2020届重庆巴蜀中学2017级高三下学期高考模拟考试试(期中线上考试)数学(理)试卷及答案

重庆市渝中区巴蜀中学2017-2018学年高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数的对应点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则（∁U A）∩B等于( ) A．{x|x＞2或x＜0} B．{x|1＜x＜2} C．{x|1≤x≤2} D．{x|1＜x≤2}3．已知向量=（2，﹣1），=（3，x）．若•=3，则x=( )A．6 B．5 C．4 D．34．重庆一中学有三个年级共430人，其中初一年级有160人，初二年级人数是初三年级人数的2倍，为了解该校初中生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有初一年级学生32人，则该样本中的初三年级人数为( )A．32 B．36 C．18 D．865．一个几何体的俯视图是半径为l的圆，其主视图和侧视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．3πB．4πC．5πD．7π6．下列说法中正确的是( )A．若p：∀x∈R有x2＞0，则￢p：∀x∈R有x2≤0B．若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件C．若p：＞0，则￢p：≤0D．方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是a=±7．设等差数列{a n}和等比数列{b n}首项都是1，公差和公比都是2，则a+a+a=( )A．24 B．25 C．26 D．278．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是( )A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜209．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为( )A．y=±3x B．y=±2x C．y=±（+1）x D．y=±（﹣1）x 10．已知函数f（x）满足f（0）=1，且对于任意实数x，y∈R都有：f（xy+1）=f（x）f（y）﹣f（y）﹣x+2，若x∈[1，3]，则的最大值为( )A．B．C．D．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．根据如下样本数据x 3 4 5 6 7y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0得到的回归方程为=bx+a．若a=7.9，则b的值为__________．12．已知x是三角形的内角，且sinx﹣cos（x﹣π）=，则cos2x=__________．13．要分配甲、乙、丙、丁、戊5名同学去参加三项不同的教学活动，其中活动一和活动二各要2人，活动三要1人，每人只能参加一项活动，且甲，乙两人不能参加同一活动，则一共有___________种不同的分配方法．一、考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC与圆交于B，C．若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=__________．一、选做题15．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数，0≤φ≤π）．以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C与θ=（ρ＞0）所表示的图形的交点的直角坐标是__________．一、选做题16．已知关于x的不等式|x+2|+|x﹣2|≤a2解集为空集，则a的取值范围为__________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣m（x∈R），函数f（x）的最大值为2．（1）求实数m的值；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边是a、b、c，．若A为锐角，且满足f（A）=0，sinB=3sinC，△ABC的面积为，求边长a．18．退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势．某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20～80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]绘制频率分布直方图，如图所示．若规定年龄分布在[20，40）岁的人为“青年人”，[40，60）为“中年人”，[60，80]为“老年人”．（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20﹣80年龄段的人口分布的概率．从该城市20﹣80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．19．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD=4，AB=CD=，∠DBC=45°（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若二面角A﹣PC﹣D的大小为60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．20．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（e为自然对数的底数），a＞0．（1）若a=1，求函数f（x）在x=0处的切线方程；（2）若f（x）≥0对任意x∈R恒成立，求实数a的取值集合．21．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）过点A（1，），其焦距为2．（1）求椭圆C1的方程；（2）已知F1，F2分别是椭圆的左右焦点，P 为直线x=2 上一点．直线PF1，PF2与圆x2+y2=1的另外一个交点分别为M、N 两点，求证：直线MN 恒过一定点．22．已知数列{a n}中，a1=，a n=（n≥2，n∈N）．（1）证明数列{﹣1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）证明：a1a2…a n＜2•n!．（注意：n!=1×2×3×…×n，n∈N+）．重庆市渝中区巴蜀中学2015届高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数的对应点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用复数的除法运算，将复数表示出来，根据复数的几何意义，即可得到答案．解答：解：复数=，∴复数在复平面内对应的点为（1，﹣2），故复数的对应点位于第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数的代数表示法以及几何意义，考查了复数的代数形式的乘法运算，解题时要认真审题．复数的几何意义是复数和复平面内的点是一一对应关系．属于基础题．2．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则（∁U A）∩B等于( ) A．{x|x＞2或x＜0} B．{x|1＜x＜2} C．{x|1≤x≤2} D．{x|1＜x≤2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：求出集合A中的一元二次不等式的解集，确定出集合A，由全集R，求出集合A的补集，然后求出集合B中对数函数的定义域确定出集合B，求出集合A补集与集合B的交集即可．解答：解：由集合A中的不等式x2﹣2x＞0，因式分解得：x（x﹣2）＞0，解得：x＞2或x＜0，所以集合A={x|x＞2或x＜0}，又全集U=R，∴C u A={x|0≤x≤2}，又根据集合B中的对数函数可得：x﹣1＞0，解得x＞1，所以集合B={x|x＞1}，则（C u A）∩B={x|1＜x≤2}．故选D点评：此题属于以一元二次不等式的解法及对函数的定义域为平台，考查了补集及交集的运算，是一道基础题．也是2015届高考中常考的题型．3．已知向量=（2，﹣1），=（3，x）．若•=3，则x=( )A．6 B．5 C．4 D．3考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意，=（2，﹣1），=（3，x）．•=3，由数量积公式可得到方程6﹣x=3，解此方程即可得出正确选项．解答：解：∵向量=（2，﹣1），=（3，x）．•=3，∴6﹣x=3，∴x=3．故选D点评：本题考查数量积的坐标表达式，熟练记忆公式是解本题的关键，是基础题．4．重庆一中学有三个年级共430人，其中初一年级有160人，初二年级人数是初三年级人数的2倍，为了解该校初中生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有初一年级学生32人，则该样本中的初三年级人数为( ) A．32 B．36 C．18 D．86考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．解答：解：∵一年级有160人，初二年级人数是初三年级人数的2倍，∴一年级有160人，初二年级年级为180人，初三年级人数为90人，在抽取的样本中有初一年级学生32人，则该样本中的初三年级人数为人，故选：C．点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．5．一个几何体的俯视图是半径为l的圆，其主视图和侧视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．3πB．4πC．5πD．7π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与半球的组合体，结合图中数据，求出它的表面积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底部为圆柱，上部为半球的组合体，且圆柱的底面圆半径为1，高为1，半球的半径为1；所以该组合体的表面积为2π×1×1+π×12+×4π×12=5π．故选：C．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了求几何体的表面积的应用问题，是基础题目．6．下列说法中正确的是( )A．若p：∀x∈R有x2＞0，则￢p：∀x∈R有x2≤0B．若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件C．若p：＞0，则￢p：≤0D．方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是a=±考点：的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A项利用存在性和全称量词的否定来判断．B项利用原和逆否同真假判断C项用不等式解集的补集思路处理．D项考虑二次项系数为0的情况．解答：解：对于A项，若p：∀x∈R有x2＞0，则￢p：∃x0∈R有x02≤0．故A错．对于B项，p是q的充分不必要条件，即p⇒q，则￢q⇒￢p，∴￢p是￢q的必要不充分条件．故B对．对于C项，若p：＞0，则￢p：≤0或x=0．故C错．对于D项，当a=0时，方程ax2+x+a=0为x=0．为一次函数．也满足唯一解的条件．故D 错．故选：B点评：本题主要考查逻辑用语中四种的判定和否定，基础题型．7．设等差数列{a n}和等比数列{b n}首项都是1，公差和公比都是2，则a+a+a=( )A．24 B．25 C．26 D．27考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列求出b2，b3，b4，然后利用等差数列求解即可．解答：解：等比数列{b n}首项是1，公比是2，∴b2=2，b3=4，b4=8，等差数列{a n}首项是1，公差是2，∴a+a+a=a 2+a4+a8=3a1+11d=3+11×2=25．故选：B．点评：本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．8．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是( )A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜20考点：循环结构．专题：压轴题；图表型．分析：结合框图得到i表示的实际意义，要求出所需要的和，只要循环10次即可，得到输出结果时“i”的值，得到判断框中的条件．解答：解：根据框图，i﹣1表示加的项数当加到时，总共经过了10次运算，则不能超过10次，i﹣1=10执行“是”所以判断框中的条件是“i＞10”故选A点评：本题考查求程序框图中循环结构中的判断框中的条件：关键是判断出有关字母的实际意义，要达到目的，需要对字母有什么限制．9．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为( )A．y=±3x B．y=±2x C．y=±（+1）x D．y=±（﹣1）x考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，可得|BF1|=2a，求出B的坐标，代入双曲线方程，即可求出双曲线的渐近线方程．解答：解：∵过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，∴|BF1|=2a，设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得∴x=，y=∴B（，）代入双曲线方程，整理可得b=（+1）a，∴双曲线的渐近线方程为y=±（+1）x，故选：C．点评：本题考查双曲线的渐近线方程，考查学生的计算能力，比较基础．10．已知函数f（x）满足f（0）=1，且对于任意实数x，y∈R都有：f（xy+1）=f（x）f（y）﹣f（y）﹣x+2，若x∈[1，3]，则的最大值为( )A．B．C．D．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用；不等式．分析：利用赋值法，先令y=x，x=y，两式相减得到f（x）﹣f（y）+y﹣x=0，再令y=0，求出f（x）=x+1，代入化简，利用基本不等式即可求出最值．解答：解：f（xy+1）=f（x）f（y）﹣f（y）﹣x+2，①，交换x，y的位置得到f（yx+1）=f（y）f（x）﹣f（x）﹣y+2，②由①﹣②得f（x）﹣f（y）+y﹣x=0，再令y=0，则f（x）﹣f（0）﹣x=0，∵f（0）=1，∴f（x）=x+1，∴==≤，当且仅当x=∈[1，3]取等号，∴则的最大值为．故选：A．点评：本题主要考查了抽象函数式的解法，以及基本不等式的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．根据如下样本数据x 3 4 5 6 7y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0得到的回归方程为=bx+a．若a=7.9，则b的值为﹣1.4．考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：由题意可得和，由回归直线过点（，）可得b值，可得答案．解答：解：由题意可得=（3+4+5+6+7）=5，=（4+2.5﹣0.5+0.5﹣2）=0.9，∵回归方程为=bx+a．若a=7.9，且回归直线过点（5，0.9），∴0.9=5b+7.9，解得b=﹣1.4，故答案为：﹣1.4点评：本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算和回归方程的性质，属基础题．12．已知x是三角形的内角，且sinx﹣cos（x﹣π）=，则cos2x=﹣．考点：二倍角的余弦；三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：条件即sinx+cosx=，平方可得2sinxcosx=﹣，求得sinx的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2x的值．解答：解：∵x是三角形的内角，且sinx﹣cos（x﹣π）=sinx+cosx=，平方可得2sinxcosx=﹣，∴sinx=，∴cos2x=1﹣2sin2x=1﹣2×=﹣，故答案为：﹣．