（2）135o【解析】（1）过点S 作SH AC ⊥于点H ，连接BH ，要证明面面垂直，转化为证明线面垂直，即证明SH ⊥平面ABC ；（2）以点H 为坐标原点，,HA HS 所在直线分别为x 轴，z 轴，在平面ABC 上垂直于AC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，分别求平面ASM 和平面SMB 的一个法向量为n r ，m r，利用公式cos ,m n <>r r求二面角的大小. 【详解】（1）证明：过点S 作SH AC ⊥于点H ，连接BH ，在Rt ASC ∆中，由90ASC ∠=o ，60CAS ∠=o ，43AC =可得3AS =6SC =，在Rt AHS ∆中，由SH AC ⊥，60CAS ∠=o ，可得3SH =，3AH =，在Rt ABC ∆中，由43AC =30CAB ∠=o ，可得6AB =，在ABH ∆中，由余弦定理可得22262621BH =+-⨯=o，即BH =，在SHB ∆中，3SH =，BH =SB =，222SB SH BH ∴=+SH BH ∴⊥又SH AC ⊥，BH AC H =I ，SH ∴⊥平面ABC ， SH ⊂Q 平面ASC ，∴平面ASC ⊥平面ABC .（2）如图所示，以点H 为坐标原点，,HA HS 所在直线分别为x 轴，z 轴，在平面ABC 上垂直于AC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,3S，()B -，M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则34SM ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r，()3SB =--u u r ，易知平面ASM 的一个法向量为()0,1,0n =r，设平面SMB 的一个法向量为(),,m x y z r=， 则00m SM m SB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vr u u v r，即304330x z y z ⎧--=⎪⎨⎪-+-=⎩， 令1z =，得()7,1m =--r，于是cos ,2m n m n m n ⋅<>===-r r r rr r ，又二面角A SM B --为钝角，所以二面角A SM B --为135o .【点睛】本题考查面面垂直的证明，二面角，意在推理证明，利用空间向量解决空间角，属于中档题型，本题第一问的关键是作辅助线，并且根据三边长度满足勾股定理，证明SH BH⊥.20．如图，B，A是椭圆22:14xC y+=的左、右顶点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是BQk，AQk，APk.（1）求证：14BQ AQk k⋅=-；（2）若直线PQ过定点6,05⎛⎫⎪⎝⎭，求证：4AP BQk k=.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）设()11,Q x y，代入斜率公式求14BQ AQk k⋅=-；（2）设直线PQ的方程是65x my=+，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示1AP AQk k⋅=-，再根据（1）的结论证明.【详解】（1）设()11,Q x y21211122111111422444BQ AQxy y yk kx x x x-⋅=⋅===-+---；（2）设直线PQ 的方程是65x my =+，设()()1122,,,P x y Q x y 与椭圆方程联立，226514x my x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得：()22126440525m y my ++-= ， ()1221254m y y m +=-+ ，()12264254y y m =-+ ，12121212442255AP AQ y y y y k k x x my my ⋅=⋅=--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()()2122221212226425441664481652525254254m y y m m m y y m y y m m -+==-++-++++()2226416448164m m m -==--+++ ，1AP AQ k k ∴⋅=- ,由（1）可知14BQ AQ k k ⋅=-， 两式消去AQ k ，解得：4AP BQ k k =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，定值和定点，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于中档题型，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.21．已知函数()ln xe f x a x x-=．（1）当0a =时，求函数()f x 在()0,∞+上的最小值；（2）若202e a <≤，求证：()0f x >．【答案】（1）()min f x e =（2）证明见解析【解析】（1）由0a =得()()0xe f x x x>=，对其求导，解对应的不等式，判断单调性，即可得出最值；（2）先对函数求导，得到()()21--'=x x e ax f x x，根据202ea <≤，判断函数()f x 的单调性，求出最小值，再由导数的方法研究()f x 最小值的范围，即可证明结论成立. 【详解】（1）当0a =时，由()()0x e f x x x >=，得()()21x x e f x x-'=， 当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 在()0,1上单调递减；当()1,+x ∈∞时，()0f x '>，()f x 在()1,+∞上单调递增，∴()()min 1f x f e ==． （2）由题意，函数的定义域为()0,+∞，()()()2211x x x e x e ax a f x x xx ---'=-=， 令()()1xg x x e ax =--，0x >，则()xg x xe a '=-，设()xt x xe a =-，则()()+10xt x x e '=>， 易知()g x '在()0,+∞上单调递增，∵202e a <≤，∴()00g a '=-<，()2220g e a '=->，所以存在唯一的()10,2x ∈，使()10g x '=，当()10,x x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减，当()1+x x ∈∞，时，()0g x '>，()g x 单调递增， 又∵()0=1g -，()2220g e a =-≥，∴当()10,x x ∈时，()()00g x g <<，即()g x 在()10,x 上无零点， ∴存在唯一的(]01,2x x ∈，使()00g x =，即()0001=xx e ax -，∵()10g a =-<，∴012x <<，则000=1x e ax x -． 当()00,x x ∈时，()0g x <，即()0f x '<，()f x 单调递减； 当()0,+x x ∈∞时，()0g x >，即()0f x '>，()f x 单单调递增． ∴()()00000min0001ln =ln ln 11x e af x f x a x a x a x x x x ⎛⎫==--=- ⎪--⎝⎭，012x <<．令()1ln 1h x x x =--，则()h x 在()1+¥，上单调递减，∵012x <<∴()()021ln20h x h >=->，又∵0a >∴()min 0f x >，从而()0f x >． 【点睛】本题主要考查求函数的最值，以及由导数的方法证明不等式恒成立，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，极值，最值等即可，属于常考题型. