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质点系动量定理和质心运动定理

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3.3--质心--质心运动定理

3.3--质心--质心运动定理

x1
l
S
xc
mx1 Mx2 mM
O
x2' S
x
终了时，系统质心位置
xc
mx1 m
Mx2 M
x2
M (x2 x2 ') m(x1'x1)
S
lS
解得 S ml mM
s l S Ml mM
例3 如图 已知：M , m,l ，地面光滑。 m, l o
起初：单摆水平，静止。
mg
求：下摆至 时，车的位移。
i
而
mi m
i
mii P
P mii i
i
C
P mc
mc
m
2. 质心运动定理——质点系的动量定理
F外
m
dc
dt
＝mac
ac miai / mi
i
i
dP F外 dt
t2 t1
F外dt
P
dP
P0
讨论
1）质点系动量定理微分和积分形式：
F外 mac
（F外
dP） dt
t2 t1
F外dt
rC
×
C
c
在质心系中考察质点系的运动。 x O
y
由于质心vc=0，所以质心系是一 个零动量参考系
O系为惯性系
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
d
dm
x Rcos y Rsin
yc
ydm
M
π 0
Rsin M Rd
πR
2R
M
π
O
x
xc 0
说明
几何对称性
(1) 弯曲铁丝的质心并不在铁丝上；

质点动力学-动量及动量定理 (2)

质点动力学-动量及动量定理 (2)
o
用于桌面的压力，等于
已落到桌面上的绳重力
x
的三倍。
证明：取如图坐标，设t时刻已有
x长的柔绳落至桌面，随后的dt时 间内将有质量为dx（Mdx/L)的 柔绳以dx/dt的速率碰到桌面而停 止，它的动量变化率为：
o
dx dx dP dt dt dt
x
一维运动可用
标量
根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：
但在某个方向上合外力分量为 0，这个方向上的
动量守恒。
2、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。
3、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的
过程中，往往可忽略外力（外力与内力相比小很多） 可近似认为动量守恒。 4、定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动 量和应是同一时刻的动量之和。 5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。 6、动量守恒定律只适用于惯性系。
略去二阶小量，两端除dt
对系统利用动量定理
d d m ( m v ) u F d t d t
dm u 为尾气推力。 dt
变质量物 体运动微 分方程
值得注意的是，dm可正可负，当dm取负时， 表明物体质量减小，如火箭之类喷射问题，
变质量问题
变质量问题的处理方法
(1)确定研究系统 (2)写出系统动量表达式
dP v2 ax dt
F xg N ( l x ) g
X
F xg
根据动量定理，得到
F a
xg
N
x
O
dP 3 ax F xg dt F xg 3 xa
( l x ) g
变质量问题
例 2 ：列车在平直铁轨上装煤 , 列车空载时质量为 m0, 煤炭 以速率v1竖直流入车厢,每秒流入质量为。假设列车与轨 道间的摩擦系数为,列车相对于地面的运动速度 v2保持不 变,求机车的牵引力。

