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2.立方根知|识|目|标1．通过解决由正方体的体积求棱长的问题，了解立方根及相关概念；知道立方与开立方互为逆运算，会求一个数的立方根．2．经历利用概念求一个数的立方根的过程，会用立方运算求立方根，掌握立方根的性质，会用该性质进行计算求值．3．通过实际训练，会用计算器求任意一个数的立方根．4．通过对实际问题的分析，会用立方根解决生活中的问题．目标一会求一个数的立方根例1 [教材例4针对训练] 求下列各数的立方根：(1)127； (2)－0.216；(3)±125; (4)81×9.【归纳总结】求立方根的“三注意”：(1)平方根的根指数2可以省略，但立方根的根指数3不能省略；(2)任何数都有立方根，并且只有一个立方根；(3)求一个带分数的立方根时，必须先把带分数化成假分数．目标二会用立方根的性质进行计算求值例2 教材补充例题求下列各式的值：(1)－321027； (2)3－0.064.【归纳总结】有关立方根的重要性质：①3－a＝－3a；②(3a)3＝a；③3a3＝a.目标三会利用计算器求一个数的立方根例3 教材补充例题利用计算器求下列各式的值：(1)3－0.547(精确到0.0001)；(2)332840(精确到0.01)．【归纳总结】用计算器求立方根的“两注意”：(1)用计算器求负数的立方根时不要忘记负号；(2)不同的计算器按键顺序有可能不同．目标四会用立方根解决实际生活中的问题例4 教材补充例题一个正方体盒子的棱长为6 cm，现在要做一个体积比原来正方体的体积大127 cm3的新正方体盒子，求新盒子的棱长．【归纳总结】立方根与正方体：因为正方体的体积V和棱长a的关系为V＝a3，因此棱长a是体积V的立方根．考查立方根的应用时多以正方体或长方体为问题背景．,知识点一立方根的概念及其性质。
八年级数的开方1.平方根1）定义：如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根（或二次方根），就是说，如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根。
这里，a 是x 的平方数，它是一个非负数，即0≥a。
2）平方根的表示方法： 一个正数a 有两个平方根，这两个平方根互为相反数。
我们用符号a 表示平方根中正的那一个，并称这个正的平方根为算数平方根，那个负的平方根就可以表示为a -。
3）平方根的性质①一个正数有两个平方根，他们互为相反数；②0有一个平方根，它是0本身；③负数没有平方根。
2.算术平方根1）数a 的算术平方根的概念 如果一个正数x 的平方等于a,即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。
规定：0的算术平方根是0.2）算术平方根的表示方法A 的算术平方根记作a ，读作“根号a ”,并称a 为被开放数。
说明：只有非负数才有算术平方根，而且只有一个算术平方根。
3.算术平方根与平方根的区别与联系区别：1）定义不同：“如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根”；“非负数a 的非负数平方根叫做a 的算术平方根”。
2）个数不同：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个。
3）表示方法不同：正数a 的平方根表示为a ±，正数a 的算术平方根表示为a 。
4）取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数；正数的平方根一正一负，两数互为相反数。
联系：1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一种，是正的平方根。
2）存在条件相同：只有非负数才有平方根，也只有非负数才有算术平方根。
3）0的平方根、算术平方根均为0.4.开平方定义：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，平方根是开平方运算的结果，平方与开平方互为逆运算。
5.性质1）a （0≥a ）表示非负数，即0≥a ；2）a -（0≥a ）表示a 的算术平方根的相反数； 3）a ±（0≥a ）表示a 的两个平方根，他们互为相反数； 6.①a a =2；②)0()(2≥=a a a1.立方根的概念一般地，如果一个数x 的立方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根（也叫三次方根）。
第十二章 数的开方错误！嵌入对象无效。
应知一、基本概念平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）。
【注意】一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
【注意】①正数a 的算术平方根a 的双重非负性：⎩⎨⎧≥≥0a 0a②正数a 的平方根记作a ±立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或三次方根）【注意】①一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
