重庆市巴蜀中学高三数学一诊试卷 文(含解析)

重庆市高2025届高三第一次质量检测数学试题（答案在最后）2024.9一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.1.不等式()()2110x x +-≥的解集为（）A.1{|2x x ≤-或1}x ≥ B.1{|2x x ≤-或1}x >C.1|12x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D.1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】A 【解析】【分析】结合一元二次不等式的解法可求不等式的解集.【详解】()()2110x x +-≥的解为12x ≤-或1x ≥，故解集为：1{|2x x ≤-或1}x ≥，故选：A.2.集合{}1,1A a =+，{}0,,5B a a =-+，若A B A ⋂=，则a 为（）A.1B.1-C.4- D.1-或4-【答案】B 【解析】【分析】根据A B A = 可得A B ⊆，故求a 的值.【详解】因为A B A = ，故A B ⊆，故10a +=或1a a +=-，若1a =-，此时{}{}0,1,0,1,4A B ==，满足A B ⊆，若1a a +=-即12a =-，此时1191,,0,,222A B ⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，不满足A B ⊆，故选：B.3.命题“()0,,e 20xx ax ∃∈+∞-<”的否定为（）A.(),0,e 20xx ax ∃∈-∞-≥ B.()0,,e 20xx ax ∀∈+∞-≥C.()0,,e 20x x ax ∃∈+∞-> D.()0,,e 20xx ax ∀∈+∞-<【答案】B【解析】【分析】由存在量词命题的否定形式可直接得出结论.【详解】易知命题“()0,,e 20xx ax ∃∈+∞-<”的否定为()0,,e 20xx ax ∀∈+∞-≥.故选：B4.随机变量()2,4N ξ ，13,2B η⎛⎫⎪⎝⎭，则（）A.()()D D ξη=B.()()E E ξη=C.()122P ξ≤=D.()112P η==【答案】C 【解析】【分析】根据二项分布和正态分布的期望和方差公式可判断AB 的正误，根据正态分布的对称性可判断C 的正误，根据二项分布的概率的公式可判断D 的正误.【详解】对于AB ，()()132,322E E ξη==⨯=，故()()E E ξη≠，()()1134,3224D D ξη==⨯⨯=，故()()D D ξη≠，故AB 错误；对于C ，根据正态分布的对称性可得()122P ξ≤=，故C 正确；对于D ，()131131C 248P η==⨯⨯=，故D 错误；故选：C.5.我们可以把365(11%)+看作每天的“进步”率都是1%，一年后是3651.01；而把365(11%)-看作每天的“落后”率都是1%，一年后是3650.99，则一年后“进步”的是“落后”的约（）（参考数据：lg0.990.004,lg1.010.004,lg832 2.92≈-≈≈）A.99倍B.101倍C.292倍D.832倍【答案】D 【解析】【分析】直接计算36536521.010.99lg 2.9≈，根据所给数值求解.【详解】()365365365365l 91.01 1.010.99 1.010.90.99g lg lg 365lg lg =-=-().101365lg lg 29929=-≈，故936536252.108321.010.99=≈.故选：D6.如图，无人机光影秀中，有8架无人机排列成如图所示，每架无人机均可以发出4种不同颜色的光，1至5号的无人机颜色必须相同，6、7号无人机颜色必须相同，8号无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（）种灯光组合.A.48B.12C.18D.36【答案】D 【解析】【分析】对6、7号无人机颜色与1至5号的无人机颜色是否相同进行分类讨论，再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果.【详解】根据题意可知，1至5号的无人机颜色有4种选择；当6、7号无人机颜色与1至5号的无人机颜色相同时，8号无人机颜色有3种选择；当6、7号无人机颜色与1至5号的无人机颜色不同时，6、7号无人机颜色有3种选择，8号无人机颜色有2种选择；再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得共有()4133236⨯⨯+⨯=种.故选：D7.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()1e xf x =-，若关于x 的方程()()()10f x m x m =+<恰有5个实数解，则实数m 的取值范围为（）A.()0,e 1- B.1e 1e ,56--⎛⎫⎪⎝⎭C.e 1e 1,86--⎛⎫⎪⎝⎭ D.1e 1e ,46--⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据题意，推得函数()f x 图象关于直线1x =对称，且函数的周期为2，再由题设函数解析式作出函数的图象，再将方程的解的个数转化为两函数的图象交点问题即可解得.【详解】由1+=1−可知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且o2+p =o −p ，因()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，故有(2)()f x f x +=，即函数()f x 的周期为2.又当[]0,1x ∈时，()1e xf x =-，故可作出函数()f x 的图象如图.由关于x 的方程()()()10f x m x m =+<恰有5个实数解，可理解为()y f x =与(1)y m x =+恰有5个交点.而这些直线恒过定点(1,0)P -,考虑直线与()f x 相交的两个临界位置(3,1e),(5,1e)A B --,由图知，需使PA PB k m k <<，即1e 1e46m --<<.故选：D .【点睛】思路点睛：本题主要考查函数对称性和周期性的应用以及函数与方程的转化思想，属于难题.解题思路在于通过对抽象等式和奇偶性的理解，推理得到函数对称性和周期性，从而作出函数的简图，接着利用方程的解的个数与两函数的交点个数的对应关系解题.8.已知定义在R 上的函数()()2e x axf x x a -+=∈R ，设()f x 的极大值和极小值分别为,m n ，则mn 的取值范围是（）A.e ,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ B.1,2e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦C.e ,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D.1,02e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】求出函数的导数，利用导数求出,m n ，结合韦达定理用a 表示mn ，再求出指数函数的值域得解.【详解】()()()22222e e 21e -+-+-+''=+-++=-+xaxx ax x ax f x x ax x x ax ，令()221g x x ax =-++，显然函数()g x 的图象开口向下，且()01g =，则函数()g x 有两个异号零点12,x x ，不妨设120x x <<，有12121,22+==-a x x x x ，而2e 0xax-+>恒成立，则当1x x <或2x x >时，()0f x '<，当12x x x <<时，()0f x '>，因此函数()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递减，在()12,x x 上单调递增，又当0x <时，()0f x <恒成立，当0x >时，()0f x >恒成立，且()00f =，于是()f x 的最大值()22222e -+==x ax m f x x ，最小值()21111e -+==x ax n f x x ，于是()()()222221212121121241212e12e e--+++-++++===-a x x ax axx x a x x x x mn x x x x ，由a ∈R ，得[)211,4a-∈-+∞，2141e ,e -⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭a ，则2141e,212e -⎛⎤∈-∞- ⎥⎝-⎦a ，所以mn 的取值范围是1,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.故选：B.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.9.若2024220240122024(23)x a a x a x a x -=++++ ，则下列选项正确的有（）A.202402a =B.01220241a a a a +++= C.2024202432024122320241222222a a a a ⎛⎫++++=- ⎪⎝⎭D.1232023202423202320246072a a a a a +++++= 【答案】ACD 【解析】【分析】利用赋值判断AC ，去绝对值后，赋值判断B ，两边求导后，再赋值，判断D.【详解】A.令0x =，得202402a =，故A 正确；B.01220240122024......a a a a a a a a ++++=-+-+，令令展开式中的1x =-，得20240122024 (5)a a a a -+-+=，故B 错误；C.令展开式中的12x =，得2024320241202320241...22222a a a aa ⎛⎫+++++= ⎪⎝⎭，所以2024202432024122320241...222222a a a a⎛⎫++++=- ⎪⎝⎭，故C 正确；D.展开式的两边求导，得()20232202220231232023202432024232320232024x a a x a x a x a x -⨯-=++++，令1x =，得1232023202423...202320246072a a a a a +++++=，故D 正确.故选：ACD10.下列选项正确的有（）A.当()02x ∈，时，函数222y x x -=+的最小值为1B.()1x ∈-∞，，函数31y x x =+-的最大值为-C.函数2y =的最小值为2D.当0a >，0b >时，若2a b ab +=，则2+a b 的最小值为32+【答案】AD 【解析】【分析】利用二次函数的定义域，求函数的最小值，判断A ，根据基本不等式判断BC ，根据“1”的妙用与变形，结合基本不等式，即可判断D.【详解】A.()222211y x x x =-+=-+，()02x ∈，，当1x =时，函数去掉最小值1，故A 正确；B.33111111y x x x x =+=-++≤-=---，当311x x -=-，1x <，得1x =31y x x =+-的最大值为1-，故B 错误；C .22y ==2t =≥，则1y t t =+在区间[)2,+∞单调递增，当2t =时，1y t t =+取得最小值52，所以函数2y =的最小值为52，故C 错误；D.若2a b ab +=，则112a b+=，则()11131231322222222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当2b aa b=时，即12a +=，24b =时，等号成立，所以2+a b 的最小值为32+，故D 正确.故选：AD11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为，且满足()()60f x f x +-=，2222233f x f x ''⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()31f '=-，()()231g x f x =--，则下列说法中正确的有（）A.函数()f x '的周期为4B.函数()g x '的图象关于点()1,1-对称C.()y f x x =-的图象关于直线=2对称D.数列(){}g n '的前2024项之和为4048-【答案】ACD 【解析】【分析】根据题设条件可得()()60f x f x ''--=、()()42f x f x ''+-=，故可求函数′的周期为4，故可判断A 的正误，利用反证法可判断B 的正误，根据()()42f x f x ''+-=可得()()424f x f x x --=-，故可判断C 的正误，计算出()()()()12348g g g g ''''+++=-后可判断D 的正误.【详解】因为()()60f x f x +-=，所以()()60f x f x ''--=，而2222233f x f x ''⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()()42f x f x ''+-=，故()()462f x f x ''-+-=即()()22f x f x '+'+=，故()()242f x f x ''+++=，故()()4f x f x +'='，故函数′的周期为4，故A 正确；又()()23g x f x ''=--，而()()122g f =-''，而()()222f f ''+=即()21f '=，故()12g '=-，若()g x '关于()1,1-对称，则()11g '=-，矛盾，故B 错误.因为()()42f x f x ''+-=，故()()42f x f x x c --=+，故()()224f f c ''-=+即4c =-，故()()4(4)f x x f x x -=---故()y f x x =-的图象关于直线=2对称，故C 正确.因为′的周期为4，故()g x '的周期也是4，而()()22f x f x '+'+=，故()()022f f ''+=，故()()()()1322204g g f f '''-'+=-=-，因为()31f '=-，故()()0232g f ''=-=，故()42g '=，又()()132f f ''+=，故()13f '=，故()()2216g f ''=-=-，故()()()()12348g g g g ''''+++=-，故数列(){}g n '的前2024项和为()2024840484⨯-=-，故D 正确；故选：ACD.【点睛】思路点睛：根据抽象函数的单调性我们可得到该函数的周期性及导函数的周期性、对称性等，性质讨论的方法是变换的思想.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知π1sin 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_____【答案】13【解析】【分析】根据已知结合诱导公式计算求解即可.【详解】2πππ1sin sin παsin 3333αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故答案为：13.13.若221919C C mm -=，则33345C C C m +++ 的值为______【答案】69【解析】【分析】根据组合数的性质及参数范围得出参数m ，再计算组合数即可.【详解】因为221919C C mm -=，所以22m m =-或2219m m +-=，解得2m =或7m =,因为33345C C C m +++ ，所以3m ≥,可得7m =,所以3333333454567C C C =C C C C 410203569m ++++++=+++= .故答案为：69.14.函数2e 12()e 21x x xh x -=++，不等式()22(2)2h ax h ax -+≤对R x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是_____【答案】[]2,0-【解析】【分析】由解析式得出()()2h x h x +-=，令()()1f x h x =-，得()f x 为奇函数，再利用导数得出()f x 的单调性，根据奇偶性与单调性求解不等式即可．【详解】因为2e 122()e e e 2121x x xx x xh x --=+=-+++，所以22222()()e e e e 221212121x x x x xx x x x h x h x ---⋅+-=+-++-==++++，令()()1f x h x =-，则()()0f x f x +-=，可得()f x 为奇函数，又因为()()222ln 41ln 4()e e e e e 121e 21222x x x x x xx x x x xf x --'⎛⎫''=+-=+-=+ ⎪+⎝⎭+++，1e 2e x x +≥，当且仅当1e e xx =，即0x =时等号成立；ln 4ln 4ln 2142222xx ≤=++，当且仅当122xx =，即0x =时等号成立；所以()0f x '>，可得()f x 在R 上为增函数，因为()2222(2)2(2)(2)0(2)(2)h ax h ax f ax f ax f ax f ax -+≤⇔-+≤⇔-≤-，所以2220ax ax +-≤在R 上恒成立，当0a =时，显然成立；当0a ≠，需满足2Δ480a a a <⎧⎨=+≤⎩，解得20a -≤<，综上，[]2,0a ∈-，故答案为：[]2,0-．【点睛】关键点点睛：由函数解析式得出()()2h x h x +-=，构造()()1f x h x =-是解题关键．四、解答题：本大题共5小题，共77分.15.已知函数()eln f x x x=+（1）求=op 在()()1,1f 处的切线方程；（2）求=在1,3e⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值.【答案】（1）()1e 2e 1y x =-+-（2）2【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程；（2）根据导数与函数单调性的关系，判断函数的单调性，再求函数的最小值.【小问1详解】()eln f x x x=+，()1e f ∴=，且()21ef x x x'=-，()11e f '∴=-，切线方程为：()()e 1e 1y x -=--，即()1e 2e 1y x =-+-；【小问2详解】()221e e x f x x x x-'=-=，当1,e e x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()0f x '<，()y f x =在1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当()e,3x ∈，()0f x '>，()y f x =在()e,3上单调递增，()f x \在区间1,3e⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值为()2f =e .16.我国承诺2030年前“碳达峰”，2060年“碳中和”，“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；“碳中和”是指针对排放的二氧化碳要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉.做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.重庆十一中某班利用班会课时间组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.首先出战的是第一组、第二组、第三组，已知第一组、第二组通过初赛和复赛获胜的概率均为23，第三组通过初赛和复赛的概率分别为p 和43p -，其中304p <≤，三组是否通过初赛和复赛互不影响.（1）求p 取何值时，第三组进入决赛的概率最大；（2）在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数X 的分布列和数学期望.【答案】（1）49（2）分布列见解析，43【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质可求当23p =时，第三组进入决赛概率最大为49.（2）根据二项分布可求X 的分布列和数学期望.【小问1详解】由题知：第三组通过初赛和复赛的概率2204424()3339p p p p p p ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，又因为3044013p p ⎧<≤⎪⎪⎨⎪≤-≤⎪⎩，所以1334p ≤≤所以，当23p =时，第三组进入决赛概率最大为49.【小问2详解】由（1）知：第一组、第二组、第三组进入决赛的概率均为224339⨯=.因为进入决赛的队伍数43,9X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()03341250C (19729P X ==⨯-=；()123443001001C (199729243P X ==⨯⨯-==；()22344240802C ()199729243P X ⎛⎫==⨯⨯-== ⎪⎝⎭；()3334643C (9729P X ==⨯=.所以随机变量X 的分布列为:X123P1257291002438024364729()1251008064401237292432437293E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.17.四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PA AB ==，点E 是棱PC 上一点.（1）求证：平面PAC ⊥平面BDE ；（2）当E 为PC 中点时，求平面ABE 与平面DBE 所成锐二面角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）π3【解析】【分析】（1）根据线面垂直性质以及正方形性质，利用面面垂直判定定理即可得出证明；（2）建立空间直角坐标系，分别求得两平面法向量即可求得结果.【小问1详解】底面ABCD 是正方形，BD AC ∴⊥，PA ⊥ 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ∴⊥，又BD AC ⊥，PA AC A = ，PA ，AC ⊂平面PAC ，BD ∴⊥平面PAC ，又BD ⊂平面BDE ，∴平面PAC ⊥平面BDE .【小问2详解】PA ⊥ 平面ABCD ，A ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥，以A 为坐标原点，A ，A ，AP 所在直线分别为x ，y ，z建立空间直角坐标系,如下图所示：则0,0,0，()2,0,0B ，()0,2,0D ，()2,2,0C ，()0,0,2P ，()1,1,1E ，()()()2,0,0,1,1,1,2,2,0AB BE BD ==-=-，设平面ABE 的法向量为()111,,n x y z =，则1111200n AB x n BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，解得10x =，令11y =，得11z =-，故平面ABE 的一个法向量为 =0,1,−1，设平面DBE 的法向量为()222,,m x y z =，则222222200m BD x y m BE x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ,解得20z =，令21x =，得21y =，故平面DBE 的一个法向量为()1,1,0m =，设平面ABE 与平面DBE 所成锐二面角为θ，则1cos 2m nm nθ⋅=== ，所以平面ABE 与平面DBE 所成锐二面角的大小为π3.18.椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点23,22⎫-⎪⎝⎭且()0b c c =>.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，1112AF BF ⋅= ，求1ABF 的面积.【答案】（1）2212x y +=（2）3.【解析】【分析】（1）代入点23,22⎛- ⎝⎭坐标并于b c =联立计算可得222,1a b ==，求出椭圆C 的标准方程；（2）联立直线和椭圆方程并利用向量数量积的坐标表示以及韦达定理即可得出2m =±，再由弦长公式计算可得结果.【小问1详解】将,22⎛- ⎝⎭代入椭圆方程可得2213241a b +=，即2213124a b +=，又因为b c =，所以222a b =，代入上式可得222,1a b ==，故椭圆C 的标准方程为2212x y +=；【小问2详解】由(1)可得()()12121,0,1,0,2F F F F -=，设直线l 的方程为()()11221,,,,x my A x y B x y =+，如下图所示：联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222210m y my ++-=，所以12122221,22m y y y y m m +=-=-++，则()()1111221,,1,AF x y BF x y =---=---，所以()()1111221212121,1,1AF BF x y x y x x x x y y ⋅=------=++++()()()2221212122222221211142222m m m m y y my my y y m m m m =+++++++=----++++227122m m -==+，解得24m =，即2m =±，所以121221,36y y y y +=±=-，则1ABF 的面积()212121212110423S F F y y y y y y =-=+-=.19.给定两个正整数m ，n ，函数()f x 在=0处的[],m n 阶帕德近似定义为：()0111mm n n a a x a x R x b x b x+++=+++ ，且满足：()()00f R =，()()00f R '='，()()()()()()0000m n m n f R f R ++'='''= .已知()()ln 1f x x =+在=0处的[]1,1阶帕德近似()1a bx R x cx+=+注：()()'''[]f x f x ='，()()'''[]f x f x ''='，()()()4'[]f x f x '''=，()()()()54'[]f x f x =，…（1）求a ，b ，c 的值；（2）比较()11x c f x ⎛⎫+⎪⎝⎭与的大小，并说明理由；（3）求不等式1211(1)e (1)x x x x++<<+的解集，其中e 2.71828=【答案】（1）102a b a c ===，，；（2）()11x c f x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，理由见解析；（3）()0,∞+.【解析】【分析】（1）根据新定义先求导函数，再代入求参即可；（2）先化简换元令11t x+=，再求导函数根据正负得出函数单调性即可证明；（3）结合（2）结论应用单调性解不等式【小问1详解】因为()()()ln 11a bxf x x R x cx+=+=+，，()()()()()''''2232111(1)(1)(1)b ac c b ac f x R x f x R x x cx x cx ---==='-++'=++，，，()()00f R =，则()()000a f R '=='，，则1b ac =-，则1b =，()()()''''100122f R b ac c c =-=--=，，，所以1012a b c ===，，.【小问2详解】()111ln 12x c f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令11t x+=，则()()()()11ln 0,11,21t x c f t t x t ∞+⎛⎫+=∈⋃+⎪-⎝⎭，，令()()()()21ln 0,11,1t h t t t t ∞-=-∈⋃++，，ℎ'(p =1−4(r1)2=(K1)2or1)2>0，所以()h t 在()0,1单调递增，在()1,∞+单调递增，()()()0,1,10t h t h ∈<=，即()21ln 1t t t -<+，所以r12(K1)ln >1，∈(1,+∞),ℎ(p >ℎ(1)=0,ln >2(K1)r1，所以r12(K1)ln >1，综上，()11x c f x ⎛⎫+>⎪⎝⎭.【小问3详解】若要使12111e 1xx x x +⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则110x+>，即1x <-或>0，当121e 1xx +⎛⎫<+ ⎪⎝⎭时，即ln 1+r 12>1,ln 1+>1，由（2）知上式成立，所以()(),10,x ∞∞∈--⋃+，当11e xx ⎛⎫+< ⎪⎝⎭等价于1ln 11x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，当>0时，1ln 11x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭等价于11ln 111x x⎛⎫+<+- ⎪⎝⎭，成立;当1x <-时，1ln 11x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭等价于ln 1>1+1−1，不成立，所以解集为()0,∞+.。

数学参考答案·第1页（共8页） 巴蜀中学2024届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号 12345678答案 C A D A B C B D【解析】1．{|13}A x x =-≤≤， {|2}B x x =≥，所以[23]A B = ，，故选C ．数学参考答案·第2页（共8页）图1ln ()x f x ，则1()()ln ()0g x f x x f x x''=+< ，0，所以当01x <<时，()0g x >，当1x >时，g 时，ln 0x >，所以当)1(0x ∈，时，()0f x <. 0时，()0f x <；又()f x 为奇函数，所以当x 0>可化为09850x x <⎧⎨->⎩，或09850x x >⎧⎨-<⎩，，解得0，故选D ．（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号 9 10 11 12 答案 BC AC ACD ABC【解析】A 选项错误；11()()()24P A P B P AB P ====，图2（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13 14 15128 30数学参考答案·第3页（共8页）数学参考答案·第4页（共8页） 【解析】17．（本小题满分10分）（1）证明：1211(1)140b a a =+=++=≠，……………………………………………（1分）1222121221(1)12222(1)2n n n n n n n b a a a a a b ++++=+=++=+=+=+=，…………………（3分） ∴12n nb b +=，∴{}n b 为以4为首项，2为公比的等比数列．……………………………（5分） （2）解：由（1）知：11122142221n n n n n n b a a -++=+===- ，，∴……………………（6分） 又112212112122n n n n n a a a ++--=+=-=-，，∴……………………………………………（7分） 所以2135212462()()n n n S a a a a a a a a -=+++++++++34(12)4(12)2238.1212n n n n n n +⎡⎤⎡⎤--=-+-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦……………………………………（10分）数学参考答案·第5页（共8页） 18．（本小题满分12分）……………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分） （1）证明：222111AC A C AA A C AC +=⊥，，∵∴又1111111ACC A ABC ACC A ABC AC A C ACC A ⊥=⊂ 平面平面，平面平面，平面，1.A C ABC ⊥平面∴又AB ABC ⊂平面，1.A C AB ⊥∴ ………………………………………………………（4分）（2）解：由111111121222332B ACC A B ACA A ABC ABC V V V S A C AC BC A C ---====⨯⨯⨯ △133BC == BC =∴………………………………………………………………………………（5分）以C 为坐标原点，1CA CB CA，，分别为x y z ，，的正向建立空间直角坐标系，则各点坐标如下：数学参考答案·第6页（共8页）1(000)00)(00)(00C A B A ，，，，，，，， ………………………………（7分）取平面1CA B 的法向量为(100)m = ，，，设平面11A BB 的法向量为000()n x y z =，，，取111(0(0BB AA A B ===，，则01100x n BB n A B ⎧=⎪=⎨=⎪⎩，………………………………………………（10分） 设二面角11C A B B --的大小为θ，则|cos ||cos |m n θ=〈〉==，所以二面角11C A B B --的正弦值为sin θ== …………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）患病者被误诊即被判定为阴性的概率为： 197.5950.002(10095)0.5%.10095P -=⨯⨯-=- ………………………………………………（3分）（2）当[95100)c ∈，时， 95()5%0.002(10095)(15%)10095c f c -=⨯⨯⨯-+-⨯-41000.010(10095)0.002(105100)(949500)1010095c c --⎡⎤⨯⨯-+⨯-=-+⨯⎢⎥-⎣⎦，…………（6分）当[100105]c ∈，时，100105()5%0.002(10095)0.012(105100)(15%)105100105100c c f c --⎡⎤=⨯⨯-+⨯⨯-+-⨯⎢⎥--⎣⎦40.002(105100)(131400)10c -⨯⨯-=-+⨯，……………………………………………（9分）∴44(949500)10[95100)()(131400)10[100105]c c f c c c --⎧-+⨯∈⎪=⎨-+⨯∈⎪⎩，，，，，，………………………………………（10分） ()f c ∵在[95105]c ∈，单调递减，所以105c =时()f c ，最小．……………………（12分）21．（本小题满分12分）数学参考答案·第7页（共8页）数学参考答案·第8页（共8页）。

渝中区巴蜀中学2021届高三数学“一诊〞模拟测试题 理〔含解析〕制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。

