2021重庆巴蜀中学高三月考(三)数学试卷及答案解析 高考模拟试题

数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”的否定是（）A.x ∃∈R ，2210x x ++≥B.x ∃∈R ，2210x x ++<C.x ∀∈R ，2210x x ++>D.x ∀∈R ，2210x x ++<【答案】B 【解析】【分析】利用全称量词命题的否定即可解答.【详解】命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”为全称量词命题，它的否定是存在量词命题，即x ∃∈R ，2210x x ++<，故选：B.2.今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（）个同学．A.45B.48C.53D.43【答案】C 【解析】【分析】由题意设出集合,A B 得到集合,A B 以及A B ⋂中元素的个数，即可得出A B 中元素的个数．【详解】设集合A 表示语文在90分以上的学生，则集合中有45个元素，集合B 表示数学在90分以上的学生，则集合中有48个元素，A B ⋂表示两科均在90分以上的学生，则集合A B ⋂中有40个元素，A B 表示至少有一科成绩在90分以上的学生，由题意可知A B 中有个45484053+-=元素，又因为每个同学都至少有一科成绩在90分以上，所以高二（1）班共有53人，故选：C ．3.关于x 的不等式lg lg lg 10k x x k x ⋅+-<对一切x +∈R 恒成立，则k 的取值范围是（）A.(,4]-∞-B.(,4][0,)-∞-+∞C.(4,0)-D.(4,0]-【答案】D 【解析】【分析】当0k =时，可知不等式恒成立；当0k ≠时，由二次函数图象和性质可得不等式组，解不等式组求得结果.【详解】x 的不等式2lg lg lg 1lg lg 10k x x k x k x k x ⋅+-=+-<对一切x +∈R 恒成立，当0k =时，不等式对一切x +∈R 恒成立，当0k ≠时，x +∈R 时lg x ∈R ，则有2Δ40k k k <⎧⎨=+<⎩，解得40k -<<，所以k 的取值范围是(4,0]-.故选：D4.19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量10进制随机数据中，以()n n +∈N 开头的数出现的概率为1()lgn P n n+=，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若()193333log 8log 2(),19log 2log 5n k P n k k +=-=∈≤+∑N （说明符号()1,,jk i i j k i a a a a k i j ++==+++∈∑N ），则k 的值为（）A.3B.5C.7D.9【答案】B 【解析】【分析】根据题意利用对数的运算法则可得19()lg 4n kP n ==∑，再由符号说明表达式即可求得5k =.【详解】易知19333333log 8log 2log ()lg 4log o 4102log 5l g n kP n =-===+∑，由1()lg n P n n +=可得191212()lg l 19g lg lg l 2020201119g n kk k k k k k k k k P n =++++⎛⎫=++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯= ⎭++⎪⎝∑；所以lglg 420k=，解得5k =.故选：B5.某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为2cm ，则小轮每秒转过的弧长是（）cm．A.10πB.5πC.π3D.π6【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出小轮每分钟转的圈数，再借助弧长公式计算即得.【详解】由大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，得小轮每分钟转的圈数为325515⨯=，因此小轮每秒钟转的弧度数为52ππ606⨯=，所以小轮每秒转过的弧长是2cm cm ππ63⨯=.故选：C6.已知函数32()6f x x x =-，若()()g x f x a b =+-为奇函数，则（）A.2a =，16b =B.2a =-，16b =-C .2a =-，16b = D.2a =，16b =-【答案】D 【解析】【分析】根据奇函数定义可得()()0f x a b f x a b +-+-+-=恒成立，化简可求,a b .【详解】因为()()g x f x a b =+-为奇函数，32()6f x x x =-，所以()()0f x a b f x a b +-+-+-=，所以()()()()3232660x a x a b x a x a b +-+-+-+--+-=，所以()()()()3232660x a x a b x a x a b +-+------=，所以()23261221220a x a a b -+--=，所以6120a -=，3221220a a b --=，所以2a =，16b =-，故选：D.7.若函数32()(1)(5)2f x x k x k x =+-+++在区间(0,3)上不单调，则k 的取值范围是（）A.(4,3)--B.(5,2)-- C.(5,3)-- D.(4,2)--【答案】B 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数()f x '，利用()f x '在(0,3)上有变号零点列式求解即得.【详解】函数32()(1)(5)2f x x k x k x =+-+++，求导得2()32(1)5f x x k x k '=+-++，由函数()f x 在区间(0,3)上不单调，得()f x '在(0,3)上有变号零点，由()0f x '=，得2232(1)50(21)325x k x k k x x x +-++=⇔-+=-+，则24(21)3(2)4220k x x x -+=-⋅+，令21(1,7)x t +=∈，于是2243(1)4(1)2031027kt t t t t -=--⋅-+=-+，即有943(10k t t-=+-，令9()3()10,17g t t t t=+-<<，函数()g t 在(1,3]上单调递减，函数值从20减小到8，在[3,7)上单调递增，函数值从8增大到1047，由()f x '在(0,3)上有变号零点，得直线4y k =-与函数(),17y g t t =<<的图象有交点，且当有两个交点时，两个交点不重合，因此8420k <-<，解得52k -<<-，所以k 的取值范围是(5,2)--.故选：B8.已知函数()e e x x f x -=+，若关于x 的方程()2f x x k +=有4个不同的实数根，则k 的取值范围是（）A.11442,e e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭B.()222,e e -+ C.11222,e e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D.11114422e e ,e e --⎛⎫++ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】先得到()e e x x f x -=+的奇偶性和单调性，从而令2x x t +=，若()f t k =仅有一个实数根0t ，则00t =，2k =，此时推出只有两个根，不合要求，若()f t k =有两个实数根12,t t ，由对称性可知21t t =-，故210x x t +-=和210x x t ++=均有两个解，有根的判别式得到11144t -<<且10t ≠，结合函数单调性和奇偶性得到11441()2,e e k f t -⎛⎫=∈+ ⎪⎝⎭.【详解】()e e x x f x -=+的定义域为R ，且()e e ()x x f x f x --=+=，故()e e x x f x -=+为偶函数，且当0x >时，0()e e x x f x -=->'恒成立，故()e e x x f x -=+在0,+∞上单调递增，由对称性可知()f x 在(),0∞-上单调递减，()min ()02f x f ==，令2x x t +=，若()f t k =仅有一个实数根0t ，则00t =，2k =，此时20x x +=，解得10x =或1-，仅有2个实数根，不合要求，舍去；若()f t k =有两个实数根12,t t ，由对称性可知21t t =-，需要满足21x x t +=和21x x t +=-均有两个解，即210x x t +-=和210x x t ++=均有两个解，由11140,140t t ∆=+>∆=->，解得11144t -<<，又10t ≠，故11144t -<<且10t ≠，即1111441()e e 2,e e t t k f t --⎛⎫==+∈+ ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若tan α=，则下列与角α的终边可能相同的角是（）A.4π3B.5π3C.ππ3k +，k ∈Z D.2π2π3k -，k ∈Z 【答案】ACD 【解析】【分析】通过正切函数值相等，分析判断对应角的终边是否相同.【详解】对于A ，4πtan 3=，因此A 正确；对于B ，5πtan3=B 不正确；对于C ，πtan π3k ⎛⎫+=⎪⎝⎭，因此C 正确；对于D ，2πtan 2π3k ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因此D 正确。

2024年重庆市高考数学三诊试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|10}A x x =-=，集合{}1,1,3B a a =+-，若A B ⊆，则=a （）A.1-B.0C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】利用子集的概念求解.【详解】集合{}2{|10}1,1A x x =-==-，集合{}1,1,3B a a =+-，若A B ⊆，又11a a +>-，所以1111a a +=⎧⎨-=-⎩，解得0.a =故选：B2.设复数z 满足2i 1z z -=，则z 的虚部为（）A.13B.13-C.3D.3-【答案】A 【解析】【分析】设复数i(,R)z a b a b =+∈，根据题意，列出方程，结合复数相等，求得b 的值，即可求解.【详解】设复数i(,R)z a b a b =+∈，因为复数z 满足2i 1z z -=，可得()22i i i 1a b a b +--=，即()22i 1a b b a -+-=，则21a b -=，20b a -=，解得13b =，所以复数z 的虚部为13.故选：A.3.已知一种服装的销售量(y 单位：百件)与第x 周的一组相关数据统计如表所示，若两变量x ，y 的经验回归方程为ˆ 1.37.9yx =-+，则=a （）x 12345y66a31A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】【分析】根据统计图表中的数据，求得样本中心，代入回归直线方程，即可求解.【详解】解：由统计图表中的数据，可得()11234535x =⨯++++=，()116663155a y a +=⨯++++=，即样本中心为16(3,5a +，因为两变量,x y 的经验回归方程为ˆ 1.37.9yx =-+，则161.337.95a+-⨯+=，解得 4.a =故选：C.4.若圆锥的母线长为2，且母线与底面所成角为π4，则该圆锥的侧面积为（）A.B.2πC. D.4π【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得圆锥底面圆的半径，结合圆锥的侧面积公式，即可求解.【详解】圆锥的母线长为2，母线与底面所成角为π4，所以底面圆的半径为2sin π4r ==，所以该圆锥的侧面积为π2S ==侧.故选：C5.重庆某高校去年招收学生来自成渝地区2400人，除成渝外的西部地区2000人，中部地区1400人，东部地区1800人，港澳台地区400人.学校为了解学生的饮食习惯，拟选取40人作样本调研，为保证调研结果的代表性，则从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为（）A.402400C B.242400C C.122400C D.102400C 【答案】C 【解析】【分析】根据分层抽样的性质计算即可。