第九章 动量定理

第九章 动量定理
v v1
v v2 = 0
（a ）
理论力学电子教程
第九章 动量定理
【解】 1）以机车和车辆为研究对象。 以机车和车辆为研究对象。 （ 它们在撞击过程中相互作用力是内力， 它们在撞击过程中相互作用力是内力，作用在系统上的 外力除了铅垂方向的重力和轨道给车轮的法向反力外， 外力除了铅垂方向的重力和轨道给车轮的法向反力外，无其 它外力，故在挂钩过程中水平方向没有外力冲量， 它外力，故在挂钩过程中水平方向没有外力冲量，即系统的 动量在水平轴x方向是守恒的 方向是守恒的。 动量在水平轴 方向是守恒的。
将质点系中每个质点的动量定理相加， 将质点系中每个质点的动量定理相加，有
v v d v ∑ dt (mv ) = ∑ Fe + ∑ Fi v 因内力为零， 因内力为零，即 ∑ Fi = 0
故
v d v ∑ mv = ∑ Fe dt
理论力学电子教程
第九章 动量定理
各质点动量的矢量和， 表示， 各质点动量的矢量和，质点系的动量用 p 表示，即
x ∑ m&& = ∑ F ∑ m&y& = ∑ F ∑ m&z& = ∑ F
（9－17） － ） cy cz
cx
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第九章 动量定理
或
M&&c = ∑ Fcx x M&&c = ∑ Fcy y &&c = ∑ Fcz Mz
第九章 动量定理
例9-2 机车的质量为 m 1 ，车辆的质量为 m 2 ，它们系通过 相互撞击而挂钩的。若挂钩前， 相互撞击而挂钩的。若挂钩前，机车的速度为 v1 ，车辆处于 静止，如图（ 所示。 ；（2 静止，如图（a）所示。求（1）挂钩后的共同速度 u ；（2） 在挂钩过程中相互作用的动量和平均撞击力。 在挂钩过程中相互作用的动量和平均撞击力。设挂钩时间为t 轨道是光滑和水平的。 秒，轨道是光滑和水平的。

3.2质点系的动量定理

3.2质点系的动量定理

v0
dm 时间内的火箭受喷射燃料的 火箭受喷射燃料的推进力 dt 时间内的火箭受喷射燃料的推进力 F = u dt
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
神舟六号待命飞天
注：照片摘自新华网
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
神舟六号点火升空
要增大v 需要提高火箭的质量比 要增大v：需要提高火箭的质量比 或增大喷气速度u 推动力：以喷出的燃料d 2 推动力：以喷出的燃料dm为研究对象 时间内的动量变化率为燃料受火箭力 dt 时间内的动量变化率为燃料受火箭力
dm[(υ − u ) − υ ] dm F= = −u dt dt
m0 火箭速度v v m dm ∫v0 d v = − u ∫m0 m
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
6.当质点之间有相对运动时， 6.当质点之间有相对运动时，应运用伽利 当质点之间有相对运动时 略速度变换建立相对于同一惯性系的动量 定理。 定理。 7.质点系的动量守恒定律是自然界一切物理 7.质点系的动量守恒定律是自然界一切物理 质点系的动量守恒定律是 过程的基本定律， 最普遍、 过程的基本定律，是最普遍、最基本的定律 之一．在宏观和微观领域均适用。 之一．在宏观和微观领域均适用。
v v t′ 所以： 所以：I = ∫ ( ∑ Fi )dt = ∑
t i i
∫
t′
t
v v Fi dt = ∑ I i
i
质点所受外力的总冲量等于各分力冲量之和
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
t2 r r 再看内力冲量之和 ∑∫ Fint,tdt = ∫ (∑Fint,t )dt i t1 t1 i r 因为内力之和为零： 因为内力之和为零：∑ Fint,t = 0 i t2 r 结论 内力的冲量之和为零 ∑ ∫ Fint,t dt = 0 t2

第八章质心运动定理动量定理

第八章质心运动定理动量定理

第八章 质心运动定理 动量定理一、目的要求1．质点系（刚体、刚体系）是动力学的主要力学模型，解决质点系（刚体、刚体系）动力学问题的主要方法有三类：（1）达朗伯原理；（2）动力学基本定理；（3）动力学普遍方程和拉格朗日方程。

2．对质点系（刚体、刚体系）的质心、动量有清晰的理解，能熟练地计算质点系（刚体、刚体系）的动量，能熟练地应用质点系的动量定理、质心运动定理（包括相应的守恒定律）求解动力学问题。