点评：本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．13．要分配甲、乙、丙、丁、戊5名同学去参加三项不同的教学活动，其中活动一和活动二各要2人，活动三要1人，每人只能参加一项活动，且甲，乙两人不能参加同一活动，则一共有24_种不同的分配方法．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：间接法：先求出活动一和活动二各要2人，活动共有三要1人的方法种数，去掉甲，乙两人参加同一活的方法种数即可．解答：解：由题意把甲、乙、丙、丁、戊5人分配去参加三项不同的活动，其中活动一和活动二各要2人，活动三要1人共有=30种方法，其中甲，乙两人参加同一活动+=6种方法，故符合题意得方法共30﹣6=24种，故答案为：24．点评：本题考查排列组合的应用，间接法是解决问题的关键，属中档题．一、考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC与圆交于B，C．若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=4．考点：圆周角定理；相似三角形的判定．专题：计算题．分析：由已知中PA是圆的切线，PBC是圆的割线，可得△PAB∽△PCA，结合已知和相似三角形对应边相等，先求出PB长，进而可得AB的长．解答：解：∵PA是圆的切线，PBC是圆的割线，∴∠PAB=∠PCA，又∴∠P=∠P，∴△PAB∽△PCA，∴PB：PA=PA：PC，即PA2=PB•PC=PB•（PB+BC），即36=PB•（PB+9），解得PB=3，又由AB：AC=PA：PC得：AB：8=6：12，解得：AB=4，故答案为：4．点评：本题考查的知识点是弦切角定理，相似三角形的判定与性质，难度不大，属于基础题．一、选做题15．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数，0≤φ≤π）．以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C与θ=（ρ＞0）所表示的图形的交点的直角坐标是．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：曲线C的参数方程为（φ为参数，0≤φ≤π），化为直角坐标方程，再化为极坐标方程ρ=2cosθ，联立，解得即可得出．解答：解：曲线C的参数方程为（φ为参数，0≤φ≤π），化为（x﹣1）2+y2=1，（y≥0），化为极坐标ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ，联立，解得，ρ=1，∴两图形的交点直角坐标为：．故答案为：．点评：本题考查了参数方程化为直角坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．一、选做题16．已知关于x的不等式|x+2|+|x﹣2|≤a2解集为空集，则a的取值范围为（﹣2，2）．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：利用绝对值的几何意义求出最小值，然后求解a的范围．解答：解：|x+2|+|x﹣2|≥|x+2+2﹣x|=4，关于x的不等式|x+2|+|x﹣2|≤a2解集为空集，可得a2＜4，解得a∈（﹣2，2）．故答案为：（﹣2，2）．点评：本题考查绝对值不等式的解法，函数的最值的应用，考查计算能力．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣m（x∈R），函数f（x）的最大值为2．（1）求实数m的值；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边是a、b、c，．若A为锐角，且满足f（A）=0，sinB=3sinC，△ABC的面积为，求边长a．考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的值域表示出f（x）的最大值，根据最大值为2求出m的值即可；（2）由（1）确定出的f（x）解析式，以及f（A）=0，求出A的度数，利用正弦定理化简sinB=3sinC，得到b=3c，再利用三角形面积公式列出关系式，把sinA的值代入得到bc=3，联立求出b与c的值，利用余弦定理求出a的值即可．解答：解：（1）∵f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣m=（cos2x+1）+sin2x﹣m=2sin（2x+）+﹣m，∴函数f（x）在2x+=时取得最大值，即2+﹣m=2，解得：m=；（2）∵f（A）=0，∴2sin（2A+）=0，即sin（2A+）=0，由A为锐角，解得：A=，∵sinB=3sinC，由正弦定理得b=3c①，∵△ABC的面积为，∴S△ABC=bcsinA=bcsin=，即bc=3②，联立①②，解得：b=3，c=1，∵a2=b2+c2﹣2bc•cosA=32+12﹣2×3×1×cos，∴a=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势．某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20～80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]绘制频率分布直方图，如图所示．若规定年龄分布在[20，40）岁的人为“青年人”，[40，60）为“中年人”，[60，80]为“老年人”．（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20﹣80年龄段的人口分布的概率．从该城市20﹣80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由频率分布直方图能估算所调查的600人的平均年龄．（Ⅱ）由频率分布直方图知“老年人”所点频率为，依题意，X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．解答：解：（Ⅰ）由频率分布直方图估算所调查的600人的平均年龄为：25×0.1+35×0.2+45×0.3+55×0.2+65×0.1+75×0.1=48（岁）．（Ⅱ）由频率分布直方图知“老年人”所点频率为，∴从该城市20～80年龄段市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为，依题意，X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴X的分布列为：X 0 1 2 3PEX==．点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型之一．19．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD=4，AB=CD=，∠DBC=45°（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若二面角A﹣PC﹣D的大小为60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）在底面梯形中，通过求解直角三角形求得DE=3，得到BE=DE，进一步得到AC⊥BD．再由PA⊥平面ABCD得，PA⊥BD，由线面垂直的判定得答案；（2）法一、找出二面角APCD的平面角，求解直角三角形得到AP=，再求出四边形ABCD的面积，代入体积公式得答案；解法二、由（1）知AC⊥BD．以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，求出所用点的坐标，设点P（0，﹣，t）（t＞0）．由二面角A﹣PC﹣D的大小为60°，借助于空间向量求得t，即得到AP．再求出四边形ABCD的面积，代入棱锥体积公式得答案．解答：（1）证明：设O为AC与BD的交点，作DE⊥BC于点E．由四边形ABCD是等腰梯形得，CE==1，DE=，∴BE=DE，从而得∠DBC=∠BCA=45°，∴∠BOC=90°，即AC⊥BD．由PA⊥平面ABCD得，PA⊥BD，∴BD⊥平面PAC；（2）解：法一、作OH⊥PC于点H，连结DH．如图1所示．由（1）知DO⊥平面PAC，故DO⊥PC．∴PC⊥平面DOH，从而得PC⊥OH，PC⊥DH．故∠DHO是二面角APCD的平面角，∴∠DHO=60°．在Rt△DOH中，由DO=，得OH=．在Rt△PAC中，=．设PA=x，可得=．解得x=，即AP=．∵四边形ABCD为等腰梯形，且BC=2AD=4，AB=CD=，∴，∴；解法二、由（1）知AC⊥BD．以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图2所示．由题意知各点坐标如下：A（0，﹣，0），B（2，0，0），C（0，2，0），D（﹣，0，0）．由PA⊥平面ABCD，得PA∥z轴，故设点P（0，﹣，t）（t＞0）．设=（x，y，z）为平面PDC的法向量，由=（﹣，﹣2，0），=（﹣，，﹣t）知，取y=1，得=（﹣2，1，）．又平面PAC的一个法向量为=（1，0，0），于是cosθ===，解得t=，即AP=．∵四边形ABCD为等腰梯形，且BC=2AD=4，AB=CD=，∴，∴．点评：本题主要考查空间线面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，训练了利用空间向量求空间角的问题，是中档题．20．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（e为自然对数的底数），a＞0．（1）若a=1，求函数f（x）在x=0处的切线方程；（2）若f（x）≥0对任意x∈R恒成立，求实数a的取值集合．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求函数f（x）在x=0处的切线方程；（2）根据不等式恒成立转化为求函数f（x）的最小值，求函数的导数，利用导数进行求解即可．解答：解：（1）若a=1，则f（x）=e x﹣ax﹣1，有f（0）=0，f′（x）=e x﹣1，所以斜率为f′（0）=0，所以切线为y=0．（2）求导：f′（x）=e x﹣a，令f′（x）＞0，解得x＞lna，所以函数在（lna，+∞）递增，（﹣∞，lna）递减，所以在x=lna，取得最小值．故f（x）≥0恒成立，等价于f（x）min≥0，即f（lna）=a﹣alna﹣1≥0成立．令h（a）=a﹣alna﹣1，h′（a）=﹣lna，所以知h（a）在（0，1）递增，（1，+∞）递减．有h（a）max=h（1）=0，所以当0＜a＜1或a＞1时，h（a）＜0，所以a=1时，f（x）≥0对任意x∈R恒成立．所以实数a的取值集合为{1}．点评：本题主要考查导数的综合应用，以及函数切线的求解，利用导数的几何意义，求函数的导数是解决本题的关键．21．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）过点A（1，），其焦距为2．（1）求椭圆C1的方程；（2）已知F1，F2分别是椭圆的左右焦点，P 为直线x=2 上一点．直线PF1，PF2与圆x2+y2=1的另外一个交点分别为M、N 两点，求证：直线MN 恒过一定点．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由椭圆的定义求得椭圆方程．（2）设P（2，t），直线PF1：，由得：9x2+t2（x2+2x+1）=9，根据题目条件求得．解答：解：（1）由题意知，c=1，左右焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0）所以2a=|AF1|+|AF2|=2，所以椭圆标准方程为（2）设P（2，t），直线PF1：，由得：9x2+t2（x2+2x+1）=9，即（t2+9）x2+2t2x+t2﹣9=0，﹣1×，∴，∴同理可得：N（），∴，直线MN的方程为：，∴直线MN恒过定点T（）．点评：本题主要考查椭圆方程的求法和直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题，再2015届高考中经常涉及．22．已知数列{a n}中，a1=，a n=（n≥2，n∈N）．（1）证明数列{﹣1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）证明：a1a2…a n＜2•n!．（注意：n!=1×2×3×…×n，n∈N+）．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由a n=（n≥2，n∈N）．两边取倒数：即可化为=，利用等比数列的通项公式即可得出；（2）欲证原结论，只需证＜•…•，先用数学归纳法证：•…•≥﹣…﹣，即可得出．解答：证明：（1）由a n=（n≥2，n∈N）．两边取倒数：=，化为=，∴数列是首项﹣1=﹣，公比q=等比数列，∴﹣1=，∴a n=．（2）欲证原结论，只需证＜•…•，现先用数学归纳法证：•…•≥﹣…﹣，（*）当n=1时，左右两边显然相等．假设n=k时，•…•≥﹣…﹣，则n=k+1时，•…•≥（﹣…﹣），∵（﹣…﹣）=﹣…﹣+•=﹣…﹣+≥﹣…﹣﹣．由数学归纳法可知：（*）对于∀n∈N*都成立．又﹣…﹣=1﹣=1﹣＞，故原成立．点评：本题考查了“取倒数法”、等比数列的通项公式、“数学归纳法”、不等式的性质、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

2020年重庆市巴蜀中学高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 在复平面内，复数i(i +2)对应的点的坐标为( )．A. (1,2)B. (−1,2)C. (2,1)D. (2,−1)2. 已知集合A ={1,2，3，4，5，6}，B ={x|2≤x <5,x ∈N}，则A ∩B =( )A. {3,4}B. {3,4，5}C. {2,3，4}D. {1,2，3，4，5，6}3. 已知非零向量m⃗⃗⃗ 、n ⃗ 满足|n ⃗ |=4|m ⃗⃗⃗ |，且，则m⃗⃗⃗ 、n ⃗ 的夹角为( ) A. π3B. π2C. 2π3D. 5π64. 已知某随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，且P(0<ξ<1)=0.3，则P(ξ<2)( )A. 0.8B. 0.75C. 0.7D. 0.65. 设函数f(x)=sin(2x +3π4)+cos(2x −π4)，则( ) A. y =f(x)在(−π4,0)上单调递增，其图象关于直线x =π4对称 B. y =f(x)在(−π4,0)上单调递增，其图象关于直线x =π2对称 C. y =f(x)在(−π4,0)上单调递减，其图象关于直线x =π4对称 D. y =f(x)在(−π4,0)上单调递减，其图象关于直线x =π2对称6. 若平面α⊥平面β，点A ∈α，则过点A 且垂直于平面β的直线( )A. 只有一条，不一定在平面α内B. 有无数条，不一定在平面α内C. 只有一条，一定在平面α内D. 有无数条，一定在平面α内7. 设a =log 3e ，b =e 1.5，c =log 1314，则( )A. b <a <cB. c <a <bC. c <b <aD. a <c <b8. 已知sinα−cosα=13,则cos 2(π4−α)= ( )A. 1718B. 19C. √29D. 1189. 已知AB 是圆O ：x 2+y 2=1的任意一条直径，点P 在直线x +2y −a =0(a >0)上运动，若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为4，则实数a 的值为( )A. 2B. 4C. 5D. 610.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)=K1+e−0.23(t−53)，其中K为最大确诊病例数.当I(t∗)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t∗约为()(ln19≈3)A. 60B. 63C. 66D. 6911.已知双曲线x2a2−y2b2=1的焦点到其渐近线的距离等于2，抛物线y2=2px的焦点为双曲线的右焦点，双曲线截抛物线的准线所得的线段长为4，则抛物线方程为()A. y2=4xB. y2=4√2xC. y2=8√2xD. y2=8x12.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是棱AB，BB1的中点，点P在对角线CA1上运动．当△PMN的面积取得最小值时，点P的位置是()A. 线段CA1的三等分点，且靠近点A1B. 