一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项满足题目要求的()131i i z i-=+，那么其一共轭复数z 的虚部为〔 〕A. -1B. 1C. -2D. 2【答案】B 【解析】 【分析】利用复数乘法、除法运算化简z ，由此求得z 的一共轭复数z ，进而求得z 的虚部. 【详解】依题意()()()()3134221112i i i iz i i i i +-+-====-++-，故2z i =+，其虚部为1. 应选：B.【点睛】本小题主要考察复数乘法、除法的运算，考察一共轭复数的概念，考察复数虚部，属于根底题.1|0x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，集合(){}|lg 21B x y x ==-，那么A B =〔 〕A. (]0,1B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,12⎛⎤⎥⎝⎦D. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】解分式不等式求得集合A ，求函数定义求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由10x x -≥解得01x <≤，由210x 解得12x >，故1,12A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦， 应选：C.【点睛】本小题主要考察交集的概念和运算，考察分式不等式的解法，考察对数函数的定义域，属于根底题.a ，e 均为单位向量，当a ，e 的夹角为23π时，a 在e 方向上的投影为〔 〕A. B. 12-C.12【答案】B 【解析】 【分析】根据向量投影计算公式，计算出所求的投影. 【详解】a 在e 上的投影为21cos ,cos 32a a e π<>==-， 应选：B.【点睛】本小题主要考察向量投影的概念和运算，考察单位向量，属于根底题.{}n a 满足3243a =a ，那么数列{}n a 中一定为零的项是〔 〕A. 6aB. 7aC. 8aD. 9a【答案】A 【解析】 【分析】将条件转化为1,a d 的形式，由此判断出一定为零的项.【详解】设公差为d ，由3243a =a 得15a d =-，∴6150a a d =+=， 应选：A.【点睛】本小题主要考察等差数列的根本量计算，属于根底题.5.新高考方案规定，普通高中学业程度考试分为合格性考试〔合格考〕和选择性考试〔选择考〕.其中“选择考〞成绩将计入高考总成绩，即“选择考〞成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进展排序，评定为A 、B 、C 、D 、E 五个等级.某试点高中2021年参加“选择考〞总人数是2021年参加“选择考〞总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考〞的程度情况，统计了该校2021年和2021年“选择考〞成绩等级结果，得到如以下图表：针对该校“选择考〞情况，2021年与2021年比拟，以下说法正确的选项是〔〕A. 获得A等级的人数减少了B.C. 获得D等级的人数减少了一半D. 获得E等级的人数一样【答案】B【解析】【分析】设出两年参加考试的人数，然后根据图表计算两年等级为A,B,C,D,E的人数，由此判断出正确选项. 【详解】设2016年参加考试x人，那么2018年参加考试2x人，根据图表得出两年各个等级的人数如以下图所示：年份 A B C D E2021 0.28x0.32x0.30x0.08x0.02x2021 0.48x0.8x0.56x0.12x0.04x由图可知A,C,D选项错误，B选项正确，故本小题选B.【点睛】本小题主要考察图表分析，考察数据分析与处理才能，属于根底题.6.执行如下图的程序框图，输出的结果为()A. 201921-B. 201922-C. 202022-D. 202021-【答案】C 【解析】 【分析】由中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，由于()2019232019202021222222212S -=+++⋯+==--．应选：C ．【点睛】此题考察了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是根底题．()23cos 2sin 232f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，将函数()f x 的图像向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图像，假设()g x 为偶函数，那么ϕ的最小值是〔 〕 A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】A【解析】 【分析】利用诱导公式、辅助角公式化简()f x ，求得()f x 向左平移ϕ个单位后的()g x 的解析式，根据()g x 为偶函数，求得ϕ的表达式，由此求得ϕ的最小值. 【详解】()πππcos 2cos 2sin 2cos 2626f x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦12cos 22x x =+sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向左平移()0ϕϕ>，得()sin 226g x x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，又()g x 为偶函数，令π2π62k πϕ+=+，得26k ππϕ=+，由于0ϕ>，k Z ∈，∴ϕ最小值为6π，应选：A.【点睛】本小题主要考察诱导公式、辅助角公式，考察三角函数图像变换，考察根据三角函数的奇偶性求参数，属于中档题.{}n a 的前n 项和为n S ，满足()112n n n n S a =-+，那么135S S S ++=〔 〕 A. 0 B.564 C.1764D.2164【答案】D 【解析】 【分析】根据题目所给条件，求得135,,S S S 的值，进而求得它们的和.【详解】()()()11122nn n n n S S S n -=--+≥，假设n 为偶数，那么112n nS -=，∴112k k S +=〔k 为奇数〕. 那么135111214166464S S S ++=++=，应选：D.【点睛】本小题主要考察()12n n n a S S n -=-≥的运用，属于根底题.C ：()220y px p =>，过其焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，记AOB ∆的面积为S ，且满足3AB FB ==，那么p =〔 〕A.12B. 1C.32D. 2【答案】D 【解析】 【分析】结合抛物线的定义，计算出三角形OAB 的面积S ，由此列方程，解方程求得p 的值. 【详解】设FB a =， ()()1122,,,A x y B x y ，那么211122AOB S p y y ∆=⨯⨯-，根据抛物线的定义可知()222122y y AB AF BFa -=--=.依题意3232AB FB S ==， 那么3211322222a p a =⨯⨯⨯，∴2p =， 应选：D.【点睛】本小题主要考察抛物线的定义，考察与抛物线有关的三角形面积的计算，考察方程的思想，属于根底题.10.某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外接球的体积为〔 〕287 287C.2127D.28219【答案】C 【解析】 【分析】将三视图复原为原图，几何体是底面为边长为2的等边三角形，高为2的三棱锥.根据等边三角形外接圆的半径，计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积.【详解】将三视图复原为原图如图，可得几何体是底面为边长为2的等边三角形，高为2的三棱锥.等比三角形的外接圆半径为1223π33sin 3==，所以其外接球的222237133R ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，213R =.那么342821327V R ππ==球，应选：C.【点睛】本小题主要考察三视图复原为原图，考察三棱锥外接球体积有关计算，属于根底题.()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的关于直线1y =-对称的点在()1g x kx =-的图像上，那么k 的取值范围是( ) A. 13(,)34B. 13(,)24C. 1(,1)3D. 1(,1)2【答案】D 【解析】 【分析】根据对称关系可将问题转化为()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点；利用导数研究()f x 的单调性从而得到()f x 的图象；由直线1y kx =--恒过定点()0,1A -，通过数形结合的方式可确定(),AC AB k k k -∈；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得AC k 和AB k ，进而得到结果.【详解】()1g x kx =-关于直线1y =-对称的直线方程为：1y kx =--∴原题等价于()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点由1y kx =--可知，直线恒过点()0,1A - 当0x >时，()ln 12ln 1f x x x '=+-=-()f x ∴在()0,e 上单调递减；在(),e +∞上单调递增由此可得()f x 图象如以下图所示：其中AB 、AC 为过A 点的曲线的两条切线，切点分别为,B C由图象可知，当(),AC AB k k k -∈时，()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点 设(),ln 2C m m m m -，0m >，那么ln 21ln 10AC m m m k m m -+=-=-，解得：1m =1AC k ∴=-设23,2B n n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，0n ≤，那么23132220AB n n k n n ++=+=-，解得：1n =- 31222AB k ∴=-+=-11,2k ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，那么1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭此题正确选项：D【点睛】此题考察根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是可以通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进展求解.ABC ∆中，A 、B 、C 为其三内角，满足tan A 、tan B 、tan C 都是整数，且A B C >>，那么以下结论中错误的选项是〔 〕 A. 25A π>B. 3B π>C. 49A π<D. 512B π<【答案】A 【解析】 【分析】首先判断出,,A B C 均为锐角，根据tan A 、tan B 、tan C 都是整数，求得tan A 、tan B 、tan C 的值，进而判断出结论错误的选项.【详解】由于0C B A π<<<<，所以B 、C 都是锐角，又tan B 、tan C 都是正整数，这样()ta ta n tan 0tan tan n 1tan B CA CBC B +=+-->=，可见A 也是锐角.这时，tan 1C ≥，tan 2B ≥，tan 3A ≥.有tan tan tan 1tan tan 1A BC A B +=≥-，即()()tan 1tan 12A B --≤.但是tan 12A -≥，tan 11B -≤，比拟可知只可能tan 3A =，tan 2B =，tan 1C =.由tan B >3B π>，选项B 是正确的.至于选项C 和D ，由5tan 2tan 12A π=>，可知512A π<，又54129ππ<，应选项C 正确； 又由512A B π>>，选项D 正确、A 选项错误. 应选：A.【点睛】本小题主要考察两角和的正切公式，考察三角形内角和定理，考察分析、考虑与解决问题的才能，属于中档题.二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分 13.()()()()52501252111x a a x a x a x +=+++++++，那么2a =______.【答案】10 【解析】 【分析】将二项式等价变形为()()55211x x +=++⎡⎤⎣⎦，根据变形后的二项式展开式的通项公式，求得2a 的值.【详解】()()55211x x +=++⎡⎤⎣⎦，其通项公式为()151r r r T C x +=+，故()22351T C x =+，所以22510a C ==.故答案为：10【点睛】本小题主要考察二项式展开式的通项公式，考察化归与转化的数学思想方法，属于根底题.C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以线段12F F 为直径的圆交C 的一条渐近线于点P 〔P 在第一象限内〕，假设线段1PF 的中点Q 在C 的另一条渐近线上，那么C 的离心率e =______.【答案】2【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质和渐近线的性质，求得1260FOQ POQ POF ∠=∠=∠=︒，由此求得3ba=，进而利用21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭计算出双曲线的离心率. 【详解】由图可知，OQ 是线段1F P 的垂直平分线，又OP 是12Rt F PF ∆斜边的中线，∴OP c =，且1260FOQ POQ POF ∠=∠=∠=︒，∴tan 603ba=︒=，所以2e =. 故答案为：2【点睛】本小题主要考察双曲线离心率的求法，考察双曲线的渐近线，考察数形结合的数学思想方法，属于根底题.15.中国光谷〔〕某科技公司消费一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，假设元件1或者元件2正常工作，且元件3正常工作，那么该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命〔单位：小时〕均服从正态分布()210000,10N ，且各个元件能否正常工作互相HY.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况〔各部件能否正常工作互相HY 〕，那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为______台.【答案】375 【解析】 【分析】先求得元件1和2并联电路正常工作的概率，乘以元件3正常工作的概率，由此求得部件正常工作超过10000小时的概率.利用二项分布均值计算计算公式，计算出1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值.【详解】由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为12，那么部件正常工作超过10000小时的概率为21131228⎡⎤⎛⎫-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又1000台仪器的该部件工作服从二项分布，所以平均值为310003758⨯=台. 故答案为：375【点睛】本小题主要考察互相HY 事件概率计算，考察二项分布的识别和二项分布期望的计算，属于根底题.1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为体对角线1BD 上的一点，且()()10,1BP BD λλ=∈，现有以下判断：①11A D C P ⊥；②假设1BD ⊥平面PAC ，那么13λ=；③PAC ∆周长的最小值是假设PAC ∆为钝角三角形，那么λ的取值范围为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中正确判断的序号为______. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用线面垂直证明线线垂直，由此判断①正确.在直角三角形中，利用射影定理求得13PB BD =1ABD ∆和1CBD ∆展开成平面，由此求得AP CP +的最小值，进而求得三角形PAC ∆APC ∆为直角三角形时λ的值，由此确定λ的取值范围【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，1A D ⊥平面11ABC D ，又1C P ⊂平面11ABC D ，故11A D C P ⊥，①正确；由1BD ⊥平面PAC ，在1Rt ABD ∆中，212,AB AD BD ===由于1BD AP ⊥，由射影定理得21AB BP BD =⋅,即4PB PB =⋅=13PB BD ==,可得13λ=，故②正确；将1ABD ∆和1CBD ∆展开，可得AP CP +，又AC =利用1BD ⊥平面11AC D ，可得当APC ∆为直角三角形时，23λ=，故当APC ∆为钝角三角形时，λ的取值范围为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，④正确. 所以正确判断为①②④. 故答案为：①②④【点睛】本小题主要考察正方体中的线线、线面垂直有关命题真假性判断，考察间隔 和的最值的求法，考察空间想象才能和逻辑推理才能，属于中档题.三、解答题：解容许写岀文字说明、证明过程或者演算步骤ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的内角平分线，点D 在线段BC 上，且2BD CD =.〔1〕求sin B 的值；〔2〕假设1AD =，求ABC ∆的面积. 【答案】〔1〕5sin 5B =；〔2〕98ABC S ∆=【解析】 【分析】〔1〕利用正弦定理列方程，求得1sin cos 2B B =，两边平方后利用同角三角函数的根本关系式求得sin B 的值.〔2〕首先求得cos B 的值，利用两角和的正弦公式求得sin BDA ∠，然后求得AB ，进而求得AC ，从而求得三角形ABC 的面积.【详解】〔1〕在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD AD BAD B =∠，即sin 45sin BD ADB︒=，在ACD ∆中，由正弦定理得()sin sin 90CD AD CAD B =∠︒-，即sin 45cos CD AD B=︒，两式相除得sin 1cos 2B CD B BD ==，即1sin cos 2B B =， ∴()22211sin cos 1sin 44B B B ==-，即21sin 5B =，又0B π<<，所以sin 0B >，故5sin 5B =. 〔2〕由90BAC ∠=︒，得B 是锐角，于是25cos 5B =， 所以()sin sin 45sin cos45cos sin 45BDA B B B ︒︒∠=+=+︒31010=， 在ABD ∆中，由正弦定理得sin 32sin 2BDA AB ADB ∠==，于是32tan 4AC AB B ==， 所以113232922248ABC S AB AC ∆=⋅=⋅⋅=. 【点睛】本小题主要考察正弦定理解三角形，考察三角形的面积公式，考察同角三角函数的根本关系式，考察两角和的正弦公式，属于根底题.18.如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE ∆折起，使点D 到达点P 的位置〔P ∉平面ABCE 〕.〔Ⅰ〕证明：AE PB ⊥；〔Ⅱ〕假设直线PB 与平面ABCE 所成的角为4π，求二面角A PE C --的余弦值. 【答案】〔I 〕见解析；〔II 〕5-. 【解析】【分析】〔I 〕先证明AE POB ⊥平面，再证明AE PB ⊥；〔II 〕在平面POB 内作PQ⊥OB,垂足为Q ， 证明OP⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角A PE C --的余弦值.【详解】〔I 〕证明：在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ， ∵AB||CE,AB=CE，∴四边形ABCE 为平行四边形，∴AE=BC=AD=DE， ∴△ADE 为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD 中，3C ADE π∠=∠=，23DAB ABC π∠=∠=, ∴在等腰ADB ∆中，6ADB ABD π∠=∠=∴2362DBC πππ∠=-=,即BD⊥BC， ∴BD⊥AE，翻折后可得：OP⊥AE,OB⊥AE，又,,OP POB OB POB OP OB O ⊂⊂=平面平面，AE POB ∴⊥平面，,PB POB AE PB ⊂∴⊥平面；〔II 〕解：在平面POB 内作PQ⊥OB,垂足为Q ， 因为AE⊥平面POB ，∴AE⊥PQ，因为OB ⊂平面ABCE, AE ⊂平面ABCE,AE ∩OB=O∴PQ⊥平面ABCE ，∴直线PB 与平面ABCE 夹角为4PBQ π∠=，又因为OP=OB ，∴OP⊥OB，∴O、Q 两点重合，即OP⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为3131313(0,0,(,0,0),(0,(,0,),(,2222222P E C PE EC ∴=-=,设平面PCE 的一个法向量为1(,,)n x y z =，那么11130022,,013022x z PE n EC n x y ⎧-=⎪⎧⋅=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪+=⎪⎩ 设3x =，那么y=-1,z=1， ∴1(3,-1,1)n =，由题意得平面PAE 的一个法向量2(0,1,0)n =， 设二面角A-EP-C 为α，1212||15|cos |=5||||5n n n n α⋅==.易知二面角A-EP-C 为钝角，所以5cos =-5α.【点睛】此题主要考察空间几何元素位置关系的证明，考察二面角的求法，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和空间想象转化分析推理才能.233,33M ⎛ ⎝⎭在椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上，且点M 到C 的左、右焦点的间隔 之和为22〔1〕求C 的方程；〔2〕设O 为坐标原点，假设C 的弦AB 的中点在线段OM 〔不含端点O ，M 〕上，求OA OB ⋅的取值范围.【答案】〔1〕2212x y +=；〔2〕45,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】〔1〕根据椭圆的定义和椭圆上点的坐标，求得椭圆的HY 方程.〔2〕设出,A B 的坐标，求得AB 中点的坐标，由OM 的斜率得到()12122x x y y +=+，利用点差法求得AB 的斜率，设出直线AB 的方程并代入椭圆方程，写出判别式以及韦达定理，利用平面向量的坐标运算，化简求得OA OB ⋅的取值范围.【详解】〔1〕由条件知2241133a b +=，2a =，所以a =1b =， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.〔2〕设点A 、B 的坐标为()11,A x y ，()22,B x y ，那么AB 中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭在线段OM 上，且12OM k =， ∴()12122x x y y +=+，又221112x y +=，222212x y +=，两式相减得()()()()1212121202x x x x y y y y -++-+=，易知120x x -≠，120y y +≠，所以()1212121212y y x xx x y y -+=-=--+，即1AB k =-.设AB 方程为y x m =-+，代入2212xy +=并整理得2234220x mx m -+-=.由()2830m∆=->解得23m<，又由12223x x m +⎛=∈ ⎝，∴0m <<由韦达定理得1243m x x +=，()212213m x x -=，故()()12121212OA OB x x y y x x x m x m ⋅=+=+-+-+()()22221212414233m m x x m x x m m-=-++=-+243m =-.而0m <<OA OB ⋅的取值范围是45,33⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考察椭圆的定义和HY 方程，考察直线和椭圆的位置关系，考察点差法，考察向量数量积的坐标运算，考察运算求解才能，属于中档题.20.有“九通衢〞之称，也称为“江城〞，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.〔1〕为理解“五·一〞劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如图的频率分布直方图：现从年龄在[]42,52内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在[]47,52内的人数为ξ，求()3P ξ=；〔2〕为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心方案在2021年劳动节当日投入至少1艘至多3艘A X 〔单位：万人〕都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表： 劳动节当日客流量X 13X <<35X ≤≤5X >频数〔年〕 244以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量互相HY.该游船中心希望投入的A 型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A 型游船最多使用量〔单位：艘〕要受当日客流量X 〔单位：万人〕的影响，其关联关系如下表： 劳动节当日客流量X13X <<35X ≤≤5X >A 型游船最多使用量123假设某艘A 型游船在劳动节当日被投入且被使用，那么游船中心当日可获得利润3万元；假设某艘A Y 〔单位：万元〕表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，Y 的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2021年劳动节当日应投入多少艘A 型游船才能使其当日获得的总利润最大？【答案】〔1〕()4353P ξ==；〔2〕投入3艘A 型游船使其当日获得的总利润最大 【解析】 【分析】〔1〕首先计算出在[)42,47，[]47,52内抽取的人数，然后利用超几何分布概率计算公式，计算出()3P ξ=.〔2〕分别计算出投入1,2,3艘游艇时，总利润的期望值，由此确定当日游艇投放量.【详解】〔1〕年龄在[)42,47内的游客人数为150，年龄在[]47,52内的游客人数为100；假设采用分层抽样的方法抽取10人，那么年龄在[)42,47内的人数为6人，年龄在[]47,52内的人数为4人.可得()31464103435C C C P ξ===. 〔2〕①当投入1艘A 型游船时，因客流量总大于1，那么()3E Y =〔万元〕. ②当投入2艘A 型游船时，假设13X <<，那么30.5 2.5Y =-=，此时()521132105P Y P X ⎛⎫==<<== ⎪⎝⎭； 假设3X ≥，那么326Y =⨯=，此时()()()463555P Y P X P X ==≤≤+>=； 此时Y 的分布列如下表：此时()142.56 5.355E Y =⨯+⨯=〔万元〕. ③当投入3艘A 型游船时，假设13X <<，那么312Y =-=，此时()()21213105P Y P X ==<<==； 假设35X ≤≤，那么320.5 5.5Y =⨯-=，此时()()25.5355P Y P X ==≤≤=；假设5X >，那么339Y =⨯=，此时()()2955P Y P X ==>=； 此时Y 的分布列如下表：此时()1222 5.59 6.2555E Y =⨯+⨯+⨯=〔万元〕. 由于6.2 5.33>>，那么该游船中心在2021年劳动节当日应投入3艘A 型游船使其当日获得的总利润最大.【点睛】本小题主要考察分层抽样，考察超几何分布概率计算公式，考察随机变量分布列和期望的求法，考察分析与考虑问题的才能，考察分类讨论的数学思想方法，属于中档题.21()(1)2,2x f x x e ax ax a R =+++∈.(1)讨论()f x 极值点的个数；(2)假设00(2)x x ≠-是()f x 的一个极值点，且-2(2)>e f -，证明: 0()<1f x .【答案】(1) 当2a e -=-时，()f x 无极值点；当0a ≥时，()f x 有1个极值点；当2a e -<-或者20e a --<<时，()f x 有2个极值点；(2)证明见解析【解析】 【分析】〔1〕求导得到()()()2xf x x e a '=++；分别在0a ≥、2a e -<-、2a e -=-和20e a --<<四种情况下根据()f x '的符号确定()f x 的单调性，根据极值点定义得到每种情况下极值点的个数；〔2〕由〔1〕的结论和()22f e -->可求得()2,a e-∈-∞-，从而得到()0ln xa =-，代入函数解析式可得()0f x ；令()()ln 2,t a =-∈-+∞可将()0f x 化为关于t 的函数()g t ，利用导数可求得()g t 的单调性，从而得到()1g t ≤，进而得到结论.【详解】〔1〕()()()()222xxf x x e ax a x e a '=+++=++①当0a ≥时，0x e a +>∴当(),2x ∈-∞-时，()0f x '<；当()2,x ∈-+∞时，()0f x '>()f x ∴在(),2-∞-上单调递减；在()2,-+∞上单调递增2x ∴=-为()f x 的唯一极小值点，无极大值点，即此时()f x 极值点个数为：1个②当0a <时，令()0f x '=，解得：12x =-，()2ln x a =- ⑴当2a e -<-时，12x x <()1,x x ∴∈-∞和()2,x +∞时，()0f x '>；()12,x x x ∈时，()0f x '<()f x ∴在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递增；在()12,x x 上单调递减1x x ∴=为()f x 的极大值点，2x x =为()f x 的极小值点，即()f x 极值点个数为：2个⑵当2a e -=-时，12x x =，此时()0f x '≥恒成立且不恒为0()f x ∴在R 上单调递增，无极值点，即()f x 极值点个数为：0个⑶当20e a --<<时，12x x >()2,x x ∴∈-∞和()1,x +∞时，()0f x '>；()21,x x x ∈时，()0f x '<()f x ∴在()2,x -∞，()1,x +∞上单调递增；在()21,x x 上单调递减2x x ∴=为()f x 的极大值点，1x x =为()f x 的极小值点，即()f x 极值点个数为：2个综上所述：当2a e -=-时，()f x 无极值点；当0a ≥时，()f x 有1个极值点；当2a e -<-或者20e a --<<时，()f x 有2个极值点〔2〕由〔1〕知，假设()002x x ≠-是()f x 的一个极值点，那么()()22,,0a e e--∈-∞-⋃-又()2222f e a e ---=-->，即2a e -<- ()2,a e-∴∈-∞-02x ≠- ()0ln x a ∴=-()()()()()()()()ln 22011ln 1ln 2ln ln 2ln 222a f x a e a a a a a a a -⎡⎤∴=-++⋅-+-=-+--⎣⎦令()()ln 2,t a =-∈-+∞，那么t a e =- ()()21222t g t e t t ∴=-+-，()2,t ∈-+∞那么()()()2114422t t g t e t t t t e '=-+=-+ 当2t >-时，40t +>，0t e >∴当()2,0t ∈-时，()0g t '>；当()0,t ∈+∞时，()0g t '<()g t ∴在()2,0-上单调递增；在()0,∞+上单调递减()()max 01g t g ∴==，即()1g t ≤ ()01f x ∴≤【点睛】此题考察导数在研究函数中的应用问题，涉及到利用导数讨论函数极值点的个数、证明不等式的问题；此题中证明不等式的关键是可以通过换元的方式将()0f x 转化为关于t 的函数，利用导数求得函数最值之后即可证得结论；易错点是换元时忽略自变量的取值范围，导致定义域错误.请考生在第22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题计分xOy 中，曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩〔α为参数〕，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 〔1〕求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；〔2〕设点()1,0P - ，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值．【答案】〔1〕22193x y +=，10x y -+=；〔2〕2. 【解析】【分析】(1)利用三角恒等式消参得到曲线C 的普通方程，利用极坐标公式得到直线l 的直角坐标方程；〔2〕先证明点P 在直线l 上，再利用直线参数方程t 的几何意义解答.【详解】〔1〕因为曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩〔α为参数〕， 所以曲线C 的普通方程为22193x y +=.因为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin cos 1,10x y ρθρθ-=∴-+=.所以直线l 的直角坐标方程为10x y -+=.〔2〕由题得点()1,0P -在直线l 上，直线l的参数方程为122x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆的方程得2280t -=，所以1212+402t t t t ==-<，所以12|PA|+|PB|=||2t t -==. 【点睛】此题主要考察参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考察直线参数方程t 的几何意义，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.()()210f x x a x a =++->.〔1〕当1a =时，求不等式()4f x >的解集；〔2〕假设不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.【答案】〔1〕5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；〔2〕()5,+∞【解析】【分析】〔1〕利用零点分段法去绝对值，将不等式()4f x >转化为不等式组来求解得不等式()4f x >的解集. 〔2〕化简不等式()42f x x >-为2x a +>，由此得到2a x >-或者2a x <--，结合恒成立知识的运用，求得a 的取值范围.【详解】〔1〕当1a =时，()121f x x x =++-， 故()4f x >等价于1314x x ≤-⎧⎨-+>⎩或者1134x x -<≤⎧⎨-+>⎩或者1314x x >⎧⎨->⎩，解得1x <-或者53x >.故不等式()4f x >的解集为5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或.〔2〕当[]3,1x ∈--时，由()42f x x >-得22240x a x x ++-+->， 即2x a +>，即2a x >-或者2a x <--对任意的[]3,1x ∈--恒成立.又()max 25x -=，()min 21x --=-，故a 的取值范围为()(),15,-∞-+∞.又0a >，所以5a >，综上，a 的取值范围为()5,+∞.【点睛】本小题主要考察绝对值不等式的解法，考察含有绝对值的不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