二、基本内容1．基本概念质点系的质心、质点系（刚体、刚体系）的动量、2．主要公式（1）质点系（刚体、刚体系）质心的计算1）矢径形式 M r m r i i c ∑= 或 Mr m r ic i c ∑= 2）直角坐标形式Mx m x i i c ∑=，M y m y i i c ∑=，M z m z i i c ∑= 其中 k z j y i x r i i i i ++=为第i 个质点到固定点O 的矢径。

k z j y i x r c c c c ++=为质点系的质心到固定点O 的矢径。

ic r 为第i 个刚体的质心到固定点O 的矢径。

m i 为第i 个质点的质量，i m M ∑=为质点系（刚体、刚体系）的质量。

（2）质点系（刚体、刚体系）动量的计算1）矢径形式 c i i v M v m P =∑=2）投影形式ix i x v m p ∑=，iy i y v m p ∑=，iz i z v m p ∑=，222z y x P P P P ++=注意：动量是矢量，需要时还要计算动量的方向。

（3）动量定理（质心运动定理）∑==n i (e)i F dt p d 1 )(1∑==n i (e)i c F a M 式中∑===n i c i i v M v M p 1 ，是质点系某瞬时的动量，∑=n i e i F 1)( 是质点系所受外力的主矢量。

c a 为质点系心的加速度。

三、重点和难点1．重点：（1）质点系（刚体、刚体系）质心、动量的计算。

第四章动量

第四章动量
2
第四章 动 量
二、质点动量定理 r r dp 由 F = dt t2 r ∫ F ( t )d t =
t1
r r F dt = dp
动量定理 微分形式
∫
r p2 r p1
r r v d p = p 2 − p1
定义 dI=Fdt 为力的元冲量，则冲量 I 为力对时间的积分 为力的元冲量，
r I =
∫
t t0
r r r r r F dt = P − P0 = M v c − M v c 0
上述结论亦称为质心运动定理，其微分形式 上述结论亦称为质心运动定理，
.. r d r d r. r F = P = ( M rc ) = M rc dt dt
16
第四章 动 量
上式表明: 上式表明: (1)质心运动定理实际上是矢量方程， (1)质心运动定理实际上是矢量方程，可以写成三个分 质心运动定理实际上是矢量方程 量方程，运动的独立性同样成立； 量方程，运动的独立性同样成立； (2)质心运动定理表明牛顿定律具有一种独特的性质， (2)质心运动定理表明牛顿定律具有一种独特的性质，即 质心运动定理表明牛顿定律具有一种独特的性质 如果它在某一小尺度范围内是正确的， 如果它在某一小尺度范围内是正确的，那么在大尺度范围内 也将是正确的； 也将是正确的； (3)不论体系如何复杂，体系质心的行为与一个质点相同。 (3)不论体系如何复杂，体系质心的行为与一个质点相同。 不论体系如何复杂 从这个意义上说， 从这个意义上说，牛顿定律所描绘的不是体系中任一质点的 运动，而是质心的运动。而质心的存在， 运动，而是质心的运动。而质心的存在，正是任意物体在一 定条件下可以看成质点的物理基础； 定条件下可以看成质点的物理基础； (4)质心运动定理和牛顿三定律的适用范围相同。 (4)质心运动定理和牛顿三定律的适用范围相同。 质心运动定理和牛顿三定律的适用范围相同

质点系动量定理

质点系动量定理
§3-2 质点系动量定理和质心运动定理
一、质点系动量定理
一个由n个质点组成的质点系，对于每个质点有
n d F1 f1i m1v1 dt i 1 n d F2 f 2i m2 v2 dt i2

n d Fn f ni mn vn dt in
yc 0
下面只要求 xc 上面腰的直线方程为：
yx
在薄板上任意选择一个面积微元，微元上每一点 的水平坐标值都为x，微元的面积为：
ds 2 ydx 2 xdx
设薄板质量面密度为
，则微元质量为：
dm ds 2 xdx
整个薄板的水平质心坐标为：
xc
xdm dm
mL 。 M m
人走船动
法2：利用质心运动定理
xC
M L m
O
m
L M + mL 2 初始状态 xC = M +m
末状态
xC
M
L M( + l ) + ml 2 xC = M +m
l
x
比较得
mL l= M +m
人走船动
法3：利用动量守恒定律
v人地
m
0 m v人地 M v船地
M L m
t
此式表明，外力矢量和在某一方向的冲量等于在 该方向上质点系动量分量的增量。
二、质心 n个质点组成的质点系的质心位置为
m r m r m r 2 2 n n rC 1 1 m1 m2 mn mi ri
i 1 n n
mi
i 1