线段CA1的中点C. 线段CA1的三等分点，且靠近点CD. 线段CA1的四等分点，且靠近点C二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知(1+2x)6=a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6，则a0+a1+⋯+a6=______ ．14.在△ABC中，若a=bcosC+csinB.则B=______ ．15.有3个本校老师和3个外校老师被安排到高三地理选考考试的3个考场，要求一个试场有一个本校老师和一个外校老师负责监考，且本校老师甲不能监考1号试场，外校老师乙不监考2号试场，则共有______种不同安排方案．16.若函数y=ln x2−x−a(x−1)有3个零点，则实数a的取值范围是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.数列{a n}满足a1=1,na n+1=(n+1)a n+n(n+1),n∈N∗．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式a n；(Ⅱ)设b n=2n⋅√a n，求数列{b n}的前n项和S n．18.为便于对某知识竞赛的答卷进行对比研究，组委会抽取了1000名男生和1000名女生的答卷，他们的考试成绩频率分布直方图如下：(注：试卷满分为100分，成绩≥80分的试卷为“优秀”等级)(Ⅰ)从现有1000名男生和1000名女生答卷中各取一份，分别求答卷成绩为“优秀”等级的概率；(Ⅱ)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“答卷成绩为优秀等级与性别有关”？(Ⅲ)根据男、女生成绩频率分布直方图，对他们成绩的优劣进行比较，并说明理由．P(K2≥K)0.0500.0250.0100.001 K 3.841 5.024 6.63510.828 (K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，其中AD//BC，且AD=2BC=2AB=4，AB⊥AD，侧面ABB1A1⊥平面ABCD，且四边形ABB1A1是菱形，∠B1BA=π3，M为A1D的中点．(1)证明：CM//平面AA1B1B；(2)求二面角A1−CD−A的余弦值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，其右顶点和上顶点分别为AB原点到直线的距离为2√55(1)求椭圆方程；(2)直线l：y=k(x+2)交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．21.已知函数f(x)=45x−ln(1+x2)，求函数f(x)在(0,+∞)上的极值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin (θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.已知a，b都是大于零的实数．(1)证明：a2b +b2a≥a+b；(2)若a>b，证明：a2+ab3+1a(a−b)>4．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵i(i+2)=−1+2i，∴复数i(i+2)对应的点的坐标为(−1,2)，故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.答案：C解析：本题主要考察了集合概念和集合交集运算，基础题。

2020年重庆市巴蜀中学高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.表示集合M中整数元素的个数，设集合，，则A. 3B. 4C. 5D. 62.已知复数z满足，则z的共轭复数是A. B. C. D.3.已知，，，则A. B. C. D.4.执行如图的框图，当输入的x分别为3和6时，输出的值的和为A. 45B. 35C. 147D. 755.己知两条直线m，n，两个平面，，，，则下列正确的是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则6.周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明．如图是赵爽弦图及注文．弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱色及黄色，其面积称为朱实、黄实，由勾股股勾朱实黄实弦实，化简得勾股弦若图中勾股形的勾股比为1：，向弦图内随机抛掷100颗图钉大小忽略不计，则落在黄色图形内的图钉颗数大约为参考数据：，A. 2B. 4C. 6D. 87.函数的大致图象为A. B.C. D.8.命题p：x，，，命题q：x，，，则p是q的什么条件A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 必要充分条件D. 非充分非必要条件9.已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，的面积为，则的周长为A. 8B. 12C. 15D.10.若函数其中，图象的一个对称中心为，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度11.已知正方体．的棱长为2，点P在线段上，且，平面经过点A，P，，则正方体被平面截得的截面面积为A.B.C. 5D.12.若对于任意的，都有，则a的最大值为A. 2eB. eC. 1D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.记等差数列的前n项和为，若，则______．14.求经过椭圆的左右焦点，和上顶点的圆的标准方程______15.已知AB为圆O：的直径，点P为直线上任意一点，则的最小值为______．16.已知直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若的面积为，则双曲线的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知等差数列的公差，若，且，，成等比数列．求数列的通项公式；设，求数列的前n项和．18.如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，BF，DE，CG都垂直于平面ABCD，且．证明：平面BCF；若，求三棱锥的体积．19.风梨穗龙眼原产厦门，是厦门市的名果，栽培历史已有100多年．龙眼干的级别按直径d的大小分为四个等级如表．级别三级品二级品一级品特级品某商家为了解某农场一批龙眼干的质量情况，随机抽取了100个龙眼干作为样本直径分布在区频数1m29n7用分层抽样的方法从样本的一级品和特级品中抽取个，其中一级品有个．求m、n的值，并估计这批龙眼干中特级品的比例；已知样本中的100个龙眼干约500克，该农场有500千克龙眼干待出售，商家提出两种收购方案：方案A：以60元千克收购；方案B：以级别分装收购，每袋100个，特级品40元袋、一级品30元袋、二级品20元袋、三级品10元袋．用样本的频率分布估计总体分布，哪个方案农场的收益更高？并说明理由．20.已知点、点及抛物线C：．若直线l过点P及抛物线C上一点Q，当最大时求直线l的方程；问x轴上是否存在点M，使得过点M的任一条直线与抛物线C交于点A、B，且点M到直线AP、BP的距离相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．21.已知函数，．讨论的单调性；定义：对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点．如果函数存在不动点，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；求曲线C上的点到直线1的距离的最大值与最小值．23.已知函数．解不等式；若，对，，使成立，求实数m 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：；；．故选：C．可求出集合B，然后进行交集的运算即可求出，从而得出．考查描述法的定义，交集的运算，理解的定义．2.答案：B解析：解：，，则z的共轭复数是．故选：B．直接由复数代数形式的除法运算化简复数z，则z的共轭复数可求．本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了共轭复数的求法，是基础题．3.答案：D解析：解：，，，，，，，故选：D．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．4.答案：D解析：解：模拟执行程序框图，可得满足条件，，满足条件，不满足条件，输出y的值为44．模拟执行程序框图，可得不满足条件，输出y的值为31．则，故选：D．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，计算并输出y的值，即可求出答案．本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的x的值是解题的关键，属于基础题．5.答案：A解析：解：对于A，由，，所以；又，所以，A正确；对于B，由，且，得出，或，所以B错误；对于C，由，且时，得出或，所以C错误；对于D，，时，m可能与平行，也可能相交，也可能在内；，且，则或，所以不一定成立，D错误．故选：A．根据空间中直线与直线、直线与平面、以及平面与平面的位置关系，判断命题的真假性即可．本题主要考查了空间中的直线与平面位置关系的判定问题，熟练掌握相应的定理和性质定理是解题的关键．6.答案：C解析：解：设勾为a，则股为，弦为，则图中大四边形的面积为，小四边形的面积为，则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率为．落在黄色图形内的图钉数大约为．故选：C．设勾为a，则股为，弦为，求出大的正方形的面积及小的正方形面积，再求出图钉落在黄色图形内的概率，乘以100得答案．本题考查几何概型，考查几何概型概率公式的应用，是基础的计算题．7.答案：D解析：解：，排除，B，C，当时，，则，排除A，故选：D．利用，以及函数的极限思想进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除法结合函数的极限思想是解决本题的关键．8.答案：A解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用数形结合是解决本题的关键．属于基础题．作出不等式对应的图象，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：如图示：，命题“”对应的图象为半径为的圆的内部，命题“”对应的图象为正方形的内部，则命题“”是命题“”的充分不必要条件，故选：A．9.答案：C解析：解：由题意可得，，所以，由余弦定理可得，，整理可得，，故周长．故选：C．由已知结合三角形的面积公式可求ab，然后结合余弦定理可求，进而可求周长．本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于基础试题．10.答案：B解析：解：根据已知函数其中，的图象过点，，可得，，解得：．再根据五点法作图可得，可得：，可得函数解析式为：故把的图象向左平移个单位长度，可得的图象，故选：B．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再根据函数的图象变换规律，诱导公式，得出结论．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，函数的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．11.答案：B解析：解：连接AP、，连接并延长交BC于E点，取中点为F，连接AF、F.在正方体中，易得正方体为正方体，，则，，∽，，即E为BC中点，故BE，因为在正方体中，四边形ABCD为正方形，，，又，，又F为中点，同理易得，四边形为菱形，故AF，则平面，平面，平面经过点A、P、，即平面为正方体被平面所截得的截面，在菱形中连接EF，则EF与必相交，交点为O，由于EF，为菱形的对角线，．，，在正方体中，易得，，又，故，，，，即正方体被平面所截得的截面面积为．故选：B．先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状求解．本题主要考察平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考察了空间想象和运算求解的能力，属于中档题．12.答案：C解析：解：由题意可得：，，，据此可得函数在定义域上单调递增，其导函数：在上恒成立，据此可得：，即实数a的最大值为1．故选：C．整理所给的不等式，构造新函数，结合导函数研究函数的单调性即可求得最终结果．本题考查函数的单调性，导数研究函数的单调性等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．13.答案：27解析：解：由等差数列的性质可得，，则．故答案为：27．由已知结合等差数列的性质及求和公式即可求解．本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的简单应用，属于基础试题．14.答案：解析：解：根据椭圆方程可得，，，设圆的方程为，将上述三点代入可得，解得，故该圆的标准方程为，故答案为：．根据条件可得三点坐标分别为，，，运用待定系数法即可求出圆的方程．本题考查利用椭圆方程求焦点坐标，顶点坐标，考查圆的方程求法，待定系数法，属于基础题．15.答案：1解析：解：由AB为圆O：的直径，可设，．点P为直线上任意一点，可设，则．的最小值为1，此时．故答案为：1．由AB为圆O：的直径，可设，点P为直线上任意一点，可设利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出．本题考查了圆的标准方程、数量积运算性质、二次函数的单调性、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：解析：解：以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，以AB为直径的圆的方程为，设，，则的面积，且，联立三式：，得，故．故答案为：．求出以AB为直径的圆的方程为，设，，则，，且，联立三式，即可求解双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质以及圆的方程的应用，考查分析问题解决问题，是中档题．17.答案：解：，，，，成等比数列，，化简得，由可得，，．数列的通项公式是；由得，．解析：由已知列式求得等差数列的首项与公差，则通项公式可求；把数列的通项公式代入，再由裂项相消法求数列的前n项和．本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．18.答案：证明：是菱形，，平面BCF，平面BCF，平面BCF．，DE都垂直于平面ABCD，，平面BCF，平面BCF，平面BCF．又，平面平面BCF，则平面BCF；解：由知，，平面ADE，则F与B到平面ADE的距离相等．．解析：由ABCD是菱形，得，得到平面再由已知可得，得到平面由面面平行的判定可得平面平面BCF，则平面BCF；由知，，得到平面ADE，则F与B到平面ADE的距离相等，再由求解三棱锥的体积．本题考查平面与平面平行的判定及性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19.答案：解：由题意得：，解得，．按方案A收购，农场收益为：元，按方案B收购，以级别分装收购，每袋100个，特级品40元袋、一级品30元袋、二级品20元袋、三级品10元袋．500千克龙眼干约有：个，其中，特级品有个，一级品有个，二级品有个，三级品有个，按方案B收购，农场收益为：元．解析：由频数分布表列出方程组，能求出m，n．按方案A收购，农场收益为元，500千克龙眼干约有个，其中，特级品有个，一级品有个，二级品有个，三级品有个，按方案B收购，求出农场收益为元，从而方案B农场的收益更高．本题考查频数、收益的求法，考查频率分布直方图、分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：当过P点与抛物线相切时，即Q为切点时，最大，显然切线的斜率存在且不为0，设过P的切线方程为：，联立切线与抛物线的方程：，整理可得：，则，解得：，所以最大时求直线l的方程为：，即，或；假设存在这样的M满足条件，设，因为点M到直线AP、BP的距离相等，所以M为的角平分线上的点，所以，所以，设过M的直线方程为：，，，联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，，，，所以，即，整理可得，所以不论t为何值，时都符合条件，所以x轴上存在使得点M到直线AP、BP的距离相等．