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）求曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程； （2）曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【答案】（1）1C ：2cos ρθ=，2C ：2240x y y +-=；（2）5【解析】（1）先消参得1C 的普通方程，再由cos ,sin x y ρθρθ==进行转换即可； （2）两曲线联立求得交点坐标，再由两点间距离公式求解即可. 【详解】（1）曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），转换为直角坐标方程为：22(1)1x y -+=，即222x y x +=，转化为极坐标方程为：2cos ρθ=.曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，两边同乘ρ，得24sin ρρθ=，即2240x y y +-=；（2）联立2222240x y x x y y ⎧+=⎨+-=⎩，得00x y =⎧⎨=⎩或4585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 不妨设(0,0)A ，48(,)55B，则5AB ==.【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，考查了两点间的距离的求解，属于基础题. 23．已知函数()22f x x x m =-++. （1）当1m =时，解不等式()3f x ≤；（2）若不等式()3f x ≤的解集不是空集，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）4[0,]3；（2）42m -≤≤【解析】（1）分段讨论去绝对值求解不等式即可；（2）讨论m 和-1的大小，求函数的最小值，只需最小值满足不等式即可. 【详解】（1）1m =时，()32213f x x x ≤⇔-++≤11223x x x ≤-⎧⇔⎨---+≤⎩或111223x x x -<<⎧⎨+-+≤⎩或12213x x x ≥⎧⎨-++≤⎩，解得：40x 3≤≤， 所以不等式的解集为4[0,]3.（2）①当1m <-时，22,1()22,122,x x m x f x x x m x m x x m x m -+--<⎧⎪=---≤≤-⎨⎪-++>-⎩，即32,1()2,132,x m x f x x m x m x m x m -+-<⎧⎪=--≤≤-⎨⎪-+>-⎩. ∴1x =时，()f x 取得最小值1m --，∴13m --≤，解得41m -≤<-， ②当01x ≠时，33,1()3133,1x x f x x x x -≤⎧=-=⎨->⎩，所以1x =时，()f x 取得最小值0，03≤，故01x ≠符合，③当1m >-时，32,()2,132,1x m x m f x x m m x x m x -+-<-⎧⎪=-++-≤≤⎨⎪-+>⎩，所以1x =时，()f x 取得最小值1m +，∴13m +≤，即得12m -<≤， 综上：42m -≤≤． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解及含绝对值函数的最值的求解，涉及分类讨论的思想，属于中档题.。

重庆市渝中区巴蜀中学校2020届高三数学9月月考试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合01x A x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{B x y ==，则A B =I （ ）A. []1,1-B. []0,1C. [)0,1D. ()0,1【答案】C 【解析】 求解分式不等式01xx ≤-可得：{}|01A x x =≤<，求解函数y 的定义域可得：{}|11B x x x =≥≤-或，结合交集的定义可得：[)0,1A B ⋂=. 本题选择C 选项.2.“非p 为假命题”是“p 且q 是真命题”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也木必要条件【答案】B 【解析】【详解】“非p 为假命题”，则“p 为真命题”， “p 为真命题”推不出“p 且q 是真命题”， 但反之，“p 且q 是真命题”说明p 和q 都是真命题， 所以能推出“非p 为假命题”，故选B.考点：本小题主要考查充要条件的判定，考查学生的推理能力.点评：判定充分条件和必要条件，关键是分清谁是条件谁是结论，另外要注意推理的严谨性.3.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F，点(0M x 在抛物线C 上，则MF =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】由题意可得：()200224,2x x =⨯∴=，即()2,22M ，而抛物线2:4C y x =的焦点坐标为()1,0F ， 则()()22212203MF =-+-=.本题选择B 选项.4.已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，则下列正确的是（ ） A. m α∥，n α∥，则m n ∥ B. 若m α⊥，n α⊥，则m n ∥ C. 若m α∥，m β∥，则αβ∥ D. 若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥【答案】B 【解析】逐一考查所给的命题：A ．若m α∥，n α∥，不一定可得m n ∥，该命题错误；B ．若m α⊥，n α⊥，则m n ∥，该命题正确；C ．若m α∥，m β∥，可能m ∥两平面的交线，不一定αβ∥，该命题错误；D ．若αγ⊥，βγ⊥，可能两平面有交线,不一定αβ∥，该命题错误.本题选择B 选项.5.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（ ）A. 32-B. 1-C.12D. 0【答案】C【解析】由题意结合所给的程序框图可得，程序框图输出的结果为：231008*********coscoscos cos cos cos 3333332S L ππππππ=+++++==. 本题选择C 选项.6.已知直线3x π=是函数()()2sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的一条对称轴，则（ ）A. 6π=ϕ B. ()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C. 由()f x 的图象向左平移6π个单位可得到2sin 2y x =的图象 D. 由()f x 的图象向左平移12π个单位可得到2sin 2y x =的图象【答案】D 【解析】 【分析】由正弦型函数的对称性，我们可以判断出选项A 错误，由正弦型函数的单调性可以判断出选项B 错误，根据正弦型函数的平移变换可以判断出选项C 错误和选项D 正确. 【详解】由题意可得：2()32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，据此可得：()6k k Z πϕπ=-∈，令k =0可得：6πϕ=-，选项A 错误；函数的解析式为：()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，函数不具有单调性；由()f x 的图象向左平移6π个单位可得到2sin 22sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的函数图象，选项C 错误；由()f x 的图象向左平移12π个单位可得到2sin 22sin 2126y x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，选项D 正确. 本题选择D 选项.【点睛】本题考查三角函数图象和性质的综合应用，熟练掌握正弦型函数的对称性及平移变换法则是解答本题的关键，属基础题. 7.若tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin 2sin sin cos cos 21ααααα=+--（ ） A. 45-B.45C. 35-D.35【答案】A 【解析】由题意结合两角和差正切公式有：tantan 143,tan 21tantan 4πααπα+=∴=-+，则： 2222sin2sin sin cos cos212sin cos sin sin cos 2cos 2tan tan tan 24.5αααααααααααααα+--=+-=+-=-本题选择A 选项.8.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()1f x +是偶函数，且当01x <≤时，()2018log f x x =-，则120182018f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A. 1B. 1-C. 0D. 2【答案】A 【解析】∵f (x )是奇函数,f (x +1)是偶函数，∴f (x +1)=f (−x +1),则f (x +2)=f (−x )=−f (x ),即f (x +2)=−f (x )， ∴f (x +4)=−f (x +2)=f (x )， 则奇函数f (x )是以4为周期周期函数，则：11112018212018201820182018f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.本题选择A 选项.9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.143B. 5C.163D. 6【答案】A 【解析】试题分析：该几何体的直观图如图所示，连接BD ，则该几何体由直三棱柱ABD EFG -和四棱锥C BDGF -组合而成，其体积为1114122252335⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=．故应选A ．考点：三视图．10.已知双曲线22:116925x y C -=的左、右焦点分别为12F F ，，点M N ，为异于12F F ，的两点，且M N ，的中点在双曲线C 的左支上，点M 关于1F 和2F 的对称点分别为A B ，，则NA NB -的值为（ ）A. 26B. 26-C. 52D. 52-【答案】D【解析】设MN 与双曲线的交点为点P ，由几何关系结合三角形中位线可得：122,2NA PF NB PF ==，则：()122NA NB PF PF -=-， 点P 位于双曲线的左支，则：()()12222441352NA NB PF PF a a -=-=⨯-=-=-⨯=-.本题选择D 选项.点睛：(1)双曲线定义的集合语言：P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a ,0＜2a ＜|F 1F 2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验．(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上．11.将某商场某区域的行走路线图抽象为一个223⨯⨯的长方体框架（如图），小红欲从A 处行走至B 处，则小红行走路程最近且任何两次向上行走都不连续的路线共有（ ）A. 360种B. 210种C. 60种D. 30种【答案】C 【解析】根据题意，最近路线，那就是不能走回头路，不能走重复的路； 所以一共要走3次向上，2次向右，2次向前，一共7次；因为不能连续向上,所以先把不向上的次数排列起来,也就是2次向左和2次向前全排列44A ， 因为2次向左是没有顺序的,所以还要除以22A ， 同理2次向前是没有顺序的,再除以22A ，接下来,就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中5个位置排三个元素,也就是35C ，则共有4345222260A C A A =种；本题选择C 选项.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．12.已知()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足()()()30x f x xf x +'+>，则（ ） A. ()0f x > B. ()0f x < C. ()f x 为减函数 D. ()f x 为增函数【答案】A 【解析】构造函数g (x )=x 3e x f (x )，g ′(x )=x 2e x [(x +3)f (x )+xf ′(x )]， ∵(x +1)f (x )+xf '(x )>0，∴g ′(x )=x 2e x [(x +1)f (x )+x ′(x )]>0， 故函数g (x )在R 上单调递增，而g (0)=0∴x >0时，g (x )=x 3e x f (x )>0⇒f (x )>0；x <0时，g (x )=x 3e x f (x )<0⇒f (x )>0； 在(x +3)f (x )+xf '(x )>0中取x =0，得f (0)>0． 综上，f (x )>0． 本题选择A 选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。

2022届高三下册期中考试数学题带答案和解析（重庆市巴蜀中学）解答题现有甲，乙，丙，丁四位同学课余参加巴蜀爱心社和巴蜀文学风的活动，每人参加且只能参加一个社团的活动，并且参加每个社团都是等可能的.（1）求巴蜀爱心社和巴蜀文学风都至少有1人参加的概率；（2）求甲，乙在同一个社团，丙，丁不在同一个社团的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：利用列举法得到基本事件总数有种，（1）不符合题目要求的有种，故概率为.（2）符合题目要求的有种，故概率为.试题解析：甲、乙、丙、丁4个学生课余参加巴蜀爱心社和巴蜀文学风的情况共有16种情形，即有16个基本事件．（1）文学社和街舞社没有人参加的基本事件有2个，概率为；（2）甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的基本事件有4个，概率为．填空题已知为函数的图象上任一点，过点作直线分别与圆相切于两点，直线交轴于点，交轴于点，则的面积为__________．【答案】【解析】设，则，，故以为圆心，为半径的圆的方程为，联立，两圆方程作差可得直线的方程为: ，故，三角形面积为.选择题已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，，故.选择题设，，则“”是“”的（）A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】不能推出，反过来，若则成立，故为必要不充分条件.选择题我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（? ）A. 1365石B. 338石C. 168石D. 134石【答案】C【解析】试题分析：由题意得，这批米内夹谷约为石，选C．解答题选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线（为参数），（为参数）（1）曲线的交点为，求；（2）以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，过极点的直线与交于，两点，与直线交于点，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用消去参数，得到的直角坐标方程，将的参数方程代入化简，利用韦达定理求得弦长.（2）的极坐标方程为，根据极坐标的概念，分别用极坐标表示的值，两者相除后利用二倍角公式和三角函数值域求得最大值.试题解析：（1）曲线，，所以．法二：为，过，过，不妨令，则，，所以．（2）的极坐标方程为，令的角为极，则，，时取最大值．解答题已知函数（1）若，讨论的单调性；（2）若，证明：当时，【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）当时，，利用导数与单调性的有关知识，可求得函数的单调区间.