由于质心位置不变
任意时刻质心 坐标：

动量定理 质心运动定理

动量定理 质心运动定理

动量定理质心运动定理动量定理质心运动定理质点的动量定理可以表述为:质点动量的微分，等于作用于质点上力的元冲量。

用公式d(mv),Fdt表达为 (17-7)d(mv),Fdt (17-8)tptp2211设时刻质点系的动量为，时刻质点系的动量为，将(17-8)式积分，积分区tt21间为从到，得t2p,p,Fdt21,t 1 (17-9)t2Fdt,I,tttF211记，称为力在到时间间隔内的冲量。

式(17-9)为质点系动量定理的积分形式，它表明质点系在某时间间隔内的冲量的改变量，等于作用在质点系上的外力主矢在该时间间隔内的冲量。

(e)(i)MFFiii对于质点系而言，设为质点所受到的外力，为该质点所受到的质点系内力，根据牛顿第二定律得dv(e)(i)im,F，F(e)(i)iiima,F，Fdtiiii 即mi除了火箭运动等一些特殊情况，一般机械在运动中可以认为质量不变。

如果质点的质量不dmv()(e)(i)ii,F，Fiidt变，则有上式对质点系中任一点都成立，n个质点有n个这样的方程，把这n个方程两端相加，得ndm(v),iinn()()ei,1i,，FF,,iidt,1,1iinn(e)(i)FF,,iii,1i,1 质点系的内力总是成对地出现，内力的矢量和等于零。

上式中是质点dp(e),F(e)RFdtR系上外力的矢量和，即外力系的主矢，记作，则上式可写为(17-10)1这就是质点系动量定理的微分形式，它表明:质点系的动量对时间的导数等于作用在质点系上外力的矢量和。

(e)dp,Fdt 将式(17-10)写成微分形式 Rtptptt222111 设时刻质点系的动量为，时刻质点系的动量为，上式从到积分，得t2(e)p,p,Fdt21R,t,I1 (17-11)p,p0 当外力主矢为零时，由上式可推出质点系的动量是一常矢量，即这表明当作用在质点系上的外力的矢量和为零时，质点系的动量保持不变，这就是质点系的动量守恒定理。

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由上式所确定的空间点称质点系的质量中心(质心).
在直角坐标系质心坐标为
xc
mi xi m
yc
mi yi m
zc
mi zi m
对由两个质点组成的质点系，有
xc
m1x1m2x2 m1m2
yc
m1y1m2y2 m1m2
第10页/共19页
x2 xc m1 xc x1 m2
y2 yc m1 yc y1 m2
质心必位于m1与m2的连线上，且质心与各质点距离与质点质量 成反比.
第11页/共19页
[例题3] 一质点系包括三质点，质量为
m2 2单和位
m3
3，单 位置位坐标各为
求质心坐标.
m 1 ( 1 , 2 )m ,2 ( 1 ,1 ) 和 m 3 ( 1 ,2 )
m1 1单位
[解] 质心坐标
xc
m1x1m2x2m3x3 m1m2m3
d p vd tS v
由动量定理
dp vS vF
dt
F表示留在燃烧室内的燃烧物质对排出物质的作用力
Fx Sv2
向下
火箭所受推力，也等于
Sv 2
向上
第5页/共19页
[内例有题质2]量如为图表m0示的传煤送卸带出以，水传平送速带度顶部与将车煤厢卸底入板静v0高止度车差厢为内h。，每开单始位时时车间
第8页/共19页
§3.7.2 质心运动定理
1.质心
质点系动量定理
而
vi
dri dt
i F i d dt(
mivi)
有
i i
F i ddt22(
miri)
F i md dt22(
m iri) m