2015-2016学年重庆市巴蜀中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果复数（a∈R）为纯虚数，则a=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．22．若集合A={x|1≤2x≤8}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}，则A∩B=（）A．（2，3] B．[2，3] C．（﹣∞，0）∪（0，2] D．（﹣∞，﹣1）∪[0，3]3．某流程如图所示，现输入四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=xtanx B．f（x）=xe x C．f（x）=x+2lnx D．f（x）=x﹣sinx4．已知等差数列数列{an }满足an+1+an=4n，则a1=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．35．已知实数x，y满足，则的最小值为（）A．1 B．3 C．4 D．66．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A ．2B ．C ．D ．37．若α∈（，π），且5cos2α=sin （﹣α），则tan α等于（ ） A ．﹣ B ．﹣ C ．﹣ D ．﹣38．过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线l 与其交于A ，B 两点，若|AF|=4，则|BF|=（ ）A ．2B ．C ．D ．19．已知圆C ：（x ﹣）2+（y ﹣1）2=1和两点A （﹣t ，0），B （t ，0）（t ＞0），若圆C 上存在点P ，使得∠APB=90°，则t 的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110．已知三棱锥P ﹣ABC 中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA ⊥面ABC ，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．16πB ．32πC ．64πD ．128π11．已知A ，B 是单位圆上的两点，O 为圆心，且∠AOB=120°，MN 是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足=λ+（1﹣λ）（λ∈R ），则•的最小值为（ ）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣112．已知函数f （x ）=，若关于x 的方程f 2（x ）+f （x ）+t=0有三个不同的实根，则t 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣2]B ．[1，+∞）C ．[﹣2，1]D ．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）13．已知（x+2）（x ﹣1）4=a 0+a 1（x+1）+…+a 5（x+1）5，则a 1+a 3+a 5=______．14．函数f （x ）=2sinxcos （x ﹣），x ∈[0，]的最小值为______．15．把3个不同的球放入3个不同的盒子中，恰有一个空盒的概率是______．16．如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，AD ⊥AB ，|BC|=|BD|，|AD|=1，则|AC|=______．三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤运算过程17．已知数列{a n }中，a 1=，a n+1=（n ∈N *）（1）求证：数列{﹣1}是等比数列，并求{a n }的通项公式a n ；（2）设b n =，求证：＜2．18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图直方图：（Ⅰ）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到如下数据：是否近视1～50 951～1000合计年级名次近视41 32 73不近视9 18 27合计50 50 100根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？（Ⅲ）在（Ⅱ）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50名的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．P（K2≥k）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879附：K2=．n=a+b+c+d．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AD=AB=1，BC=．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PBC；（Ⅱ）设H为CD上一点，满足=2，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为，求二面角H﹣PB﹣C的余弦值．20．若椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点F内分成了3：1的两段．（1）求椭圆的离心率；（2）过点C（﹣1，0）的直线l交椭圆于不同两点A、B，且，当△AOB的面积最大时，求直线l和椭圆的方程．21．已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点（1）求a的取值范围；（2）记两个极值点x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式x1•x2λ＞e1+λ恒成立，求λ的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2AC，（1）求证：BE=2AD；（2）求函数AC=1，BC=2时，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|3x﹣1|+ax+3．（1）若a=1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．2015-2016学年重庆市巴蜀中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果复数（a∈R）为纯虚数，则a=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考点】复数的基本概念．【分析】对所给的复数分子和分母同乘以1﹣i，再进行化简并整理出实部和虚部，再令虚部为零求出a的值．【解答】解：由题意知， ==，∵（a∈R）为纯虚数，∴2﹣a=0，解得a=2．故选D．（x2﹣x）＞1}，则A∩B=（）2．若集合A={x|1≤2x≤8}，B={x|log2A．（2，3] B．[2，3] C．（﹣∞，0）∪（0，2] D．（﹣∞，﹣1）∪[0，3]【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A，B，根据集合的交集定义进行计算．【解答】解：∵1≤2x≤8，∴0≤x≤3，∴A=[0，3]，（x2﹣x）＞1，∵log2∴，∴x＞2或x＜﹣1，∴B=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），∴A∩B=（2，3]，故选：A3．某流程如图所示，现输入四个函数，则可以输出的函数是（）A ．f （x ）=xtanxB ．f （x ）=xe xC ．f （x ）=x+2lnxD ．f （x ）=x ﹣sinx【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件①f （x ）+f （﹣x ）=0，即函数f （x ）为奇函数；②f （x ）存在零点，即函数图象与x 轴有交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，即可得到正确答案．【解答】解：对于A ，f （x ）=xtanx ，不是奇函数，故不满足条件①；对于B ，f （x ）=xe x ，不是奇函数，故不满足条件①；对于C ，f （x ）=x+lnx ，（x ＞0），不是奇函数，故不满足条件①；对于D ，f （x ）=x ﹣sinx 既是奇函数，且函数图象与x 有交点，故f （x ）符合输出的条件． 故选：D ．4．已知等差数列数列{a n }满足a n+1+a n =4n ，则a 1=（ ）A ．﹣1B ．1C ．2D ．3【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据a n+1+a n =4n ，写出a 2+a 1，a 3+a 2的值，两式作差可求出公差，从而可求出首项．【解答】解：∵数列{a n }是等差数列，且a n+1+a n =4n ，∴a 2+a 1=4，a 3+a 2=8，两式相减得a 3﹣a 1=8﹣4=4，∵数列{a n }是等差数列∴2d=4，即d=2，则a 2+a 1=2a 1+d=4=2a 1+2即a 1=1．故选：B ．5．已知实数x ，y 满足，则的最小值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．6【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（0，﹣2）连线的斜率加2求得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2），=2+，其几何意义为可行域内的动点与定点P（0，﹣2）连线的斜率加2．∵，∴的最小值为4．故选：C．6．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．3【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可．【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选D．7．若α∈（，π），且5cos2α=sin（﹣α），则tanα等于（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣3【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用；三角函数的化简求值；两角和与差的余弦函数．【分析】利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简已知条件，然后利用同角三角函数基本关系式求解即可．【解答】解：α∈（，π），且5cos2α=sin（﹣α），可得5（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）=（cosα﹣sinα），可得：cosα+sinα=．1+2sinαcosα=．，解得：tanα=．故选：A．8．过抛物线y2=4x的焦点F作直线l与其交于A，B两点，若|AF|=4，则|BF|=（）A．2 B．C．D．1【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的定义，结合|AF|=4，求出A的坐标，然后求出AF的方程求出B点的横坐标即可得到结论．【解答】解：抛物线的焦点F（1，0），准线方程为x=﹣1，设A（x，y），则|AF|=x+1=4，故x=3，此时y==2，即A（3，2），则AF的斜率k==，则直线AF的方程为y=（x﹣1），代入y2=4x得3x2﹣10x+3=0，解得x=3（舍）或x=，则|BF|=+1=，故选：B9．已知圆C：（x﹣）2+（y﹣1）2=1和两点A（﹣t，0），B（t，0）（t＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则t的最小值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】可以设圆上一点P（x0，y），由∠APB=90°，可得AP⊥BP，kAP•k BP=﹣1，然后的到关于t的关系式，求解t的最小值．【解答】解：设P点坐标（x0，y），kAP•k BP=，整理得，即=由此可以将求t的最小值问题看做点P到原点的最短距离问题，如图所示，当P点在如图位置时，OP的距离最小，即t取得最小值，A点坐标（，1）易知OA所在直线方程为：y=，联立圆的方程：（x﹣）2+（y﹣1）2=1，可得P点坐标（，）从而|OP|==1，即t=1．故t的最小值为1．故选：D．10．已知三棱锥P﹣ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．16π B．32π C．64π D．128π【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】根据已知求出△ABC外接圆的半径，从而求出该三棱锥外接球的半径和三棱锥的外接球表面积．【解答】解：∵底面△ABC中，AB=AC=2，BC=6，∴cos∠BAC==﹣∴sin∠BAC=，∴△ABC的外接圆半径r==2，所以三棱锥外接球的半径R2=r2+（）2=（2）2+22=16，所以三棱锥P﹣ABC外接球的表面积S=4πR2=64π．故选：C．11．已知A，B是单位圆上的两点，O为圆心，且∠AOB=120°，MN是圆O的一条直径，点C 在圆内，且满足=λ+（1﹣λ）（λ∈R），则•的最小值为（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意可知C在线段AB上，从而得出||的范围，用，，表示出，代入数量积公式得出关于||的式子，根据||的范围得出答案．【解答】解：∵=λ+（1﹣λ），∴点C在线段AB上，即A，B，C三点共线．∵OA=OB=1，∠AOB=120°，∴O到直线AB的距离d=．∴||＜1．∴•=（）•（）=﹣（）+．∵MN是单位圆O的直径，∴=﹣1， =，∴•=﹣1+．∴﹣≤•＜0．则•的最小值为﹣，故选：C．12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则t的取值范围是（）A ．（﹣∞，﹣2]B ．[1，+∞）C ．[﹣2，1]D ．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞） 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】利用换元法设m=f （x ），将方程转化为关于m 的一元二次方程，利用根的分布建立不等式关系进行求即可． 【解答】解：设m=f （x ）， 作出函数f （x ）的图象如图： 则m ≥1时，m=f （x ）有两个根， 当m ＜1时，m=f （x ）有1个根，若关于x 的方程f 2（x ）+f （x ）+t=0有三个不同的实根， 则等价为m 2+m+t=0有2个不同的实根，且m ≥1或m ＜1， 当m=1时，t=﹣2，此时由m 2+m ﹣2=0得m=1或m=﹣2，满足f （x ）=1有两个根，f （x ）=﹣2有1个根，满足条件当m ≠1时，设h （m ）=m 2+m+t ，则h （1）＜0即可，即1+1+t ＜0， 则t ＜﹣2， 综上t ≤﹣2， 故选：A ．二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分） 13．已知（x+2）（x ﹣1）4=a 0+a 1（x+1）+…+a 5（x+1）5，则a 1+a 3+a 5= 1 ． 【考点】二项式定理的应用． 【分析】由（x+2）（x ﹣1）4=a 0+a 1（x+1）+…+a 5（x+1）5，令x=0可得：2=a 0+a 1+…+a 5；令x=﹣2可得：0=a 0﹣a 1+a 2+…﹣a 5．相减即可得出． 【解答】解：由（x+2）（x ﹣1）4=a 0+a 1（x+1）+…+a 5（x+1）5， 令x=0可得：2=a 0+a 1+…+a 5；令x=﹣2可得：0=a 0﹣a 1+a 2+…﹣a 5． 相减可得：2（a 1+a 3+a 5）=2， 则a 1+a 3+a 5=1． 故答案为：1．14．函数f（x）=2sinxcos（x﹣），x∈[0，]的最小值为0 ．【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=sin（2x﹣），由x∈[0，]，利用正弦函数的图象和性质即可计算得解．【解答】解：f（x）=2sinxcos（x﹣）=2sinx（cosx+sinx）=sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）+，∵x∈[0，]，2x﹣∈[﹣，]，∴当x=0时，2x﹣=﹣，函数f（x）=sin（2x﹣）+最小值为0．故答案为：0．15．把3个不同的球放入3个不同的盒子中，恰有一个空盒的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出恰有一个空盒包含的基本事件个数，由此能求出恰有一个空盒的概率．【解答】解：把3个不同的球放入3个不同的盒子中，基本事件总数n=33=27，恰有一个空盒包含的基本事件个数m==18，∴恰有一个空盒的概率是p=．故答案为：．16．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥AB，|BC|=|BD|，|AD|=1，则|AC|= 2 ．【考点】解三角形的实际应用．【分析】过C作CE⊥AD交AD延长线于E，利用相似三角形得出DE，即可求出AE，从而得出AC．【解答】解：过C作CE⊥AD交AD延长线于E．则△ABD∽△ECD．∴=．∴DE=，∴AE=AD+DE=．∵∠CAE=∠BAC﹣∠BAD=30°，∴AC==2．故答案为：2．三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤运算过程 17．已知数列{a n }中，a 1=，a n+1=（n ∈N *）（1）求证：数列{﹣1}是等比数列，并求{a n }的通项公式a n ；（2）设b n =，求证：＜2．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式． 【分析】（1）由题意可得﹣1=2（﹣1），即可证明{﹣1}是首项为2，公比为2的等比数列，求出通项公式即可，（2）利用错位相减法即可求出前n 项和，再利用放缩法即可证明． 【解答】证明：（1）∵a n+1=，∴2a n+1﹣a n+1a n =a n ， ∴﹣1=2（﹣1），∵a 1=， ∴﹣1=2，∴{﹣1}是首项为2，公比为2的等比数列， ∴﹣1=2n ，∴a n =，（2）b n ==n •（）n ，令S n =1•（）1+2•（）2+…+n •（）n ，∴S n =1•（）2+2•（）3+…+（n ﹣1）•（）n +n •（）n+1， ∴S n =+（）2+（）3+…+（）n ﹣n •（）n+1=1﹣，∴Sn=2﹣＜2，故：＜2．18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图直方图：（Ⅰ）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到如下数据：是否近视1～50 951～1000合计年级名次近视41 32 73不近视9 18 27合计50 50 100根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？（Ⅲ）在（Ⅱ）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50名的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．P（K2≥k）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879附：K2=．n=a+b+c+d．【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图可知：分布求得第一到第六组的频数，求得视力在5.0以的频率为1﹣0.08=0.82，全年级5.0以上的人数为1000×0.82=820；（Ⅱ）求出K2，与临界值比较，K2≈4.110＞3.841．由此能求出在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，分别求出相应在的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由图可得：前三组的频率分别为：0.03，0.07，0.27，∴第一组有3人，第二组7人，第三组有27人，后四组频数成等差数列，∴后四组的频数27，24，21，18，∴所以视力在5.0以的频率为1﹣0.08=0.82，所以全年级5.0以上的人数为1000×0.82=820；（Ⅱ）K2==≈4.110＞3.841．因此，在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系；（Ⅲ）由题意可知9人中年级在1﹣50名给我951﹣1000名的人数分别为3人好6人，∴X的取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，X的分布列为：X 0 1 2 3P∴E（X）=0×+1×+2×+3×=1，E（X）=1．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AD=AB=1，BC=．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PBC；（Ⅱ）设H为CD上一点，满足=2，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为，求二面角H﹣PB﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）通过勾股定理可得BC⊥BD，利用面面垂直的判定定理即得结论；（Ⅱ）通过题意以D为原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立坐标系，所求二面角的余弦值即为平面HPB的一个法向量与平面PBC的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵AD⊥CD，AB∥CD，AD=AB=1，∴BD=，∴∠BDC=45°，又BC=，∴CD=2，∴CD2=BC2+BD2，即BC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，又∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD，∴平面PBD⊥平面PBC；（Ⅱ）解：由（I）可知∠BPC为PC与平面PBD所成的角，∴，∴PB=，PD=1，由=2及CD=2，可得CH=，DH=，以D为原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立坐标系，则B（1，1，0），P（0，0，1），C（0，2，0），H（0，，0），设平面HPB的法向量为=（x1，y1，z1），则，即，取y1=﹣3，则=（1，﹣3，﹣2），同理可得平面PBC的法向量为=（1，1，2），又，∴二面角H﹣PB﹣C的余弦值为．20．若椭圆（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx的焦点F 内分成了3：1的两段． （1）求椭圆的离心率；（2）过点C （﹣1，0）的直线l 交椭圆于不同两点A 、B ，且，当△AOB 的面积最大时，求直线l 和椭圆的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质． 【分析】（1）由c+=3（c ﹣），能够求出椭圆的离心率．（2）设直线l ：x=ky ﹣1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由，知2y 2+y 1=0，由，得（k 2+2）y 2﹣2ky+1﹣2b 2=0，再利用韦达定理，结合题设条件，能够求出椭圆方程． 【解答】解：（1）由题意知，c+=3（c ﹣），… ∴b=c ，∴a 2=2b 2，… ∴e===．…（2）设直线l ：x=ky ﹣1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∵，∴（﹣1﹣x 1，﹣y 1）=2（x 2+1，y 2），即2y 2+y 1=0，①… 由（1）知，a 2=2b 2，∴椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2， 由，消去x ，得（k 2+2）y 2﹣2ky+1﹣2b 2=0，∴，…②，…③由①②知，，，…∵=，∴S=3•=3•≤3•=，…当且仅当|k|2=2，即k=时取等号，此时直线的方程为x=或x=．…又当|k|2=2时， =﹣=﹣1，∴由，得b2=，∴椭圆方程为．…21．已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点（1）求a的取值范围；（2）记两个极值点x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式x1•x2λ＞e1+λ恒成立，求λ的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点；（2）原式等价于＞，令t=，t∈（0，1），则不等式lnt＜在t∈（0，1）上恒成立．令h（t）=lnt﹣，t∈（0，1），根据函数的单调性求出即可．【解答】解：（1）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根，即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如图示：，可见，若令过原点且切于函数y=lnx 图象的直线斜率为k ，只须0＜a ＜k ． 令切点A （x 0，lnx 0）， 故k=y ′|x=x 0=，又k=，故 =，解得，x 0=e ，故k=，故0＜a ＜；（2）因为e1+λ＜x1•x2λ等价于1+λ＜lnx 1+λlnx 2． 由（1）可知x 1，x 2分别是方程lnx ﹣ax=0的两个根， 即lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2所以原式等价于1+λ＜ax 1+λax 2=a （x 1+λx 2），因为λ＞0，0＜x 1＜x 2， 所以原式等价于a ＞，又由lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2作差得，ln =a （x 1﹣x 2），所以原式等价于＞，因为0＜x 1＜x 2，原式恒成立，即ln＜恒成立．令t=，t ∈（0，1），则不等式lnt ＜在t ∈（0，1）上恒成立． 令h （t ）=lnt ﹣，t ∈（0，1），又h ′（t ）=，当λ2≥1时，可见t ∈（0，1）时，h ′（t ）＞0，所以h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意．当λ2＜1时，可见t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时h′（t）＜0，所以h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）=0，所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2AC，（1）求证：BE=2AD；（2）求函数AC=1，BC=2时，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接DE，因为ACED是圆的内接四边形，所以△BDE∽△BCA，由此能够证明BE=2AD．（2）由条件得AB=2AC=2，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，即（AB﹣AD）•BA=2AD•（2AD+CE），由此能求出AD．【解答】（1）证明：连接DE，∵ACED是圆的内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，∵∠DBE=∠CBA，∴△BDE∽△BCA，∴，∵AB=2AC，∴BE=2DE．∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，从而BE=2AD．（2）解：由条件得AB=2AC=2，设AD=t，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，∴（AB﹣AD）•BA=2AD•BC，∴（2﹣t）×2=2t•2，解得t=，即AD=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=2cos （θ+），利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|3x﹣1|+ax+3．（1）若a=1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义．【分析】（Ⅰ）a=1时，f（x）=|3x﹣1|+x+3，分类讨论，去掉绝对值，求得x的范围．（Ⅱ）化简f（x）的解析式，根据一次函数的单调性与一次项系数符号的关系，求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=|3x﹣1|+x+3．当时，f（x）≤5可化为3x﹣1+x+3≤5，解之得；当时，f（x）≤5可化为﹣3x+1+x+3≤5，解之得．综上可得，原不等式的解集为．（Ⅱ）函数f（x）有最小值的充要条件为，即﹣3≤a≤3．2016年9月28日。