重庆高2024级高三（上）一诊适应性考试数学试题（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2,1,0,1,2A =--，102x B x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B = （）A.{}2,1,0,1-- B.{}1,0,1,2- C.{}1,0,1- D.{}1,2【答案】C 【解析】【分析】由102x B xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭解出不等式，得到集合B ，再由交集的定义即可得到结果.【详解】由102x B xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭得{}21B x x =-<≤，又因为{}2,1,0,1,2A =--，所以A B = {}1,0,1-故选：C.2.设()()3464i z z z z ++-=-，则复数z 的模为（）A.2B.12C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】可设i z a b =+，根据复数相等的概念列方程求出复数z ，再求它的模.【详解】设i z a b =+，则i z a b =-，所以2z z a +=，2i z z b -=.由()()3464i z z z z ++-=-⇒6684a b =⎧⎨=-⎩⇒112a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以2z ==.故选：D3.已知6a = ，e 为单位向量，当向量a ，e 的夹角等于120 时，向量a 在向量e上的投影向量为（）A .3B.3-C.3e-D.3e【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件，结合向量的投影公式，即可求解【详解】||6a = ，e 为单位向量，当向量a ，e的夹角等于120︒时，则a 在e上的投影向量为||cos1203a e e ︒⨯=- ．故选：C ．4.若一个圆锥的母线长为l ，且其侧面积与其轴截面面积的比为2π:1，则该圆锥的高为（）A.2l B.3l C.4l D.5l 【答案】A 【解析】【分析】设出圆锥底面圆半径，利用圆锥侧面积公式及三角形面积公式列式计算即得.【详解】设圆锥底面圆半径为r ，圆锥高为h ，依题意，π2122rl r hπ=⨯⨯，解得2l h =，所以该圆锥的高为2l .故选：A5.在形状、大小完全相同的4个小球上分别写上4位学生的名字，放入袋子中，现在4位学生从袋子中依次抽取球，每次不放回随机取出一个，则恰有1位学生摸到写有自己名字的小球的概率为（）A.16B.13C.12D.23【答案】B 【解析】【分析】利用计数方法结合古典概型求解.【详解】4位学生从袋子中依次抽取球，每次不放回随机取出一个的方法总数为432124⨯⨯⨯=种，恰有1位学生摸到写有自己名字的小球，可以先从4人中选出1人摸到写有自己名字的小球，另外三人摸到的都不是写有自己名字的小球共1142C C 8=种，所以恰有1位学生摸到写有自己名字的小球的概率为81243=.故选：B6.将函数()sin 212f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在[]2,(0)m m m ->上单调递增，则实数m 的取值范围是（）A.110,48π⎛⎤⎥⎝⎦B.0,24π⎛⎤ ⎥⎝⎦C.11,2448ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.11,2448ππ⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数平移变换原则可得()g x ，采用整体代换的方式，结合正弦函数单调性可构造不等式组求得m 的范围，结合0m >和Z k ∈进行讨论即可求得结果．【详解】由题意知：5()(sin[2()]sin(2)661212g x f x x x ππππ=+=++=+，当[2x m ∈-，]m 时，5552[4,2]121212x m m πππ+∈-++，()g x 在[2m -，]m 上单调递增，∴542122(Z)522122m k k m k ππππππ⎧-+≥-+⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩，∴11482(Z)24k m k m k ππππ⎧≤-⎪⎪∈⎨⎪≤+⎪⎩；若11(Z)24824k k k ππππ->+∈，则93482k ππ>，∴243k <，此时24m k ππ≤+，又0m >，0k ∴=，∴024m π<≤；若11(Z)24824k k k ππππ-≤+∈，则93482k ππ≤，∴3,124k k ≥≥，此时110482k m ππ≤-<，与0m >矛盾，不合题意；综上所述：实数m 的取值范围为(0,]24π．故选：B ．7.已知134e 3a =，2e e b =，则（）A.2a b <<B.2a b<< C.2a b << D.2b a <<【答案】A 【解析】【分析】根据给定的信息构造函数()(1)e x f x x =-确定a 与2的大小关系，构造函数ln ()xg x x=确定b 与2的大小即得.【详解】由134e 3a =，得113321(e 231e )3a =-=，令函数()(1)e ,01x f x x x =-<<，求导得()e 0x f x x '=-<，则函数()f x 在(0,1)上单调递减，1((0)132f f a <==，因此2a <，由2ee b =，得2ln e b =，有ln 1ln e 2e e b ==，令函数ln (),1e xg x x x =<≤，求导得21ln ()0xg x x-'=≥，当且仅当e x =时取等号，即函数()g x 在(1,e]单调递增，ln ln e ln 22e 2b =>，即ln ln 2b >，因此2b >，所以2a b <<.故选：A【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.8.在正三棱台111ABC A B C -中，2AB =，11A B =，12AA =，则正三棱台111ABC A B C -的外接球体积为（）A.1253π B.25πC.1256πD.100π【答案】C 【解析】【分析】画出图形，由正三棱台的对称性可得，正三棱台的外接球的球心落在上底面中心与下底面中心的连线上，先求出三棱台的高，再由外切球的性质得到外接球的半径.【详解】分别取ABC 、111A B C △的中心,E F ，连结EF ，过A 作1AM A F ⊥,因为2AB =，由正弦定理得2sin 60AB AE = ，得32AE =，同理可得12A F =，所以112A M =，7,2AM =所以7,2EF AM ==设正三棱台的外接球球心O ，O 在EF 上，设外接球O 的半径为R ，所以1,OA OA R ==222OA AE OE =+，22211,OA A F OF =+即22232R OE ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2222,R OF =+又因为7,2OF OE +=解得52,2OE R ==所以正三棱台111ABC A B C -的外接球体积34125ππ36V R ==.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1AP AB AA λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）A.当1λμ==时，1BP =B.当12λμ==时，1AP C D ⊥C.当1λμ+=，且λ、μ均非零时，1//BP CD D.当12λμ+=时，四棱锥11P A BCD -的体积恒为定值【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ,根据条件可知点P 与点1B 重合，即可判定；对于B ，根据条件可知1,,A P B 三点共线，继而可判定；对于C ，根据条件可知1,,B P A 三点共线，继而可判定；对于D ,根据条件可知P 为AH 的中点，1,,B H A 三点共线，则111112P A BCD A A BCD V V --=，则可判定.【详解】对于A ,当1λμ==时，11AP AB AA AB =+=,即点P 与点1B 重合，则11BP BB ==,A 正确；对于B ，12λμ==时，11111222AP AB AA AB =+= ，1//AP AB，即1,,A P B 三点共线，,易知11//AB C D ,所以1//AP C D ,故B 错误；对于C ，当1λμ+=，且λ、μ均非零时，则1,,B P A 三点共线，易得11//BA CD ,所以1BP CD ∥，故C 正确；对于D ,当12λμ+=时，由C 知结合下图可知，P 为AH 的中点，1,,B H A三点共线，易知11111113323A A BCD A BCD V S h -=⨯⨯==为定值，则11111126P A BCD A A BCD V V --==也为定值，故D 正确，故选：ACD .10.等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ，且2431n n S nT n =+，则（）A.当21n a n =-时，452T = B.当2n S n =时，31n b n =-C.()47345a a b +=D.41142a a b +>【答案】AC 【解析】【分析】由()()1212122n n n a a n n S n ++-===和12212112()2()42()312n n n n n nn a a S a a n n b b T n b b ++===+++两个式子，结合下标和性质进行推导判断.【详解】对于A ：因为21n a n =-所以()()1212122n n n a a n n S n ++-===，224n S n=代入2431n n S nT n =+得(31)n T n n =+，所以452T =，故A 正确.对于B ：由A 知(31)n T n n =+，由11,1,2n n n T n b T T n -=⎧=⎨-≥⎩得62n b n =-，故B 不正确.对于C ：由12212112()2()42()312n n n n n nn a a S a a n n b b T n b b ++===+++，所以101104751532()2()45535142S a a a a T b b b ++⨯====⨯++，所以()47345a a b +=，故C 正确.对于D ：由C 知12212112()2()42()312n n n n n nn a a S a a n n b b T n b b ++===+++，所以11414114411411171744727()2()2()4714227()3712112a a S a a a a a ab b T b b b b ⨯++++⨯======<+⨯++，故D 不正确.故选：AC11.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点M 在C 上，MN l ⊥于N ，直线NF 与C 交于A ，B 两点，若2NA AF =，则（）A.60MNF ∠=B.43NF p =C.MB =D.37sin 14NAM ∠=【答案】AC【解析】【分析】不妨设点M 在x 轴上方，设出点()00,M x y根据已知推导出2p N ⎛⎫-⎪⎝⎭，32M p ⎛⎫⎪⎝⎭，1,63A p p ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，然后根据斜率公式和图形的几何性质判断A ，用两点间距离公式求NF 判断B 和C ，用平面向量求夹角余弦再转化为正弦判断D.【详解】不妨设点M 在x 轴上方，设点()00,M x y ，则点0,,,022p p N y F ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若2NA AF = 则点011,63A p y ⎛⎫⎪⎝⎭.将点011,63A p y ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入2:2(0)C y px p =>可得0y =，将()0M x 代入2:2(0)C y px p =>可得032x p =，所以2p N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，32M p ⎛⎫⎪⎝⎭，1,63A p p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以0322NF k p p -==⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以直线NF 的倾斜角为120︒，所以60MNF NFO ∠=∠= ，故A 正确.2NF p ==，故B 不正确.易得直线AB的方程为2y p =+，由2322y p y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩解得1213,62x p x p==所以3,2B p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以,2MB MN p ==，所以MB =，故C正确；因为2,33AN p p ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，4,33AM p p ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭所以·cos ,14AN AM AN AM AN AM〈〉==且两个向量夹角为锐角，根据同角三角函数基本关系得sin ,14AN AM 〈〉=，故D 不正确.故选：AC12.已知()e e 2x x a f x +=，()()()22e 2xg x a x x =--+，0a ≠则（）A.当1a =-时，()f x 为奇函数B.当1a =时，存在直线y t =与()y f x =有6个交点C.当21,0e a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()g x 在()0,∞+上单调递减D.当1a <-时，()g x 在()0,∞+上有且仅有一个零点【答案】ACD 【解析】【分析】AB 两个选项比较好判断；对C ，可以利用函数在给定区间上的单调性，分离参数，转化为恒成立问题求参数的取值范围；对D ，分析函数的单调性和一些特殊点的函数值符号，判断零点个数.【详解】当1a =-时，()0f x =，可以说是奇函数，故A 正确；当1a =时，()e xf x =在R 上单调递增，与y t =最多一个交点，故B 错误；因为()()()22e2xg x a x x =--+，所以()()22e 22e 1x x g x a x ⎡⎤=+--⎣⎦'()2e 231xa x =--.对C ：()g x 在()0,+∞上递减，需有()2e 2310xa x --≤（0x >）恒成立.当32x >时，()21e 23xa x ≤-，又()210e 23x x >-，且当x →+∞时，()210e 23x x →-，所以0a <.当302x <<时，()21e 23x a x ≥-.设()()2e23xh x x =-，则()()2e 44x h x x '=-，由()0h x '>⇒1x >，所以()h x 在()0,1上递减，在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上递增，所以()h x 的最小值为()21e h =-，所以21e a ≥-.所以0a <且21e a ≥-，即21,0e a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭.故C 正确；对D ：设()()2e231xm x a x =--，则()()24e 1x m x a x '=-.因为1a <-，所以当01x <<时，()0m x '>；当1x >时，()0m x '<.所以()m x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，所以()m x 的最大值为()21e 10m a =-->，又()0m =310a -->，所以()0m x =只在()1,+∞有一解，设为0x 即()020e 2310x a x --=，所以()g x 在()00,x 上递增，在()0,x +∞上递减.且()()0210g a =-+>，且当x →+∞时，()()()22e 2xg x a x x =--+→-∞，所以()g x 在()0,+∞上有且仅有一个零点.故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：已知函数的单调区间，求参数的取值范围问题，常常要分离参数，转化为恒成立或存在性问题，进而求函数的最大或最小值来解决.三、填空题：本题共4小题．13.设一组样本数据12,,,n x x x ⋯的方差为0.01，则数据1106x +，2106x +，⋯，106n x +的方差为_________．【答案】1【解析】【分析】根据新数据和原数据的关系确定方差关系，即得结果.【详解】因为数据()1,2,,i ax b i n +=⋅⋅⋅的方差是数据()1,2,,i x i n =⋅⋅⋅的方差的2a 倍，所以所求数据的方差为2100.011⨯=，故答案为：1.14.过点(P 的直线l 将圆22:420C x y x +--=分割成弧长比值为1:3的两段圆弧，则l 的斜率为_________．【答案】2【解析】【分析】由已知得到劣弧所对的圆心角为90︒，然后推导出弦心距，然后设出过点P 的点斜式方程，根据点到直线距离公式列方程求出斜率.【详解】由已知得到劣弧所对的圆心角为90︒，圆的圆心为()2,0，半径为r==d =由题意可得直线l 的斜率存在，设直线l 为：()1yk x -=-，即0kx y k --+=，所以圆心到直线的距离d ===整理得2210k -+=，解得2k =.故答案为：2.15.若直线y kx =是曲线ln y a x =的切线，也是曲线e x y =的切线，则=a _________．【答案】2e 【解析】【分析】先根据y kx =与e x y =相切，确定k 的值，再根据直线与ln y a x =相切，确定a 的值.【详解】因为y kx =与e x y =相切.()'e e x x y '==，设切点坐标为()11,e x x ，则切线方程为()111e e x xy x x -=-.因为切线过原点，所以：()1110e e 0xxx -=-⇒11x =，故切点为()1,e ，所以e k =.对函数ln y a x =，()'ln a y a x x ='=，由e a x =⇒ea x =，根据e y x =得切点纵坐标为：e·ea a =，根据ln y a x =得切点纵坐标为：()·lnln 1eaa a a =-，由()ln 1a a a =-，又由题可知0a ≠⇒2e a =.故答案为：2e 【点睛】关键点点睛：先根据e x y =的切线过原点，求出k 的值；求a 时，要注意切点即在曲线上，也在切线上，根据纵坐标相等列方程求解.16.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 为C 的左顶点，P ，Q 为双曲线一条渐近线上的两点，四边形12PFQF 为矩形，且25sin 5PAQ ∠=，则双曲线的离心率为_________．【答案】2【解析】【分析】根据给定条件，求出点,P Q 的坐标，再借助诱导公式、同角公式求出,a b 的关系即可得解.【详解】令双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的半焦距为c ，显然(,0)A a -，由双曲线的对称性，不妨令点,P Q 在双曲线C 的渐近线by x a=上，且点P 在第一象限，由四边形12PFQF 为矩形，得2||||OP OF c ==，令00(,)bx aP x ，则0x a =，(,)P a b ，(,)Q a b --，于是2AQ AF ⊥，则22π25sin sin()cos 25PAQ PAF PAF ∠=+∠=∠=，25sin 5PAF ∠=，21tan 2PAF ∠=，即直线AP 的斜率12k =，因此122b k a ==，即1b a =，所以双曲线C 的离心率为2212c b e a a==+=.故答案为：2【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：①定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；②齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等差数列{}n a 的首项10a ≠，公差为d ，n S 为{}n a 的前n 项和，n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．（1）求1a 与d 的关系；（2）若11a =，n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求使得79nT <成立的n 的最大值．【答案】（1）10a d -=或0d =（2）n 的最大值为3.【解析】【分析】（1）由n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列可得3212132S S S a a a =+，即可得到1a 与d 的关系；（2）由裂项相消法得到n T ，再解不等式即可求得n 的最大值.【小问1详解】因为n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，所以3212132S S S a a a =+，即()121232321a a a a aa a +++=+从而得到()1111223312a d a da da d++=+++，化简得()10a d d -=所以10a d -=或0d =【小问2详解】当0d =，11a =时，1n a =，111n n a a +=，所以79n T n =<，又因为N n *∈，所以n 不存在；当10a d -=，11a =时，n a n =，()1111111n n a a n n n n +==-++，所以111111711223119n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得72n <，又因为N n *∈，所以n 的最大值3.18.已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C的对边，且cos sin 0b C C a c +--=．（1）求B ；（2）若2ABC S =△，点D 在边AC 上，BCD BAD S a S c =△△，且5BD =，求b ．【答案】（1）π3B =；（2）b =.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合恒等变换可求角B 的大小.（2）根据给定条件，结合三角形面积公式求出,ABD CBD ∠∠，再利用余弦定理、三角形面积公式计算即得.【小问1详解】在ABC中，由正弦定理及cos sin 0b C C a c +--=，得sin cos sin sin sin 0B C B C A C +--=，即sin cos sin sin sin B C B C A C +=+sin()sin sin cos cos sin sin B C C B C B C C =++=++，sin sin cos sin B C C B C =+，而sin 0C ≠cos 1B B -=，即1sin()62B π-=，又0πB <<，即有5666B πππ-<-<，则66B ππ-=，所以π3B =.【小问2详解】依题意，1sin 21sin 2BCD BADa BD CBDS a S c c BD ABD ⋅∠==⋅∠ ，则sin sin ABD CBD ∠=∠，而π3ABD CBD ∠+∠=，于是π6ABD CBD ∠=∠=，11112522522ABC CBD ABD S S S a c =+=⋅⋅+⋅⋅= ，解得5a c +=，又1πsin 2342ABC S ac ===，解得6ac =，由余弦定理得22222cos ()37b a c ac B a c ac =+-=+-=，解得b =，所以b =.19.如图，在三棱锥D ABC -中，平面ABD ⊥平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，其中1AB BC ==，E 为DC 中点．（1）证明：平面DBC ⊥平面DAB ；（2）已知120DAB ∠= ，二面角E AB D --的大小为45 ，求三棱锥D ABC -的体积．【答案】（1）证明见详解（2）16【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质定理得CB ⊥平面ABD ，再根据面面垂直的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求得点D 的坐标，进一步计算即可.【小问1详解】由题知，平面ABD ⊥平面ABC ，且平面ABD ⋂平面ABC AB =,又ABC 为等腰直角三角形，其中1AB BC ==，所以CB AB ⊥,又CB ⊂平面ABC ,则CB ⊥平面ABD ，又CB ⊂平面DBC ，则平面DBC ⊥平面DAB .【小问2详解】作DF AB ⊥,交AB 于点F ,由平面ABD ⊥平面ABC ，平面ABD ⋂平面ABC AB =,知DF ⊥平面ABC ,因为120DAB ∠= ，所以60DAF ∠= ，设FA a =，则2,DA a DF ==，以点B 为坐标原点，建立,CB AB 所在直线为,x y 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,1,B A F a D a -----()1,0,0C -，因为E 为DC 中点，所以113,,222a E ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭，则()110,1,0,,,222a BA BE ⎛⎫+=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭,设平面EAB 的法向量为(),,n x y z =，则00100222y n BA x a y z n BE -=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+--+=⋅=⎪⎪⎩⎩ ，令1z =，则0,y x ==，则),0,1n =，又由()1得，平面ABD 的一个法向量()1,0,0m =，所以cos ,2m n n m m n ⋅===，解得3a =或3a =（舍），故1DF ==，则三棱锥D ABC -的体积1111113326ABC V S DF ⨯=⨯⨯=⨯⨯= .20.2023年高考分数公布后，经过相关部门的计算，本次高考总分不低于680的同学可以获得高校T 的“强基计划”入围资格．经统计甲班和乙班分别有3名和4名学生获得高校T 的“强基计划”入围资格，而且甲班和乙班高考分数高于690分的学生分别有1名和2名．高校T 的“强基计划”校考分为两轮．第一轮为笔试，所有入围同学都要参加，考试科目为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有A +，A ，B 三个等级，两科中至少有一科得到A +，且两科均不低于A ，才能进入第二轮．已知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高于690分的同学在每科笔试中取得A +，A ，B 的概率分别为12，38，18；总分不高于690分的同学在每科笔试中取得A +，A ，B 的概率分别为13，35，115；进入第二轮的同学，若两科笔试成绩均为A +，则免面试，并被高校T 提前录取；若两科笔试成绩只有一个A +，则要参加面试，总分高于690分的同学面试“通过”的概率为23，总分不高于690分的同学面试“通过”的概率为59，面试“通过”的同学也将被高校T 提前录取．若甲、乙两个班本次高考总分不低于680的同学都报考了高校T 的“强基计划”．（1）分别求出总分高于690分的某位学生进入第二轮的概率以及该生被高校T 提前录取的概率；（2）从甲、乙两班随机抽取一个班，再从该班获得高效T 的“强基计划”入围资格的学生中随机抽取2位学生，求这两位同学都通过“强基计划”被高校T 提前录取的概率．【答案】（1）总分高于690分的某位学生进入第二轮的概率为58；该生被高校T 提前录取的概率为12（2）2372.【解析】【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率计算公式即可求得结果；（2）分别求出总分不高于690分和总分高于690分的学生被高校T 提前录取的概率，再分别求出甲班和乙班各随机抽取2名学生被高校T 提前录取的概率，从而利用互斥事件概率公式即可求得结果.【小问1详解】总分高于690分的某位学生进入第二轮,记为事件A ，所以()()()11135222288P A P A AP A A +++=+=+⨯=，总分高于690分的某位学生被高校T 提前录取，记为事件B ，所以()()()211213123223282P B P A AP A A +++=+=⨯+⨯⨯=.【小问2详解】总分不高于690分的某位学生被高校T 提前录取，记为事件C ，所以()()()511513129339353P C P A AP A A +++=+=+⨯⨯=，从甲班获得高效T 的“强基计划”入围资格的学生中随机抽取2位学生，且这两位同学都通过“强基计划”被高校T 提前录取，记为事件E ，()1121222233C C C 1111114C 23C 3392727P E =⨯⨯+⨯⨯=+=，从乙班获得高效T 的“强基计划”入围资格的学生中随机抽取2位学生，且这两位同学都通过“强基计划”被高校T 提前录取，记为事件F ，()22112222222444C C C C 11111111137C 22C 33C 2324549216P F =⨯⨯+⨯+=+=，故所求概率()()437232721672P P E P F =+=+=.21.已知斜率为1的直线l 与椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>交于A ，B 两点，线段AB 的中点为21,33D ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求C 的离心率；（2）设C 的左焦点为F ，若103AF BF ⋅=，求过A ，B ，F 三点的圆的方程．【答案】21.222.221140333x y x y +---=【解析】【分析】（1）中点弦的问题可以考虑“点差法”解决.（2）联立直线与椭圆方程，利用一元二次方程根与系数的关系列出12x x +，12x x 的值，再利用10·3AF BF =求出a ，b ，c 的值.确定点A ，B ，F 的坐标，再利用待定系数法求三角形的外接圆.【小问1详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩⇒22221212220x x y y a b --+=⇒()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=又1243x x +=，1223y y +=-，所以2122122y y b x x a -=-，又2221b a =⇒()222222a b a c ==-⇒e=2c a =.【小问2详解】直线l 方程为1y x =-，椭圆C 的方程可写为：22222x y b +=.联立方程，消去y 得：()2234210x x b-+-=则：1243x x +=，()212213b x x -=，()()22221212124132·9bx x x x x x ++=+-=.又(),0F b -所以：()()2222221122··AF BFx b y x b y ⎡⎤⎡⎤=++++⎣⎦⎣⎦()()()()222211221·1x b x x b x ⎡⎤⎡⎤=++-++-⎣⎦⎣⎦()()()()()()2222212121212124412141x x b x x x x b x x b x x =+-+++++-+()()()()222122111b b x x b -++++()()()22241214441··933b b b --=⨯+-()()()()22224132121·41·93b b b b +-+++-()()()2224100211·139b b b +-+++=解得：21b =故可令12x x >得143x =，20x =.所以41,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1B -，()1,0F -.设过这三点的圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=由：1010161409933E F D F ED F ⎧⎪-+=⎪-+=⎨⎪⎪++++=⎩解得：1343D E F ⎧==-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.故所求圆的方程为：221140333x y x y +---=.【点睛】关键点点睛：解析几何的题目，关于字母的有关运算非常的麻烦，一定要认真、仔细的计算.22.已知函数()e 1x f x x-=．（1）证明：当0x <时，()1f x <；当0x >时，()1f x >．（2）正项数列{}n x 满足：()1e n x nf x +=，11x =，证明：（i ）数列{}n x 递减；（ii ）11122nin i x-=≥-∑．【答案】（1）证明见详解（2）证明见详解【解析】【分析】（1）先证明e 10x x -->，继而可得结论.（2）（i ）要证数列{}n x 递减，只证1e en nx x +<，即证e 1e nnx x nx -<，换元后，利用导数证明即可；（ii ）先证()()2e 1e ,0xx f x x x-=>>，继而得12n n x x +>，则11122n n n x x -->>，根据条件，求和即可.【小问1详解】设()()e 10xg x x x =--≠，则()e 1x g x '=-，令()e 10x g x '=->得0x >，令()e 10x g x '=-<得0x <，所以()g x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，则()(0)0g x g >=，即e 10x x -->，则当0x <时，e 11x x-<即()1f x <；0x >时，e 11x x->即()1f x >.【小问2详解】（i ）因为数列{}n x 各项为正，要证数列{}n x 递减，只需证明10n n x x +<<，即证1e e n n x x +<，又()1e 1en n x x n nf x x +-==，所以即证e 1e n nx x nx -<，令0n t x =>，不等式化为()e 110tt ⋅-+>，设()()e 11,0tg t t t =⋅-+>，则()e 0t g t t ='⋅>，恒成立，故()()e 11tg t t =⋅-+在()0,∞+上单调递增，则()(0)0g t g >=恒成立，即()e 110tt ⋅-+>在()0,∞+上恒成立，则原命题得证.（ii ）先证明：()()2e 1e ,0x x f x x x-=>>，即证2e 10xx xe -->，设2()=e e 1,0x x h x x x -->，则22()=e e e 2x x xx h x ⎛⎫-+ ⎝'⎪⎭222=e e 1e (e 1)022x x x x x x ⎛⎫-+=⋅--> ⎪⎝⎭，()e 10x x -->所以()h x 在()0,∞+上单调递增，则()(0)0h x h >=，则所证不等式()()2e 1e ,0x x f x x x-=>>成立.又0n x >，()12e e nn x x n f x +=>，所以12n n x x +>，11x =，所以12122x x >>，2321,22x x >>⋅⋅⋅11122n n n x x -->>，则当2n ≥时，11111112222n i n n i x --=>++⋅⋅⋅+=-∑，又当1n =时，1111212x -=-=，故11122n i n i x -=≥-∑成立.【点睛】本题第一问的关键点是：先证明e 10x x -->，继而分0x >和0x <，变化不等式，可得到结论；本题第二问的关键是（i ）：构造不等式1e e n n x x +<，不等式化为e 1e n n x x n x -<，利用换元法，设n t x =，构造函数()()e 11t g t t =⋅-+，利用导数证明；（ii ）先证明()()2e 1e ,0x x f x x x -=>>，继而得到()12e e n n x x n f x +=>，12n n x x +>，再结合等比数列的前n 和求解.。

5．如图，若一个空间几何体的三视图中，直角三角形的直角边长均为1，则该几何体的体积为( )A ．B ．C ．D ．6．执行如图的程序框图，输出的T=( )A ． 30B ．25C ．20D ．127．在等差数列中，，且408321=++++a a a a ，则的最大值是( )A. B. C. D.8．双曲线)00(1:2222>>=-b a by a x C ，的离心率为，双曲线C 的渐近线交于两点，（O 为坐标原点）的面积为，则抛物线的方程为（ ）A. B. C. D.9．定义域为的可导函数的导函数为，满足，且则不等式的解集为（ )A. B. C. D.10． 如图，O 为△ABC 的外心，BAC AC AB ∠==,2,4为钝角，是边的中点，则的值为 ( ). A ．4 B ．5 C ．6 D ．7二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共计25分.）11．设复数z 的共轭复数为，若=___________12．公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，某人8:15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为____________13．已知，，则14．已知圆C ：()()()0222>=-+-b r b y a x ，圆心在抛物线上，经过点，且与抛物线的准线相切，则圆的方程为15．已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若, 且 则的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共计75分）16．已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式和前项和；（Ⅱ）若，求数列的前n 项和。

17．已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的周期为，且图象上一个最低点为。

（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）当，求的最值.第10题图18．为丰富课余生活，某班开展了一次有奖知识竞赛，在竞赛后把成绩（满分为100分，分数均为整数）进行统计，制成如右图的频率分布表：（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若得分在之间的有机会得一等奖，已知其中男女比例为2∶3，如果一等奖只有两名，写出所有可能的结果，并求获得一等奖的全部为女生的概率.19．好利来蛋糕店某种蛋糕每个成本为元，每个售价为（）元，该蛋糕年销售量为万个，若已知与成正比，且售价为元时，年销售量为万个.（1）求该蛋糕年销售利润关于售价的函数关系式；（2）求售价为多少时，该蛋糕的年利润最大，并求出最大年利润.20．已知在如图的多面体中，⊥底面，，12BE AD EF BC ===，,是的中点． （1）求证：平面；（2）求证：平面（3）求此多面体的体积.21． 已知椭圆的焦点坐标是，，过点垂直于长轴的直线交椭圆与两点, 且. (1)求椭圆的方程.(2)过的直线与椭圆交于不同的两点, 则的内切圆面积是否存在最大值?若存在, 则求出这个最大值及此时的直线方程; 若不存在,请说明理由.18. （1）1.0,5,5.0,5====d c b a（2）记男生为，女生为，所有情况如下：一共10种情况。

1． 已知集合{1 2 3 4 5}A 2024年普通高等学校招生全国统一考试 高三第一次联合诊断检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