②33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
无理数：无限不循环小数叫做无理数。
【注意】无理数归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等实数：有理数与无理数统称实数。
二、基本法则1. 实数大小比较法则：见第二章“有理数大小比较法则”(加入无理数即可)。
2. 实数运算法则：见第二章“有理数运算法则”(加入无理数即可)。
【注意】实数的大小比较和运算通常可取它们的近似值来进行。
● 应会1. 平方根、立方根的符号表示。
2. ⋯17131052、、、、在数轴上的表示方法。
3. 实数的大小比较和运算。
● 例题1. 把下列各数填入相应的括号内： ２，０，3，••21.0，1-π，1.0-，144，()013-，722，020********.0 属整数的有{ …}属无理数的有{ …}2. 81.0的平方根是 ，425的算术平方根是 ，610-的立方根是 。
3. 21-的相反数是（ ）A 、21+B 、12-C 、21--D 、12+- 4. 0.4的算术平方根是（ ）A 、0.2B 、±0.2C 、510D 、±5105. 在数轴上标出51+，写出画点的过程。
第十一章：数的开方
知识点内容备注
平方根概念:如果一个数的平方等于a，
那么这个数叫做a的平方根
算术平方根：正数a的正的平方根
记作：
性质：正数有两个平方根，它们互
为相反数，0的平方根是0，负数
没有平方根
考点：
（a的取值范围a）
②
()
③(a的取值范围为任意实
数)
④=
例：=（）=5
⑤=a(a为任意实数)
例：=2, =—
2
立方根概念：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根
性质：任何实数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0
实数1.包括有理数和无理数
2.实数与数轴上的点一一对应
常见的无理数（无限不循环小数）
有：①π
②开方开不尽的数，如，等
考点：判断下列的数哪些是无
理数？
有理数：分数和整数的统称
如：，, 0都是有理数
1。
§16.1. 1平方根与算术平方根 初二（ ）班 姓名：_________ 学号：____ 教学目标：1、掌握平方根及算术平方根的概念。 2、能及时通过平方运算求一个非负数的平方根及算术平方根。 3、培养学生观察问题和概括问题的能力。 教学重点：平方根和算术平方根的概念和性质。 教学难点：平方根与算术平方根的区别与联系。 教学过程： 一、新课引入： 1．已知正方形的面积为25 cm2，则它的边长为_______cm． 2．（1）若x2=9，则x=_____； （2）若y2=9，则y=_____；
（3）若x2=0，则x=_____； （4）若y2=2549，则y=_____；
（5）若x2=971，则x=_____； （6）若y2=2.25，则y=_____； （7）若x2=-9，则x=_____。 二、新课讲解：
1．请自行阅读课本P2~ P3，学习平方根、算术平方根的定义。 2．练习：[A组] （1）如果x的平方等于169，那么x叫做169的________； 如果x的平方等于5，那么x叫做5的________； 如果x的平方等于a，那么xx叫做a的________。 （2）49的平方根是________；49的算术平方根是_______；
14425的平方根是________；14425的算术平方根是________；
0的平方根是________；0的算术平方根是______； －1.5是______的平方根。 （3）总结：一个正数有______个平方根，它们互为_______；0的平方根是____；负数______平方根。
3．请自行阅读课文P2~ P3，学习平方根、算术平方根的表示方法。 4．练习：[B组] （1）144=_______（144表示144的________）；
－144=_______（－144表示144的_______）； ±144=________（±144表示144的_______）。 （2）5的平方根记作______ ，5的算术平方根记作______。 （3）100=_______； －400=_______；0=_______； ±196=________；－25111=________；16.0=________。 三、课堂练习： 1．求下列各数的平方根：
64：_______； 8149：_______； 0.36：_______；324：_______。
2．169=________；169=_______；－916.0
=_______；
。；；________09.0972_______16925________16925 3．10表示10的__________，13表示__________________。
4．225=________；±971=_______；22）（－=_______； 29.0）（－=________；2________941a；－（a<0）=_______。
5．五块同样大小的正方形钢板的面积是320m2，求钢板边长。
6．求下列各式中的x： （1）x2=196； （2）(x+1)2=9； （3） x2－169=0； （4）(4x)2=16。