2021巴蜀中学数学月考试卷及答案分析第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1.-2的绝对值是（）A．-2 B．2 C．1/2 D．-1/22．若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值可能是（）A．1 B．6 C．7 D．103．如果|a|=﹣a，下列成立的是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤04、在数轴上，把表示-4的点移动2个单位长度后，所得到的对应点表示的数是（）A.-1B.-6C.-2或-6D.无法确定5．星期天，小王去朋友家借书，下图是他离家的距离y（千米）与时间x（分钟）的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是（）A．小王去时的速度大于回家的速度B．小王在朋友家停留了10 分钟C．小王去时所花的时间少于回家所花的时间D．小王去时走上坡路，回家时走下坡路6．下列说法正确的是( ) A．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行B．两点之间的所有连线中，线段最短C．相等的角是对顶角D．若AC＝BC，则点C是线段AB的中点7．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是…………………………………………………（）A．4m B．4n C．2(m+n)D．4(m－n)8．一根绳子弯曲成如图1的形状，用剪刀像图2那样沿虚线a把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图3那样沿虚线b（b∥a）把绳子再剪一次时，绳子就被剪为9段．若用剪刀在虚线a，b之间把绳子再剪(n－2)次(剪开的方向与a平行)，这样一共剪n次时绳子的段数是( )A．4n＋1 B．4n＋2 C．4n＋3 D．4n＋59`在数轴上与-3的距离等于4的点表示的数是（）.A、1.B、-7C、1或 -7D、无数个10．如图，AC、BD相交于点O，∠1= ∠2，∠3= ∠4，则图中有（）对全等三角形。