，，，，，2{|211120}B x x x ，则A BA ．{1 2}，B ．{2 3}，C ．{3 4}，D ．{4 5}，2． 已知复数i z a b ，若i z z ，则 A ．0a bB ．0a bC ．0abD ．1ab3． 对一个样本进行统计后得到频率分布直方图如图所示，并由此估计总体集中趋势，则 a b ，可以分别大致反映这组数据的 A ．平均数，中位数 B ．平均数，众数C ．中位数，平均数D ．中位数，众数4． 若24cos sin(2)2 ，则tan 2A ．2B ．12C ．1D ．25． 在经济学中，常用Logistic 回归模型来分析还款信度评价问题．某银行统计得到如下Logistic 模型：0.970.1270.970.127e ()1exxP x ，其中x 是客户年收入（单位：万元），()P x 是按时还款概率的预测值．如果某人年 收入是10万元，那么他按时还款概率的预测值大约为（参考数据：ln1.350.3 ）A ．0.35B ．0.46C ．0.57D ．0.686． 已知()ln(1)ln()f x x a bx 是奇函数，则()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为A ．2y xB ．y xC ．0yD ．2y x7． 将一副三角板拼接成平面四边形ABCD （如图），1BC ，将其沿BD 折起，使得面ABD 面BCD ，若三棱锥A BCD 的顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 A ．2B ．73C ．83D ．38． 已知函数()f x 满足()()()2f x y f x f y ，(1)4f 且当0x 时，()2f x ，若存在[1 2]x ，，使得2(4)(2)1f ax x f x ，则a 的取值范围是BCDA6045A ．1(0 ]2，B ．15[ ]28，C ．52[ ]83，D ．12[ ]23，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{})2lg(2x x y x A +-==，{}1≤=x x B ，则=B A （ ） A.{}21≤≤x x B.{}10≤<x x C. {}01≤≤-x x D.{}2≤x x 【答案】B考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算． 2.已知复数i i z 2)1(=+，则复数z=（ ） A.1i + B.1i - C.i 2121+ D.i 2121- 【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得22(1)11(1)(1)i i i z i i i i -===+++-，故选A ． 考点：复数的去处3.设x y ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，则目标函数y x z 32+=的最大值为（ ）A.4B.6C.16D.26 【答案】D 【解析】试题分析：作出x y ，满足约束条件下平面区域，如图所示，由图知当目标函数y x z 32+=经过点()4,6A 取得最大值，即max 243626z =⨯+⨯=，故选D ．考点：简单的线性规划问题．【方法点睛】线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的求线性目标函数的最值问题，通常可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值．4.执行如图所示的程序框图后，输出的结果是（ ）A.87 B.109 C.98 D.1110 【答案】C考点：程序框图．【思路点睛】解答此类试题首先要明确程序框图的功能，然后从两个方法考虑：（1）直接根据输入的初始值进行依次运行，并按题目要求进行判断，从而确定需要填入的结果；（2）根据程序框图所表达的功能作用，结合所要求的结果来确定执行框的命令． 5.已知a b ，为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题：①ab ，a α⇒b α；②a b ⊥，a α⊥⇒b α；③a α，βα⇒a β；④a α⊥，β⊥α⇒aβ，其中不正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D考点：1、命题真假的判定；2、空间直线与平面间的位置关系．6.对于函数()cos f x x x =，现有下列命题：①函数()f x 是奇函数；②函数()f x 的最小正周期是π2；③点)0,2(π是函数()f x 的图象的一个对称中心；④函数()f x 在区间]4,0[π上单调递增，其中是真命题的为（ ） A.②④ B.①④ C.②③ D.①③ 【答案】B 【解析】试题分析：因为()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，所以函数()f x 是奇函数，故①正确；因为()00f =，ππ2)2(=f ，)2()0(πf f ≠，故②错；因为()00f =，ππ-=)(f ，)()0(πf f -≠，故③错；因为()cos sin f x x x x '=-，当[0,]4x π∈时，cos sin x x >，sin sin x x x <，所以()0f x '>，所以函数()f x 在区间]4,0[π上单调递增，故④正确，故选B.考点：1、命题真假的判定；2、函数的奇偶性；3、利用导数研究函数的单调性；4、函数的图象与性质．7.若在区间(-1,1)内任取实数a ，在区间(0,1)内任取实数b ，则直线0ax by -=与圆1)2()1(22=-+-y x 相交的概率为（ ）A.85 B.165 C.83 D.163 【答案】B 【解析】试题分析：因为直线与圆相交应满足的条件为1222<+-ba b a ，即43a b >．又11a -<<，01b <<，在平面直角坐标系中，表示的平面区域为相邻边长分别为2和1的矩形内部，由几何概型知165=P ，故选B ． 考点：1、直线与圆的位置关系；2、几何概型．8.在ABC ∆中，内角A B C ,,的对边长分别为a b c ,,，已知b c a =-22，且sin()A C -＝2cos sin A C ，则b =（ ）A.6B.4C.2D.1 【答案】C考点：1、两角和与差的正弦；2、正余弦定理．9.已知O 为坐标原点，1F ，2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，P 是双曲线右支上一点，PM 为21PF F ∠的角平分线，过1F 作PM 的垂线交PM 于点M ，则OM 的长度为（ ）A.aB.bC.2aD.2b 【答案】A 【解析】试题分析：延长M F 1交2PF 延长线于点N ，易知1PF N ∆为等腰三角形，所以1PN PF =．因为M 为1F N 的中点，又O 为12F F 的中点，所以OM 为12F F N ∆的中位线，．由双曲线定义知，12||||2PF PF a -=，即2||2F N a =，所以a OM =，故选A ．考点：双曲线的定义10.已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当0x >时不等式0)()(<'+x f x x f 恒成立，若)3(33.03.0f a ⋅=，)3(log 3log ππf b ⋅=，)91(log 91log 33f c ⋅=，则a b c ,,的大小关系是（ ）A.a b c >>B.c a b >>C.a c b >>D.c b a >>【答案】D 【解析】试题分析：令()()F x xf x =，则()()()F x f x x f x ''=+，所以当0x >时，0)(<'x F ，即()F x 单调递减．又()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()F x 是奇函数且()F x 为减函数．因为0.331>，0log 31π<<，31log 29=-，所以c b a >>，故选D ． 考点：1、函数的奇偶性；3、利用导数研究函数的单调性11.已知正三棱锥V ABC -的正视图、侧视图和俯视图如图所示，则该正三棱锥侧视图的面积是（ ）A.39B.36C.38D.6 【答案】D考点：1、棱锥的三视图；2、棱锥的侧面积．【方法点睛】以三视图为载体考查空间线面位置关系的证明、求解其中一个视图的面积问题、求解几何体的表面积和体积问题等，解决此类问题的关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现相应的位置关系与数量关系，然后在直观图中解决问．12.若函数()f x 在[,]a b上的值域为]2,2[b a ，则称函数()f x 为“和谐函数”.下列函数中：①411)(+-=x x g ；②xx p 1)(=；③x x q ln )(=；④2)(x x h =，“和谐函数”的个数为（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】试题分析：由题意知，若()f x 在区间[,]a b 上单调递增，须满足：2)(a a f =，2)(bb f =，结合图象知：①④正确，③错误；若()f x 在区间[,]a b 上单调递减，须满足：2)(ba f =，2)(ab f =，对于②，代入有⎪⎩⎪⎨⎧==2121a b b a ，2ab =即可，例如：]4,21[满足题意，所以②正确，故选C ．考点：1、新定义；2、函数的单调性；3、函数的图象．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数⎩⎨⎧>≤=,0,log ,0,3)(2x x x x f x 若0)(0>x f ，则0x 的取值范围是_______.【答案】00x ≤或01x >考点：1、分段函数；2、指数函数、对数函数的图象与性质．【方法点睛】对于分段函数的求值问题，一定要注意自变量x 的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，解题中需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式．14.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4010=S ，12020=S ，则=30S _______. 【答案】280 【解析】试题分析：由等比数列的性质，知10S ，1020S S -，2030S S -也成等比数列，所以3020160S S -=，所以28030=S ．考点：等比数列的性质．15.已知S A B C ，，，都是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2SA =，3AB =，4BC =，则球O 的表面积等于______.【答案】π29 【解析】试题分析：因为SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，所以四面体S ABC -的外接球半径等于以长、宽、高分别为,,SA AB BC 三边长的长方体的外接球的半径．因为2SA =，3AB =，4BC =，所以2R ＝ππ2942=R ．考点：1、球的表面积；2、球的内接多面体．16.ABC ∆中，120A ∠=︒，A ∠的平分线AD 交边BC 于D ，且2AB =，2CD DB =，则AD 的长为___________．【答案】34考点：余弦定理．【一题多解】由题意B C D ，，三点共线，且12=BD CD ，则1233AD AC AB =+，根据角平分线的性质21==CD BD AC AB ，所以4AC =，222221214416()339999AD AD AC AB AC AB AC AB ==+=++⋅=，所以34=AD .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）设函数)(cos sin )(R x x x x f ∈+=. （1）求函数()f x 的最小正周期和最值； （2）若A f sin 2)12(=π，其中A 是面积为233的锐角ABC ∆的内角，且2AB =，求边AC 和BC 的长．【答案】（1）π2=T ，最大值为2，最小值为2-；（2）3AC =，7=BC ．【解析】试题分析：（1）先用两角和与差的正弦化简()f x 的解析式，然后利用三角函数的图象与性质分别求得最小正周期和最值；（2）先根据解析式求得角A ，从而由面积公式求得AC 的长，再由余弦定理求得BC 的长． 试题解析：（1）)4sin(2cos sin )(π+=+=x x x x f ，∴函数()f x 的最小正周期π2=T . ...............................4分 当)(24Z k k x ∈+=ππ时，函数()f x 的最大值为2；考点：1、两角和与差的正弦；2、三角函数的图象与性质；3、余弦定理；4、三角形的面积公式．【方法点睛】函数sin()y A x ωϕ＝＋的综合应用涉及到定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等，解决相关三角函数问题时，首先要将函数利用两角和与差正余弦公式、倍角公式、同角三角函数间的基本关系等整理成sin()y A x k ωϕ+＝＋的形式，再依据相关性质求解．18.（本小题满分12分）某班为了调查同学们周末的运动时间，随机对该班级50名同学进行了不记名的问卷调查，得到了如下表所示的统计结果：时间与性别有关？（2）用分层抽样的方法，从男生中抽取6名同学，再从这6名同学中随机抽取2名同学，求这两名同学中恰有一位同学运动时间超过2小时的概率.附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中n a b c d =+++．【答案】（1）能；（2）158=P ． 【解析】（2）由题意，随机抽取的6名同学中，有2名同学运动时间不超过2小时，记为a b ，，有4名同学运动时间超过2小时，记为A B C D ，，，.任意抽取两名同学共有{}A a ,，{}B a ,，{}C a ,，{}D a ,，{}A b ,，{}B b ,，{}C b ,，{}D b ,，{}b a ,，{}B A ,，{}C A ,，{}D A ,，{}C B ,，{}D B ,，{}D C ,，共15个基本事件，恰好有一位同学的运动时间超过2小时的，共有8个基本事件， 所以所求概率158=P . .....................12分 考点：1、独立性检验的应用；2、几何概型．19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，PC AD ⊥，底面ABCD 为梯形，ABDC ，AB BC ⊥，1PA AB BC ===.（1）求证：平面PAB ⊥平面PCB ； （2）求四棱锥P ABCD -的体积V . 【答案】（1）见解析；（2）12． 【解析】试题分析：（1）先由线面垂直的性质得PA BC ⊥，再结合已知条件可得BC ⊥平面PAB ，进而使问题得证；（2）易证得DAC ∆为等腰直角三角形，从而求得DC 的长，进而求得四棱锥P ABCD -的体积．试题解析：（1）证明：如图，∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA BC ⊥. 又AB BC ⊥， PAAB A =，∴BC ⊥平面PAB . ....................3分又BC ⊂平面PCB ，∴平面PAB ⊥平面PCB . .................5分考点：1、直线与平面垂直的性质；2、面面垂直的判定；3、棱锥的体积．20.（本小题满分12分）椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，作直线l 交椭圆于P Q ，两点，M为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，设直线l 的斜率为1k ，直线OM 的斜率为2k ，3221-=k k .（1）求椭圆C 的离心率；（2）设直线l 与x 轴交于点)0,3(-D ，且满足2=，当OPQ ∆的面积最大时，求椭圆C 的方程．【答案】（1）3e =；（2）1101522=+y x ． 【解析】试题分析：（1）设),(11y x P ，),(22y x Q ，并分别代入椭圆方程中，然后两式相减，利用直线斜率公式求得b a，从而求得离心率；（2）设椭圆C 的方程为：222632c y x =+，直线l 的方程为：3-=my x ，然后联立椭圆与直线的方程得到关于y 的二次方程，然后由0∆>，及利用韦达定理得出OPQ S ∆的表达式，从而利用基本不等式求得椭圆C 的方程．（2）由（1）知33==a c e ，得22222,3cbc a ==， 可设椭圆C 的方程为：222632c y x =+，设直线l 的方程为：3-=my x ，代入椭圆C 的方程有06634)32(222=-+-+c my y m ，.......6分因为直线l 与椭圆C 相交，所以0)66)(32(448222>-+-=∆c m m ，由韦达定理：3234221+=+m m y y ，32662221+-=m c y y ．又QD DP 2=，所以212y y -=，代入上述两式有：329666222+-=-m m c ，..........8分 所以32)66)(32(448232321222221+-+-=∆=-=∆m c m m a y y OD S OPQ..................9分2633211832182≤+=+=mm m m ， .......................10分 当且仅当232=m 时，等号成立，此时52=c ，代入∆，有0>∆成立， 所以所求椭圆C 的方程为：1101522=+y x . .........................12分 考点：1、椭圆的几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、基本不等式．【方法点睛】直线与圆锥曲线相交时，常常借助根与系数的关系解决弦长问题．直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y 后得到关于x 的一元二次方程．当0∆>时，直线与圆锥曲线相交，设交点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的斜率为k ，则直线被圆锥曲线截得的弦长212||()AB x x =+21.（本小题满分12分）已知函数1ln )(+-=kx x x f . （1）若0)(≤x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围；（2）证明：)2,(1)1ln()1617ln()910ln()45ln(22≥∈<++⋅⋅⋅+++*n N n nn .【答案】（1）1≥k ；（2）见解析．考点：1、导数与函数最值的关系；2、不等式恒成立问题．【方法点睛】由函数的极值、最值逆求参数的值(或取值范围)问题，往往需要对参数进行分类讨论，如何划分参数讨论的区间成为思维的难点．由于这类问题涉及函数的单调区间，因此分类的标准是使函数在指定的区间内其导数()f x '的符号能够确定为正或为负． 请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】如图，在ABC ∆中，DC AB ⊥于D ，BE AC ⊥于E ，BE 交DC 于点F ，若3BF FC ==，2DF FE ==．（1）求证：AC AE AB AD ⋅=⋅； （2）求线段BC 的长度．【答案】（1）见解析；（2）30=BC ．①+②得：BE BF CD CF BC BG CB CG ⋅+⋅=⋅+⋅，即3053532=⨯+⨯=⋅+⋅=BE BF CD CF BC ， ........................8分 所以30=BC . . ..................10分考点：1、四点共圆；2、割线定理．23.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C 的参数方程为：θθθ(,sin ,cos 2⎩⎨⎧==y x 为参数），直线l 的参数方程为：t t y t x (,1,32⎩⎨⎧+=+=为参数），点()2,1P ，直线l 与曲线C 交于A B ，两点. （1）写出曲线C 和直线l 在直角坐标系下的标准方程； （2）求PB PA ⋅的值．【答案】（1）曲线C 的标准方程为：1222=+y x ；直线l 的标准方程为：0323=+--y x ．（2）165．考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、直线与椭圆的位置关系． 24.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数31)(-++=x x x f .（1）请写出函数()f x 在每段区间上的解析式，并在图上的直角坐标系中作出函数()f x 的图象；（2）若不等式aa x x 131+≥-++对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--<-=),3(22),31(4),1(22)(x x x x x x f ，图象见解析；（2）)32,32()0,(+--∞∈ a ．考点：1、函数的图象；2、函数的解析式；2、三角不等式的性质．。

2021届重庆市巴蜀中学⾼三上学期第⼀次⽉考数学（⽂）试题Word版含答案2021届重庆市巴蜀中学⾼三上学期第⼀次⽉考数学（⽂）试题第Ⅰ卷（共60分）⼀、选择题：本⼤题共12个⼩题,每⼩题5分,共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.设集合{}1,0,1M =-，{}2|N x x x ==，则M N =（）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1D ．{}02.函数1()ln(3)f x x =+-的定义域为（）A ．[2,3)B ．(2,3)C ．[2,)+∞D ．(,3]-∞3.复数z 满⾜2iz i i+=+，则||z =（）AB ．2C D 4.等差数列{}n a 中，7116a a ?=，4145a a +=，则2010a a -等于（） A ．23或32- C ．52D ．52±5.函数y =M ，最⼩值为N ，则M N +=（） A ．2B ．3C ．6D ．126.已知33cos()25π?-=，且||2π<，则tan ?=（） A ．43-B ．43C ．34-D ．347.已知(2,1)a =，(,6)b x =-，若a b ⊥，则||a b +=（）A ．5B ．C ．6D ．508.已知实数[]1,10x ∈执⾏如图所⽰的流程图，则输出的x 不⼩于63的概率为（） A ．310B ．49C ．25D ．9.已知函数()f x 是R 上的奇函数，且对任意实数x 满⾜3()()02f x f x ++=，若(1)1f >，(2)f a =，则实数a 的取值范围是（） A ．1a >B ．1a <-C ．2a >D ．2a <-10.已知()sin()f x A x ω?=+（0A >0ω>，||2π<，x R ∈）在⼀个周期的图象如图所⽰，则()y f x =的图象可由cos y x =的图象（纵坐标不变）（）得到A ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移6π单位 B ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π单位C ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π单位 D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移12π单位11.已知A ，B ，C ，D 是同⼀球⾯上的四个点，其中△ABC 为正三⾓形，AD ⊥平⾯ABC ，6AD =，A ．45πB ．24πC ．32πD ．48π12.已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内⾓A 、B 、C 的对边，若3A π=，则(cos 3)a C C ?=（）A ．a b +B ．b c +C ．a c +D ．a b c ++第Ⅱ卷（共90分）⼆、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在各项为正数的等⽐数列{}n a 中，若212n n n a a a ++=+（*n N ∈），则公⽐q = ．14.已知M 为抛物线28y x =上的⼀点，F 为抛物线的焦点，若120MFO ∠=?，(2,0)N -（O 为坐标原点），则△MNF 的⾯积为．15.向量AB ，AC 的夹⾓为60?，且3AB AC ?=，点D 是线段BC 的中点，则||AD 的最⼩值为． 16.定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满⾜(3)1f =，(2)3f -=，当0x ≠时有'()0x f x ?>恒成⽴，若⾮负实数a 、b 满⾜(2)1f a b +≤，(2)3f a b --≤，则21b a ++的取值范围为．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.）17.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的⽉收⼊i x （单位：千元）与⽉储蓄i y （单位：千元）的数据资料，算得10180ii x==∑，10120i i y ==∑，101184i i i x y ==∑，1021720i i x ==∑．（1）求家庭的⽉储蓄y 对⽉收⼊x 的线性回归⽅程y bx a =+；（2）若该居民区某家庭⽉收⼊为7千元，预测该家庭的⽉储蓄．附：线性回归⽅程y bx a =+中，1221i ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-．18.已知函数21()cos cos 2f x x x x =--．（1）求函数()y f x =在0,2x π??∈时的值域；（2）在△ABC 中，⾓A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满⾜2c =，3a =,()0f B =,求边b 俄值．19.如图所⽰的⼏何体QPABCD 为⼀简单组合体，在底⾯ABCD 中，60DAB ∠=?，AD DC ⊥，AB BC ⊥，QD ⊥平⾯ABCD ，//PA QD ，1PA =，2AD AB QD ===．（1）求证：平⾯PAB ⊥平⾯QBC ；（2）求该组合体QPABCD 的体积．20.如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，左准线1l ：2a x c =-和右准线2l ：2a x c=分别与x 轴相交于A 、B 两点，且1F 、2F 恰好为线段AB 的三等分点．（1）求椭圆C 的离⼼率；（2）过点(3,0)D -作直线l 与椭圆相交于P 、Q 两点，且满⾜2PD DQ =，当△OPQ 的⾯积最⼤时（O 为坐标原点），求椭圆C 的标准⽅程． 21.已知函数()ln f x x ax x =-?（a R ∈）．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）设()()ln f x g x x，若函数()g x 在()1,+∞上为减函数，求实数a 的最⼩值；（3）若存在20,x e e ??∈??，使得001()ln 4f x x ≤成⽴，求实数a 的取值范围．请考⽣在22、23题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题记分.22.选修4-4：坐标系与参数⽅程以直⾓坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的⾮负半轴为极轴建⽴极坐标，且两坐标系取相同的长度单位．已知点N 的极坐标为(2, )4π，圆1C 的极坐标⽅程为1ρ=，若M 为曲线2C 上的动点，且M 到定点N 的距离等于圆1C 的半径．（1）求曲线2C 的直⾓坐标⽅程；（2）若过点(2,0)P 的直线l的参数⽅程为122x t y ?=-??=（t 为参数），且直线l 与曲线2C 交于A 、B 两点，求11||||PA PB +的值． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||23|f x x a x =+--（a R ∈）．（1）若2a =，求不等式()3f x ≥-的解集；（2）若存在实数x 使得()2f x a ≥成⽴，求实数a 的取值范围．2021届重庆市巴蜀中学⾼三上学期第⼀次⽉考数学（⽂）试题参考答案⼀、选择题⼆、填空题13.2 14. 16.4,35??三、解答题17.解：（1）由题意知10n =，1180810n i i x x n ====∑，1120n i i y y n ====∑，18.解：（1）2131()3cos cos 2cos 21sin(2)1226f x x x x x x x π=--=--=--，∵0,2x π??∈，∴52,666x πππ??-∈-，∴1sin(2),162x π??-∈-，∴函数()f x 在0,2π的值域为3,02??-．（2）因为()0f B =，即sin(2)16B π-=，∵(0,)B π∈，∴112(,)666B πππ-∈-，∴262B ππ-=，∴3B π=，⼜有2c =，3a =，在△ABC 中，由余弦定理得：22212cos49223732b c a ac π=+-=+-=，即7b =． 19.解：（1）证明：因为QD ⊥平⾯ABCD ，//PA QD ，所以PA ⊥平⾯ABCD ，⼜因为BC ?平⾯ABCD ，所以PA BC ⊥，⼜因为AB BC ⊥，且ABPA A =，所以BC ⊥平⾯PAB ，⼜因为BC ?平⾯QBC ，所以平⾯PAB ⊥平⾯QBC ．（2）⾯QDB 将⼏何体分成四棱锥B PADQ -和三棱锥Q BDC -两部分，过B 作BO AD ⊥，因为PA ⊥平⾯ABCD ，BO ?平⾯ABCD ，所以PA BO ⊥，⼜因为AD OB ⊥，PAAD A =，所以BO ⊥平⾯PADQ ，即BO 为四棱锥B APQD -的⾼，并且3BO =，3PADQ S =，所以B PADQ V -133PADQ S BO =??=，因为QD ⊥平⾯ABCD ，且已知2QD =，所以13Q BDC BDC V S QD -?==，所以组合体QPABCD +=20.解：（1）焦点2(,0)F c ，右准线2l ：2a x c =，由题知12||3||AB F F =，即2232a c c =?，即223a c =，解得c e a ==（2）由（1）知c e a ==223a c =，222b c =，可设椭圆⽅程为222236x y c +=．设直线l 的⽅程为x my =222(23)660m y c +-+-=，因为直线与椭圆相交，所以2 22484(23)(66)0m m c ?=-+->，由韦达定理得12y y +=，21226623c y y m -=+，⼜2DP QD =，所以122y y =-，得到1y =，2y =2212222669623(23)c m y y m m --==++，得到22216123m c m -=-+，1||1|||||1818322||32||||DPQ m S OD y y m m m ?=-===≤++，当且仅当232m =时，等号成⽴，此时25c =，代⼊?满⾜0?>w ，所以所求椭圆⽅程为2211510x y +=．21.解：（1）1a =时，()ln f x x x x =-?，'()ln f x x =-，令'()0f x >，解得01x <<，令'()0f x <，解得1x >，∴()f x 在(0,1)递增，在()1,+∞递减．（2）由已知得()ln xg x ax x=-，函数的定义域为()()0,11,+∞，函数()g x 在(1,)+∞上为减函数，∴2ln 1'()(ln )x g x a x -=-+0≤在(1,)+∞恒成⽴，即2ln 1(ln )x a x -≥211()()ln ln x x =-+在(1,)+∞恒成⽴．令1ln t x =，则0t >，得到2a t t ≥-+在0t >恒成⽴，得14a ≥，即a 的最⼩值为14．（3）若存在20,x e e ??∈??，使得001()ln 4f x x ≤成⽴，问题等价于：存在20,x e e ??∈??，使得000()1()ln 4f x g x x =≤成⽴，问题等价于：“当2”，且()ln x g x ax x=-，∵2ln 1'()(ln )x g x a x -=-+，结合（2）知：当2,x e e ??∈??时，2ln 110,(ln )4x x -??∈．①当14a ≥时，'()0g x ≤在20,x e e ??∈??上恒成⽴，即()g x 在2,e e 上单调递减，则222min1()()24e g x g e ae ==-≤，得到21124a e≥-成⽴．22.解：（1）点N 的直⾓坐标为(1,1)，曲线1C ：1ρ=1=，即221x y +=，曲线2C 表⽰以(1,1)N 为圆⼼，1为半径的圆，⽅程为2 2(1)(1)1x y -+-=．（2）将12,2x t y ?=-=??代⼊⽅程22(1)(1)1x y -+-=，得22(1)1)12t -+=，即2(110t t -+=，设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则121211,t t t t ?+==??，易知10t >，20t >，∴12121212||||11||||1||||||||||||t t t t PA PB PA PB PA PB t t t t ++++====． 23.解：（1）5,13()41,1235,2x f x x x x ?-<-=--≤≤>??，由()3f x ≥-，得413,31,2x x -≥--≤≤??或32x >，解得1322x -≤≤或32x >，即12x ≥-，故不等式的解集为1[,)2-+∞．（2）∵()|2||23||223||3|f x x a x x a x a =+--≤+-+=+，当且仅当(2)(23)0x a x +-≥且|2||23|x a x +≥-时，如取32 x =，“=”成⽴，∴()f x 的最⼤值为|3|a +，∴|3|2a a +≥．。

重庆市普通高中2025届高三一诊考试数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( )A 1B 1C ．2D2．已知集合{|{|2,}A x N y B x x n n Z =∈===∈,则A B =（ ）A ．[0,4]B ．{0,2,4}C ．{2,4}D ．[2,4]3．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ）A ．单调递增B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减4．在平行四边形ABCD 中，113,2,,D,32AB AD AP AB AQ A ====若CP C 12,Q ⋅=则ADC ∠=( ) A ．56πB ．34π C ．23π D ．2π 5．若()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x +=-，则 A ．()f x 的值域为RB ．()f x 为周期函数，且6为其一个周期C ．()f x 的图像关于2x =对称D ．函数()f x 的零点有无穷多个6．公差不为零的等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 5=13，且a 1、a 2、a 5成等比数列，则数列{a n }的公差等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n +1+a n +2为定值.若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=( ) A ．132B ．299C ．68D ．998． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ） A ．56383B ．57171C ．59189D ．612429．已知命题p ：若1a >，1b c >>，则log log b c a a <；命题q ：()00,x ∃+∞，使得0302log x x <”，则以下命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝10．已知向量a 与a b +的夹角为60︒，1a =，3b =，则a b ⋅=( ) A ．32-B ．0C ．0或32-D ．32-11．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭C ．21,e e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭12．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月份C ．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{})2lg(2x x y x A +-==，{}1≤=x x B ,则=B A ( )A 。

