3.7 质点系动量定理和质心运动定理

r r (2) I = Fdt 是过程量 积分效果 → 动量改变 . 是过程量,积分效果 ∫
(3)牛顿第二定律只适于质点，动量定理既适于质 牛顿第二定律只适于质点， 牛顿第二定律只适于质点 点又适于质点系. 点又适于质点系 (4)动量定理只适用于惯性系 对非惯性系，还应 动量定理只适用于惯性系, 对非惯性系， 动量定理只适用于惯性系 计入惯性力的冲量. 计入惯性力的冲量
v v ex v dI = F dt = dp
t1 p1
微分形式 积分形式
v v t2 v p2 v v v ex I = ∫ F dt = ∫ v dp = p2 − p1
质点系的动量定理：质点系受到的合外力的冲量等于质 质点系的动量定理： 点系（ 动量的增量。 点系（总）动量的增量。
几点说明
(1)只有外力对体系的总动量变化有贡献，内力对 只有外力对体系的总动量变化有贡献， 只有外力对体系的总动量变化有贡献 体系的总动量变化没有贡献， 体系的总动量变化没有贡献，但内力对动量在体 系内部的分配是有作用的. 系内部的分配是有作用的
(5)动量定理是矢量式 应用时可用沿坐标轴的分量 动量定理是矢量式,应用时可用沿坐标轴的 动量定理是矢量式 应用时可用沿坐标轴的分量 式求解, 如 x 轴分量式 求解
∑ Fix
i
=
d( ∑ p ix ) dt
∫ t0 (∑ Fix )dt = p x − p0 x i
即冲量在某一方向上的分量等于该方向上动量的增量. 即冲量在某一方向上的分量等于该方向上动量的增量 也可采用作图法，按几何关系 余弦定理 余弦定理、 也可采用作图法，按几何关系(余弦定理、正弦定理 作图法 求解. 等)求解 求解
∑
i
m ——总质量 总质量. 总质量
质点系中存在一个特殊点C 质点系中存在一个特殊点 ， 令
r rc =
∑
r m i ri m
质心). 由上式所确定的空间点称质点系的质量中心(质心 由上式所确定的空间点称质点系的质量中心 质心 在直角坐标系质心坐标为
xc
∑ mi x i =
m
yc
∑ mi y i =
r r r 到达车厢前一瞬间， 到达车厢前一瞬间，煤的速度 v = v 0 i + 2 gh j 到达车厢后速度为零. 到达车厢后速度为零 r r r 质点系动量的改变量 ∆p = −( m0 v 0 i + m0 2 gh j ) r r ′ 单位时间内车厢对煤的冲量 F N 1 ⋅ 1 = ∆ p
dm = ρvSdt
r r dm喷出前后动量改变量为 dp = ρvSdt ⋅ v 喷出前后动量改变量为
由动量定理
r r r dp = ρ vS v = F dt
r F 表示留在燃烧室内的燃烧物质对排出物质的作用力
Fx = ρSv 2
向下 向上
ρ Sv 2 火箭所受推力， 火箭所受推力，也等于
r [例题 如图表示传送带以水平速度 v 0 将煤卸入静止车 例题2]如图表示传送带以水平速度 例题 厢内。 的煤卸出， 厢内。每单位时间内有质量为 m0 的煤卸出，传送带顶
板上C点的运动 板上 点的运动 轨迹是抛物线 c c c
c c c c
其余点的运动=随 点的平动+绕 点的 点的平动 点的转动 其余点的运动 随C点的平动 绕C点的转动
[例题 三名质量相等的运动员手拉手脱离飞机作花样 例题5]三名质量相等的运动员手拉手脱离飞机作花样 例题
i
二 质点系的动量定理
v ex v ex F = ∑ Fi =
i
v dpi ∑
i
dt
v d v dp = ∑ pi = dt i dt
质点系所受的合外力等于质点系动量对时间的变化率。 质点系所受的合外力等于质点系动量对时间的变化率。 这个规律称为质点系的动量定理（微分形式） 这个规律称为质点系的动量定理（微分形式）。
r r r r r FN = FN1 + FN 2 = m0 v0 i + m0 ( gt + 2 gh ) j
一柔软链条长为l， 例3 一柔软链条长为 ， 单位长度的质量为λ，链条放 在有一小孔的桌上， 在有一小孔的桌上，链条一 端由小孔稍伸下， 端由小孔稍伸下，其余部分 堆在小孔周围． 堆在小孔周围．由于某种扰 链条因自身重量开始落下. 动,链条因自身重量开始落下.