（2）对函数求两次导数，利用二阶导数判读出一阶导数单调递增有唯一零点，设出这个零点，得到的单调区间和最小值.构造函数，同样利用二阶导数判断出的单调区间，由此求得的值域.试题解析：（1）当时，．，令，得．易知在上单调递减，在上单调递增．（2）证明：，.当时，，故，故单调递增．又，故存在唯一的，使得，即，且当时，，故单调递减，当时，，故单调递增．故．因为是方程的根，故．故．令，，．故在(0，1)上单调递减，故g，故在(0，1)上单调递减，∴，故．点睛：本题主要考查导数与单调性的对应关系，考查利用二阶导数证明不等式等知识.第一问由于的值是给定的，故对函数求导，利用到导函数可得到函数的单调区间.第二问的值是没有给定的，对函数求导后发现无法判断函数的单调区间，故需要对函数求二阶导数，利用二阶导数研究一阶导数的性质，由此得到原函数的单调区间和最值.解答题在等差数列中，公差，，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为和的关系，解方程可求得的通项公式.（2）由于是一个等差数列乘以一个等比数列，故利用错位相减法求得其前项和.试题解析：（1）由成等比数列知，，即，即，又，解得，故．（2），则（1）由（1）式两边有（2）由（1）?（2）有化简得．填空题在中，角所对的边分别为，且，，，则__________．【答案】4【解析】由正弦定理得.由余弦定理得，解得.填空题，，三个数中最大的数是．【答案】【解析】试题分析：，，，所以最大的数是．选择题是虚数单位，若复数满足，则复数的实部与虚部的和是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】试题分析：，故复数的实部与虚部的和是2，选C解答题选修4-5：不等式选讲（1），解不等式；（2）在上有解，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）当时，利用零点分段法去掉绝对值，将原不等式分为三段来求解.（2）由于，故可将去绝对值，化简原不等式得有解，故且有解，即.试题解析：（1），或或，或或所以原不等式解集为．（2）因为，所以，推出：有解，所以，所以不等式化为有解，即．选择题如下图所示某物体的三视图，则求该物体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是由一个正方体，截去一个四分之一圆锥和四分之一球所得，故体积为选择题定义在上的奇函数满足，且当时，，则（）A. -2B. 2C.D.【答案】D【解析】由得函数是周期为的周期函数，且为奇函数，故.选择题下图为某一函数的求值程序框图，根据框图，如果输出的的值为3，那么应输入（）A. 1B. 2C. 3D. 6【答案】B【解析】运行程序，若大于六的数就输出，的数就输出，则输出，故.解答题如图，平面平面，四边形为菱形，四边形为矩形，，分别是，的中点，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若三棱锥的体积为，求的长.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连接利用菱形的几何性质可知，根据面面垂直的性质定理可知平面，故，在矩形中，，是中点，故，由此证得平面.（2）设，则，，由此得到三角形的面积.利用等体积法可求得的值，从而得到的值.试题解析：（1）证明：连接，在菱形中，，且，∴为等边三角形，又∵为的中点，∴，∵，∴，又∵平面平面，∴平面∴平面，又平面，∴，∵在矩形中，为的中点，∴为等腰直角三角形，∴，同理可证：∴，∴，∴，又∵，且平面，∴平面（2）设，则，在中，，，∴∴∵平面平面，为交线，，∴平面,设为点到平面的距离，则，∴∵，∴所以选择题已知双曲线上有不共线三点，且的中点分别为，若满足的斜率之和为，则（）A. 2B.C. -2D. 3【答案】C【解析】设，将两点坐标代入双曲线方程，作差并化简得，即，同理可得，依题意有，即.选择题已知向量，，则在方向上的投影为（）A. B. 8 C. D.【答案】D【解析】依题意有投影为.选择题已知角满足，则的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分子分母同时除以得，原式解答题已知椭圆（）离心率为，过点的椭圆的两条切线相互垂直.（1）求此椭圆的方程；（2）若存在过点的直线交椭圆于两点，使得（为右焦点），求的范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】试题分析：（1）根据椭圆的对称性可知，两条切线斜率为，由此求得切线的方程，联立切线的方程和椭圆的方程，利用判别式等于零列一个方程，结合离心率为可求得的值.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，消去，写出韦达定理，将坐标代入可求得直线方程两个参数的等量关系，由此求得的取值范围.试题解析：（1）由椭圆的对称性，不妨设在轴上方的切点为，轴下方的切点为，则，的直线方程为，所以，，则，所以方程为椭圆方程为。

重庆一中高2020级高三下学期期中考试理科数学试题卷一､选择题：(本大题 12个小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个选项是正确的).1. 已知集合{}0123A =，，，，2{|230},B x x x =--≥则()R A B =（ ）A. (1,3)-B. (1,3]-C. (0,3)D. (0,3] 【答案】B【解析】【分析】 由集合B 中的不等式确定集合B ，再求出B R ，最后运用集合的并集计算求出()R A B 即可. 【详解】由2230x x --≥，解得1x ≤-，或3x ≥，所以集合{|1,B x x =≤-或}3x ≥，所以{}|13R B x x =-<<， 则{}()|13R A B x x =-<≤.故选：B【点睛】本题主要考查补集和并集的运算，属于基础题.2. 已知复数z 满足i z z a i ⋅=+⋅(i 为虚数单位)，且2z =a 的值为（ ） A. 2B. 1 2 D. 12【答案】A【解析】 【分析】由已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再利用复数求模公式计算即可得到答案.【详解】由()0i z z a i a ⋅=+⋅>， 得()()()111122a i i a i a a z i i i i ⋅--⋅===--+-+--， 又2z所以22222a a⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2a=.故选：A【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算和复数模的求法，属于基础题.3. 已知某超市2019年中的12个月的收入与支出数据的折线图如图所示，则下列说法中，错误的是（）A. 该超市在2019年的12个月中，7月份的收益最高；B. 该超市在2019年的12个月中，4月份的收益最低；C. 该超市在2019年7月至12月的总收益比2109年1月至6月的总收益增长了90万元；D. 该超市在2019年1月至6月的总收益低于2109年7月至12月的总收益.【答案】C【解析】【分析】根据折线图即可判定选项A和B正确，再计算出7月至12月的总收益和1月至6月的总收益，即可得到选项C错误，选项D正确.【详解】对选项A，由折线图可知，该超市2019年的12个月中的7月份收入减去支出的值最大，所以收益最高，故正确；对选项B，由折线图可知，该超市2019年的12个月中的4月份收入减去支出的值最小，所以收益最低，故正确；对选项C，由折线图可知，2019年7月至12月的总收益为604030305030240+++++=，2019年1月至6月总收益为203020103030140+++++=，所以7月至12月的总收益比1月至6月的总收益增长了100万元，故错误；对选项D，由选项C知，1月至6月的总收益低于7月至12月的总收益，故正确.故选：C【点睛】本题主要考查折线图的应用，属于基础题.4. 冰雹猜想也称奇偶归一猜想：对给定的正整数进行一系列变换，则正整数会被螺旋式吸入黑洞(4，2，1)，最终都会归入“4-2-1”的模式.该结论至今既没被证明，也没被证伪. 