一、选择题1. 答案：D解析：由题意得，函数f(x)在定义域内单调递增，且f(1)=3，f(2)=5，f(3)=7，故选D。

2. 答案：B解析：由题意得，等差数列{an}的公差为d，首项为a1，则有an=a1+(n-1)d。

由题意得a1=1，d=2，代入公式得an=2n-1。

故选B。

3. 答案：C解析：由题意得，圆的方程为(x-2)^2+(y+3)^2=16，圆心坐标为(2,-3)，半径为4。

点P到圆心的距离为√[(2-0)^2+(-3-0)^2]=5，大于半径4，故点P在圆外。

故选C。

4. 答案：A解析：由题意得，函数f(x)=ax^2+bx+c的图象开口向上，且f(0)=0，f(1)=0，f(2)=0。

故选A。

5. 答案：B解析：由题意得，向量a=(1,2)，向量b=(2,1)。

计算a·b=1×2+2×1=4，|a|=√(1^2+2^2)=√5，|b|=√(2^2+1^2)=√5。

故向量a和向量b的夹角余弦值为4/(√5×√5)=4/5。

故选B。

二、填空题6. 答案：-3解析：由题意得，方程ax^2+bx+c=0的判别式△=b^2-4ac。

由题意得a=1，b=6，c=9，代入判别式得△=6^2-4×1×9=0。

故方程的根为x=-3。

7. 答案：3解析：由题意得，数列{an}的前n项和为Sn。

由题意得S1=2，S2=4，S3=6。

故数列{an}的公差为d=4-2=2，首项为a1=2。

由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，代入得an=2+(n-1)×2=2n。

故数列{an}的第10项为a10=2×10=20。

8. 答案：2解析：由题意得，函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的导数为f'(1)。

计算f'(x)=3x^2-3，代入x=1得f'(1)=3×1^2-3=0。

故函数在x=1处的切线斜率为0。

2021年重庆市巴蜀中学高考数学临考预测卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|x2＝4}，则∁M N＝（）A．{﹣1，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}2．已知复数z的共轭复数是，若，则|z|＝（）A．B．C．D．3．已知二面角α﹣l﹣β，若直线m⊂α，直线n⊥β，则m，n的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．以上情况都有可能4．甲、乙、丙三人被系统随机地预约到A，B，C三家医院接种新冠疫苗，每家医院恰有1人预约．已知A医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体新冠疫苗，B医院接种的是需要打两针的灭活新冠疫苗，C医院接种的是需要打三针的重组蛋白新冠疫苗，问甲不接种只打一针的腺病毒载体新冠疫苗且丙不接种需要打三针的重组蛋白新冠疫苗的概率等于（）A．B．C．D．5．过坐标原点作曲线y＝lnx的切线，则切点的纵坐标为（）A．e B．1 C．D．6．已知，其中α是第三象限角，则的值为（）A．B．C．D．7．城市道路由于通勤造成道路交通的早晚高峰．一般地，工作日早高峰时段通常在7：00﹣9：00，晚高峰时段通常在17：00﹣19：00．为了衡量某路段在某一段时间内的拥堵程度，通常采用的指标之一是路段的汽车平均行程速度，即在该时间段通过该路段的汽车的平均速度．路段通常可分为快速路、主干路、次干路、支路，根据不同路段与汽车平均行程速度，可将拥堵程度分为1到5级．等级划分如表（单位：km/h）：等级1 2 3 4 5快速路＞65 （50，65] （35，50] （20，35] ≤20 主干路＞45 （35，45] （25，35] （15，25] ≤15 次干路＞35 （25，35] （15，25] （10，15] ≤10 支路＞35 （25，35] （15，25] （10，15] ≤10 重庆市的黄花园大桥横跨嘉陵江之上，是连接渝中区和江北区的主干路．今在某高峰时段监测黄花园大桥的汽车平均行程速度，将得到的数据绘制成频率分布直方图如图，根据统计学知识估计该时段黄花园大桥拥堵程度的等级为（）A．2级B．3级C．4级D．5级8．已知圆C：（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝3交直线于A，B两点，则对于θ∈R，线段AB长度的最小值为（）A．1 B．C．D．2二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9．已知正实数a，b满足a＞0，b＞0，且a+b＝1，则下列不等式成立的有（）A．B．a2+b2＜1 C．D．10．函数f（x）＝，则下列说法正确的有（）A．函数f（x）是R上的单调递增函数B．对于任意实数a，不等式f（a2+1）≥f（﹣a）恒成立C．若x1≠x2，且f（x1）＝f（x2），则x1+x2＜0D．方程f（x）﹣f（﹣x）＝0有3个不相等实数解11．数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a2＝2，a n+1＝S n+1，则（）A．数列{a n}是公比为2的等比数列B．S6＝47C．既无最大值也无最小值D．12．双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且斜率为k的直线交右支于P，Q两点，以F1Q为直径的圆过点P，则（）A．若△PF1Q的内切圆与PF1相切于M，则|F1M|＝aB．若双曲线C的方程为，则△PF1Q的面积为24C．存在离心率为的双曲线满足条件D．若3|PF2|＝|QF2|，则双曲线C的离心率为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知平面内的，两个向量同时满足：，，则向量与的夹角等于．14．已知椭圆C：的右焦点为F，若过F的直线l与椭圆C交于A，B两点，则的取值范围是．15．端午节是中国的传统节日，“咸蛋黄”口味的粽子也越来越受人们的喜爱，高三年级各班进行了包粽子大赛，我们把粽子的形状近似为一个正四面体，蛋黄近似为一个球体，当这个球体与正四面体的六条棱都相切时小组获得奖励，若某小组获得了奖励，他们包的粽子棱长为3，则放入粽子的蛋黄的表面积等于．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b cos C+2c cos B＝a2，则a＝；若又知△ABC的面积为S满足4，则S＝﹒四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}满足a n＞0，数列{a n}的前n项和为S n，若______，在以下三个条件中任选一个条件填入横线上，完成问题（1）和（2）：①；②数列{c n}满足：，a1＝3，且{c n}的前n项和为；③．问题：（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}是首项和公比均为2的等比数列，求数列中有多少个小于2021的项．18．（12分）已知函数，的最小值为0．（1）求常数a的值；（2）若把y＝f（x）图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍（其中ω＞0），得到y＝g（x）的图象．若y＝g（x）在区间上有且仅有2个零点，求ω的取值范围．19．（12分）如图2，在直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），点M（x0，2）（x0＞0）是抛物线C上的一点，点M到焦点的距离为．（1）求抛物线C的方程；（2）过C上异于点M的两点A，B分别作x轴的垂线交直线BM，AM于点P，Q，求直线PQ的斜率．20．（12分）随着校运会的临近，某班甲、乙两名同学开始记录自己100米短跑的成绩，他们二人的某10次的成绩（单位：秒）如表：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10甲11.6 12.2 13.2 13.9 14.0 11.5 13.1 14.5 11.7 14.3 乙12.3 13.3 14.3 11.7 12.0 12.8 13.2 13.8 14.1 12.5 （1）请完成如图3的样本数据的茎叶图（在答题卡中），并分析甲、乙二人的成绩情况；（2）从甲、乙两人的10次成绩中各随机抽取一次分别记为x，y，定义随机变量ξ＝，求ξ的分布列和期望．21．（12分）如图4，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的正三角形，侧面ACC1A1为等腰梯形，且A1C1＝AA1＝1，D为A1C1的中点．（1）证明：AC⊥BD；（2）记二面角A1﹣AC﹣B的大小为θ，时，求直线AA1与平面BB1C1C 所成角的正弦值的取值范围．22．（12分）已知函数，g（x）＝ln（x+1）﹣ax2﹣2ax，其中a∈R．（1）证明：当x＞0时，f（x）＜0；（2）若g（x）＜f（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|x2＝4}，则∁M N＝（）A．{﹣1，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}【分析】根据补集的运算即可求出．【解答】解：由题意，M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{﹣2，2}，则∁M N＝{﹣1，0，1}，故选：B．【点评】本题考查了补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．已知复数z的共轭复数是，若，则|z|＝（）A．B．C．D．【分析】设z＝a+bi，则，代入已知等式，再利用复数相等的定义求出a，b的值，得到复数z，再利用复数模长公式求解．【解答】解：设z＝a+bi，则，由题意可得：﹣2a+4bi＝1+2i，则，，所以，故选：A．【点评】本题主要考查了复数的四则运算，考查了复数相等的定义，考查了共轭复数的概念，是基础题．3．已知二面角α﹣l﹣β，若直线m⊂α，直线n⊥β，则m，n的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．以上情况都有可能【分析】由题意画出图形（以二面角α﹣l﹣β为直二面角为例），由图分析得答案．【解答】解：如图，在正方体AC1中，取平面AA1D1D为α，底面ABCD为β，则AD为交线l，取AA1为n，则n⊥β，取DD1为m，则m∥n；取A1D1为m则m与n相交；取BB1为n，则n⊥β，取A1D1为m，则m与n异面．故m，n的位置关系可能平行、可能相交、可能异面．故选：D．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．4．甲、乙、丙三人被系统随机地预约到A，B，C三家医院接种新冠疫苗，每家医院恰有1人预约．已知A医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体新冠疫苗，B医院接种的是需要打两针的灭活新冠疫苗，C医院接种的是需要打三针的重组蛋白新冠疫苗，问甲不接种只打一针的腺病毒载体新冠疫苗且丙不接种需要打三针的重组蛋白新冠疫苗的概率等于（）A．B．C．D．【分析】甲、乙、丙三人被系统随机地预约到A，B，C，三家医院接种新冠疫苗的情况有n＝种，其中甲不接种只打一针的腺病毒载体新冠疫苗且丙不接种需要打三针的重组蛋白新冠疫苗的情况有：m＝3．由此能求出结果．【解答】解：甲、乙、丙三人被系统随机地预约到A，B，C，三家医院接种新冠疫苗的情况有n＝种，其中甲不接种只打一针的腺病毒载体新冠疫苗且丙不接种需要打三针的重组蛋白新冠疫苗的情况有：m＝3．∴甲不接种只打一针的腺病毒载体新冠疫苗且丙不接种需要打三针的重组蛋白新冠疫苗的概率为：，故选：C．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．5．过坐标原点作曲线y＝lnx的切线，则切点的纵坐标为（）A．e B．1 C．D．【分析】设切点P（x0，lnx0）（x0＞0），求出函数在切点处的切线方程，把（0，0）代入求得x0，即可求出切点的纵坐标．【解答】解：设切点P（x0，lnx0）（x0＞0），由y＝lnx，得，∴，∴曲线在点P处的切线l方程为，又l过（0，0），∴，解得x0＝e，∴切点P（e，1），纵坐标为1．故选：B．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．6．已知，其中α是第三象限角，则的值为（）A．B．C．D．【分析】由二倍角的正切公式化简已知等式可得tan2α﹣tanα﹣＝0，解得tan α的值，利用同角三角函数基本关系式，诱导公式即可求解．【解答】解：由＝﹣2，且α是第三象限角，可得tan2α﹣tanα﹣＝0，可得：，，，因此．故选：A．【点评】本题主要考查了二倍角的正切公式，同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和方程思想是，属于基础题．7．城市道路由于通勤造成道路交通的早晚高峰．一般地，工作日早高峰时段通常在7：00﹣9：00，晚高峰时段通常在17：00﹣19：00．为了衡量某路段在某一段时间内的拥堵程度，通常采用的指标之一是路段的汽车平均行程速度，即在该时间段通过该路段的汽车的平均速度．路段通常可分为快速路、主干路、次干路、支路，根据不同路段与汽车平均行程速度，可将拥堵程度分为1到5级．等级划分如表（单位：km/h）：等级1 2 3 4 5快速路＞65 （50，65] （35，50] （20，35] ≤20 主干路＞45 （35，45] （25，35] （15，25] ≤15 次干路＞35 （25，35] （15，25] （10，15] ≤10 支路＞35 （25，35] （15，25] （10，15] ≤10 重庆市的黄花园大桥横跨嘉陵江之上，是连接渝中区和江北区的主干路．今在某高峰时段监测黄花园大桥的汽车平均行程速度，将得到的数据绘制成频率分布直方图如图，根据统计学知识估计该时段黄花园大桥拥堵程度的等级为（）A．2级B．3级C．4级D．5级【分析】根据题中给出的信息，确定组距和组数，由频率之和为1，求出速度在[50，60]内的频率，利用平均数的计算公式求解出平均速度，结合题中的信息判断即可．【解答】解：由题意可知，组距为10，共6组，由六个矩形面积之和为1，可得速度在[50，60]内的频率为0.05，因此平均速度为5×0.1+15×0.15+25×0.2+35×0.3+45×0.2+55×0.05＝30（km/h），根据表格中的信息可知，其拥堵等级为3．故选：B．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用，解题的关键是掌握频率分布直方图中频率的算法以及平均数公式的应用，考查了数据分析能力与运算能力，属于基础题．8．已知圆C：（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝3交直线于A，B两点，则对于θ∈R，线段AB长度的最小值为（）A．1 B．C．D．2【分析】由题意画出图形，求出圆心C到直线的最大距离，再由垂径定理求线段AB长度的最小值．【解答】解：由圆C：（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝3，知该圆的半径，圆心C（cosθ，sinθ）在单位圆上，∵原点O到直线的距离为，则点C到直线的距离d的最大值为，由可知，当d取最大值时，线段AB长度的最小值为，故选：C．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用垂径定理求弦长，是中档题．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9．已知正实数a，b满足a＞0，b＞0，且a+b＝1，则下列不等式成立的有（）A．B．a2+b2＜1 C．D．【分析】利用基本不等式的性质即可求解，注意一正，二定，三等的应用．【解答】解：∵，当且仅当a＝b时取等号，∴A正确，∵a2+b2＜a2+b2+2ab＝（a+b）2＝1，∴B正确，∵，当且仅当a＝b时取等号，∴C错误，∵a＞0，b＞0，a+b＝1，∴0＜a＜1，∵，当且仅当a＝1时取等号，∴a+＞2，D错误．故选：AB．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．10．函数f（x）＝，则下列说法正确的有（）A．函数f（x）是R上的单调递增函数B．对于任意实数a，不等式f（a2+1）≥f（﹣a）恒成立C．若x1≠x2，且f（x1）＝f（x2），则x1+x2＜0D．方程f（x）﹣f（﹣x）＝0有3个不相等实数解【分析】利用函数的单调性判断A；通过a的范围，结合函数的单调性，判断B；反例判断C；求出函数的零点，判断D．【解答】解：函数f（x）是（﹣∞，0]和（0，+∞）上的单调递增函数，但是，f（x）在R上不单调，A错误；当a≥0时，f（a2+1）≥f（1）＝0，f（﹣a）≤f（0）＝0，f（a2+1）≥f（﹣a）；当a ＜0时，a2+1＞﹣a＞0，由函数f（x）在（0，+∞）上单调递增知f（a2+1）＞f（﹣a）；B正确；令x1＝0，x2＝1，f（x1）＝f（x2），且x1+x2＞0，C错误；当x＝0时，f（x）﹣f（﹣x）＝0；当x＞0时，在（0，+∞）上单调递增，，，故存在1个解；同理知x＜0时也存在1个解；x＝0是函数的一个零点，故方程f（x）﹣f（﹣x）＝0共有3个解，D正确，故选：BD．【点评】本题考查命题的真假的判断，考查转化思想以及计算能力，是中档题．11．数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a2＝2，a n+1＝S n+1，则（）A．数列{a n}是公比为2的等比数列B．S6＝47C．既无最大值也无最小值D．【分析】直接利用赋值法和数列的递推关系式求出数列的通项，进一步利用求和公式的应用和取值范围确定A、B、C、D的结论．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a2＝2，a n+1＝S n+1，令n＝1，知a2＝S1+1＝a1+1，结合a1+a2＝2，知，，a n+1＝S n+1⇒a n＝S n﹣1+1，所以a n+1﹣a n＝a n（n≥2），但，，，当n≥2，，S6＝3×16﹣1＝47，故A错误，B正确；由于，n≥2，时，，故C错误；所以无最小值，有最大值，，故D正确．故选：BD．【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，数列的关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．12．双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且斜率为k的直线交右支于P，Q两点，以F1Q为直径的圆过点P，则（）A．若△PF1Q的内切圆与PF1相切于M，则|F1M|＝aB．若双曲线C的方程为，则△PF1Q的面积为24C．存在离心率为的双曲线满足条件D．若3|PF2|＝|QF2|，则双曲线C的离心率为【分析】利用三角形的内切圆以及双曲线的定义，转化求解判断A；利用双曲线的标准方程，转化求解三角形的面积判断B；通过双曲线的离心率，判断直线与双曲线的位置关系判断C；利用已知条件转化求解双曲线的离心率判断D．【解答】解：记内切圆与PQ相切于N，与F1P相切于M，与F1Q相切于K，则|PM|＝|PN|，|QK|＝|QN|；故|F1P|+|F1Q|﹣|PQ|＝|F1M|+|F1K|+|PM|+|QK|﹣|PN|﹣|QN|＝|F1M|+|F1K|＝2|F1M|＝4a，A不正确；由以F1Q为直径的圆过点P，知PF1⊥PQ；若双曲线C的方程为，则a＝2，，；设|PF1|＝x，|QF2|＝y，则|PF2|＝x﹣4，|QF1|＝y+4，故，62+（2+y）2＝（4+y）2⇒y＝6；故△PF1Q的面积为，B正确；若，则，故渐近线为y＝±2x，设|PF1|＝y，|PF2|＝x，由得y＝2x，则k＝±2，此时直线不可能与右支交于两点，故C不正确；若3|PF2|＝|QF|，设|PF2|＝x，|QF2|＝3x，则|PF1|＝x+2a，|QF1|＝3x+2a，故（x+2a）2+（4x）2＝（3x+2a）2⇒x＝a，故，D正确，故选：BD．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的应用，是难题．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知平面内的，两个向量同时满足：，，则向量与的夹角等于120°．【分析】根据题意，设向量与的夹角为θ，对于，由数量积的计算公式可得cosθ的值，结合θ的范围分析可得答案．【解答】解：根据题意，设向量与的夹角为θ，若，则，变形可得：﹣8•＝22+22，由于，则有﹣8||2cosθ＝4||2，因此，则θ＝120°，故答案为：120°．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．14．已知椭圆C：的右焦点为F，若过F的直线l与椭圆C交于A，B两点，则的取值范围是[，2] ．【分析】判断当A，B分别为椭圆的顶点时，取最值．然后求解即可．【解答】解：由椭圆性质可知，当A，B分别为椭圆的顶点时，取最值．当A为椭圆的右顶点时，|AF|最小，此时|AF|＝3﹣1＝2，此时B恰为椭圆的左顶点，|BF|最大，此时|B|F＝3+1＝4，此时的最小值为，同理可得的最大值为2，即的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．15．端午节是中国的传统节日，“咸蛋黄”口味的粽子也越来越受人们的喜爱，高三年级各班进行了包粽子大赛，我们把粽子的形状近似为一个正四面体，蛋黄近似为一个球体，当这个球体与正四面体的六条棱都相切时小组获得奖励，若某小组获得了奖励，他们包的粽子棱长为3，则放入粽子的蛋黄的表面积等于．【分析】将正四面体放置在正方体中，求出正方体的内切球的表面积，则答案可求．【解答】解：设题中的正四面体为ABCD，将它放置于正方体内，如图所示，此时可得该正方体的内切球恰好与正四面体的六条棱都相切．设正方体棱长为x，则，解得，因此正方体的内切球直径2r＝x，得，因此正方体内切球的表面积．故答案为：．【点评】本题考查正方体的内切球，考查化归与转化、数形结合思想，是中档题．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b cos C+2c cos B＝a2，则a＝ 2 ；若又知△ABC的面积为S满足4，则S＝﹒【分析】由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合sin A≠0，可得a的值，利用三角形的面积公式，余弦定理，基本不等式即可求解S的值．【解答】解：因为2b cos C+2c cos B＝a2，由正弦定理得2sin B cos C+2sin C cos B＝a sin A，可得2sin A＝a sin A，因为sin A≠0，所以可得a＝2，因为，因此，即，由于，可得，当且仅当，b＝c，时等式成立，因此a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝4，解得b＝c＝2，所以．故答案为：2，．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，三角形的面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}满足a n＞0，数列{a n}的前n项和为S n，若______，在以下三个条件中任选一个条件填入横线上，完成问题（1）和（2）：①；②数列{c n}满足：，a1＝3，且{c n}的前n项和为；③．问题：（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}是首项和公比均为2的等比数列，求数列中有多少个小于2021的项．【分析】（1）选①②③，根据数列的递推关系式求出数列的通项公式；（2）利用数列的单调性的应用求出结果．【解答】解：（1）选①：当n＝1，a1＝3，当n≥2，，作差有，则a n＝2n+1，又a1＝2+1＝3，符合，所以a n＝2n+1．选②：，又a1＝3，所以a n+1＝2n+3，所以a n＝2n+1．选③：当n＝1，a1＝3，n≥2，，作差：，所以（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）＝0，a n＞0，有a n﹣a n﹣1＝2，故数列{a n}为等差数列，a1＝3，d＝2，所以a n＝2n+1．（2），，易知为单调递增数列，又210＝1024＜2021，211＝2048＞2021，所以n+1≤10，n≤9，n∈N*，所以有9项符合．【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的单调性，数列的通项公式的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．18．（12分）已知函数，的最小值为0．（1）求常数a的值；（2）若把y＝f（x）图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍（其中ω＞0），得到y＝g（x）的图象．若y＝g（x）在区间上有且仅有2个零点，求ω的取值范围．【分析】（1）由题意利用三角函数恒等变换的应用可求f（x）＝2sin（x+）+a+1，由，可得，利用正弦函数的性质即可求解a的值．（2）由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换可得，令g（x）＝0，令，则，，作出y＝sin t 和的图象，观察交点个数，可得，即可解得ω的取值范围．【解答】解：（1），当时，可得，可得，由f（x）min＝1+a+1＝0，可得a＝﹣2．（2）因为，则把y＝f（x）图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍（其中ω＞0），得到，令g（x）＝0，令，则，由于，可得，则问题转化为y＝sin t在区间上有且仅有2个t，使得，求ω的取值范围．作出y＝sin t和的图象，如图2，观察交点个数，由题意列不等式：，解得．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题．19．（12分）如图2，在直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），点M（x0，2）（x0＞0）是抛物线C上的一点，点M到焦点的距离为．（1）求抛物线C的方程；（2）过C上异于点M的两点A，B分别作x轴的垂线交直线BM，AM于点P，Q，求直线PQ的斜率．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得p的方程，解方程可得p，进而得到抛物线的方程；（2）求得M的坐标，设A，B的坐标，求得直线AM、BM的方程，可得交点P，Q的坐标，由两直线的斜率公式可得所求值．【解答】解：（1）抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，由抛物线的定义可得，，则p＝1，所以抛物线的方程为x2＝2y；（2）∵M（x0，2）在抛物线C上，且x0＞0，∴，即x0＝2，M（2，2），设，，则直线AM的方程为，即y＝（x1+1）x﹣2x1，同理直线BM的方程为y＝（x2+1）x﹣2x2，由AP，BQ分别垂直于x轴，得点P（2x1，2（x1x2+x1﹣x2）），Q（2x2，2（x1x2﹣x1+x2）），则直线PQ的斜率．【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20．（12分）随着校运会的临近，某班甲、乙两名同学开始记录自己100米短跑的成绩，他们二人的某10次的成绩（单位：秒）如表：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10甲11.6 12.2 13.2 13.9 14.0 11.5 13.1 14.5 11.7 14.3 乙12.3 13.3 14.3 11.7 12.0 12.8 13.2 13.8 14.1 12.5 （1）请完成如图3的样本数据的茎叶图（在答题卡中），并分析甲、乙二人的成绩情况；（2）从甲、乙两人的10次成绩中各随机抽取一次分别记为x，y，定义随机变量ξ＝，求ξ的分布列和期望．【分析】（1）将表格中的数据转化为茎叶图表示即可，由统计图求出平均数相同，再由方差的作用分析甲乙成绩的稳定性即可；（2）先确定随机变量ξ的可能取值，然后分别求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．【解答】解：（1）茎叶图如图所示，，，从统计图中可以看出，甲、乙的平均水平是一样的；乙的成绩较为集中，差异程度较小，所以乙的成绩更稳定；（2）由题意可知，随机变量ξ的可能取值为0，﹣1，1，则，，，所以ξ的分布列为：ξ﹣1 0 1P故．【点评】本题考查了茎叶图的理解和应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21．（12分）如图4，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的正三角形，侧面ACC1A1为等腰梯形，且A1C1＝AA1＝1，D为A1C1的中点．（1）证明：AC⊥BD；（2）记二面角A1﹣AC﹣B的大小为θ，时，求直线AA1与平面BB1C1C 所成角的正弦值的取值范围．【分析】（1）作AC的中点M，连接DM，BM，证明AC⊥DM，AC⊥BM，推出AC⊥平面BDM，即可证明AC⊥BD．（2）以M为坐标原点，以，，，分别为x，y，z，轴正向，如图建立空间直角坐标系，说明∠DMB为二面角A1﹣AC﹣B的平面角，求出平面BB1C1C的法向量，，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（1）证明：如图，作AC的中点M，连接DM，BM，在等腰梯形ACC1A1中，D，M为A1C1，AC的中点，∴AC⊥DM，在正△ABC中，M为AC的中点，∴AC⊥BM，∵AC⊥DM，AC⊥BM，DM∩BM＝M，DM，BM⊂平面BDM，∴AC⊥平面BDM，又BD⊂平面BDM，∴AC⊥BD．（2）解：∵AC⊥平面BDM，在平面BDM内作Mz⊥BM，以M为坐标原点，以，，，分别为x，y，z，轴正向，如图建立空间直角坐标系，∵DM⊥AC，BM⊥AC，∴∠DMB为二面角A1﹣AC﹣B的平面角，即∠DMB＝θ，A（1，0，0），，C（﹣1，0，0），，，，设平面BB1C1C的法向量为，，，则有，又，∴，∵，∴，∴．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．22．（12分）已知函数，g（x）＝ln（x+1）﹣ax2﹣2ax，其中a∈R．（1）证明：当x＞0时，f（x）＜0；（2）若g（x）＜f（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）问题转化为e x＞x+1，令h（x）＝e x﹣x﹣1，根据函数的单调性证明即可；（2）问题转化为，令，求出函数的导数，结合函数的单调性求出a的取值范围即可．【解答】解：（1）证明：当x＞0时，，令h（x）＝e x﹣x﹣1，则h'（x）＝e x﹣1＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，∴h（x）＞h（0）＝0，∴e x＞x+1．（2）解：由题g（x）﹣f（x）＜0，即，令，易知F（0）＝0，且，要满足题意，必有F'（0）≤0，则1﹣2a≤0，∴，当时，，记，x＞0，＝，∴φ（x）在（0，+∞）上单调递减，则φ（x）＜φ（0）＝0，即当时，F（x）＜φ（x）＜0，满足题意，综上：．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是难题。