3-2 质点系动量定理和质心运动定理

3-2 质点系动量定理和质心运动定理

解：
dm = 2xσdx
a/ 2
y a
三角形质心坐标x 三角形质心坐标 c是
xc
∫ xdm = ∫ = ∫ dm ∫
0
a/
0
2 a = 2 3 2σxdx
2σx dx
2
O x dx
x
这个结果和熟知的三角形重心位置一致。 这个结果和熟知的三角形重心位置一致。
11
三、质心运动定理 右边: 右边:
r d 据质点系动量定理: 据质点系动量定理 ∑ F = (∑m v ).
质点系动量定理：在一段时间内， 质点系动量定理：在一段时间内，作用于质点系的 外力矢量和的冲量等于质点系动量的增量. 外力矢量和的冲量等于质点系动量的增量
1
v d n v 微分形式） Fi = (∑mivi ) （微分形式） ∑ dt i=1 i=1
n
其分量式
Fixdt = ∑mi vix − ∑mi vi 0x ∫t0 ∑ t ∫t0 ∑Fiydt = ∑miviy − ∑mivi0 y t Fizdt = ∑mi viz − ∑mi vi 0z ∫t0 ∑
z
dm ( x , y , z )
体分布 面分布 线分布
dm = ρdV
r r
x o
M
dm = σdS dm = λdl
y
dm ρ= dτ dm σ= ds dm λ= dl
dm：宏观小，微观大 宏观小，
xc =
r rc =
∫ ∫
xdm M ydm M
注意： 注意：
1.质心的坐标值与坐标系的选取有关； 2.质量分布均匀、形状对称的实物，质 心位于其几何中心处； 3.不太大的实物，质心与重心相重合。

理论力学PPT课件第5章 动量定理、质点系动量定理、质点系动量矩定理

理论力学PPT课件第5章 动量定理、质点系动量定理、质点系动量矩定理
y
A
o
G
B
x
2020年4月20日
15
偏心电机
e m2
F Oy
FOx
思考：偏心电机转动时，支座的动约束力为多大？
2020年4月20日
16
3.动量守恒与质心运动守恒
动量守恒 若：FRe＝0 则：p = 常矢量 若：FRex＝0 则：px = 常量
质心运动守恒（不动）
1) 若 FRe 0
ac 0
由动量矩定理：
dLOz dt
M
e Oz
d d t(2 W gr2A2 W gr2 BW gvC2 r)M W 2 r
2 W gr2A2 W gr2BW g2raCM 2 W r
2020年4月20日
49
2 W gr2A2 W gr2BW g2raCM 2 W r
补充运动学方程
aCrArB
2W graCW g2raCM2Wr
LA ri'm ivi' vi'— 相对速度
(3)绝对动量矩与相对动量矩的关系 LAL'AAC (mA)， v c为质心，
当AC＝0，即，动点为质心C时 LC＝LC —对质心的绝对与 量相 矩对 相动 等
2020年4月20日
34
3.刚体的动量矩（对定点A）
（1）平移刚体的动量矩
L A r i ' m iv c A (C v m c ) A P C
Mce 0,Lc守恒 .
O
FT
C
GV
2020年4月20日
52
思考：猴子爬绳比赛，已 m A 知 m B ,vA rv B.r
答：若不计绳与滑轮的质量，则 v1a v2a
若考虑绳与滑轮的质量，则 m AvArm BvBrJoω