§16.1.2立方根 初二（ ）班 姓名：_________ 学号：____ 时间： 教学目标：1．理解立方根的概念，并会用根号表示。 2．理解立方与开立方互为逆运算，会根据立方运算求一个数的立方根。 3．培养学生用类比的方法获取新知识的习惯，提高学生合理推理的能力。 教学重点：立方根的意义。 教学难点：类比思想的运用。 教学过程： 一、新课引入： 问 题 现有一只体积为216 cm3的正方体纸盒，它的每一条棱长x是多少？ 二、新课讲解： 1．概 括 上面所提出的问题，实质上就是要找一个数x，使得x 3＝216。 这个数的立方等于216. 容易验证，63＝216，所以正方体的棱长应为6 cm． 如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的 。 2．试一试： （1）x3＝1, 则x = , 即1的立方根是 ； （2）x 3＝－1, 则x = , 即－1的立方根是 ； （3）x 3＝8, 则x = ，即8的立方根是 ； x 3＝－8, 则x = ，即－8的立方根是 ； （4）x 3＝27, 则x = ； 即27的立方根是 ；那么－27的立方根是 ；
（5）x 3＝－6427, 则x = 。 3．总结： 一个正数的立方根有 个，它是 数 一个负数的立方根有 个，它是 数 0的立方根是 4．自学阅读： 9的立方根，记作 ，读作“三次根号 ”。其中9称为 数，3称为 数． 求一个数的立方根的运算，叫做 ．
5．例题练习： 例1 求下列各数的立方根：
(1)278； (2)－125； (3)－0.008； (4) 383； (5)0； (6)64； (7)－64； (8)1.25； (9)0.001。
三、课堂练习： [A组]： 1、填空
2、计算： （1）3216= （2）3125= （3）327102= =
（4）327174= = （5）－3278= — = （6）33)5(= （7）3910= （8）364611= 你觉得A组题目当中，哪一道题需要老师讲解一下？_________ 你觉得完成A组题速度如何？（ ） A较快 B一般 C较慢
[B组] 3、求下列各式中的x的值 （1）8x3+1=0 （2）64（2x－1）3=27
4、已知：y= x 3—9且y的算术平方根为4，求x的值 5、讨论－3a与3a的大小关系。 6、请为你的同桌编写3道关于求立方根的题目，并批改： 四、小结： 1、你觉得你理解立方根的概念吗？ 2、你对求立方根的基本运算能掌握吗？ §16.2.1 二次根式的概念 初二（ ）班 姓名：_________ 学号：____ 时间： 教学目标：1、了解二次根式的概念，理解二次根式的基本性质。 2、培养学生分类讨论的数学思想。 3、通过小组合作学习，体验探索学习数学的乐趣。 教学重点：二次根式的基本性质。
教学难点：探索化简2a的过程。 教学过程： 一、新课引入：
（1）25=___；（2）1219=____；（3）81.0=______；（4）0=____.
（5）2)9(=______=_____； （6）2)16(=_____=_______； （7）294=____=_____； （8）216916=_______； （9）20=______； (10)25=_______。 小结：1、a______0（a≥0）； 2、（a）2=________（a≥0）. 练习：[A组] 1、在a中，字母a必须满足____，才有意义。
2、要使式子1x有意义，字母x的取值必须满足什么条件？ 解： 由 x－1≥_____， 得 x≥_____． 3、要使下列式子有意义，字母x的取值必须满足什么条件：
（1）3x； （2）52x；
（3）1x； （4）23x； （5）（自己编题）； （6）（同桌编题）。 4、计算： （1）（7）2= ； （2）（8）2=________；
（3）（9）2= ； （4）9=_________. （5）100= ； （6）01.0=_______;
（7）（1.0）2=________； （8）（32）2=______. 二、新课讲解： 22== ； 2)2(== ；
23== ； 2)3(== ；
2)32(== ； 2)32(== ；
20= 。
概括： （1） 当a>0时，2a＝______；
（2） 当a<0时，2a＝_______． （3） 当a=0时，2a＝______； 也就是说： 2a＝___________． 试一试：（a）2与2a是一样的吗？说说你的理由，并与同学交流。 概 括 a（a≥0）表示非负数a的算术平方根．
形如a（a≥0）的式子叫做二次根式． 注 意 在二次根式a中，字母a必须满足a≥0，即被开方数必须是非负数． 三、课堂练习： [B组]
1、（1） 2)17(= ； （2）（－13）2= ；
（3）252= ； （4）（2243）2= ； （5）21.0= ； （6）235= 。 2、（1）100=（ ）2； （2）971=（ ）2； （3）7=（ ）2； （4）5=（ ）2。 3、因式分解： x2－7=_____________; y2 －5= . [C组]
求 5592yyy的值。
§16.2.2二次根式的乘法 教学难点：二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用。 教学过程： 一、新课引入 ：
1、（1）94= = ；94= = ；
（2）169= = ；169= = ； （3）ba ab（a≥0，b≥0） 二、新课讲解：