下边程序框图示意了冰雹猜想的变换规则，则输出的i=（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】根据循环结构程序框架图依次进行计算，即可得到答案.【详解】由题意，第一次循环，12S Z∉，35116S=⨯+=，011i=+=，1S≠；第二次循环，12S Z∈，11682S=⨯=，112i=+=，1S≠；第三次循环，12S Z∈，1842S=⨯=，213i=+=，1S≠；第四次循环，12S Z ∈，1422S =⨯=，314i =+=，1S ≠； 第五次循环，12S Z ∈，1212S =⨯=，415i =+=，1S =； 此时输出5i =.故选：B【点睛】本题考查循环结构程序框架图的应用，属于基础题.5. 在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是11,AD C D 的中点，O 为正方形ABCD 的中心，则（ ）A. 直线1,EF OD 是异面直线，且1EF OD =B. 直线11,OD B B 是异面直线且11OD B B ≠C. 直线1,EF OD 是相交直线，且1EF OD =D. 直线11,OD B B 是相交直线且11OD B B =【答案】C【解析】【分析】根据题意画出图像，再判断EF 和1OD 的位置关系和长度，1OD 和1B B 的位置关系和长度即可得到答案.【详解】根据题意画出图像如图所示，由图像易知，1OD 和1B B 在矩形11BB D D 上，1OD 和1B B 是相交直线，且11OD B B ≠，故选项B 、D 错误；O 为正方形ABCD 的中心，E 为AD 的中点，所以//OE CD ，且12OE CD =， 又点F 为11C D 的中点，所以1//D F CD ，且112D F CD =， 所以1//OE DF ，且1OE D F =，四边形1OED F 是平行四边形， 则EF 和1OD 是1OED F 的两条对角线，所以EF 和1OD 是相交直线，且1EF OD =；故选项A 错误，C 正确.故选：C【点睛】本题主要考查空间两直线的位置关系，考查学生数形结合的能力，属于基础题.6. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2533a a a =，且4a 与79a 的等差中项为2，则5S =（ ）A. 1123B. 112C. 12127D. 121【答案】D【解析】【分析】利用2533a a a =，且4a 与79a 的等差中项为2，求出等比数列的首项和公比，再利用等比数列的求和公式，即可得出结论.【详解】∵数列{}n a 是等比数列，253433a a a a a ==，∴3413a a q ==．∵4a 与79a 的等差中项为2，∴()34749194a a a q +=+=，解得13q =，181a =．∴55181[1()]3121113S ⨯-==-． 故选：D ．【点睛】本题主要考查等差中项及等比数列前n 项和，属于基础题.7. 空间直角坐标系中的点(,,)P x y z 满足,,x y z {2,4,6}∈，则恰有两个坐标相同的点P 有（ ）A. 18个B. 12个C. 9个D. 6个【答案】A高考资源网（ ） 您身边的高考专家【解析】【分析】根据题意，当x 、y 、z 有两个相同时，利用排列组合计算即可得到答案.【详解】根据题意，当x 、y 、z 中有两个相同时，共有11132318C C A =个；故选：A【点睛】本题主要考查排列组合的应用，属于基础题.8. “3a ≥”是“1x =为函数321()(3)12f x x a x ax =-++--的极小值点”的（ ） A . 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 【分析】 对()f x 求导，得到()()()31f x x a x '=---，对a 进行分类讨论，求出当1x =为极小值点时a 的范围，即可得到答案.【详解】由题意，()()2()3(3)31f x x a x a x a x '=-++-=---， 0f x ，解得13a x =，或21x =， ①当12x x <，即3a <时，0f x ，解得13a x <<，0f x 时，解得3a x <，或1x >， ()f x 在,13a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和1,上单调递减，13a x =是()f x 的极小值点； ②当12x x =，即3a =时，()0f x '≤恒成立，()f x 无极值；③当12x x >，即3a >时，0f x ，解得13a x <<，0f x 时，解得1x <，或3a x >， 21x =是()f x 的极小值点；综上，当1x =为()f x 的极小值点时，3a >所以“3a ≥”是“1x =为函数321()(3)12f x x a x ax =-++--的极小值点”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的极值和充分必要条件的应用，考查了学生分类讨论的思想，属于中档题. 9. 函数22()41x x x f x ⋅=-的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由()()f x f x -=-，得到函数()f x 是奇函数，再代入特殊值计算(1)f 和1()2f 的值，即可得到答案. 【详解】由题意，()222()04122x x x x x x f x x -⋅==≠--， ()22()22(2)2x x x x x f x x f x ----===----， 所以函数()f x 是奇函数，关于原点对称，排除选项B ；当1x=时，211212(1)0413f=-⨯=>，故排除选项D；当12x=时，212122()(1)2214f f⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭==<-，故排除选项C；所以本题正确答案为A.故选：A【点睛】本题主要考查函数图像的性质，注意代特殊值排除法的应用，属于基础题.10. 函数()2sin(),(0,)f x xωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，且()f x的图象过(,1),(,1)2A Bππ-两点，为了得到()2sing x xω=的图象，只需将()f x的图象（）A. 向右平移56πB. 向左平移56πC. 向左平移512πD. 向右平移512π【答案】C【解析】【分析】利用函数图像确定周期T的值，利用周期公式求出ω，再根据函数图像经过点A，确定ϕ的值，求出函数()f x的解析式，再根据三角函数图像的变换即可得到结论.【详解】由图像知，222Tπππ=-=，得Tπ=，由22Tπω==，解得2ω=，又函数经过点,12Aπ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2sin(2)12πϕ⨯+=，即()26k k Z ππϕπ+=+∈，解得()526k k Z πϕπ=-∈， 又ϕπ<，所以56π=-ϕ， 所以5()2sin(2)6f x x π=-， 所以将()f x 的图像向左平移512π个单位得到函数()g x . 故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质以及图像变换的应用，属于中档题.11. 已知,O F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的中心和右焦点，以OF 为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于,A B 两点(,A B 异于原点O )，若3AB b =，则双曲线C 的离心率e 为（ ）A. 2B. 3C. 23D. 2 【答案】C【解析】【分析】画出图像，由图像可知OA AF ⊥，由点到直线距离求出AF ，再求出OA ，利用1122OA AF OF AP ⋅=⋅，即可求出离心率. 