定积分的几何应用

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变式 1：变速直线运动的物体速度为 v(t ) 1 t 2 ,ห้องสมุดไป่ตู้初 始位置为 x0 1, 求它在前 2 s 内所走的位移及 2 s 末 所在的位置.
知识要点2
如果物体在变力 F ( x) 的作用下做直线运动，并且物 体沿着与 F ( x) 相同方向从 x a 移动到 x b(a b), 则变力 F ( x) 所作的功 b W= F ( x )dx .

a
例 2 在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平 衡位置 lm 处，求克服弹力所作的功.
o
x x
定积分在几何中的应用
例 3：直线 y＝kx 分抛物线 y＝x－x 与 x 轴 所围成图形为面积相等的两部分， 求 k 的值．
y
2
x
O
定积分在物理中的应用 如图：以 x 为积分变量，积分区间为 [a , b].
知识要点1
作变速直线运动的物体在时间区间 a , b 上所经过的 路程 S ，等于其速度函数 v v(t )(v(t ) 0) 在时间区 b 间 a , b 上的 定积分 ，即 S v ( t )dt

a
例 1 已知一辆汽车的速度——时间的曲线如图所示 30
求（1）汽车 10 s 行驶的路程； （2）汽车 50 s 行驶的路程； （3）汽车 1 min 行驶的路程.
A B
P
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
在区间 [a , b] 内任取一小区间[ x , x dx ], 功的微元数 dW F ( x )dx 所以
o a
x
x dx
F ( x)
b
x
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导

第5章 定积分的几何应用
5.1 定积分的微元法 5.2 定积分求平面图形的面 5.3 定积分求空间立体的体积
结束
5.1 定积分的微元法
对定积分问题,所求量 A 的积分表达式,可如下确定:
1.选取一个变量为积分变量，并确定其变化区间[a,b], 在区间上任取一小区间,并记为 [x,x+.dx]
2.找出 在A [a,b]上任意小区间[x,x+dx]上部分量
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同理，设函数1(y),2(y在) 区间 [ c , 上d ]连续， 1(y)2(y)
求由曲线x1(y),x2(y)及直线 yc,yd(cd)所
围成的图形的面积.
在区间 [ c上, d任] 取小区间 [y,,设y此d小y]区间上的
面积为 A,则近似于高为dy,底
轴旋转,求所得旋转体的体积.
选取 x 为积分变量,其变化区
y f (x)
间为[ a , b ] ,过点x做垂直于x 轴的平
面,截得旋转体截面是半径为| f ( x ) | 的圆,其截面积为
a
b
y f (x)
A(x)[f(x)]2
从而所求旋转体体积为
ax b
VbA (x)dxb[f(x)]2dx
y f (x)
y g(x)
a
b
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分析(1) 在区间 上[ a任, b 取] 小区间
,[设x,此x小d区x]间上的面
积为 ,它近似于高A 为
,底为 的f(小x)矩g形(x)面积,从d而x 得
面积微元为
d A [f(x)g (x)]d x .
(2) 以 [f(x)g为(x被)]积dx表达式,在区间
f(x)0

结论 2
旋转体由曲线x=( y), y a, y b
和y轴围成的平面图形绕y轴旋转一
周后体积V b (( y))2dy b x2dy
a
a
探究3 设两抛物线y x2 2x, y x2 所围成的图形为M，将M绕x轴旋转一 周所得旋转体的体积V ？
Vi xi2 xi
圆锥的体积就等于所有小圆台的体积和：
V （02 x0 xi2 xi 12 xn )
所以求体积是定积分问题。
解：圆锥体的体积为：
V

1

0

x2dx


3
x3
1 0

3
简单几何体的体积
设旋转体是由连续曲线 y＝f(x)和 直线 x＝a，x＝b(a＜b)及 x 轴所 围成的曲边梯形绕 x 轴旋转而 成，设在区间[a，b]上点 x 处垂 直 x 轴的截面面积为 A(x)＝πf2(x)，则 体积为 V＝bπf2(x)dx.
角形可以看作是由直线 y=x ，x=1 及 x 轴所围成的
平面图形。
y
y
o
x
x
o
1
xi
xi
把这个三角形分割成许多垂直于 x 轴的小梯形，
设第 i 个小梯形的宽是 xi ，它绕 x 轴旋转一周就得
到一个厚xi 度是 的小圆台。
当xi 很小时，每个小圆台近似于底面半径 为 xi 的小圆柱，因此，小圆台的体积近似为
( f (x) g(x))
四、课堂小结
本节课用定积分解决了 简单旋转体的体积，注意：
1、注意
2、被积函数的平方 3、求体积的一般步骤
简单几何体的 体积

所围图形绕 x 轴旋转
而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程
y b
o x ax
则 V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)

2
b2 a2
a
(a
2

x2
)
dx
0

2
b2 a2
a2 x

1 3
x3

a 0
4 ab2
3
方法2 利用椭圆参数方程
则 V 20a y2 dx 2 ab2 sin3t d t
2
0
4 3 a2
3
对应 从 0 变
2 a
o
x
d
例6. 计算心形线
与圆
所围图形的面积 .
1 2cos cos 2
解: 利用对称性 , 所求面积
A
1a2 2
2

1 a2 (1 cos )2 d
2
1 2
(1

cos
2
)
1 a2 a2 (3 2cos 1 cos 2 )d
b
b
A a dA( x) a f ( x)dx.
y
妨此可得（图1）的面积： d
A
d
dA( y)
d
f ( y)dy.
y
c
c
c
（图2）的面积：
y
O
y f2(x)
y f1( x)
oa
x bx
（图2）
A
b[ a
f2(x)
f1( x)]dx
A
x=f(y)
（图1）
及 y 轴所围曲边梯形绕 y 轴的旋转体的体积计算公式