{}21≤≤x xB 。

{}10≤<x x C. {}01≤≤-x x D 。

{}2≤x x 【答案】B考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算．2.已知复数i i z 2)1(=+，则复数z=( )A 。

1i + B.1i - C.i 2121+ D.i 2121- 【答案】A【解析】试题分析:由题意，得22(1)11(1)(1)i i i z i i i i -===+++-，故选A ．考点:复数的去处3.设x y ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，则目标函数y x z 32+=的最大值为（ ）A.4B.6 C 。

16 D 。

26【答案】D【解析】试题分析：作出x y ，满足约束条件下平面区域，如图所示，由图知当目标函数y x z 32+=经过点()4,6A 取得最大值，即max 243626z =⨯+⨯=,故选D ．考点：简单的线性规划问题．【方法点睛】线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的求线性目标函数的最值问题，通常可以直接解出可行域的顶点,然后将坐标代入目标函数求出相应的数值,从而确定目标函数的最值．4.执行如图所示的程序框图后，输出的结果是（ ）A.87 B 。

109 C 。

98 D 。

1110 【答案】C考点:程序框图．【思路点睛】解答此类试题首先要明确程序框图的功能，然后从两个方法考虑：（1)直接根据输入的初始值进行依次运行，并按题目要求进行判断，从而确定需要填入的结果；（2）根据程序框图所表达的功能作用，结合所要求的结果来确定执行框的命令．5.已知a b ，为两条不同的直线,α，β为两个不同的平面，下列四个命题：①ab ,a α⇒b α；②a b ⊥，a α⊥⇒b α;③a α,βα⇒a β；④a α⊥,β⊥α⇒a β，其中不正确的有( )A 。

2021届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次月考数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,0,1M =-，{}2|N x x x ==，则M N =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1D ．{}02.函数1()ln(3)f x x =+-的定义域为（ ）A ．[2,3)B ．(2,3)C ．[2,)+∞D ．(,3]-∞3.复数z 满足2iz i i+=+，则||z =（ ）AB ．2C D 4.等差数列{}n a 中，7116a a ⋅=，4145a a +=，则2010a a -等于（ ） A ．23或32B ．13或12- C ．52D ．52±5.函数y =M ，最小值为N ，则M N +=（ ） A ．2B ．3C ．6D ．126.已知33cos()25πϕ-=，且||2πϕ<，则tan ϕ=（ ） A ．43-B ．43C ．34-D ．347.已知(2,1)a =，(,6)b x =-，若a b ⊥，则||a b +=（ ）A ．5B ．C ．6D ．508.已知实数[]1,10x ∈执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于63的概率为（ ） A ．310B ．49C ．25D ．139.已知函数()f x 是R 上的奇函数，且对任意实数x 满足3()()02f x f x ++=，若(1)1f >，(2)f a =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a >B ．1a <-C ．2a >D ．2a <-10.已知()sin()f x A x ωϕ=+（0A >0ω>，||2πϕ<，x R ∈）在一个周期的图象如图所示，则()y f x =的图象可由cos y x =的图象（纵坐标不变）（ ）得到A ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移6π单位 B ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π单位C ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π单位 D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移12π单位11.已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 为正三角形，AD ⊥平面ABC ，6AD =，3AB =，则该球的表面积为（ ）A ．45πB ．24πC ．32πD ．48π12.已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，若3A π=，则(cos 3)a C C ⋅=（ ）A ．a b +B ．b c +C ．a c +D ．a b c ++第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在各项为正数的等比数列{}n a 中，若212n n n a a a ++=+（*n N ∈），则公比q = ．14.已知M 为抛物线28y x =上的一点，F 为抛物线的焦点，若120MFO ∠=︒，(2,0)N -（O 为坐标原点），则△MNF 的面积为 ．15.向量AB ，AC 的夹角为60︒，且3AB AC ⋅=，点D 是线段BC 的中点，则||AD 的最小值为 ． 16.定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足(3)1f =，(2)3f -=，当0x ≠时有'()0x f x ⋅>恒成立，若非负实数a 、b 满足(2)1f a b +≤，(2)3f a b --≤，则21b a ++的取值范围为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位：千元）与月储蓄i y （单位：千元）的数据资料，算得10180ii x==∑，10120i i y ==∑，101184i i i x y ==∑，1021720i i x ==∑．（1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y bx a =+； （2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y bx a =+中，1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-．18.已知函数21()cos cos 2f x x x x =--． （1）求函数()y f x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的值域； （2）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足2c =，3a =,()0f B =,求边b 俄值．19.如图所示的几何体QPABCD 为一简单组合体，在底面ABCD 中，60DAB ∠=︒，AD DC ⊥，AB BC ⊥，QD ⊥平面ABCD ，//PA QD ，1PA =，2AD AB QD ===．（1）求证：平面PAB ⊥平面QBC ；（2）求该组合体QPABCD 的体积．20.如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，左准线1l ：2a x c =-和右准线2l ：2a x c=分别与x 轴相交于A 、B 两点，且1F 、2F 恰好为线段AB 的三等分点．（1）求椭圆C 的离心率；（2）过点(3,0)D -作直线l 与椭圆相交于P 、Q 两点，且满足2PD DQ =，当△OPQ 的面积最大时（O 为坐标原点），求椭圆C 的标准方程． 21.已知函数()ln f x x ax x =-⋅（a R ∈）． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）设()()ln f x g x x=，若函数()g x 在()1,+∞上为减函数，求实数a 的最小值； （3）若存在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使得001()ln 4f x x ≤成立，求实数a 的取值范围． 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标，且两坐标系取相同的长度单位．已知点N 的极坐标为(2,)4π，圆1C 的极坐标方程为1ρ=，若M 为曲线2C 上的动点，且M 到定点N 的距离等于圆1C 的半径．（1）求曲线2C 的直角坐标方程；（2）若过点(2,0)P 的直线l的参数方程为122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），且直线l 与曲线2C 交于A 、B 两点，求11||||PA PB +的值． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||23|f x x a x =+--（a R ∈）． （1）若2a =，求不等式()3f x ≥-的解集；（2）若存在实数x 使得()2f x a ≥成立，求实数a 的取值范围．2021届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次月考数学（文）试题参考答案一、选择题二、填空题13.2 14. 16.4,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题17.解：（1）由题意知10n =，1180810n i i x x n ====∑，1120210n i i y y n ====∑，18.解：（1）2131()3cos cos 2cos 21sin(2)1226f x x x x x x x π=--=--=--， ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴1sin(2),162x π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为3,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． （2）因为()0f B =，即sin(2)16B π-=，∵(0,)B π∈，∴112(,)666B πππ-∈-，∴262B ππ-=，∴3B π=，又有2c =，3a =，在△ABC 中，由余弦定理得：22212cos49223732b c a ac π=+-=+-⨯⨯⨯=，即7b =． 19.解：（1）证明：因为QD ⊥平面ABCD ，//PA QD ，所以PA ⊥平面ABCD ， 又因为BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又因为AB BC ⊥，且ABPA A =，所以BC ⊥平面PAB ，又因为BC ⊂平面QBC ，所以平面PAB ⊥平面QBC ． （2）面QDB 将几何体分成四棱锥B PADQ -和三棱锥Q BDC -两部分， 过B 作BO AD ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，BO ⊂平面ABCD ， 所以PA BO ⊥，又因为AD OB ⊥，PAAD A =，所以BO ⊥平面PADQ ，即BO 为四棱锥B APQD -的高， 并且3BO =，3PADQ S =，所以B PADQ V -133PADQ S BO =⋅⋅=，因为QD ⊥平面ABCD ，且已知2QD =，△BCD 为顶角等于120︒的等腰三角形，2BD =，3BDC S ∆=所以13Q BDC BDC V S QD -∆=⋅⋅=，所以组合体QPABCD +=20.解：（1）焦点2(,0)F c ，右准线2l ：2a x c =，由题知12||3||AB F F =，即2232a c c =⋅，即223a c =，解得c e a ==（2）由（1）知c e a ==223a c =，222b c =，可设椭圆方程为222236x y c +=．设直线l 的方程为x my =222(23)660m y c +-+-=， 因为直线与椭圆相交，所以222484(23)(66)0m m c ∆=-+->，由韦达定理得12y y +=，21226623c y y m -=+，又2DP QD =，所以122y y =-，得到1y =，2y =2212222669623(23)c m y y m m --==++，得到22216123m c m -=-+，所以1221||1|||||1818322||32||||DPQ m S OD y y m m m ∆=⋅-==⋅=⋅≤++， 当且仅当232m =时，等号成立，此时25c =，代入∆满足0∆>w ， 所以所求椭圆方程为2211510x y +=．21.解：（1）1a =时，()ln f x x x x =-⋅，'()ln f x x =-， 令'()0f x >，解得01x <<，令'()0f x <，解得1x >， ∴()f x 在(0,1)递增，在()1,+∞递减． （2）由已知得()ln xg x ax x=-，函数的定义域为()()0,11,+∞，函数()g x 在(1,)+∞上为减函数，∴2ln 1'()(ln )x g x a x -=-+0≤在(1,)+∞恒成立，即2ln 1(ln )x a x -≥211()()ln ln x x =-+在(1,)+∞恒成立． 令1ln t x =，则0t >，得到2a t t ≥-+在0t >恒成立，得14a ≥，即a 的最小值为14． （3）若存在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使得001()ln 4f x x ≤成立， 问题等价于：存在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使得000()1()ln 4f x g x x =≤成立， 问题等价于：“当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有min 1()4g x ≤”，且()ln x g x ax x=-， ∵2ln 1'()(ln )x g x a x -=-+，结合（2）知：当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，2ln 110,(ln )4x x -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． ①当14a ≥时，'()0g x ≤在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立，即()g x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减， 则222min1()()24e g x g e ae ==-≤，得到21124a e≥-成立．22.解：（1）点N 的直角坐标为(1,1)，曲线1C ：1ρ=1=，即221x y +=， 曲线2C 表示以(1,1)N 为圆心，1为半径的圆，方程为22(1)(1)1x y -+-=．（2）将12,2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入方程22(1)(1)1x y -+-=，得22(1)1)12t -+=，即2(110t t -+=，设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则121211,t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩，易知10t >，20t >，∴12121212||||11||||1||||||||||||t t t t PA PB PA PB PA PB t t t t ++++====⋅⋅⋅． 23.解：（1）5,13()41,1235,2x f x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，由()3f x ≥-，得413,31,2x x -≥-⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩或32x >，解得1322x -≤≤或32x >，即12x ≥-， 故不等式的解集为1[,)2-+∞．（2）∵()|2||23||223||3|f x x a x x a x a =+--≤+-+=+， 当且仅当(2)(23)0x a x +-≥且|2||23|x a x +≥-时，如取32x =，“=”成立， ∴()f x 的最大值为|3|a +，∴|3|2a a +≥．。

重庆市渝中区巴蜀中学2020届高三数学“一诊”模拟测试题 文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知复数()131i i z i-=+，则其共轭复数z 的虚部为（ ）A. -1B. 1C. -2D. 2【答案】B 【解析】 【分析】利用复数乘法、除法运算化简z ，由此求得z 的共轭复数z ，进而求得z 的虚部.【详解】依题意()()()()3134221112i i i iz i i i i +-+-====-++-，故2z i =+，其虚部为1. 故选B.【点睛】本小题主要考查复数乘法、除法的运算，考查共轭复数的概念，考查复数虚部，属于基础题. 2.已知集合1|0x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，集合(){}|lg 21B x y x ==-，则A B =（ ） A. (]0,1B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,12⎛⎤⎥⎝⎦D.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】解分式不等式求得集合A ，求函数定义求得集合B ，由此求得两个集合的交集.【详解】由10x x -≥解得01x <≤，由210x 解得12x >，故1,12A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦，故选C.【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，考查分式不等式的解法，考查对数函数的定义域，属于基础题.3.已知等差数列{a n}满足4a3＝3a2，则{a n}中一定为零的项是（）A. a6B. a7C. a8D. a9【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的通项公式即可得到结果.【详解】由4a3＝3a2得，4(a1+2d)=3(a1+d)，解得：a1+5d=0，所以，a6=a1+5d=0.故选：A.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查计算能力，属基础题.4.新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A、B、C、D、E五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（）A. 获得A等级的人数减少了B. 获得B等级的人数增加了1.5倍C. 获得D等级的人数减少了一半D. 获得E等级的人数相同【答案】B【解析】【分析】设出两年参加考试的人数，然后根据图表计算两年等级为A,B,C,D,E的人数，由此判断出正确选项.【详解】设2016年参加考试x人，则2018年参加考试2x人，根据图表得出两年各个等级的人数如下图所示：年份 A B C D E2016 0.28x0.32x0.30x0.08x0.02x2018 0.48x0.8x0.56x0.12x0.04x由图可知A,C,D选项错误，B选项正确，故本小题选B.【点睛】本小题主要考查图表分析，考查数据分析与处理能力，属于基础题.5.“更相减损术”是《九章算术》中介绍的一种用于求两个正整数的最大公约数的方法，该方法的算法流程如图所示，根据程序框图计算，当a＝35，b＝28时，该程序框图运行的结果是（）A. a＝6，b＝7B. a＝7，b＝7C. a＝7，b＝6D. a＝8，b ＝8【答案】B【解析】【分析】根据题意，该程序将输入的a、b值加以比较，若a>b成立则用a-b的值替换a，并进入下一轮比较；若a>b不成立则用b-a的值替换b，并进入下一轮比较.直到使得a、b值相等时，终止运算并输出a、b值，由此结合题意进行运算可得本题答案.【详解】第一步，由于a=35且b=28，对判断框“a≠b”的回答为“是”，此时对判断框“a>b”的回答为“是"，将a-b的值赋给a，得a=7；第二步，此时a =7且b =28，对判断框“a ≠b ”的回答为“是”，此时对判断框“a >b ”的回答为“否"，将b -a 的值赋给b 得b =21；第三步，此时a =7且b =21，对判断框“a ≠b ”的回答为“是”，此时对判断框“a >b ”的回答为“否”，将b -a 的值赋给b ，得b =14；第四步，此时a =7且b =14，对判断框“a ≠b ”的回答为“是”，此时对判断框“a >b ”的回答为“否”，将b -a 的值赋给b 得b =7；第五步，此时a =7且b =7，对判断框“a ≠b ”的回答为“否”，结束循环体并输出a 、b 的值. 综上所述，可得最后输出的值为a =7，b =7. 故选：B.【点睛】本题考查程序框图，要求学生掌握根据程序框图，求出输出结果，解题的关键是先根据已知条件判断程序的功能，构造出相应的数学模型再求解，从而使问题得以解决，属中档题.6.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 、G 分别为棱A 1D 1、A 1A 、A 1B 1的中点，给出下列四个命题：①EF ⊥B 1C ；②BC 1∥平面EFG ；③A 1C ⊥平面EFG ；④异面直线FG 、B 1C 所成角的大小为4．其中正确命题的序号为（ ） A. ①② B. ②③C. ①②③D. ①②④【答案】C 【解析】 【分析】画出正方体的直观图，结合线面平行与垂直的判定定理和性质定理逐项判断即可得到正确选项.【详解】如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1D //B 1C ，又A 1D ⊥EF ，故B 1C ⊥EF ，即①正确；又BC 1∥AD 1，AD 1//EF ，故BC 1//EF ，又EF ⸦平面EFG ，故BC 1∥平面EFG ，即②正确；因为EF ⊥A 1D ，EF ⊥A 1B 1，所以EF ⊥平面A 1B 1CD ，又A 1C ⸦平面A 1B 1CD ，所以EF ⊥A 1C ，同理可证EG ⊥A 1C ，又EF ∩EG =E ，EF ⸦平面EFG ，EG ⸦平面EFG ，故A 1C ⊥平面EFG ，即③正确； 连接AB 1，则AB 1//FG ，故∠AB 1C 为异面直线FG 与B 1C 所成角，且∠AB 1C =3π，即④错误. 故所有正确命题的序号为①②③. 故选：C.【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理和性质定理，也考查学生的逻辑推理能力和直观想象能力，熟练掌握点、线、面位置关系中的判定定理和性质定理是解题的关键，属中档题.7.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模版”，它是：由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个七巧板拼成的平行四边形ABCD ，E 为AB 边的中点，若在四边形ABCD 中任取一点，则此点落在阴影部分的概率为（ ）A.14B.516C. 38D.12【答案】C 【解析】 【分析】分别求出平行四边形和阴影部分的面积，根据几何概型的公式计算即可得到结果. 【详解】由图象可知，2ABCDBCD SS=，113244BCDABDBCDS S S S =+=阴影，则此点落在阴影部分的概率为：33428BCDABCDBCD S S P SS ===阴影. 故选：C.【点睛】本题考查几何概型的计算，正确求解阴影部分面积是解题的关键，属中档题.8.函数()22ln x x f x x=的图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】由()22ln x x f x x =得：()()()()222ln ln x x x xf x f x x x---===-，故其为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除D ；()22ln 40f =>，故排除A ；当01x <<时，()2ln f x x x =，()()21ln f x x ='+，可得10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<函数单调递减，当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数单调递增，故排除C ，故选B.点睛：本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括,,0,0x x x x +-→+∞→-∞→→等.9.过点P (3,﹣4)作圆(x ﹣1)2+y 2＝2的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ） A. x +2y ﹣2＝0 B. x ﹣2y ﹣1＝0C. x ﹣2y ﹣2＝0D. x +2y +2＝0 【答案】C 【解析】 【分析】画出图象，以P 为圆心，以PB 长度为半径可得到圆P ，则圆(x ﹣1)2+y 2＝2与圆P 的公共弦所在直线即为直线AB ，利用两点间的距离公式和勾股定理可求出圆P 的方程，然后两个方程相减即可得到直线AB 的方程.【详解】如图，圆P 为以P 为圆心，以PB 长度为半径的圆，则圆(x ﹣1)2+y 2＝2与圆P 的公共弦所在直线即为直线AB ，在Rt PBC ∆中，22(13)(04)25PC =-++=，则20232PB =-=，所以圆P 的方程为：22(3)(4)18x y -++=，又圆C 的方程为：(x ﹣1)2+y 2＝2，以上两个等式相减可得，4880x y --=，化简得，220x y --=. 故选：C.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及两圆的公共弦问题，着重考查学生数形结合的思想和转化问题的能力，属中档题.10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的半径为（ ）3 232【答案】B【解析】 【分析】首先根据三视图得到该几何体是一个三条棱两两垂直的三棱锥，由此可得其外接球即为以三条棱为长宽高的长方体的外接球，从而计算得到外接球半径. 【详解】该几何体为底面是等腰直角三角形的三棱锥，如图，其中，PA ，PB ，PC 两两垂直，故三棱锥所在的外接球即为以PA ，PB ，PC 为长宽高的长方体的外接球，又PA 2，PB =2，PC 2，则外接球半径222(2)2(2)2R ++==故选：B.【点睛】本题考查三视图和三棱锥的外接球问题，考查学生的空间想象能力，将三棱锥的外接球问题转化为长方体的外接球问题是解本题的关键，属中档题.11.已知函数()()222024x f x sin xsin sin x ωπωωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭＞在区间344ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ） A. [1223，） B. [1233，]C. [1233，）D. [1223，]【答案】D 【解析】 【分析】化简可得()sin f x x ω=，由,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数含原点的递增区间，又因为函数在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，3,,2244ππππωω⎡⎤⎡⎤∴-⊇-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，可列出不等式组3,2442ππππωω--，求解得到23ω，又函数在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，可得到不等式02ππω≤≤，由此求出12ω≥，综上即可得到结果.【详解】2()2sin sin 24x f x x ωπω⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭2sin x ω-21cos 22sin sin 2x x xπωωω⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⋅- 2sin (1sin )sin x x x ωωω=+-=sin x ω，即()sin f x x ω=，,22ππωω⎡⎤∴-⎢⎥⎣⎦是函数含原点的递增区间， 又因为函数在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增， 3,,2244ππππωω⎡⎤⎡⎤∴-⊇-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 得不等式组：3,2442ππππωω--， 又20,03ωω>∴<， 又函数在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知2,2x k k Z πωπ=+∈，即函数在22k x ππωω=+处取得最大值， 可得02ππω≤≤，12ω∴≥，综上，可得12,23ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 故选：D.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质以及三角恒等变换化简，根据题中条件列出不等式组是解本题的关键，属难题.12.已知函数f （x ）＝x 3+ax 2﹣9x +1（a ∈R ），当x ≠1时，曲线y ＝f （x ）在点（x 0，f （x 0）和点（2﹣x 0，f （2﹣x 0））处的切线总是平行，现过点（﹣2a ，a ﹣2）作曲线y ＝f （x ）的切线，则可作切线的条数为（ ） A. .3 B. .2C. 1D. .0【答案】A【解析】 【分析】求得()y f x =的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件可得()()22000032932229x ax x a x +-=-+--，求得a =－3，设过点(6,5)-作曲线()y f x =的切线的切点为()32,391m m m m --+，求得切线方程，代入(6,5)-可得m 的三次方程，构造函数32()2213648g m m m m =-++，求得导数和单调性，可得极值，判断极值符号，即可得到方程的解的个数，可得所求切线的条数．【详解】函数32()91f x x ax x =+-+的导数为2()329f x x ax +'=-，当x 0≠1时，曲线()y f x =在点()()00,x f x 与点()()002,2x f x --处的切线总是平行，可得()()22000032932229x ax x a x +-=-+--，化简可得()()003442220x a x -+-=，解得3a =-，依题意，设过点(6,5)-作曲线()y f x =的切线的切点为()32,391m m m m --+，可得切线的斜率为2369m m --，即有切线的方程为()322391369()y m m m m m x m -++-=---， 代入(6,5)-，可得()3225391369(6)m m m m m m --++-=---， 化为3222136480m m m -++=， 设32()2213648g m m m m =-++，则2()642366(1)(6)g m m m m m '=-+=--， 由1<m <6，可得()0,()g m g m '<递减； 由m >6或m <1，可得()0,()g m g m '>递增，可得()g m 的极小值为(6)600g =-<，极大值为(1)650g =>， 可得3222136480m m m -++=有3个实根，则由点(2,2)a a --可作曲线()y f x =的切线的条数为3．故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义，注意过某点的切线与曲线的切点并不确定，需设切点坐标，考查学生的计算能力和逻辑推理能力，属难题. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若向量a =31)，b =(1，﹣3，则b 在a 方向上的投影为_____． 【答案】3-【解析】 【分析】分别求出a b ⋅和a ，利用cos ,a b b a b a⋅=即可计算出结果.【详解】a b ⋅3=-2a =， ∴b 在a 方向上的投影为：cos ,3a b a b b a b b a ba⋅⋅===-⋅．故答案为：3-【点睛】本题考查平面向量的投影及其计算，考查学生对投影的理解和计算，属基础题.14.若实数x ，y 满足约束条件5315153x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩，则z ＝3x +5y 的最大值为_____．【答案】17 【解析】 【分析】先画出可行域，作出目标函数的平行直线，确定z 与目标函数的纵截距之间的关系，从而平移目标函数确定最优解即可算出最大值.【详解】画出可行域如图所示的△ABC 的内部（包括边界）：由z ＝3x +5y 可得y 3155x z =-+，则z 为直线y 3155x z =-+在y 轴上的截距， 作直线L ：3x +5y ＝0，把直线L 向上平移到A 时z 最大，向下平移到B 时z 最小， 由15315y x x y =+⎧⎨+=⎩可得A (35,22)，此时z 的最大值为17，由1530y x x y =+⎧⎨--=⎩可得B (﹣2,﹣1)，此时z 的最小值为﹣11.故答案为：17.【点睛】本题考查线性规划问题，正确画出可行域并确定z 与目标函数的纵截距之间的关系是解决本题的关键，属中档题.15.设数列{a n }的前n 项和为S n ＝3•2n （n ∈N +），数列{b n }为等差数列，其前n 项和为T n ．若b 2＝a 5，b 10＝S 3，则T n 取最大值时n ＝_____． 【答案】17或18 【解析】 【分析】利用S n 和a n 的关系求出554a S S =-，根据条件列出方程组1148924b d b d +=⎧⎨+=⎩，求出b 1和d ，由此求得{b n }的通项公式，根据通项公式得到b 18＝0，由此即可求出T n 取最大值时n 的值.【详解】数列{a n }前n 项和为S n ＝3‧2n （n ∈N +），所以，54554323248a S S =-=⋅-⋅=，333224S =⋅=，设数列{b n }的公差为d ，且b 2＝a 5，b 10＝S 3，则1148924b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得：b 1＝51，d ＝﹣3，所以，b n ＝51﹣3(n ﹣1)＝54﹣3n ，当n ＝18时，b 18＝0， 故T n 取最大值时n ＝17或18． 故答案为：17或18.【点睛】本题考查S n 和a n 的关系以及等差数列前n 项和的最大值问题，等差数列的正负转折项是其前n 项和取得最值的项，注意项为0时有两项，属中档题.16.已知F 1、F 2分别是双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使得（2OP OF +）•2F P =0（O 为坐标原点），且|PF 1|3≥PF 2|，则双曲线的离心率的取值范围是_____． 【答案】113e <≤+【解析】 【分析】由2()OP OF +•2F P =0，可得（2OP OF +）•（2OP OF -）＝0，即|OP |＝c ，则∠F 1PF 2＝90°，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，可得m ﹣n ＝2a ，且m 2+n 2＝4c 2，令m =kn ，结合双曲线定义及不等式求得e 的范围从而求得结果.【详解】2()OP OF +•2F P =0，即为（2OP OF +）•（2OP OF -）＝0， 即为OP 22OF =2，可得|OP |＝c ，即有∠F 1PF 2＝90°，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，可得m ﹣n ＝2a ， 且m 2+n 2＝4c 2，令m =kn ， ∴n 21a k =-，m 2k 1ka=-． △PF 1F 2中，由勾股定理得|PF 1|2+|PF 2|2＝4c 2，∴（2k 1ka -）2+（21a k -）2＝4c 2， ∴（k 1k -）2+（11k -）2＝e 2，又k 3≥e 2=222122211143111)1)2323k k k k k k +=+=+≤+=+---++（（ 即有113e <≤， 故答案为：113e <≤+【点睛】本题考查双曲线的离心率及平面向量数量积的应用，求离心率的范围一般需要根据几何关系寻找不等关系构造离心率的不等式，属难题.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a +b ． （1）求角C 的大小； （2）若△ABC 3，求ab 的最小值. 【答案】（1）C 23π=；（2）最小值为13【解析】 【分析】（1）由正弦定理2a b cR sinA sinB sinC===，将2c cos B ＝2a +b 变形为2sin C cos B ＝2sin(B +C )+sin B ，使用两角和的正弦公式化简等式即可求得C 的值；（2）由△ABC 的面积公式得出c 与a 、b 的关系为c =3ab ，将其代入余弦定理，并通过基本不等式进行变形，可求得ab 的最小值. 【详解】（1）由正弦定理可知：a b csinA sinB sinC===2R ， a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，其中R 为△ABC 的外接圆半径，由2c cos B ＝2a +b ，则2sin C cos B ＝2sin(B +C )+sin B ，可得：2sin B cos C +sin B ＝0， 由0＜B ＜π，sin B ≠0，cos C 12=-，0＜C ＜π，则C 23π=； （2）由S 12=ab sin C 3=ab 3=，则c ＝3ab ，又c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ＝a 2+b 2+ab ， 由a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，可得：2ab +ab ≤9a 2b 2，即ab 13≥， 则当a ＝b 时，ab 取得的最小值为13．【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，掌握诱导公式、两角和的正弦公式、基本不等式的应用是解题关键，属中档题.18.如图，菱形ABCD的边长为a，∠D＝60°，点H为DC边中点，现以线段AH为折痕将△DAH 折起使得点D到达点P的位置且平面PHA⊥平面ABCH，点E，F分别为AB，AP的中点.（1）求证：平面PBC∥平面EFH；（2）若三棱锥P﹣EFH的体积等于312，求a的值.【答案】（1）见解析；（2）a＝2【解析】【分析】（1）分别证明EH∥平面PBC和EF∥平面PBC，再由EF∩EH＝E，即可证明结论；（2）根据条件求出AH3=，DH＝PH＝CH12a=，然后证明PH⊥平面ABCH，又点F为AP的中点，则S△PEF＝S△AEF，故V H－PEF＝V H－AEF，则111223P EFH P AEH AEHV V S h--==⋅⋅，据此计算求解即可.【详解】（1）证明：菱形ABCD中，∵E，H分别为AB，CD的中点，∴BE∥CH，BE＝CH，∴四边形BCHE为平行四边形，则BC∥EH，又EH⊄平面PBC，∴EH∥平面PBC，又点E，F分别为AB，AP的中点，则EF∥BP，又EF⊄平面PBC，∴EF∥平面PBC，由EF∩EH＝E，∴平面EFH∥平面PBC；（2）在菱形ABCD中，∠D＝60°，则△ACD为正三角形，∴AH⊥CD，AH3=，DH＝PH＝CH12a=，折叠后，PH⊥AH，又平面PHA⊥平面ABCH，平面PHA∩平面ABCH＝AH，从而PH⊥平面ABCH．在△PAE中，点F为AP的中点，则S△PEF＝S△AEF，∴V H－PEF＝V H－AEF，而V H－PEF+V H－AEF＝V H－PAE，∴11112223P EFH H PEF H PAE P AEH AEHV V V V S h ----====⋅⋅31111313323222a a =⨯⨯⨯⨯==， ∴a 3＝8，即a ＝2．故a ＝2．【点睛】本题考查面面平行和椎体体积的相关问题，面面平行证明的关键是在一个平面中找两条相交的直线，它们都平行于另一个平面，属中档题.19.已知A （0，1），B （0，﹣1），M （﹣1，0），动点P 为曲线C 上任意一点，直线PA ，PB 的斜率之积为12-，动直线l 与曲线C 相交于不同两点Q （x 1，y 1），R （x 2，y 2），其中y 1＞0，y 2＞0且满足12MQ y MRy =． （1）求曲线C 的方程；（2）若直线l 与x 轴相交于一点N ，求N 点坐标.【答案】（1）2212x y +=（x ≠0）；（2）N （﹣2，0）【解析】 【分析】（1）由已知及求轨迹方程的步骤可得到曲线C 的轨迹方程；（2）设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣m ），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，由已知可得k MQ +k MR ＝0，结合根与系数的关系代入即可解出N 点坐标. 【详解】（1）动点P 为曲线C 上任意一点，直线PA ，PB 的斜率之积为12-，设动点P （x ，y ），x ≠0；则有：k PA •k PB 1y x -=•112y x +=-，化简可得：2212x y +=，x ≠0． 故曲线C 的方程为：2212x y +=（x ≠0）；（2）设点N 的坐标为（m ，0）．依题意，直线l 的斜率存在且不为0，设为k （k ≠0），则直线l 的方程y ＝k （x ﹣m ），将y ＝k （x ﹣m ）代入方程22x +y 2＝1（x ≠0）． 得（2k 2+1）x 2﹣4k 2mx +2（k 2m 2﹣1）＝0．则△＝（﹣4k 2m ）2﹣8（2k 2+1）（k 2m 2﹣1）＝8（2k 2﹣k 2m 2+1）＞0，动直线与曲线C 相交于不同两点Q （x 1，y 1），R （x 2，y 2），其中y 1＞0，y 2＞0，x 1+x 222421k m k =+，x 1•x 2()2222121k m k -=+，且满足12MQ y MR y =，即21y y MR MQ =，如图，111sin QQ y QMQ MQ MQ ∠==，121sin RR yRMR MR MR∠==， 则11QMQ RMR ∠=∠，故k MQ +k MR ＝0，即()()1212121201111k x m k x m y y x x x x --+=+=++++， 化简得：()12122(1)20x x m x x m ⋅--+-=， 即()222222142(1)202121k m k mm m k k -⨯--⨯-=++，整理得m +2＝0，即m ＝﹣2．故点N 的坐标为(﹣2，0)．【点睛】本题考查轨迹方程的求解和直线与圆锥曲线的位置关系，着重考查学生数学运算和逻辑推理能力，题中由12MQ y MRy =得到k MQ +k MR ＝0是解决第二问的关键，属难题. 20.武汉某科技公司为提高市场销售业绩，现对某产品在部分营销网点进行试点促销活动．现有两种活动方案，在每个试点网点仅采用一种活动方案，经统计，2018年1月至6月期间，每件产品的生产成本为10元，方案1中每件产品的促销运作成本为5元，方案2中每件产品的促销运作成本为2元，其月利润的变化情况如图①折线图所示．（1）请根据图①，从两种活动方案中，为该公司选择一种较为有利的活动方案（不必说明理由）；（2）为制定本年度该产品的销售价格，现统计了8组售价x i （单位：元/件）和相应销量y （单位：件）（i ＝1，2，…8）并制作散点图（如图②），观察散点图可知，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，试求y 关于x 的回归方程（系数精确到整数）； 参考公式及数据：x =40，y =660，81i =∑x i y i＝206630，81i =∑x 2i=12968，()()()1122211ˆnni i i i i i nn i i i i x x y y x y nxy bx x x nx====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-， （3）公司策划部选ˆy=-1200ln x +5000和ˆy ═13-x 3+1200两个模型对销量与售价的关系进行拟合，现得到以下统计值（如表格所示）：ˆ1200ln 5000yx =-+ 1ˆ3y=-x 3+1200 ()821ˆiii y y=-∑ 52446.95122.89()821i i y y =-∑ 124650相关指数 R 21R 22相关指数：R 2＝12121() ()ni i i n i i y y y y ==---∑∑．（i ）试比较R 12，R 22的大小（给出结果即可），并由此判断哪个模型的拟合效果更好； （ii ）根据（1）中所选的方案和（i ）中所选的回归模型，求该产品的售价x 定为多少时，总利润z 可以达到最大？【答案】（1）方案1是较为有利的活动方案；（2）ˆ271748y x =-+；（3）（i ）31ˆ12003yx =-+进行拟合效果更好；（ii ）售价为x ＝40时，总利润z 最大 【解析】 【分析】（1）由图可知，方案1是较为有利的活动方案；（2）由公式计算求出ˆa和ˆb 即可得到回归方程； （3）（i ）由图表数据可知R 12＜R 22，故选择模型31ˆ12003yx =-+进行拟合效果更好；（ii ）由（1）可知，采用方案1的促销效果更好，此时每件产品运作成本为5元，求出总利润z 的解析式，利用导数研究其单调性和最大值即可得到结果. 【详解】（1）由图可知，方案1是较为有利的活动方案；（2）由公式得8182221 82066308406601296848ˆ80i i i i i x y xy x x b ==--⨯⨯==≈--⨯-∑∑27.2≈﹣27， ()ˆˆ66027.2401748ay bx =-=--⨯=． 故所求回归直线方程为ˆ271748yx =-+； （3）（i ）由图表可知，R 12＝152446.95124650-，R 22＝1122.89124650-，∴R 12＜R 22，故选择模型31ˆ12003yx =-+进行拟合效果更好； （ii ）由（1）可知，采用方案1的促销效果更好，此时每件产品运作成本为5元， 故总利润()311200153z x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，(30)(40)z x x '=-+-. 当x ∈(0，40)时，z ′＞0，z ()211200153x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭单调递增， 当x ∈(40，+∞)时，z ′＜0，z ()211200153x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭单调递减． 故售价为x ＝40时，总利润z 最大．【点睛】本题考查回归分析，着重考查学生的数学运算能力、分析问题和解决问题的能力，结合实际问题审清题意是解题的关键，属中档题.21.已知函数f (x )＝a (x ﹣1)﹣lnx (a ∈R )，g (x )＝(1﹣x )e x . （1）讨论函数f (x )的单调性；（2）若对任意给定的x 0∈[﹣1，1]，在区间(0，e ]上总存在两个不同的x i (i ＝1，2)，使得f (x i )＝g (x 0)成立，求a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）[21e -，+∞)【解析】 【分析】（1）首先求出函数的导数，分a ≤0和a >0两种情况讨论，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间；（2）首先利用导数求出g (x )的值域为[0，1]，根据（1）可排除a ≤0和0＜a 1e≤的情况，由函数f (x )的单调性和图象分析可知，a 满足以下条件()1101a e f a f e ⎧⎪⎪⎪⎛⎫⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪≥⎪⎩＞＜时符合题意，结合构造函数求解不等式即可得到结果.【详解】（1）f (x )＝a (x ﹣1)﹣ln x ，x ＞0，则f ′(x )＝a 11ax x x--=， ①当a ≤0时，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，+∞)上为减函数， ②当a >0时，令f ′(x )＞0得x 1a ＞，令f ′(x )＜0得0＜x 1a＜. 故f (x )的单调递减区间为(0，1a )，单调递增区间为(1a，+∞)， 综上所述，当a ≤0时，函数f (x )在(0，+∞)上为减函数， 当a >0时，f (x )在(0，1a )上为减函数，在(1a，+∞)为增函数； （2）∵g (x )＝(1﹣x )e x ，∴g ′(x )＝﹣xe x ，当x ∈[﹣1，0)时，g ′(x )>0，当x ∈(0，1]时，g ′(x )<0， 又g (0)＝1，g (1)＝0，g (﹣1)2e=，∴当x ∈[﹣1，1]时，g (x )的值域为[0，1]， 由（1）可知，①当a ≤0时，函数f (x )在(0，e ]上为减函数，不满足题意；②当1a ≥e ，即0＜a 1e≤时，函数f (x )在(0，e ]上为减函数，不满足题意； ③当01a ＜＜e 时，即a 1e＞时，函数f (x )在区间(0，1a )上为减函数，在(1a ，e ]上为增函数，又x ＞0，且x →0时，f (x )→+∞，函数f (x )的大概图像如下图，故对任意给定的x 0∈[﹣1，1]，在区间(0，e ]上总存在两个不同的x i (i ＝1，2)，使得f (x i )＝g (x 0)成立，当且仅当a 满足以下条件()1101a e f a f e ⎧⎪⎪⎪⎛⎫⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪≥⎪⎩＞＜，即()110111a e a lna a e ⎧⎪⎪-+⎨⎪--≥⎪⎩＞＜（*）令h (a )＝1﹣a +ln a ，a ∈(1e，+∞)，则h ′(a )＝﹣111a a a -+=， 当1e ＜a ＜1时，h ′(a )＞0，当a ＞1时，h ′(a )＜0，∴函数h (a )在(1e，1)上为增函数，在(1，+∞)上为减函数，故h (a )max ＝h (1)＝0， 从而（*）等价于11121a e a a e a e ⎧⎪⎪⎪≠⎨⎪⎪≥⎪-⎩＞＞且，故a 21e ≥-，故a 的取值范围为[21e -，+∞)． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和求函数的最值问题，体现了分类讨论和数形结合的思想，着重考查学生对题意的理解与转化的思想，特别是问题（2）的设置，考查了学生创造性分析和解决问题的能力，属难题.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