【详解】根据题意，画出图像如图所示，连接AF ，因为OF 是直径，所以OAF △是直角三角形，且OA AF ⊥，OA 所在的渐近线方程为b y x a=，由点到直线距离公式22bc AF b a b ==+，又OF c =，所以22OA c b a =-=，设AB 与x 轴的交点为P ，则132AP AB ==， 由1122OA AF OF AP ⋅=⋅，即11322ab c =， 解得233c e a ==. 故选：C【点睛】本题主要考查求双曲线离心率，以及双曲线的几何性质，考查学生数形结合能力，属于中档题.12. 已知四棱锥P ABCD -的棱长都是12，,,E F M 为,,PA PC AB 的中点，则经过,,E F M 的平面截四棱锥P ABCD -所得截面的面积为（ ）A. 542B. 452C. 72D. 96 【答案】B【解析】【分析】先由平面的基本性质找出经过,,E F M 的平面截四棱锥P ABCD -所得截面图形MNFQE ，先证明QEF △是等腰三角形，并求出QEF S，再证明四边形MNFE 是矩形，并求出MNFE S ，即可得到答案.【详解】根据题意，作出四棱锥P ABCD -的图像如图所示，因为E 、F 分别为PA 和PC 的中点，所以//EF AC ，且12EF AC =， 设BC 中点为N ，M 为AB 中点，则//MN AC ，且12MN AC =， 所以//MN EF ，且MN EF =，四边形MNFE 为平行四边形，M 、N 、E 、F 四点共面，设MN 中点为H ，作//HQ PB ，且交PD 于点Q ，交EF 于点I 则点Q 在平面MNFE 上，故五边形MNFQE 即截四棱锥P ABCD -所得截面； 因为14BH BD =，所以134PQ PD ==， 又162PF PC ==，3QPF π∠=， 由余弦定理1369263332QF =+-⨯⨯⨯=33QE = 所以QEF △是等腰三角形，QI EF ⊥， 又221112126222EF AC ==+= 所以221271832QI QF EF ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，所以116239222QEFSEF QI =⋅=⨯=； 又//EM PB ，//QI PB ，且QI EF ⊥，所以EM EF ⊥， 所以四边形MNFE 是矩形，162EM PB ==，所以矩形MNFE 的面积662362MNFES EM EF =⋅=⨯=，所以截面积92362452QEFMNFES S S=+=+=.故选：B【点睛】本题主要考查平面的基本性质，考查空间直线的关系，并涉及到余弦定理的应用，考查学生数形结合能力，属于中档题.二､填空题：(本大题4个小题，每小题5分，共20分).13. 若()(),2,1,1a x b x ==-，若()()a b a b +⊥-，则x =_____． 【答案】-1 【解析】2222()()4(1)11a b a b a b x x x +⊥-⇒=⇒+=-+⇒=-答案为：-1.14. 在第35届全国中学生数学冬令营中，某市甲､乙两所学校数学冬令营成绩的茎叶图(05,89,,)x y x y N ≤≤≤≤∈如下图：已知甲校成绩的中位数､平均分都比乙校成绩的中位数､平均分少1分，则x y +=_____________.【答案】8 【解析】 【分析】由茎叶图分别表示出甲乙的中位数和平均数，再根据题意列不等式组即可求解.【详解】由茎叶图知，甲校的中位数为40504522y y++=+，甲校的平均数为47484050505729266y y+++++++=；乙校的中位数为50x +， 乙校的平均数为3943454650555660655199x x+++++++++=+；由题意，50145229251196y x x y ⎧+-=+⎪⎪⎨+⎪+-=⎪⎩，解得0x =，8y =，所以8x y +=. 故答案为：8【点睛】本题主要考查茎叶图、平均数和中位数的应用，属于基础题.15. 设数列{}n a 满足()*121,n n a a n n N +=++∈，12a =，则数列(){}1nn a -的前40项和是_____． 【答案】840 【解析】 【分析】利用累加法可求得数列{}n a 的通项公式()1n a n n =+，再并项求和求解前40项和即可.【详解】因为()*121,n n a a n n N +=++∈，且12a =，故2n ≥时，214a a -=，326a a -=，…12n n a a n --=，累加可得()()22246 (212)n n n a n n n +=++++==+， 11,2n a ==满足上式，即()1n a n n =+，故(){}1nn a -的前40项和1223344 5....39404041S =-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯即()20240222 4 (24028402)S ⨯+=⨯+⨯⨯=⨯=.故答案为：840【点睛】本题主要考查了累加法求解数列通项公式、并项求和以及等差数列的求和公式等.属于中档题.16. 已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，过其准线与x 轴的交点E 作直线l ，（1）若直线l 与抛物线相切于点M ，则EMF ∠=_____________.高考资源网（ ） 您身边的高考专家（2）设6p =，若直线l 与抛物线交于点,A B ，且AB BF ⊥，则AF BF -=_____________.【答案】 (1). 4π； (2). 12 【解析】 【分析】（1）设直线方程()02px my m =->，代入抛物线方程并整理得2220y mpy p -+=，因为直线和抛物线相切，所以0∆=，由此可以解出m 的值和点M 的坐标，得到MF x ⊥轴，即可得到答案；（2）由已知，抛物线212y x =，设直线方程()3y k x =+，代入抛物线方程整理，并由韦达定理得到129x x =，由AB BF ⊥可得EB BF ⊥，利用1EB BF k k ⋅=-求出2x ，再求出1x ，利用抛物线的定义即可求解. 【详解】（1）由题意知，点,02p E ⎛⎫-⎪⎝⎭，点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设直线l 与抛物线相切于第一象限，则()02px my m =->， 代入抛物线方程并整理得：2220y mpy p -+=， 则222440m p p ∆=-=，解得1m =，直线l ：2p y x =+此时2220y py p -+=，解得y p =，将y p =代入直线方程，解得2p x =， 所以点,2p M p ⎛⎫⎪⎝⎭，则MF x ⊥轴，又直线l 斜率为1， 所以4MEF π∠=，所以4EMF π∠=；（2）由已知，6p ，则抛物线212y x =，则点()3,0E -，点()3,0F ， 设直线l 方程为()3y k x =+，代入抛物线方程并整理得，()222261290k x k x k +-+=，设点()11,A x y ，点()22,B x y ，由韦达定理，212299k x x k==，由AB BF ⊥，得EB BF ⊥， 所以1EB BFk k ⋅=-，即222200133y y x x --⋅=----， 整理得，22229x y +=，又22212y x =，所以2221290x x +-=，解得2356x =，或2356x =-（舍去），由129x x =，解得1356x =，135633592pAF x =+=+=， 235633532pBF x =+=+=，所以()35935312AF BF -=-=.故答案为：（1）4π；（2）12 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及抛物线性质的应用，注意题目中条件的转化以及韦达定理的应用，属于中档题.三.解答题：(本大题6个小题，共70分.各题解答必须在答题卷上作答，在相应题目指定的方框内必须写出必要的文字说明､演算步骤或推理过程). 17. 设函数2()sin(2)2cos 6f x x x π=+-.（1）求()f x 的单调增区间； （2）在ABC 中，若5()264A f π-=-，且102,10,cos CD DA BD ABD ==∠=，求BC 的值. 【答案】（1）[,],63k k k Z ππππ-++∈.