v v ex dvC v F = m' = m'aC dt
作用在系统上的合外力等于系统的总 质量乘以质心的加速度——质心运动定律 质量乘以质心的加速度 质心运动定律
i =1
v v ex dvC v F = m' = m'aC dt
质心的行为与一个质点相同. 质心的行为与一个质点相同 在动力学上,质心是整个 注： 在动力学上 质心是整个 质点系的代表点， 质点系的代表点，质心的运动 只决定于系统的外力， 只决定于系统的外力，内力不 影响质心的运动. 影响质心的运动
t
区分外力和 区分外力和内力 外力 注意 内力仅能改变系统内某个物体的 动量，但不能改变系统的总动量. 动量，但不能改变系统的总动量
[例题 火箭沿直线匀速飞行，喷射出的燃料生成物 例题1]火箭沿直线匀速飞行 例题 火箭沿直线匀速飞行， 喷口截面积为S，喷气速度(相对于火箭 的密度为ρ 喷口截面积为 ，喷气速度 相对于火箭 的速度)为 求火箭所受推力. 的速度 为 v ，求火箭所受推力 [解] 选择匀速直线运动的火箭为参考系，是惯性系 解 选择匀速直线运动的火箭为参考系，是惯性系. dt 时间内喷出气体质量
g ∫ y d y = ∫ yv d( yv)
y 2 yv 0 0
1 3 1 2 gy = ( yv) 3 2
2 v = gy 3
1
2
三 质心运动定理
1. 质心
质点系动量定理 而
∑
i
r r dri vi = dt
r r d Fi = (∑ m i vi ) dt
有
∑
i
r r d2 F i = 2 ( ∑ m i ri ) dt r 2 r d ∑ m i ri ) Fi = m 2 ( m dt
部与车厢底板高度差为h，开始时车厢是空的， 部与车厢底板高度差为 ，开始时车厢是空的，不考虑 煤堆高度的改变. 求煤对车厢的作用力. 煤堆高度的改变 求煤对车厢的作用力 O y
x
[解]把单位时间内落入车厢的煤视作质点系，并建 解 把单位时间内落入车厢的煤视作质点系 把单位时间内落入车厢的煤视作质点系， 立直角坐标系Oxy. 立直角坐标系
v rC =
v ∑ mi ri
i =1
n
v r2
v rC
c
v r1 m1
x
o
z
m'
n
v v m′rC = ∑ mi ri
i =1
v v m' rC = ∑ mi ri
i =1
n
求一阶导数， 上式两边对时间 t 求一阶导数，得
v v n drC dri m' = ∑ mi dt dt i =1
n i =1
m1 y
y
由质点系动量定理得
又
F dt = dp dp = λ d( yv)
∴ λ yg d t = λ d( yv )
d( yv ) yg = dt
d( yv ) yg = dt
d( yv ) y gdy = ydy = yv d( yv ) dt dt
2
m2
O
两边同乘以 yd y 则
m1 y
y
v ex v in dpi Fi + Fi = dt
对整个质点系， 对整个质点系，有：
v ex v in ∑ Fi + ∑ Fi =
i i
v ∑ dpi
i
dt
二 质点系的动量定理
v ex v in ∑ Fi + ∑ Fi =
i i
v ∑ dpi
i
dt
左侧第一项是对质点系中各质点受到的外力求和，为系 左侧第一项是对质点系中各质点受到的外力求和， 统所受的合外力： 统所受的合外力：
[例题 一质点系包括三质点，质量为 m1 = 1单位 例题4] 一质点系包括三质点， 例题
m 2 = 2单位 和 m 3 = 3单位 ，位置坐标各为
m1 ( −1,−2), m 2 ( −1,1)和m 3 (1,2) 求质心坐标 求质心坐标.
[解] 质心坐标 解
m1 x1 + m2 x2 xc = m1 + m2
v v v m' vC = ∑ mi vi = ∑ Pi
n
v 求一阶导数， 再对时间 t 求一阶导数，得 m'aC =
i =1
v d( ∑ Pi )
n i =1
dt
v n n v dPi ex = ∑ Fi in （因质点系内 ∑ Fi = 0 ）
m
zc
∑ mi z i =
m
对由两个质点组成的质点系， 对由两个质点组成的质点系，有
m1 x1 + m2 x2 xc = m1 + m2
m1 y1 + m2 y2 yc = m1 + m2
x 2 − xc m1 = xc − x1 m 2
y2 − yc m1 = yc − y1 m 2
质心必位于m 的连线上， 质心必位于 1与m2的连线上，且质心与各质点 距离与质点质量成反比. 距离与质点质量成反比
3. 说明： 说明：
(1)质心不是质点位矢的平均值，而是带权平均值， 质心不是质点位矢的平均值，而是带权平均值， 质心不是质点位矢的平均值 因与m有关，所以是动力学概念 因与 有关，所以是动力学概念. 有关 推论：质量均匀分布的物体， 推论：质量均匀分布的物体，其质心就在物体的几 何中心. 何中心 (2)质心的位矢与坐标原点的选取有关，但质心与 质心的位矢与坐标原点的选取有关， 质心的位矢与坐标原点的选取有关 体系各质点的相对位置与坐标原点的选取无关. 体系各质点的相对位置与坐标原点的选取无关 (3) 质心与重心的区别 质心是质点系全部质量和动量的集中点 是质点系全部质量和动量的集中点； 质心是质点系全部质量和动量的集中点； 重心是重力的合力的作用点 重心是重力的合力的作用点. 是重力的合力的作用点 质心的意义比重心的意义更广泛更基本. 质心的意义比重心的意义更广泛更基本