数学参考答案·第1页（共8页）巴蜀中学2023届高考适应性月考卷（三）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DBCCADBA【解析】1．2i (1i)2i i(1i)1i 1i 1iz z z -=⇒==+=-+⇒=--- ，故选D ．2．2201||a b x x a b ⊥⇒-=⇒=⇒-=，故选B ．3．(10)(01)A =- ，，，(1][0)(01)B A B =-∞-+∞⇒=R R ，，， ，故选C ．4．令0(0)(0)(0)1(0)1x y f f f f ==⇒=+-⇒=，这样()()()1()f x x f x f x f x -=+--⇒+()2f x -=，所以()f x 的图象关于点(01)，对称，故选C ． 5．设AG x =，则GC GE x ==，所以1121828.38CE x x ⎛=-=⇒=+≈ ⎝，所以站台高度28.38 1.629.9830.0AB AG GB =+=+=≈，故选A ．6．2221546593377373722()8a a a a a a a a a a a a a a ++=++=+==⇒+，故选D ．7．62AB AC ==，∵，AD 为BAC ∠的角平分线，23144AD AC AB =+⇒= ∴221(96)16AC AC AB AB ++ ，1cos sin 33ABC BAC BAC S ∠=-⇒∠=⇒=△∴，故选B ． 8．如图1，由双曲线的定义知，12|||2|QF QF a -=，1||=||QF QP ∵，212||||4PF a PF a =⇒=∴，而12||2FF c =，设12F F P θ∠=，在12PF F △中，由余弦定理知：2222244163cos 2222a c a c a a c acθ+--==， cos 4c e aθ===∵．因为2122||||2a a QF QF a λλ==+，，在12QF F △中，由余弦定理有：222222282cos 3a a a a a θλλλλ⎛⎫⎛⎫+=++⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ．图1数学参考答案·第2页（共8页）二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号 9 10 11 12 答案 BCDABDACBC【解析】9．A ．由22||||a b a b ⇔==得不出a b = 或a b =- ，所以错误；B ．由||||||a b a b a b =⇒ ∥，所以正确；C ．由||||0a b a b a b a b +=-⇒=⇒⊥ ，所以正确；D ．由a ，b同向得：||||||||a bb a a b a b =⇒=，所以正确，故选BCD ． 10．137771330S a a a ==⇒=，而10a >，所以A ，B 正确；60a >，70a =⇒n S 取最大值时，6n =或7，所以C 错误；1314131400S S S a ==+<，，所以D 正确，故选ABD ．11．A ．0a =时，()ln ()ln 1(1)1f x x x f x x f =⇒'=+⇒'=，而(1)0f =，所以在1x =处的切线方程是1y x =-，正确；由于始终有(1)0f =，所以B 错误；C ．1a >时，1()ln 10e 1a f x x a x -'=-+=⇒=>，11()(e )e 0a a f x f a --==-<极小值，而x →+∞时，()0f x >，所以()f x 在1(e )a -+∞，有唯一零点，显然()f x 在1(0e )a -，有唯一零点1x =，所以正确；D. 1a <时，同样有11()(e )e 0a a f x f a --==-<极小值，此时10e 1a -<<，令ln 2(01)a =∈，，此时()(ln ln 2)ln 2f x x x =-+，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()f x 在ln 21(0e )-，有一零点，又(1)0f =，所以错误，故选AC ．12．在等腰ABC △中，120BAC ∠=︒， 2BC AB AC =⇒==，AM AE EM AE =+=+212233333EF AE AF AB AC λμ=+=+，||||2AB AC == ，∵120BAC ∠=︒，AB AC ∴ 4cos1202=︒=-，222416849999AM λμλμ=+-= ∵，22421λμλμ+-=∴，所以A 错误；22()31λμμ-+=∵，∴令cos sin λμθθ-==，显然cos [11]λμθ-=∈-，，所以B正确；cos μθλθθ==+，，∴22222sin cos cos 3λμθθθθ+=++∴11cos 25(1cos 2)2)tan 326θθθθϕϕ⎛+=-+=++= ⎝⎭，当sin(2)θϕ+ 1=时，22max 5()6λμ++=，所以C 正确，故选BC ．数学参考答案·第3页（共8页）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．设第1r +项为常数项，则23631332C ()C (2)rr rr r rr T x xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭为常数项，所以2r =，2221332C ()12T x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．14．35ππ3ππ241234T T ω⎛⎫=--=⇒=⇒= ⎪⎝⎭，5ππππ2()2sin 212233f xx ϕϕ⎛⎫+=⇒=-⇒=- ⎪⎝⎭ ． 15．取AB ，11A B 的中点分别为E ，F ，在等腰梯形ABCD 中易算得：AC =222AC BC AB+=，∵90ADB ACB ∠=∠=︒，∴122ED EC AB ===，∴∴外接球的球心O 是EF 的中点，1322OE h ==∵，2EB =，52R OB ==∴，34π3V R =∴ 125π6=． 16．2222()()2log [()2]3()f x x a x a f x -=-+-++-=∵，()f x ∴为R 上的偶函数，()f x ∵为R上的偶函数，又有且只有一个零点，2(0)2301f a a a =+-=⇒=∴或3a =-，当1a =时，222()2log (2)2f x x x =++-，显然(0)0f =，当x ∈R 且0x ≠时，222x +>⇒222log (2)20()0x f x +->⇒>，()fx ∴此时只有0x =这个零点，符合题意；当3a =-时，222()6log (2)6f xx x =-++，286log 440f =-=-<∵，2366log 32f =-60=>，()f x ∴在内至少还有一个零点，与题意不合，舍去，所以1a =． 四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（1）1111094910100122a d a d a d ⨯+=+=⇒==，，， 21n a n =-∴．…………………………………………………………（5分）（2）21max 222(41)200430143n a n n n n n b T n -==⇒=-<⇒<⇒=． ………………（10分）数学参考答案·第4页（共8页）18．（本小题满分12分）（1）证明：3sin cos sin sin()sin cos cos sin A C B A C A C A C ==+=+2sin cos cos sin tan 2tan A C A C C A ⇒=⇒=．……………………………………（6分）（2）解：2222221323a b c a b c a b ab +-=⇒=+ ，而3c b =，222712933b a b a b =+⇒=，∴1πcos 323b C C a ===∴． ……………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）列联表如下：…………………………………………………………………………（3分）由公式得：222()400(12010010080)4004.040()()()()20020018022099n ad bc a b c d a c b d χ-⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯5.024<，所以认为喜爱马拉松项目与性别无关． ………………………………………（6分）（2）易得：采取分层抽样方法从接受问卷调查且喜爱马拉松的居民中抽取10人中有6名男士，4名女士；从10人中抽取4人有1名女士的概率：31641410C C 821C p ==， 从10人中抽取4人没有女士的概率：462410C 114C p ==， 所以从10人中抽到的4人中至少有2名女士的概率：1223142p p p =--=．………………………………………………………………（12分）喜爱 不喜爱 合计 男性 120 100 220 女性 80 100 180 合计200200400数学参考答案·第5页（共8页）20．（本小题满分12分）（1）证明：连接DQ ，因为PO ⊥平面ABC ，所以PO AB ⊥．又因为CD AB ⊥，CD PO O = ，所以AB ⊥平面PCD ， 所以AB PC ⊥，AB DQ ⊥．由二面角的定义可知：QDC ∠即为截面QAB 与底面ABC 所成的二面角． 又因为QDC OPC ∠=∠，所以90PQD POD ∠=∠=︒，即PC DQ ⊥． 又因为AB DQ D = ，所以PC ⊥平面QAB ，证毕．…………………………（5分）（2）解：由（1）知：可以Q 为坐标原点，向量QD ，DB ，QP所在方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系Q xyz -，由题可知：(000)Q ，，，(002)P ，，，(420)A -，，，(420)B ，，， 所以(002)QP = ，，，(422)PA =-- ，，，(422)PB =-，，，设平面PAB 和平面PBC 的法向量分别为1111()n x y z = ，，，2222()n x y z =，，， 则有1100n PA n PB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，可得11111142204220x y z x y z --=⎧⎨+-=⎩，， 令11x =，得10y =，12z =，所以1(102)n =，，， 则有2200n QP n PB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，可得2222204220z x y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，， 令21x =，得22y =-，20z =，所以2(120)n =-，，， 设平面ABP 与平面BPC 夹角的大小为θ， 则1212||1cos 5||||n n n n θ==． …………………………………………………………（12分）图2数学参考答案·第6页（共8页）21．（本小题满分12分）（1）解：由题可知：2222221914a c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩，，，解得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，， 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． …………………………………（4分）（2）证明：设直线l 的方程为1x my =+，点11()M x y ，，22()N x y ，， 联立2213412x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得：223(1)412my y ++=， 化简得：22(34)690m y my ++-=，由于直线l 所过点F 在椭圆内部，所以直线l 与椭圆必相交，即0∆>， 所以由韦达定理得：122122634934m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩易得：121246()my y y y =+，…………………………………………………………………（7分）又因为(20)A -，，11()M x y ，，所以直线AM 的方程为11(2)2y y x x =++， 又因为(20)B ，，22()N x y ，，所以直线BN 的方程为22(2)2y y x x =--， 联立直线AM 与BN 得：1212(2)(2)22y y x x x x +=-+-，…………………………………………………………………（9分）解得：21121221121221121221121224422(1)442(1)22(1)22(1)x y y y x y my y y y my y x x y y y x y my y y y my y -+++-+++==-+++-+++++1212121212124266()26433my y y y y y y y y y y y -++-+===++，即点P 的横坐标为4，同理：点Q 的横坐标也为4，PQ 即为直线4x =， 所以PQ x ⊥轴，证毕．…………………………………………………（12分）数学参考答案·第7页（共8页）22．（本小题满分12分）（1）解：由题可知：()f x 的定义域为(0)+∞，，导函数222e e 11(1)(e )()(0)x x xx x k f x k x x x xx ----⎛⎫'=-+=> ⎪⎝⎭．……………………（1分）①当1k ≤时，易得：e 0x k ->，从而当(01)x ∈，时，()0f x '<；当(1)x ∈+∞，时，()0f x '>， 所以()f x 在(01)，上单减，(1)+∞，上单增；②当1k >时，由()0f x '=可得：1x =或ln k ， 1︒．当ln 1k =时，即e k =时，()0f x '≥恒成立， 所以()f x 在(0)+∞，上单增；2︒．当ln 1k <时，即1e k <<时，从而当(0ln )x k ∈，时，()0f x '>； 当(ln 1)x k ∈，时，()0f x '<；当(1)x ∈+∞，时，()0f x '>， 所以()f x 在(0ln )k ，上单增，(ln 1)k ，上单减，(1)+∞，上单增； 3︒．当ln 1k >时，即e k >时，从而当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(1ln )x k ∈，时，()0f x '<；当(ln )x k ∈+∞，时，()0f x '>； 所以()f x 在(01)，上单增，(1ln )k ，上单减，(ln )k +∞，上单增． 综上：①当1k ≤时，()f x 在(01)，上单减，(1)+∞，上单增；②当1e k <<时，()f x 在(0ln )k ，上单增，(ln 1)k ，上单减，(1)+∞，上单增； ③当e k =时，()f x 在(0)+∞，上单增；④当e k >时，()f x 在(01)，上单增，(1ln )k ，上单减，(ln )k +∞，上单增．…………………………………………………………………（5分）（2）证明：由（1）知：若()f x 存在极小值，则1e k <<或e k >，①当1e k <<时，()f x 在(0ln )k ，上单增，(ln 1)k ，上单减，(1)+∞，上单增， 易得：()(1)e 0f x f k ==->极小，而2(ln )0k -<，所以不符合题意，舍去；…………………………………………………………………（6分）②当e k >时，()f x 在(01)，上单增，(1ln )k ，上单减，(ln )k +∞，上单增，数学参考答案·第8页（共8页）易得：2()(ln )ln(ln )(ln )f x f k k k k ==-=-极小， 得到：2ln(ln )(ln )k k k =，令ln 1t k =>，则有2e ln tt t =，得到ln ln e e ett t t t t ==，………………………………………………………………………（8分） 令ln ()(1)x g x x x =>，则21ln ()xg x x -'=， 从而得到()g x 在(1e)，上单增，(e )+∞，上单减， 又因为()(e )t g t g =，所以1e e t t <<<， 令()(2e )ln ln(2e )G x x x x x =---，1e x <<， 则2e 2e ()ln ln(2e )ln((2e ))2e 2e x x x xG x x x x x x x xx --'=-+--+=--++--2222e ln((e)e )ln(e )202e x xx xx -=---+++>-+=-， 所以()G x 在(1e)，上单增，从而()(e)0G x G <=， 得到：(2e )ln ln(2e )x x x x -<-，即ln ln(2e )2e x x xx -<-，又因为1e e tt <<<，所以ln e ln ln(2e )2e et t t t t t -=<-， 又因为()g x 在(e )+∞，上单减，所以e 2e t t >-， 从而e 2e t t +>，即ln 2e k k +>，证毕．…………………………………（12分）。