（2）6【解析】 【分析】（1）由两角和差的正弦公式展开sin(2)6x π+，由二倍角的余弦公式整理22cos x ，再由辅助角公式化简得到()sin(2)16f x x π=--，再由三角函数的性质求出()f x 的增区间即可；（2）由5()264A f π-=-求出cos A 和sin A ，再由正弦定理求出AD ，利用()cos cos BDC ABD A ∠=∠+∠求出cos BDC ∠，再由余弦定理即可求出BC .【详解】（1） 由题意，2311cos 2()sin(2)2cos 2cos 226222xf x x x x x π+=+-=+-⨯， 化简得，()sin(2)16f x x π=-- ，由 222,262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈可得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以()f x 的单调增区间为[,],63k k k Z ππππ-++∈ ；（2）由（1）知，()sin(2)16f x x π=--所以5()sin 12624A f A ππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭， 解得1cos 4A =，所以15sin A =由10cos ABD ∠=6sin ABD ∠=，在ABD ∆中，由正弦定理可得：sin sin BD AD A ABD=∠，解得2AD =， 由2CD DA =，可得4DC =，()11015610cos cos 4BDC ABD A ∠=∠+∠==， 在BCD ∆中，由余弦定理可得：2101610210436BC =++=，解得6BC =. 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角恒等变换的应用，考查学生的分析计算能力，属于中档题.18. 某次数学测验共有12道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分. 在这次数学测验中，考生甲每道选择题都按照规则作答，并能确定其中有9道题能选对；其余3道题无法确定正确选项，在这3道题中，恰有2道能排除两个错误选项，另1题只能排除一个错误选项. 若考生甲做这3道题时，每道题都从不能排除的选项中随机挑选一个选项作答，且各题作答互不影响.在本次测验中，考生甲选择题所得的分数记为x （1）求55x =的概率； （2）求x 的分布列和数学期望. 【答案】（1）13.（2）分布列答案见解析，数学期望1553. 【解析】 【分析】（1）选对一道能排除2个选项的概率1()2P A =，选对一道能排除1个选项的概率1()3P B =，考生得55分时可以A 对2道，B 对0道或者A 对1道，B 对1道，再由相互独立事件的概率公式计算即可；（2）该考生所得分数45,50,55,60x =，分别求出其概率，即可列出分布列，并求出期望. 【详解】（1）能排除2个选项的试题记为A 类试题；设选对一道A 类试题为A ，则1()2P A =， 能排除1个选项的试题记为B 类试题；设选对一道B 类试题为B ，则1()3P B =， 该考生选择题得55分可以为：①A 对2道，B 对0道，则概率为222122()2312C ⨯=；②A 对1道，B 对1道，则概率为122112()2312C ⨯=；则221(55)12123P x ==+=； （2）该考生所得分数45,50,55,60x =022121(45)()236P x C ==⨯=；12022212115(50)()()232312P x C C ==⨯+⨯=；022111(60)()2312P x C ==⨯=；∴X 分布列为：x45 50 55 60P16 512 13 1121511155455055606123123Ex =⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查概率的求法、离散型随机变量分布列和数学期望的求法，考查学生分析和计算能力，属于中档题.19. 如图，在由三棱锥E ADF -和四棱锥F ABCD -拼接成的多面体ABCDEF 中，AE ⊥平面ABCD ，平面BCF ⊥平面ABCD ，且ABCD 是边长为23的正方形，BCF △是正三角形.（1）求证：//AE 平面BCF ；（2）若多面体ABCDEF 的体积为16，求BF 与平面DEF 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析.（225【解析】 【分析】（1）设点O 为BC 中点，证明OF ⊥平面ABCD ，又AE ⊥平面ABCD ，可以得到//AE OF ，再由线面平行的判定定理，即可得到//AE 平面BCF ；（2）由ABCDEF F ABCD F ADE V V V --=+求出AE 长，再以点A 为原点建立直角坐标系，利用向量法求BF 与平面DEF 所成角的正弦值.【详解】（1）设点O 为BC 中点，BCF ∆是正三角形，所以OF BC ⊥， 又平面ABCD ⊥平面BCF ，且平面ABCD平面BCF BC =，所以OF⊥平面ABCD，又AE⊥平面ABCD，所以//AE OF，OF⊂平面BCF，AE⊄平面BCF，所以//AE 平面BCF；（2）由题意，ABCDEF F ABCD E ADF F ABCD F ADEV V V V V----=+=+2111(23)3(23)2316332AE=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，解得2AE=，以A点为原点建立如图直角坐标系，ABCD是边长为23BCF∆是正三角形.则(23,0,0)D，(0,23,0)B，(0,0,2)E，3,23,3)F，(3,3,3)DF=-，(23,0,2)DE=-，(3,0,3)BF=；设平面DEF的法向量为(,,)n x y z=，则33302320DF n x zDE n x z⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x=，则3z=1y=-，所以(1,1,3)n=-，设BF与平面BEF所成角为θ，则||4325sin5523n BFn BFθ⋅===⨯⋅.故直线BF 与平面BEF 25【点睛】本题主要考查面面垂直的性质、线面平行的判定定理和向量法求线面角，考查空间中线线、线面和面面的关系，考查学生数形结合的能力，属于中档题.20. 已知椭圆C ：2221(0)3x y b b +=>的右焦点为F ，过F 作两条直线分别与圆O ：222(0)x y r r +=>相切于,A B ，且ABF ∆为直角三角形. 又知椭圆C 上的点与圆O 上的点31. （1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）若不经过点F 的直线l ：y kx m =+(其中0,0k m <>)与圆O 相切，且直线l 与椭圆C 交于,P Q ，求FPQ ∆的周长.【答案】（1）圆O 的方程为：221x y +=；椭圆C 的方程为：2213x y +=.（2）23【解析】 【分析】（1）由椭圆C 上的点与圆O 31，求出1r =；再由ABF ∆为直角三角形，求出2c =1b =；即可得到椭圆C 及圆O 的方程；（2）由直线和圆相切，得到221m k =+，联立直线和椭圆方程，由韦达定理求出12x x +和12x x ，用弦长公式求出PQ ，再表示出PF QF +，化简即可得到答案.【详解】（1）由题意，椭圆C 上的点与圆O 31， 所以31a r +=，又3a =1r =；ABF ∆为直角三角形，所以4BFO π∠=，又OB BF ⊥，所以2OF OB =，即2c r =，解得2c =又223b c +=，解得1b =；圆O 的方程为：221x y +=；椭圆C 的方程为：2213x y += （2）由题意，y kx m =+与圆相切：由点到直线距离公式，211m k =+221m k =+；设11(,)P x y ，22(,)Q x y ， 由2213x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得222(13)6330k x kmx m +++-=，由>0∆，得2231k m +>…(※)，且122613km x x k +=-+，21223313m x x k-=+， 由弦长公式，2222223161313131k m k k PQ k k k -++=+=-++， 由1PF a ex =-，2QF a ex =-， 得21222612()331k k PF QF a e x x k ++=-+=+， FPQ ∆的周长为23PQ PF QF ++=【点睛】本题主要考查圆和椭圆方程的求法，直线和圆、椭圆的位置关系，弦长公式的应用，考查学生的转化和计算能力，属于中档题.21. 