第二章 z变换

• 级数收敛的充要条件：绝对可和，即 • |x(n)z-n|<∞ • 正向级数收敛性判别法： • 比值判别法：对于级数 |an|, <1, 收敛 an 1 >1,发散 lim n an =1,收发 • 根值判别法：
lim
n
n
an
<1,收敛 >1,发散 =1,收发
k
z R
例：x[k ] b u[k 1]
X ( z)
k

1
b k z k b k z k
k 1

1 b k z k
k 0

1 1 1 1 1 1 b z 1 bz
z b
4)双边序列
X ( z)
k
k
例 求序列 x(n)=anu(n)-bnu(-n-1)的z变换 • 解
X ( z)
n
x ( n) z a z
n n 0 n n


n n
b z
n
1
n n
z z a z 1 b z z a z b n 0 n 0
1 * 1 1 则有: x(n)h (n) x( ) H ( ) d c 2 j n


其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域 内。
11. 翻褶序列
如果 Z[ x(n)] X ( z) , Rx z Rx ，则
证明： Z [ x(n)]
k
1 z 1 z 1
N
z 0
2)右边序列
X ( z)
k
k N1

k

x[k ]z
k
z R
例：x[k ] a u[k ]
X ( z) a z
k 0 k
1 1 az 1
z a
3)左边序列
X ( z)
k
k

N2
x[k ]z
第2章 Z变换
2.2 Z变换的收敛域
• 为什么研究收敛域？ • 收敛域: z变换中级数收敛的所有Z值的集合。 • 只有级数收敛，变换才有意义。对单边变 换，序列与变换式、收敛域唯一对应；一 般情况，单边z变换是存在的，只是收敛域 大小不同 • 对双边变换，不同序列、不同收敛域可能 映射为同一变换式，而且由于找不到收敛 域使变换不存在。
• • • • • • • • • •
几类序列z变换的收敛域： (1) 有限长序列:X(z)= x(n)z-n , (n1 n n2) ① n1<0, n20, 0<|z|<∞ ② n1 0, n2 > 0, |z|>0 ③ n1<0, n2 0, |z|<∞ (2) 右边序列 X(z)= x(n)z-n , (n1< n n2, n2=∞), 若n∞, lim(|x(n)z-n|)1/n<1, |z|>lim (|x(n)|)1/n=Rx1, 收敛。 ① n1<0 ,n2=∞ , Rx1<|z|<∞ ② n1 0 ,n2=∞ , Rx1<|z|
z
8. 终值定理
对于因果序列x(n)，且X ( z ) Z [ x(n)]的极点 在单位圆内，且只允许单位圆上z 1处有一 阶极点，则有 lim x(n) lim [( z 1) X ( z )] Re s[ X ( z )] z 1
n z 1
9. 共轭序列
如果 Z[ x(n)] X ( z) , Rx z Rx ，则
5.序列的卷积和(时域卷积定理)
如果y (n) x(n) h(n)
m
x(m)h(n m)

而且X ( z ) Z [ x(n)] , Rx z Rx ， H ( z ) Z [h(n)] , Rn z Rn ， 则有：Y ( z ) Z [ y (n)] X ( z ) H ( z ) max[ Rx , Rh ] z min[ Rx , Rh ]
• (3) 左边序列 • X(z)= x(n)z-n , (-∞ n n2) • 若将n换为 -n,则 X(z)= x(-n)zn,当n∞, • lim(|x(-n)zn|)1/n<1, |z|<lim (|x(-n)|)-1/n=Rx2, 收敛于圆内部分 • ① n1=-∞, n2>0, Rx2>|z|>0; • ② n1 =-∞ , n2 0 , Rx2>|z|; • (4) 双边序列 • X(z)= x(n)z-n，(-∞ n ∞) • n1=-∞, n2=∞, Rx2>|z|> Rx1
1.线性 如果
Z [ x(n)] X ( z ) , R x z Rx Z [ y (n)] Y ( z ) , R y z R y
则有：
Z [ax(n) by (n)] aX ( z ) bY ( z ), max( Rx , Ry ) z min( Rx , Ry )
其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛 域内环原点的一条逆时针单封闭围线。
7. 初值定理
对于因果序列x(n)，则x(0) lim X ( z )。
z
证明：X ( z )
n
x(n)u(n) z x(n) z
n n 0 1 2