重庆市巴蜀中学2021年高三三诊考试文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．{0,1,2}A =，{|(3)0}B x x x =-<，则A B =（ ）A ．{1,2}B ．{0,1}C ．{2,3}D ．{0,1,2}2．已知函数4,0(){2,0x x x f x x ->=≤，则[(5)]f f 的值为（ ）A ．2B ．-2C ．12D ．12-3．在复平面内，复数|34|1i i++对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次是（ ） A ．①简单随机抽样，②系统抽样 B ．①分层抽样，②简单随机抽样 C ．①系统抽样，②分层抽样 D ．①②都用分层抽样 5．在等比数列{}n a 中，公比2q ，若2a 与32a 的等差中项为5，则1a =（ ）A ．3B ．2C ．1D ．-16．已知向量(1,3),(3,)a b m ==，若向量,a b 的夹角为6π，则实数m=（ ）A．BC ．0D ．7．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为36π，那么这个正三棱柱的底面边长是（ ） AB．C ．D ．98．已设变量,x y 满足约束条件250,{20,0x y x y x +-≤--≤≥，则目标函数231z x y =++的最大值为( )A ．11B ．10C ．9D ．1729．如图是计算3331210+++的程序框图，则图中的①，②处分分别为（ ）A ．,1s s i i i =+=+B ．3,1s s i i i =+=+C ．1,,i i s s i =+=+D ．31,,i i s s i =+=+10．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．73B ．8π3- C ．83D ．7π3- 11．直线l 过抛物线22(0)x py p =>的焦点F ，与该抛物线及其准线的交点依次为,,A B C ，若2CB BF =，||4AF =，则p =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．若函数()ln f x x =与函数2()(0)g x ax a =>有两个公切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1(0,)eB ．1(0,)2eC ．1(,)e+∞D ．1(,)2e+∞二、填空题 13．已知2sin 3α=，则cos(2)πα-=__________． 14．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当01x ≤≤时，()(1)f x x x =-，则当10x -≤<时，()f x =__________．15．圆2228130x y x y +--+=被直线10mx y +-=所截得的两段弧弧长之比为1:2，则m =__________． 16．设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，*n N ∈，则数列{}n b 的通项公式nb = ．三、解答题17．已知函数2()cos cos 1f x x x x =++. （1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若()2f C =，4a b +=，且ABC∆ABC ∆外接圆的半径. 18．某校高二年级进行了百科知识大赛，为了了解高二年级900名同学的比赛情况，现在甲、乙两个班级各随机抽取了10名同学的成绩，比赛成绩满分为100分，80分以上可获得二等奖，90分以上可以获得一等奖，已知抽取的两个班学生的成绩（单位:分）数据的茎叶图如图1所示:图1 图2（1）比较两组数据的分散程度（只需要给出结论），并求出甲组数据的频率分布直方图如图2中所示,,a b c 的值；（2）现从两组数据中获奖的学生里分别随机抽取一人接受采访，求被抽中的甲班学生成绩高于乙班学生成绩的概率．19．如图， AB 为圆O 的直径，点E F 、在圆O 上， //AB EF ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在的平面互相垂直.已知2AB =， 1EF =. （Ⅰ）求证：平面DAF ⊥平面CBF ；（Ⅱ）设几何体F ABCD -、F BCE -的体积分别为12V V 、，求12V V ：的值.20．已知点(1,0)A 、(4,0)B ，动点P 满足||2||PB PA =，设动点P 的轨迹为曲线C ，将曲线C 上所有点的纵坐标变为原来的一半，横坐标不变，得到曲线E . （1）求曲线E 的方程；（2）,A B 是曲线E 上两点，且||2AB =，O 为坐标原点，求AOB ∆面积的最大值. 21．已知函数2()2ln 2f x x x ax =-+，其中0a >. （1）设()g x 是()f x 的导函数，求函数()g x 的极值；（2）是否存在常数a ，使得()0f x ≤在[1,)x ∈+∞恒成立，且()0f x =在[1,)x ∈+∞有唯一解，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.22．在极坐标系中，曲线C 的方程为22312sin ρθ，点)4πR ． （1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；（2）设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值及此时P 点的直角坐标． 23．设函数()1f x x x m =++-的最小值是-3. (1)求m 的值； (2)若11m a b +=，是否存在正实数,a b 满足()()7112a b ++=？并说明理由．参考答案1．A 【解析】{}(03)12B A B =∴⋂=，，,选A.2．C 【解析】11((5))(1)22f f f -=-==,选C. 点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.3．D 【解析】341i i++55(1i)1i 2-==+,对应的点位于第四象限,选D. 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi4．B 【分析】可以从总体的个体有无差异和总数是否比较多入手选择抽样方法，①中某社区420户家庭的收入差异较大;②中总体数量较少，且个体之间无明显差异. 【详解】①中某社区420户家庭的收入有了明显了差异，所以选择样本时宜选用分层抽样法;②个体没有差异且总数不多可用简单随机抽样法．故选：B【点睛】本题主要考查抽样方法的特点及适用范围，属于容易题. 5．C 【解析】由题意得2311110210281a a a a a =+⇒=+⇒= ,选C.6．B 【解析】 因为cos ,,||a b a b a b ⋅=⋅所以cos 6π=解得m =，故选B.考点：平面向量的数量积、模与夹角. 7．C 【解析】由题意得34π36πR=33R =⇒ ,所以2aa =⇒=,选C. 8．B 【解析】作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．又z ＝2x ＋3y ＋1可化为y ＝－23x ＋3z －13，结合图形可知z ＝2x ＋3y ＋1在点A 处取得最大值． 由250{20x y x y +-=--=得3{1x y ==，故A(3,1)．此时z ＝2×3＋3×1＋1＝10. 9．B 【解析】按A 则为计算012310+++++ ; 按B 则为计算3333012310+++++ ; 按C则为计算02311++++ ; 按 D 则为计算33302311++++ ;所以选D.10．B 【分析】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积. 【详解】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为21118222123233ππ-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=.故选B. 【点睛】本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题. 11．B 【解析】设,A B 在准线的射影为11,A B ,则由2CB BF =得112230CB BF BB BCB ==⇒∠=过F 作1AA 垂线，垂足为D ,则113022AFD BCB AD AF ∠=∠=⇒== 因此11422A D AA AD AF AD =-=-=-= ,即2p = ，选B.12．D 【解析】设公切线在若函数()ln f x x =与函数()2(0)g x ax a =>的切点为21122(,ln ),(,)x x x ax 则由1(),()2f x g x ax x''== 得2212121ln 12ax x ax x x x -==- ，化简得2111(ln 1)4x x a -=-有两个不同的正根， 令211(ln 1)yx x =-，则111(2ln 1)0y x x x =-=⇒'，当1x ∈ 时，0y '< ；当1)x ∈+∞ 时，0y '>，因此e[,)2y ∈-+∞ ，从而1e 1422ea a ->-⇒> ，选D.点睛：(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.13．19-【解析】241cos(π2)cos 22sin 121.99ααα-=-=-=⨯-=-14．(1)x x + 【解析】当10x -≤<时，()f x =()[(1)](1)f x x x x x --=--+=+15．43-【解析】22(1)(4)4x y -+-= ，由题意得劣弧所对圆心角为2π3，=，所以圆心到直线距离41123r d m ===⇒=- 点睛：涉及圆中弦长问题， 一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和；直线与圆位置关系，一般利用圆心到直线距离与半径大小关系进行判断16．12n + 【解析】由条件得111112222222111n n n n n n n n a a a b b a a a ++++++++====---，且14b =，所以数列{}n b 是首项为4，公比为2的等比数列，则11422n n n b -+=⋅=．17．（1）最小正周期T π=，单调递减区间为2[,],63k k k Z ππππ++∈．（2）2R = 【解析】试题分析：（1）先利用二倍角公式及配角公式将函数化为基本三角函数()3sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,再根据正弦函数性质求最小正周期及单调递减区间；（2）先代入求3C π=,再利用三角形面积公式得43ab =，根据余弦定理求c =弦定理求外接圆的半径122sin cR C=⨯=． 试题解析：（I ）函数()2133cos cos 1cos2sin 22262f x x x x x x x π⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭， 故最小正周期22T ππ==； 令3222262k x k πππππ+≤+≤+解得：263k x k ππππ+≤≤+， 故函数的单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．（II ）由()2f C =，可得1sin 262C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0C π<<，所以132666C πππ<+<，所以5266C ππ+=，从而3C π=．由014sin6023S ab ab ==⇒=， 由余弦定理有：()()22222cos 312c a b ab ab C a b ab =+--=+-=，∴c =，由正弦定理有：122sin cR C =⨯=． 18．（1）0.05，0.02，0.01；（2）920.【解析】试题分析：（1）根据数据集中程度确定分散程度,利用频率等于频数除以总数得对应区间概率,再除以组距得,,a b c 值；（2）甲班获奖4人，乙班获奖5人，所以总事件数为45⨯,其中甲班学生成绩高于乙班学生成绩的事件数有9个(枚举法),最后根据古典概型概率求法求概率试题解析：（I ）由茎叶图可知,甲组数据更集中,乙组数据更分散a =0.05，b =0.02，c =0.01.（II ）由茎叶图知：甲班获奖4人，乙班获奖5人，所以99P A =4520=⨯（）. 19．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）4【解析】试题分析：（I ）由于直径所对圆周角为直角，故AF BF ⊥，由于CB ⊥平面ABEF ，故CB AF ⊥，所以AF ⊥平面BCF ，由此得到平面DAF ⊥平面CBF .（2）过F 作FH AF ⊥，根据面面垂直的性质定理可知FH ⊥平面ABCD ，由此可求得两个几何体的体积，进而求得体积比. 试题解析：（Ⅰ）证明：如图，∵平面ABCD ⊥平面ABEF ， CB AB ⊥,平面ABCD ⋂平面ABEF AB =，∴CB ⊥平面ABEF .∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF CB ⊥，又∵AB 为圆O 的直径，∴AF BF ⊥，∴AF ⊥平面CBF . ∵AF ⊂平面DAF ，∴平面DAF ⊥平面CBF . 【注】也可证明BF ⊥平面ADF .（Ⅱ）解：几何体F ABCD -是四棱锥、F BCE -是三棱锥， 过点F 作FH AB ⊥，交AB 于H .∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，∴FH ⊥平面ABCD . 则113V AB BC FH =⨯⨯， 21132V EF FH BC ⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭.因此，1222241V AB V EF ⨯===.20．（1）2214x y +=（2）AOB ∆面积的最大值为1.【解析】试题分析：（1）由直接法,即利用坐标表示条件2PB PA =，并化简可得224x y +=，再根据伸缩变换得曲线E 的方程为2214x y +=.（2）设直线AB 方程为：y kx t =+，由点到直线距离公式可得三角形高d =，由三角形面积公式可得122S d =⨯=，利用直线方程与椭圆方程联立方程,结合韦达定理及弦长公式可得()()22234141k t k +=+，代入消元可得S 一元二次函数,利用二次函数性质求最值. 试题解析：（I ）设()22,,4P x y x y =+=有，由伸缩变换得：()2224x y +=，即曲线E 的方程为2214x y +=.（II ）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为：y kx t =+，联立2244{x y y kx t+==+得()()222418410k x ktx t +++-=，故()2121222418,1414t kt x x x x k k-+=-=++， 由24AB = ，得()()()22222414141k t k k +=+-+，故原点O 到直线AB的距离d =，∴122S d =⨯=， 令22411k u k +=+，则()22211-u -2144S u u =+=-+，又[)2341,41u k =-∈+， 当2max 2,1u S ==时.当斜率不存在时，AOB ∆不存在，综合上述可得AOB ∆面积的最大值为1.点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决. 21．（1）极大值 (1)2g a = ，没有极小值（2）1ln 2a =- 【解析】试题分析：（1）求导数可得()2ln 222x x a g x +-+=，再求导数()22xg x x='-，即得函数()g x 的极值（2）因为()f x ' 在()1,+∞单减，结合零点存在定理可得存在01x > ，()000 2ln 2220f x x x a =+-+='，且()()0max f x f x =，又()0f x =在[)1,x ∈+∞有唯一解，所以()00f x = ，解得02x = ，从而1ln2a =-. 试题解析：（I ）()()2ln 222f x x x a g x =+-+=' ，()22xg x x='- ()g x 在()0,1 单增；在()1,+∞单减，极大值 ()12g a = ，没有极小值（II ）由(1)知：()120f a '=> ，且()f x ' 在()1,+∞单减，且x →+∞ 时()0f x '< 则必然存在01x > ，使得()f x 在()01,x 单增，()0,x +∞单减； 且()0002ln 2220f x x x a =+-+='，即00ln 1a x x =--+ ①此时：当[)1,x ∈+∞ 时，由题意知：只需要找实数a 使得()()0max 0f x f x ==()2000002ln 2f x x x x ax =-+ 将①式带入知： ()200020f x x x =-=得到02x = ，从而1ln2a =-.22．（1）2213x y +=，()2,2R ；（2）矩形的最小周长为4，点31,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）由222x y ρ+=，cos ,sin x y ρθρθ==可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）要求矩形PQRS 周长的最小值，必须把周长用一个参数表示出来，为此设,)P sin θθ，则有(2,sin )Q θ，且2,2sin PQ QR θθ==-，42sin 3PQ QR πθ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，由正弦函数的性质可得最小值及θ值．试题解析：（1）由于cos ,sin x y ρθρθ==则曲线C 的方程为22312sin ρθ=+，转化成2213x y += 点R 的极坐标转化成直角坐标为：()2,2R ；（2）设),sin Pθθ根据题意，得到()2,sin Q θ．则：2,2sin PQ QR θθ==-，所以42sin 3PQ QR πθ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭当6πθ=，()min2PQ QR+=，矩形的最小周长为4，点31,22P ⎛⎫⎪⎝⎭.考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，椭圆的参数方程，正弦函数的性质． 23．（1）2；（2）不存在 【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将函数化为分段函数形式，结合图像可得()min 13f x m =--=-，解得m 的值；（2）先利用基本不等式求()()11a b ++最值：()()111a b a b ab ++=+++，而112a b +=≥即1ab ≥，因此()()114a b ++≥，因此不存在.试题解析：（I ）因为()21,11{1,1x m x f x x x m m x +-≥-=++-=--<-，所以min 132y m m =--=-⇒=.（II ）112a b+= 21a b ab ab ∴+=≥⇒≥， ()()7111312a b a b ab ab ++=+++=+= 516ab ∴=<，矛盾.所以不存在正实数,a b 满足条件.。