已知函数121()(1),02x f x x a e x ax x -=---+> （1）若()f x 为单调增函数，求实数a 的值；（2）若函数()f x 无最小值，求整数a 的最小值与最大值之和.【答案】（1）1a =.（2）3【解析】【分析】（1）求出()'f x ，再令()0f x '=，求出两个根，函数()f x 为单调函数，所以()f x 有两个相同的根，得到1a =，再进行检验即可；（2）由()0f x '=得11x =，或2x a =和a Z ∈，分别当0a ≤、1a =和1a >三种情况进行讨论；0a ≤时不成立，1a =时成立，1a >时，利用函数单调性，当()f x 无最小值时，(0)()f f a <，构造关于a 的函数，求出a 的范围，即可得到答案.【详解】（1） 由题意，11()()()(1)x x f x x a e x a x a e --'=--+=--，()0f x '=，解得11x =，或2x a =，因为函数()f x 为单调函数，所以()f x 有两个相同的根，即1a =，1a =时，()0f x '≥，()f x 为增函数，故1a =适合题意；（2）由（1）知，()0f x '=，解得11x =，或2x a =，①当0a ≤时，则(0,1)()0x f x '∈⇒<⇒()f x 在(0,1]上为减函数，(1,)()0x f x '∈+∞⇒>⇒()f x 在[1,)+∞上为增函数，当1x =时，()f x 有最小值1(1)2f =-， 故0a ≤不适合题意；②当1a =时，则(0,1)()0x f x '∈⇒>⇒()f x 在(0,1]上为增函数， (1,)()0x f x '∈+∞⇒>⇒()f x 在[1,)+∞上为增函数，∴()f x 在(0,)+∞上为增函数，()f x 无最小值，故1a =适合题意；③当1a >时，则(0,1)()0x f x '∈⇒>⇒()f x 在(0,1]上为增函数，(1,)()0x a f x '∈⇒<⇒()f x 在[1,]a 上为减函数，(,)()0x a f x '∈+∞⇒>⇒()f x 在[,)a +∞上为增函数，因为()f x 无最小值，所以(0)()f f a <21121111(1)022a a a a e e a e a e -----⇒<-⇒--+<， ()()()121111112a a g a e a a e a g a e a e ----'=--+>⇒=--，， 由()110a g a e -''=->在()1+∞，上恒成立， ()11a g a e a e --'=--在()1+∞，上单调递增，且110g e -'=-<（），()()12200g e e g a ->''=--⇒=存在唯一的实根()112a ∈， () g a ⇒在()11a ，上单调递减； () g a 在()1a +∞，上单调递增增， 且()()()2e 439410220302e 2g g e g e e e-=<=--<=-->，， ()0g a ⇒=存在唯一的实根()223a ∈，， 由()12121102a e a a e a a ----+<⇒<， ()f x 无最小值，则21aa <<，()223a ∈，， 综上，21a a ≤<，()223a ∈，， a Z ∈，123min max a a +=+=.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，注意构造函数的应用，考查学生分类讨论思想和计算能力，属于难题.22. 在平面直角坐标系xoy 中，直线1l 的参数方程为4x t y kt =-⎧⎨=⎩，(t 为参数)，直线2l 的普通方程为1y x k，设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，记点P 的轨迹为曲线1C . 在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线3l 的方程为:sin()24πρθ-=（1）求曲线1C 的普通方程；（2）设点A 在3l 上，点B 在1C 上，若直线AB 与3l 的夹角为4π，求AB 的最大值. 【答案】（1）2240(0)x y x y +-=≠.（2）422+【解析】【分析】 （1）将直线1l 的参数方程转化为普通方程，联立2l 的方程并消去k ，再根据直线12,l l 斜率存在且不为零，即可得到曲线1C 的普通方程；（2）先求出直线3l 的普通方程，点B 到直线3l 的距离为d ，由题意可得2AB d =，求出B到直线3l 的距离的最大值，即可求出AB 的最大值.【详解】（1）直线1l 可化为：(4)y k x =--，代入2l ，消去k 可得：2(4)y x x =--，整理得：2240x y x +-=；由直线12,l l 斜率存在且不为零，则0y ≠，曲线1C 的普通方程为：2240(0)x y x y +-=≠.（2）由sin()24πρθ-=sin cos 2ρθρθ-=，所以直线3l 的普通方程为：2y x =+，设点B 到直线3l 的距离为d ，由AB 与3l 的夹角为4π，可得2AB d ， 求AB 的最大值可转化为点B 到直线3l 的距离d 的最大值，d 的最大值即圆心()12,0C 到直线3l 的距离加上半径，所以max 22222d =+=+， 即max max 2422AB d ==+.【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的转化，考查了轨迹方程的求法以及直线与圆位置关系，考查学生分析转化能力，属于中档题.23. 已知0a >，0b >，23a b +=.（1）求 22a b +的取值范围；（2）求证：3381416a b ab +≤. 【答案】（1）9,95⎡⎫⎪⎢⎣⎭.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由23a b +=和0b >求出b 的范围，用b 表示a ，将22a b +转化为269555b ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，再根据b 的范围即可求出22a b +的取值范围； （2）对23a b +=，利用基本不等式求出ab 的范围，再将334a b ab +转化为28194168ab ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，利用ab 的范围即可证明不等式.【详解】（1）∵0a >，0b >，23a b +=，∴320a b =->，302b << ∴222222699(32)51295555a b b b b b b ⎛⎫+=-+=-+=-+≥ ⎪⎝⎭， ∴当65b =，3325a b =-=时，22a b +的最小值为95， 又22696955095555b ⎛⎫⎛⎫-+<⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴22995a b ≤+<，即229,95a b ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭； （2）0a >，0b >，23a b +=，322ab ∴≥908ab <≤， 当且仅当322a b ==时，取等号， ()3322244(2)4a b ab ab a b ab a b ab ⎡⎤∴+=+=+-⎣⎦22819(94)94()4168ab ab ab ab ab ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭， ∴98ab =时，334a b ab +的最大值为8116， ∴3381416a b ab +≤. 【点睛】本题主要考查解不等式和不等式的证明，利用了基本不等式和一元二次函数的应用，考查学生转化和计算能力，属于中档题.。