解析：要使最大时，则过P的直线与抛物线相切，设过P的切线方程，与抛物线联立，由判别式等于0可得直线方程；假设存在，由点M到直线AP、BP的距离相等可得M在的角平分线上，所以，即，设直线AB的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，再求的表达式，使其值为0，可得恒成立，与t值无关时，，即求出定点M的坐标．本题考查直线与抛物线相切时的方程的求法，及角平分线的性质的应用，直线与抛物线的综合应用，属于中档题．21.答案：解：的定义域为，，对于函数，当时，即时，在恒成立．在恒成立，在为增函数；当，即或时，当时，由，得或，，在为增函数，减函数，为增函数，当时，由在恒成立，在为增函数，综上，当时，在为增函数，减函数，为增函数；当时，在为增函数．，存在不动点，方程有实数根，即有解，令，，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，，当时，有不动点，的范围为．解析：先求出导函数，在对分情况讨论，分别得到函数的单调性即可；由存在不动点得方程有实数根，即有解，令，利用导数得到，，所以当时，有不动点，从而得到a的取值范围．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，是中档题．22.答案：解：曲线C的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为．直线l的极坐标方程为，整理得：，转换为直角坐标方程为：．由得：直角坐标方程为该图形为以为圆心1为半径的上半圆．所以圆心到直线的距离，所以圆上到直线l的圆上到直线l的．如图所示：解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．利用点到直线的距离公式的应用求出最大值和最小值．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：不等式等价于或或解得：，故不等式的解集是；由知，当时，，，当且仅当时取“”，故，解得：，故实数m的范围是解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查存在性与恒成立问题，考查分类讨论思想，属于中档题．通过讨论x的范围，去掉绝对值号，求出各个区间上的x的范围，取并集即可；求出的最小值，问题转化为，解出即可．。

2020年高考（理科）数学（3月份）模拟试卷一、选择题1．在复平面内，复数z对应的点与1+i对应的点关于实轴对称，则＝（）A．1+i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i2．已知集合A＝{（x，y）|2x+y＝0}，B＝{（x，y）|x+my+1＝0}．若A∩B＝∅，则实数m ＝（）A．﹣2B．C．D．23．已知两个单位向量，若，则的夹角为（）A．B．C．D．4．随机变量ξ～N（μ，σ2），若P（ξ≤1）＝0.3，P（1＜ξ＜5）＝0.4，则μ＝（）A．1B．2C．3D．45．已知函数f（x）＝2sin（2x+φ）满足f（﹣x）＝f（+x），则f（）＝（）A．﹣2B．0C．D．26．已知平面α⊥平面β，直线m⊂α，α∩β＝l，则“m⊥l”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．若，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a8．若，则cos2α＝（）A．﹣1B．C．0或D．﹣1或9．已知AB为圆O：（x﹣1）2+y2＝1的直径，点P为直线x﹣y+1＝0上任意一点，则的最小值为（）A．1B．C．2D．10．射线测厚技术原理公式为，其中I0，I分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对数的底数，t为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241（241Am）低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2≈0.6931，结果精确到0.001）A．0.110B．0.112C．0.114D．0.11611．已知双曲线﹣＝1的右支与抛物线x2＝2py相交于A，B两点，记点A到抛物线焦点的距离为d1，抛物线的准线到抛物线焦点的距离为d2，点B到抛物线焦点的距离为d3，且d1，d2，d3构成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝x D．y＝x 12．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，用一平面截此棱柱与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则△MNQ面积的最小值为（）A．B．3C．2D．6二、填空题13．已知（1﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5的值为．14．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若cos A（sin C﹣cos C）＝cos B，a＝2，c ＝，则角C大小为．15．高三年段有四个老师分别为a，b，c，d，这四位老师要去监考四个班级A，B，C，D，每个老师只能监考一个班级，一个班级只能有一个监考老师．现要求a老师不能监考A 班，b老师不能监考B班，c老师不能监考C班，d老师不能监考D班，则不同的监考方式有种．16．函数f（x）＝ln﹣a|x|有两个零点，则a的取值范围是．三、解答题17．已知数列{a n}满足a1＝2，na n+1﹣（n+1）a n＝2n（n+1），设．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若，求数列{c n}的前n项和．18．为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？优秀非优秀合计男生40女生50合计100参考公式及数据：．P（K2≥k0）0.050.010.0050.001k0 3.841 6.6357.87910.82819．在底面为菱形的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，A1B＝A1D，∠BAD＝60°，AC∩BD＝O，AO⊥平面A1BD．（1）证明：B1C∥平面A1BD；（2）求二面角B﹣AA1﹣D的正弦值．20．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线l：3x+4y﹣5＝0相切．（1）求C的方程；（2）直线y＝x+m交椭圆C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且x1＞x2．已知l上存在点P，使得△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形．若P在直线MN右下方，求m的值．21．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2（a∈R）．（1）若函数f（x）有两个极值点，求a的取值范围；（2）若g（x）＝f（x）﹣x两个极值点x1，x2，试判断x1+x2与x1•x2的大小关系并证明．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线∁l的参数方程为（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（l）写出C1的极坐标方程：（2）设点M的极坐标为（4，0），射线分别交C1，C2于A，B 两点（异于极点），当∠AMB＝时，求tanα．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c＝2．（1）求a2+b+c的取值范围；（2）求证：++≥18．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数z对应的点与1+i对应的点关于实轴对称，则＝（）A．1+i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i【分析】由已知求得z，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由题意，z＝1﹣i，则＝，故选：C．2．已知集合A＝{（x，y）|2x+y＝0}，B＝{（x，y）|x+my+1＝0}．若A∩B＝∅，则实数m ＝（）A．﹣2B．C．D．2【分析】利用A∩B＝∅，所以直线2x+y＝0与直线x+my+1＝0平行，得出结论．解：因为A∩B＝∅，所以直线2x+y＝0与直线x+my+1＝0平行，所以，故选：C．3．已知两个单位向量，若，则的夹角为（）A．B．C．D．【分析】根据条件可得出（﹣2）•＝0，所以＝2•＝1，从而得出cos〈，〉＝，这样根据向量夹角的范围即可求出夹角．解：由题意得，两个单位向量，因为（﹣2）⊥，所以（﹣2）•＝0，所以＝2•＝1，所以cos＜，＞＝＝，又因为＜，＞∈[0，π]，所以＜，＞＝，故选：B．4．随机变量ξ～N（μ，σ2），若P（ξ≤1）＝0.3，P（1＜ξ＜5）＝0.4，则μ＝（）A．1B．2C．3D．4【分析】由已知求得P（ξ≥5）＝0.3，由正态分布的对称性求解．解：∵随机变量ξ～N（μ，σ2），由P（ξ≤1）＝0.3，P（1＜ξ＜5）＝0.4，得P（ξ≥5）＝0.3，由正态分布的对称性得．故选：C．5．已知函数f（x）＝2sin（2x+φ）满足f（﹣x）＝f（+x），则f（）＝（）A．﹣2B．0C．D．2【分析】由f（﹣x）＝f（+x）可知函数关于x＝对称，根据正弦函数对称轴处取得函数的最值可求φ，然后代入即可求解．解：由f（﹣x）＝f（+x）可知函数关于x＝对称，根据正弦函数对称轴处取得函数的最值可知，φ＝，k∈Z，故φ＝，f（）＝2sin（）＝0．故选：B．6．已知平面α⊥平面β，直线m⊂α，α∩β＝l，则“m⊥l”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由判定定理可以判断充要性．解：∵平面α⊥平面β，直线m⊂α，α∩β＝l，m⊥l，∴两个平面垂直，一个平面内垂直于交线的直线垂直与另外一个平面，则m⊥β，∵平面α⊥平面β，直线m⊂α，α∩β＝l，m⊥β，∴两个平面垂直，一个平面内的直线垂直于另外一个平面，则垂直与交线，则m⊥l，故选：C．7．若，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a【分析】利用指数函数对数函数的单调性即可得出．解：，，所以1＜a＜c，b＝log3e＜log33＝1，故c＞a＞b．故选：B．8．若，则cos2α＝（）A．﹣1B．C．0或D．﹣1或【分析】利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得cosα＝0或，进而利用二倍角的余弦函数公式即可求解．解：由，得，所以，所以cosα＝0或，故cos2α＝2cos2α﹣1＝﹣1，或．故选：D．9．已知AB为圆O：（x﹣1）2+y2＝1的直径，点P为直线x﹣y+1＝0上任意一点，则的最小值为（）A．1B．C．2D．【分析】运用向量加减运算和数量积的性质，可得＝（+）•（+）＝||2﹣r2，即为d2﹣r2，运用点到直线的距离公式，可得d的最小值，进而得到结论．解：由＝（+）•（+）＝2+•（+）+•＝||2﹣r2，即为d2﹣r2，其中d为圆外点到圆心的距离，r为半径，因此当d取最小值时，的取值最小，可知d的最小值为＝，故的最小值为2﹣1＝1．故选：A．10．射线测厚技术原理公式为，其中I0，I分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对数的底数，t为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241（241Am）低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2≈0.6931，结果精确到0.001）A．0.110B．0.112C．0.114D．0.116【分析】由题意可得＝1×e﹣7.6×0.8μ，两边取自然对数，则答案可求．解：由题意可得，＝1×e﹣7.6×0.8μ，∴﹣ln2＝﹣7.6×0.8μ，即6.08μ≈0.6931，则μ≈0.114．∴这种射线的吸收系数为0.114．故选：C．11．已知双曲线﹣＝1的右支与抛物线x2＝2py相交于A，B两点，记点A到抛物线焦点的距离为d1，抛物线的准线到抛物线焦点的距离为d2，点B到抛物线焦点的距离为d3，且d1，d2，d3构成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝x D．y＝x【分析】设A，B的坐标，由题意可得由d1，d2，d3的值，再由d1，d2，d3构成等差数列可得A，B纵坐标的值，联立双曲线与抛物线的方程可得A，B的纵坐标之和，可得a，b的关系，进而求出双曲线的渐近线的方程．解：由题意抛物线的准线方程为：y＝﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的性质可得：d1＝y1+，d2＝p，d3＝y2，由d1，d2，d3构成等差数列可得2d2＝d1+d3，即2p＝y1++y2，所以可得y1+y2＝p联立双曲线与抛物线的方程可得：，整理可得a2y2﹣2pb2y+a2b2＝0，所以y1+y2＝，所以可得＝p，即a2＝2b2，所以渐近线的方程为y＝x＝±x，故选：A．12．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，用一平面截此棱柱与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则△MNQ面积的最小值为（）A．B．3C．2D．6【分析】由题意画出图形，以AC中点O为坐标原点，OB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，设M（0，﹣1，a），N（，0，b），Q（0，1，c），不妨设N为直角，可得，写出三角形面积，再由基本不等式求最值．解：如图，以AC中点O为坐标原点，OB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，设M（0，﹣1，a），N（，0，b），Q（0，1，c），不妨设N为直角，，，∴，S＝＝．故选：B．二、填空题：共4小题，每小题5分.13．已知（1﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5的值为81．【分析】分析其特点，直接令x＝﹣1即可求解．解：因为（1﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x＝﹣1可得：a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5＝[1﹣2×（﹣1）]5＝81．故答案为：81．14．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若cos A（sin C﹣cos C）＝cos B，a＝2，c ＝，则角C大小为．【分析】利用正弦定理、和差公式、诱导公式即可得出．解：因为cos A（sin C﹣cos C）＝cos B，所以cos A（sin C﹣cos C）＝﹣cos（A+C），所以cos A sin C＝sin A sin C，所以sin C（cos A﹣sin A）＝0，因为C∈（0，π），∴sin C≠0，所以cos A＝sin A，则tan A＝1，所以，又，则，因为c＜a，所以，故．故答案为：．15．高三年段有四个老师分别为a，b，c，d，这四位老师要去监考四个班级A，B，C，D，每个老师只能监考一个班级，一个班级只能有一个监考老师．现要求a老师不能监考A 班，b老师不能监考B班，c老师不能监考C班，d老师不能监考D班，则不同的监考方式有9种．【分析】根据题意，a老师不能监考A班，则a老师可以监考B、C、D班，据此分3种情况讨论，求出每种情况下的监考方式数目，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，分3种情况讨论：①、当a老师监考B班时，b老师有3种情况，剩下的两位老师有1种情况，此时有3种不同的监考方式，②，当a老师监考C班时，同理此时有3种不同的监考方式，③、当a老师监考D班时，同理此时有3种不同的监考方式，则有3+3+3＝9种不同的监考方式；故答案为：916．