2_9质心与质心运动定理

2_9质心与质心运动定理

例3 有质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它的落 地点为xC 。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相 等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水 平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。
解： 在爆炸的前后，质心始终
只受重力的作用，因此， 质心的轨迹为一抛物线， 它的落地点为xc 。
m1 x1 m2 x2 xC m1 m2 mx2 xC 2m
dV r 2 dz
而
r a sin z a cos , 2 dV a sin d a cos
a 1 cos d cos
3 2
r a sin
z
z a cos x


a

0 设 u cos ，则 v z dV zdV a 4 1 1 u2 udu 2 a 3 zc 0 3 V dV
x1c R
y
O
x
1 2 小圆板质量为 m1 R， 4 质心坐标为
2
3 余下的质量为 m2 R 2，质心坐标用 x 2 c表示，则 4
1 3 2 R R R 2 x2 c 2 4 0 4 2 R
R x2c 6
例2
求半径为a的均质半圆球的质心
解：如图，以球心O为原点建立坐标系.将半球体划 分为若干半径为r厚为dz的平板状薄圆，体积元为dV
令
m1r1 m2 r2 rc m1 m2
（2）n个质点系统
分量形式
xc
i
rc
mi ri
m
i
i i
i
i
m x m
i i i
i

3-2 质点系动量定理和质心运动定理讲解

3-2 质点系动量定理和质心运动定理讲解

求腰长为a 等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。

求腰长为等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。

解：dm = 2xσdx a/ 2 y a 三角形质心坐标x 三角形质心坐标c是xc ∫ xdm = ∫ = ∫ dm ∫ 0 a/ 0 2 a = 2 3 2σxdx 2σx dx 2 O x dx x 这个结果和熟知的三角形重心位置一致。

这个结果和熟知的三角形重心位置一致。

11三、质心运动定理右边: 右边: r d 据质点系动量定理: 据质点系动量定理∑ F = (∑m v . n n i=1 i dt i i=1 i i d d d r (∑m v = ∑m ( = ∑m r. dt d t ∑m dt n 2 n n i=1 i i i=1 i 2 i=1 n i 2 n i=1 i 2 c i=1 i r ∑m r n 上式第二步分子, 上式第二步分子, 分母均乘以 dt 故质点系动量定理: 故质点系动量定理 2 上式中, 上式中, r dr 2 ∑ m, i=1 i c r 质心的加速度, 为质点系质心的加速度,用 aC 表示, r ∑F n i =1 i r = ma C ______称为质心运动定理. ______称为质心运动定理. 称为质心运动定理 12r ∑F n i =1 i r = ma C 此式表示，此式表示，质点系质心的运动与这样一个质点的运动具有相同的规律，运动具有相同的规律，该质点的质量等于质点系的总质量，质量，作用于该质点的力等于作用于质点系的外力的质心运动定律。

矢量和。

这个结论称为质心运动定律矢量和。

这个结论称为质心运动定律。

表明: 表明不管物体的质量如何 Y 分布，分布，也不管外力作用在物体的什么位置上，体的什么位置上，质心的运动就象是物体的质量全部都集中于此，集中于此，而且所有外力也 C 都集中作用其上的一个质点 O X 的运动一样。

的运动一样。

质心运动反映了质点系的整体运动趋势。

动量定理 质心运动定理

动量定理 质心运动定理

动量定理 质心运动定理质点的动量定理可以表述为：质点动量的微分，等于作用于质点上力的元冲量。

用公式表达为 Fv =)(m dt d（17-7）dt m d F v =)( （17-8）设1t 时刻质点系的动量为1p ，2t 时刻质点系的动量为2p ，将（17-8）式积分，积分区间为从1t 到2t ，得⎰=-2112t t dtF p p （17-9）记IF =⎰21t t dt ，称为力F 在1t 到2t 时间间隔内的冲量。

式（17-9）为质点系动量定理的积分形式，它表明质点系在某时间间隔内的冲量的改变量，等于作用在质点系上的外力主矢在该时间间隔内的冲量。

对于质点系而言，设)(e i F 为质点i M 所受到的外力，)(i i F 为该质点所受到的质点系内力，根据牛顿第二定律得)(i i (e)ii i m F F a += 即)()(i i e i iidt d m F F v +=除了火箭运动等一些特殊情况，一般机械在运动中可以认为质量不变。