巴蜀中学2024届高考适应性月考卷(一)数学注意事项:1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。

2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。

3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回、满分150分,考试用时120分钟。

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A=x∣x2−2x−3≤0,B=x y=2x−4,则A∩B=A.[2,3)B.(2,3]C.2,3D.2,32.“x<0”是“log3x+1<0”的()条件.A.必要而不充分B.充分而不必要C.充分必要D.既不充分也不必要3.若函数f x−1的定义域为−3,1,则y=x−1f x的定义域为A.−3,1B.−2,2C.−4,0D.−4,04.已知函数f x=−xe x,那么f x的极大值是A.1eB.−1eC.−eD.e5.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B3,0,若AF=BF,则△ABF的面积为A.1B.2C.4D.26.已知双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2,点A在E上,且cos∠F1AF2=35,AF1=2AF2,则E的渐近线方程为A.y=±58B.y=±8C.y=±D.y=±7.定义在上的函数f x满足f x+1=12f x,且当x∈[0,1)时,f x=1−2x−1.x∈f x的值域为A.1B.0,1C.D.8.已知函数f′x是奇函数f x x∈的导函数,且满足x>0时,lnx⋅f′x+ 1x f x<0,则不等式x−985f x>0的解集为A.985,+∞B.−985,985C.−985,0D.0,985二、多项选择题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,在每个给出的四个选项中,有多项是满足要求的,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.同时投掷甲、乙两枚质地均匀的骰子,记“甲轩子正面向上的点数为奇数”为事件A,“乙股子正面向上的点数为奇数”为事件B,“至少出现一个般子正面向上的点数为奇数”为事件C,则下列判断正确的是A.A,B为互斥事件B.A,B互为独立事件C.P C=34D.P A∣C=1310.已知函数f x的定义域为,且f x+1=f1−x,f x+f4−x= 0,f2023=−2023,则A.f0=0B.f x是偶函数C.f x的一个周期T=4D.k=12023f k=−202311.已知数列a n满足a1=2,a n+1=2−1a n,则A.a3=43B.为等比数列C.a n=n+1nD.数列lna n的前n项和为ln n+112.已知函数f x=,x>0,x2−4x+1,x≤0,若关于x的方程f2x−2af x+a2−1=0有k k∈N x1,x2,⋯,x k且x1<x2<⋯<x k,则下列判断正确的是A.当a=0时,k=5B.当k=2时,a的范围为−∞,−1C.当k=8时,x1+x4+x6x7=−3D.当k=7时,a的范围为1,2三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.−2x23的展开式中x3项的系数为.14.若m,n∈∗,且2m⋅4n=2,则2m+1n的最小值为.15.在数列a n中,若a2=8,前n项和S n=−n2+bn,则S n的最大值为.16.已知函数f x=x3+ln x2+1+x,若不等式f2x−4x+f m⋅2x−3< 0对任意x∈均成立,则m的取值范围为.四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题满分10分)已知数列a n满足a1=2,a n+1=a n+1,n为奇数,2a n,n为偶数.(1)记b n=a2n+1,求证:b n为等比数列;(2)若S n=a1+a2+a3+⋯+a n n∈∗,求S2n.18.(本小题满分12分)巴蜀中学进行90周年校庆知识竞赛,参赛的同学需要从10道题中随机地抽取4道来回答，竞赛规则规定:每题回答正确得10分,回答不正确得-10分.(1)已知甲同学每题回答正确的概率均为0.8,且各题回答正确与否相互之间没有影响,记甲的总得分为X,求X的期望和方差;(2)已知乙同学能正确回答10道题中的6道,记乙的总得分为Y,求Y的分布列.19.(本小题满分12分)如图1,在三棱柱ABC−A1B1C1中,AA1=2,AC=A1C=2,平面ACC1A1⊥平面ABC,∠ACB=90∘.(1)求证:A1C⊥AB;公众号：全元高考(2)若四棱锥B−ACC1A1的体积为求二面角C−A1B−B1的正弦值。

2021-2022学年重庆市巴蜀中学高三（上）适应性数学试卷（一）一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知命题p：∀x∈（0，+∞），lnx＞x﹣1，则命题p的否定是（）A．∀x∈（0，+∞），lnx≤x﹣1B．∃x∈（0，+∞），lnx＞x﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx＜x﹣1D．∃x∈（0，+∞），lnx≤x﹣12．已知函数，则f[f（0）]＝（）A．3B．﹣3C．﹣2D．23．已知i是虚数单位，z为复数，2+＝z（3+i），则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．设集合，集合B＝{y|y＝2|x|+1}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，﹣2]∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣2]C．[2，3）D．（3，+∞）5．已知复数z，“z+＝0”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也不必要条件6．已知集合M＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，非空集合P满足：（1）P⊆M；（2）若x∈P，则﹣x∈P，则集合P的个数是（）A．7B．8C．15D．167．设a＝20.4，b＝0.40.3，c＝log23，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b8．已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足2x2f（x）+x3f'（x）＝lnx，（其中e为自然常数，e≈2.718），则下列说法正确的是（）A．f（x）在（0，+∞）上单调递增B．f（x）在（0，+∞）上单调递减C．f（x）在（0，+∞）上有极大值D．f（x）在（0，+∞）上有极小值二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．已知实数a，b，c满足a＞b＞0＞c，则下列不等式中一定正确的有（）A．a c＞b c B．C．ac2＞bc2D．10．已知数据1：x1，x2，⋯，x n，数据2：2x1﹣1，2x2﹣1，⋯，2x n﹣1，则下列统计量中，数据2是数据1的两倍的有（）A．均值B．极差C．方差D．标准差11．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）是奇函数，f（x+1）是偶函数．则下列选项中说法正确的有（）A．f（2）＝0B．f（x）周期为2C．f（x）的图象关于直线x＝1对称D．f（x﹣2）是奇函数12．已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为r（0＜r＜2），设圆台的体积为V，则下列选项中说法正确的是（）A．当r＝1时，B．当r在区间（0，2）内变化时，V先增大后减小C．V不存在最大值D．当r在区间（0，2）内变化时，V逐渐减小三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知二项式展开式的二项式系数之和为64，则n＝；展开式中的常数项为．14．请写出一个同时满足下列三个条件的函数f（x）：．①f（x）是偶函数；②f（x）在（0，+∞）上单调递减；③f（x）的值域是（0，+∞）．15．一猎人带着一把猎枪到山里去打猎，猎枪每次可以装3发子弹，当他遇见一只野兔时，开第一枪命中野免的概率为0.8，若第一枪没有命中，猎人开第二枪，命中野免的概率为0.4，若第二枪也没有命中，猎人开第三枪，命中野兔的概率为0.2，若3发子弹都没打中，野兔就逃跑了，则已知野兔被击中的条件下，是猎人开第二枪命中的概率为．16．已知双曲线.，直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，O是坐标原点，若△AOB是锐角三角形，则双曲线C的离心率e的取值范围是．四、解答题（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．设二次函数f（x）＝ax2+2x+c（a，c∈R），并且∀x∈R，f（x）≤f（1）．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）＝f（e x）在x∈[0，1]的最大值是1，求实数c的值．18．高二下学期期末考试之后，年级随机选取8个同学，调查得到每位同学的每日数学学习时间x i（分钟）与期末数学考试成绩y i（分）的数据，并求得．（1）求学生的数学考试成绩y与学生每日数学学习时间x的线性回归方程；（2）小明每日数学学习时间如果是65分钟，试着预测他这次考试的数学成绩．附：＝，＝﹣．19．已知在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD是正方形．若PD＝PA ＝，PC＝．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）在线段PB上是否存在一点Q满足：二面角B﹣AC﹣Q的余弦值为？若存在，请求出的比值λ．若不存在，请说明理由．20．已知椭圆经过点A1（﹣2，0），A2（2，0），点B为椭圆E的上顶点，且直线A1B与直线相互垂直．（1）求椭圆E的方程；（2）若不垂直x轴的直线l过椭圆E的右焦点F2，交椭圆于C，D两点（C在x轴上方），直线A1C，A2D分别与y轴交于S，T两点，O为坐标原点，求证：．21．已知某机床的控制芯片由n（n∈N*）个相同的单元组成，每个单元正常工作的概率为p，且每个单元正常工作与否相互独立．（1）若，求至少有3个单元正常工作的概率；（2）若，并且n个单元里有一半及其以上的正常工作，这个芯片就能控制机床，其概率记为P（n）．①求P（7）的值；②若，求n的值．22．已知函数f（x）＝e x﹣1﹣mx2（m∈R）．（1）选择下列两个条件之一：①；②m＝1；判断f（x）在区间（0，+∞）是否存在极小值点，并说明理由；（2）已知m＞0，设函数g（x）＝f（x）+mxln（mx）．若g（x）在区间（0，+∞）上存在零点，求实数m的取值范围．参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知命题p：∀x∈（0，+∞），lnx＞x﹣1，则命题p的否定是（）A．∀x∈（0，+∞），lnx≤x﹣1B．∃x∈（0，+∞），lnx＞x﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx＜x﹣1D．∃x∈（0，+∞），lnx≤x﹣1解：根据题意，命题p：∀x∈（0，+∞），lnx＞x﹣1，是全称命题，其否定为：∃x∈（0，+∞），lnx≤x﹣1，故选：D．2．已知函数，则f[f（0）]＝（）A．3B．﹣3C．﹣2D．2解：根据题意，函数，则f（0）＝1+2＝3，则f[f（0）]＝f（3）＝log28＝3，故选：A．3．已知i是虚数单位，z为复数，2+＝z（3+i），则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵2+＝z（3+i），∴，∴复数z在复平面内对应的点为，位于第四象限．故选：D．4．设集合，集合B＝{y|y＝2|x|+1}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，﹣2]∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣2]C．[2，3）D．（3，+∞）解：∵集合＝{x|}＝{x|﹣3＜x＜3}，集合B＝{y|y＝2|x|+1}＝{y|y≥2}，∴A∩B＝{x|2≤x＜3}＝[2，3）．故选：C．5．已知复数z，“z+＝0”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也不必要条件解：对于复数z，若z+＝0，z不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z为纯虚数，则z+＝0．∴“z+＝0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件．故选：B．6．已知集合M＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，非空集合P满足：（1）P⊆M；（2）若x∈P，则﹣x∈P，则集合P的个数是（）A．7B．8C．15D．16解：∵P⊆M，且x∈P，﹣x∈P，∴满足条件的集合P应含有元素为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，∵P为非空集合，∴集合P的个数为24﹣1＝15，故选：C．7．设a＝20.4，b＝0.40.3，c＝log23，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b解：1＝20＜20.4＜20.5＝＜1.5，0.40.3＜0.40＝1，log23＞log22＝1.5，故b＜a＜c，故选：D．8．已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足2x2f（x）+x3f'（x）＝lnx，（其中e为自然常数，e≈2.718），则下列说法正确的是（）A．f（x）在（0，+∞）上单调递增B．f（x）在（0，+∞）上单调递减C．f（x）在（0，+∞）上有极大值D．f（x）在（0，+∞）上有极小值解：∵2x2f（x）+x3f'（x）＝lnx，x∈（0，+∞），∴2xf（x）+x2f'（x）＝，①令g（x）＝x2f（x），则g′（x）＝2xf（x）+x2f'（x）；②又（ln2x+C）′＝，③由①②③得x2f（x）＝ln2x+C（x＞0），∴f（x）＝（x＞0），又，即＝，解得C＝，∴f（x）＝（x＞0）．∴f′（x）＝＝＝≤0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．已知实数a，b，c满足a＞b＞0＞c，则下列不等式中一定正确的有（）A．a c＞b c B．C．ac2＞bc2D．解：对于A，f（x）＝x c在（0，+∞）为减函数，当a＞b＞0时，a c＜b c，故A错误，对于B，∵a＞b＞0，∴，又∵c＜0，∴，故B正确，对于C，∵a＞b＞0，∴c2＞0，∴ac2＞bc2，故C正确，对于D，∵a＞0＞c，∴，当且仅当a＝﹣c时等号成立，故D正确．故选：BCD．10．已知数据1：x1，x2，⋯，x n，数据2：2x1﹣1，2x2﹣1，⋯，2x n﹣1，则下列统计量中，数据2是数据1的两倍的有（）A．均值B．极差C．方差D．标准差解：设数据1：x1，x2，⋯，x n的均值为，标准差为s，极差为R＝x max﹣x min，则数据2：2x1﹣1，2x2﹣1，⋯，2x n﹣1的均值为，方差为4s2，故A，C错误，标准差为，极差为2x max﹣1﹣（2x min﹣1）＝2（x max﹣x min）＝2R，故B，D正确．故选：BD．11．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）是奇函数，f（x+1）是偶函数．则下列选项中说法正确的有（）A．f（2）＝0B．f（x）周期为2C．f（x）的图象关于直线x＝1对称D．f（x﹣2）是奇函数解：因为定义在R上的函数f（x）满足f（x）是奇函数，所以f（0）＝0，又f（x+1）是偶函数，所以f（1﹣x）＝f（1+x），所以f（2﹣x）＝f（x），所以f（2）＝f（0）＝0，故A正确；则f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），故函数f（x）是周期为4的周期函数，故B错误；由f（1﹣x）＝f（1+x），可知f（x）的图象关于直线x＝1对称，故C正确；由已知f（x）关于（0，0）和直线x＝1对称，从而f（x）关于（2，0）对称，又因为f（x）的周期T＝4，可得f（x）关于（﹣2，0）对称，所以f（x﹣2）是奇函数，故D正确．故选：ACD．12．已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为r（0＜r＜2），设圆台的体积为V，则下列选项中说法正确的是（）A．当r＝1时，B．当r在区间（0，2）内变化时，V先增大后减小C．V不存在最大值D．当r在区间（0，2）内变化时，V逐渐减小解：由题意，圆台的体积＝＝，对于A，当r＝1时，，故选项A正确；，设f（r）＝﹣3r3﹣4r2+4r+8，则f'（r）＝﹣9r2﹣8r+4在（0，2）上单调递减，设f'（r）＝0的两个根为r1，r2（r1＜r2），由韦达定理，则r2∈（0，2），且当r∈（0，r2）时，f'（r）＞0，则f（r）单调递增，当r∈（r2，2）时，f'（r）＜0，则f（r）单调递减，由f（0）＝8，f（1）＝5，f（2）＝﹣24，所以存在r0∈（1，2），使得f（r0）＝0，当r∈（0，r0）时，f（r）＞0，即V'＞0，故函数V单调递增，当r∈（r0，2）时，f（r）＜0，即V'＜0，故函数V单调递减，故选项B正确，选项C错误，选项D错误．故选：AB．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知二项式展开式的二项式系数之和为64，则n＝6；展开式中的常数项为160．解：∵（x+）n展开式的二项式系数之和是2n＝64，则n＝6，∴（x+）6的展开式中的通项公式为：T r+1＝C6r•2r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得展开式中的常数项的值是C63•23＝160，故答案为：6，160．14．请写出一个同时满足下列三个条件的函数f（x）：f（x）＝x﹣2．①f（x）是偶函数；②f（x）在（0，+∞）上单调递减；③f（x）的值域是（0，+∞）．解：从具有奇偶性，单调性的角度进行分析，从基本初等函数进行考虑，则时满足三个条件的函数f（x）可以为：f（x）＝x﹣2．故答案为：f（x）＝x﹣2．15．一猎人带着一把猎枪到山里去打猎，猎枪每次可以装3发子弹，当他遇见一只野兔时，开第一枪命中野免的概率为0.8，若第一枪没有命中，猎人开第二枪，命中野免的概率为0.4，若第二枪也没有命中，猎人开第三枪，命中野兔的概率为0.2，若3发子弹都没打中，野兔就逃跑了，则已知野兔被击中的条件下，是猎人开第二枪命中的概率为．解：记事件A＝“猎人第一击中野兔“，事件B＝“猎人第二击中野兔“，事件C＝“猎人第三击中野兔“，D＝“野兔被击中“，则P（D）＝P（A+B+C）＝P（A）+P（B）+P（C）＝0.8+0.2×0.4+0.2×0.6×0.2＝0.904，P（B）＝0.2×0.4＝0.08，P（B|D）＝．故答案为：．16．已知双曲线.，直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，O是坐标原点，若△AOB是锐角三角形，则双曲线C的离心率e的取值范围是（，2）．解：运用临界法：当∠AOB＝90°时，渐近线方程为y＝±x，即＝1，离心率e＝＝＝，当直线y＝（x+c）与渐近线y＝﹣x垂直时，＝，离心率e＝＝＝＝2，所以当△AOB是锐角三角形时，双曲线的离心率e∈（，2）．故答案为：（，2）．四、解答题（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．设二次函数f（x）＝ax2+2x+c（a，c∈R），并且∀x∈R，f（x）≤f（1）．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）＝f（e x）在x∈[0，1]的最大值是1，求实数c的值．解：（1）根据题意，二次函数f（x）＝ax2+2x+c（a，c∈R），并且∀x∈R，f（x）≤f（1），则二次函数f（x）开口向下，其对称轴为x＝1，则有﹣＝1，解可得a＝﹣1；（2）函数g（x）＝f（e x），设t＝e x，若x∈[0，1]，则1≤t≤e，函数g（x）＝f（e x）在x∈[0，1]的最大值是1，且∀x∈R，f（x）≤f（1）．则x＝0时，g（x）取得最大值1，即g（0）＝f（1）＝﹣1+2+c＝1，解可得c＝0；故c＝0，18．高二下学期期末考试之后，年级随机选取8个同学，调查得到每位同学的每日数学学习时间x i（分钟）与期末数学考试成绩y i（分）的数据，并求得．（1）求学生的数学考试成绩y与学生每日数学学习时间x的线性回归方程；（2）小明每日数学学习时间如果是65分钟，试着预测他这次考试的数学成绩．附：＝，＝﹣．解：（1）由已知的数据可得，，所以，则，故线性回归方程为；（2）当x＝65时，则，故预测他这次考试的数学成绩为132.5分．19．已知在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD是正方形．若PD＝PA ＝，PC＝．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）在线段PB上是否存在一点Q满足：二面角B﹣AC﹣Q的余弦值为？若存在，请求出的比值λ．若不存在，请说明理由．解：（1）设正方形ABCD的边长为2a，取AD的中点M，连接PM，MC，由平面PAD⊥平面ABCD，，则PM⊥AD，所以PM⊥平面ABCD，则PM2＝17﹣a2，又PM⊥MC，所以PM2＝21﹣5a2，则解出a＝1，PM＝4，所以体积．因此，四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）存在，理由如下：以M为坐标原点，平行于AB为x轴正方向，MD为y轴正方向，MP为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则A（0，﹣1，0），B（2，﹣1，0），C（2，1，0），P（0，0，4），设，则Q（2λ，﹣λ，4﹣4λ），所以，，设平面QAC的法向量，由，所以，令x＝1，可得，而为平面ABCD的一个法向量，所以＝，则，有或．由于点Q在PB上，所以．所以在线段PB上是否存在一点Q满足：二面角B﹣AC﹣Q的余弦值为，且．20．已知椭圆经过点A1（﹣2，0），A2（2，0），点B为椭圆E的上顶点，且直线A1B与直线相互垂直．（1）求椭圆E的方程；（2）若不垂直x轴的直线l过椭圆E的右焦点F2，交椭圆于C，D两点（C在x轴上方），直线A1C，A2D分别与y轴交于S，T两点，O为坐标原点，求证：．解：（1）由题可得a＝2，因为直线A1B与直线相互垂直，所以•k＝﹣1，即，解得b＝，所以椭圆E的方程为：；证明：（2）设直线l方程为x＝my+1（m≠0），联立得（4+3m²）y²+6my﹣9＝0，设C（x1，y1），D（x2，y2），则有y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，A1C：y＝，令x＝0，则y s＝，同理可得y r＝，所以||＝＝＝，则||﹣＝＝，因为2my1y2﹣3（y1+y2）＝2m•（﹣）﹣3•（﹣）＝0，所以||﹣＝0，即||＝，得证．21．已知某机床的控制芯片由n（n∈N*）个相同的单元组成，每个单元正常工作的概率为p，且每个单元正常工作与否相互独立．（1）若，求至少有3个单元正常工作的概率；（2）若，并且n个单元里有一半及其以上的正常工作，这个芯片就能控制机床，其概率记为P（n）．①求P（7）的值；②若，求n的值．解：（1）设至少有3个单元正常工作的概率为P1，则P1＝；（2）①当n＝7时，至少有4个单元正常工作芯片就能控制机床，所以P（7）＝，因为，所以P（7）＝＝，又＝26，所以P（7）＝；②若n＝2k﹣1（k∈N*），则P（n）＝+•••+＝，因为＝，所以P（n）＝；若n＝2k（k∈N*），则P（n）＝，而对立事件＝，且＝，则P（n）﹣＝，所以P（n）≠．综上所述，n＝2k﹣1（k∈N*）．22．已知函数f（x）＝e x﹣1﹣mx2（m∈R）．（1）选择下列两个条件之一：①；②m＝1；判断f（x）在区间（0，+∞）是否存在极小值点，并说明理由；（2）已知m＞0，设函数g（x）＝f（x）+mxln（mx）．若g（x）在区间（0，+∞）上存在零点，求实数m的取值范围．解：（1）若选①：，则函数f（x）＝e x﹣1﹣x2，所以f'（x）＝e x﹣1﹣x，f''（x）＝e x﹣1﹣1，因为f''（x）单调递增，且f''（1）＝0，所以f'（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，则f'（x）≥f'（1）＝0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以不存在极小值点；若选②：m＝1，则f（x）＝e x﹣1﹣x2，所以f'（x）＝e x﹣1﹣2x，f''（x）＝e x﹣1﹣2，由f''（x）单调递增，且f''（1+ln2）＝0，所以f'（x）在（0，1+ln2）上单调递减，在（1+ln2，+∞）上单调递增，故f'（x）≥f'（1+ln2）＝﹣2ln2＜0，又f'（4）＝e3﹣8＞0，所以存在极小值点x0∈（1+ln2，4）．（2）令g（x）＝0，则e x﹣1﹣mx2+mxln（mx）＝0，又mx＞0，所以＝e x﹣ln（mx）﹣1﹣[x﹣ln（mx）]＝0，令t＝x﹣ln（mx），故e t﹣1﹣t＝0有解，设h（t）＝e t﹣1﹣t，则h'（t）＝e t﹣1﹣1，令h'（t）＝0，解得t＝1，所以h（t）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又h（1）＝0，所以h（t）＝e t﹣1﹣t有唯一的零点t＝1，若g（x）在区间（0，+∞）上存在零点，即1＝x﹣ln（mx）在（0，+∞）上有解，整理可得1+lnm＝x﹣lnx，令l（x）＝x﹣lnx，则l'（x）＝1﹣，令l'（x）＝0，解得x＝1，所以l（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故l（x）≥l（1）＝1，所以1+lnm≥1，解得m≥1，所以m的取值范围为[1，+∞）．。