函数f（x）＝ln﹣a|x|有两个零点，则a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【分析】依题意，函数与函数h（x）＝a|x|在（﹣1，1）上有一个横坐标非零的交点，先研究a＞0的情况，作出函数图象，由图象观察可知，此时a＞2，由对称性可知，当a＜0时，a＜﹣2，由此即可得解．解：函数f（x）的定义域为（﹣1，1），显然x＝0是函数一个零点，依题意，函数与函数h（x）＝a|x|在（﹣1，1）上有一个横坐标非零的交点，易知函数g（x）为奇函数，函数h（x）＝a|x|为偶函数，故先研究a＞0的情况，又x→1时，g（x）→+∞，，g′（0）＝2，则a＞2时，函数g（x）与函数h（x）在（0，1）上必有一个交点，满足要求．由对称性可知，当a＜0时，a＜﹣2．综上，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．三、解答题：共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}满足a1＝2，na n+1﹣（n+1）a n＝2n（n+1），设．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若，求数列{c n}的前n项和．【分析】本题第（1）题根据，可得a n＝nb n，然后代入递推式，可发现数列{b n}是一个等差数列，即可得到数列{b n}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{c n}的通项公式，然后运用分组求和法计算出前n项和．解：（1）依题意，由可得，a n＝nb n．∵na n+1﹣（n+1）a n＝2n（n+1），∴n（n+1）b n+1﹣（n+1）nb n＝2n（n+1），即b n+1﹣b n＝2，又∵b1＝a1＝2，∴数列{b n}是以2为首项，以2为公差的等差数列．∴b n＝2+2（n﹣1）＝2n．（2）由（1）知，，设数列{c n}的前n项和为S n，则＝（41+42+…+4n）﹣（1+2+…+n）＝＝．18．为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？优秀非优秀合计男生40女生50合计100参考公式及数据：．P（K2≥k0）0.050.010.0050.001k0 3.841 6.6357.87910.828【分析】（1）利用频率和为1求解a值，再由矩形中点的横坐标乘以频率作和可得这100名学生的平均成绩；（2）由频率分布直方图填写2×2列联表，求出K2的观测值，结合临界值表得结论．解：（1）由题可得（0.005+0.010+0.020+0.030+a+0.010）×10＝1，解得a＝0.025．∵45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1＝74，∴估计这100名学生的平均成绩为74；（2）由（1）知，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的有100×（0.25+0.1）＝100×0.35＝35人，由此可得完整的2×2列联表：优秀非优秀合计男生10 4050女生252550合计3565100∵K2的观测值，∴有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”．19．在底面为菱形的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，A1B＝A1D，∠BAD＝60°，AC∩BD＝O，AO⊥平面A1BD．（1）证明：B1C∥平面A1BD；（2）求二面角B﹣AA1﹣D的正弦值．【分析】（1）根据题意，得到四边形A1B1CD是平行四边形，得到B1C∥A1D，再根据线面平行的判定定理证明即可；（2）根据题意，以O为原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面A1AB的法向量和平面A1AD的法向量，利用夹角公式求出即可．解：（1）依题意，A1B1∥AB，A1B1C＝AB，AB∥CD，AB＝CD，∴A1B1＝CD，A1B1∥CD，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴B1C∥A1D，∵B1C⊄平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD；（2）∵AO⊥平面A1BD，∴AO⊥A1O，∵A1B＝A1D且O为BD的中点，∴A1O⊥BD，∵AO、BD⊂平面ABCD，且AO∩BD＝O，∴A1O⊥平面ABCD，以O为原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则，B（0，1，0），D（0，﹣1，0），A1（0，0，1），∴，设平面A1AB的法向量为，则，∴，取x＝1，则，设平面A1AD的法向量为，则，∴，取x＝1，则∴，设二面角B﹣AA1﹣D的平面角为α，则，∴二面角B﹣AA1﹣D的正弦值为．20．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线l：3x+4y﹣5＝0相切．（1）求C的方程；（2）直线y＝x+m交椭圆C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且x1＞x2．已知l上存在点P，使得△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形．若P在直线MN右下方，求m的值．【分析】（1）由点到直线的距离公式列式求b，再由离心率结合隐含条件求得a，则椭圆方程可求；（2）直线y＝x+m的倾斜角为45°，且△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形，P在直线MN右下方，可得NP∥x轴．过M作NP的垂线，垂足为Q，则Q为线段NP的中点，求得P（2x1﹣x2，y2），代入直线l的方程，由，得4x2+6mx+3m2﹣3＝0．再由根与系数的关系联立求解m值．解：（1）依题意，，∵离心率，∴，解得，∴椭圆C的标准方程为；（2）∵直线y＝x+m的倾斜角为45°，且△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形，P在直线MN右下方，∴NP∥x轴．过M作NP的垂线，垂足为Q，则Q为线段NP的中点，∴Q（x1，y2），故P（2x1﹣x2，y2），∴3（2x1﹣x2）+4y2﹣5＝0，即3（2x1﹣x2）+4（x2+m）﹣5＝0，整理得6x1+x2+4m﹣5＝0．①由，得4x2+6mx+3m2﹣3＝0．∴△＝36m2﹣48m2+48＞0，解得﹣2＜m＜2，∴，②，③由①﹣②得，，④将④代入②得x2＝﹣1﹣m，⑤将④⑤代入③得，解得m＝﹣1．综上，m的值为﹣1．21．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2（a∈R）．（1）若函数f（x）有两个极值点，求a的取值范围；（2）若g（x）＝f（x）﹣x两个极值点x1，x2，试判断x1+x2与x1•x2的大小关系并证明．【分析】（1）根据题意可得f′（x）＝0有两个根⇒＝2a有两个根，令h（x）＝与y＝2a有两个交点，求导，分析单调性，值域，进而得出答案．（2）g（x）＝f（x）﹣x＝xlnx﹣ax2﹣x，根据题意得g′（x）＝0，（x＞0）有两个根x1，x2⇒a＝有两个根⇒y＝a与p（x）＝有两个交点，求导，分析p（x）单调性，最值，值域，进而得出a的取值范围，设x1＜x2，则1＜x1＜e，x2＞e，所以x1+x2＞x2＞e，因为p（x）在（e，+∞）上单调递减，所以＜＝a，①又因为x1，x2是lnx﹣2ax＝0的两个根，所以＝a②，由①②可得＜＝，进而可得出结论．解：（1）f′（x）＝lnx+1﹣2ax＝0有两个根，即＝2a有两个根，令h（x）＝与y＝2a有两个交点，h′（x）＝，（x＞0）当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，当x＝1时，h（x）max＝h（1）＝1，x→0时，h（x）→﹣∞，x→+∞时，h（x）→0，所以0＜2a＜1，即0＜a＜．（2）g（x）＝f（x）﹣x＝xlnx﹣ax2﹣x，g′（x）＝lnx﹣2ax＝0，（x＞0）有两个根x1，x2，即a＝有两个根，y＝a与p（x）＝有两个交点，p′（x）＝，所以当x∈（0，e）时，p′（x）＞0，p（x）单调递增，当x∈（e，+∞）时，p′（x）＜0，p（x）单调递减，p（x）max＝p（e）＝，又因为当x∈（0，1）时，p（x）＜0；当x＝1时，p（1）＝0；当x∈（1，+∞）时，p （x）＞0．所以0＜a＜，不妨设x1＜x2，则1＜x1＜e，x2＞e，所以x1+x2＞x2＞e，因为p（x）在（e，+∞）上单调递减，所以＜＝a，①因为x1，x2是lnx﹣2ax＝0的两个根，所以lnx1﹣2ax1＝0，lnx2﹣2ax2＝0，所以＝a，②由①②可得＜＝，所以x1+x2＜x1x2．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线∁l的参数方程为（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（l）写出C1的极坐标方程：（2）设点M的极坐标为（4，0），射线分别交C1，C2于A，B 两点（异于极点），当∠AMB＝时，求tanα．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用直线和圆的位置关系，建立方程组，进一步求出交点的坐标，最后利用两直线间的位置关系及夹角公式的应用，最后利用方程的解法的应用求出结果．解：（1）曲线∁l的参数方程为（φ为参数），转换为直角坐标方程为（x ﹣2）2+y2＝4，转换为极坐标方程为ρ＝4cosθ．（2）曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．转换为直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4．设点M的极坐标为（4，0），射线分别交C1，C2于A，B两点（异于极点），如图所示：设射线OA的方程为y＝kx，则：，解得．同理B．由于∠A＝，∠AMB＝时，所以BM与AO的夹角为，由于，k AO＝k，利用两直线的夹角公式的应用，整理得，即：2k3﹣k2+2k﹣1＝0或k2﹣2k+1＝0．解得k＝或k＝1．由于，所以k＝1（舍去）．故k＝．所以tan．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c＝2．（1）求a2+b+c的取值范围；（2）求证：++≥18．【分析】（1）由条件等式将b+c用a表示，再从a＞0，b＞0，c＞0，进一步求出a的范围，将问题转化为求二次函数的取值范围，二次函数配方，即可求解；（2）根据已知条件转化证明，利用基本不等式即可得证．解：（1）∵a＞0，b＞0，c＞0且a+b+c＝2，∴2﹣a＝b+c＞0，∴0＜a＜2，∴，∴，∴a2+b+c的取值范围为．（2）∵a＞0，b＞0，c＞0，∴，＝，当且仅当时等号成立，又a+b+c＝2，∴．。

2017年重庆巴蜀中学高三下三模考试数文第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，，故.点睛：本题主要考查集合交集的概念，考查一元二次不等式的解法. 集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.2.是虚数单位，若复数满足，则复数的实部与虚部的和是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】试题分析：，故复数的实部与虚部的和是2，选C考点：复数的运算3. 设，，则“”是“”的（）A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】不能推出，反过来，若则成立，故为必要不充分条件.4. 已知角满足，则的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分子分母同时除以得，原式5. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒肉夹谷56粒，则这批米内夹谷约为（）A. 1365石B. 338 石C. 168石D. 134石【答案】B【解析】试题分析：由题意得，这批米内夹谷约为石，选C．考点：样本估计总体的实际应用．6. 已知向量，，则在方向上的投影为（）A. B. 8 C. D. ...【答案】D【解析】依题意有投影为.7. 下图为某一函数的求值程序框图，根据框图，如果输出的的值为3，那么应输入（）A. 1B. 2C. 3D. 6【答案】B8. 若为坐标原点，已知实数满足条件，在可行域内任取一点，则的最小值为（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】表示原点到可行域的距离，画出可行域如下图所示，由图可知，圆点到直线的距离最小，最小距离.9. 定义在上的奇函数满足，且当时，，则（）A. -2B. 2C.D.【答案】D【解析】由得函数是周期为的周期函数，且为奇函数，故.10. 如下图所示某物体的三视图，则求该物体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是由一个正方体，截去一个四分之一圆锥和四分之一球所得，故体积为11. 已知双曲线上有不共线三点，且的中点分别为，若满足的斜率之和为，则（）A. 2B.C. -2D. 3【答案】C【解析】设，将两点坐标代入双曲线方程，作差并化简得，即，同理可得，依题意有，即.点睛：本题主要考查直线和双曲线的位置关系，考查有关圆锥曲线中点弦问题的点差法，考查化归与转化的数学思想方法.由于题目涉及圆锥曲线弦的中点，故可用点差法解决.点差法的操作是，先设出两点的坐标，代入曲线的方程，然后作差，化简成斜率和中点的关系式，再结合题目所给已知条件来解题.12. 已知实数，函数，若关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B...【解析】当时，为增函数，当时，，为增函数，令，解得，故函数在上递减，上递增，最小值为.由此画出函数图像如下图所示，令，因为，所以，则有，所以，所以，要有三个不同实数根，则需，解得.点睛：本题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，考查导数与单调性、极值和最值等知识.由于函数为分段函数，故先对函数的两个分段分别进行研究，当时，直接利用单调性可画出函数图像，当时可利用函数导数画出和函数的图像.再根据三个实数根结合图像即可求得的取值范围.二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. ，，三个数中最大的数是__________．【答案】【解析】试题分析：，，，所以最大的数是．考点：指数与对数14. 在中，角所对的边分别为，且，，，则__________．【答案】4【解析】由正弦定理得.由余弦定理得，解得.15. 已知三棱锥内接于球，，当三棱锥的三个侧面的面积之和最大时，球的表面积为__________．【答案】【解析】由于三条侧棱相等，根据三角形面积公式可知，当两两垂直时，侧面积之和最大.此时可看成正方体一个顶点的三条侧棱，其外接球直径为正方体的体对角线，即，故球的表面积为.16. 已知为函数的图象上任一点，过点作直线分别与圆相切于两点，直线交轴于点，交轴于点，则的面积为__________．【答案】点睛：本题主要考查直线和双曲线的位置关系，考查圆与圆的位置关系，考查圆的切线方程等知识.由于为双曲线上任意一点，故可设其横坐标，然后纵坐标用横坐标来表示.过引单位圆的两条切线，要求切点所在直线方程，则可利用两圆方程作差，即可得到相交弦所在的直线方程.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 现有甲，乙，丙，丁四位同学课余参加巴蜀爱心社和巴蜀文学风的活动，每人参加且只能参加一个社团的活动，并且参加每个社团都是等可能的.（1）求巴蜀爱心社和巴蜀文学风都至少有1人参加的概率；（2）求甲，乙在同一个社团，丙，丁不在同一个社团的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：利用列举法得到基本事件总数有种，（1）不符合题目要求的有种，故概率为.（2）符合题目要求的有种，故概率为.试题解析：甲、乙、丙、丁4个学生课余参加巴蜀爱心社和巴蜀文学风的情况共有16种情形，即有16个基本事件．（1）文学社和街舞社没有人参加的基本事件有2个，概率为；（2）甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的基本事件有4个，概率为．18. 在等差数列中，公差，，且成等比数列....（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为和的关系，解方程可求得的通项公式.（2）由于是一个等差数列乘以一个等比数列，故利用错位相减法求得其前项和.试题解析：（1）由成等比数列知，，即，即，又，解得，故．（2），则（1）由（1）式两边有（2）由（1）—（2）有化简得．19. 如图，平面平面，四边形为菱形，四边形为矩形，分别是的中点，，.（1）求证: 平面；（2）若三棱锥的体积为，求的长.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连接利用菱形的几何性质可知，根据面面垂直的性质定理可知平面，故，在矩形中，，是中点，故，由此证得平面.（2）设，则，，由此得到三角形的面积.利用等体积法可求得的值，从而得到的值.试题解析：（1）证明：连接，在菱形中，，且，∴为等边三角形，又∵为的中点，∴，∵，∴，又∵平面平面，∴平面∴平面，又平面，∴，∵在矩形中，为的中点，∴为等腰直角三角形，∴，同理可证：∴，∴，∴，又∵，且平面，∴平面（2）设，则，...在中，，，∴∴∵平面平面，为交线，，∴平面,设为点到平面的距离，则，∴∵，∴所以20. 已知椭圆（）离心率为，过点的椭圆的两条切线相互垂直.（1）求此椭圆的方程；（2）若存在过点的直线交椭圆于两点，使得（为右焦点），求的范围. 【答案】（1）；（2）或.【解析】试题分析：（1）根据椭圆的对称性可知，两条切线斜率为，由此求得切线的方程，联立切线的方程和椭圆的方程，利用判别式等于零列一个方程，结合离心率为可求得的值.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，消去，写出韦达定理，将坐标代入可求得直线方程两个参数的等量关系，由此求得的取值范围.试题解析：（1）由椭圆的对称性，不妨设在轴上方的切点为，轴下方的切点为，则，的直线方程为，所以，，则，所以方程为椭圆方程为。