如果质点的质量i m 不变，则有 )()()(i i e i i i dt m d F F v +=上式对质点系中任一点都成立，n 个质点有n 个这样的方程，把这n 个方程两端相加，得∑∑∑===+=ni i i ni e ini i i dtm d 1)(1)(1)(F F v质点系的内力总是成对地出现，内力的矢量和∑=ni i iF1)(等于零。

上式中∑=ni e iF1)(是质点系上外力的矢量和，即外力系的主矢，记作)(e RF ，则上式可写为)(e R dt d F p= （17-10）这就是质点系动量定理的微分形式，它表明：质点系的动量对时间的导数等于作用在质点系上外力的矢量和。

将式（17-10）写成微分形式dt d e R )(F p =设1t 时刻质点系的动量为1p ，2t 时刻质点系的动量为2p ，上式从1t 到2t 积分，得⎰=-21)(12t t e R dtF p p I =（17-11）当外力主矢为零时，由上式可推出质点系的动量是一常矢量，即0p p =这表明当作用在质点系上的外力的矢量和为零时，质点系的动量保持不变，这就是质点系的动量守恒定理。

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点的作用力. 质点系动量 定理微分形式
i
Fi
d(
pi ) dt
质点系动量对时间的变化率等于外力的矢量和.
(
Fi
)dt
d(
pi
)
i
质点系动量定理积分形式
t
( t0
i
Fi )dt p p0
在一段时间内质点系动量的增量等于作用于质
点系外力矢量和在这段时间内的冲量，此即用
冲量表示的质点系的动量定理.
aBy
y
A
D
aA
O W
B
W x
aD
W aB
§3.7.3 质点系相对于质心系的动量
质心坐标系——以质心为原点，坐标轴总与基本参 考系平行.
质点系相对质心坐标系的动量
Pc
mivic
几点说明 (1)只有外力对体系的总动量变化有贡献，内力对 体系的总动量变化没有贡献，但内力对动量在体 系内部的分配是有作用的.
(2) I Fdt 是过程量,积分效果 动量改变.
(3)动量定理只适用于惯性系, 对非惯性系，还应 计入惯性力的冲量.
(4)动量定理是矢量式,应用时可用沿坐标轴的分量
质心加速度. 运动员所在高度的重力加速度为g. 运动员
出机舱后很长时间才张伞，不计空气阻力.
A
aA
B
D
aB
aD
[解] 将三运动员简化为质点系，受外力只有重力，W表
示各运动员所受重力. 建立直角坐标系，m表示各运动
员质量，根据质心运动定理，
3W
3m
d2rc dt 2
3m
d2 dt 2
mrA
FN FN1 FN2 m0v0i m0(gt 2gh) j
§3.7.2 质心运动定理
1.质心
质点系动量定理
而
vi
dri dt
i
Fi
d dt
(
mivi )
有
i
Fi
d2 dt 2
(
mi ri )
i
Fi
m
d2 dt 2
(
mi ri ) m
m ——总质量.
质令点系r中c存在一个mm特i殊ri点C ，
质心必位于m1与m2的连线上，且质心与各质点 距离与质点质量成反比.
[例题3] 一质点系包括三质点，质量为 m1 1单位 m2 2单位 和 m3 3单位 ，位置坐标各为 m1(1,2), m2(1,1)和m3(1,2) 求质心坐标.
[解] 质心坐标
xc
m1x1 m2 x2 m3x3 m1 m2 m3
由上式所确定的空间点称质点系的质量中心(质心).
在直角坐标系质心坐标为
xc
mi xi m
yc
mi yi m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
zc
mi zi m
对由两个质点组成的质点系，有
xc
