质点系动量定理和质心运动定理

点的作用力. 质点系动量 定理微分形式
i
Fi
d(
pi ) dt
质点系动量对时间的变化率等于外力的矢量和.
(
Fi
)dt
d(
pi
)
i
质点系动量定理积分形式
t
( t0
i
Fi )dt p p0
在一段时间内质点系动量的增量等于作用于质
点系外力矢量和在这段时间内的冲量，此即用
冲量表示的质点系的动量定理.
由上式所确定的空间点称质点系的质量中心(质心).
在直角坐标系质心坐标为
xc
mi xi m
yc
mi yi m
zc
mi zi m
对由两个质点组成的质点系，有
xc
m1 x1 m1
m2 x2 m2
yc
m1 y1 m1
m2 y2 m2
x2 xc m1 xc x1 m2
y2 yc m1 yc y1 m2
——质心运动定理
质心的行为与一个质点相同.
注： 在动力学上,质心是整个 质点系的代表点，质心的运动 只决定于系统的外力，内力不 影响质心的运动.
3.说明： (1)质心不是质点位矢的平均值，而是带权平均值， 因与m有关，所以是动力学概念. 推论：质量均匀分布的物体，其质心就在物体的几 何中心. (2)质心的位矢与坐标原点的选取有关，但质心与 体系各质点的相对位置与坐标原点的选取无关. (3) 质心与重心的区别
aBy
y
A
D
aA
O W
B
W x
aD
W aB
§3.7.3 质点系相对于质心系的动量
质心坐标系——以质心为原点，坐标轴总与基本参 考系平行.
质点系相对质心坐标系的动量
Pc
mivic
几点说明 (1)只有外力对体系的总动量变化有贡献，内力对 体系的总动量变化没有贡献，但内力对动量在体 系内部的分配是有作用的.
(2) I Fdt 是过程量,积分效果 动量改变.
(3)动量定理只适用于惯性系, 对非惯性系，还应 计入惯性力的冲量.
(4)动量定理是矢量式,应用时可用沿坐标轴的分量
式求解, 如 x 轴分量式
i
d( Fix
pix ) dt
t
( t0
i
Fix )dt px p0x
即冲量在某一方向上的分量等于该方向上动量的增量.
也可采用作图法，按几何关系(余弦定理、正弦定理 等)求解.
[例题1]火箭沿直线匀速飞行，喷射出的燃料生成物
的密度为 喷口截面积为S，喷气速度(相对于火箭
质心必位于m1与m2的连线上，且质心与各质点 距离与质点质量成反比.
[例题3] 一质点系包括三质点，质量为 m1 1单位 m2 2单位 和 m3 3单位 ，位置坐标各为 m1(1,2), m2(1,1)和m3(1,2) 求质心坐标.
[解] 质心坐标
xc
m1x1 m2 x2 m3x3 m1 m2 m3
的速度)为 v ，求火箭所受推力.
[解] 选择匀速直线运动的火箭为参考系，是惯性系.
dt 时间内喷出百度文库体质量 dm vSdt
dm喷出前后动量改变量为 dp vSdt v
由动量定理
dp
vSv
F
dt
F 表示留在燃烧室内的燃烧物质对排出物质的作用力
Fx Sv2
向下
火箭所受推力，也等于Sv 2 向上
[例题2]如图表示传送带以水平速度
v0
将煤卸入静止车
厢内。每单位时间内有质量为 m0 的煤卸出，传送带顶
部与车厢底板高度差为h，开始时车厢是空的，不考虑
煤堆高度的改变. 求煤对车厢的作用力.
O x
y
[解]把单位时间内落入车厢的煤视作质点系，并建
立直角坐标系Oxy.
到达车厢前一瞬间，煤的速度
v v0i
mrB
3m
mrD
aA aB aD 3g
aA , aB , aD 表示各运动员质心的加速度.将上式投影
aBx
6 5
g sin30
0
aBy
4 5
g
6 5
g cos 30
3g
得
aBx
3 5
g
aBy
1 (11 3 5
3)g
或
aB
a
2 Bx
a
2 B
y
1.31g
arctan aBx 2720
yc
m1 y1 m2 y2 m3 y3 m1 m2 my 3
xc
1 (1)
3
2 (1) 21
31
0
yc
1 (2) 21 321
32
1
质心在图中的 * 处.
m2 *C m3
O
x
m1
2.质心运动定理
i
Fi
m
d2 dt 2
(
mi ri m
)
m
d2rc dt 2
mac
即
Fi mac
2gh j
到达车厢后速度为零. 质点系动量的改变量
Δp
(m0v0i
m0
2gh j )
单位时间内车厢对煤的冲量 FN1 1 Δp
煤落到车厢时煤对车厢的冲力
FN1 FN1 (m0v0i m0 2gh j )
取煤到达空车厢时为计时起点，车厢对煤的支撑力
FN 2 m0gtj
煤作用于车厢的力等于上面两力之和，即
质心是质点系全部质量和动量的集中点；
重心是重力的合力的作用点.
质心的意义比重心的意义更广泛更基本.
[例题4]三名质量相等的运动员手拉手脱离飞机作花样
跳伞.由于作了某种动作，运动员D
质心加速度为
4 5
g
铅直向下；运动员
A
质心加速度为
6 5
g ，与铅直方向
成 30 ，加速度均以地球为参考系.求运动员B 的
FN FN1 FN2 m0v0i m0(gt 2gh) j
§3.7.2 质心运动定理
1.质心
质点系动量定理
而
vi
dri dt
i
Fi
d dt
(
mivi )
有
i
Fi
d2 dt 2
(
mi ri )
i
Fi
m
d2 dt 2
(
mi ri ) m
m ——总质量.
质令点系r中c存在一个mm特i殊ri点C ，
质心加速度. 运动员所在高度的重力加速度为g. 运动员
出机舱后很长时间才张伞，不计空气阻力.
A
aA
B
D
aB
aD
[解] 将三运动员简化为质点系，受外力只有重力，W表
示各运动员所受重力. 建立直角坐标系，m表示各运动
员质量，根据质心运动定理，
3W
3m
d2rc dt 2
3m
d2 dt 2
mrA
§3.7 质点系的动量定理 和质心运动定理
§3.7.1 质点系动量定理 §3.7.2 质心运动定理 §3.7.3 质点系相对于质心系的动量
§3.7 质点系的动量定理
和质心运动定理
§3.7.1 质点系动量定理
质点系——有相互作用的若干个质点组成的系统.
内力——系统内各质点间的相互作用力.
外力——系统以外的其它物体对系统内任意一质