n
x(0) x(1) z x(2) z 显然, lim X ( z ) x(0)
2. 序列的移位 如果
Z[ x(n)] X ( z) , Rx z Rx 则有：
m
Z[ x(n m)] z X ( z) ; Rx z Rx
例 求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。 z Z [u ( n)] , z 1 z 1 2 z z Z [u ( n 3)] z 3 , z 1 z 1 z 1 z z 2 z2 z 1 Z [ x ( n)] , z 1 2 z 1 z 1 z
4. 序列的线性加权(Z域微分)
如果 Z[ x(n)] X ( z) , Rx z Rx ，则
d Z [nx(n)] z X ( z ), R x z R x dz
例 求序列x(n)=nu(n)的z变换。
z Z [u ( n)] , z 1 z 1 d z z Z [ nx( n)] z ( ) , z 1 2 dz z 1 ( z 1)
n n
• 若|a|<|b|,收敛域：|a|<|z|<|b|, 若|a| |b|, 则序 列的Z变换不存在
1)有限长序列
X ( z)
k N1

N2
x[k ]z
k
1 0 k N 1 例：x[k ] RN [k ] 0 其它
X ( z) z
k 0
N 1

1 Z [ x(n)] X ( ) ; z
n
x ( n) z
1 n
1 1 z Rx Rx
n

n
x ( n) z
n
1 x(n)( z ) X ( ) ，Rx z 1 Rx ， z n 1 1 即 z Rx Rx
6.序列相乘(复卷积定理)
如果y (n) x(n) h(n), 且X ( z ) Z [ x(n)], Rx z Rx ; H ( z ) Z [h(n)], Rn z Rn ， 1 z 1 则有：Y ( z ) Z [ y (n)] X ( ) H ( v ) v dv 2j c v 1 z 1 X (v) H ( )v dv; Rx Rn z Rx Rn 2j c v

k

x[k ]z k
ROC R z R
例：x[k ] a u[k ] b u[k 1] 1 1 X ( z) 1 1 az 1 bz 1
a z b
2.3 Z变换的基本性质
• • • • • • 线性和位移性 序列线性加权（ Z 域微分） 序列指数加权（ Z 域尺度变换） 初值定理和终值定理 时域卷积和 Z 域卷积定理 帕斯瓦尔定理
Z [ x (n)] X ( z ) ，Rx z Rx ;
* * *
其中，x (n)为x(n)的共轭序列。
*
10.帕斯瓦尔定理(parseval)
如果 X ( z )
Z [ x(n)] , Rx z Rx ;
H ( z ) Z [h(n)] , Rh z Rh ; 且Rx Rn 1 Rx Rn .
2.4
Z的反变换
（1）留数法 （2）部分分式法 （3）幂级数展开法
• (1) 围线积分法(留数法) 1 n 1 n 1 x ( n) X ( z ) z dz Re s [ X ( z ) z ]z zm 2j c m • 如果X(z)zn-1在z=zm处有s阶极点，则留数
d s j 1 s X ( z) Bj s j ( z zi ) ( s j )! dz z zz
i
例 求X(z)=z2/(z2-1.5z+0.5) 的 逆变换x(n),|z|>1
n
• (2) 部分分式法：先将X(z)/z 展成部分分 式之和Am/(z-zm)，再乘以z，则有
X ( z)

m
Am z z zm
• zm—X(z)/z的极点，对每一项作逆Z变换， 即可得 x(n)。如X(z)/z 中有高阶极点