试卷第1页，共7页绝密★启用前【全国百强校word 】重庆市巴蜀中学2017届高三第二次诊断考试模拟数学（理）试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：69分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知双曲线的实轴长为2，且它的一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2、不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作.已知，给出下列结论： ①是偶函数；②是周期函数，且最小值周期为；③的单调递减区间为；试卷第2页，共7页④的值域为.其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33、动直线与抛物线：相交于两点，为坐标原点，若，则的最大值为（ ）A ．B ．8C ．16D ．244、如图所示为函数的部分图象，其中两点之间的距离为5，则函数图象的对称轴为（ ）A ．B ．C ．D ．5、执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．86、设，则的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．试卷第3页，共7页7、点的坐标满足约束条件，由点向圆：作切线，切点为，则线段的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．8、已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．9、中国古代数学名著《九章算术》中记载：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共猜得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？其意是：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，他们共猎获五只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配，问各得多少.若五只鹿的鹿肉共500斤，则不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为A ．200B ．300C ．D ．40010、若，则函数在区间内单调递增的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．11、已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ）A ．B ．C ．D ．试卷第4页，共7页12、已知集合，，则集合的子集个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8试卷第5页，共7页第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、下图是两个腰长均为的等腰直角三角形拼成的一个四边形，现将四边形沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的体积为__________ ．14、已知正项等比数列的公比，且满足，，设数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，则实数的最大值为_________．15、若（其中），则多项式展开式的常数项为________．16、已知向量，，，且，则等于________．三、解答题（题型注释）17、选修4-5：不等式选讲 已知函数.（1）画出函数的图象；试卷第6页，共7页（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.18、选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数）.（1）若直线与圆的相交弦长不小于，求实数的取值范围；（2）若点的坐标为，动点在圆上，试求线段的中点的轨迹方程.19、已知函数（为实数，为自然对数的底数），曲线在处的切线与直线平行. （1）求实数的值，并判断函数在区间内的零点个数；（2）证明：当时，.20、已知点是圆心为的圆上的动点，点，为坐标原点，线段的垂直平分线交于点.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过原点作直线交（1）中的轨迹于点，点在轨迹上，且，点满足，试求四边形的面积的取值范围.21、团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高校的消费方式，不少商家同时加入多家团购网.现恰有三个团购网站在市开展了团购业务，市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况，从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了50家进行调查，他们加入这三家团购网站的情况如下图所示.试卷第7页，共7页（1）从所调查的50家商家中任选两家，求他们加入团购网站的数量不相等的概率； （2）从所调查的50家商家中任取两家，用表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望； （3）将频率视为概率，现从市随机抽取3家已加入团购网站的商家，记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为，试求事件“”的概率.22、如图（1），在五边形中，，，，，是以为斜边的等腰直角三角形.现将沿折起，使平面平面，如图（2），记线段的中点为.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小.23、已知的三个内角所对的边分别为，且满足.（1）求角的大小； （2）若动点在的外接圆上，且点不在的同一侧，，试求面积的最大值.参考答案1、D2、B3、C4、B5、C6、D7、B8、A9、B10、C11、B12、C13、14、15、16、17、（1）（2）.18、（1）；（2）.19、（1），没有零点;（2）见解析.20、（1）;（2）.21、（1）;（2）从而的分布列为;（3）.22、（1）见解析；（2）.23、（1）;（2）.【解析】1、由题意知，当焦点在轴上时，渐近线，即为，即，所以此时双曲线的标准方程为；当焦点在轴上时，渐近线，即为，即，此时双曲线的标准方程为，即双曲线的标准方程是或，对照各选项，只有D 符合，故选D.2、因为，所以不是偶函数，答案①不正正确；又因为，所以答案②也不正确；由于函数是单调递增函数，且，因此在上单调递减，所以其值域为，故答案④也不正确；则答案③是正确的，应选答案B 。

重庆市巴蜀中学2017届高三第二次诊断考试模拟数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合}4,3,2,1{=U ，}2,1{=M ，}3,2{=N ，则=)(N M C U Y （ ） A ．}3,2,1{ B ．}2{ C ．}4,3,1{ D ．}4{2.对两个变量x 、y 进行线性回归分析，计算得到相关系数9962.0-=r ，则下列说法中正确的是（ ）A ．x 与y 正相关B ．x 与y 具有较强的线性相关关系C ．x 与y 几乎不具有线性相关关系D ．x 与y 的线性相关关系还需进一步确定 3.=+οοοο80sin 40cos 10sin 40sin （ ）A ．21 B ．23- C ．ο50cos D ．234.已知向量)1,1(=a ，),2(x b =，若b a +与b a -平行，则实数x 的值是（ ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．25.下列函数中，与x y =相同的函数是（ ）A ．2x y = B ．xy 10lg = C.xx y 2= D ．1)1(2+-=x y6.下图程序框图表示的算法的功能是（ ）A ．计算小于100的奇数的连乘积B ．计算从1开始的连续奇数的连乘积C.从1开始的连续奇数的连乘积，当乘积大于100时，计算奇数的个数 D ．计算100531≥⨯⨯⨯⨯n Λ时的最小的n 值7.若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥+1121y y x y x ，则y x z -=3的最小值为（ ）A ．7-B ．9- C.1- D ．5-8.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x 为（ ）A ．2.1B ．6.1 C.8.1 D ．4.29.已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“)(x f 为]1,0[上的增函数”是“)(x f 为]4,3[上的减函数”的（ ） A ．既不充分也不必要条件 B ．充分不必要条件 C. 必要不充分条件D ．充要条件10.如图，某海上缉私小队驾驶缉私艇以h km /40的速度由A 处出发，沿北偏东ο60方向进行海面巡逻，当航行半小时到达B 处时，发现北偏西ο45方向有一艘船C ，若船C 位于A 的北偏东ο30方向上，则缉私艇所在的B 处与船C 的距离是（ ）km .A ．)26(5+B ．)26(5-C. )26(10- D ．)26(10+11.如图，1F ，2F 是双曲线)0(124222>=-a y ax 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线交于点B A ,，若2ABF ∆为等边三角形，则21F BF ∆的面积为（ ）A ．8B ．28 C.38 D ．1612.已知e 为自然对数的底数，若对任意的]1,0[1∈x ，总存在唯一的]1,1[2-∈x ，使得02221=-+a e x x x 成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．],1[eB ．],1(e C.],11(e e +D ．],11[e e+ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知yi x i +=+1)1(，其中y x ,是实数，i 是虚数单位，则=+||yi x ．14.“开心辞典”中有这样的问题，给出一组数，要你根据规律填出后面的几个数，现给出一组数：ΛΛ,323,325,,41,83,21,21---它的第8个数可以是． 15.已知⎩⎨⎧<->=0,10,1)(x x x f ，则不等式5)2()2(≤+++x f x x 的解集是．16.将函数x x f 2cos 2)(=的图象向右平移6π个单位得到函数)(x g 的图象，若函数)(x g 在区间]3,0[a 和]37,2[πa 上均单调递增，则实数a 的取值范围是． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在等比数列}{n a 中，已知148a a =，且321,1,a a a +成等差数列. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列|}4{|-n a 的前n 项和n S .18.某校高三文科500名学生参加了5月份的模拟考试，学校为了了解高三文科学生的数学、语文情况，利用随机数表法从中抽取100名学生的成绩进行统计分析，抽出的100名学生的数学、语文成绩如下表：（1）将学生编号为：001，002，003，……，499，500.若从第5行第5列的数开始右读，请你依次写出最先抽出的5个人的编号（下面是摘自随机数表的第4行至第7行）（2）若数学的优秀率为%35，求n m ,的值；（3）在语文成绩为良好的学生中，已知11,13≥≥n m ，求数学成绩“优”比“良”的人数少的概率.19.如图，直三棱柱111C B A ABC -的底面为正三角形，G F E ,,分别是11,,BB CC BC 的中点. （1）若1BB BC =，求证：⊥1BC 平面AEG ；（2）若D 为AB 的中点，ο451=∠D CA ，四棱锥BD B A C 11-的体积为26，求三棱锥AEC F -的表面积.20.已知抛物线C ：)0(22>=p py x ，过焦点作斜率为1的直线l 交抛物线C 于N M ,两点，16||=MN .（1）求抛物线C 的方程；（2）已知动圆P 的圆心在抛物线上，且过定点)4,0(D ，若动圆P 与x 轴交于B A ,两点，且||||DB DA <，求||||DB DA 的最小值.21.已知函数2)(--=x me x f x（其中e 为自然对数的底数）（1）若0)(>x f 在R 上恒成立，求m 的取值范围；（2）若)(x f 的两个零点为21,x x ，且21x x <，求)1)((1212m e e e e y x x x x -+-=的值域.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==ϕϕsin 22cos 2y x （ϕ为参数），点B A ,是曲线C 上两点，点B A ,的极坐标分别为)3,(1πρ，)65,(2πρ. （1）写出曲线C 的普通方程和极坐标方程； （2）求||AB 的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数2|||12|)(--+=x x x f . （1） 解不等式0)(≥x f ；（2） 若存在实数x ，使得a x x f +≤||)(，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题1-5 DBDDB 6-10 DABDC 11-12CC 二、填空题13.214.32115.}23|{≤x x 16. ]2,3[ππ三、解答题17.解：（1）设数列}{n a 的公比为q ，则13148a q a a =⋅=，∴2=q ，又321,1,a a a +成等差数列，即312)1(2a a a +=+，∴21=a ，∴n n a 2=.（2）当1=n 时，0241<-=-a ，∴21=S ，当2≥n 时，04≥-n a .