m1 x1 m1
m2 x2 m2
yc
m1 y1 m1
m2 y2 m2
x2 xc m1 xc x1 m2
y2 yc m1 yc y1 m2
的速度)为 v ，求火箭所受推力.
[解] 选择匀速直线运动的火箭为参考系，是惯性系.
dt 时间内喷出气体质量 dm vSdt
dm喷出前后动量改变量为 dp vSdt v
由动量定理
dp
vSv
F
dt
F 表示留在燃烧室内的燃烧物质对排出物质的作用力
Fx Sv2
向下
火箭所受推力，也等于Sv 2 向上
2gh j
到达车厢后速度为零. 质点系动量的改变量
Δp
(m0v0i
m0
2gh j )
单位时间内车厢对煤的冲量 FN1 1 Δp
煤落到车厢时煤对车厢的冲力
FN1 FN1 (m0v0i m0 2gh j )
取煤到达空车厢时为计时起点，车厢对煤的支撑力
FN 2 m0gtj
煤作用于车厢的力等于上面两力之和，即
[例题2]如图表示传送带以水平速度
v0
将煤卸入静止车
厢内。每单位时间内有质量为 m0 的煤卸出，传送带顶
部与车厢底板高度差为h，开始时车厢是空的，不考虑
煤堆高度的改变. 求煤对车厢的作用力.
O x
y
[解]把单位时间内落入车厢的煤视作质点系，并建
立直角坐标系Oxy.
到达车厢前一瞬间，煤的速度
v v0i
——质心运动定理
质心的行为与一个质点相同.
注： 在动力学上,质心是整个 质点系的代表点，质心的运动 只决定于系统的外力，内力不 影响质心的运动.
3.说明： (1)质心不是质点位矢的平均值，而是带权平均值， 因与m有关，所以是动力学概念. 推论：质量均匀分布的物体，其质心就在物体的几 何中心. (2)质心的位矢与坐标原点的选取有关，但质心与 体系各质点的相对位置与坐标原点的选取无关. (3) 质心与重心的区别
mrB
3m
mrD
aA aB aD 3g
aA , aB , aD 表示各运动员质心的加速度.将上式投影
aBx
6 5
g sin30
0
aBy
4 5
g
6 5
g cos 30
3g
得
aBx
3 5
g
aBy
1 (11 3 5
3)g
或
aB
a
2 Bx
a
2 B
y
1.31g
arctan aBx 2720
§3.7 质点系的动量定理 和质心运动定理
§3.7.1 质点系动量定理 §3.7.2 质心运动定理 §3.7.3 质点系相对于质心系的动量
§3.7 质点系的动量定理
和质心运动定理
§3.7.1 质点系动量定理
质点系——有相互作用的若干个质点组成的系统.
内力——系统内各质点间的相互作用力.
外力——系统以外的其它物体对系统内任意一质
式求解, 如 x 轴分量式
i
d( Fix
pix ) dt
t
( t0
i
Fix )dt px p0x
即冲量在某一方向上的分量等于该方向上动量的增量.
也可采用作图法，按几何关系(余弦定理、正弦定理 等)求解.
[例题1]火箭沿直线匀速飞行，喷射出的燃料生成物
的密度为 喷口截面积为S，喷气速度(相对于火箭
yc
m1 y1 m2 y2 m3 y3 m1 m2 my 3
xc
1 (1)
3
2 (1) 21
31
0
yc
1 (2) 21 321
32
1
质心在图中的 * 处.
m2 *C m3
O
x
m1
2.质心运动定理
i
Fi
m
d2 dt 2
(
mi ri m
)
m
d2rc dt 2
mac
即
Fi mac
质心是质点系全部质量和动量的集中点；
重心是重力的合力的作用点.
质心的意义比重心的意义更广泛更基本.
[例题4]三名质量相等的运动员手拉手脱离飞机作花样
跳伞.由于作了某种动作，运动员D
质心加速度为
4 5
g
铅直向下；运动员
A
质心加速度为
6 5
g ，与铅直方向
成 30 ，加速度均以地球为参考系.求运动员B 的