渝中区巴蜀中学2021届高三数学“一诊〞模拟测试题 理〔含解析〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项满足题目要求的()131i i z i-=+，那么其一共轭复数z 的虚部为〔 〕A. -1B. 1C. -2D. 2【答案】B 【解析】 【分析】利用复数乘法、除法运算化简z ，由此求得z 的一共轭复数z ，进而求得z 的虚部.【详解】依题意()()()()3134221112i i i iz i i i i +-+-====-++-，故2z i =+，其虚部为1. 应选：B.【点睛】本小题主要考察复数乘法、除法的运算，考察一共轭复数的概念，考察复数虚部，属于根底题.1|0x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，集合(){}|lg 21B x y x ==-，那么A B =〔 〕A. (]0,1B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,12⎛⎤⎥⎝⎦D.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】解分式不等式求得集合A ，求函数定义求得集合B ，由此求得两个集合的交集.【详解】由10x x -≥解得01x <≤，由210x 解得12x >，故1,12A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦，应选：C.【点睛】本小题主要考察交集的概念和运算，考察分式不等式的解法，考察对数函数的定义域，属于根底题.a ，e 均为单位向量，当a ，e 的夹角为23π时，a 在e 方向上的投影为〔 〕A. B. 12-C.12【答案】B 【解析】 【分析】根据向量投影计算公式，计算出所求的投影. 【详解】a 在e 上的投影为21cos ,cos 32a a e π<>==-， 应选：B.【点睛】本小题主要考察向量投影的概念和运算，考察单位向量，属于根底题.{}n a 满足3243a =a ，那么数列{}n a 中一定为零的项是〔 〕A. 6aB. 7aC. 8aD. 9a【答案】A 【解析】 【分析】将条件转化为1,a d 的形式，由此判断出一定为零的项.【详解】设公差为d ，由3243a =a 得15a d =-，∴6150a a d =+=， 应选：A.【点睛】本小题主要考察等差数列的根本量计算，属于根底题.5.新高考方案规定，普通高中学业程度考试分为合格性考试〔合格考〕和选择性考试〔选择考〕.其中“选择考〞成绩将计入高考总成绩，即“选择考〞成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进展排序，评定为A 、B 、C 、D 、E 五个等级.某试点高中2021年参加“选择考〞总人数是2021年参加“选择考〞总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考〞的程度情况，统计了该校2021年和2021年“选择考〞成绩等级结果，得到如以下图表：针对该校“选择考〞情况，2021年与2021年比拟，以下说法正确的选项是〔〕A. 获得A等级的人数减少了B.C. 获得D等级的人数减少了一半D. 获得E等级的人数一样【答案】B【解析】【分析】设出两年参加考试的人数，然后根据图表计算两年等级为A,B,C,D,E的人数，由此判断出正确选项.【详解】设2016年参加考试x人，那么2018年参加考试2x人，根据图表得出两年各个等级的人数如以下图所示：年份 A B C D E2021 0.28x0.32x0.30x0.08x0.02x 2021 0.48x0.8x0.56x0.12x0.04x由图可知A,C,D选项错误，B选项正确，故本小题选B.【点睛】本小题主要考察图表分析，考察数据分析与处理才能，属于根底题.6.执行如下图的程序框图，输出的结果为()A. 201921-B. 201922-C. 202022-D.202021-【答案】C 【解析】 【分析】由中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，由于()2019232019202021222222212S -=+++⋯+==--．应选：C ．【点睛】此题考察了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是根底题．()23cos 2sin 232f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，将函数()f x 的图像向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图像，假设()g x 为偶函数，那么ϕ的最小值是〔 〕 A.6π B.3π C.23π D.56π【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式、辅助角公式化简()f x ，求得()f x 向左平移ϕ个单位后的()g x 的解析式，根据()g x 为偶函数，求得ϕ的表达式，由此求得ϕ的最小值. 【详解】()πππcos 2cos 2sin 2cos 2626f x x x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦12cos 222x x =+sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向左平移()0ϕϕ>，得()sin 226g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又()g x 为偶函数，令π2π62k πϕ+=+，得26k ππϕ=+，由于0ϕ>，k Z ∈，∴ϕ最小值为6π， 应选：A.【点睛】本小题主要考察诱导公式、辅助角公式，考察三角函数图像变换，考察根据三角函数的奇偶性求参数，属于中档题.{}n a 的前n 项和为n S ，满足()112n n n nS a =-+，那么135S S S ++=〔 〕 A. 0 B.564 C.1764D.2164【答案】D 【解析】 【分析】根据题目所给条件，求得135,,S S S 的值，进而求得它们的和. 【详解】()()()11122nn n n n S S S n -=--+≥，假设n 为偶数，那么112n nS -=，∴112k k S +=〔k 为奇数〕. 那么135111214166464S S S ++=++=， 应选：D.【点睛】本小题主要考察()12n n n a S S n -=-≥的运用，属于根底题.C ：()220y px p =>，过其焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，记AOB∆的面积为S ，且满足3232AB FB S ==，那么p =〔 〕 A.12B. 1C.32D. 2【答案】D 【解析】 【分析】结合抛物线的定义，计算出三角形OAB 的面积S ，由此列方程，解方程求得p 的值. 【详解】设FB a =， ()()1122,,,A x y B x y ，那么211122AOB S p y y ∆=⨯⨯-，根据抛物线的定义可知()222122y y AB AF BFa -=--=.依题意3232AB FB S ==， 那么3211322222a p a =⨯⨯⨯，∴2p =， 应选：D.【点睛】本小题主要考察抛物线的定义，考察与抛物线有关的三角形面积的计算，考察方程的思想，属于根底题.10.某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外接球的体积为〔 〕A.28727B.2879C.282127D.28219【答案】C 【解析】 【分析】将三视图复原为原图，几何体是底面为边长为2的等边三角形，高为2的三棱锥.根据等边三角形外接圆的半径，计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积.【详解】将三视图复原为原图如图，可得几何体是底面为边长为2的等边三角形，高为2的三棱锥.等比三角形的外接圆半径为1223π33sin3==，所以其外接球的222237133R ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，213R =.那么342821327V R ππ==球， 应选：C.【点睛】本小题主要考察三视图复原为原图，考察三棱锥外接球体积有关计算，属于根底题.()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的关于直线1y =-对称的点在()1g x kx =-的图像上，那么k 的取值范围是( )A. 13(,)34B. 13(,)24C. 1(,1)3D. 1(,1)2【答案】D 【解析】 【分析】根据对称关系可将问题转化为()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点；利用导数研究()f x 的单调性从而得到()f x 的图象；由直线1y kx =--恒过定点()0,1A -，通过数形结合的方式可确定(),AC AB k k k -∈；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得AC k 和AB k ，进而得到结果.【详解】()1g x kx =-关于直线1y =-对称的直线方程为：1y kx =--∴原题等价于()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点由1y kx =--可知，直线恒过点()0,1A - 当0x >时，()ln 12ln 1f x x x '=+-=-()f x ∴在()0,e 上单调递减；在(),e +∞上单调递增由此可得()f x 图象如以下图所示：其中AB 、AC 为过A 点的曲线的两条切线，切点分别为,B C由图象可知，当(),AC AB k k k -∈时，()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点 设(),ln 2C m m m m -，0m >，那么ln 21ln 10AC m m m k m m -+=-=-，解得：1m =1AC k ∴=-设23,2B n n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，0n ≤，那么23132220ABn n k n n ++=+=-，解得：1n =- 31222AB k ∴=-+=-11,2k ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，那么1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭此题正确选项：D【点睛】此题考察根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是可以通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进展求解.ABC ∆中，A 、B 、C 为其三内角，满足tan A 、tan B 、tan C 都是整数，且A B C >>，那么以下结论中错误的选项是〔 〕 A. 25A π>B. 3B π>C. 49A π<D.512B π<【答案】A 【解析】 【分析】首先判断出,,A B C 均为锐角，根据tan A 、tan B 、tan C 都是整数，求得tan A 、tan B 、tan C 的值，进而判断出结论错误的选项.【详解】由于0C B A π<<<<，所以B 、C 都是锐角，又tan B 、tan C 都是正整数，这样()ta ta n tan 0tan tan n 1tan B CA CBC B +=+-->=，可见A 也是锐角.这时，tan 1C ≥，tan 2B ≥，tan 3A ≥.有tan tan tan 1tan tan 1A BC A B +=≥-，即()()tan 1tan 12A B --≤.但是tan 12A -≥，tan 11B -≤，比拟可知只可能tan 3A =，tan 2B =，tan 1C =.由tan B >3B π>，选项B 是正确的.至于选项C 和D ，由5tan 2tan 12A π=>，可知512A π<，又54129ππ<，应选项C 正确； 又由512A B π>>，选项D 正确、A 选项错误. 应选：A.【点睛】本小题主要考察两角和的正切公式，考察三角形内角和定理，考察分析、考虑与解决问题的才能，属于中档题.二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分 13.()()()()52501252111x a a x a x a x +=+++++++，那么2a =______.【答案】10【解析】 【分析】将二项式等价变形为()()55211x x +=++⎡⎤⎣⎦，根据变形后的二项式展开式的通项公式，求得2a 的值.【详解】()()55211x x +=++⎡⎤⎣⎦，其通项公式为()151r r r T C x +=+，故()22351T C x =+，所以22510a C ==.故答案为：10【点睛】本小题主要考察二项式展开式的通项公式，考察化归与转化的数学思想方法，属于根底题.C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以线段12F F 为直径的圆交C 的一条渐近线于点P 〔P 在第一象限内〕，假设线段1PF 的中点Q 在C 的另一条渐近线上，那么C 的离心率e =______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质和渐近线的性质，求得1260FOQ POQ POF ∠=∠=∠=︒，由此求得b a =e =计算出双曲线的离心率. 【详解】由图可知，OQ 是线段1F P 的垂直平分线，又OP 是12Rt F PF ∆斜边的中线，∴OP c =，且1260FOQ POQ POF ∠=∠=∠=︒，∴tan 60ba=︒=，所以2e =. 故答案为：2【点睛】本小题主要考察双曲线离心率的求法，考察双曲线的渐近线，考察数形结合的数学思想方法，属于根底题.15.中国光谷〔〕某科技公司消费一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，假设元件1或者元件2正常工作，且元件3正常工作，那么该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命〔单位：小时〕均服从正态分布()210000,10N ，且各个元件能否正常工作互相HY.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况〔各部件能否正常工作互相HY 〕，那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为______台.【答案】375 【解析】 【分析】先求得元件1和2并联电路正常工作的概率，乘以元件3正常工作的概率，由此求得部件正常工作超过10000小时的概率.利用二项分布均值计算计算公式，计算出1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值.【详解】由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为12，那么部件正常工作超过10000小时的概率为21131228⎡⎤⎛⎫-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又1000台仪器的该部件工作服从二项分布，所以平均值为310003758⨯=台. 故答案为：375【点睛】本小题主要考察互相HY 事件概率计算，考察二项分布的识别和二项分布期望的计算，属于根底题.1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为体对角线1BD 上的一点，且()()10,1BP BD λλ=∈，现有以下判断：①11A D C P ⊥；②假设1BD ⊥平面PAC ，那么13λ=；③PAC ∆周长的最小值是PAC ∆为钝角三角形，那么λ的取值范围为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中正确判断的序号为______. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用线面垂直证明线线垂直，由此判断①正确.在直角三角形中，利用射影定理求得13PB BD =1ABD ∆和1CBD ∆展开成平面，由此求得AP CP +的最小值，进而求得三角形PAC ∆APC ∆为直角三角形时λ的值，由此确定λ的取值范围【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，1A D ⊥平面11ABC D ，又1C P ⊂平面11ABC D ，故11A D C P ⊥，①正确；由1BD ⊥平面PAC ，在1Rt ABD ∆中，212,AB AD BD ===由于1BD AP ⊥，由射影定理得21AB BP BD =⋅,即4PB PB =⋅=，13PB BD ==,可得13λ=，故②正确；将1ABD ∆和1CBD ∆展开，可得AP CP +，又AC = 利用1BD ⊥平面11AC D ，可得当APC ∆为直角三角形时，23λ=，故当APC ∆为钝角三角形时，λ的取值范围为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，④正确. 所以正确判断为①②④. 故答案为：①②④【点睛】本小题主要考察正方体中的线线、线面垂直有关命题真假性判断，考察间隔 和的最值的求法，考察空间想象才能和逻辑推理才能，属于中档题. 三、解答题：解容许写岀文字说明、证明过程或者演算步骤ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的内角平分线，点D 在线段BC 上，且2BD CD =. 〔1〕求sin B 的值；〔2〕假设1AD =，求ABC ∆的面积. 【答案】〔1〕5sin 5B =；〔2〕98ABC S ∆=【解析】 【分析】〔1〕利用正弦定理列方程，求得1sin cos 2B B =，两边平方后利用同角三角函数的根本关系式求得sin B 的值.〔2〕首先求得cos B 的值，利用两角和的正弦公式求得sin BDA ∠，然后求得AB ，进而求得AC ，从而求得三角形ABC 的面积. 【详解】〔1〕在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD AD BAD B =∠，即sin 45sin BD ADB︒=，在ACD ∆中，由正弦定理得()sin sin 90CD AD CAD B =∠︒-，即sin 45cos CD AD B=︒，两式相除得sin 1cos 2B CD B BD ==，即1sin cos 2B B =， ∴()22211sin cos 1sin 44B B B ==-，即21sin 5B =，又0B π<<，所以sin 0B >，故5sin 5B =. 〔2〕由90BAC ∠=︒，得B 是锐角，于是25cos 5B =， 所以()sin sin 45sin cos45cos sin 45BDA B B B ︒︒∠=+=+︒31010=， 在ABD ∆中，由正弦定理得sin 32sin 2BDA AB ADB ∠==，于是32tan 4AC AB B ==， 所以113232922248ABC S AB AC ∆=⋅=⋅⋅=. 【点睛】本小题主要考察正弦定理解三角形，考察三角形的面积公式，考察同角三角函数的根本关系式，考察两角和的正弦公式，属于根底题.18.如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE ∆折起，使点D 到达点P 的位置〔P ∉平面ABCE 〕.〔Ⅰ〕证明：AE PB ⊥；〔Ⅱ〕假设直线PB 与平面ABCE 所成的角为4π，求二面角A PE C --的余弦值. 【答案】〔I 〕见解析；〔II 〕55-. 【解析】 【分析】〔I 〕先证明AE POB ⊥平面，再证明AE PB ⊥；〔II 〕在平面POB 内作PQ⊥OB,垂足为Q ，证明OP⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角A PE C --的余弦值.【详解】〔I 〕证明：在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ， ∵AB||CE,AB=CE，∴四边形ABCE 为平行四边形，∴AE=BC=AD=DE， ∴△ADE 为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD 中，3C ADE π∠=∠=，23DAB ABC π∠=∠=, ∴在等腰ADB ∆中，6ADB ABD π∠=∠=∴2362DBC πππ∠=-=,即BD⊥BC， ∴BD⊥AE，翻折后可得：OP⊥AE,OB⊥AE，又,,OP POB OB POB OP OB O ⊂⊂=平面平面，AE POB ∴⊥平面，,PB POB AE PB ⊂∴⊥平面；〔II 〕解：在平面POB 内作PQ⊥OB,垂足为Q ， 因为AE⊥平面POB ，∴AE⊥PQ，因为OB ⊂平面ABCE, AE ⊂平面ABCE,AE ∩OB=O∴PQ⊥平面ABCE ，∴直线PB 与平面ABCE 夹角为4PBQ π∠=，又因为OP=OB ，∴OP⊥OB，∴O、Q 两点重合，即OP⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为3131313(,0,0),(,0,),(,22222P E C PE EC ∴=-=,设平面PCE 的一个法向量为1(,,)n x y z =，那么11130022,,013022x z PE n EC n x y ⎧-=⎪⎧⋅=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪+=⎪⎩ 设3x =，那么y=-1,z=1， ∴1(3,-1,1)n =，由题意得平面PAE 的一个法向量2(0,1,0)n =， 设二面角A-EP-C 为α，1212||15|cos |=5||||5n n n n α⋅==.易知二面角A-EP-C 为钝角，所以5cos =-5α.【点睛】此题主要考察空间几何元素位置关系的证明，考察二面角的求法，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和空间想象转化分析推理才能.233M ⎝⎭在椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上，且点M 到C 的左、右焦点的间隔 之和为22〔1〕求C 的方程；〔2〕设O 为坐标原点，假设C 的弦AB 的中点在线段OM 〔不含端点O ，M 〕上，求OA OB ⋅的取值范围.【答案】〔1〕2212x y +=；〔2〕45,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】〔1〕根据椭圆的定义和椭圆上点的坐标，求得椭圆的HY 方程.〔2〕设出,A B 的坐标，求得AB 中点的坐标，由OM 的斜率得到()12122x x y y +=+，利用点差法求得AB 的斜率，设出直线AB 的方程并代入椭圆方程，写出判别式以及韦达定理，利用平面向量的坐标运算，化简求得OA OB ⋅的取值范围.【详解】〔1〕由条件知2241133a b +=，2a =，所以a =1b =， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.〔2〕设点A 、B 的坐标为()11,A x y ，()22,B x y ，那么AB 中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭在线段OM 上，且12OM k =， ∴()12122x x y y +=+，又221112x y +=，222212x y +=，两式相减得()()()()1212121202x x x x y y y y -++-+=，易知120x x -≠，120y y +≠，所以()1212121212y y x xx x y y -+=-=--+，即1AB k =-.设AB 方程为y x m =-+，代入2212xy +=并整理得2234220x mx m -+-=.由()2830m∆=->解得23m<，又由12223x x m +⎛=∈ ⎝，∴0m <<由韦达定理得1243m x x +=，()212213m x x -=，故()()12121212OA OB x x y y x x x m x m ⋅=+=+-+-+()()22221212414233m m x x m x x m m-=-++=-+243m =-.而0m <<OA OB ⋅的取值范围是45,33⎛⎫-⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考察椭圆的定义和HY 方程，考察直线和椭圆的位置关系，考察点差法，考察向量数量积的坐标运算，考察运算求解才能，属于中档题.20.有“九通衢〞之称，也称为“江城〞，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.〔1〕为理解“五·一〞劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如图的频率分布直方图：现从年龄在[]42,52内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在[]47,52内的人数为ξ，求()3P ξ=；〔2〕为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心方案在2021年劳动节当日投入至少1艘至多3艘A X 〔单位：万人〕都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表： 劳动节当日客流量X13X <<35X ≤≤ 5X >频数〔年〕 24 4以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量互相HY.该游船中心希望投入的A 型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A 型游船最多使用量〔单位：艘〕要受当日客流量X 〔单位：万人〕的影响，其关联关系如下表： 劳动节当日客流量X13X <<35X ≤≤ 5X >假设某艘A 型游船在劳动节当日被投入且被使用，那么游船中心当日可获得利润3万元；假设某艘A Y 〔单位：万元〕表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，Y 的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2021年劳动节当日应投入多少艘A 型游船才能使其当日获得的总利润最大？ 【答案】〔1〕()4353P ξ==；〔2〕投入3艘A 型游船使其当日获得的总利润最大 【解析】 【分析】〔1〕首先计算出在[)42,47，[]47,52内抽取的人数，然后利用超几何分布概率计算公式，计算出()3P ξ=.〔2〕分别计算出投入1,2,3艘游艇时，总利润的期望值，由此确定当日游艇投放量. 【详解】〔1〕年龄在[)42,47内的游客人数为150，年龄在[]47,52内的游客人数为100；假设采用分层抽样的方法抽取10人，那么年龄在[)42,47内的人数为6人，年龄在[]47,52内的人数为4人.可得()31464103435C C C P ξ===. 〔2〕①当投入1艘A 型游船时，因客流量总大于1，那么()3E Y =〔万元〕. ②当投入2艘A 型游船时，假设13X <<，那么30.5 2.5Y =-=，此时()521132105P Y P X ⎛⎫==<<== ⎪⎝⎭； 假设3X ≥，那么326Y =⨯=，此时()()()463555P Y P X P X ==≤≤+>=； 此时Y 的分布列如下表：此时()142.56 5.355E Y =⨯+⨯=〔万元〕. ③当投入3艘A 型游船时，假设13X <<，那么312Y =-=，此时()()21213105P Y P X ==<<==； 假设35X ≤≤，那么320.5 5.5Y =⨯-=，此时()()25.5355P Y P X ==≤≤=；假设5X >，那么339Y =⨯=，此时()()2955P Y P X ==>=；此时Y 的分布列如下表：此时()1222 5.59 6.2555E Y =⨯+⨯+⨯=〔万元〕. 由于6.2 5.33>>，那么该游船中心在2021年劳动节当日应投入3艘A 型游船使其当日获得的总利润最大.【点睛】本小题主要考察分层抽样，考察超几何分布概率计算公式，考察随机变量分布列和期望的求法，考察分析与考虑问题的才能，考察分类讨论的数学思想方法，属于中档题.21()(1)2,2x f x x e ax ax a R =+++∈.(1)讨论()f x 极值点的个数；(2)假设00(2)x x ≠-是()f x 的一个极值点，且-2(2)>e f -，证明: 0()<1f x .【答案】(1) 当2a e -=-时，()f x 无极值点；当0a ≥时，()f x 有1个极值点；当2a e -<-或者20e a --<<时，()f x 有2个极值点；(2)证明见解析 【解析】【分析】〔1〕求导得到()()()2xf x x e a '=++；分别在0a ≥、2a e -<-、2a e -=-和20e a --<<四种情况下根据()f x '的符号确定()f x 的单调性，根据极值点定义得到每种情况下极值点的个数；〔2〕由〔1〕的结论和()22f e -->可求得()2,a e-∈-∞-，从而得到()0ln xa =-，代入函数解析式可得()0f x ；令()()ln 2,t a =-∈-+∞可将()0f x 化为关于t 的函数()g t ，利用导数可求得()g t 的单调性，从而得到()1g t ≤，进而得到结论.【详解】〔1〕()()()()222xxf x x e ax a x e a '=+++=++①当0a ≥时，0x e a +>∴当(),2x ∈-∞-时，()0f x '<；当()2,x ∈-+∞时，()0f x '>()f x ∴在(),2-∞-上单调递减；在()2,-+∞上单调递增2x ∴=-为()f x 的唯一极小值点，无极大值点，即此时()f x 极值点个数为：1个②当0a <时，令()0f x '=，解得：12x =-，()2ln x a =- ⑴当2a e -<-时，12x x <()1,x x ∴∈-∞和()2,x +∞时，()0f x '>；()12,x x x ∈时，()0f x '<()f x ∴在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递增；在()12,x x 上单调递减1x x ∴=为()f x 的极大值点，2x x =为()f x 的极小值点，即()f x 极值点个数为：2个⑵当2a e -=-时，12x x =，此时()0f x '≥恒成立且不恒为0()f x ∴在R 上单调递增，无极值点，即()f x 极值点个数为：0个⑶当20e a --<<时，12x x >()2,x x ∴∈-∞和()1,x +∞时，()0f x '>；()21,x x x ∈时，()0f x '<()f x ∴在()2,x -∞，()1,x +∞上单调递增；在()21,x x 上单调递减2x x ∴=为()f x 的极大值点，1x x =为()f x 的极小值点，即()f x 极值点个数为：2个综上所述：当2a e -=-时，()f x 无极值点；当0a ≥时，()f x 有1个极值点；当2a e -<-或者20e a --<<时，()f x 有2个极值点〔2〕由〔1〕知，假设()002x x ≠-是()f x 的一个极值点，那么()()22,,0a e e--∈-∞-⋃-又()2222f e a e ---=-->，即2a e -<- ()2,a e-∴∈-∞-02x ≠- ()0ln x a ∴=-()()()()()()()()ln 22011ln 1ln 2ln ln 2ln 222a f x a e a a a a a a a -⎡⎤∴=-++⋅-+-=-+--⎣⎦令()()ln 2,t a =-∈-+∞，那么t a e =- ()()21222t g t e t t ∴=-+-，()2,t ∈-+∞那么()()()2114422t tg t e t t t t e '=-+=-+当2t >-时，40t +>，0t e >∴当()2,0t ∈-时，()0g t '>；当()0,t ∈+∞时，()0g t '<()g t ∴在()2,0-上单调递增；在()0,∞+上单调递减 ()()max 01g t g ∴==，即()1g t ≤ ()01f x ∴≤【点睛】此题考察导数在研究函数中的应用问题，涉及到利用导数讨论函数极值点的个数、证明不等式的问题；此题中证明不等式的关键是可以通过换元的方式将()0f x 转化为关于t 的函数，利用导数求得函数最值之后即可证得结论；易错点是换元时忽略自变量的取值范围，导致定义域错误.请考生在第22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题计分xOy 中，曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩〔α为参数〕，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 〔1〕求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；〔2〕设点()1,0P - ，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值．【答案】〔1〕22193x y +=，10x y -+=；〔2〕2. 【解析】 【分析】(1)利用三角恒等式消参得到曲线C 的普通方程，利用极坐标公式得到直线l 的直角坐标方程；〔2〕先证明点P 在直线l 上，再利用直线参数方程t 的几何意义解答.【详解】〔1〕因为曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩〔α为参数〕，所以曲线C 的普通方程为22193x y +=.因为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以sin cos 1,10x y ρθρθ-=∴-+=. 所以直线l 的直角坐标方程为10x y -+=.〔2〕由题得点()1,0P -在直线l 上，直线l的参数方程为1x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆的方程得2280t -=，所以1212+40t t t t ==-<，所以12|PA|+|PB|=||2t t -==. 【点睛】此题主要考察参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考察直线参数方程t 的几何意义，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.()()210f x x a x a =++->.〔1〕当1a =时，求不等式()4f x >的解集；〔2〕假设不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.【答案】〔1〕5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；〔2〕()5,+∞ 【解析】 【分析】〔1〕利用零点分段法去绝对值，将不等式()4f x >转化为不等式组来求解得不等式()4f x >的解集.〔2〕化简不等式()42f x x >-为2x a +>，由此得到2a x >-或者2a x <--，结合恒成立知识的运用，求得a 的取值范围.【详解】〔1〕当1a =时，()121f x x x =++-，故()4f x >等价于1314x x ≤-⎧⎨-+>⎩或者1134x x -<≤⎧⎨-+>⎩或者1314x x >⎧⎨->⎩，解得1x <-或者53x >.故不等式()4f x >的解集为5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或.〔2〕当[]3,1x ∈--时，由()42f x x >-得22240x a x x ++-+->， 即2x a +>，即2a x >-或者2a x <--对任意的[]3,1x ∈--恒成立. 又()max 25x -=，()min 21x --=-，故a 的取值范围为()(),15,-∞-+∞.又0a >，所以5a >， 综上，a 的取值范围为()5,+∞.【点睛】本小题主要考察绝对值不等式的解法，考察含有绝对值的不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