∴242)1(421)21(2)1(4222)4()4(2122+-=----=--+++=-++-+=+n n n a a S n nnn n ΛΛ. 又当1=n 时，上式也满足，∴当*∈N n 时，2421+-=+n S n n .18.解：（1）编号依次为：385，482，462，231，309. （2）由35.010098=++m 得18=m ，因为10011119918898=++++++++n ，得17=n .（3）由题意35=+n m ，且11,13≥≥n m ，所以满足条件的),(n m 有)22,13(，)21,14(，)20,15(，)19,16(，)18,17(，)17,18(，)16,19(，)15,20(，)14,21(，)13,22(，)12,23(，)11,24(共12种，且每组出现都是等可能的.记“数学成绩‘优’比‘良’的人数少”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有)22,13(，)21,14(，)20,15(，)19,16(，)18,17(，)17,18(共5种，所以125)(=M P . 19.（1）证明：如图，因为三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱，所以1BB AE ⊥，又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点，所以BC AE ⊥，又B BB BC =1I ，所以⊥AE 平面11BCC B ，则1BC AE ⊥，连接C B 1，易知四边形11BCC B 为正方形，则C B BC 11⊥，又C B GE 1//，则GE BC ⊥1，因为E AE GE =I ，所以⊥1BC 平面AEG .（2）因为ABC ∆是正三角形，所以AB CD ⊥，又三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱，所以1AA CD ⊥，所以⊥CD 平面11ABB A ，所以D A CD 1⊥. 设a AB =，由题可知，ο451=∠D CA ，所以a AB CD D A 23231===. 在D AA Rt 1∆中，a AD D A AA 222211=-=， 所以2622232361)(213111111=⨯⨯⨯=⨯+⨯⨯⨯=-a a a AA B A BD CD V BD B A C ，∴2=a ，故三棱锥AEC F -的表面积232331211423212222122121+=⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=S . 20.解：（1）设抛物线的焦点为)2,0(p F ，则直线l ：2p x y +=，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=pyx p x y 222得0222=--p px x .∴p x x 221=+，∴p y y 321=+，∴164||21==++=p p y y MN ，∴4=p ，∴抛物线C 的方程为y x 82=.(2)由抛物线C 关于y 轴对称，设动圆圆心),(00y x P （00≥x ），)0,(1x A ，)0,(2x B ，则0208y x =，且圆P ：20202020)4()()(-+=-+-y x y y x x ，令0=y ，整理得01622002=-+-x x x x ，解得4,40201+=-=x x x x ，32816132832816)4(16)4(||||02000200202020++-=+++-=+++-=x x x x x x x x x DB DA ， 当00=x 时，1||||=DB DA ，当00≠x 时，832161||||00++-=x x DB DA ，∵00>x ，∴283200≥+x x ，12223828161||||-=-=+-≥DB DA ，∵112<-，∴||||DB DA 的最小值为12-.21.（1）解：由0)(>x f 得02>--x me x，即有x e x m 2+>，令xex x u 2)(+=，则xex x u 1)('--=，令10)(',10)('->⇒<-<⇒>x x u x x u ，∴)(x u 在)1,(--∞上单调递增，在),1(+∞-上单调递减， ∴e u x u =-=)1()(max ，∴e m >. （2）由题意，0211=--x mex ，0222=--x me x ，)(11)()(121212121212121212x x e e x x e e e e e e m e e e e y x x x x x x x x x x x x x x --+-=--+-=--+-=--.令)0(12>=-t t x x ，)0(11)(>-+-=t t e e t g t t ，又0)1(1)('22<+--=t t e e t g ，∴)(t g 在),0(+∞上单调递减，∴0)0()(=<g t g ，)0,()(-∞∈t g ，∴)1)((1212m ee e ey x x x x -+-=的值域为)0,(-∞. 22 .解：（1）由参数方程⎩⎨⎧+==ϕϕsin 22cos 2y x （ϕ为参数），得普通方程为4)2(22=-+y x ，由普通方程4)2(22=-+y x 得θρsin 4=.（2）由两点极坐标)3,(1πρ，)65,(2πρ，可知2π=∠AOB ，所以AB 为直径，故4||=AB . 23.解：（1）当21-≤x 时，由212≥+--x x ，得3-≤x ，∴3-≤x ； 当021<<-x 时，由212≥++x x ，得31≥x ，∴x 无解；当0≥x 时，由212≥-+x x ，得1≥x ，∴1≥x ， 综上所述，原不等式的解集为3|{≤x x 或}1≥x ；（2）a x x f +≤||)(，即为a x x +≤-+2||2|12|，即21|||21|ax x +≤-+，由绝对值的几何意义，知|||21|x x -+的最小值为21-，故要满足题意，只需21-21a+≤，解得3-≥a .故实数a 的取值范围为),3[+∞-.。

巴蜀中学2020届高三下学期期中测试(线上)理科数学(满分: 150分考试时间: 120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.设复数z=(a+i)2在复平面上的对应点在虚轴负半轴上，则实数a 的值是 A. -1B.1.C.D 2.质地均匀的骰子六个面分别刻有1到6的点数,掷两次骰子，得到向上一面的两个点数,则下列事件中，发生可能性最大的是A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已知函数2()(0,0)f x x ax b a b =++<>有两个不同的零点.12,,x x -2和12,x x 三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，则函数f(x)的解析式为2.()54A f x x x =-- B.2()54f x x x =++ 2.()54C f x x x =-+D.2()54f x x x =+-4.若l,m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m”是“l//α”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数222,0(),|log |,0x x x f x x x ⎧--≤=⎨>⎩,若1234,x x x x <<<且1234()()()()f x f x f x f x ===。

现有结论:122,x x +=-①341,x x =②412,x <<③12340 1.x x x x <<④这四个结论中正确的个数有A.1B.2C.3D.46.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F,点00()2pM x x >时抛物线C.上的一点，以点M 为圆心与直线2p x =交于E ，G 两点,若1sin ,3MFG ∠=则抛物线C 的方程是 2.A y x =2.2B y x =2.4C y x =2.8D y x =7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,||,24ππϕ-＜为f(x)的零点:且()|()|4f x f π恒成立，f(x)在(,)1224ππ-区间上有最小值无最大值，则0的最大值是A.11B.13C.15D.178.图1是某县橙子辅导参加2020年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形图表示学生人数依次记为1A 、210A A L (如2A 表示身高(单位: cm)在[150, 155)内的人数]. 图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。

2020年重庆市巴蜀中学高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在复平面内，复数z 对应的点与1i +对应的点关于实轴对称，则(zi= ) A ．1i +B ．1i -+C ．1i --D ．1i -2．（5分）已知集合{(,)|20}A x y x y =+=，{(,)|10}B x y x my =++=．若A B =∅I ，则实数(m = )A ．2-B ．12-C ．12 D ．23．（5分）已知两个单位向量12,e e u r u u r ，若121(2)e e e -⊥u r u u r u r，则12,e e u r u u r 的夹角为( ) A ．23πB ．3π C ．4π D ．6π 4．（5分）随机变量2~(,)N ξμσ，若(1)0.3P ξ=…，(15)0.4P ξ<<=，则(μ= ) A ．1B ．2C ．3D ．45．（5分）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+满足()()88f x f x ππ-=+，则3()(8f π= )A ．2-B ．0C D ．26．（5分）已知平面α⊥平面β，直线m α⊂，l αβ=I ，则“m l ⊥”是“m β⊥”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（5分）若2133312),log ,()a b e c e -===，则( )A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>8．（5分）若tan()3cos()2πααπ-=-，则cos2(α= )A ．1-B ．79C ．0或79D ．1-或799．（5分）已知AB 为圆22:(1)1O x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB u u u r u u u rg 的最小值为( )A ．1B C ．2D ．10．（5分）射线测厚技术原理公式为0t I I e ρμ-=，其中0I ，I 分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241241()Am 低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为( )（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，20.6931ln ≈，结果精确到0.001) A ．0.110B ．0.112C ．0.114D ．0.11611．（5分）已知双曲线22221x y a b -=的右支与抛物线22x py =相交于A ，B 两点，记点A 到抛物线焦点的距离为1d ，抛物线的准线到抛物线焦点的距离为2d ，点B 到抛物线焦点的距离为3d ，且1d ，2d ，3d 构成等差数列，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y =B ．y =C ．y =D ．y = 12．（5分）已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，用一平面截此棱柱与侧棱1AA ，1BB ，1CC 分别交于M ，N ，Q ，若MNQ ∆为直角三角形，则MNQ ∆面积的最小值为( )A B ．3 C ．D ．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知5250125(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，则012345a a a a a a -+-+-的值为 ． 14．（5分）已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若cos (sin cos )cos A C C B -=，2a =，c =C 大小为 ．15．（5分）高三年段有四个老师分别为a ，b ，c ，d ，这四位老师要去监考四个班级A ，B ，C ，D ，每个老师只能监考一个班级，一个班级只能有一个监考老师．现要求a 老师不能监考A 班，b 老师不能监考B 班，c 老师不能监考C 班，d 老师不能监考D 班，则不同的监考方式有 种． 16．（5分）函数1()||1xf x lna x x+=--有两个零点，则a 的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知数列{}n a 满足12a =，1(1)2(1)n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若2n b n c n =-，求数列{}n c 的前n 项和．18．（12分）为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？优秀 非优秀 合计 男生 40 女生 50 合计100参考公式及数据：2(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++．20()P K k …0.05 0.01 0.005 0.001 0k3.8416.6357.87910.82819．（12分）在底面为菱形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，11A B A D =，60BAD ∠=︒，AC BD O =I ，AO ⊥平面1A BD ．（1）证明：1//B C 平面1A BD ； （2）求二面角1B AA D --的正弦值．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>6，以C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切． （1）求C 的方程；（2）直线y x m =+交椭圆C 于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点，且12x x >．已知l 上存在点P ，使得PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形．若P 在直线MN 右下方，求m 的值． 21．（12分）已知函数2()()f x xlnx ax a R =-∈． （1）若函数()f x 有两个极值点，求a 的取值范围；（2）若()()g x f x x =-两个极值点1x ，2x ，试判断12x x +与12x x g 的大小关系并证明． （二）选考题：共10分.请考生在第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线l C 的参数方程为22cos (2sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． ()l 写出1C 的极坐标方程：（2）设点M 的极坐标为(4,0)，射线(0)4πθαα=<<分别交1C ，2C 于A ，B 两点（异于极点），当4AMB π∠=时，求tan α．[选修4-5：不等式选讲]23．已知0a >，0b >，0c >，且2a b c ++=． （1）求2a b c ++的取值范围； （2）求证：14918a b c++…．。

