理论力学经典课件-第四章刚体的平面运动

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4-6 刚体的平面平行运动
2. 刚体绕质心轴的转动
在质心系中刚体作定轴转动.
选质心坐标系 Cx’y’z’ ,设z’为过质心而垂直于固定平面的 轴。 在质心系中
M外i'
M惯
dLz' dt
M外i’ — 外力对质心的力矩,
又 M惯= 0
M惯 — 惯性力对质心的力矩.
M外i'
dL'z dt
d(Izcz )
二 作用于刚体上的力
1. 作用于刚体上力的两种效果 ·滑移矢量
(1) 施于刚体的力的特点 施于刚体的某个点的力,决不可以随便移到另一点去.
A
F
作用力通过质心，对质心轴上的 力矩为零，使刚体产生平动.
BF
力作质心轴的力矩使刚体产 生角加速度.
第四章 刚体的转动
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4-6 刚体的平面平行运动
(2) 施于刚体的力是滑移矢量
4-6 刚体的平面平行运动
一 刚体的平面平行运动
定义：当刚体运动时，其中各点始终和某一平面保持一定 的距离，或者说刚体中各点都平行于某一平面运动，这就叫 刚体的平面平行运动。
根据平面运动的定义，刚体平面运动的自由度有三个， 两个坐标决定质心位置，一个坐标决定转动角度。
刚体的平面平行运动可以看做质心的平动与相对 于通过质心并垂直于平面的轴的转动的叠加。
dt
I zc z
第四章 刚体的转动
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4-6 刚体的平面平行运动
M外i' Izcz'
即刚体相对于质心的轴的转动同样服从定轴转动定律.
Fi mac
刚体平面运动的基本
动力学方程.
M外i' Izcz'

表示为
ω
O
vB
ψ
B
x
vB = vA+ vBA
其中vA的大小 vA=R ω 。
vBA
例题
刚体的平面运动
由速度合成矢量图可得
例 题 3
vA
y
A
vA

vA vBA vB π π sin( ) sin( ) sin( ) 2 2
ω
O
所以
vB vA
y
π 2 π 2
ω
O φ
A B

刚体的平面运动
作业 9-1
曲柄连杆机构如图所 示，OA= r ， AB 3r 。如 曲柄 OA 以匀角速度 ω 转动， A ω

求当 60，0 和 90 时点 B的速度。 B
刚体的平面运动
vA
ω

作业 9-1
解：
A vA vB
基点法
连杆AB作平面运动，以A为基点，B点
sin( ) sin( ) R cos cos
例题
刚体的平面运动
例 题 4
在图中，杆 AB 长 l ，
B
滑倒时 B 端靠着铅垂墙
壁。已知 A点以速度u沿 水平轴线运动，试求图
ψ u
A
示位置杆端 B 点的速度 及杆的角速度。
O
例题
刚体的平面运动
解： 基点法
B ω A
60
C D
60
E
例题
刚体的平面运动
解 ： 基点法
例 题 2
vDB
B ω A
60
C
vB
60

vD
60

§6.3* 平面运动刚体上点的加速度由于平面运动可以看成是随同基点的牵连平移与绕基点的相对转动的合成运动，于是图形上任一点的加速度可以由加速度合成定理求出。

设已知某瞬时图形内A 点的加速度a A ，图形的角速度为ω，角加速度为α，如图6-13所示。

以A 点为基点，分析图形上任意一点B 的加速度a B 。

因为牵连运动为动坐标系随同基点的平移，故牵连加速度a e =a A 。

相对运动是点B 绕基点A 的转动，故相对加速度a r =a BA ，其中a BA 是点B 绕基点A 的转动加速度。

由式 (5.3.7)可得图6-13 加速度分析的基点法 α (6.3.1) BA A B αα+=由于B 点绕基点A 转动的加速度包括切向加速度和法向加速度a ，故式(6.3.1)可写为t BA a n BAa (6.3.2) n t BA BA A B a a a ++=即平面图形上任意一点的加速度，等于基点的加速度与该点绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。

当基点A 和所求点B 均作曲线运动时，它们的加速度也应分解为切向加速度和法向加速度的矢量和，因此，式(6.3.2)可表示为(6.3.3)n t n t n t BA BA A A B B a a a a a a +++=+在式(6.3.3)中，相对切向加速度与点A 和B 连线方向垂直，相对法向加速度沿点A 和B连线方向从B 指向A ；仅当点A 和B 的运动轨迹已知时，才可以确定点A 和B 的切向加速度a 和及法向加速度和a 。

t BA a n BA a t A t B a n A a n B 在应用式(6.3.2)或(6.3.3)计算平面图形上各点的加速度时，只能求解矢量表达式中的两个要素。

因此在解题时，要注意分析所求问题是否可解。

当问题可解时，将式(6.3.2)或(6.3.3)在平面直角坐标系上投影，即可由两个代数方程联立求得所需的未知量。

例6.3-2：半径为R 的车轮沿直线滚动，某瞬时轮心O 点的速度为v O ，加速度为a O ，如图a 所示。

2024年3月15日
1. 轮C作平面运动，
C1为其速度瞬心，C。
2. BD作平面运动，
C2为其速度瞬心，BD。
3. AB作平面运动，
C3为其速度瞬心，AB。
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平面图形在任一瞬时的运动可以 视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度瞬 心又称为平面图形的瞬时转动中心。 若点C 为速度瞬心，则任意一点A的速
度大小为 vA AC ω 方向A C，指
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车轮的运动分解
车轮的平面运动可以看成 是车轮随同车厢的平移和 相对车厢的转动的合成．
车轮相对定系（Oxy）的平面运动（绝对运动）
车厢（动系 A x y ) 相对定系的平移（牵连运动） 车轮相对车厢（动系 A x y )的转动（相对运动）
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转动部分的角度、角速度、角加速度与基点的选择无关。
aB cos 300 aBnA
式中
aBnA
AB
2 AB
15 3 ( 2 )2 20 3 2cm/s2
3
3
aB aBnA / cos 300
40 2cm/s2
3
aB 8 2cm/s2
R9
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例2. 已知 : OA = r AB = l、ω
求: vc、ac 解： 各联接点速度如图.
将 vB vA vBA 在AB连线上投影
vBA AB
有 [vB ]AB [vA ]AB
基点法投影式.
或 vB cos vA cos
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结 论：S上任意两点的速度在这两点
连线上投影相等. 意 义：刚体上两点距离不变. 注 意：仅在两点连线上成立.