2016年重庆市巴蜀中学高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A={x|y=lg（﹣x2+2x）}，B={x||x|≤1}，则A∩B=（）A．{x|1≤x≤2} B．{x|0＜x≤1} C．{x|﹣1≤x≤0} D．{x|x≤2}2．已知复数z（1+i）=2i，则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C． +i D．﹣i3．设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为（）A．4 B．6 C．16 D．264．执行如图所示的程序框图后，输出的结果为（）A．B．C．D．5．已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题①a∥b，a∥α⇒b∥α；②a⊥b，a⊥α⇒b∥α；③a∥α，β∥α⇒a∥β；④a⊥α，β⊥α⇒a∥β，其中不正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．对于函数f（x）=xcosx，现有下列命题：①函数f（x）是奇函数；②函数f（x）的最小正周期是2π；③点（，0）是函数f（x）的图象的一个对称中心；④函数f（x）在区间[0，]上单调递增．其中是真命题的为（）A．②④ B．①④ C．②③ D．①③7．若在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax﹣by=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交的概率为（）A．B．C．D．8．在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2﹣c2=b，且sin（A﹣C）=2cosAsinC，则b=（）A．6 B．4 C．2 D．19．已知O为坐标原点，F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，PM为∠F1PF2的角平分线，过F1作PM的垂线交PM于点M，则|OM|的长度为（）A．a B．b C．D．10．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=30.3•f（30.3），b=logπ3•f（logπ3），c=log3•f（log3），则a，b，c大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a11．已知正三棱锥V﹣ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示，则该正三棱锥侧视图的面积是（）A． B．6 C．8 D．612．若函数f（x）在[a，b]上的值域为[，]，则称函数f（x）为“和谐函数”．下列函数中：①g（x）=+；②p（x）=；③q（x）=lnx；④h（x）=x2．“和谐函数”的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，若f（x0）＞0，则x0的取值范围是．14．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10=40，S20=120，则S30= ．15．已知S，A，B，C都是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=2，AB=3，BC=4，则球O的表面积等于．16．△ABC中，∠A=120°，∠A的平分线AD交边BC于D，且AB=2，CD=2DB，则AD的长为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设函数f（x）=sinx+cosx（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期和最值；（2）若f（）=sinA，其中A是面积为的锐角△ABC的内角，且AB=2，求边AC和BC的长．18．某班为了调查同学们周末的运动时间，随机对该班级50名同学进行了不记名的问卷调间与性别有关？（2）用分层抽样的方法，从男生中抽取6名同学，再从这6名同学中随机抽取2名同学，求这两名同学中恰有一位同学运动时间超过2小时的概率．附：K2=，其中n=a+b+c+d．BC，PA=AB=BC=1．（1）求证：平面PAB⊥平面PCB；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积V．20．椭圆C： +=1（a＞b＞0），作直线l交椭圆于P，Q两点．M为线段PQ的中点，O为坐标原点，设直线1的斜率为k1，直线OM的斜率为k2，k1k2=﹣．（I）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设直线l与x轴交于点D（﹣5，0），且满足=2，当△0PQ的面积最大时，求椭圆C的方程．21．已知函数f（x）=lnx﹣kx+1．（1）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（2）证明：ln（）+ln（）+ln（）+…+ln（）＜1（n∈N*，n≥2）．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的参数方程为：（θ为参数），直线l的参数方程为：（t为参数），点P（2，1），直线l与曲线C交于A，B两点．（1）写出曲线C和直线l在直角坐标系下的标准方程；（2）求|PA|•|PB|的值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|．（1）请写出函数f（x）在每段区间上的解析式，并在图上的直角坐标系中作出函数f（x）的图象；（2）若不等式|x+1|+|x﹣3|≥a+对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．2016年重庆市巴蜀中学高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A={x|y=lg（﹣x2+2x）}，B={x||x|≤1}，则A∩B=（）A．{x|1≤x≤2} B．{x|0＜x≤1} C．{x|﹣1≤x≤0} D．{x|x≤2}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，即可确定出两集合的交集．【解答】解：由A中y=lg（﹣x2+2x），得到﹣x2+2x＞0，即x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}，由B中不等式解得：﹣1≤x≤1，则A∩B={x|0＜x≤1}，故选：B．2．已知复数z（1+i）=2i，则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C． +i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数方程两边同乘1﹣i，然后化简求出复数z即可．【解答】解：因为z（1+i）=2i，所以z（1+i）（1﹣i）=2i（1﹣i），所以2z=2（1+i）所以z=1+i．故选：A．3．设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为（）A．4 B．6 C．16 D．26【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（4，6）．此时z的最大值为z=2×4+3×6=26，故选：D．4．执行如图所示的程序框图后，输出的结果为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S==，故选：C．5．已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题①a∥b，a∥α⇒b∥α；②a⊥b，a⊥α⇒b∥α；③a∥α，β∥α⇒a∥β；④a⊥α，β⊥α⇒a∥β，其中不正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据线面平行的判定定理，利用排除法排除错误的命题，从而找出正确的选项【解答】解：对于①、②结论中还可能b⊂α，所以①、②不正确．对于③、④结论中还可能a⊂β，所以③、④不正确．故选：D6．对于函数f（x）=xcosx，现有下列命题：①函数f（x）是奇函数；②函数f（x）的最小正周期是2π；③点（，0）是函数f（x）的图象的一个对称中心；④函数f（x）在区间[0，]上单调递增．其中是真命题的为（）A．②④ B．①④ C．②③ D．①③【考点】函数奇偶性的判断；三角函数的周期性及其求法．【分析】由条件利用奇偶性，周期函数的定义，函数的图象的对称性，判断①④正确、②③错误，从而得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=xcosx，∵它的定义域为R，f（﹣x）=﹣x•cos（﹣x）=﹣xcosx=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故①正确．∵f（0）=0，f（2π）=2π，f（0）≠f（2π），故②错误．再根据f（）=0，可得是函数f（x）的图象的一个零点，但（，0）不是函数图象的对称中心，故③错误．在[0，]上，f′（x）=cosx﹣xsinx＞cosx﹣sinx≥0，故函数 f（x）=xcosx在[0，]上是增函数，故④正确．结合所给的选项，故选：B．7．若在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax﹣by=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交的概率为（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【分析】由题意可得本题是几何概率模型，先求构成试验的全部区域：所围成的图形的面积，记：“直线ax﹣by=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交”为事件A，则由直线与圆相交的性质可得，整理可得4a﹣3b＞0，再求构成区域A的面积，代入几何概型计算公式可求【解答】解：由题意可得构成试验的全部区域为：所围成的边长分别为1，2的矩形，面积为2记：“直线ax﹣by=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交”为事件A则由直线与圆相交的性质可得，整理可得4a﹣3b＞0，构成区域A为图中阴影部分，面积为由几何概率的计算公式可得，P（A）=故选B．8．在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2﹣c2=b，且sin（A﹣C）=2cosAsinC，则b=（）A．6 B．4 C．2 D．1【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由条件利用正弦定理和余弦定理求得2（a2﹣c2）=b2，再根据已知条件，求得b的值．【解答】解：在△ABC中，∵sin（A﹣C）=sinAcosC﹣cosAsinC=2cosAsinC，∴sinAcosC=3cosAsinC，∴a•=3c•，∴2（a2﹣c2）=b2．又已知a2﹣c2=b，∴b=2，故选：C．9．已知O为坐标原点，F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，PM为∠F1PF2的角平分线，过F1作PM的垂线交PM于点M，则|OM|的长度为（）A．a B．b C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先画出双曲线和焦点三角形，由题意可知PM是TF1的中垂线，再利用双曲线的定义，数形结合即可得结论．【解答】解：依题意如图，延长F1M，交PF2于点T，∵PM是∠F1PF2的角分线．TF1是PM的垂线，∴PM是TF1的中垂线，∴|PF1|=|PT|，∵P为双曲线﹣=1上一点，∴|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|TF2|=2a，在三角形F1F2T中，MO是中位线，∴|OM|=a．故选：A．10．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=30.3•f（30.3），b=logπ3•f（logπ3），c=log3•f（log3），则a，b，c大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．【分析】由已知中f（x）+xf′（x），结合导数的运算性质（uv）′=u′v+uv′，构造函数h（x）=xf（x），则h′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，所以利用h（x）的单调性问题很容易解决．【解答】解：令h（x）=xf（x），∵函数y=f（x）以及函数y=x是R上的奇函数∴h（x）=xf（x）是R上的偶函数，又∵当x＞0时，h′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，∴函数h（x）在x∈（0，+∞）时的单调性为单调递减函数；∴h（x）在x∈（﹣∞，0）时的单调性为单调递增函数．若a=30.3•f（30.3），，又∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，从而h（0）=0因为log3=﹣2，所以f（log3）=f（﹣2）=﹣f（2），由0＜logπ3＜1＜30.3＜30.5＜2所以h（logπ3）＞h（30.3）＞h（2）=f（log3），即：b＞a＞c故选A11．已知正三棱锥V﹣ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示，则该正三棱锥侧视图的面积是（）A． B．6 C．8 D．6【考点】简单空间图形的三视图．【分析】求出侧视图的底边边长和高，代入三角形面积公式，可得答案．【解答】解：如图，根据三视图间的关系可得BC=2，∴侧视图中VA==2，∴三棱锥侧视图面积S△ABC=×2×2=6，故选D．12．若函数f（x）在[a，b]上的值域为[，]，则称函数f（x）为“和谐函数”．下列函数中：①g（x）=+；②p（x）=；③q（x）=lnx；④h（x）=x2．“和谐函数”的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】根据“和谐函数”的定义，结合函数的单调性，建立条件关系，利用数形结合进行判断即可．【解答】解：由题意知，若f（x）在区间[a，b]上单调递增，须满足：f（a）=，f（b）=，若f（x）在区间[a，b]上单调递减，须满足：f（b）=，f（a）=，①g（x）=+在[1，+∞）为增函数；则f（a）=，f（b）=，即a，b是函数g（x）=的两个根，即+=，则=﹣+，作出函数y=和y=﹣+的图象如图：则两个函数有两个交点，满足条件．②p（x）=为减函数；则p（b）=，p（a）=，即，即ab=2，当a=，b=4时，满足条件．③q（x）=lnx在（0，+∞）为增函数．则q（a）=，q（b）=，即a，b是函数q（x）=的两个根，即lnx=，作出y=lnx和y=的图象如图：则两个图象没有交点，不满足条件．④当x≥0时，h（x）=x2为增函数．则h（a）=，h（b）=，即a，b是函数h（x）=的两个根，作出y=x2和y=的图象如图：两个函数有两个交点，满足条件．故选：C二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，若f（x0）＞0，则x0的取值范围是x0＞1或x0≤0．【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的表达式进行，分别求解即可．【解答】解：若x0≤0，则由f（x0）＞0得＞0，此时不等式恒成立，若x0＞0，则由f（x0）＞0得log2x0＞0，得x0＞1，综上x0＞1或x0≤0，故答案为：x0＞1或x0≤014．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10=40，S20=120，则S30= 280 ．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由等比数列的性质得S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比数列，由此能求出S30．【解答】解：由等比数列的性质得S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比数列，∵S10=40，S20=120，∴40，120﹣40，S30﹣120成等比数列，∴802=40（S30﹣120），解得S30=280．故答案为：280．15．已知S，A，B，C都是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=2，AB=3，BC=4，则球O的表面积等于29π．【考点】球的体积和表面积．【分析】由已知中S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，易S、A、B、C 四点均为长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的顶点，由长方体外接球的直径等于长方体对角线，可得球O的直径（半径），代入球的表面积公式即可得到答案．【解答】解：∵SA⊥平面ABC，AB⊥BC，∴四面体S﹣ABC的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径∵SA=2，AB=3，BC=4，∴2R==∴球O的表面积S=4•πR2=29π故答案为：29π．16．△ABC中，∠A=120°，∠A的平分线AD交边BC于D，且AB=2，CD=2DB，则AD的长为．【考点】平面向量数量积的运算；向量的线性运算性质及几何意义．【分析】根据CD=2DB，得到B，C，D三点共线，继而得到=+，根据平分线的性质求出AC=4，利用向量的模的计算和向量的数量积即可求出答案．【解答】解：由题意B，C，D三点共线，且=，则=+，根据角平分线的性质==，∴AC=4，∴||2=（+）2=||2+|AB|2+||||cosA=+﹣=，∴AD=，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设函数f（x）=sinx+cosx（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期和最值；（2）若f（）=sinA，其中A是面积为的锐角△ABC的内角，且AB=2，求边AC和BC的长．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）化简得f（x）=sin（x+），利用正弦函数的性质得出周期和最值；（2）根据f（）=sinA得出A，根据三角形的面积得出AC，利用余弦定理求出BC．【解答】解：（1）f（x）=sinx+cosx=sin（x+），∴函数f（x）的最小正周期T=2π．f（x）的最大值为，最小值为﹣．（2）∵f（）=sinA，即sin=sinA，∴sinA=sin，∵△ABC是锐角三角形，∴A=．∵S△ABC=AB•AC•sinA=，∴AC=3．∴BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA=7，∴BC=．18．某班为了调查同学们周末的运动时间，随机对该班级50名同学进行了不记名的问卷调间与性别有关？（2）用分层抽样的方法，从男生中抽取6名同学，再从这6名同学中随机抽取2名同学，求这两名同学中恰有一位同学运动时间超过2小时的概率．附：K2=，其中n=a+b+c+d．【分析】（1）计算K2，与临界值比较，即可得出结论；（2）确定抽取两名同学共有C62=15个基本事件，恰好有一位同学的运动时间超过2小时的，共有C21C41=8个基本事件，即可求这两名同学中恰有一位同学运动时间超过2小时的概率．【解答】解：（1）K2=≈4.844＞3.841，所以能在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为该班同学周末的运动时间与性别有关．…（2）由题意，随机抽取的6名同学中，有2名同学运动时间不超过2小时，有4名同学运动时间超过2小时，任意抽取两名同学共有C62=15个基本事件，恰好有一位同学的运动时间超过2小时的，共有C21C41=8个基本事件，所以所求概率P=…19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC=1．（1）求证：平面PAB⊥平面PCB；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积V．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由PA⊥底面ABCD得PA⊥BC，又AB⊥BC，故BC⊥平面PAB，于是平面PAB⊥平面PCB；（2）由PA⊥底面ABCD得PA⊥AD，又AD⊥PC，故AD⊥平面PAC，于是AD⊥AC，由到腰直角三角形ABC可计算AC=，∠BAC=45°，故∠ACD=45°，于是CD=，代入棱锥体积公式计算即可求得体积．【解答】（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC．又AB⊥BC，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．又BC⊂平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB．（2）解：∵PA⊥底面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PA⊥AD．又PC⊥AD，PA⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，PA∩PC=P，∴AD⊥平面PAC，∵AC⊂平面PAC，∴AC⊥AD，∵AB⊥BC，AB=BC=1，∴∠BAC=，AC=，∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC=．又AC⊥AD，∴△DAC为等腰直角三角形，∴DC=AC=2，∴S梯形ABCD==，∴V P﹣ABCD==．20．椭圆C： +=1（a＞b＞0），作直线l交椭圆于P，Q两点．M为线段PQ的中点，O为坐标原点，设直线1的斜率为k1，直线OM的斜率为k2，k1k2=﹣．（I）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设直线l与x轴交于点D（﹣5，0），且满足=2，当△0PQ的面积最大时，求椭圆C的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）设点，代入椭圆方程，利用点差法，结合线段PQ的中点为M，再由离心率公式，即可得到结论；（Ⅱ）由（1）知可得椭圆的方程为2x2+3y2=6c2，设直线l的方程为x=my﹣5，代入椭圆方程，利用韦达定理及=2，确定P，Q坐标之间的关系，表示出面积，利用基本不等式求出S△OPQ的最大值，即可得到椭圆的方程．【解答】解：（I）设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0），由题意可得+=1， +=1，两式相减可得， +=0，由k1=，k2==，即有k1k2=﹣=﹣，即为2a2=3b2=3（a2﹣c2），即c2=a2，e==；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a2=3c2，b2=2c2，椭圆的方程为2x2+3y2=6c2，①可设直线l的方程为x=my﹣5②，将②代入①中整理得（3+2m2）y2﹣20my+50﹣6c2=0，因为直线l与椭圆交于P，Q两点，所以△=4（12m2c2+18c2﹣150）＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，|y1﹣y2|==又=2，可得（x1+5，y1）=2（﹣5﹣x2，﹣y2），即为y1=﹣2y2，代入韦达定理，可得c2=，即有|y1﹣y2|==≤=5，当且仅当2|m|=，即为m=±时，取得等号．又△0PQ的面积为S=|OD|•|y1﹣y2|=|y1﹣y2|的最大值为，此时，m2=，c2==，所求椭圆的方程为2x2+3y2=250，即+=1．21．已知函数f（x）=lnx﹣kx+1．（1）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（2）证明：ln（）+ln（）+ln（）+…+ln（）＜1（n∈N*，n≥2）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由题意可得k≥，令h（x）=，求得导数和单调区间，可得最大值，即可得到k的范围；（2）由（1）知，lnx≤x﹣1，当且仅当x=1时，取等号．令x=1+（n∈N*，n≥2），有ln（1+）＜＜=﹣，运用数列的求和方法：裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证．【解答】（1）解：函数f（x）=lnx﹣kx+1，f（x）≤0有kx≥1+lnx，x＞0，即k≥，令h（x）=，h′（x）==0，解得x=1，在（0，1）上，h′（x）＞0；在（1，+∞）上，h′（x）＜0．所以h（x）在x=1时，取得最大值h（1）=1，即k≥1；（2）证明：由（1）知，当k=1时，lnx≤x﹣1，当且仅当x=1时，取等号．令x=1+（n∈N*，n≥2），有ln（1+）＜＜=﹣，所以有ln（1+）＜1﹣，ln（1+）＜﹣，…，ln（1+）＜﹣，累加得：ln（）+ln（）+ln（）+…+ln（）＜1﹣+﹣+…+﹣=1﹣＜1（n∈N*，n≥2）．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）推导出B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理能证明AD•AB=AE•AC．（2）过点F作FG⊥BC于点G，推导出B，G，F，D四点共圆，F，G，C，E四点共圆，由此利用割线定理能求出BC的长．【解答】证明：（1）由已知∠BDC=∠BEC=90°，所以B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理知：AD•AB=AE•AC．…解：（2）如图，过点F作FG⊥BC于点G，由已知，∠BDC=90°，又因为FG⊥BC，所以B，G，F，D四点共圆，所以由割线定理知：CG•CB=CF•CD，①…同理，F，G，C，E四点共圆，由割线定理知：BF•BE=BG•BC，②…①+②得：CG•CB+BG•BC=CF•CD+BF•BE，即BC2=CF•CD+BF•BE=3×5+3×5=30，…所以BC=．…选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的参数方程为：（θ为参数），直线l的参数方程为：（t为参数），点P（2，1），直线l与曲线C交于A，B两点．（1）写出曲线C和直线l在直角坐标系下的标准方程；（2）求|PA|•|PB|的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C的参数方程为：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1可得：曲线C的标准方程．直线l的参数方程为：（t为参数），消去参数t可得：直线l的标准方程．（2）将直线l的参数方程化为标准方程：（t为参数），代入椭圆方程，利用|PA||PB|=|t1t2|即可得出．【解答】解：（1）由曲线C的参数方程为：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1可得：曲线C的标准方程为： +y2=1，直线l的参数方程为：（t为参数），消去参数t可得：直线l的标准方程为：y﹣2+=0．（2）将直线l的参数方程化为标准方程：（t为参数），代入椭圆方程得：5t2+8t+16=0，∴|PA||PB|=|t1t2|=．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|．（1）请写出函数f（x）在每段区间上的解析式，并在图上的直角坐标系中作出函数f（x）的图象；（2）若不等式|x+1|+|x﹣3|≥a+对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．【考点】分段函数的应用．【分析】（1）根据绝对值的应用进行表示即可．（2）根据绝对值的应用求出|x+1|+|x﹣3|的最小值，将不等式进行转化求解即可．【解答】解：（1）f（x）=…函数f（x）的图象如图所示．（2）由（1）知f（x）的最小值是4，所以要使不等式|x+1|+|x﹣3|≥a+恒成立，有4≥a+，…若a＜0，则不等式恒成立，若a＞0，则不等式等价为a2﹣4a+1≤0，得2﹣≤a≤2+，综上实数a的取值范围是a＜0或2﹣≤a≤2+…。