数学参考答案·第1页（共10页） 巴蜀中学2022届高考适应性月考卷（三）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C B A C B A【解析】1．12i (12i)(1i)13i 1i (1i)(1i)2z -----===++-，对应的点的坐标为1322⎛⎫-- ⎪⎝⎭，在第三象限，故选C ． 2．{10123}A =-，，，，，所以A B = {101}-，，，故选D ． 3．cos y x =在(0π)，上单调递减，故为充要条件，故选C ．4．在ABC △中，由正弦定理，sin sin sin 3a b B A B =⇒=，故选B ． 5．()f x 为奇函数，故排除B ，当(0π)()0x f x ∈>，，，故排除C ，()0x f x →+∞→，，故排除D ，故选A ．6．分类：甲校2人 222532C C A 60=，甲校3人3252C A 20=，故总数有80种，故选C ．7．πππ22662αα⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵，ππππcos 2cos 2sin 26626ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴ ππ2sin cos 66αα⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π5ππππ3662αα⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵，，∴，，则πcos 63α-⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ππ12sin cos 266339αα⎛⎛⎫⎛⎫++=⨯⨯-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴，故选B ． 8．设2BF m AF m ==，，渐近线与x 轴所成角为θ，在OAF OBF △，△中分别由正弦定理：sin sin(1502)m c θθ=︒-，2sin sin 30m c θ=︒，则1sin 302sin(1502)θ︒=︒-， 则sin(1502)1θ︒-=，则30θ=︒，则tan 33b e a θ==⇒==，故选A ．数学参考答案·第2页（共10页） 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 题号 9 10 11 12 答案 AC ABD AD BCD【解析】9．线线关系中，平行具有传递性，垂直没有传递性，故A 正确，B 错误.由线面垂直的性质定 理，C 正确，平行于同一平面的两条直线不一定平行，可以相交和异面，故D 错误，故选AC.10．观察散点图，变量x 与y 具有负的相关关系，A 正确， 易得B 正确，若选择函数模型二，利用最小二乘法求出的回归方程一定经过()x a y ，，C 错误；残差=真实值-预测值，因此残差为0.1，D 正确，故选ABD ．11．1cos 2π()2212sin 226x f x x x ωωω+⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭，()f x ∵在区间ππ123⎛⎫ ⎪⎝⎭，上具有单调性，π242T ω⇒∴≤≤，()f x ∵在区间3π08⎛⎫ ⎪⎝⎭，上有且仅有2个极值点，π()4cos 26f x x ωω⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，ππ3ππ26646x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，，则3π3ππ5π1624629ω<+⇒<≤ 289ω≤，故1629ω<≤，又ω∈*Z ∵，所以2ω=，故B 错误，则π()2sin 46fx x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故()f x 的最大值为2，A 正确；当π24x =时，π()2sin 3f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭C 错误；令πππ2π42π262k x k -+++≤≤，则ππππ62122k k x -++≤≤，D 正确，故选AD ． 12．2ln ()x f x x -'=，故()f x 在(01)，递增，(1)+∞，递减，易得若()2f x m =有两个不同解，则021m <<，则102m <<，故A 错误，当0k ≤时，y kx =与()y f x =显然有且仅有1个交点，当0k >时，则()y f x =与y kx =相切时，有且仅有1个交点，设切点为00()x y ，，。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1，若f(x)在x=1处取得极小值，则f'(1)的值为：A. 1B. 2C. 3D. 42. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，d = 2，则第10项an的值为：A. 19B. 21C. 23D. 253. 已知复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z在复平面上的几何位置为：A. 实轴B. 虚轴C. 第一象限D. 第二象限4. 若等比数列{bn}的公比q = -1/2，首项b1 = 4，则数列{bn}的前n项和S_n为：A. 2^n - 1B. 2^n + 1C. 2^n - 2D. 2^n + 25. 已知函数f(x) = e^x + sin(x)，则f(x)在x=0处的导数f'(0)的值为：A. 2B. 1C. 0D. -16. 在△ABC中，若a = 3，b = 4，c = 5，则cosB的值为：A. 3/5B. 4/5C. 5/4D. 5/37. 已知函数g(x) = x^2 - 4x + 4，则g(x)的图像与x轴的交点个数为：A. 1B. 2C. 3D. 48. 在△ABC中，若∠A = 30°，∠B = 45°，则∠C的度数为：A. 105°B. 120°C. 135°D. 150°9. 已知函数h(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1，则h(x)的图像在x轴上有一个零点，则该零点所在区间为：A. (-1, 0)B. (0, 1)C. (1, 2)D. (2, 3)10. 若向量a = (1, 2)，向量b = (3, 4)，则向量a·b的值为：A. 10B. 7C. 5D. 3二、填空题（每题5分，共50分）11. 函数f(x) = (x - 1)^2 + 1的图像的顶点坐标为______。