重庆市巴蜀中学2017届高三第二次诊断考试模拟数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}4,2,0{=A ，}03|{2≥-=x x x B ，则集合B A 的子集个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．82.已知复数z 满足i z i -=⋅+2)1(（其中i 为虚数单位），则=||z （ ）A ．25 B ．210 C ．223 D ．10 3.若]6,1[∈a ，则函数xa x y +=2在区间),2[+∞内单调递增的概率是（ ）A ．51 B ．52 C ．53 D ．54 4.中国古代数学名著《九章算术》中记载：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共猜得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？其意是：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，他们共猎获五只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配，问各得多少.若五只鹿的鹿肉共500斤，则不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为（ ） A ．200 B ．300 C ．3500D ．400 5.已知双曲线M 的实轴长为2，且它的一条渐近线方程为x y 2=，则双曲线M 的标准方程可能是（ ）A ．1422=-y x B ．164422=-y x C. 1422=-x y D ．1422=-x y 6.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．π105614++B ．π205614++ C. π1212+D ．π105626++7.点),(y x P 的坐标满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥++≥-082704202y x y x y x ，由点P 向圆C ：1)1()2(22=-++y x 作切线PA ，切点为A ，则线段||PA 的最小值为（ ）A ．554 B ．555 C. 19 D ．2338.设50log ,18log ,3534.0===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a >>B ．b c a >> C. c a b >> D ．a c b >> 9.执行如图所示的程序框图，输出的n 值为（ ）A ．5B ．6 C. 7 D ．8 10.如图所示为函数)2||,0)(sin(2)(πϕωϕω≤>+=x x f 的部分图象，其中B A ,两点之间的距离为5，则函数)cos(2)(ωϕ+=x x g 图象的对称轴为（ ）A ．)(812Z k k x ∈-=B ．)(26Z k k x ∈-=C. )(86Z k k x ∈-=D ．)(212Z k k x ∈-=11.动直线l 与抛物线C ：y x 42=相交于B A ,两点，O 为坐标原点，若2=，则224)(OG OB OA --的最大值为（ ）A ．16-B ．8 C. 16 D ．2412.不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作][x .已知)]cos([)(x x x f -=，给出下列结论： ①)(x f 是偶函数；②)(x f 是周期函数，且最小值周期为π； ③)(x f 的单调递减区间为))(1,[Z k k k ∈+； ④)(x f 的值域为)1,1[cos . 其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1 C. 2 D ．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量)1,(sin θ=，)0,sin (θ-=，)1,(cos -=θ，且//)2(-，则θ2sin 等于 ． 14.若6)12(1=-⎰mdx x （其中1>m ），则多项式m xx )21(22-+展开式的常数项为 ． 15.已知正项等比数列}{n a 的公比1>q ，且满足62=a ，9002534231=++a a a a a a ，设数列}{n a 的前n 项和为n S ，若不等式n n S a +≤1λ对一切*∈N n 恒成立，则实数λ的最大值为 ．16.下图是两个腰长均为10cm 的等腰直角三角形拼成的一个四边形ABCD ，现将四边形ABCD 沿BD 折成直二面角C BD A --，则三棱锥BCD A -的外接球的体积为 3cm ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且满足0)2017sin()2016cos(3=+--C B c ππ.（1）求角B 的大小；（2）若动点D 在ABC ∆的外接圆上，且点B D ,不在AC 的同一侧，7=AC ，试求ACD ∆面积的最大值.18.如图（1），在五边形BCDAE 中，AB CD //， 90=∠BCD ，1==BC CD ，2=AB ，ABE ∆是以AB 为斜边的等腰直角三角形.现将ABE ∆沿AB 折起，使平面⊥ABE 平面ABCD ，如图（2），记线段AB 的中点为O .（1）求证：平面⊥ABE 平面EOD ；（2）求平面ECD 与平面ABE 所成的锐二面角的大小.19.团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高校的消费方式，不少商家同时加入多家团购网.现恰有三个团购网站在A 市开展了团购业务，A 市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况，从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了50家进行调查，他们加入这三家团购网站的情况如下图所示.（1）从所调查的50家商家中任选两家，求他们加入团购网站的数量不相等的概率； （2）从所调查的50家商家中任取两家，用ξ表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（3）将频率视为概率，现从A 市随机抽取3家已加入团购网站的商家，记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为η，试求事件“2≥η”的概率.20.已知点M 是圆心为E 的圆16)3(22=++y x 上的动点，点)0,3(F ，O 为坐标原点，线段MF 的垂直平分线交EM 于点P . （1）求动点P 的轨迹H 的方程；（2）过原点O 作直线l 交（1）中的轨迹H 于点B A ,，点C 在轨迹H 上，且||||CB AC =，点D 满足CB CA CD +=，试求四边形ACBD 的面积的取值范围.21.已知函数x e ae x f x)2()(-+=（a 为实数，e 为自然对数的底数），曲线)(x f y =在0=x 处的切线与直线010)3(=+--y x e 平行.（1）求实数a 的值，并判断函数)(x f 在区间),0[+∞内的零点个数； （2）证明：当0>x 时，)1ln(1)(+>-x x x f .请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧==mt y t x （t 为参数），圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 1cos y x （α为参数）.（1）若直线l 与圆C 的相交弦长不小于2，求实数m 的取值范围；（2）若点A 的坐标为)0,2(，动点P 在圆C 上，试求线段PA 的中点Q 的轨迹方程.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数|3||1|)(--+=x x x f . （1） 画出函数)(x f 的图象；（2）若不等式|1||1||13|)(+--+≥m m m x f 对任意实数1≠m 恒成立，求实数x 的取值范围.参考答案一、选择题1-5: CBCBD 6-10: ABDCB 11-12:CB 二、填空题 13.1312-14.20- 15.34 16.π3500 三、解答题17.解：（1）在ABC ∆中，∵0)2017sin()2016cos(3=+--C b B c ππ， ∴0sin cos 3=+C b B c ，由正弦定理，得0sin sin cos sin 3=+C B B C ，又π<<C 0，∴0sin ≠C ，∴0sin cos 3=+C b B c ，即3tan -=B ，又π<<B 0，∴32π=B . （2）由点D 在ABC ∆的外接圆上，D B ,不在AC 的同侧，得3ππ=∠-=∠B D ，在ACD ∆中，由余弦定理，得D CD AD CD AD AC cos 2222⋅-+=CD AD D CD AD ⋅=-⋅≥)cos 1(2，即CD AD ⋅≥49，当且仅当CD AD =时，取等号.∴ACD ∆的面积43493sin 4921sin 21=⨯≤⋅=πD CD AD S . 18.（1）解：∵CD AB 2=，O 是线段AB 的中点，∴CD OB =.又∵AB CD //，∴四边形OBCD 为平行四边形，又90=∠BCD ，∴OD AB ⊥， 又∵O 是等腰直角EAB ∆的中点，∴AB EO ⊥. ∵O DO EO = ，∴⊥AB 平面EOD . ∵⊂AB 平面ABE ， ∴平面⊥ABE 平面EOD .（2）∵平面⊥ABE 平面ABCD ，且AB EO ⊥，∴⊥EO 平面ABCD ，∴OD EO ⊥. ∴OE OD OB ,,两两垂直，以O 为坐标原点，以OE OD OB ,,所在直线分别为z y x ,,轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .∵EAB ∆为等腰直角三角形，且1==BC CD ， ∴1====OE OD OB OA ，∴)0,0,0(O ，)0,0,1(-A ，)0,0,1(B ，)0,1,1(C ，)0,1,0(D ，)1,0,0(E ，∴)0,0,1(-=CD ，)1,1,0(-=DE ，设平面ECD 的一个法向量为),,(z y x n =，则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0DE n CD n ，∴⎩⎨⎧=+-=-00z y x ，取1=z ，得)1,1,0(=n ， ∵⊥OD 平面ABE ，∴平面ABE 的一个法向量为)0,1,0(=OD ， 设平面ECD 与平面ABE 所成的锐二面角为θ，则22111|101100||,cos |cos 22=+⨯⨯+⨯+⨯=><=n OD θ， ∴平面ECD 与平面ABE 所成的锐二面角大小为45.19.解：（1）记所选取额两家商家加入团购网站的数量相等为事件A ，则4920)(25022022525=++=C C C C A P ， 所以他们加入团购网站的数量不相等的概率为4929)(1=-A P . （2）由题，知ξ的可能取值分别为0，1，24920)0(25022022525=++==C C C C P ξ， 4925)1(25012512012515=+==C C C C C P ξ，494)2(25012015===C C C P ξ， 从而ξ的分布列为49334942491490)(=⨯+⨯+⨯=ξE .（3）所调查的50家商家中加入了两个团购网站的商家有25家，将频率视为概率，则从A 市中任取一家加入团购网站的商家，他同时加入了两个团购网站的概率为215025==P ，所以)21,3(~B η，所以事件“2≥η”的概率为21)21()211()21()3()2(333223=+-==+=C C P P ηη.20.解：（1）由于点P 在线段MF 的垂直平分线上，故||||PF PM =，因此324||||||||||>==+=+ME PM PE PF PE ，故点P 轨迹为椭圆，其中42=a ，3=c ，因此P 点的轨迹H 的方程为1422=+y x . （2）由CB CA CD +=，知四边形ACBD 为平行四边形，故ABC ACBD S S ∆=2.（i ）当AB 为长轴（或短轴）时，依题意，知点C 就是椭圆的上下顶点（或左右顶点），此时2||||21==∆AB OC S ABC ，即4=ACBD S . （ii ）当直线AB 的斜率存在且不为0时，设斜率为k ，则直线AB 的方程为kx y =，联立方程⎪⎩⎪⎨⎧==+kxy y x 1422，消去y ，得04)41(22=-+x k ，故22414k x A +=，222414k k y A +=， 所以2222241)1(4||kk y x OA AA++=+=，由||||CB AC =，知ABC ∆为等腰三角形，O 为AB 的中点，所以AB OC ⊥，所以直线OC 的方程为x ky 1-=，同理，得4)1(4)(41])1(1[4||22222++=-+-+=k k kk OC ， )4)(41()1(44)1(441)1(4||||22222222+++=++⨯++===∆∆k k k k k k k OA OC S S OAC ADC ， 设)1(12>=+t t k ，则425)211(91)3)(34(42+--=+-=∆t t t t S ADC ， 而110<<t ，所以当211=t 时，58)(min =∆ADC S ，又110<<t ，所以2<∆ADC S ， 所以258<≤∆ADC S ， 综上所述，258≤≤∆ADC S . 所以四边形ACBD 的面积的取值范围为]4,516[. 21. 解：（1）e ae x f x -+=2)('，由题设，可知曲线)(x f y =在0=x 处的切线的斜率e e af k -=-+==32)0('，解得1=a ，∴x e e x f x )2()(-+=，∴当0≥x 时，022)('0>-+≥-+=e e e e x f x ，∴)(x f 在区间),0[+∞内为增函数，又01)0(>=f ，∴)(x f 在区间),0[+∞内没有零点.（2）当0>x 时，)1ln(1)(+>-x x x f 等价于)1ln(1)(+>-x x x f ，记)1()(+-=x e x g x ， 则1)('-=x e x g ，当0>x 时，0)('>x g ，∴当0>x 时，)(x g 在区间),0(+∞内单调递增，∴0)0()(=>g x g ，即1+>x e x ，两边取自然对数，得)1ln(+>x x （0>x ）， ∴要证明)1ln(1)(+>-x x x f （0>x ），只需证明x xx f >-1)(（0>x ）， 即证当0>x 时，01)2(2≥--+-x e x e x ，①设1)2()(2--+-=x e x e x h x ，则e x e x h x -+-=22)('，令e x e x x -+-=22)(ϕ， 则2)('-=x e x ϕ，当)2ln ,0(∈x 时，0)('<x ϕ；当),2(ln +∞∈x 时，0)('>x ϕ.∴)(x ϕ在区间)2ln ,0(内单调递减，在区间),2(ln +∞内单调递增，又03)0(>-=e ϕ，0)1(=ϕ，12ln 0<<，∴0)2(ln <ϕ，∴存在)1,0(0∈x ，使得0)(0=x ϕ，∴当),1(),0(0+∞∈ x x 时，0)(>x ϕ；当)1,(0x x ∈时，0)(<x ϕ，∴)(x h 在区间),0(0x 内单调递增，在区间)1,(0x 内单调递减，在区间),1(+∞内单调递增， 又0)1()0(==h h ，∴01)2()(2≥--+-=x e x e x h x ，当且仅当1=x 时，取等号，即①式成立，∴)1ln(1)(+>-x x x f .22.解：（1）直线l 的普通方程为mx y =，圆C 的普通方程为1)1(22=-+y x ，圆心)1,0(C 到直线l 的距离112+=m d ，相交弦长为11122222+-=-m d r ， 令21112≥+-m ，解得1-≤m 或1≥m .即实数m 的取值范围为),1[]1,(+∞--∞ . （2）设)sin 1,(cos αα+P ，),(y x Q ， 则由线段的中点坐标公式，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2sin 122cos ααy x （α为参数）， 消去参数α并整理，得1)12()22(22=-+-y x ，即线段PA 的中点Q 的轨迹方程为41)21()1(22=-+-y x . 23.解：（1）由零点分段法，得⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤---<-=)3(4)31(22)1(4)(x x x x x f ，函数)(x f 的图象如图所示，（2）2|1||113||1||1||13|=+-++≤+--+m m m m m m ， 当且仅当0)1)(13(≤-+m m 且|1||13|m m -≥+，1≠m ，即1≥m 或1-<m 时，取等号. 由不等式|1||1||13|)(+--+≥m m m x f 对任意实数1≠m 恒成立，得2|3||1|≥--+x x 由（1）中图象，可知2≥x ，所以实数x 的取值范围是}2|{≥x x .。