重庆市巴蜀中学2021届高三数学（理）上学期五次月考卷一、单项 选择题 (本 大题共 8 小题， 每小题 5 分，共 40 分 在每小题 给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1. 设集合A ={x | x 2+2x －3<0 l , B ={x | x <0}, 则A ∩ B =A. (－3, 1)B. (－∞, －3)C. (－∞ , 0)D. (－3, 0)2. 巳知( l +i ) x = 2y +i , x , y ∈R , i 为虚数单位，则| x +y i |=A.2B. 3C.52D.53. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线AB 1与BD 的夹角为A.π2B.π3C.π4D.π64. 过点M ( 2, 0) 的直线l 将圆C : (x －3)2 +(y + 3)2 =18分成两段弧，当其中的优弧最长时， 直线l 的方程是A. 3x +y －6=0B.x －3y －2=0C. x =2D.y =05. 在(x －2y )( x +y )4的展开式中，x 2y 3的系数是A.8B.10C.－8D. －106. 若将函数f (x )= sin (2x +π4)的图象向左平移个单位， 再把图象上每个点的横坐标都 缩小为原来的13倍(纵坐标不变)得到g ( x )，则g ( x )的解析式为 A.g(x )= sin(6x +5π12)B. g(x )= sin(6x -π12)C. g(x )= cos(6x +5π12)D. g(x )= cos(6x +π4)7. 函数f (x )的定义域为 R , 且满足1(2),(2)()()f x f x f x f x +=+=-; 当x ∈(0, 1) 时，f (x )= x 2+3, 则f (150)= A.3B.4C.134D.2898. 已知单位向量a ,b ,且a ∙b =0, 则| t (a +b )+4b | +| t (a +b )+( a +4b )| (t ∈R )的最小值为A. 4+17B. 5C. 7D. 32二、多项选择题 (本大题共4 小题，每小题 5 分，共20分．在每小题给出的 选项中， 有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得 3分)9. 已知双曲线C :221(0)x y mn m m-=>的渐近线方程为 y =±2x ,则该双曲线的方程可以是A. 2212y x -=B. 2212x y -=C. 2212y x -=D. 2212x y -=10. 若数列{a n }满足112,,2712,,62n n n n n a a a a a +⎧⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩≤123a =，则数列{a n }中的项的值可能为A.19B.16C.13D.4311. 已知 x ,y ∈R , 且满足x 2 +4y 2 +2xy = 2, 下列正确的选项有．A.xy 的最大值为13B.xy 的最大值为12C.x 2 +4y 2的取值可以为43D. x 2 +4y 2的取值可以为412. 设函数22ln(2),2,()()(1)2|1|,2,x x f x g x x m x m x x ->⎧==-++-⎨+⎩≤，下列选项正确的有 A.当 m >3 时，f [ f ( x )] = m 有 5 个不相等的实根B. 当m =0 时，g [g ( x )] = m 有 4 个不相等的实根C.当0<m < 1 时,f [g (x ) ] = m 有 6 个不相等的实根D.当 m = 2 时， g [f ( x ) ] = m 有 5 个不相等的实根三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20 分．把答案填写在答题卡相应位置上) 13. 已知椭圆221(0)33x y m m +=>+的离心率e =13, 则 m 的值等于 .14. 正三棱柱ABC －A 1B 1C 1 的所有棱长均为2 , 点 D 为棱CC 1的中点，则四棱锥A 1－BB 1C 1D 1的体积为 ．15. 若 tan α = 3 , 则πsin()3πcos()6αα++的值为 ．16. 设数列{a n }满足2121(*)n na a n +=-∈N . (1 ) 若a 1 =－12,则a 2020 =＿＿ ；(2)若数列{a n }是正项单调递增数列, 则a 1的取值范围是 .(第一空2分,第二空3分) 四、解答题(共70 分. 解答应写出文字说明 ， 证明过程或演算步骤) 17. ( 本小题满分 10 分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2372*,2n n n n n S a +-∀∈+=N .(1) 求{a n }的通项公式；(2) 设数列{b n }满足1362n n n a b n -⨯=-， 求{b n }的前n 项和 T n .18. ( 本小题满分 12 分)在①sin A =148,② b =2 2 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中， 并解决该问题. 在△ABC 中，a , b , C 分别为角A , B , C 的对边， 且满足 a = 2 , (a +b ) (sin A －sin B )= -c (32sin A +sin C ) .(1) 求cos B 的值； (2) 已知， 求△ABC 的面积．［注］如果同时选择条件①、①并分别解答，按选择条件①的解答计分．19. ( 本小题满分 12 分)如图， 在四棱锥 P － ABCD 中，底面四边形ABCD 为梯形， AB // CD , P A =CD =6, PD =210, AD =2, AB ⊥平面 P AD .( I ) 证明： P A ⊥平面 ABCD ;(2) 若AB =92，求二面角 D －PC －B 的余弦值.20. ( 本小题满分12 分)2020 年“ 双 11” 当天各大线上网站的消费额统计都创下新高， 体现了中国在“新冠” 疫情之后经济复苏的良好态势.某网站为了调查线上购物时“高消费用户”是否与性别有一定关系， 随机调查 200 个“双11”当天在该网站消费的用户 ，得到了 如下不完整的列联表；定义“ 双11” 当天消费不高于10000元的用户为“ 非高消费用户”，消费 10000 元以上的用户为“ 高消费用户”.附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d -=++++KP (K 2≥k 0)0. 100 0.050 0. 010 0.001 k 02. 7063. 8416. 63510.828(1) ” 与性别有关？高消费用户非高消费用户总计男性用户 20女性用户40 总计80(2) 若采用分层抽样的方法从随机调查的 200 个用户中抽出 10 个人， 再随机抽 4 人， 求高消费用户人数比女性用户人数多 l 人的概率.21. ( 本小题满分 12 分)抛物线 C 的准线方程为 x =－1 , 圆O : (x －1)2+y 2= 1, 线段MN 是抛物线 C 的动弦. (1) 求抛物线 C 的标准方程； (2) 若当| MN | = m ( m > 0) 时，存在三条动弦MN , 满足直线 MN 与圆 O 相切， 求 m 的值.22. ( 本小题满分12 分)已知函数()e ln 1()ax f x x x ax a -=-+-∈R ,其中e 为自然对数的底数． (1) 当 a = 0 时， 求函数f ( x ) 的最值；(2) 若当 x >0时，函数e ax y x -=的图象 y = l 的图象有交点， 求a 的最大值； (3) 若f (x )的最小值为0 , 求a 的最大值.数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）求的。